APLIKASI MATEMATIKA NUMERIK UNTUK MENGHITUNG INTERNAL RATE OF RETURN DAN YIELD TO MATURITY OBLIGASI

Transkripsi

1 EKUITAS ISSN Akredtas No.55a/DIKTI/Kep/2006 APLIKASI MATEMATIKA NUMERIK UNTUK MENGHITUNG INTERNAL RATE OF RETURN DAN YIELD TO MATURITY OBLIGASI Yudha Herlambang Fakultas Teknk Unverstas Trunojoyo Madura ABSTRACT Ths paper wll present the applcaton of numercal mathematc and dscuss the alternatve method to calculate and solve the problem about the value of Internal Rate Return (IRR) and desred returned rate by oblgaton nvestor. As we know there are several methods to solve the calculaton about IRR,such as Interpolaton Method by usng the fnancal table and Tral and Error Method by usng IRR Functon n Ecel Software; but the most popular s Newton Raphson Method. In ths method, the numercal case must be transferred nto the NPV equaton or oblgaton equaton, and be created to the polynomal equaton n term of f() untl the error s mnmum. Ths method gves the same result f t s compared wth several methods mentoned above for the same case. There s only appromaton of 4 dgts n decmals for the result. By usng ths method, there are stll any dfferences of calculaton result, but t s not sgnfcant. Ths numercal approach can be mplemented to solve the value of desred nterest rate from the oblgaton by usng the same calculaton step and algorthm. Key words: Internal Rate Return, nterpolaton method numercal mathematc, Newton Raphson Method, NPV equaton, polynomal equaton, nteracton, oblgaton, appromaton. PENDAHULUAN Sebagamana telah kta ketahu bersama bahwa dalam duna nvestas dan portofolo tak lepas dar adanya resko yang harus dhadap nvestor. Dan phak yang akan bernvestas past akan berupaya untuk lebh memnmalsr resko tersebut dengan berbaga analsa. Termasuk dalam analsa n msalkan ruang lngkup kelayakan proyek. Dalam analsa kelayakan proyek n perlu dpertmbangkan unsur-unsur Tme Value of Money sehngga berhubungan dengan Dscount Factor. Hal n melbatkan parameter yang lan, msalkan Net Cash Flow yang dharapkan atau dperkrakan dapat dterma selama tahun-tahun umur project yang danalsa, besarnya nvestas awal, lama umur proyek tu sendr dan tngkat bunga (tngkat pengembalan yang dpersyaratkan nvestor). Dalam lngkup analsa atau evaluas proyek, maka nvestor berupaya agar terhndar dar resko yang Menghtung Internal Rate Of Return dan Yeld To Maturty Oblgas (Yudha Herlambang) 497

2 dakbatkan kesalahan dalam pengamblan keputusan bernvestas. Salah satu metode yang dgunakan alah analsa Net Present Value (NPV). Dalam hal NPV postf atau tngkat Net Cash Flow dar tahun ke tahun selama umur proyek dengan mempertmbangkan faktor konsep nla waktu uang atau Tme Value of Money, adalah besarnya melebh Investas Awal Proyek, maka proyek tersebut layak dpertmbangkan untuk dterma. Namun hal n belum cukup, mash dperlukan parameter-parameter pengukuran kelayakan yang lan sebaga tambahan. Hal n juga berlaku sebalknya apabla Nla NPV negatf, maka project yang dusulkan adalah tdak atau kurang layak untuk djalankan. Sedangkan nvestor juga setdaknya perlu untuk memperhatkan tngkat Internal Rate Return (IRR) dar project tersebut. Karena IRR tak lan merupakan tngkat dskonto (bunga) atau tngkat pengembalan yang dpersyaratkan nvestor, d mana pada konds IRR dcapa tersebut nla Net Present Value adalah nol. Atau dengan kata lan IRR merupakan konds pada saat Investas Awal sama dengan jumlah Net Cash Flow dar seluruh umur proyek dengan memperhatkan Konsep Nla waktu uang. Namun serngkal djumpa bahwa perhtungan mencar nla IRR tak selalu mudah, dalam beberapa kasus harus menggunakan cara coba-coba atau tral and error. Pada metode yang telah dsebutkan tad acapkal kta harus menggunakan nla estmas IRR, artnya nla pendekatan atau nla perkraan d antara dua IRR. Pada tulsan n penuls memperkenalkan pemakaan Matematka Numerk terutama Metode Newton Raphson untuk mencar nla eksak IRR dengan tngkat kepresssan tertentu sesua kehendak pengguna. Namun demkan terdapat keterbatasan dalam penggunaan metode n. Untuk mengantspas keterbatasan tersebut maka Metode Newton Raphson dterjemahkan dalam bentuk algortma pemrograman komputer pada umur proyek khususnya d atas 5 tahun. Adapun keterkatannya dengan bdang akuntans, yatu phak nvestor dapat menggunakan nla IRR atau NPV sebaga salah satu tolok ukur dalam pengamblan keputusan nvestas atau portofolo d sampng juga melakukan analsa atau pemahaman atas Laporan Keuangan Perusahaan. Dan salah atau betulnya keputusan dalam bernvestas juga akan berpengaruh secara langsung maupun tdak langsung pada tngkat kelangsungan hdup perusahaan (gong concern), terutama sekal pada phak nvestor yang sangat berkepentngan terhadap return atau tngkat pengembalan yang dharapkan sebaga mbalan atas nvestas yang dlakukannya tersebut, dalam hal n msalkan devden atas saham, bunga coupon atas oblgas atau bentuk return yang lannya. MANFAAT DAN TUJUAN Pemkran konseptual n bertujuan untuk mengenalkan metode perhtungan teras Newton Raphson dalam ranah lmu Matematka Numerk dalam aplkasnya untuk melakukan perhtungan dalam mencar nla Internal Rate Return (IRR) sebaga cara 498 Ekutas Vol. 2 No. 4 Desember 2008:

3 alternatf d sampng Methode Interpolas atau menggunakan fungs IRR dalam paket program Ecell, sedangkan manfaat metode n antara lan sebaga cara alternatf tanpa menggunakan tabel keuangan dan apabla tak terdapat software. Pencaran nla IRR sendr adalah untuk membantu kalangan pengguna atau nvestor pada saat tngkat nterest berapa pada konds d mana jumlah yang dnvestaskan akan sama dengan Net Cash Flow yang dperkrakan akan dterma selama usa proyek tersebut berjalan. LANDASAN TEORI Dscountng Model (Sartono, 2005; Mowen, 2303) secara eksplst memperhtungkan Tme Value of Money pada suatu korporas dan memasukkan unsur-unsur konsep dscountng kas masuk dan kas keluar. Teknk nla sekarang bersh atau yang terkenal dengan sebutan teknk NPV mengandalkan pada teknk arus kas yang ddskontokan/dcar present valuenya. Proses mengmplementaskan teknk NPV sebaga berkut:. Menentukan nla sekarang dar setap arus kas, termasuk arus kas masuk dan arus kas keluar, kemudan dhtung Net Cash Flownya (Selsh Cash In dan Cash Out) yang ddskontokan pada baya modal proyek. 2. Menjumlahkan semua arus kas yang ddskontokan n. Hasl penjumlahan n ddefnskan sebaga NPV (Net Present Value) Bla NPV Postf, proyek dapat dterma untuk dlaksanakan. Bla NPV negatf, proyek dpertmbangkan untuk dtolak. Hal n dtentukan dengan mendskontokan arus kas yang dharapkan (epected cash flow) dengan Internal Rate of Return, sehngga secara defntf IRR merupakan tngkat bunga yang membuat nla bersh seluruh arus kas saat n (Net Present Value) atau NPV sebesar nol. IRR ddefnskan sebaga nla (tngkat) nterest yang membuat nla Present Value Project Cash Inflows bernla sama dengan Present Value dar Baya Proyek (Project Costs) (Mowen, 2003). Nla untuk mengeset nla IRR agar NPV bernla nol n adalah dengan cara cobacoba/tral-error. Jad IRR tak lan merupakan tngkat nterest pada saat NPV Projects bernla nol. Pada dasarnya IRR merupakan hasl/return yang akan dperoleh perusahaan bla mereka melakukan ekspans atau bernvestas d dalam perusahaan tu sendr. Jad IRR merupakan alat untuk mengukur tngkat pengembalan hasl ntern. Adapun formulas matemats perhtungan NPV sebaga berkut: NNet. Cash. Flow NPV ( t ) I t 0 ( k ) t Menghtung Internal Rate Of Return dan Yeld To Maturty Oblgas (Yudha Herlambang) 499

4 PENILAIAN OBLIGASI Oblgas secara sederhana merupakan surat janj kesanggupan untuk membayar (promssory notes) jangka panjang, yang dkeluarkan oleh s pemnjam dengan janj kepada s pemegangnya dengan pembayaran suatu nla bunga setap tahun yang telah dtentukan sebelumnya (Sartono, 2005). Basanya tngkat bunga oblgas merupakan perkalan antara coupon rate dengan par value (nla par) oblgas yang dmaksudkan. Sehubungan dengan tu,maka nla aset dpengaruh oleh tga elemen, yatu:. Besar serta waktu penermaan atas arus kas asset yang dharapkan. 2. Resko dar arus kas tersebut. 3. Tngkat pengembalan mnmum nvestor (k) untuk memlh suatu oblgas. Dua faktor pertama merupakan karakterstk asset, adapun yang ketga merupakan tngkat pengembalan yang dngnkan yang tak lan adalah tngkat pengembalan mnmum yang dperlukan untuk menark daya mnat nvestor agar membel atau memegang suatu sekurtas. Tngkat pengembalan n (returned rate) atau nla k n haruslah cukup tngg untuk memberkan kompensas kepada nvestor terhadap resko yang ada pada arus kas asset d masa mendatang. Dengan demkan, maka penlaan dasar sebuah sekurtas dapat ddefnskan secara matemats pada persamaan d bawah: N20 C 2C3 Cn Vb... t 2 3 N k)( k)( k)( k)( k )( t D mana: Ct arus kas yang akan dterma pada waktu t V = nla ntrnsk atau nla kn dar sebuah asset yang menghaslkann arus kas d masa mendatang, C t pada tahun ke- hngga tahun ke-n. k = tngkat pengembalan yang dngnkan nvestor. n = jumlah tahun dengan arus kas akan dterma. METODE NEWTON-RAPHSON Metode n palng banyak dgunakan dalam mencar akar akar dar suatu persamaan khususnya bentuk persamaan polnomal (Trhatmodjo, 2002). Bla perkraan awal dar akar adalah, suatu gars snggung dapat dbuat dar ttk (, f ( )).Ttk d mana gars snggung tersebut memotong sumbu basanya memberkan perkraan yang lebh dekat dar nla akar. Sepert yang dtunjukkan pada gambar 2 d bawah, turunan pertama pada ttk adalah ekwvalent dengan tngkat kemrngan. Metode yang lebh bak dalam memlh g'() adalah dengan membuat gars snggung dar f() untuk nla yang dplh, 500 Ekutas Vol. 2 No. 4 Desember 2008:

5 dan dengan menggunakan besaran dar perpotongan gars snggung terhadap abss sehngga dperoleh nla baru. Gambar berkut n merupakan penjelasan secara grafs prosedur metode Newton Raphson. Metode Newton Raphson n merupakan salah satu cara yang palng dkenal dalam metode penyelesaan fungs f() = 0, sedangkan gambar 2 d bawah menggambarkan alur logka metode Newton Raphson, dalam bentuk flowchart. Secara matemats penurunan formulas pada metode Newton Raphson dapat drumus sebaga berkut: f ( ) 0 f( ) f '( ) atau f'( ) Adapun prosedur (herark) atau algortma program untuk metode Newton Raphson ( raphson/htmlcgso.2008; rate return/htmlcgso.2008). Tentukan Xo, tolerans, dan jumlah teras maksmum. 2. Htung Xbaru = - f'( 0 )/f(x 0 ). 3. Jka nla mutlak (X baru - X 0 ) < tolerans, dperoleh tulsan baru sebaga hasl perhtungan; 4. Jka tdak, lanjutkan ke langkah berkutnya. 5. Jka jumlah teras > teras maksmum, akhr program. Gambar Logka pemkran metode newton-raphson dgambarkan secara grafs Menghtung Internal Rate Of Return dan Yeld To Maturty Oblgas (Yudha Herlambang) 50

6 Plh secara acak Nla Awal, basanya nol Htung f() dan f () Apa f() mendekat nol S e l e s a n n Gambar 2 Prosedur Algortme (Alur logka) Metode Newton Raphson PEMBAHASAN KASUS DALAM BENTUK PERHITUNGAN MATEMATIS Pada pemkran konseptual n penuls mengambl contoh kasus suatu contoh persoalan dalam mencar nla IRR (Internal Rate Return) untuk berbaga umur project yang akan dtnjau. Mula dar umur proyek 2 tahun hngga umur proyek 5 tahun. Untuk umur proyek 2 tahun, penuls tdak merasa perlu mencar nla IRR dengan pendekatan Numerk Metode Newton Raphson. Cukup duj valdtas dengan menggunakan software Ecell dan formulas abc.kemudan haslnya dbandngkan. Kemudan untuk contoh persoalan mencar nla IRR yang melbatkan usa project antara 3 hngga 5 tahun dlakukan pencaran dugaan nla IRR dengan pendekatan metode Newton Raphson yang dbandngkan haslnya dengan software Ecell memaka fungs IRR serta software Matlab memaka fungs Roots. Pada umur project d atas N=5 tahun, pencaran nla IRR cukup sult dlakukan, sehngga perlu bantuan metode Newton Raphson yang telah dprogramkan dalam bentuk software dalam bahasa pemrograman komputer apapun. Dalam hal n penuls menggunakan 502 Ekutas Vol. 2 No. 4 Desember 2008:

7 bahasa pemrograman Delph (Stem operas Wndows) dan Fortran (Sstem Operas DOS).. Untuk umur project N=2 tahun ( Net Cash Flow sama ) Pertama dberkan contoh yang sederhana sekal, yatu untuk mencar nla Internal Rate Return untuk selama jangka waktu N=2 tahun, yatu pada kasus berkut: Investas Awal = Rp 00 juta, Net Cash Flow tahun pertama =Rp 25 juta, dan tahun kedua memperoleh Net Cash Flow = Rp 50 juta. Sehngga dbentuk persamaan matemats untuk mencar nla IRR sebaga berkut: NNet. Cash. Flow NPV Io t, 2 t ( r %) NPV ( r %) ( r %) 50 Mencar r% saat IRR, berart NPV = 0, sehngga ( r %) ( r %) Dalam memecahkan r% n, kta tdak perlu menggunakan Perhtungan Matematka Numerk, namun cukup hanya formulas abc, dengan menyusun persamaan tersebut mejad bentuk apolnomal, sebaga berkut: ( terlebh dahulu dpermsalkan = r% untuk mempermudah penulsan ekspress matemats nantnya ) , dsederhanakan dan dkumpulkan dalam ruas menjad: , Persamaan n dselesakan dengan rumus abc, yatu: bb 2 4ac ( )7).( 32 3 %00 2 )4(2 8 8 atau a dengan cara faktorsas: (4 + 7)( ) = 0, = -7/4 dan = ( dpaka ). Persamaan d atas dpecahkan nla -nya dan dperoleh = = 00%, sehngga dperoleh nla IRR = 00 % untuk kasus pertama n. Apabla dadakan pengujan pada persamaan pertama, nla IRR n akan memenuh persamaan yang dmaksud ( Terbukt ) (00 %) (00 %) Apabla dpergunakan software Ecell dan Matlab sebaga pembandng haslnya, maka dperoleh nla IRR yang sama, yatu: =,00 atau 00%. 2. Kasus umur project yang kedua, N = 2 tahun juga (Net Cash Flow tak sama) Investas Awal = Rp 70 juta, Net Cash Flow tahun pertama =Rp 80 juta, dan tahun kedua memperoleh Net Cash Flow = Rp 40 juta. Sehngga dbentuk persamaan matemats untuk mencar nla IRR sebaga berkut: NNet. Cash. Flow NPV Io atau : t 2 t ( r %) NPV ( r %) ( r %) Sepert halnya pembahasan no d atas, persamaan d atas dapat dselesakan menggunakan rumus abc yang telah dkenal d duna artmatka, dperoleh: = 0,59 atau Menghtung Internal Rate Of Return dan Yeld To Maturty Oblgas (Yudha Herlambang) 503

