Dicetak oleh Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Matematika

Transkripsi

1

2 PAKET FASILITASI PEMBERDAYAAN KK/MMP MATEMATIKA Pebelajaran SMA Untuk SMA Penulis: Drs. Marsudi Raharjo, M.Sc.Ed. Penilai: Drs. M. Danuri, M.Pd. Editor: Sri Wulandari Danoebroto, M.Pd. Desain: Cahyo Sasongko, S.Sn. Dicetak oleh Pusat Pengebangan dan Peberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Mateatika DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENINKATAN MUTU PENDIDIK DAN TENAA KEPENDIDIKAN PUSAT PENEMBANAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAA KEPENDIDIKAN MATEMATIKA YOYAKARTA 008

3 Paket Fasilitasi Peberdayaan KK/MMP Mateatika

4 Kata Pengantar Pusat Pengebangan dan Peberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan (PPPPTK) Mateatika dala elaksanakan tugas dan fungsinya engacu pada tiga pilar kebijakan pokok Depdiknas, yaitu: ) Peerataan dan perluasan akses pendidikan; ) Peningkatan utu, relevansi dan daya saing; ) Penguatan tata kelola, akuntabilitas, dan citra publik enuju insan Indonesia cerdas dan kopetitif. Dala rangka ewujudkan peerataan, perluasan akses dan peningkatan utu pendidikan, salah satu strategi yang dilakukan PPPPTK Mateatika adalah eningkatkan peran Kelopok Kerja uru (KK) dan Musyawarah uru Mata Pelajaran (MMP) serta peberdayaan guru inti/ guru peandu/guru pengebang yang ada pada setiap kecaatan, kabupaten dan kota. Sebagai upaya peningkatan utu diaksud aka lebaga ini diharapkan apu efasilitasi kegiatan-kegiatan yang terkait dengan ipleentasi pengebangan pebelajaran ateatika di lapangan. una ebantu efasilitasi foru ini, PPPPTK Mateatika enyiapkan paket berisi kupulan ateri/bahan yang dapat digunakan sebagai referensi, pengayaan, dan panduan di KK/MMP khususnya pebelajaran ateatika, dengan topik-topik/bahan atas asukan dan identifikasi perasalahan pebelajaran ateatika di lapangan. Berkat rahat Tuhan Yang Maha Esa, atas bibingan-nya penyusunan Paket Fasilitasi Peberdayaan KK/MMP Mateatika dapat diselesaikan dengan baik. Untuk itu tiada kata yang patut diucapkan kecuali puji dan syukur kehadirat-nya. Dengan segala kelebihan dan kekurangan yang ada, paket fasilitasi ini diharapkan beranfaat dala endukung peningkatan utu pendidik dan tenaga kependidikan elalui foru KK/MMP Mateatika yang dapat beriplikasi positif terhadap peningkatan utu pendidikan. i

5 Sebagaiana pepatah engatakan, tiada gading yang tak retak, deikian pula dengan paket fasilitasi ini walaupun telah elalui tahap identifikasi, penyusunan, penilaian, dan editing asih ada yang perlu disepurnakan. Oleh karena itu saran, kritik, dan asukan yang bersifat ebangun dei peningkatan keberaknaan paket ini, diteria dengan senang hati teriring ucapan teria kasih. Ucapan teria kasih dan penghargaan setinggi-tingginya kai sapaikan pula kepada seua pihak yang ebantu ewujudkan paket fasilitasi ini, udah-udahan beranfaat untuk pendidikan di asa depan. Yogyakarta, Kepala, KASMAN SULYONO NIP.0580 ii

6 Daftar Isi Kata Pengantar... iii Daftar Isi... v BAB I PENDAHULUAN... A. Latar Belakang... B. Tujuan... C. Ruang Lingkup... D. Sasaran... E. Cara Peanfaatan Modul... BAB II PENUNDIAN... A. Meulai Dengan Suatu Masalah... B. Konsep...8 C. Perhitungan Untuk Ruang Sapel Yang Berdistribusi Tak Seraga... D. Perhitungan Untuk Ruang Sapel Yang Berdistribusi Seraga... E. Prinsip Perkalian...0 losariu...9 F. Latihan...0 BAB III RELASI ANTAR PERISTIWA... A. Pengertian Relasi Antar Peristiwa... B. Latihan... BAB IV PENUTUP...4 A. Rangkuan...4 B. Saran-Saran...4 C. Tes...4 iii

7 DAFTAR PUSTAKA...48 LAMPIRAN Kunci Jawaban Latihan Kunci Jawaban Latihan Kunci Jawaban Tes...5 iv

8 Bab Pendahuluan A.. Lattarr Belakang erupakan bagian dari Mateatika yang diajarkan di SMP dan SMA, dan berdasarkan hasil analisis kebutuhan (Training Need Assessent ) atau TNA ateri ini dirasa penting untuk ditulis dala bentuk odul sebagai bahan diskusi pada foru Musyawarah uru Mata Pelajaran (MMP) Mateatika SMA. Selaa ini ateri tersebut pada uunya dianggap sulit penafsirannya. Ternyata setelah tahun penulis engapu ata Diklat, terjawablah kata kunci yang ebuat ateri itu tidak lagi bersifat ngabang dan sulit ditafsirkan. Kata kunci pertaanya adalah terletak pada tidak digabarkannya konsep/ pengertian tentang: obyek eksperien, cara eksperien, dan hasil-hasil yang ungkin dala bentuk diagra pohon. Hipunan dari seua hasil yang ungkin itulah yang keudian disebut sebagai ruang sapel dan erupakan hipunan seesta pada topik peluang. Peristiwa/kejadian adalah hipunan bagian dari ruang sapel dan seterusnya. Kata kunci yang kedua adalah tidak disajikannya dala bentuk diagra Venn untuk ruang sapel, titik sapel, dan peristiwa-peristiwa yang ada pada ruang sapel dari eksperien yang diaksud. Sehingga dengan pengalaan yang berharga ini penulis encoba enyajikan isi gagasannya dala bentuk odul yang dilengkapi dengan gabar-gabar yang diperlukan agar benang kusut pelajaran peluang segera terpecahkan secara gablang. Modul SMA akan ditulis dala (dua) tahap. Tahap I ebahas tentang pengundian dan Tahap II ebahas tentang pengabilan sapel, perutasi, kobinasi, dan penggunaannya dala peecahan asalah. Tahap I ditulis tahun 008 dan tahap II akan ditulis pada tahun 009.

9 Jika dala eahai odul ini eneui kendala dapat dibahas bersaa di foru MMP atau dapat engiri surat ke P4TK Mateatika Yogyakarta dengan alaat P4TK Mateatika, Jl. Kaliurang k, Condongcatur, Depok, Slean, DI Yogyakarta 558. Atau lewat faksiile (04) 8855 untuk disapaikan ke penulis. B.. Tujjuan Modul ini bertujuan untuk eberikan fasilitasi peberdayaan guru ateatika SMA elalui foru MMP agar kinerjanya dala elaksanakan tugas yakni ebuat siswanya kopeten akan lebih eningkat dan lebih berdaya guna. C.. Ruang Lingkup Ruang lingkup pebahasan odul peluang pada Tahap I ini eliputi konsep peluang, diagra pohon, diagra Venn, dan relasi antar peristiwa. D.. Sassarran Sasaran odul ini utaanya adalah guru Sekolah Menengah khususnya guru SMA sebagai bahan referensi yang ungkin saat ini belu tersedia di foru MMP. Harapannya dengan epelajari odul ini secara pribadi di ruah aupun secara kelopok di MMP nantinya tean-tean guru akan tercipta persepsi yang saa tentang bagaiana langkah-langkah paling efektif untuk ebuat siswa kopeten enghadapi asalah peluang. E.. Carra Peanffaattan Modull Untuk eaksialkan pebahasan dan peecahan ateri pada odul ini diperlukan (dua) kali perteuan MMP. Perteuan pertaa untuk enyaakan persepsi (sudut pandang) di antara guru sejawat, encoba eahai asalah, encoba enyelesaikan soal dan hasilnya dikonfirasikan dengan kunci jawaban. Jika waktu di perteuan belu cukup dapat dijadikan PR yang penting adalah peahaan dan persepsinya sudah saa. Seentara itu perteuan kedua (perteuan berikutnya) di MMP digunakan untuk engonfirasi peecahan asalah yang telah di PR-kan.

