05. Fungsi Dua Peubah EXPERT COURSE #bimbelnyamahasiswa
Sistem Koordinat Kuadran II y Kuadran I x P(x,y) y z P(x,y,z) x Kuadran III Kuadran IV R 2 (Bidang) x Oktan 1 R 3 (Ruang) y 2
Permukaan di Ruang (R 3 ) Sebelum belajar tentang fungsi dua peubah, terlebih dahulu kita mengenal permukaan di ruang dan cara membuat sketsa suatu permukaan di ruang (R3). Berikut beberapa fungsi permukaan di ruang, antara lain : Bola, mempunyai bentuk umum : x 2 y 2 z 2 a 2, a 0 Jejak di bidang XOY, z = 0 x 2 Jejak di bidang XOZ, y = 0 x 2 Jejak di bidang YOZ, x = 0 y 2 y 2 a, 2 berupa z 2 a, 2 berupa z 2 a, 2 berupa lingkaran lingkaran lingkaran 3
Gambar Bola Z y x 4
Permukaan di Ruang Elipsoida, mempunyai bentuk umum 2 x 2 z 2 y 1, a, b, c > 0 a 2 b 2 c 2 2 2 x y Jejak di bidang XOY, z = 0 1, berupa Ellips a 2 b 2 2 2 x z Jejak di bidang XOZ, y = 0 1, berupa Ellips a 2 c 2 Jejak di bidang YOZ, x = 0 z y 1, berupa Ellips c 2 b 2 2 2 5
Gambar Ellipsoida Z y x 6
Permukaan di R 3 Hiperboloida berdaun satu, mempunyai bentuk umum: z 2 2 x y 2 a 2 b 2 c 2 1, a, b, c > 0 Jejak di bidang XOY, z = 0 x 2 y 2 1, berupa a 2 b 2 Ellips Jejak di bidang XOZ, y = 0 2 2 x z 1, berupa a 2 c 2 Hiperbolik Jejak di bidang YOZ, x = 0 2 2 y z 1, berupa b 2 c 2 Hiperbolik 7
Gambar Hiperbolik Berdaun Satu Z y x 8
Permukaan di R 3 Hiperboloida berdaun dua, mempunyai bentuk umum: 2 x y 2 z 2, a, b, c > 0 1 a 2 b 2 c 2 2 2 2 y z x 1, maka terdefinisi saat x - a atau x a b 2 c 2 a 2 2 2 x y Jejak di bidang XOY, z = 0 1, berupa Hiperbolik a 2 b 2 2 2 x z Jejak di bidang XOZ, y = 0 1, berupa Hiperbolik a 2 c 2 2 2 z Jejak di bidang YOZ, x = 0 y 1, tidak ada jejak b 2 c 2 x = k (konstanta), k > a atau k < - a, berupa ellips
Gambar Hiperbolik Berdaun Dua Z y x 10
Permukaan di R 3 Paraboloida eliptik, mempunyai bentuk umum: x 2 y 2 z a 2 b 2 c, a, b, c > 0 Paraboloida hiperbolik, mempunyai bentuk umum: x 2 y 2 z a 2 b 2 c, a, b, c > 0 Kerucut eliptik, mempunyai bentuk umum: 2 2 2 x y z 0 a 2 b 2 c 2 Bidang, mempunyai bentuk umum: Ax By Cz D 11
Gambar Z Z x Paraboloida Eliptik z y x Paraboloida Hiperbolik z y y x Kerucut Eliptik x Bidang y 2/11/2010 12
Latihan: Gambarkan 1. x 2 + y 2 = 4 2. y = x 2 3. 2x + 2y + 4z = 8, di oktan 1 4. 9 z 2 + 9x 2 + 4y 2 = 36 5. z =4 6. x 2 + y 2 + z 2 2x 2y 4z = 3 13
Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang mengaitkan setiap pasangan terurut (x,y) dengan tepat satu z =f(x,y) Notasi : f : A R ( A C R 2 ) Contoh: (x,y) z = f(x,y) 1. f(x,y) = x 2 + 4 y 2 2. f(x,y) = 1 36 9x 2 4y 2 3 3. f(x,y) = 2y x 2 x 2 y 2 2 14
Daerah Asal (D f ) dan Daerah Nilai (R f ) D f (x,y) R f (x, y) R 2 f (x, y) (x, y) D f R f Contoh. Tentukan dan gambarkan D f dari 1. f(x,y) = x 2 + 4 y 2 2. f (x, y) 1 3 36 9x 2 4y 2 3. f (x,y) x(1 y) 15
Contoh (Jawab) 1. D f ={(x,y) R 2 x 2 + 4 y 2 R} y = {(x,y) R 2 } x 2 1 2 2 2. D f (x,y) R 36 9x 4y R 3 = {(x,y) R 2 36 9x 2 4y 2 0} = {(x,y) R 2 9x 2 + 4y 2 36} (x, y) R 2 2 2 x y 4 9 1 y 3 2 x 16
