PENGARUH JUMLAH SUKU FOURIER PADA PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM GEOMETRI KARTESIAN

Transkripsi

1 PENGARUH JUMLAH SUKU FOURIER PADA PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM GEOMETRI KARTESIAN IRMA ISLAMIYAH FISIKA FMIPA INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2010

2 PENDAHULUAN

3 LATAR BELAKANG Kondisi dari geometri sistem dapat digambarkan dengan 3 sistem koordinat. Kadang kala dijumpai problem Geometri yang tidak murni tunggal (campuran) sehingga menyulitkan dalam analisanya. Untuk kasus seperti ini kita pilih salah satu sistem koordinat yang digunakan untuk analisa. Dalam tugas akhir ini, sistem koordinat kartesian diselesaikan dengan menggunakan pendekatan polar.

4 PERUMUSAN MASALAH Dalam tugas akhir ini, sistem koordinat kartesian diselesaikan dengan menggunakan pendekatan polar. Prinsip dasarnya adalah melakukan transformasi syarat batas kartesian ke syarat batas polar. BATASAN MASALAH Sistem yang dipelajari dua dimensi (2D) dalam koordinat kartesian. Hanya diambil data potensial pada 360 titik. Pengaruh jumlah suku pada deret Fourier terhadap pendekatan koordinat polar

5 TUJUAN Untuk menguji apakah transformasi syarat batas dari kartesian ke polar untuk sistem dengan geometri kartesian akan menghasilkan solusi dalam koordinat polar yang sama dengan solusinya dalam koordinat kartesian. Dan untuk menentukan jumlah suku Fourier yang tepat agar metode analisa polar sesuai dengan koordinat kartesian. MANFAAT Diharapkan dapat diketahui seberapa baik analisa menggunakan sistem koordinat lain memberikan hasil yang sama dengan koordinat yang seharusnya. Dalam TA ini, suatu sistem dalam geometri kartesian akan diteliti dengan menggunakan sistem koordinat polar.

6 DASAR TEORI

7 SEPARASI VARIABEL KOORDINAT KARTESIAN

8 Penyelesaian analitisnya: X(x) = C s sin (kx) + C c cos (kx) Y(y) = C s sinh (ky) + C c cosh (ky) (4) Syarat batas : V(x,y=0) = V(x=0,y) = V(x=Lx,y) = 0 V(x,y=Ly) = V o Sehingga penyelesaian akhirnya adalah: V(x,y) = V o ~ 4 n=1,3,5, sin nπx nπ Lx sinh (nπy/lx) / sinh nπy Lx (5)

9 SEPARASI VARIABEL KOORDINAT SILINDER 1 ρ ρ ρ + 1 ρ = 0

10 Φ (ρ, ) = A 0 + A 0 ln ρ + n=1 [A n (ρ n + ρ n ) cos n + ~ B n (ρ n + ρ n ) sin n ] = A 0 + A 0 ln ρ + ~ n=1[a n cos n + B n sin n ] ρ n + ~ n=1[a n cos n + B n sin n ] ρ n

11 DERET FOURIER f(x) = a 0 + a 1 cos x + a 2 cos 2x + a 3 cos 3x + + b 1 sin x + b 2 sin 2x + b 3 sin 3x + = a 0 + a n cos nπx n=1 L + b n sin nπx L

12 KAIDAH TRAPESIUM Sebuah pias berbentuk trapesium dipandang dari x = x 0 sampai x = x 1. Luas satu trapesium adalah (14)

13 METODOLOGI PENELITIAN

14

15 ANALISA DATA DAN PEMBAHASAN

16 Perhitungan Analitik Potensial Listrik dalam Koordinat Kartesian Potensial listrik dalam koordinat kartesian mempunyai panjang x = a dan y = a. Sedangkan V (potensial) dalam setiap sisinya adalah sisi atas = V 1, sisi samping kanan = V 2, sisi bawah = V 3, dan sisi samping kiri = V 4.

17 Untuk mendapatkan persamaan potensial listrik V 1, V 2, V 3, dan V 4. Dicari satu persatu dari setiap sisinya. Ditinjau dari sisi atas (V 1 ), maka sisi lainnya, V=0. Pada sisi atas, y=a. Maka; Φ 1 (x,y) = ~ n=1 4 V nπ sinh nπ 1 sin nπ a x sinh nπ a y (15)

18 Ditinjau pada sisi samping kanan (V 2 ) Pada sisi samping kanan, x=a. Maka: Φ 2 (x,y) = ~ n=1 4 V nπ sinh nπ 2 sinh nπ a x sin nπ a y (16)

19 Ditinjau pada sisi bawah (V 3 ) Pada sisi bawah, y=0. Maka; Φ 3 (x,y) = ~ n=1 4 nπ sinh nπ V 3 sin nπ a x sinh nπ a (a y) (17)

20 Ditinjau pada sisi samping kiri (V 4 ) : Pada sisi samping kiri, x=0. Maka; Φ 4 (x,y) = ~ n=1 4 V nπ sinh nπ 4 sinh nπ a (a x) sin nπ a y (18)