10 Bab Konsep Mateatika A.. Meulaii Dengan Suattu Massal lah Massal lah Disediakan sebuah paku payung standar, yaitu paku payung yang dijual di pasaran: warna dasarnya putih, gilap, dan ekor pakunya tidak terlalu panjang, hanya sekitar c. Jika kita lakukan tossing (pengundian) terhadap paku payung tersebut berkali-kali, pernahkah paku payung tersebut hasil jatuhnya berdiri? Manakah yang lebih sering uncul antara hasil jatuhnya iring dengan hasil jatuhnya terlentang jika kita lakukan pengundian itu sebanyak 0 kali. Apakah hasil tersebut selalu konsisten yakni hasil yang satu selalu lebih banyak dari hasil yang lain jika undian yang kita lakukan hingga ribuan kali? t (terlentang) (iring) Jawaban atas pertanyaan tersebut di atas, yang pertaa adalah hasil yang terjadi hanyalah iring atau terlentang dan tidak pernah berdiri.

11 Secara teoritis kita baru dapat enjawab pertanyaan yang kedua tentang apakah hasilnya selalu konsisten seperti yang diaksud atau tidak jika pengundiannya dilakukan hingga tak terhingga kali. Naun untuk elakukannya hingga tak terhingga kali jelas tidak ungkin. Yang ungkin dilakukan adalah pengundiannya diadakan akin banyak-akin banyak dari 0 kali, naikkan enjadi 00 kali, 5000 kali,.000 kali, kali, hingga kali. Dari asing-asing banyak percobaan tersebut hasilnya kita aati keudian kita lihat kecenderungannya (engadakan ekstrapolasi) seperti apa jika pengundiannya akin banyak lagi hingga tak terhingga kali. Jika sebuah paku payung diundi kali ada berapa aca hasil yang ungkin terjadi?, Saakah aca hasilnya dengan jika paku payung itu diundi sekaligus?. Jawaban atas soal tersebut adalah seperti berikut.. Pengundian Satu Dei Satu Karena sebuah paku payung setiap kali diundi hasil yang ungkin hanyalah iring () dan terlentang (t ) aka untuk pengundian paku payung sebanyak kali hasil-hasil yang ungkin adalah h =, h = t, h = t, h 4 = t, h 5 = tt, h = tt, h = tt, dan h 8 = ttt. Cara ebaca asing-asing hasil yang ungkin (sebanyak 8) tersebut di atas antara lain isalnya: untuk hasil yang ketiga yakni h = t. Hasil h = t artinya: undian pertaa hasilnya ( iring), undian kedua hasilnya t ( terlentang), dan undian ketiga hasilnya (iring). Jika hipunan seua hasil yang ungkin tersebut adalah S, aka S = {h, h, h,, h 8 } sehingga banyaknya hasil yang ungkin adalah n(s) = 8.. Pengundian Sekaligus Sekarang perhatikan hasilnya untuk buah paku payung yang diundi sekaligus. 4

12 Jika buah paku payung diundi sekaligus aka hasil-hasil yang ungkin ' ' ' ' ' ' adalah h =, h = t, h = t, h 4 = t, h 5 = tt, h = tt, h = tt, dan h = ttt. ' ' 8 Perhatikan bahwa hasil seperti payung pertaa uncul iring, paku payung ketiga iring. h = t cara pebacaannya adalah paku ' paku payung kedua terlentang, dan Jika hipunan seua hasil yang ungkin tersebut adalah ' S, Maka ' S = { ' ' h, h, ' n ( S ) = 8. ' h,, ' h 8} sehingga banyaknya hasil yang ungkin adalah Perhatikan bahwa setelah dicerati ternyata: engundi sebuah paku payung sebanyak kali ruang sapelnya akan saa dengan engundi buah paku payung sekaligus, yakni Kesipulan Mengundi sebuah paku payung sebanyak n kali ruang sapelnya akan saa dengan engundi n buah paku payung sekaligus. Selanjutnya secara foral (ateatis) diberikan definisi seperti berikut: Definisi Ruang sapel S adalah hipunan seua hasil yang ungkin terjadi dala suatu eksperien. Maassaal laah Disediakan 0 buah paku payung standar, yakni paku payung yang dijual di pasaran: warna dasarnya putih, gilap, dan ekor pakunya tidak terlalu panjang, hanya sekitar c. Ke 0 paku payung itu kita asukkan ke dala toples kaca transparan. KET: TOPLES BERISI 0 BUAH PAKU PAYUN 5

13 Pertanyaan Jika kita lakukan eksperien dengan cara engguncang ke 0 paku payung itu sekaligus, kira-kira adakah diantara ke 0 paku payung itu yang hasil jatuhnya berdiri?, berapa buah paku payung yang hasil jatuhnya iring, dan berapa buah paku payung yang hasil jatuhnya terlentang?. Jawaban atas pertanyaan tersebut di atas adalah hasil paku payung yang hasil jatuhnya berdiri ternyata tidak pernah terjadi. Sedangkan berapa banyak diantara 0 paku payung tersebut yang hasil jatuhnya iring atau terlentang jika diundi sekaligus jawaban yang pasti/ tepat tidak ada. Pertanyaan Bagaiana jika eksperien terhadap 0 paku payung yang ada di dala toples itu kita tingkatkan hingga sebanyak kali, 50 kali, 0 kali, 50 kali, dan 00 kali? Untuk enjawab pertanyaan tersebut siswa perlu diperkenalkan dengan istilah frekuensi dan frekuensi relatif seperti berikut ini. Frekuensi unculnya suatu peristiwa yang diaati ialah banyaknya hasil yang diaati itu uncul dala eksperien tersebut. Sedangkan frekuensi relatif yang diaati ialah pecahan yang dihasilkan dari pebagian antara frekuensi unculnya hasil yang diaati dengan banyaknya eksperien yang dilakukan. Perhatikan bahwa eksperien terhadap 0 paku payung sebanyak kali ruang sapelnya saa dengan engundi paku payung sebanyak 0 kali. Sebab secara rasional (penalaran yang asuk akal) seakin banyak pengundian dilakukan akan seakin saa nilai perbandingan keunculannya. Maka untuk elakukan undian terhadap sebuah paku payung sebanyak kali dapat diganti perannya dengan engundi 0 buah paku payung sekaligus sebanyak 50 kali. Berdasarkan ekperien yang pernah dilakukan penulis pada tahun 00 terhadap 0 paku payung sebanyak kali, kali, 50 kali, 0 kali, 50 kali, dan hingga sebanyak 00 kali asing-asing hasilnya adalah sebagai berikut.

14 Banyaknya eksperien terhadap 0 paku payung sebanyak Frekuensi unculnya hasil iring kali kali 50 kali 0 kali 50 kali 00 kali Dengan engacu pada tabel di atas berarti hasil tersebut dapat kita tafsirkan relatif saa dengan jika sebuah paku payung itu diundi ulai dari 0 kali,.000 kali, kali dan seterusnya hingga kali. Dengan deikian aka berarti jika sebuah paku payung dilakukan pengundian ulai dari 0 kali,.000 kali, kali dan seterusnya hingga kali aka hasilnya akan seperti (tidak berbeda secara signifikan) dengan tabel berikut. Banyaknya Percobaan (n) 0 kali 00 kali kali.000 kali kali kali Frekuensi unculnya hasil iring () Frekuensi Relatif F r (iring) = n 0,800 0,40 0,54 0,5 0, 0, Pertanyaan Dengan elihat pola kecenderungan hasil-hasil eksperien di atas, kira-kira berapakah nilai frekuensi relatifnya jika eksperien engguncang ke 0 paku payung sekaligus itu kita lakukan sapai tak hingga kali?

