BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI 2. Teor-teor Dasar Untuk dapat mengert tentang robot dan knematka dalam bdang robotka, beberapa pengetahuan umum dalam robotka dan matematka perlu dketahu. 2.. Defns Robot Istlah robot berasal dar perkataan zech robota, ang berart kerja. Kamus besar Webster memberkan defns mengena robot, atu sebuah peralatan otomats ang melakukan pekerjaan sepert apa ang dlakukan manusa Klasfkas Umum Robot Berdasarkan fungsna robot dapat dklasfkaskan ke dalam 2 bagan besar, atu: a. Industral Robot, dgunakan pada sektor ndustr sepert, membantu dalam proses peraktan kendaraan, mengelas, dan sebagana. b. Servce Robot, merupakan robot ang berfungs membantu manusa dalam membershkan rumah, membantu dokter melakukan operas, menjad pemandu wsata, dan lan-lan. Berdasarkan sfat mobltasna, robot dklasfkaskan ke dalam 2 bagan besar, atu:

2 9 a. Fed Robot, robot ang memlk ruang kerja (spatal space) ang terbatas, d mana bagan dasarna (Base) dlekatkan pada sebuah benda tetap sepert panel atau meja. b. Moble Robot, robot ang memlk ruang kerja ang cukup luas, d mana bagan dasarna dlekatkan pada sebuah alat gerak sepert roda/ban atau kak Hukum Asmov Seorang penuls certa fks lmah, Isaac Asmov, pernah memberkan tga hukum pentng mengena tngkah laku sebuah robot, atu: a. Robot tdak boleh meluka manusa. b. Robot harus patuh pada perntah ang dberkan manusa, kecual bla perntah tersebut melanggar hukum pertama. c. Robot harus dapat menjaga eksstens drna sendr, kecual bla terjad pelanggaran terhadap hukum pertama dan kedua Matematka Pada bagan n akan djelaskan mengena vektor, matrks, operas matrks dan transpos matrks Vektor Berdasarkan Gere dan Weaver (983, p-3), berkut adalah bagan-bagan ang pentng tentang vektor: Vektor ddefnskan sebaga besaran ang memlk panjang dan arah. Vektor serng dnatakan secara geometrs oleh sebuah gars dengan tanda panah pada

3 ujungna. Panjang gars menunjukkan besarna vektor, dan tanda panah menunjukkan arah vektor. Sebaga lustras, perhatkan vektor F pada gambar 2. (vektor dcetak dengan huruf tebal untuk membedakanna dengan besaran skalar). Vektor F dgambarkan dengan sebuah anak panah, memlk panjang dan arah. D sn jelas bahwa sebuah blangan tunggal tdak cukup untuk menatakan vektor n, sebab harus ada besar dan arahna. Besar suatu vektor adalah suatu besaran skalar ang dperlhatkan oleh panjangna vektor; sebaga contoh, jka vektor F dalam gambar 2. adalah vektor jarak, maka besarna mungkn meter, dperlhatkan dengan skala ang sesua dengan panjang dar pangkal panah sampa ujungna. Jad besar suatu vektor senantasa mempuna nla non negatf, akn postf atau nol, dan umumna dnatakan oleh tanda nla mutlak; msalkan, besar F dtuls F. Y F Fz F F X Z Gambar 2. Suatu vektor F dan komponenna Berdasarkan Hadle (96, p6-7), vektor pada gambar 2.2 terdapat ttk (P, P, Pz) atu ttk d mana kepala dar vektor berakhr, vektor P sudah dnatakan secara lengkap. Besar/panjangna adalah

4 P = P P Pz (2-) dan arahna, dtentukan oleh kedua sudut Φ dan, d mana P tan = P (2-2) cos Φ = P 2 Pz + P 2 + Pz 2 (2-3) selanjutna hubungan antara vektor dengan ttk dapat dtuls sebaga berkut : P = (P, P, Pz) (2-4) Persamaan (2-4) menandakan bahwa P adalah sebuah vektor ang dgambar dar ttk asal sampa ttk (P, P, Pz) dengan koordnat P, P, Pz. Hubungan antara vektor dan ttk dalam ruang merupakan dasar dan pentng karena nla praktsna dalam perhtungan-perhtungan vektor, juga merupakan kunc untuk perluasan ang lebh abstrak dar konsep vektor. z (P, P, Pz) P Φ Gambar 2.2 Vektor P dalam ruang Matrks Berdasarkan Gere dan Weaver (983, p3-4), berkut adalah bagan-bagan ang pentng tentang matrks:

5 2 Bentuk ang palng umum dar suatu matrks adalah susunan blangan-blangan ang berbentuk perseg panjang ang dapat dgambarkan sebaga berkut: A A2 A = Am A A A 2 22 m2 A n A 2n Amn (2-5) Blangan-blangan A, A 2,..., A mn ang menusun rangkaan tu dsebut Elemen atau Unsur dar matrks. Indeks pertama dar elemen menunjukkan bars dan ndeks kedua menunjukkan kolom d mana elemen tu berada. Untuk menulskan matrks beserta elemen-elemenna dpergunakan tanda kurung sku sepert ang dperlhatkan pada persamaan (2-5); sedangkan, sebuah huruf ang dcetak tebal (msalna, A) dapat dgunakan juga untuk menatakan sebuah matrks. Sebuah penajan lan untuk sebuah matrks adalah dengan menulskan elemen umumna dalam sebuah kurung sku; maka matrks A pada persamaan (2-5) dapat juga dtuls [A j ] atau [A]. Ordo (atau ukuran) sebuah matrks dtentukan oleh banakna bars dan kolom; maka, matrks A pada persamaan (2-5) mempuna ordo m dan n, basana dtuls m n. Matrks bujur sangkar adalah matrks ang jumlah bars dan kolomna sama (m = n) dan dkatakan berordo n. Elemen-elemen dar matrks bujur sangkar mula ujung kr atas sampa ujung kanan bawah secara dagonal (atu elemen A, A 22,..., A mn ) dsebut dagonal utama matrks. Dan elemen-elemen dar kr bawah sampa kanan atas (A m,..., A n ) dnamakan dagonal kedua.

6 Operas Matrks Berdasarkan Gere dan Weaver (983, p4-2), berkut adalah bagan-bagan ang pentng tentang operas matrks: Aturan-aturan operas matematka (sepert penjumlahan dan perkalan) untuk matrks agak ntutf dan telah drumuskan sedemkan agar berguna untuk perhtunganperhtungan prakts. Hubungan ang palng sederhana kesamaan dua matrks. Agar dua buah matrks dapat dkatakan sama, mereka harus berordo sama dan elemen-elemen ang bersesuaan harus sama. Maka, jka A = B, d mana A dan B haruslah berlaku hubungan A j = B j untuk dar sampa m dan j dar sampa n. Penjumlahan Matr Penjumlahan dua buah matrks A dan B dapat berlangsung jka kedua matrks tu berordo sama. Jumlah dua buah matrks adalah matrks lan ang berordo sama ang elemen-elemenna merupakan jumlah dar elemen-elemen ang bersesuaan dar kedua matrks asal. Dengan kata lan, jka A + B = maka tap elemen akan mempuna bentuk: A j + B j = j (2-6) Perkalan Matr Ada banak cara untuk mengalkan dua buah matrks, antara lan, msalna hana mengalkan elemen-elemen ang bersesuaan. Secara umum kta dapat mengalkan sebuah matrks A ang berordo m n dengan matrks B ang berordo n p. Hasl-kalna berupa matrks ang berordo m p, ang dnatakan sebaga berkut: A. B = atau

7 4 A A Am 2 A A A 2 22 m2 A n A 2n Amn B B Bn 2 B B B 2 22 n2 B p B 2 p = 2 Bnp m 2 22 m2 p 2 p mp (2-7) Perkalan dlakukan dengan mengambl perkalan-dalam antara bars-bars dar matrks A dan kolom-kolom dar matrks B. Elemen ang terletak pada bars dan kolom pertama matrks berasal dar perkalan-dalam antara bars pertama matrks A dengan kolom pertama matrks B, sehngga: = A B + A 2 B A n B n (2-8) Elemen p berasal dar perkalan-dalam antara bars pertama matrks A dengan kolom ke-p matrks B, sehngga: p = A B p + A 2 B 2p A n B np (2-9) Elemen-elemen bars ke-dua matrks dhtung dar perkalan-dalam antara bars kedua matrks A dengan setap kolom matrks B secara bergantan; akn: 2 = A 2 B + A 22 B A 2n B n 22 = A 2 B 2 + A 22 B A 2n B n p = A 2 B p + A 22 B 2p A 2n B np (2-) ara untuk menghtung elemen-elemen matrks n (atau perkalan matrks) menunjukkan bahwa supaa perkalan n dapat berlangsung maka banakna kolom matrks A harus selalu sama dengan banakna bars matrks B. Matrks akan selalu mempuna banak bars ang sama dengan matrks A dan banak kolom ang sama dengan matrks B. Hubungan kesesuaan untuk perkalan matrks n dapat dnatakan dengan bagan sebaga berkut:

8 5 Perkalan matrks kebanakan tdak komutatf. Yakn: [m n] [n p] = [m p] (2-) A B B A (2-2) Transpos Matrks Berdasarkan Gere dan Weaver (983, p2), matrks tranpos, atu sebuah matrks baru ang dbentuk dengan menukar bars-bars dan kolom-kolom dar matrks asal; atu; bars pertama dar matrks asal menjad kolom pertama dar matrks transpos, bars kedua menjad kolom kedua dan seterusna. Jka matrks A adalah matrks asal ang berordo m n, sepert ang terdapat pada persamaan (2-5), maka matrks transposna, dtuls A T, akan berordo n m: A T A A2 = A n A A A n Am A m2 Amn (2-3) 2.2 Teor-teor Khusus ang Berhubungan dengan Topk Yang Dbahas Teor khusus tentang robot ndustr dan knematka ang berhubungan dengan geometr dar gerakan. Berkut n beberapa dasar teor robot ndustr dan knematka Defns Robot Industr Organsas standarsas duna melalu ISO 8373 mendefnskan robot ndustr sebaga sebuah manpulator dengan tga atau lebh sumbu, ang dkontrol secara otomats, ang dapat dprogram ulang, dengan banak tujuan, d mana dletakkan pada

9 6 tempat ang tetap atau dapat bergerak untuk keperluan dan aplkas-aplkas otomas ndustr. D sampng tu, Brtsh Robot Assocaton memberkan defns mengena robot ndustr, atu sebuah peralatan ang dapat dprogram ulang, ang drancang untuk sekalgus memanpulas dan memndahkan benda, peralatan atau alat khusus untuk proses manufaktur, melalu gerakan dengan pemrograman varabel untuk melakukan tugas manufaktur khusus. Demkan halna dengan Japanese Industral Robot Assocaton ang memberkan defns robot menjad enam tngkatan (Fu et al, 987, p-6), atu: a. Peralatan manual (manual handlng devces). b. Peralatan mengangkat dan meletakkan (pck and place devces). c. Manpulator ang varabelna dapat dprogram secara berurutan (programmable varable sequence manpulator). d. Robot ang dajar secara manual (robot taught manuall). e. Robot ang dkendalkan dengan sebuah bahasa pemrograman (robots controlled b a programmng language). f. Robot ang dapat bereaks terhadap lngkunganna (robots whch can raect to ther envronment) Karakterstk Robot Industr Berdasarkan James L. Fuller (99, p37-38), berkut adalah karakterstkkarakterstk robot ndustr: a. Hand, atau tangan dalam robotka dkenal sebaga grpper, end effector, atau end-ofarm. D dalam tangan tersebut terdapat peralatan-peralatan mekank ang bsa dgerakkan ang dlekatkan pada ujung manpulator. Tangan robot dapat memegang

10 7 dan memndahkan objek serta bsa juga melakukan proses manufaktur sepert: mengelas, mengecat dan sebagana. b. Wrst, merupakan penghubung antara tangan (hand) dan lengan (arm) pada robot. Wrst dapat bergerak dengan tga pergerakan, antara lan: Ptch, pergerakan jont nak dan turun. Yaw, pergerakan jont menampng kr dan kanan. Roll, pergerakan jont memutar. c. Arm, atau lengan, merupakan sarana untuk bernteraks langsung dengan objek. Bentuk dar lengan n akan dapat mempengaruh pergerakan, lntasan dan luas jangkauan dar robot. Secara mekans lengan robot terbag atas dua bagan utama, atu: Lnk, merupakan bagan lengan. Jont, merupakan ttk pertemuan antara dua lnk. Jont tu sendr terdr dar beberapa macam, atu prsmatc jont, planar jont, sphercal jont, revolute jont, screw jont, dan clndrcal jont. d. Shoulder, berfungs untuk mendukung/membantu pergerakan lengan. e. Lftng Power, merupakan gaa angkat dar lengan robot ang bergantung pada berat, bentuk dan objek ang akan dpndahkan. f. Repeatablt, untuk dapat menggantkan peran manusa dengan sempurna, sebuah robot harus dapat melakukan tugas/pekerjaan secara berulang-ulang dengan press ang tngg/bak. Kemampuan pergerakan robot secara berulang-ulang untuk melakukan tugas dengan press ang bak dsebut repeatablt.