Contoh (Jawab) 3. D f (x, y) R x(1 y) 0 2 = {(x,y) R 2 x(1 y) 0} = {(x,y) R 2 x 0 dan (1 y) 0 atau x 0 dan (1 y) 0} = {(x,y) R 2 x 0 dan y 1 atau x 0 dan y 1} y x 17
Latihan Tentukan dan Gambarkan D f dari 1. f(x,y) = 2. f(x,y) = 2y x 2 x 2 y 2 2 x 1 y y 3. f(x,y) = 2 x 4. f(x,y) = 5. f(x,y) = 16 x 2 y 2 ln(x y) ln(x y 1) y x 1 18
Grafik Fungsi Dua Peubah Grafiknya berupa permukaan di ruang z Z=f(x,y) y D f x Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengan tepat satu z = f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sb z akan memotong grafik tepat di satu titik. 19
Contoh Gambarkan Grafik 1. f(x,y) = 2 x 2 + 3y 2 Z z = 2 x 2 + 3y 2 z x 2 y 2 1 1 2 3 Paraboloida eliptik x Z y 3 2. f(x,y) = 3 x 2 y 2 z-3 = x 2 y 2 3 y x 20
Contoh 3. f(x,y) = 1 3 36 9x2 4y 2 Z 2 9z 2 = 36 9x 2 4y 2 9x 2 + 4y 2 + 9z 2 = 36 2 2 2 x y z 1 Elipsoida x 4 9 4 2 3 y 4. f(x,y) = 16 x 2 y 2 Z 2 z 2 = 16 x 2 y 2 z 0 x 2 + y 2 + z 2 = 4 2 2 y Bola x 2 21
Kurva Ketinggian z = f(x,y) z = k adalah kurva ketinggian. Jadi Kurva ketinggian adalah proyeksi perpotongan grafik z = f(x,y) dengan bidang z =k pada bidang XOY. Contoh: Gambarkan kurva ketinggian z = k dari 1. f(x,y) = x 2 + 2y 2, k = 0, 1, 2, 4 2. f(x,y) = x y 2, k = -2, 0, 2, 4 22
Contoh (Jawab) 1. f(x,y) = x 2 + 2y 2, k = 0, 1, 2, 4 Untuk k = 0 x 2 +2 y 2 = 0 x = 0, y = 0 titik (0, 0) Untuk k = 1 x 2 +2 y 2 = 1 1 1 elips Untuk k = 2 x 2 +2 y 2 = 2 x 2 y 2 y 1 x 2 2 elips Untuk k = 4 x 2 +2 y 2 = 4 2 2 x y 1 elips 2 y 2 1 4 2 k=1 k= 2 k=4.k=0 x 23
Contoh (Jawab) 2. f(x,y) = x y 2 Untuk k = -2 Untuk k = 0 Untuk k = 2 Untuk k = 4, k = -2, 0, 2, 4 x y 2 = -2 x = y 2 2 x y 2 = 0 x = y 2 x y 2 = 2 x = y 2 + 2 parabola y parabola parabola x 2 +2 y 2 = 4 x = y 2 + 4 parabola k=0 k=2 k=-2k=4 x 24
Latihan Gambarkan kurva ketinggian z = k dari 1. f(x,y) = x 2 /y, k = -4, -1, 0, 1, 4 2. f(x,y) = x 2 +y 2, k = 0, 1, 4, 9 3. f(x,y) = xy, k = -4, -1, 0, 1, 4 4. f(x,y) = y 2 x 2, k = 1, 2, 3, 4 KONTUR??? 25
Limit Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi f(x,y) mempunyai limit L untuk (x,y) mendekati (a,b) ditulis lim ( x,y) (a,b) Jika ε > 0 > 0 f (x, y) L f (x, y) L 0 x a 2 y b 2 L+ε L L ε z Z =f(x,y) berlaku x (a,b) y 26
Catatan lim (x,y) (a,b) f (x, y) L ada jika lim f (x, y) L untuk sembarang (x,y) (a,b) kurva yang melalui (a,b). Artinya: Jika terdapat paling sedikit 2 kurva di R 2 yang melalui (a,b) dengan nilai lim (x,y) (a,b) kurva, maka dikatakan f (x, y) berbeda untuk masing-masing lim (x,y) (a,b) f (x, y) tidak ada.. (a,b) 27
Contoh Buktikan bahwa limit Jawab f(x, y) x 2 xy y 2 lim (x,y ) (0,0) xy x 2+ y 2 berikut tidak ada terdefinisi di D f = R 2 {(0,0)} Di sepanjang garis y=0, kecuali x =0, maka nilai f adalah x.0 f(x,0) 0 x 2 0 2 Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = 0 adalah lim f (x,0) lim x.0 (x,0) (0,0) (x,0) (0,0) 0 x 2 0 2 28
Contoh (Lanjutan) Di sepanjang garis y=x, maka nilai f adalah x.x f(x, x) 1 x 2 x 2 2 Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = x adalah x.x lim f (x, x) lim 1 (x,x) (0,0) (x, x) (0,0) x 2 x 2 2 lim (x, x) (0,0) Karena lim f(x,0) f(x, x) maka (x,0) (0,0) xy lim tidak ada (x,y ) (0,0) x 2 y 2 29