15 Jawaban atas pertanyaan di atas adalah 0, jika dinyatakan dala tepat desial, atau 0, jika dinyatakan dala tepat desial. B.. Konssep Secara foral (ateatis) peluang unculnya suatu peristiwa dala suatu eksperien didefinisikan (disepakati) adalah sebagai berikut. Definisi Epirik unculnya suatu peristiwa dala suatu eksperien (percobaan acak) adalah nilai frekuensi relatif unculnya peristiwa tersebut jika banyaknya eksperien tak terhingga Dengan engacu pada definisi tersebut di atas, aka peluang unculnya paku payung iring adalah 0, (dala dua tepat desial) atau 0, (dala satu tepat desial). Karena untuk paku payung hasil yang ungkin hanyalah iring atau terlentang, aka peluang unculnya paku payung terlentang adalah 0, = 0,. Jadi untuk paku payung: P({}) = 0, P({t}) = 0, iring () terlentang (t) jatuhnya iring adalah P ({}) = 0, dan jatuhnya terlentang adalah P ({t}) = 0, Maassaal laah Jika kita engadakan eksperien terhadap sekeping ata uang loga dengan cara elepar ke udara, berapa nilai frekuensi relatif unculnya uka angka jika banyaknya percobaan tak hingga kali?. unakan tabel hasil pengundian sekeping ata uang loga hingga sebanyak kali di bawah ini sebagai acuan. 8 Banyaknya Percobaan (n) Frekuensi unculnya uka A () Frekuensi Relatif F r (Angka) = n

16 8 0, , , , , , ,509 (Suber: Anton, Applied Finite Matheatics, New York: Anton Texbook Inc, 98) Dengan elihat pola kecenderungan nilai-nilai frekuensi relatifnya, kita dapat enyipulkan bahwa: jika eksperien yang dilakukan seakin ditingkatkan frekuensinya sapai tak hingga kali, kira-kira berapa nilai frekuensi relatif unculnya uka angka? Jawaban atas pertanyaan di atas tentunya adalah Fr n (Angka) = 0,5 =, aka peluang unculnya uka angka adalah P(A) = 0,5 =. Karena untuk sekeping ata uang loga jika diundi hasil-hasil yang ungkin hanyalah uka angka (A ) dan uka gabar ( ), jika peluang unculnya uka angka P (A) = 0,5 aka peluang unculnya uka gabar adalah P( ) = P(A ) = =. Jadi untuk ata uang loga: P(A ) = uka A (angka) P( ) = uka (gabar) unculnya uka A (angka) adalah P (A) = dan unculnya uka (gabar) adalah P () = 9

17 Caattaattaan. Dari dua buah contoh pengundian berulang hingga ribuan kali terhadap sebuah paku payung dan keudian sekeping ata uang loga tersebut di atas (asingasing hingga kali) eperlihatkan bahwa seakin banyak eksperien dilakukan, seakin sedikit perubahan nilai frekuensi relatif hasil-hasil undiannya. Untuk paku payung frekuensi relatif unculnya hasil iring seakin endekati nilai 0, sedangkan untuk ata uang loga frekuensi relatif unculnya uka angka seakin endekati nilai 0,5. Sehingga dari elihat pola kecenderungannya itu kita keudian dapat enyipulkan berapa nilai frekuensi relatifnya jika percobaan dilakukan sapai dengan tak hingga kali.. Dari definisi peluang akhirnya diperoleh nilai peluang hasil-hasil yang ungkin untuk asing-asing obyek.. Karena untuk paku payung nilai peluang asing-asing hasil tidak saa yakni P (iring) = 0, = dan P (terlentang) = 0, = Maka untuk paku payung nilai-nilai peluangnya tidak berdistribusi seraga (tidak hoogin/tidak serba saa) 4. Berbeda dengan paku payung, yang kedua adalah untuk ata uang loga. Karena untuk ata uang loga nilai peluang asing-asing hasil saa yakni P (uka Angka) = 0,5 = 5 = dan P (uka abar) = 0,5 = 5 = Maka untuk ata uang loga nilai-nilai peluangnya berdistribusi seraga (hoogin/ serba saa), yakni asing-asing titik sapel berpeluang saa untuk uncul. Maassaal laah 4 Misalkan yang diundi hingga ribuan kali itu adalah sebuah dadu yang ukanya ada. Kira-kira berapa nilai frekuensi relatif unculnya asing-asing uka dadu jika undian yang dilakukan sebanyak kali?. Bagaiana kira-kira nilai frekuensi relatif unculnya asing-asing uka dadu jika undian yang dilakukan saapai dengan tak hingga kali?

18 Jawaban atas asalah tersebut adalah sebagai berikut. Karena kita uunya sudah engetahui bahwa nilai peluang asingasing uka dadu adalah dan hasil-hasil yang ungkin ada aca (sesuai dengan banyaknya perukaan dadu), aka dadu terasuk obyek eksperien yang berdistribusi seraga (hoogin /serba saa). Sehingga P ({}) = P ({}) = P ({}) = P ({4}) = P ({5}) = P ({}) =. C.. Peerrhi ittunggaan Peel luaangg Unttukk Ruaangg SSaappeel l Yaangg Beerrddi issttrri ibbussi i TTaakk SSeerraaggaa Misalkan kita dihadapkan pada asalah seperti berikut. Sekeping ata uang loga dan buah paku payung standar diundi sekaligus. Ada berapa aca hasil yang ungkin terjadi? Jika pertanyaannya dilanjutkan dengan: apakah asing-asing hasil yang ungkin terjadi itu berpeluang saa untuk uncul?. Berapakah nilai peluang asing-asing hasil yang ungkin terjadi itu?. Berapa peluang unculnya ata uang loga berupa uka angka dan unculnya kedua paku payung iring?. Berapa peluang unculnya ata uang loga berupa uka gabar dan unculnya kedua paku payung berupa hasil yang saa/kebar?. Jawaban atas asalah tersebut adalah sebagai berikut. Diketahui I II III Diundi sekaligus Sekeping ata uang loga dan buah paku payung standar diundi sekaligus. Ditanyakan a. Berapa aca hasil yang ungkin terjadi?

19 b. Apakah asing-asing hasil yang ungkin terjadi itu berpeluang saa untuk uncul? c. Berapa peluang unculnya ata uang loga berupa uka angka dan unculnya kedua paku payung iring? d. Berapa peluang unculnya ata uang loga berupa uka gabar dan unculnya kedua paku payung berupa hasil yang saa/kebar?. JJ aawaabb Cara : Dengan Penalaran Lengkap a. Kita gabar selengkapnya obyek eksperien, cara eksperiennya, dan hasil-hasil yang ungkin terjadi pada ekseperien tersebut Obyek Eksperien Cara Eksperien I II III Diundi sekaligus I A Maka S = {s, s, s, s 4, s 5, s, s, s 8} dan n(s) = 8. II t t III t.. (A,t,) = s t. (A,,t) = s. (A,,) = s 4 t Hasil-hasil yang ungkin (A, t, t) = s. (,, t) = s. (A,,) = s 8 S Dengan ditapilkannya gabar seperti di atas, udah bagi kita seua untuk engatakan bahwa banyaknya seluruh hasil yang ungkin terjadi ada 8, yakni n(s ) = 8. Keterangan Dari gabar di atas akan eudahkan siapapun untuk eahai bahwa: Obyek eksperiennya adalah {,, } yakni hipunan dari sekeping ata uang loga dan buah paku payung. Cara eksperiennya adalah engundi sekaligus sekeping ata uang loga dan buah paku payung.