11 8 g. Automatc ontrol Sstem, dgunakan untuk menjalankan nstruks-nstruks ang tersmpan d dalam memor robot. Tanpa Automatc ontrol Sstem, robot hanalah sepert sebuah peralatan kendal jarak jauh Komponen Robot Industr Berdasarkan James L. Fuller (99, p37-38), robot ndustr mempuna dua komponen utama, antara lan: a. Phscal Parts/Anatom, terbentuk dar empat bagan, atu: Mechancal Part/Manpulator, adalah suatu struktur peralatan mekank ang mempuna fungs tertentu, msalna untuk menjept, berputar ataupun bergeser dan lan sebagana. Manpulator basana dbuat dalam bentuk lengan. ontroller, atu bagan dar sstem ang bertugas mengatur semua kegatan ang terjad pada robot. ontroller pada robot dapat menggunakan mkrokontroler atau mkroprosesor dan bers control program dan task program. Power Suppl, berfungs memberkan energ kepada manpulator untuk dapat bergerak. Energ ang dberkan bsa berupa elektrk, hdrolk, atau pneumatk. Vehcle, komponen n dapat dgunakan ataupun tdak (optonal). Berfungs untuk membawa bagan dasar (base) dar robot ke arah tempat robot bekerja. Bagan dasar robot (base) bsa dlekatkan pada sebuah benda tetap sepert panel atau meja, juga bsa dlekatkan pada sebuah alat gerak sepert roda/ban atau kak. b. Learned Behavor/Task Program, berfungs sebaga data pada control program untuk melaksanakan pekerjaan ang dberkan.

12 Knematka Dasar Berdasarkan Fu, Gonzales dan Lee (987, p6-3), berkut adalah pengertan tentang permasalahan-permasalahan ang terdapat pada knematka: Terdapat dua permasalahan dalam mempelajar knematka, permasalahan pertama adalah drect knematcs. Drect knematcs berhubungan dengan mencar solus untuk mendapatkan poss dan orentas dar tool frame dalam hal n end effector ang relatf terhadap base frame dengan memberkan sudut-sudut dar jont (). Permasalahan ang kedua adalah nverse knematcs, berhubungan dengan mencar solus untuk menemukan besarna sudut-sudut jont () dengan memberkan poss dan orentas dar end effector. Parameter Lnk Sudut-sudut Jont Drect Knematc Poss dan Orentas End Effector Parameter Lnk Sudut-sudut Jont Inverse Knematc Gambar 2.3 Drect knematcs dan nverse knematcs Defns Poss, Orentas, dan Frame Berdasarkan rag (989, p2-24), berkut adalah defns dar poss, orentas, dan frame. Poss merupakan lokas kedudukan relatf suatu benda terhadap suatu acuan. Orentas merupakan arah rujukan suatu benda relatf terhadap suatu acuan. Frame

13 2 merupakan sekumpulan vektor ang memberkan nformas tentang poss dan orentas atau secara sngkat frame dapat dsebut koordnat. Macam-macam Gerakan Berdasarkan rag (989, p32-37), gerakan bsa dbag menjad: gerak translas, gerak rotas, dan transformas. Gerak translas adalah gerak perpndahan suatu ttk ke ttk lan secara lurus d dalam ruangan. Gerak rotas adalah gerak perpndahan suatu ttk ke ttk lan secara melngkar d dalam ruangan. Transformas adalah gerakan gabungan dar gerak translas dan gerak rotas Drect Knematcs Pada bagan n akan djelaskan mengena matrks rotas, translas, transformas homogeneous, dan konsep Denavt-Hartenberg. Hal n dmaksudkan dalam memaham konsep Denavt-Hartenberg memerlukan pembahasan transformas homogeneous d mana untuk memahamna memerlukan pembahasan tentang matrks rotas dan translas bak dalam dua ataupun tga dmens Rotas Dalam 2 Dmens Y ' V V Θ Φ ' X Gambar 2.4 Vektor V berotas menjad V

14 2 Gambar 2.4 menggambarkan vektor V = adalah poss dar sebuah ttk. Bla dtuls dengan koordnat polar menjad V = r cos φ = r sn φ (2-4) Bla terjad rotas sebesar, V menjad V d mana ( ) ( ) ' r cos + φ r V = = = ' r sn + φ r ( cos cos φ sn sn φ ) ( ) sn cos φ + cos sn φ cos sn cos sn V = = sn + cos sn cos (2-5) sehngga V = R. V (2-6) dengan cos R = matrks rotas = sn sn cos (2-7) Rotas Dalam 3 Dmens Gambar 2.5 menggambarkan sstem koordnat OUVW berotas terhadap sstem koordnat referens OXYZ. Ttk P dapat drepresentaskan melalu tap-tap koordnatna dengan mengacu kepada sstem koordnat OUVW dan OXYZ.