Latihan Buktikan bahwa limit berikut tidak ada x 1. lim 2 y 2 x 3. lim 3 y 4 ( x,y) (0,0) x 2 y 2 ( x,y) (0,0) x 2 y 6 2. x 2 y lim ( x,y) (0,0) x 4 y 2 30
Kekontinuan Definisi: Fungsi dua buah f(x,y) kontinu dititik (a,b) jika i. f(a,b) terdefinisi ii. lim f (x,y) ada iii. Teorema: (x,y) (a,b) lim (x,y) (a,b) f (x, y) f (a, b) 1. Polinom dengan m peubah kontinu di R m 2. Fungsi rasional m peubah f(x,y) = p(x,y)/q(x,y) kontinu pada D f,asal q(x,y) 0 3. Jika g fungsi dua peubah kontinu di (a,b) dan f fungsi satu peubah kontinu di g(a,b) maka f0g kontinu di (a,b) didefinisikan f0g (x,y) = f(g(x,y)) 31
Contoh Kekontinuan Selidiki kekontinuan fungsi berikut: 2x 3y 1. f(x,y) = (y 2 4x) 2. Kontinu dimana-mana (R 2 ) kecuali di parobola y 2 =4x f(x,y) = cos(x 2 4xy y 2 ) f(x,y) = h(g(x,y)) : fgs komposisi h o g (x,y) Misal g(x,y) = x 2-4xy+y 2 (Polinom) g kontinu dimana- mana dan h(t) = cos t kontinu di setiap t di R. Maka f(x,y) = h(g(x,y)) kontinu di semua (x,y) di bidang 32
Turunan Parsial Definisi: Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah x dan y. 1. Turunan parsial pertama dari f terhadap x (y dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut f (x, y) lim x h 0 f (x h, y) f (x, y) h 2. Turunan parsial pertama dari f terhadap y (x dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut f (x, y h) f (x, y) f (x, y) lim y h 0 h 33
Contoh: Tentukan f x dan f y 1. f (x, y) x 3 y 4xy 2 3. 2. Jawab f x (x,y) = 3 x 2 y + 4 y 2 f y (x,y) = x 3 + 8 xy f (x, y) ycos(x 2 y 2 ) Jawab f x (x,y) = 2xy cos(x 2 + y 2 ) f y (x,y) = cos(x 2 +y 2 ) 2y 2 sin(x 2 +y 2 ) y f (x, y) lnsin t dt x Jawab f x (x,y)=0. ln(siny) 1. ln(sinx) f x (x,y) = ln(sinx) f y (x,y)=1. ln(siny) 0. ln(sinx) f y (x,y) = ln(siny) 34
Latihan Tentukan f x dan f y 1. f (x, y) x 3 cos(x y) y sin2xy 2. y f (x, y) x e cos t dt 3. f (x, y) x 3 cos(x y) y sin(2xy) Tentukan f x, f y dan f z 1. f (x, y, z) xy y 2 z 3xz 2. f (x, y, z) x cos(y z) 2xy 35
Turunan Parsial Kedua f 2 f f xx (x, y) x x x 2 f 2 f f yy (x, y) y y y 2 f xy (x, y) f y x 2 f y x f yx (x,y) f f 2 x y x y 36
Contoh Tentukan f xx, f yy,f xy, f yx 1. f(x,y)= x y 3 + y 3 x 2 Jawab f x (x,y) = y 3 + 2xy 3 f y (x,y) = 3xy 2 + 3x 2 y 2 f xx (x,y) =2y 3 f xy (x,y) = 3y 2 + 6xy 2 f yy (x,y) = 6xy + 6x 2 y f yx (x,y) = 3y 2 + 6xy 2 37
Contoh 2. f(x,y) = xy sin(x 2 +2xy+y 3 ) Jawab f x (x,y)= y sin(x 2 +2xy+y 3 )+ xy(2x+2y) cos(x 2 +2xy+y 3 ) f y (x,y) = x sin(x 2 +2xy+y 3 )+xy(2x+3y 2 ) cos(x 2 +2xy+y 3 ) f xx (x,y)=y(2x+2y)cos(x 2 +2xy+y 3 )+(4xy+2y 2 )cos(x 2 +2xy+y 3 ) xy(2x+2y) 2 sin(x 2 +2xy+y 3 ) f xy (x,y) = sin(x 2 +2xy+y 3 )+y(2x+3y 2 )cos(x 2 +2xy+y 3 ) +(2x 2 +4xy)cos(x 2 +2xy+y 3 ) xy(2x+2y)(2x+3y 2 )sin(x 2 +2xy+y 3 ) f yy (x,y)=(2x+3y 2 )sin(x 2 +2xy+y 3 )+(2x 2 +9xy 2 )sin(x 2 +2xy+y 3 ) xy(2x+3y 2 ) 2 sin(x 2 +2xy+y 3 ) f yx (x,y) =sin(x 2 +2xy+y 3 )+x(2x+2y)cos(x 2 +2xy+y 3 ) +(4xy+3y 3 )cos(x 2 +2xy+y 3 ) xy(2x+2y)(2x+3y 2 )sin(x 2 +2xy+y 3 ) 38