20 S = {s, s, s,, s 8 } selanjutnya disebut ruang sapel dari eksperien yang diaksud, yakni engundi secara acak ata uang loga dan paku payung sekaligus. s, s, s,, s 8 asing-asing disebut titik sapel. Selanjutnya secara ateatika didefinisikan bahwa: Obyek eksperien ialah benda-benda yang dijadikan obyek eksperien Eksperien ialah tindakan acak yang dilakukan terhadap obyek eksperien Ruang Sapel ialah hipunan seua hasil yang ungkin terjadi pada suatu eksperien Titik sapel ialah setiap hasil yang ungkin terjadi pada suatu eksperien b. Kita identifikasi penyebaran nilai peluang asing-asing titik sapel Untuk engidentifikasi penyebaran peluang asing-asing titik sapel dilakukan dengan terlebih dahulu enuliskan nilai peluang pada asing-asing cabang. Perhatikan bahwa banyaknya cabang untuk obyek eksperien berupa ata uang loga aupun paku payung keduanya saa, yakni cabang. Perbedaannya nilai asing-asing cabang saa untuk ata uang loga yakni sedang paku payung berbeda, yakni yang satu dan lainnya. Identifikasi nilai peluang untuk asing-asing titik sapelnya adalah sebagai berikut. Obyek Eksperien Cara Eksperien I II III Diundi sekaligus I A II t t III t.. t.. t.. t.. ( s ) P ( s ) 00 P ( s ) 00 P ( s ) ( s ) 9 00 P P 5 ( s ) ( s ) 00 P 00 P ( s ) 9 00 P 8 00 Total P(S ) = 00 = +

21 Tapak pada gabar di atas bahwa julah peluang seluruhnya untuk asingasing titik sapel adalah P (S ) =. Ruang sapelnya S ={s, s, s,, s 8 } dengan 49 P ({s }) = 00, P ({s }) = 00, P ({s }) = 00, dan seterusnya hingga P ({s8 }) = Kesipulan Ruang sapel S pada eksperien tersebut di atas tidak berdistribusi seraga, sebab tidak seua titik sapel dala S berpeluang saa untuk uncul. c. Kita gabar diagra Venn dari ruang sapel dan peristiwa di dalanya berikut nilai-nilai peluangnya 49 s 00 s s s 5 s A s 00 9 s s 8 S Perhatikan bahwa, jika A = peristiwa unculnya ata uang loga berupa uka angka dan unculnya kedua paku payung iring?. Maka A = {(A,,)}= {s 4 }, sehingga peluang unculnya peristiwa A adalah 9. P (A) = P ({s 4 }) = 00 d. Kita gabar diagra Venn dari ruang sapel dan peristiwa di dalanya yang ditanya-kan berikut nilai-nilai peluangnya Perhatikan bahwa, jika 4 49 s 00 s s 00 s s 49 s B 00 9 s s 8 S B = peristiwa unculnya ata uang loga berupa uka gabar dan unculnya kedua paku payung dengan hasil saa/kebar?.maka B = {(, t, t), (,,)}= {s 5, s 8 },sehingga P (B) = P ({s 5 }) + P ({s 8 }) 49 9 = = 0, = 00 = 0

22 Dengan deikian aka peluang unculnya ata uang loga berupa uka gabar dan unculnya kedua paku payung dengan hasil saa/kebar adalah 9 0. Selanjutnya Didefinisikan Peristiwa/kejadian dala suatu eksperien ialah hipunan bagian dari ruang sapel. Peristiwa sederhana (peristiwa eleenter) ialah peristiwa yang tepat euat satu titik sapel. Peristiwa ajeuk adalah peristiwa yang euat lebih dari satu titik sapel. Untuk peristiwa ajeuk dan berhingga, peluang unculnya peristiwa tersebut eenuhi prinsip penjulahan yang diberikan seperti berikut. Prinsip Penjulahan Jika A = {s, s, s,, s } adalah peristiwa dala ruang sapel berhingga S = {s, s, s,, s,, s n }, dengan n aka peluang unculnya peristiwa A adalah P (A) = P ({s }) + P ({s }) + P ({s }) + + P ({s }) Cara : Dengan Cara Singkat a. Kita gabar diagra pohonnya hanya untuk peristiwa yang ditanyakan saja Ditanyakan P (A) dan P (B), jika A = peristiwa unculnya ata uang loga berupa uka angka dan unculnya kedua paku payung iring. B = peristiwa unculnya ata uang loga berupa uka gabar dan unculnya kedua paku payung dengan hasil yang saa/kebar. 5

23 Obyek Eksperien keping ata uang dan buah paku payung diundi sekaligus A t s4 A t s5 s8 B b. Kita gunakan diagra pohon itu untuk peecahan asalah Berdasarkan diagra pohon di atas aka A = {(A,, )} = {s 4 } B = {(, t, t), (,, )} = {s 5, s 8 }. Dengan deikian (perhatikan diagra pohonnya) aka: 9 P (A) = P ({s 4 }) = = 00 Dan P (B) = P ({s 5 }) + P ({s 8 }) = + 9 = = 00 9 = 0 = 0,9. Dengan deikian aka: unculnya ata uang loga berupa uka angka dan unculnya kedua 9 paku payung iring adalah 00, dan peluang unculnya ata uang loga berupa uka gabar dan unculnya kedua paku payung dengan hasil yang saa/kebar 9 adalah 0 atau 0,9.

24 D.. Perrhi ittungan Unttuk Ruang Sapell Berrdi issttrri ibussi i Serraga Yang Misalkan sebuah dadu dan dua keping ata uang loga diundi sekaligus. Pertanyaan yang diajukan adalah: (a) ada berapa aca hasil yang ungkin terjadi, (b) apakah asing-asing titik sapelnya berpeluang saa untuk uncul?, (c) berapakah peluang unculnya ata dadu ganjil dan kedua ata uang loga uncul uka gabar? Jawaban atas asalah tersebut adalah sebagai berikut. I II III Diundi sekaligus Diketahui Sebuah dadu dan keping ata uang loga diundi sekaligus. Ditanyakan a. Berapa aca hasil yang ungkin terjadi? b. Apakah asing-asing titik sapelnya berpeluang saa untuk uncul? c. Jika C adalah peristiwa unculnya ata dadu ganjil dan kedua ata uang uncul uka gabar, berapakah peluang unculnya C? Jawab a. Berapa aca hasil yang ungkin terjadi? A A (, A, A) = s (, A, ) = s I II III Diundi sekaligus S = { s, s, s,, s 4 }, aka n(s ) = A A (,, A) = s (,, ) = s 4 A (,, A) = s (,, ) = s 4 S

25 Maka banyaknya hasil yang ungkin terjadi adalah n(s ) = 4. b. Apakah asing-asing titik sapelnya berpeluang saa untuk uncul? Untuk eperudah eahai jawaban atas pertanyaan ini perlu digabarkan identifikasi nilai peluang dari asing-asing titik sapelnya. I II III 4 5 A A A s P({s}) = = 4 s P({s}) = = 4 A s P({s}) = = 4 s 4 P({s4}) = = 4 A s 4 P({s}) = = 4 s 4 P({s4}) = = 4 + S = { s, s, s,, s 4 }, aka n(s ) = 4 4 Total P(S ) = 4 = Berdasarkan diagra pohon di atas tapak bahwa nilai-nilai peluangnya untuk asing-asing titik sapel ternyata saa, yakni 4. Dengan deikian aka ruang sapel S pada eksperien tersebut berdistribusi seraga. c. Jika C adalah peristiwa unculnya ata dadu ganjil dan kedua ata uang loga uncul uka gabar, berapakah peluang unculnya peristiwa C? Kita gabar khusus untuk peristiwa C saja. C hipunan bagian dari S, yakni C S. Obyek Eksperien Sebuah dadu dan keping ata uang loga diundi sekaligus 5 P(,, ) = 4 P(,, ) = 4 P(5,, ) = 4 + C C = {(,,), (,,), (5,, )}, aka P(C ) = 8. Total = 4 = 8 8

