Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. Institut Sains dan Teknologi AKPRIND Yogyakarta

Transkripsi

1 Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. Institut Sains dan Teknologi AKPRIND Yogyakarta 1

2 RELASI Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. 2

3 RELASI Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B. Relasi dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus. 3

4 CONTOH SOAL Jika himpunan A = {Tias, Jamal, Farid, Dika} dan himpunan B = {voli, basket, tenis}. Maka nyatakan relasi gemar bermain dari himpunan A ke himpunan B. Diketahui himpunan P = {2,3,4,5,6}, dan Q = {1,2,3,4,5,6}. Bentuklah relasi anggota himpunan P faktor dari anggota himpunan Q! 4

5 DIAGRAM PANAH Cara membuat diagram panah: Buatlah 2 lingkaran atau ellips. Jika xa, dan yb, maka letakkan x pada ellips A, dan y pada ellips B. x dan y dihubungkan dengan anak panah Arah anak panah menunjukkan arah relasi, dan mewakili aturan relasi 5

6 DIAGRAM CARTESIUS Pada diagram kartesius, diperlukan 2 sumbu: sumbu absis (sumbu horizontal) dan sumbu ordinat (sumbu vertikal). Jika x A, dan y B, maka letakkan x pada sumbu absis, dan y pada sumbu ordinat. 6

7 HIMPUNAN PASANGAN BERURUTAN Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan. S = {(Tias, Voli), (Jamal, Voli), (Jamal, Basket), (Farid, Voli), (Farid, Basket), (Farid, Tenis), (Dika, Tenis)} R = {(2,2), (2,4), (3,3), (3,6), (4,4), (5,5), (6,6)} 7

8 MENGGUNAKAN RUMUS Pernyataan relasi menggunakan rumus ini hanya digunakan ketika relasinya dapat dinyatakan dalam bentuk matematis. Contoh: f(x) = x + 1, di mana x = {0, 1, 2, 5} dan f(x) = {1, 2, 3, 4, 6} 8

9 Pertanyaan?? 9

10 FUNGSI Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. 10

11 FUNGSI Relasi fungsional = fungsi = pemetaan (mapping) memasangkan setiap anggota himpunan asal dengan tepat satu anggota himpunan tujuan. Himpunan asal = daerah asal (domain) Himpunan tujuan = daerah kawan (kodomain) Anggota himpuan tujuan yang merupakan pasangan = daerah hasil (range). 11

12 ILUSTRASI FUNGSI A B Fungsi Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang mempunyai 2 kawan. Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang tidak mempunyai kawan.

13 FUNGSI Untuk memberi nama suatu fungsi dipakai sebuah huruf kecil tunggal seperti f, g, dan huruf lainnya. Contoh: f(x), g(y) dan lain-lain. Misalkan : f(x) = x + 2, jika x = 3, maka f(3) = = 5 (nilai x-nya disubstitusikan). Misalkan: g(y) = y + 5y, jika y = 14, maka g(14) = *14 = 84 (nilai y-nya disubstitusikan). 13

14 CONTOH SOAL Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2}. Jika fungsi f : A B ditentukan dengan rumus fungsi f(x) = 6 3x. Nyatakan dalam diagram panah, diagram cartesius, dan pasangan berurutan 14

15 PENYELESAIAN Penyelesaian : f(1) = 6 3 (1) = 6 3= 3 f(2) = 6 3(2) = 6 6 = 0 f(3) = 6 3(3) = 6 9 = -3 Himpunan pasangan berurutan: F = {(1, 3), (2, 0), (3, -3)} 15

16 DIAGRAM PANAH 16

17 DIAGRAM CARTESIUS 17

18 LATIHAN SOAL 1 Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Suatu fungsi f: A B ditentukan oleh f(x) = 2x-1. a. Gambarlah fungsi f dengan diagram panah. b. Tentukan range fungsi f. c. Gambarlah grafik fungsi f. 18

19 LATIHAN SOAL 2 19

20 LATIHAN SOAL 3 20

21 LATIHAN SOAL 4 Mana dari himpunan A, B dan C berikut ini yang merupakan fungsi? A = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7), (5, 8)} B ={(1, 6), (1, 7), (2, 8), (3, 9), (4, 10)} C ={(2, 5), (3, 6), (4, 7)} 21