Latihan Tentukan f xx, f yy,f xy, f yx 1. f(x,y) = x cos(xy) + xy e x+y 2. f(x,y) = ln(x 2 + 2 xy + y 3 ) 3. f(x,y) = tan -1 (y 2 /x) 4. f(x,y) =ln(x 2 +2xy+y 2 ) 5. f(x,y) = (2x-y)/(xy) 39
Arti Geometri Turunan Parsial x z (a, b) s y Perpotongan bidang y = b dengan fungsi permukaan f(x,y) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x di titik (a,b) (fx(x,y)) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu x. 40
Arti Geometri Turunan Pertama (2) x s z (a, b) y Perpotongan bidang x = a dengan fungsi permukaan f(x,y) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap y di titik (a,b) (fy(x,y)) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu y. 41
Soal Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan 1.36 z= 4x 2 + 9y 2 dengan x = 3 di titik (3,2,2) Jawab: Turunan parsial terhadap y adalah f y(x, y) z 1 y y 2 Sehingga didapat f (3,2) z 1. Bilangan ini adalah y y menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (3,2,2)yaitu 1/1 (dx =0, dy=1, dz=1). Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (0,1,1) dan melalui titik (3,2,2), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah x = 3, y = 2 + t, z = 2 + t 42
Soal Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan 2. 2z = (9x 2 +9y 2-36) dengan bidang y=1 di titik (2, 1,(3/2)) Jawab: Turunan parsial 18x 9x f (x, y) z terhadap x adalah x x 4 9x 2 9y 2 36 2 9x 2 9y 2 36 Sehingga didapat f (2,1) z 3. Bilangan ini adalah x x menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (2,1,(3/2))yaitu 3/1 (dx =1, dy=0, dz=3). Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (1,0,3) dan melalui titik (2,1,(3/2)), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah x = 2+t, y = 1, z = 3/2 + 3 t 43
Latihan Cari kemiringan garis singgung dan persamaan garis singgung kurva perpotongan 1. 3z = (36-9x 2-4y 2 ) dengan bidang x = 1 di titik (1, 2, 11/3) 2. 4z =5 (16-x 2 ) dengan bidang y=3 di titik (2, 3, 5 3/2) 44
Vektor Gradien Misalkan fungsi z = f(x,y) terdefinisi di D R 2 Definisi Vektor gradien dari fungsi z = f(x,y) di (x,y) D, didefinisikan sebagai ˆi,ˆj r f (x, y) f x (x, y)ˆi f y (x, y)ˆj adalah vektor satuan di arah sumbu x,y positif Notasi lain: grad f(x,y), del f(x,y) Definisi Vektor gradien dari fungsi f(x,y,z) adalah x y z r f (x, y, z) f (x,y, z)ˆi f (x, y, z)ˆj f (x, y, z)kˆ ˆi, ˆj, kˆ adalah vektor satuan di arah sumbu x,y,z positif 45
Contoh Tentukan Jawab f x (x, y) e r f(x, y) xy 2 xy f y (x, y) x e xye dan r f ( 1, 1) xy Sehingga diperoleh: dari f (x, y) x e xy f x ( 1, 1) e e 2e f y ( 1, 1) e r r f (x, y) e x y xye xy ˆi x 2 e xyˆj f ( 1, 1) 2e ˆi e ˆj 46
Latihan I. Tentukan r f dari 1. f(x, y) 2 x y x y 2. f(x, y) ln x 2 y 2 3. f (x, y) sin3 x 2 y 4. f(x, y) xy ln(x y) 5. f (x, y, z) x 2 y e x z 6. f (x, y) x e 2y sec z II. Tentukan r f di titik yang diberikan 1. f (x, y) x 2 y xy 2 di P ( 2,3) 2. f (x, y) ln(x 3 xy 2 4y 3 ) di P ( 3, 3) 3. f (x, y) x 2 y di P (2, 1) 47