26 Cara lain untuk enghitung peluang unculnya suatu peristiwa dala suatu ruang sapel yang berdistribusi seraga adalah sebagai berikut. Karena untuk ruang sapel yang berdistribusi seraga nilai peluang dari asing-asing titik sapelnya saa, aka secara nalar jika banyaknya titik sapel pada suatu peristiwa A adalah dan peluang unculnya asing-asing titik sapel adalah n, aka peluang unculnya peristiwa A adalah P (A) = n = n. Perhatikan bahwa jika n adalah peluang unculnya asing-asing titik sapel pada ruang sapel berhingga S, aka banyaknya anggota S adalah n(s) = n. Secara foral (ateatis) untuk ruang sapel S yang berdistribusi seraga selanjutnya diberikan definisi sebagai berikut (definisi klasik). Definisi Klasik Jika ruang sapel S berhingga dan asing-asing titik sapelnya berpeluang saa untuk uncul, aka peluang unculnya peristiwa A dala ruang sapel S adalah P(A) = n(a) n(s) Pada contoh kontekstual sebelunya kita sudah diperkenalkan dengan peluang dari asing-asing hasil yang uncul. Jika sebuah paku payung diundi dengan easukkannya ke dala sebuah toples atau dengan eleparkannya ke udara keudian dilihat hasil jatuhnya di lantai, aka hasil-hasil yang ungkin ada aca yakni iring () atau terlentang (t). Nilai peluang asing-asing hasil tidak saa, yakni untuk hasil iring dan terlentang asing-asing adalah: P({}) =, dan P({t}) =. Dengan deikian berarti paku payung tidak berdistribusi seraga. Obyek-obyek eksperien berupa pengundian yang berdistribusi seraga adalah ata uang loga, dadu, dan kartu gabar yang sisi sebaliknya kosong (tanpa gabar). 9

27 E.. Prri inssi ip Perrkal lian Misalkan ada beberapa jalan penghubung antar kota dari 4 kota P, Q, R, S seperti berikut. a c P Q b R c S a H c H H Perhatikan bahwa banyaknya jalur jalan yang enghubungkan kota P ke kota Q, kota Q ke kota R dan kota R ke kota S asing-asing adalah jalur (a dan a ), jalur (b), dan jalur (c, c dan c ). Jika kita akan elakukan pejalanan dari kota P enuju kota S dengan elewati kota Q dan R, ada berapa aca rute (jalur) jalan yang dapat kita pilih?. Jika jalur-jalur yang ungkin dilalui adalah j, j, j,... dan seterusnya, aka jawaban atas pertanyaan tersebut adalah j = a bc j 4 = a bc j = a bc j 5 = a bc j = a bc j = a bc Dengan deikian ada jalur berlainan yang ungkin dapat dipilih untuk enepuh perjalanan dari kota P enuju kota S dengan elewati kota Q dan R. Perhatikan bahwa banyaknya jalur yang diaksud adalah n(s) = = = n(h ) n(h ) n(h ). 0 Dengan gabaran tersebut kesipulan yang diperoleh adalah: Jika ada jalur dari kota P ke Q jalur dari kota Q ke R jalur dari kota R ke S Maka ada = jalur jalan berlainan

28 yang dapat ditepuh dari kota P ke kota S elewati kota Q dan R. Secara uu prinsip perkalian berlaku seperti berikut. Prinsip Perkalian Jika n adalah banyaknya cara untuk engabil keputusan K n adalah banyaknya cara untuk engabil keputusan K n adalah banyaknya cara untuk engabil keputusan K n r adalah banyaknya cara untuk engabil keputusan K r Maka ada n n n n r cara untuk engabil seua keputusan. CCoonn ttoo hh ppee nngggg uunnaaaann Ada berapa aca hasil yang ungkin terjadi jika sebuah dadu, keping ata uang loga, dan paku payung diundi sekaligus?. Jika A adalah peristiwa unculnya ata dadu ganjil, salah satu ata uang loga uncul uka gabar, dan diantara paku payung uncul iring, berapa titik sapel yang diuat oleh peristiwa A?. Berapa peluang unculnya peristiwa A?. Apakah ruang sapelnya berdistribusi seraga? Jawab. Dengan Penalaran Lengkap Untuk eperudah eahai asalah tersebut diberikan gabaran seperti berikut. Obyek Eksp. a. Ada berapa aca hasil yang ungkin dadu terjadi jika sebuah dadu, keping ata ata uang loga diundi sekaligus? uang loga, dan paku payung diundi sekaligus?. paku payung

29 Jawab Karena dadu eiliki hasil yang ungkin ( uka), ata uang loga hasil yang ungkin, dan paku payung hasil yang ungkin, aka dadu t uang pk payung n(s ) = = 9 titik sapel b. Jika A adalah peristiwa unculnya ata dadu ganjil, salah satu ata uang loga un-cul uka gabar, dan diantara paku payung uncul iring, berapa titik sapel yang diuat oleh peristiwa A?.. Obyek Eksp. dadu ata uang loga paku payung Cara Eksp. diundi sekaligus cara Mt dadu ganjil cara dari t uang uncul cara dari pk py uncul s s s s s s 8 A Keterangan Labang. Untuk ata uang loga = bukan, jadi berarti = A (angka). Untuk paku payung = bukan, jadi berarti = t (terlentang). Dengan elihat diagra di atas kita dapat enyipulkan bahwa euat 8 titik sapel, yakni A = {s, s, s,, s 8 } sehingga n(a) = 8. peristiwa A

30 Mengapa n(a ) = 8, sebab yang pertaa ada cara (cabang), kedua cara (cabang), dan ketiga cara (cabang). Maka enurut prinsip perkalian, banyaknya titik sapel pada peristiwa A adalah n(a) = = 8. Caattaattaan Pada contoh ini ruang sapel hasil eksperiennya (yang euat 9 titik sapel) tidak ditapilkan, naun diharapkan sudah tergabar di pikiran para pebaca. c. Berapa peluang unculnya peristiwa A? Untuk eahai jawaban atas pertanyaan ini terlebih dahulu kita lihat nilai peluang dari asing-asing cabang. Obyek Eksp. dadu ata uang loga paku payung diundi sekaligus cara Mt dadu ganjil cara dari t uang uncul dari pk py uncul s s s s s s 8 A cara

31 Perhatikan nilai peluang unculnya asing-asing peristiwa eleenternya. P({s }) = = = P({s }) = = P({s }) = = = = P(A) = = P({s }) = = = P({s 8 }) = = = Perhatikan pula bahwa nilai peluang unculnya asing-asing peristiwa eleenter pada kejadian A adalah saa, yang berbeda hanyalah faktor nya saja (nilai peluang unculnya paku payung yang bukan iring/terlentang) yang dibolak-balik. Dengan cara singkat (tentunya setelah penalaran lengkapnya dipahai dengan baik) cara peecahannya adalah sebagai berikut. A = peristiwa unculnya ata dadu ganjil, salah satu ata uang loga uncul uka gabar, dan diantara paku payung uncul iring (obyek eksperiennya: dadu, keping ata uang loga, dan paku payung). pola pola pola = {(ata dadu ganjil, A, bukan A,,, bukan iring)} P (A) = ( ) ( = ( ) ( ) ( ) ) = =

32 89 Maka peluang unculnya peristiwa A adalah Perhatikan pada gabar di atas bahwa pola, pola, dan pola tersebut di atas sebenarnya adalah pola= C pola = C pola = C CCaattaa ttaann. Untuk seentara waktu kobinasi unculnya obyek dari obyek yang ungkin (lihat ilustrasi yang digabarkan berikut) cukup digunakan saja, yakni =! ( )!! =. pola = C C = C dari hasil iring yang ungkin paku payung uncul iring. Pebahasan lengkap engenai perutasi, kobinasi, dan sejenisnya akan dibahas pada odul ke- tahun 009. Sehingga P ({ata dadu ganjil})= C P ({ata dadu ganjil}) = ( ) =, P (uncul pada ata uang) = C P(, bukan ) = P( ) P (bukan ) = =, dan P (uncul iring dari paku payung) C P (iring) P (iring) P (bukan iring) = =. 5