21 Perumusan Umum Potensial Listrik Berdasarkan Syarat Batas Pendekatan Polar Yang pertama-tama dilakukan adalah mentranslansi kotak potensial ke tengah-tengah sumbu koordinat x dan y. Sehingga menjadi:

22

23 Nilai koefisien An dan Bn untuk 360 titik data sbb:

24

25 Pendekatan 1 Suku Fourier

26 Sehingga didapatkan selisih antara perhitungan koordinat kartesian dan pendekatan polar adalah sebagai berikut: Untuk Pendekatan 1 Suku Fourier Diperoleh nilai V rata-rata pendekatan polar mendekati nilai V rata-rata koordinat kartesian dengan selisih Untuk Pendekatan 2 Suku Fourier Diperoleh nilai V pendekatan polar mendekati nilai V koordinat kartesian dengan selisih Dan antara data selisih nilai V untuk pendekatan 1 suku Fourier dengan 2 suku Fourier, nilai V serta selisih yang didapatkan memiliki perbedaan yang sangat kecil. Pada pendekatan 2 suku Fourier, selisih dari V pendekatan polar semakin mendekati V koordinat kartesian.

27 Untuk Pendekatan 3 suku Diperoleh nilai selisih V rata-rata : antara pendekatan 2 suku Fourier dan 3 suku Fourier, nilai V rata-rata serta selisih rata-rata yang didapatkan memiliki perbedaan yang sangat kecil. Walaupun pada pendekatan 3 suku, selisih dari V pendekatan polar semakin menjauhi V koordinat kartesian. Untuk Pendekatan 4 suku Diperoleh nilai selisih V rata-rata : nilai pendekatan suku ke tiga sama dengan pendekatan suku ke empat.

28 Untuk pendekatan 5 suku Diperoleh nilai V pendekatan polar mendekati nilai V koordinat kartesian dengan selisih antara pendekatan 4 suku Fourier dan 5 suku Fourier nilai V serta selisih yang didapatkan memiliki perbedaan yang sangat kecil. Walaupun pada pendekatan 5 suku Fourier, selisih dari V pendekatan polar semakin menjauhi V koordinat kartesian. Untuk Pendekatan 6 Suku Diperoleh nilai V pendekatan polar mendekati nilai V koordinat kartesian dengan selisih antara pendekatan 5 suku fourier dan 6 suku fourier, nilai V serta selisih yang didapatkan memiliki perbedaan yang sangat kecil. Tetapi selisih pada pendekatan 6 suku Fourier nilai V pada pendekatan koordinat polarnya sudah semakin mendekati nilai V pada pendekatan kartesian.

29 PEMBAHASAN

30 Dari grafik dapat dilihat bahwa untuk suku pertama, selisih potensial antara pendekatan polar dan pendekatan kartesian sudah mendekati nol yaitu , akan tetapi pada suku kedua, nilai selisihnya semakin menjauhi nol yaitu Baru pada suku ketiga dan seterusnya nilai selisih V sudah mulai mendekati satu nilai tertentu (konvergen) yaitu

31 Dari grafik dapat dilihat bahwa nilai selisih potensial V antara pendekatan polar dengan pendekatan kartesian untuk 1 suku hingga 6 suku, semakin banyak suku Fourier maka nilai selisihnya semakin mendekati nilai tertentu yaitu

32 Dari grafik dapat dilihat bahwa nilai selisih potensial V antara pendekatan polar dengan pendekatan kartesian untuk 1 suku hingga 6 suku, semakin banyak suku Fourier yang digunakan maka nilai selisihnya semakin mendekati nilai tertentu yaitu

33 Dari grafik dapat dilihat bahwa nilai selisih potensial V antara pendekatan polar dengan pendekatan kartesian untuk 1 suku hingga 6 suku, semakin banyak suku Fourier yang digunakan maka nilai selisihnya semakin mendekati nilai tertentu (konvergen) yaitu

34 KESIMPULAN Digunakan 6 macam jumlah suku Fourier yaitu 1 suku, 2 suku, 3 suku, 4 suku, 5 suku, dan 6 suku Fourier. Terlihat bahwa nilai potensial V untuk suku ke 3 hingga suku ke 6 sudah menuju ke satu titik tertentu (konvergen) mulai dari suku ketiga dan seterusnya. Semakin banyak jumlah suku Fourier yang digunakan dalam pendekatan polar pada Transformasi syarat batas dari kartesian ke polar untuk sistem dengan geometri kartesian akan menghasilkan solusi dalam koordinat polar yang nilainya semakin mendekati dengan solusinya dalam koordinat kartesian.

35 SARAN Perlu diteliti tingkat keakuratan untuk jumlah titik data yang lebih banyak. Perlu diteliti juga untuk sistem koordinat yang lain. Perlu diteliti pengaruh jumlah titik data dan jumlah suku fouriernya secara simultan.