15 22 Z W.P O V Y U X Gambar 2.5 Koordnat OUVW relatf terhadap sstem koordnat OXYZ Matrks rotas dalam 3 dmens berukuran 3 3. Pada gambar 2.6, bla sstem koordnat OUVW berotas terhadap sumbu OZ dengan sudut, maka koordnat arah sumbu OZ tdak berubah, ang berubah koordnat pada arah OX dan OY, jad matrksna mrp dengan matrks rotas dalam 2 dmens dengan komponen Z-na tetap, haslna adalah, cos sn R = z, sn cos (2-8) Z P W O V U Y X Gambar 2.6 Koordnat OUVW berotas terhadap sumbu OZ Gambar 2.7 menggambarkan bla sstem koordnat OUVW berotas terhadap sumbu OX dengan sudut α, maka koordnat arah sumbu OX tdak berubah, ang berubah koordnat pada arah OY dan OZ, jad matrksna mrp dengan matrks rotas dalam 2 dmens dengan komponen X-na tetap, haslna adalah,

16 23 R, α = cosα snα (2-9) snα cosα Z P W O V Y U X Gambar 2.7 Koordnat OUVW berotas terhadap sumbu OX Gambar 2.8 menggambarkan bla sstem koordnat OUVW berotas terhadap sumbu OY dengan sudut Φ, maka koordnat arah sumbu OY tdak berubah, ang berubah koordnat pada arah OX dan OZ, jad matrksna mrp dengan matrks rotas dalam 2 dmens dengan komponen Y-na tetap, haslna adalah, cosφ sn Φ R, Φ = (2-2) sn Φ cosφ Z U W P X O V Y Gambar 2.8 Koordnat OUVW berotas terhadap sumbu OY

17 24 Arah rotas berlawanan jarum jam tanda α,, dan Φ adalah postf sedangkan arah rotas searah dengan gerak jarum jam tanda α,, dan Φ adalah negatf. Matrks-matrks R,α persamaan (2-9), R,Φ persamaan (2-2) dan R z, persamaan (2-8) d atas dapat dsebut sebaga matrks rotas dasar. Z W Z W α V Φ O α Y X U Φ O V O Y U X Gambar 2.9 Sstem-sstem koordnat ang berputar Translas Dalam 2 Dmens Gambar 2. menggambarkan poss sebuah ttk (, ) dnatakan dengan sebuah vektor V. Ttk n kemudan berpndah menjad (, ) dan dnatakan dengan vektor V. Y V V V O X Gambar 2. Vektor V bertranslas menjad V

18 25 Msalkan perubahan vektor V ang merupakan perubahan dalam arah sebesar, dan dalam arah sebesar, maka V = V + V (2-2) Jka dtuls dalam komponenna menjad, + = ' ' + + = ' ' (2-22) Translas Dalam 3 Dmens Sepert halna dengan translas 2 dmens, untuk translas 3 dmens hana menambahkan komponen z, sehngga persamaan (2-22) menjad, = z z z ' ' ' (2-23) Jka dtuls dalam bentuk matrks persamaan (2-23) d atas menjad, = ' ' ' z z z (2-24) Matrks z dsebut matrks translas. Nla pada pojok kanan bawah hana merupakan operator matematka pembantu saja agar penulsan dalam bentuk matrks bsa dlakukan. Selan tu jka bukan translas saja tetap juga melakukan rotas

19 26 maka matrks rotas dan translas bsa dgabung menjad satu dan basana dsebut matrks transformas homogenous Matrks Transformas Homogeneous Berdasarkan Fu, Gonzales dan Lee (987, p27-29), berkut adalah bagan-bagan ang pentng tentang transformas homogeneous: Matrks rotas 33 ang sebelumna dperkenalkan tdak dapat dgunakan untuk menunjukkan pergeseran dar suatu poss (translas) dan penskalaan, untuk tu dbutuhkan sebuah matrks baru ang bsa merepresentaskan pergeseran sekalgus penskalaan. Matrks transformas homogeneous adalah sebuah matrks 44 d mana matrks n dapat memetakan sebuah vektor poss ang dekspreskan dalam koordnat homogeneous dar suatu sstem koordnat ke sstem koordnat lanna. Sebuah matrks transformas homogeneous terdr dar 4 submatrks: T R3 = f 3 3 Ι Ι Ι matrks P 3 rotas = transformas S perspektf Ι Ι Ι vektor poss skala (2-25) d mana submatrks 33 ang terletak d kr atas merepresentaskan matrks rotas, submatrks 3 d bagan kanan atas merepresentaskan vektor poss dar sstem koordnat asal ang drotas mengacu pada sstem koordnat referens. Submatrks 3 d bagan bawah kr merepresentaskan transformas perspektf, dan terakhr submatrks ang terletak d bagan kanan bawah adalah matrks ang merepresentaskan faktor penskalaan.