33 Dengan deikian aka enurut prinsip perkalian : P (uncul t. dadu ganjil, pada ata uang, iring pada paku payung) adalah d. Apakah ruang sapelnya berdistribusi seraga? Jawabnya adalah: 89 = = Ruang sapel S dari hasil pengundian dadu, ata uang loga, dan paku payung tidak berdistribusi seraga sebab euat obyek eksperien yang tidak berdistribusi seraga, yakni paku payung.. Dengan Cara Singkat a. Ada berapa aca hasil yang ungkin jika sebuah dadu, keping ata uang loga, dan paku payung diundi sekaligus?. Jawab Karena dadu eiliki hasil yang ungkin, ata uang loga hasil yang ungkin, dan paku payung hasil yang ungkin, aka n(s ) = = 9 titik sapel. b. Jika A adalah peristiwa unculnya ata dadu ganjil, salah satu ata uang loga uncul uka gabar, dan diantara paku payung uncul iring, berapa titik sapel yang diuat oleh peristiwa A?. Jawab Karena peristiwa A terdiri dari: o unculnya ata dadu ganjil I = {,, 5} sehingga n( I ) =, dan o salah satu ata uang loga dari ata uang loga uncul uka gabar, ata log a aka n( II ) = C dari uang = C =, dan gabar o diantara paku payung uncul iring, dari paku payung aka n( III ) = C = C =. iring Sehingga titik sapel yang diuat oleh peristiwa A adalah n(a) = n( I ) n( II ) n( II ) = = 8 titik sapel.

34 c. Berapa peluang unculnya peristiwa A? Karena khusus pada peristiwa A titik-titik sapel dari anggotanya berpeluang saa untuk uncul, dan pola asing-asing titik sapelnya adalah: dadu P (ganjil) = =, ata uang loga P ( dan bukan ) =, paku payung P (iring, iring, tidak iring) =. Maka P (A ) = ( ) ( C ) ( C ) 89 = ( ) ( ) ( ) = CCoonnttoohh Ada berapa aca hasil yang ungkin terjadi jika 4 buah dadu dilabungkan sekaligus?. Jika kita engincar unculnya uka berarti unculnya uka kita definisikan sebagai peristiwa sukses, dan unculnya uka yang bukan kita anggap sebagai suatu kegagalan, ada berapa aca peristiwa yang ungkin terjadi ditinjau dari banyaknya (frekuensi) unculnya uka dadu sukses. Jawab a. Banyaknya hasil yang ungkin jika 4 buah dadu diundi sekaligus adalah Dadu I Dadu II Dadu III Dadu IV n(s ) = = 9 titik sapel (hasil yang ungkin). cara cara cara cara b. Jika kita engincar unculnya uka, ada berapa aca peristiwa yang ungkin terjadi ditinjau dari banyaknya (frekuensi) unculnya uka? Untuk eudahkan peahaan siswa, isalkan peristiwa gagal (unculnya uka bukan ) kita labangkan dengan sebuah persegi kosong. Maka ditinjau

35 dari banyaknya sukses (unculnya uka ) pada keepat dadu akan kita peroleh pola sukses dan gagalnya adalah seperti berikut. Pola Nol kali sukses Pola kali sukses Pola kali sukses Pola kali sukses odel 4 odel Pola 4 kali sukses 4 odel odel odel Perhatikan bahwa asing-asing pola ulai dari 0 kali sukses, kali sukses, kali sukses, kali sukses, hingga 4 kali sukses tersebut di atas ternyata setelah diselidiki asing-asing euat odel, 4 odel, odel, 4 odel, dan odel. Bilangan-bilangan, 4,, 4, adalah salah satu baris pada susunan bilanganbilangan pada segitiga Pascal. Segitiga Pascal C 0 4 C 4 C 4 C 4 C 4 Dengan deikian aka odel, 4 odel, odel, 4 odel, odel. Bersesuaian dengan 8 4 C 0, 4 C, 4 C, 4 C, 4 C 4.

36 Sehingga secara lebih detail, pola-pola sukses-gagal pada gabar sebelunya dapat dipertaja enjadi seperti berikut. 0 kali sukses 5 cara 5 cara 5 cara 5 cara odel = 4 C 0 kali sukses = 5 4 odel C = 4 kali sukses.. odel C = 4 4 kali sukses odel C = 4 4 = = = 5 Keessi ippul laan tteerraakkhi irr Epat buah dadu yang diundi sekaligus aka ruang sapelnya euat 9 titik sapel, yakni n(s ) = 9 titik sapel. Titik sapel sebanyak 9 itu terdiri dari: 0 sukses C = 5 = 5 titik sapel sukses C 4 5 = 4 5 = 500 titik sapel sukses C 4 5 = 5 = 50 titik sapel sukses C 4 5 = 4 5 = 0 titik sapel 4 sukses C = = titik sapel + Total n(s ) =.9 titik sapel Dengan elihat penyebaran (distribusi) banyaknya titik sapel pada peristiwaperistiwa di atas, kita dapat enentukan salah satu nilai peluangnya. Misal peluang unculnya uka dadu sebanyak kali adalah: 50 5 P (uncul uka sebanyak kali) = = 9 5 =. 9

37 Selanjutnya secara ateatika jika banyaknya sukses adalah x dari n obyek eksperien, aka untuk selanjutnya peluang x sukses dala n obyek diruuskan dala disribusi binoial seperti berikut. Distribusi Binoial x sukses dala pengundian n obyek eksperien sejenis sekaligus adalah P (x, n, p, q) = C. P x q n x p = peluang sukses unculnya asing-asing obyek sejenis, dan q = p. n x Dengan engacu pada distribusi binoial di atas, aka peluang unculnya uka dadu sebanyak kali adalah: P (uncul uka sebanyak kali) = P ( sukses, 4 dadu, peluang ) = C n x. P x. q n x = 4 C.( ).( ) 4 =. ( ) 5.( ) 5 5 = =. LLOSSARIIUM Obyek eksperien, ruang sapel, titik sapel, peristiwa, peristiwa sederhana (eleenter), peristiwa ajeuk, pengundian obyek n kali, pengundian n obyek sekaligus, frekuensi, frekuensi relatif, peluang, distribusi peluang tak seraga, distribusi peluang seraga, prinsip penjulahan, prinsip perkalian, distribusi binoial. Latti ihan 0. Ada berapa titik sapel dan apakah ruang sapel dari hasil eksperien tersebut berdistribusi seraga (berpeluang saa untuk uncul). Berikan alasan pendukung jawaban Anda. a. Dua buah dadu diundi sekaligus b. Tiga keping ata uang loga diundi sekaligus c. Tiga paku payung diundi sekaligus d. Sebuah dadu, sekeping ata uang loga, dan sebuah paku payung diundi sekaligus