8 IRR = 5,9% atau 52%. Perhtungannya adalah sebaga berkut: NPV ( r %) r 2 ( %) Dengan manpulas matemats, akan dperoleh bentuk polnomal sebaga berkut: ( ) , persamaan n djadkan satu ruas sebaga berkut: , atau Sehngga persamaan n dselesakan dengan menggunakan formula abc sebaga berkut: b 2 4ac ( )5).( ,3 3,7, )7(2 4 4 a dengan kata lan, = 0,59, sehngga IRR = 5,9 % atau 52 %. Apabla dlakukan pengujan valdtas perhtungan dengan menggunakan fasltas fungs IRR (range cell, guess) pada software aplkas Ecell, juga dperoleh hasl yang sama yatu 52%. Sedangkan bla menggunakan Toolbo software Matlab dperoleh hasl IRR = 0,590 atau 5,90 %. Dengan demkan hasl menurut formulas abc ternyata sama dengan software-software pembandng untuk uj valdtasnya, yatu Ecell dan Matlab. 3.Kasus umur project N = 3 tahun. (Net Cash Flow dengan jumlah yang sama) Msalkan kta dtawarkan sebuah proposal proyek nvestas d mana kta harus mengnvestaskan dana sebesar Rp 0 juta. Sebaga mbalan dar proyek yang berjangka waktu 3 tahun n, d mana kta akan menerma pembayaran Rp 2 juta pada setap akhr tahun selama 2 tahun dan Rp 2 juta pada akhr tahun ketga. Apabla kta menggunakan formulas IRR dalam bentuk rumus deret geometrs sebaga berkut: NPV 0, 2 3 (%) r (%) r (%) r atau 2 3 (%) r (%) r (%) r , 2 3 (%) r (%) r (%) r Dengan manpulas matemats, akan dperoleh bentuk polnomal f()= =0 atau Dengan memandang f() = , maka f ()=dervatf pertama= , untuk nla awal dtest =0 dan =, dperoleh: f(0) = -6 dan f()= =56. Berhubung nla f(0) dan f(6) berbeda tanda, maka dambl dugaan bahwa akar persamaan, yatu * d antara = dan =0. Sehubungan dengan n kta lakukan langkah teras (perhtungan) yang pertama sebaga berkut: f )( f)0( 6. 0 f)(' f)0(' 0 % Kta lakukan test untuk f(/4) n yatu: f(/4)= (0 ) 3 (28 ) 2 (24 )6 9, atau Ekutas Vol. 2 No. 4 Desember 2008:

9 Terlhat nla f(/4) n semakn mendekat f()=0 dbandngkan f()=56. Sehngga dugaan akar * yang kta car n selanjutnya bsa dlacak antara =0 dan =/4. Dengan n kta lanjutkan ke Iteras II sebaga berkut: f( ) 4 9, 9,, , f(' ) (30 )(56 ) Apabla kta menggunakan persamaan polnomal yang telah dsederhanakan yatu: f()= , maka akan dperoleh hasl yang sama, yatu = 0,20235, Perhtungannya adalah sebaga berkut: untuk nla awal dtest =0 dan =, dperoleh: f(0) = -3 dan f()= =28 Berhubung nla f(0) dan f(6) berbeda tanda, maka dambl dugaan bahwa akar persamaan, yatu * d antara = dan =0. Sehubungan dengan n kta lakukan langkah teras (perhtungan) yang pertama sebaga berkut: f )( f)0( %25. f )(' f)0(' 244 (5 ) ) (2 )3 6 3 (4 2, Kta lakukan test untuk f(/4) n yatu: f(/4)= 953 Terlhat nla f(/4) n semakn mendekat f()=0 dbandngkan f()=28. Sehngga dugaan akar * yang kta car n selanjutnya bsa dlacak antara =0 dan =/4. Kemudan dlakukan teras atau perhtungan berulang hngga teras ke 3, sehngga tabulas hasl sebaga berkut: Tabel Tabulas hasl perhtungan metode Newton Raphson untuk contoh kasus 3 tahun Iteras Nla *(dugaan akar ) atau IRR Nla f (*) ke 0,25,9 2 0, , ,2 0 ( stop ) Dengan demkan dapat dkatakan bahwa =20% merupakan akar persamaan polnomal dan Internal Rate Return adalah pada tngkat r = 20 %. Basanya, pada usa proyek lebh dar 3 tahun, persamaan matematsnya membentuk persamaan polnomal berderajad 3, sehngga menghtung IRR, maka kta harus menggunakan percobaan berkal-kal atau tral and error..dengan menggunakan Software Ecell yatu fasltas fungs IRR (Range cell, guess) akan dperoleh nla IRR = 20%. Begtu pula apabla dhtung dengan menggunakan paket program Matlab bernla sama, yatu 20%. Menghtung Internal Rate Of Return dan Yeld To Maturty Oblgas (Yudha Herlambang) 505

10 Hasl dengan metode Newton Raphson n IRR = 20 % sama perss sepert hasl yang dperoleh pada software aplkas Ecell. Dengan demkan terbukt bahwa 20% merupakan nla IRR yang membuat nla NPV pada sstem persamaan d atas adalah sama dengan nol atau nla f() persamaan polnomal bernla nol. 4. Kasus umur project N = 3 tahun (Net Cash Flow yang tdak sama) Pada contoh kasus n tak jauh berbeda dengan contoh kasus d atas, hanya saja terdapat nla Net Cash Flow yang berbeda dar tahun ke tahun. Jad msalkan kta dtawarkan sebuah proposal proyek nvestas d mana kta harus mengnvestaskan dana sebesar Rp 0 juta. Sebaga mbalan dar proyek yang berjangka waktu 3 tahun n, d mana kta akan menerma pembayaran Rp 50 juta pada setap tahun pertama, tahun kedua memperoleh Net Cash Flow Rp 40 juta dan Rp 65 juta pada akhr tahun ketga. Apabla kta menggunakan formulas IRR dalam bentuk rumus deret geometrs sebaga berkut: NPV 0,dengan memsalkan r % =, 2 3 (%) r (%) r (%) r () (). Sehngga dengan langkah-langkah manpulas () matematk akan dperoleh: F()= Sedangkan f () = turunan atau dervatf pertama= Maka dengan demkan kta lakukan test awal untuk =0 dan = sebaga berkut: f(0) = -9 dan f() = =07. Dengan demkan dugaan akar * agar f(*)=0 adalah terletak d antara =0 dan =. Maka dadakan proses perhtungan nteras: f 9 )( )0( )9( 00 0, )(' f 2 )0(' f f )0(66 )0( Dengan demkan dperoleh dugaan akar sementara *=0,2368. Nla f(0,2368) n perlu kta test untuk menganalsa seberapa jauhkah error terhadap f(*)=0. f(*)=f(0,2368)=,0(22368 ) 3,0( ) 2,0( )9,3 44 Terlhat bahwa nla f(*)=3,44 n semakn mendekat f()=0, sehngga dugaan akar * yang sesungguhnya perlu dadakan proses nteras berkutnya,sedangkan dugaan * akar sesungguhnya yang dcar ada d antara =0 dan =0,2368. Dengan demkan proses teras atau perhtungan berulang akan dlanjutkan, sehngga dperoleh hasl yang konvergen dan memenuh syarat pada teras ke-4. Adapun hasl teras dtunjukkan pada tabel d bawah n: 506 Ekutas Vol. 2 No. 4 Desember 2008:

11 Tabel 2 Tabulas hasl perhtungan metode Newton Raphson untuk contoh kasus 3 tahun (Cash Flow tap tahun tdak sama) Iteras ke Nla *(dugaan akar ) atau IRR Nla f (*) 0,2368 3,44 2 0,8637 0, , ,0006= , , ( Stop ) Dugaan akar yang terakhr n yatu =0, akan kta lakukan test sampa seberapa jauhkah error terhadap f()=0. Berkut perhtungannya: f(0,835903) =,0( ),0(56 3 ),0(38 2 ), Apabla kta perhatkan bahwa nla f(0,835903)=0, sudah sangat mendekat 5 f()=0 atau sebesar 3,52.0, menunjukkan errornya sudah mencapa sangat kecl dalam orde seperseratusan rbu. Dengan demkan nla =0, atau IRR=8,359 % merupakan nla yang dcar. Adapun dar hasl Matlab ddapatkan 0,836=8,36 % adalah merupakan approksmas atau dgt d belakang koma.hal n berhubungan dengan tngkat press atau tngkat keteltan yang dkehendak atau merupakan judgement sesua keperluan. Basanya untuk menghtung IRR dengan rumus d atas, juga harus menggunakan percobaan berkal-kal atau tral and error. Apabla dgunakan Software Ecell yatu fasltas fungs IRR (Range cell, guess) akan dperoleh nla IRR = 8%. Sedangkan bla menggunakan software Matlab 7.00 sebaga pengujan valdtas dan software pembandng, maka dperoleh nla = 0,836= 8,36%. Hasl perhtungan dengan metode Newton Raphson d atas tad merupakan pendekatan dar IRR = 8 % sepert hasl yang dperoleh pada software aplkas Ecell maupun software Matlab. Dengan demkan terbukt bahwa r = 8,359% adalah merupakan nla IRR yang membuat nla NPV pada sstem persamaan d atas adalah sama dengan nol. 5. Contoh Kasus usa proyek N= 4 tahun, dengan Investas Awal Rp ,-, dan Net Cash Flow yang dperoleh untuk 4 tahun berturut-turut adalah sebaga berkut: tahun pertama Rp 40 juta, tahun kedua Rp 60 juta, tahun ketga Rp 30 juta, tahun terakhr Rp 55 juta. Apabla dhtung dengan menggunakan software Ecell, akan dperoleh hasl IRR = 48%. Sedangkan dengan menggunakan program Matlab akan dperoleh hasl IRR=0,483 atau IRR = 48,3%. Adapun contoh kasus tersebut apabla dhtung dengan menggunakan Metode Newton Raphson dalam Matematka Numerk akan dperoleh hasl IRR = 0, atau 48,3328 %. Adapun Langkah perhtungannya dsajkan d bawah n. Pertama tama kta susun menurut persamaan matemats formulas NPV sebaga berkut n: Menghtung Internal Rate Of Return dan Yeld To Maturty Oblgas (Yudha Herlambang) 507

12 r(%) r (%) r. (%) r Dengan memsalkan r % =, untuk memudahkan penulsan ekspress matemats selanjutnya: )( )( )( )( Dengan melakukan langkah-langkah manpulas matemats dan penyederhanaan, maka dperoleh persamaan suku banyak berkut: =0 yang merupakan suatu bentuk polnomal berderajat 4 yang akan dcar akar-akarnya untuk menentukan IRR. Kta test dengan ttk awal msalkan =0, dperoleh f(0)= -0 dan = dperoleh f()=525. Maka dugaan akar yang dcar (*) past d antara =0 dan = Dengan demkan proses teras perhtungan kta mula, namun demkan perlu dtentukan turunan fungs pertama atau f () = Iteras I : f )( )0( ()0 0 2 f 0 0 3, )(' f)0(' f )0(300 )0(780 )0( Dengan demkan dperoleh dugaan akar sementara *=3,666. Nla f(3,666) n perlu kta test untuk menganalsa seberapa jauhkah error terhadap f(*)=0. f(*)=f(3,666)=,3(75 )666 4,3(260 )666 2,3(270 )660 2,3(30 ) f )( 525 Terlhat bahwa haslnya tak menjad lebh bak atau dvergent atau bsa dkatakan semakn jauh dar f() yang seharusnya mendekat nol. Maka dar tu perlu dcar alternatf nteras lan, yatu dhtung mundur dar = dan f() = 525, sehngga perhtungan teras matematsnya sbb: f )( )( () f,0, )(' f)(' f )(300 )(780 )( Pendugaan * yang baru pada teras d atas alah pada * = 0,68 Akhrnya kta test seberapa jauh pendugaan * baru tersebut terhadap f()=0, yatu: F(0,68)=,0(75 )68 4,0(260 )68 3,0(270 )68 2,0(30 )68 0, Atau f(0,68)=33,885 < f()=525, dar hasl n dperoleh konds yang convergent, sehngga dugaan akar (*) berkutnya terjad d antara = 0 dan = 0,68. Maka kta teruskan pada teras II berkutnya, pada perhtungan matemats d bawah n: f )( f,0()68(,33 )885,0 68, f )(' f,0(')68,0(300 )68,0(780,0(540 )68 30 f )( f,0()68 (,33 )885,0 68,0 68, f )(' f,0(' )68 (,854 ) Ekutas Vol. 2 No. 4 Desember 2008:

13 Akhrnya kta test seberapa jauh pendugaan * yang baru tersebut terhadap f()=0, yatu: F(0,524669)=,0( ),0(260 4 ),0(270 3 ),0(30 2,23 07 Makn terlhat bahwa nla dar f(*) terbaru d atas makn mendekat f()=0. Dengan demkan dapat dkatakan bahwa dugaan akar * yang terbaru akan terletak d antara =0 dan = 0, Dengan demkan dlakukan perhtungan matemats dengan logka yg serupa sebanyak beberapa teras, hngga pada teras ke-4, dan dperoleh hasl tabulas pada tabel berkut: Tabel 3 Tabulas hasl perhtungan metode Newton Raphson untuk contoh kasus 4 tahun Iteras ke Nla *(dugaan akar ) atau IRR Nla f (*) 0,68 33, , ,07 3 0, , , ,037 ( Stop ) 6. Contoh Kasus untuk umur project N = 5 tahun, dengan Investas awal (I) sebesar Rp , Net Cash Flow berturut-turut adalah sebaga berkut: Tahun pertama sebesar Rp ,-. Tahun kedua sebesar Rp ,-. Tahun ketga sebesar Rp ,-. Tahun keempat sebesar Rp ,-. Dan tahun kelma sebesar Rp Kn penuls akan melakukan perhtungan IRR dengan menggunakan pendekatan Matematka Numerk-Metode Newton Raphson, sepert basanya dsusun terlebh dahulu persamaan matematk untuk NPV sebaga berkut: (%) r r (%) r r (%) r Dengan mekansme penyederhanaan serta manpulas matemats dan pemsalan r% =, maka dperoleh ekspress matematk sebaga berkut: () () () () (), Penyederhanaan atas persamaan tersebut akan menghaslkan persamaan polnomal berkut n: f() = Sebaga ttk awal dplh =0 yang akan menghaslkan f(0) = -07 dan () yang akan menghaslkan f() = = Sehngga dapat dkatakan pendugaan d antara =0 dan =. Namun kta perlukan tentukan turunan pertama yatu f () = , karenanya f (0) = )0( )0( )0(20 Menghtung Internal Rate Of Return dan Yeld To Maturty Oblgas (Yudha Herlambang) 509

14 )0(' Dengan demkan dlakukan teras pertama untuk memperoleh * (kanddat atau dugaan akar), yatu perhtungan sebaga berkut: f () )0( () f,0 89 f (') f 20 Kemudan dlakukan pengujan untuk mengetahu seberapa jauhnya terhadap f()=0 f(0,89)= 55, , ,80-07 =.428 dan hasl n semakn mendekat menuju f()=0, bla dbandngkan dengan f() = Dengan demkan dugaan akar d antara =0 dan =0,89. Demkan kta teruskan pada teras berkutnya: f )(,0()89.()428,0 890,0 595 )(' f f f,0(')89, =0,6 Selanjutnya dadakan pengujan pada f (0,6) F(0,6)= 00(0,6) 465(0,6) 822(0,6) 635(0,6) 20(0,6) Dengan demkan tampak bahwa f(0,6)=439 semakn mendekat f()=0, dbandngkan nteras sebelumnya yatu f(0,8). Kemudan dengan alur logka berpkr yang sama dan menurut algortma metode Newton Raphson, maka dlakukan nteras hngga teras ke-5, yang haslnya dtabulaskan pada tabel d bawah, sedemkan hngga nla f(*) mendekat nol. Sehngga * tulah akar persamaan yang dmaksudkan (yatu nla IRR pada contoh kasus n). Tabel 4 Tabulas hasl perhtungan metode Newton Raphson untuk contoh kasus 5 tahun Iteras ke Nla *(dugaan akar ) atau IRR Nla f (*) 0,595 atau 0, , ,32 3 0,307 2, ,284, , ,49 ( Stop ) APLIKASI METODE NUMERIK NEWTON RAPHSON UNTUK MENGHITUNG TINGKAT PENGEMBALIAN YANG DISYARATKAN INVESTOR DALAM INVESTASI OBLIGASI Dalam proses penlaan oblgas, dperlukan 3 varabel pentng, yatu: () jumlah dan waktu dar arus kas yang akan dterma nvestor, (2) tanggal jatuh tempo oblgas, (3) Tngkat pengembalan yang dngnkan nvestor. Adapun besarnya arus kas dtentukan oleh pembayaran bunga perodk yang dterma dan oleh nla par yang akan dbayar pada saat jatuh tempo.bla perusahaan menggunakan oblgas sebaga sarana untuk memperoleh dana dar hutang jangka panjang, maka baya hutang adalah sama dengan 50 Ekutas Vol. 2 No. 4 Desember 2008:

15 K d atau Yeld to Maturty (YTM) yang tdak lan merupakan tngkat keuntungan yang dharapkan oleh pemegang atau pembel oblgas (holder). Adapun varabel I t untuk menggambarkan pembayaran bunga (berdasar kupon rate) pada tahun t, M adalah harga jual pada nla pasar, saat nla jatuh tempo oblgas, dan k ataupun K d tad merupakan tngkat pengembalan mnmum pemegang oblgas, kta dapat menyatakan nla oblgas yang jatuh tempo pada tahun ke-n pada persamaan matematk d bawah n: V b n I t M = Harga Oblgas. t N t ( k ) ( k d) Basanya untuk mengukur tngkat pengembalan yang dharapkan oleh pemegang oblgas (k), kta akan mencar tngkat dskon yang menyamakan nla sekarang dar arus kas masa datang (bunga dan nla jatuh tempo) dengan harga pasar oblgas pada saat sekarang. Sebaga bahan lustras, msalkan suatu Oblgas memlk nla par 000$, dengan pembayaran bunga tahunan 20 $ yang menunjukkan tngkat suku bunga oblgas yang berlaku sekarang adalah kupon sebesar 2 persen (2% 000$ = 20 $). Dengan berasums bahwa jangka waktu jatuh tempo adalah lma tahun, dan nla oblgas tu seharga 000$ atau sama dengan nla parnya, maka akan kta car tngkat pengembalan yang dharapkan nvestor, dengan pendekatan Numerk Newton Raphson, yatu: Mencar tngkat pengembalan yang dngnkan (k%) : N20 20 V 000 t 5 () k () k () k. 000 b t { 000 } )( kkkkk )( 2 )( 3 )( 4 )( 5 k )( { 20 } )( 2 3 kkkk )( 4 k )( 5 V b V b Dar Ecell dperoleh k=2%. Dan dar software Matlab dperoleh nla k= atau 2 %. Dengan menggunakan tekns manpulas matemats yang sama dengan perhtungan pada contoh-contoh sebelumnya, maka pada persamaan d atas, dperoleh persamaan matematk dalam bentuk polnomal sebaga berkut: k 5 22 k k220 k95 k5 0 Dan f (k)= 25 k k k k 95 Untuk pengujan yang menggunakan nla awal f(0), maka dperoleh nla = -5 Dan f() = =682 Dengan demkan nla dugaan k berada dantara k=0 dan k=, dengan demkan kta lakukan perhtungan teras pertama: f )( f)0( ()5 0 0, f)(' f)0(' 95 Menghtung Internal Rate Of Return dan Yeld To Maturty Oblgas (Yudha Herlambang) 5

16 Kemudan dlakukan pengujan untuk mengetahu seberapa jauhnya terhadap f()=0, f(0,5789)= 0,0243+0, ,793+5, , = 6, dan hasl n semakn mendekat menuju f()=0, bla dbandngkan dengan f() =682 Dengan demkan dugaan akar d antara =0 dan =0,5789. Demkan kta teruskan pada teras berkutnya, yatu Iteras II dengan langkah matemats d bawah n: f )( f,0()5789,6()37725,0 5789,0,0 2089, f )(' f,0(' )5789 (,70 )77 Selanjutnya dadakan pengujan pd f(0,209), yatu: F(0,209)=,0(25 )209,0(22,0(235 )209,0(220,0(955 F(0,209)=0, , , ,25 +,48-5 = 0,27725 Dengan demkan tampak bahwa f(0,209)=0,27725 semakn mendekat f()=0, dbandngkan nteras sebelumnya yatu f(0,5789) = 6, Dengan demkan nla k nlah,yatu k = 0,209 atau k = 2,09%, yang dperoleh pada perhtungan teras ke-2 n cukup mendekat f()=0 dan n sudah merupakan nla pendekatan untuk dugaan nla k yang dcar, dengan menggunakan metode Newton Raphson d atas. )209 Kasus Dscount Bond: Sepert pada lustras d atas, namun nla oblgas turun menjad 899,24, maka tngkat pengembalan yang dharapkan nvestor akan kta car dengan pendekatan Numerk Newton Raphson sebaga berkut: Mencar tngkat pengembalan yang dngnkan (k%): N Vb t 5 () k () k () k, = 899. t { 000 } kkkkkk )( )( )( )( )( )( { 20 } () kkkk () () () k 5 V b V b Dar Ecell dperoleh k = 5%. Dan dengan menggunakan software Matlab dperoleh k = 0,50. Pada persamaan matemats d atas,apabla dlakukan manpulas matemats yatu 5 mengalkannya dengan faktor ( k), yatu akan menjad: k )(899 5 k)(20 4 k)(20 3 k)(20 2 k.)(20.20 Dengan penguraan matemats menurut suku polnomalnya, maka dperoleh persamaan polnomal sebaga berkut yatu f(k) = 899 k k k k k Adapun f (k) = k k k k3295 Untuk pengujan yang menggunakan nla awal f(0), maka dperoleh nla = -70 Dan f() = = Dengan demkan nla dugaan k berada dantara k=0 dan k=, dengan demkan kta lakukan perhtungan teras pertama: 52 Ekutas Vol. 2 No. 4 Desember 2008:

17 )(' f )( f)0( ()70 0 0, f f)0(' 3295 Kemudan dlakukan pengujan untuk mengetahu seberapa jauhnya terhadap f()=0 f(0,22747) = 434,88 dan hasl n semakn mendekat menuju f()=0. Dengan demkan dugaan akar d antara =0 dan =0, Demkan kta teruskan pada teras berkutnya, hngga pada teras ke-5 d mana telah dperoleh nla f(*) mendekat nol, sehngga nla * menunjukkan IRR yg dmaksud. Tabel 5 Tabulas hasl perhtungan metode Newton Raphson untuk contoh kasus Oblgas Dskonto Iteras ke Nla * (dugaan akar ) atau YTM Nla f (*) 0, ,88 2 0, , ,5588 0, ,5507 0, , , ( Stop ) Kasus Premum Bond: Sepert pada lustras d atas, namun nla oblgas mengalam kenakan menjad.6$ maka tngkat pengembalan yang dharapkan nvestor akan kta car dengan pendekatan Numerk Newton Raphson sebaga berkut: Dar Ecell dperoleh k = 9,065 % atau 0,09065 Dar Matlab dperoleh k = 9,02% atau k = 0,0902 Mencar tngkat pengembalan yang dngnkan (k%): N20 20 V 000 t 5 () k () k () k. 6. b t { 000 } kkkk )( )( )( )( kk )( )( { 20 } kkkk )( )( )( )( k )( 5 V b V b Sehngga dengan teknk penyederhanaan matematk dperoleh persamaan bersuku polnomal sebaga berkut: f(k) = k k kk k Adapun f (k) = k k k k Untuk pengujan yang menggunakan nla awal f(0), maka dperoleh nla = -484 Dan f() = = 3.2. Dengan demkan nla dugaan k berada dantara k=0 dan k=, dengan demkan kta lakukan perhtungan teras pertama: Menghtung Internal Rate Of Return dan Yeld To Maturty Oblgas (Yudha Herlambang) 53