20 27 Selanjutna sebuah matrks rotas 33 bsa dperluas menjad matrks transformas homogeneous 44 ang dlambangkan dengan T rot. Persamaan (2-8) sampa dengan persamaan (2-2) dapat dekspreskan sebaga matrks transformas homogeneous, cosα snα T =, α (2-26) snα cosα cosφ sn Φ T =, Φ (2-27) sn Φ cosφ cos sn sn cos T = z, (2-28) Matrks-matrks rotas 44 d atas dsebut juga matrks rotas homogeneous dasar. Submatrks 3 ang merepresentaskan transformas perspektf berguna pada komputer vson dan kalbras dar sebuah kamera. Semua elemen dar sub matrks n d set sama dengan nol untuk mengndkaskan bahwa perspektf/sudut pandang tdak berubah karena tdak menggunakan kamera. Pada matrks rotas homogeneous faktor penskalaan d set, karena dasumskan tdak terjad pembesaran pada objek jka tdak menggunakan kamera.

21 Konsep Denavt Hartenberg Manpulator mekank terdr atas sejumlah bagan tubuh ang dnamakan sebaga lnk. Kemudan sejumlah jont dgunakan untuk menghubungkan lnk-lnk tersebut. Setap jont mewakl satu derajat kebebasan. Untuk mendeskrpskan hubungan translasonal dan rotasonal antara lnk-lnk ang berdekatan, Denavt dan Hartenberg [955] memperkenalkan rancangan sebuah metode matrks ang secara sstemats membangun sebuah sstem koordnat dar masng-masng lnk. Dalam mencar sebuah transformas dar sebuah ujung alat hngga bass dar sebuah manpulator, dtentukan frame dar lnk-lnk dan mendapatkan teknk ang sstematkal, ang dapat menjabarkan knematka dar sebuah robot dengan n derajat kebebasan dalam cara ang unk. Gambar 2. Lnks of a knematc chan

22 29 Gambar 2. menunjukkan lnk pertama dar ranta knematka. Pada bass dan tap lnk dar ranta tersebut menggambarkan sebuah frame K ang spesfk, ang mana merupakan lnk. Jad poss dan orentas dar sebuah frame lnk berubah dengan berdasarkan frame lnk ang sebelahna menurut pergerakkan dar penggabungan jont. Maka dar tu koordnat frame K dapat djabarkan dar frame K - lnk sebelumna. Transformas homogeneous melput sudut jont (untuk jont putar) atau offset jont (untuk prsmatc jont). Pada akhrna frame K n dapat dtransformaskan ke frame base dengan mengalkan semua transformas lnk dengan ranta knematk. Jad untuk membuat sebuah poss/orentas tergantung dar frame alat (sensor ang terletak dsana) mendekat frame bass dar manpulator (ang berada d lanta basana permanen), urutan dar transformas homogeneous durut dar atas(ujung akhr) hngga bawah(bass) dengan urutan K n-,k n-2,.,k harus dolah. Tugas ang terssa adalah mengatur semua matrks transformas homogeneous untuk sebuah tpe ranta knematk, mengngat sudut dar lnk dan tpe dar jont.

23 3 Gambar 2.2 Parameter knematk menurut konsep Denavt Hartenberg Gambar 2.2 menunjukkan secara terpernc dar ranta knematk, dmana dua buah lnk ang terhubung lewat sebuah jont putar. In dgunakan untuk menunjukkan bagamana parameter-parameter ddapat dengan penjabaran lnk. Untuk mendapatkan sstem koordnat-koordnat dar lnk dapat dlhat pada penjabaran pada jont-jont-na. dan - adalah jont ang merepresentaskan jont ang satu dengan ang sebelumna. Pada jont ang ke, perpotongan gars tegak pada ttk U dengan gars lurus a merupakan frame K, dmana =,, 2, 3, 4,, n (dmana n merupakan jumlah derajat kebebasan). Sumbu ddapat dar gars normal pada frame base dan searah dengan lnk jka bukan base. Sumbu Z merupakan gars lurus ang searah dengan sumbu putar jont, sehngga berdasarkan kaedah tangan kanan sumbu