38 e. Dua buah dadu dan sekeping ata uang loga diundi sekaligus f. Dua buah dadu dan tiga keping ata uang loga diundi sekaligus g. Epat kartu gabar asing-asing sisi sebaliknya kosong (tidak bergabar) dilabungkan ke udara dan jatuh ke tanah.. S adalah ruang sapel dari sebuah dadu dan 4 keping ata uang loga yang diundi sekaligus. A adalah peristiwa unculnya ata dadu genap dan diantara 4 keping ata uang itu uncul uka gabar. a. Berapa titik sapel yang ada dala S, dan apakah S berdistribusi seraga? b. Berapa titik sapel yang ada dala A, dan tentukan peluang unculnya peristiwa A.. S adalah ruang sapel yang dihasilkan oleh keping ata uang loga dan paku payung yang diundi sekaligus. a. Berapakah titik sapel yang diuat oleh S, apakah S berdistribusi seraga? b. B adalah peristiwa unculnya uka angka pada diantara ata uang dan unculnya hasil saa pada kedua paku payung. Berapa titik sapel yang ada pada peristiwa B, dan berapkah peluang unculnya peristiwa B? c. C adalah peristiwa unculnya salah satu ata uang uncul angka dan salah satu paku payung uncul hasil iring, berapa titik sapel yang ada pada C dan berapakah peluang unculnya peristiwa C. 4. S adalah ruang sapel yang dihasilkan oleh buah dadu dan keping ata uang loga yang diundi sekaligus. D adalah peristiwa unculnya uka pada diantara buah dadu dan unculnya uka gabar pada salah satu ata uang. a. Berapakah titik sapel yang diuat oleh S, dan apakah S berdistribusi seraga? b. Berapa titik sapel yang diuat oleh peristiwa D dan berapa peluang unculnya peristiwa D? 5. S adalah ruang sapel yang dihasilkan oleh 5 buah kartu gabar (kartu yang salah satu sisinya bergabar dan sisi sebaliknya kosong) yang dilepar ke udara sekaligus. a. Berapakah titik sapel yang diuat oleh S, dan apakah S berdistribusi seraga? b. Jika E adalah peristiwa unculnya uka gabar pada diantara 5 kartu, berapa titik sapel yang diuat oleh peristiwa E dan berapakah peluang unculnya peristiwa E?.

39 4 C 0 Paket Fasilitasi Peberdayaan KK/MMP Mateatika Upan Balik Cocokkan jawaban Anda dengan Kunci jawaban latihan yang terdapat di bagian akhir odul ini, dan hitunglah julah jawaban Anda yang benar. Keudian gunakanlah ruus di bawah ini untuk engetahui tingkat penguasaan Anda terhadap ateri Bab II ini. Karena dari 5 noor soal terdapat pertanyaan, aka: Ruus Julah jawaban Anda yang benar Tingkat penguasaan = 0% Arti tingkat penguasaan yang Anda capai: 90% 0% = baik sekali (aat baik) 5% 89% = baik 0% 4% = sedang < 59% = kurang Kalau Anda encapai tingkat penguasaan 80% ke atas, Anda dapat eneruskan ke bab berikutnya. Tetapi, kalau tingkat penguasaan Anda di bawah 80%, Anda harus engulangi Bab II, terasuk di bagian yang belu Anda kuasai.

40 Bab Relasi Antar Peristiwa A.. Pengerrtti ian/konssep Relassi i Anttarr Perri isstti iwa Misalkan A dan B adalah peristiwa-peristiwa yang ada pada ruang sapel S. Relasi antara kedua perstiwa A dan B tersebut dapat bersifat lepas, kopleen (ingkaran), bebas, dan tak bebas. Untuk eahai relasi antara dua peristiwa dala suatu ruang sapel S diberikan gabaran elalui beberapa diagra Venn seperti berikut. S a. A dan B adalah peristiwa lepas. Yakni dua peristiwa yang tak dapat terjadi secara A B bersaaan. b. S A dan B adalah peristiwa kopleen. A = bukan B atau B = bukan A, ditulis B = A c A B P(A c ) = P(A). c. S 5 P(A) =, P(B) =, P(A B) =. Ternyata P(A B) P(A) P(B), aka A B A dan B adalah peristiwa tak bebas.

41 4 5 d. A S P(A) =, P(B) =, P(A B) =. 5 Ternyata P(A B ) = P(A) P(B ), aka B A dan B adalah peristiwa bebas. Dengan konteks seperti yang digabarkan di atas selanjutnya secara foral diberikan definisi seperti berikut. DDeef fi iinni iissi Misalkan A dan B adalah peristiwa-peristiwa dala ruang sapel S, aka A dan B adalah dua peristiwa bebas jika P(A B) = P(A) P(B ). A dan B adalah dua peristiwa tak bebas jika P(A B) P(A) P(B). A dan B adalah dua peristiwa lepas jika A B = Ø. A dan B adalah dua peristiwa kopleen jika A B = Ø dan A B = S. Contoh Misalkan dua buah dadu diundi sekaligus. Pada ruang sapel S hasil eksperien tersebut A adalah peristiwa unculnya uka dadu pertaa adalah atau 4, B adalah peristiwa unculnya uka dadu kedua adalah 4 atau 5, dan C adalah peristiwa unculnya julah kedua uka dadu aksial adalah. Dari soal di atas, pertanyaan yang dikeukakan adalah: (a) berapakah peluang asing-asing dari peristiwa A, B, dan C tersebut, (b) relasi apakah yang terjadi antara peristiwa A dan B, (c) relasi apakah yang terjadi antara peristiwa A dan C. Jawab Untuk eperjelas peecahan dari asalah tersebut sajian ruang sapel, titik sapel, dan peristiwa yang terjadi kita gabarkan elalui kobinasi antara tabel dan diagra Venn seperti berikut. 4

42 D D e e e e 4 e 5 e C e e 8 e 9 e e e e e 4 e 5 e e e 8 e 9 e 0 e e e e 4 e 5 e e e 8 e 9 e 0 e e e e 4 e 5 e B A S Diketahui Dua buah dadu diundi sekaligus. A = peristiwa unculnya uka dadu pertaa adalah atau 4, B = peristiwa unculnya uka dadu kedua adalah 4 atau 5, dan C = peristiwa unculnya julah kedua uka dadu aksial. Ditanyakan a. berapakah peluang asing-asing dari peristiwa A, B, dan C tersebut b. relasi apakah yang terjadi antara peristiwa A dan B c. relasi apakah yang terjadi antara peristiwa A dan C. Jawab a. Berapakah peluang asing-asing dari peristiwa A, B, dan C tersebut? Karena sebuah dadu enghasilkan titik sapel, aka buah dadu jika diundi sekaligus akan enghasiklan titik sapel sebanyak, yakni: S = {s, s, s,..., s } sehingga n(s ) =. Selanjutnya diadakan identifikasi asing-asing peristiwa sesuai dengan yang didefinisikan. A = peristiwa unculnya uka dadu pertaa adalah atau 4 = {e, e 4,..., e 4 }, aka n(a) = B = peristiwa unculnya uka dadu kedua adalah 4 atau 5 = {e 4, e 5, e, e,..., e 4, e 5 }, aka n(b ) = C = peristiwa unculnya julah kedua uka dadu aksial. = {e, e, e,}, aka n(c ) =. 5

43 Karena dadu erupakan obyek eksperien yang enghasilkan ruang sapel berdistribusi seraga, aka n dadu juga akan enghasilkan ruang sapel yang berdistribusi seraga. Sehingga kita dapat enerapkan definisi klasik untuk enentukan nilai peluang asing-asing peristiwa yang ada di dalanya. P(A) = n(a) n(b) = =, P(B ) = n(s) n(s) n(c) = =, P(C ) = = =, n(s) dan P(A B) = n(a B) 4 = =. n(s) 9 b. Relasi apakah yang terjadi antara peristiwa A dan B? Perhatikan bahwa P(A) =, P(B ) =, aka P(A) P(B) = =. Sedangkan P(A B) 9 = 9. Karena P(A B) = P(A) P(B) aka A dan B adalah dua peristiwa bebas. c. Relasi apakah yang terjadi antara peristiwa A dan C?. Berdasarkan diagra Venn yang sesuai dengan soal cerita di atas, seperti yang dapat kita lihat aka A dan C adalah dua peristiwa lepas. B.. Latti ihan. Sebuah dadu diundi satu kali. Jika A adalah peristiwa unculnya uka dadu aksial, B adalah peristiwa unculnya uka dadu inial 4, dan C adalah peristiwa unculnya uka dadu pria, tentukan relasi antara peristiwa a. A dan B b. A dan C c. B dan C. Misalkan dua buah dadu diundi sekaligus dan S adalah ruang sapelnya. A dan B adalah dua peristiwa dala S. Tentukan relasi antara A dan B jika a. A adalah peristiwa unculnya julah kedua ata dadu aksial 4.