18 f )( f)0( () ,0 05. f )(' f)0(' Kemudan dlakukan pengujan untuk mengetahu seberapa jauhnya terhadap f()=0 f(0,05)= ,0(6.5)05,0(460.0,0(680.9)05,0(960.4)05,0( , dan hasl n semakn mendekat menuju f()=0 bla dbandngkan dengan f() = 3.2 atau dengan kata lan menunjukkan hasl yang konvergen. Dengan demkan dugaan akar d antara =0 dan =0,05. Demkan kta teruskan pada teras berkutnya, sedemkan hngga pada teras ke-4 dperoleh nla akar persamaan polnomal tersebut d atas, atau nla Yeld to Maturty untuk kasus Premum Oblgas n. Hasl perhtungan selengkapnya dsajkan pada tabel 6 berkut d bawah n: Tabel 6 Tabulas hasl perhtungan metode Newton Raphson untuk contoh kasus Oblgas Premum Iteras ke Nla * (dugaan akar ) atau YTM Nla f (*) 0,05 36, , , , , , , Jad apabla dpandang dar sudut pandang lmu manajemen keuangan, jelas bahwa ketka nvestor menghendak tngkat pengembalan yang lebh tngg, maka nla oblgas akan turun. Tngkat pengembalan yang lebh tngg bag nvestor dapat dcapa hanya dengan cara membayar harga yang lebh rendah untuk oblgas tersebut. Dan sebalknya, tngkat pengembalan bag nvestor yang lebh rendah akan menghaslkan nla pasar yang lebh tngg. Sehngga hubungan terbalk antara tngkat pengembalan yg dharapkan nvestor dan nla ntrnsk oblgas memang terbukt secara matemats. KESIMPULAN Akhr darpada tulsan n dapat kta smbulkan bahwa Aplkas Matematka Numerk, khususnya Metode Newton Raphson dapat dterma sebaga salah satu cara alternatf untuk menyelesakan persoalan dalam hal pencaran nla Internal Rate Return (IRR), walaupun secara tepat (eksak) maupun taksran. Dengan demkan hasl-hasl yang dperoleh dar pencaran taksran nla IRR atau tngkat pengembalan yang dsyaratkan nvestor (k) dengan menggunakan pendekatan Matematka Numerk - Metode Newton Raphson n tak jauh berbeda atau selshnya tdak sgnfkan apabla dbandngkan dengan cara cara alternatf lan yang sudah dkenal sebelumnya, msalkan Pemakaan 54 Ekutas Vol. 2 No. 4 Desember 2008:

19 Fungs IRR (range cell, guess) dalam Ecell, Metode Interpolas, serta Penggunaan toolbo (fasltas) roots dalam software Matlab. Metode Newton Raphson n memungknkan dpergunakan blamana tak terseda Tabel Keungan.(Fnancal Table). DAFTAR PUSTAKA Agus Sartono, Manajemen Keuangan dan Portofolo. And Offset, Yogyakarta Bambang Trhatmodjo, Metode Numerk. Beta Offset, Yogyakarta. Hansen, Mowen, Management Accountng. Southampton Learnng,Oho. raphson/htmlcgso rate return/htmlcgso.2008 Menghtung Internal Rate Of Return dan Yeld To Maturty Oblgas (Yudha Herlambang) 55

20 Umur Project (tahun) Lampran Tabulas Hasl Pemkran konseptual Pencaran Dugaan Nla IRR. Hasl Paket Program Ecell Hasl Software Matlab Formula abc Metoda Newton Raphson 2 00%,00 00% Tak dlakukan 2 52 % 0,59 5,9 % Tak dlakukan 3 20% 0,2 Tak dlakukan 20% 3 8 % 0,836 Tak dlakukan 8,359% 4 48% 0,483 Tak dlakukan 48,3328% 5 28,3537 % 0,2835 Tak dlakukan 28,2825% Lampran 2 Tabulas Hasl Pemkran Konseptual Pencaran Dugaan Nla K (Tngkat Pengembalan Yang Dharapkan Investor Oblgas) Kasus Oblgas Hasl Paket Program Ecell Hasl Software Matlab Metoda Newton Raphson Normal 2% 2% 2,09 % Dskonto Bond 5% 5,0 % 5,5% Premum Bond 9,065 % 9,02 % 9,05099 %. Lampran 3 Lstng Program Metode Newton Raphson dalam bahasa Pemrograman Fortran C PROGRAM METODE NEWTON-RAPHSON F(X)=... FX(X) = TURUNAN X OPEN (5,FILE= NEWTON.HAS ) I=0 X= C X2=X+ 30 I = I + C FX=(F(X2)-F(X))/(X2-X) XT=X-F(X)/FX(X) C I=I+ WRITE(5,2)I,X,XT,F(X),F(XT) X=XT IF ABS(F(XT)).LT.0.000) GOTO Ekutas Vol. 2 No. 4 Desember 2008:

21 GOTO 30 4 FORMAT(I2,6F0.5) 5. FORMAT(2F5.2) 25 STOP END Lampran IV Lstng Program Metode Newton Raphson dalam bahasa Pemrograman Delph procedure TForm.ButtonClck(Sender: TObject); var a,fa,alama,fa,abaru,galat:real; :nteger; begn a:=strtofloat(edt.tet); alama:=a; :=0; repeat :=+; fa:=(((a*a*a)+(a*a))-(3*a))-3; fa:=((3*a*a)+(2*a))-3; abaru:=alama-(fa/fa); galat:=abs((abaru-alama)/abaru); alama:=abaru; a:=abaru; Menghtung Internal Rate Of Return dan Yeld To Maturty Oblgas (Yudha Herlambang) 57