Aturan Rantai Misalkan x=x(t) dan y = y(t) terdeferensialkan di t dan z = f(x,y) terderensialkan di (x(t), y(t)) Maka z = f(x(t), y(t)) dapat dideferensialkan di t dan didefinisikan sebagai dz z x z y dt x t y t Misalkan x = x(s,t), y=y(s,t) dan z = f(x,y), maka i dz z x z y ds x s y s ii dz z x z y dt x t y t 48
Contoh 1. Misalkan w = x 2 y 3 dengan x = t 3 dan y = t 2, tentukan Jawab: dw dt dw w x w y dt x t y t = 2x y 3 (3t 2 )+3 x 2 y 2 (2t) = 2t 3 (t 2 ) 3 (3t 2 )+3 (t 3 ) 2 (t 2 ) 2 (2t) = 2t 3. t 6. 3t 2 +3 t 6.t 4. 2t = 6t 11 +6 t 11 = 12 t 11 49
Contoh 2. Misalkan z = 3x 2 y 2 dengan x = 2 s+7 t dan y = 5 s t, tentukan dz dz dan dt ds Jawab: dz z x z y dt x t y t = 6x. 7 + ( 2y) 5 s = 42 (2s +7t) 50 s 2 t dz z x z y ds x s y s = 6x. 2 + ( 2y) 5 t = 12 (2s +7t) 50 s t 2 50
Latihan dw 1. Tentukan (dalam t) dt a. w = x 2 y y 2 x ; x = cos t, y = sin t b. w = e x siny e y sin x ; x = 3t, y = 2t c. w = sin(xyz 2 ) ; x = t 3, y = t 2, z =t dw 2. Tentukan dt (dalam t dan s) a. w = x 2 y lnx ; x = s/t, y = s 2 t 2 2 b. w = e x y ; x = s sin t, y = t sin s 51
Turunan Berarah Andaikan f dapat didiferensialkan di (a, b), maka turunan berarah di (a, b) pada arah vektor satuan u u ˆi u ˆj 1 2 adalah hasilkali titik antara vektor gradien dengan vektor satuan tersebut. Dengan demikian dapat ditulis : D u f (p) f (p) u atau D u f(a, b) = f x (a, b)u 1 + f y (a, b)u 2 Perhatikan bahwa r r r r r D u f (p) f (p) u f (p) u cos f (p) cos Sehingga, Turunan berarah akan bernilai maksimum ( =0)jika u r f(p) r f(p) Sebaliknya akan minimum jika u r f (p) r f(p) 52
Contoh 1.Tentukan turunan berarah dari f(x,y) = 4x 3 y pada titik r P(2,1) dalam arah vektor a 4ˆi 3 ˆj Jawab: D r f uf (2,1) f x (2,1)u 1 y(2,1)u 2 Vektor u diperoleh r dengan menormalkan vektor a r u a r 4 ˆi 3ˆj 4 ˆi a 3 ˆj 5 5 5 f x (x,y)= 12 x 2 y f x (2, 1)= 12.2 2.1 =48 f y (x,y)= 4 x 3 f x (2, 1)= 4.2 3 =32 Sehingga D r uf (2,1) fx (2,1)u 1 f y (2,1)u 2 =48. (4/5) + 32. (3/5) = 288/5 53
Contoh 2. Tentukan turunan berarah dari f(x,y,z) = xy sinz pada r titik P(1,2, /2) dalam arah vektor a ˆi 2 ˆj 2 kˆ Jawab: (1,2, D r )u uf (1,2, ) fx 1 f y (1,2, ) u 2 2 2 2 f z (1,2, ) 2 u 3 Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a r r ˆi 2ˆj 2kˆ 1 2 2 u r î ĵ kˆ a 9 3 3 3 f x (x,y,z)= y sinz f x (1,2, /2)= 2 sin( /2) =2 f y (x,y,z)= x sinz f x (1,2, /2)= 1.sin( /2) =1 f z (x,y,z)= xy cosz f z (1,2, /2)= 1.2 cos( /2) =0 2/11/2010 54
Contoh (Lanjutan) Sehingga (1,2, D r )u uf (1,2, ) fx 1 f y (1,2, ) u 2 2 2 2 f z (1,2, ) u 3 2 =2. (1/3) + 1. (2/3) + 0. (2/3) = 4/3 55
Latihan 1. Tentukan turunan berarah fungsi f pada titik P yang diberikan dalam vektor a a. f(x,y) = y 2 lnx, P(1, 4), a = -3 i + 3 j b. f(x,y) = xe y ye x, P(0, 0), a = 5 i 2 j c. f(x,y) = e xy, P(1, 1), a = i + 3 j d. f(x,y) = x/(x+y), di P(1, 1) dalam arah ke titik Q(-1,-1) e. f(x,y) = xy+z 2, di P(1,1,1) dalam arah ke titik Q(5,-3,3) 2. Tentukan suatu vektor satuan u dalam arah mana f bertambah (dan berkurang)paling cepat di titik P dan berapa laju perubahan dalam arah ini a. f(x,y) = x 3 y 5, P(2, 1) d. f(x,y) = 1 x 2 y 2, P( 1,2) b. f(x,y) = e y sin x, P(5 /6,0) c. f(x,y) = 4x 3 y 2, P( 1,1) 56