44 B adalah peristiwa unculnya julah kedua ata dadu inial. b. A adalah peristiwa unculnya julah kedua ata dadu inial 9. B adalah peristiwa unculnya julah kedua ata dadu aksial 8. c. A adalah peristiwa unculnya uka dadu pertaa antara dan. B adalah peristiwa unculnya uka dadu kedua antara dan. d. A adalah peristiwa unculnya uka dadu pertaa antara dan B adalah peristiwa unculnya uka dadu pertaa antara dan dan dadu kedua inial.. Sebuah kotak berisi epat buah bola bernoor,,, dan 4 (lihat gabar). Dari dala kotak diabil dua bola sekaligus. 4 abil acak dua bola sekaligus Misalkan dari dua bola yang terabil itu: A adalah peristiwa terabilnya julah bilangan pada kedua bola genap, B adalah peristiwa terabilnya julah bilangan pada kedua bola inial 5, C adalah peristiwa terabilnya julah bilangan pada kedua bola habis dibagi, D adalah peristiwa terabilnya julah bilangan pada kedua bola antara dan, serta E adalah peristiwa terabilnya julah bilangan pada kedua bola ganjil. Tentukan relasi antara perisiwa: a. A dan B b. A dan C c. A dan D d. A dan E. 4. Sebuah kotak berisi 5 buah bola seukuran. Masing-asing bola ditandai dengan angka,,, 4, dan 5. Dari dala kotak diabil secara acak (dua) bola sekaligus. Jika A = peristiwa terabilnya julah bilangan pada kedua bola aksial 4 B = peristiwa terabilnya julah bilangan pada kedua bola antara dan

45 C = peristiwa terabilnya julah bilangan pada kedua bola aksial 8 D = peristiwa terabilnya julah bilangan pada kedua bola inial 5 E = peristiwa terabilnya julah bilangan pada kedua bola inial 4 dan aksial, tentukan relasi antara peristiwa A. A dan B B. A dan C C. A dan D D. A dan E 5. Misalkan di dala sebuah kotak tertutup terdapat buah paku payung seperti yang dapat dilihat pada gabar. Kotak itu keudian dikocok sehingga jatuhnya asingasing paku payung hanya ada keungkinan saja (t = terlentang atau =iring). Jika diketahui bahwa P({t}) =, P({}) = sedangkan A, B, C, D, dan E asing-asing adalah peristiwa sebagai berikut. I II III A = ketiga paku payung berposisi iring B = salah satu paku payung berposisi iring C = dua paku payung diantaranya berposisi iring D = ketiga paku payung berposisi terlentang E = inial dua diantara paku payung berposisi iring F = ketiga paku payung berposisi saa (seuanya iring atau seuanya terlentang). Pertanyaan a. berapa aca titik sapel yang ungkin terjadi dala eksperien itu? b. apakah asing-asing titik sapel berpeluang saa untuk uncul? c. tentukan peluang unculnya asing-asing peristiwa d. tentukan relasi antara peristiwa o A dan B o B dan C o E dan F. Upan Balik Cocokkan jawaban Anda dengan Kunci latihan yang terdapat di bagian akhir odul ini, dan hitunglah julah jawaban Anda yang benar. Keudian gunakanlah ruus di 8

46 bawah ini utuk engetahui tingkat penguasaan Anda terhadap ateri Kegiatan Belajar ini. Karena dari 5 noor soal di atas ada 9 pertanyaan aka: Ruus Julah jawaban Anda 9 yang benar Tingkat penguasaan = 0% Arti tingkat penguasaan yang Anda capai: 90% 0% = baik sekali (aat baik) 5% 89% = baik 0% 4% = sedang < 59% = kurang Kalau Anda encapai tingkat penguasaan 5 % ke atas, berarti sudah baik. Tetapi, kalau tingkat penguasaan Anda di bawah 5 %, Anda harus engulangi Bab II, terasuk di bagian yang belu Anda kuasai. 9

47 40

48 Bab 4 Penutup A.. Rangkuan Materi peluang yang ditulis pada odul ini eliputi pengundian dan relasi antar peristiwa. Pengundian eliputi konsep-konsep: (a) obyek eksperien, (b) cara eksperien, (c) hasil-hasil yang ungkin terjadi pada eksperien itu. Konsep peluang terbagi dala hal, yaitu: () tinjauan berdasarkan definisi epirik, dan () tinjauan berdasarkan definisi klasik. didahului dengan peluang unculnya asing-asing hasil yang ungkin terjadi (titik sapel) jika obyek eksperiennya tunggal, dan dilanjutkan dengan peluang unculnya asing-asing hasil yang ungkin terjadi (titik sapel) jika obyek eksperiennya banyak (lebih dari satu). Sebelu enentukan nilai peluang unculnya suatu peristiwa dala ruang sapel S (yang dihasilkan oleh banyak obyek) diawali dengan teknik enentukan banyak anggota dari peristiwa yang diaksudkan itu. Peristiwa yang diaksud berkenaan dengan tingkat sukses tidaknya suatu hasil yang diincar uncul dala eksperien itu. Teknik enghitung banyaknya titik sapel dari suatu peristiwa tersebut diaksudkan untuk ebedakan antara teknik enghitung nilai peluang dari suatu peristiwa pada ruang sapel yang berdistribusi seraga dengan ruang sapel yang berdistribusi tak seraga. Hal ini dirasa penting karena erupakan bagian dari konsep peluang yang harus diketahui guru. Tujuannya agar tean-tean guru lebih eiliki kepekaan (sense of probability objects) engenai suatu obyek eksperien apakah akan enghasilkan ruang sapel yang berdistribusi seraga atau tidak. Sebab teknik enghitung banyak anggota berbeda antara ruang sapel yang berdistribusi seraga dan yang tidak seraga. Untuk topik berikutnya yakni relasi antar peristiwa dala suatu ruang sapel, ditapilkan diagra Venn yang eperudah pebaca dala engidentifikasi 4

49 peristiwa-peristiwa yang akan dicari relasinya, eliputi peluang asing-asing peristiwa dan irisannya. B.. Sarran--ssarran Kepada para pengguna odul ini (para guru ateatika SMA dala foru MMP) diharapkan untuk epelajari terlebih dahulu, encoba latihannya, encocokkannya dengan kunci jawaban, dan endiskusikan hasil pekerjaannya dengan tean-tean guru lainnya baik di sekolah aupun pada foru MMP agar perasalahan pebelajaran peluang segera diketahui kekurangannya dan segera dapat eneukan strategi/langkah langkah pebelajaran yang paling efektif/efisien untuk dapat ditangkap oleh siswa dala rangka encapai kopetensi yang diharapkan. Bila para pengguna enginginkan inforasi lebih lanjut, sebelu engiri secara tertulis elalui fax dapat enghubungi penulis elalui C.. Tess. Tiga buah dadu diundi sekaligus. a. Ada berapa titik sapel yang ada pada ruang sapel dari eksperien ini? b. Apakah ruang sapelnya berdistribusi seraga?, jelaskan! c. Jika kita engincar unculnya uka dadu 4, dan A adalah peristiwa unculnya uka 4 tepat sebanyak kali berapa titik sapel yang diuat oleh peristiwa A? d. Berapa peluang unculnya peristiwa A? e. Jika B adalah peristiwa unculnya uka 4 inial sebanyak kali berapa titik sapel yang diuat oleh peristiwa B? f. Berapa peluang unculnya peristiwa B? 4. Lia buah dadu diundi sekaligus. a. Ada berapa titik sapel yang ada pada ruang sapel dari eksperien ini? b. Apakah ruang sapelnya berdistribusi seraga?, jelaskan! c. Jika kita engincar unculnya uka dadu, dan C adalah peristiwa unculnya uka tepat sebanyak kali berapa titik sapel yang diuat oleh peristiwa C? d. Berapa peluang unculnya peristiwa C? e. Jika D adalah peristiwa unculnya uka 5 inial sebanyak kali berapa titik sapel yang diuat oleh peristiwa D?