24 3 bsa ddapatkan. Kaedah tangan kanan ddefnskan sebaga perluasan bu jar, jar telunjuk, dan jar tengah tangan kanan. pergerakan dar (jar telunjuk) ke + (jar tengah) menunjukkan hasl vektor z (bu jar). Berdasarkan Fu, Gonzales dan Lee (987, p36) setap koordnat dbuat berdasarkan tga buah aturan d bawah n:. Sumbu Z - berada d sepanjang poros pergerakan dar jont ke- 2. Sumbu X tegak lurus terhadap sumbu Z - dan menunjuk menjauh darna 3. Sumbu Y melengkap sstem koordnat ang dperlukan berdasarkan aturan tangan kanan Pada parameter-parameter ang ada untuk konsep Denavt Hartenberg ang ada pada gambar 2.2 dapat djabarkan sebaga berkut: a. Panjang dar gars normal Sudut antara Z - dan Z dengan sumbu X sebaga acuanna Panjang dar gars Sudut antara X - dan X dengan sumbu Z - sebaga acuanna Sebuah transformas homogeneous - T pencermnkan frame K terhadap K - melalu lnk terbaru, dapat dturunkan dengan transformas geometrkal melalu lnk dengan pertmbangan sebaga berkut:. Rotas terhadap Z - dengan sudut. 2. Translas sepanjang Z - dengan perpndahan d. 3. Translas sepanjang X - dengan perpndahan a. 4. Rotas terhadap X dengan sudut α. Masng-masng dar keempat pertmbangan d atas dapat dlakukan perhtungan dengan cara matrks homogeneous rotas-translas dan hasl dar keempat

25 32 matrks tersebut adalah matrks transformas berdasarkan konsep Denavt Hartenberg untuk sstem koordnat berdekatan - A, atu sstem koordnat dan sstem koordnat -, untuk jont putar adalah: - A = T Z,d. T Z,. T X,a. T X,α - A = cos sn sn cos cos sn sn cos a d α α α α - A = cos sn sn cos sn cos cos sn cos sn sn sn cos cos d a a α α α α α α (2-29) Inverse Knematcs Inverse Knematcs dperlukan pada pengendalan poss dan orentas dar end effector robot untuk mencapa suatu objek d dalam sstem koordnat. Berdasarkan poss dan orentas ( T ) ang ngn dcapa, nverse knematcs dgunakan untuk mencar besarna sudut ( ) ang harus dberkan pada setap jont () manpulator untuk mendapatkan poss dan orentas tersebut (Fu, Gonzales dan Lee, 987, p52). Berdasarkan rag (989, p4-8), kemungknan adana solus perlu dketahu dahulu sebelum melakukan pencaran nla. Kemungknan untuk mendapatkan solus sangat pentng untuk dketahu, hngga perhtungan untuk mencar solus tdak perlu dlakukan apabla tdak ada jamnan bsa mendapatkan solus. Ada tdakna solus berhubungan erat dengan area jangkauan (workspace) robot. Area jangkauan adalah volum ruang ang dapat dcapa oleh end effector manpulator. Apabla poss dan

26 33 orentas (ttk tujuan) dar end effector berada d dalam area jangkauan, maka sekurangkurangna terdapat satu solus. Apabla solusna ada, maka kemungknan lan ang bsa terjad adalah solusna lebh dar satu (mult solus). Hal n menjad masalah karena sstem dtuntut hana bsa memlh satu solus saja. A B 2 Gambar 2.3 Dua solus untuk satu poss Sebaga contoh bsa dlhat pada gambar 2.3, berdasarkan gambar tersebut, end effector semula berada pada poss A dan dngnkan pndah ke poss B. Untuk mencapa poss B ada dua macam konfguras gerakan manpulator ang bsa dlakukan (dtunjukkan dengan gars putus-putus dan 2). Kedua solus tersebut sama-sama bsa mendapatkan poss ang sama. Bla terdapat lebh dar satu solus, maka akan sangat bak untuk memlh solus dengan gerakan palng sedkt pada jont-jont, berdasarkan contoh gambar 2.3 d atas, maka gars putus-putus palng atas () merupakan plhan terbak. Namun apabla ada halangan atau rntangan ketka memlh solus dengan gerakan ang palng mnmal, maka solus dengan pergerakan ang lebh jauh bsa dplh. Hal n menunjukkan perluna menghtung semua solus ang mungkn dlakukan.