Latihan (lanjutan) 3. Misal f (x, y) y x y.tentukan u sehingga D f (2,3) u r 0 r 4. Jika f (x 0, y 0 ) ˆi 2ˆj,Tentukan u sehingga Dr u f (x 0, y 0 ) 2 r 5. Diketahui D u r f (1, 2) 5 jika u 3 ˆ i 4 ˆ j dan 5 5 r D 4 v r f (1,2) 10 jika v ˆ i 3 ˆ j 5 5 a. Tentukan f x (1,2) dan f y (1,2) b. Tentukan turunan berarah f di (1,2) dalam arah ke (0,0) 57
Bidang Singgung Definisi: Misalkan suatu permukaan S mempunyai persamaan F(x,y,z) = k. Maka bidang singgung dari S pada titik P o (a,b,c) adalah r sebuah bidang yang melalui P o dan tegak lurus pada f (a, b,c) Teorema: Untuk permukaan F(x, y, z) = k, persamaan bidang singgung di titik (a, b, c) adalah : F x (a,b,c) (x a) + F y (a,b,c) (y b) + F z (a,b,c) (z c) = 0 Jika permukaan z = f(x, y) maka persamaan bidang singgung di (a, b, f(a, b)) adalah : z f(a,b) = f x (a,b) (x a) + f y (a,b) (y b) 58
Contoh 1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal permukaan x 2 + y 2 + 2z 2 = 23 di titik (1, 2, 3) Jawab: Misalkan F(x,y,z) = x 2 + y 2 + 2z 2 r f(x, y, z) 2x ˆi 2y ˆj 4z kˆ f(1,2,3) 2ˆi 4 ˆj 12 kˆ Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah 2(x 1) + 4(y - 2) + 12 (z 3) = 0 2x + 4y + 12 z = 46 59
Contoh (Lanjutan) Jadi persamaan parameter garis normal adalah x = 1+2t, y = 2 + 4t, z = 3 + 12 t Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal x 1 y 2 z 3 2 4 12 60
Contoh 2. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal permukaan z = f(x,y)=x 2 +2xy-3xy 2 +2 di titik (1, 2, -5) Jawab: f x (x,y) 2x 2y 3y f y (x, y) 2x 6xy 2 Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, -5) adalah (z + 5) = 6(x 1) 10(y 2) 6x + 10y + z = 21 f x (1,2) 2 4 12 6 f y (1,2) 2 12 10 61
Contoh Jadi persamaan parameter garis normal adalah x = 1+6t, y = 2 + 10t, z = 5 + t Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal x 1 y 2 z 5 6 10 1 62
Latihan 1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal permukaan a. x 2 + y 2 3z = 2 di titik (-1, -4, 6) b. y = e x cos z di titik (1, e, 0) c. x 1/2 + y 1/2 + z 1/2 = 4 di titik (4, 1, 1) d. z= 2e 3y cos 2x di titik ( /3, 0, -1) 2. Tentukan semua titik pada permukaan z=x 2 2xy y 2 8x+4y dimana bidang singgungnya mendatar (sejajar bidang XY) 3. Perlihatkan bahwa permukaan x 2 +4y+z 2 =0 dan x 2 +y 2 +z 2 6z+7 =0 saling menyinggung di titik (0, -1,2). yaitu perlihatkan bidang singgungnya sama 4. Tentukan sebuah titik pada permukaan x 2 +2y 2 +3z 2 =12 di mana bidang singgungnya tegak lurus garis dengan persamaan parameter: x=1+2t, y=3+8t, z=2 6t 63
Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah Definisi Misalkan (x 0,y 0 ) D f, maka f(x 0,y 0 ) adalah nilai maksimum global dari f pada D f, jika f(x 0,y 0 ) f(x,y), (x,y) D f f(x 0,y 0 ) adalah nilai minimum global dari f pada D f, jika f(x 0,y 0 ) f(x,y), (x,y) D f f(x 0,y 0 ) adalah nilai ekstrim global dari f pada D f, jika ia merupakan nilai maksimum global atau nilai minimum global. Definisi yang sama berlaku dengan kata global diganti dengan lokal, pada (i) dan (ii), kita hanya memerlukan bahwa pertidaksamaan berlaku pada N S, dengan N suatu daerah di sekitar (x 0, y 0 ). 64