22 LATIHAN SOAL 5 22

23 SIFAT FUNGSI Fungsi f: A B disebut fungsi ONTO (SURJEKTIF), jika semua kodomain yang ada berpasangan dengan domain (semua kodomain terpakai, kodomain = range). Fungsi f: A B disebut fungsi INJEKTIF, jika setiap kodomain berpasangan tepat satu dengan domain (setiap domain memiliki kodomain yang berbeda). Fungsi f: A B disebut fungsi BIJEKTIF, jika sebuah fungsi bersifat injektif sekaligus surjektif (korespondensi satu-satu). Maka jumlah anggota himpunan harus sama n(a) = n(b). 23

24 ILUSTRASI SIFAT SURJEKTIF Fungsi f: A B disebut fungsi kepada atau ONTO atau SURJEKTIF, jika semua kodomain yang ada berpasangan dengan domain (semua kodomain terpakai, kodomain = range). A B A B kepada tidak kepada 24

25 ILUSTRASI SIFAT INJEKTIF Fungsi f: A B disebut fungsi satu-satu atau INJEKTIF, jika setiap kodomain berpasangan tepat satu dengan domain (setiap domain memiliki range yang berbeda). A B A B satu-satu tidak satu-satu

26 ILUSTRASI SIFAT BIJEKTIF Fungsi f: A B disebut fungsi BIJEKTIF, jika sebuah fungsi bersifat injektif sekaligus surjektif (korespondensi satu-satu). Maka jumlah anggota himpunan harus sama n(a) = n(b). A B

27 INVERS FUNGSI Misalkan f : A B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi yang mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu elemen pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan f -1 dimana f -1 : B A. y = f(x) x = f -1 (y) Fungsi yang memiliki invers disebut invertible. f(a) f -1 (b)=a A f -1 (b) b=f(a) B

28 INVERS FUNGSI Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut. Buatlah permisalan f(x) = y pada persamaan. Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalam y dan nyatakanlah x = f(y). Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = f 1 (x).

29 CONTOH 1: Carilah invers dari fungsi f(x) = 2x 1. PENYELESAIAN 1: CONTOH PENYELESAIAN 2: Operasi pada x untuk fungsi f(x) = 2x 1 adalah: i) dikalikan 2, ii) dikurangi 1. Maka kerjakan kebalikan operasi beserta urutannya, sehingga menjadi: i) ditambah 1, ii) dibagi 2 f -1 (x) = (x + 1) / 2

30 LATIHAN SOAL 1. Diketahui f(x) = - (2 3x) / 2, maka f -1 (x) sama dengan 2. Diketahui f(x) = (7x + 5) / (3x - 4), maka f -1 (x) sama dengan 3. Diketahui f(x) = (x 1) / (2 x), maka f -1 (x) sama dengan 4. Diketahui f(x) = (4x + 5) / (x + 3), maka f -1 (x) sama dengan 5. Diketahui f(x) = - (2 3x), maka f -1 (x) sama dengan

31 JENIS FUNGSI Fungsi Konstan Suatu fungsi f : A B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan. Apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan.

32 JENIS FUNGSI Fungsi Identitas Fungsi Identitas adalah suatu fungsi f yang dinyatakan dalam rumus f(x) = x. Fungsi identitas sering dinyatakan dengan lambang I sehingga I(x) = x.

33 JENIS FUNGSI Fungsi Modulus Atau Fungsi Harga Mutlak Fungsi modulus adalah fungsi f yang memuat bentuk nilai mutlak.

34 FUNGSI POLINOMIAL Fungsi polinomial adalah fungsi yang mengandung banyak suku dalam variabel bebasnya, dan bentuk umumnya adalah Y = a 0 + a 1 X + a 2 X a n X n Bentuk umum fungsi polinomial tersebut mencerminkan fungsi linier (berhenti pada variabel bebas X berpangkat satu), selanjutnya disebut fungsi non-linier yang terdiri dari fungsi kuadrat (berhenti pada variabel bebas X berpangkat dua), fungsi kubik (berhenti pada variabel bebas X berpangkat tiga), dan seterusnya.

35 TERIMA KASIH & SELAMAT BELAJAR 35