27 34 Banakna solus dtentukan oleh jumlah jont ang dmlk manpulator, dan juga fungs dar parameter-parameter lnk (d, a, dan α pada manpulator dengan jont putar; dan, a, dan α pada manpulator dengan jont prsmatk) ang tdak sama dengan nol. Semakn banak parameter lnk ang tdak bernla nol, maka semakn banak pula cara atau solus untuk mencapa suatu tujuan. Berdasarkan Fu, Gonzales dan Lee (987, p53), ada dua cara untuk mencar solus Inverse Knematcs: teknk transformas nverse untuk mencar solus sudut Euler, dan pendekatan geometrs. Teknk Transformas Inverse untuk Solus Sudut Euler Berdasarkan Fu, Gonzales dan Lee (987, p53-6), solus dcar dengan menggunakan konsep dasar dar teknk transformas nverse untuk mencar sudut Euler. Karena matrks rotas 3 3 dapat dtuls dengan persamaan sudut Euler (Φ,, ψ) sesua dengan persamaan d bawah n,,,ψ, w u z z z z R R R a s n a s n a s n Φ = (2-3) Φ Φ + Φ Φ + Φ Φ Φ Φ Φ Φ = ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ S S S S S S S S S S S S S S a s n a s n a s n z z z (2-3) D mana n = normal vector, orthogonal terhadap end effector. s = sldng vector, menunjuk ke arah end effector bergerak (membuka atau menutup). a = approach vector, menunjuk ke arah luar end effector. = cos, S = sn, Φ = cos Φ, SΦ = sn Φ, ψ = cos ψ, Sψ = sn ψ.

28 35 Pada persamaan d atas (2-3) jka ruas kr sama dengan ruas kanan, maka dperoleh n = Φ ψ SΦ Sψ n = SΦ ψ + ψ Sψ n z = S Sψ s = -Φ Sψ - SΦ ψ s = - SΦ Sψ + Φ ψ s z = S ψ a = SΦ S a = - Φ S a z = (2-32a) (2-32b) (2-32c) (2-32d) (2-32e) (2-32f) (2-32g) (2-32h) (2-32) Kemudan gunakan persamaan (2-32f), (2-32h), dan (2-32) untuk mencar nla Φ,, ψ, maka dperoleh = cos - ( a z ) (2-33) ψ = cos - Φ = cos - s z (2-34) S a (2-35) S Pendekatan Geometrs ara geometrs n ddapat berdasarkan sstem koordnat lnk dan geometr tangan manusa. Pada pendekatan n dbag menjad 2 macam solus atu solus untuk poss dan solus untuk orentas. Solus untuk poss menelesakan 3 jont pertama sedangkan untuk solus untuk orentas menelesaan 3 jont terakhr. Dalam penelesaanna menggunakan trgonometr untuk mendapatan sudut-sudutna. Berdasarkan Fu, Gonzales, dan Lee (987, p6-69), pada cara geometrs, solus dcar

29 36 dengan menerapkan lmu-lmu geometr dan hukum-hukum trgonometr. Sebaga contoh: Z A (P, P, Pz) O X, Y Gambar 2.4 Sudut jont Untuk mencar, bsa dgunakan lmu-lmu geometrk, sehngga ddapatkan: P Z 2 2 [ ( P + P + Pz )] 2 sn = (2-36) 2 2 [ ( P + P )] 2 2 [ ( P + P + Pz )] 2 cos = (2-37) = arctan 2(sn,cos ) (2-38) Pendekatan Numerk Pada robot ang dstandarsas dapat drangka dalam struktur dengan beragam derajat kebebasan dan bentuk untuk tugas ang berbeda. Pada umumna robot manpulator ang ddesan, solus nverse knematcs dturunkan sendr dan dsmpan sebaga fungs pusataka dalam pengendal robot. Bagamanapun untuk modul sstem ang dapat dpasang, untuk jumlah geometr dan derajat kebebasan bsa ddapat dar modul dan sangat besar dan menngkat secara eksponensal. Juga beberapa dar geometr

30 37 robot mungkn tdak memlk solus bentuk tertutup nverse knematcs. Dalam kasus tertentu, penurunan manual untuk solus secara umum tdak prakts dan mustahl (I- Mng hen & Guln Yang, In-Gu Kang, 999, p2). Pendekatan numerk memanfaatkan kemampuan komputer untuk melakukan perhtungan secara berulang-ulang d dalam mendapatkan solus nverse knematcs. Komputer akan terus menghtung semua kemungknan solus secara berulang-ulang sampa ddapatkan suatu solus ang sesua untuk sudut-sudut jont ang dbutuhkan agar bsa mencapa poss dan orentas ang dngnkan. ara numerk relatf lebh mudah, namun menghabskan lebh banak waktu karena sfat pengulanganna. Apabla cara numerk menghabskan waktu terlalu banak, maka perlu dpertmbangkan penggunaan cara analtk (rag, 989, p9-2).