Titik di mana kemungkinan terjadinya nilai ekstrim disebut titik kritis Titik Kritis ada 3 (tiga), yaitu Titik-titik batas D f Titik Stasioner Titik Singular 65
Uji Nilai Ekstrim Untuk menguji apakah di titik kritis terjadi nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, yaitu: Misalkan f(x,y) mempunyai rturunan parsial kedua yang kontinu di sekitar (x 0,y 0 ), f (x 0, y 0 ) 0 dan maka D D(x 0, y 0 ) f xx (x 0, y 0 ).f yy (x 0, y 0 ) f xy (x 0, y 0 ) 2 1. f(x 0,y 0 ) nilai maksimum lokal jika D>0 dan f xx (x 0, y 0 ) 0 2. f(x 0,y 0 ) nilai minimum lokal jika D>0 dan 3. f(x 0,y 0 ) titik pelana jika D<0 4. Jika D=0, tidak dapat ditarik kesimpulan f xx (x 0, y 0 ) 0 66
Contoh 1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, dari Jawab f x (x,y) = 8x 3 2x f xx (x,y) = 24x 2 2 f xy (x,y) = 0 f(x,y) = 2x 4 x 2 +3y 2 f y (x,y) = 6y f yy (x,y) = 6 Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan f x (x,y) = 0 dan f y (x,y)=0, yaitu 8x 3 2x=0 6y =0 y = 0 2x (4x 2 1)=0 x=0, x =± ½ Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0), (½, 0) dan (-½,0) 67
Contoh (lanjutan) Mengenai jenis titik kritisnya, bisa dilihat pada tabel berikut: f xx f yy f xy D Keterangan (0,0) 2 6 0 12 Titik pelana (½, 0) 4 6 0 24 Titik Minimum (-½, 0) 4 6 0 24 Titik Minimum Jadi nilai minimum lokal = -1/8 dicapai pada (½,0) dan (-½,0), sedangkan (0,0) merupakan titik pelana. 68
Contoh 2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari f(x,y) =x 2 y 2 +1 pada S={(x,y) x 2 + y 2 1} Jawab f x (x,y) = 2x f xx (x,y) = 2 f y (x,y) = 2y f yy (x,y) = 2 f xy (x,y) = 0 Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan f x (x,y) = 0 dan f y (x,y)=0, yaitu didapat (0,0) Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0)( terletak di dalam S), sedangkan jenisnya titik pelana (nilai D < 0) Untuk titik-titik batasnya, misalkan x=cos t dan y=sint (karena S adalah lingkaran satuan), sehingga didapat f(t)=cos 2 t sin 2 t+1 (untuk mencari maks/min dari f(x,y) pada S) 69
Contoh (lanjutan) Untuk mendapatkan nilai maksimun dan minimun f pada S, turunkan f, yaitu: f (t)= 2 cos t sint 2 sint cost = 0 4 cos t sint= 0 sin2t= 0 2t= 0,, 2, 3 t= 0, /2,, 3 /2 Untuk t = 0 x = 1, y = 0 f(1, 0) = 2 Untuk t = /2 x = 0, y = 1 f(0, 1) = 0 Untuk t = x = -1, y = 0 f(-1, 0) = 2 Untuk t = 3 /2 x = 0, y = -1 f(0, -1) = 0 Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0), Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1) 70
Latihan 1. Tentukan titik ekstrim dan jenisnya, dari a. f(x,y) = x 3 +y 3-6xy e. f(x, y) xy 2 4 x y b. f(x,y) = xy 2 6 x 2 6y 2 2 2 (x y 4y ) f. f(x, y) e c. f(x,y) = x 2 +4 y 2 2x+8y 1 d. f(x,y) = 3x 3 +y 2 9x + 4y 2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari a. f(x,y) =x 2 6x+y 2 8y+7 pada S={(x,y) x 2 + y 2 1} b. f(x,y) =3x+4y pada S={(x,y) 0 x 1, 1 y 1} 71
Metode Lagrange g (x, y) = 0 Untuk mencari nilai ektrim terkendala Misalkan z =f(x,y) dengan kendala g(x,y) = 0. Akan dicari ektrim f terhadap kendala (batas) g. Perhatikan kurva ketinggian dari suatu fungsi f (x,y) = 9 x 2 y 2 berikut : Untuk memaksimumkan f thd kendala g(x,y) =0 sama dengan mencari perpotongan kurva ketinggian f (x, y) = k dengan fungsi kendala g (x, y) = 0 sehingga diperoleh k f (x, y) untuk setiap x, y D f sepanjang g (x, y) = 0 Karena kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung garis r tegak lurusnya sama karena kurva ketinggian f dan kurva kendala r r maka f (x, y) g(x, y) 72
Metode Lagrange Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x 0,y 0 ) terhadap kendala g(x 0,y 0 )=0, selesaikan r r f (x 0, y 0 ) g(x 0, y 0 ) dan g(x 0, y 0 ) 0 dengan (x 0,y 0 ) titik kritis, pengali lagrange Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x 0,y 0 ) terhadap kendala g(x 0,y 0 )=0 dan h(x 0,y 0 )=0, selesaikan r r r f (x 0, y 0 ) g(x 0, y 0 ) h(x 0, y 0 ), g(x 0,y 0 )=0, h(x 0,y 0 )=0 dengan (x 0,y 0 ) titik kritis, pengali lagrange 73
Contoh Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari 1. f(x,y)= x 2 y 2 + 1 pada lingkaran x 2 +y 2 =1 Jawab: r r g(x, y) 2x ˆi 2y ˆj f (x, y) 2x ˆi 2y ˆj Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan lagrange berikut r r f (x, y) g(x, y) yaitu: 2x = 2x.(1) 2y = 2y.(2) x 2 +y 2 = 1..(3) dan g(x, y) 0 74
Contoh (lanjutan) Dari persamaan (3), nilai x dan y tidak mungkin samasama nol, sehingga Untuk x 0, dari (1) di dapat = 1, kemudian dari (2) di dapat y = 0, dan dari (3) di dapat x 2 =1 x = ± 1 Untuk y 0, dari (2) di dapat = -1, kemudian dari (1) di dapat x = 0, dan dari (3) di dapat y 2 =1 y = ± 1 Titik-titik kritis yaitu (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1) Untuk (1,0) f(1, 0) = 2, untuk (-1,0) f(-1, 0) = 2 Untuk (0,1) f(0, 1) = 0, untuk (0,-1) f(0,-1) = 0 Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0), Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1) 2/11/2010 75
Contoh 2. f(x,y,z)= x + 2y+3z pada elips yang merupakan perpotongan x 2 +y 2 =2 dan bidang y + z = 1 Jawab: r r r f (x, y) ˆi 2 ˆj 3 kˆ g(x, y) 2x ˆi 2y ˆj h(x, y) ˆj kˆ Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan lagrange berikut r r r f (x, y, z) g(x, y, z) h(x,y, z), g(x, y, z) 0 dan h(x, y,z) 0 yaitu: 1 = 2 x (1) 2 = 2 y +.(2) 3 =.(3) x 2 +y 2 = 2...(4) y + z = 1....(5) 76
Contoh (lanjutan) Dari (1), x = 1/(2 ), dari (2) dan (3), y = -1/(2 ). Jadi dari (4), didapat = ± ½. Untuk = ½, didapatkan titik kritis (1, -1, 2). Untuk = -½, didapatkan titik kritis (-1, 1, 0). Jadi nilai maksimum = 5 pada titik (1,-1,2), Sedangkan nilai minimun global=1 pada titik (-1,1,0) 2/11/2010 77
Latihan Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun atau minimun dari 1.f(x,y) = x 2 + y 2 pada kendala g(x,y)= xy 3 = 0 2.f(x,y) = xy pada lingkaran x 2 + y 2 = 1 3.f(x,y) = 4x 2 4xy+ y 2 pada kendala x 2 +y 2 = 1 4.f(x,y,z) = x 2 +y 2 +z 2 pada kendala x + 3y 2z = 12 78