GEOMETRI BIDANG. Disampaikan dalam PEMBEKALAN OSN-2010 SMP N I KEBBUMEN Mata Pelajaran: Matematika

Transkripsi

1 GEMETRI ING isampaikan dalam EMEKLN SN-00 SM N I KEUMEN Mata elajaran: Matematika leh: Murdanu, M.d. Jurusan endidikan Matematika FMI Universitas Negeri Yogyakarta SEKLH MENENGH ERTM NEGERI KEUMEN 00

2 GEMETRI ING =halaman =. Teorema ythagoras dan Teorema atau Topik lain yang Terkait dengan Teorema ythagoras. Teorema ythagoras alam segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring samadengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi siku-sikunya. a Jika dalam sebuah segitiga siku-siku, a dan b masing-masing menyatakan panjang kedua sisi siku-sikunya, dan menyatakan panjang sisi miringnya, maka berlaku : = a + b b Gambar. Kebalikan teorema ythagoras. Jika dalam suatu segitiga, kuadrat panjang salah satu sisinya samadengan jumlah kuadrat panjang kedua sisinya yang lain, maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku. 3. Tripel ythagoras erangkat (a, b, ) dari tiga bilangan asli disebut tripel ythagoras, jika kuadrat dari bilangan yang terbesar samadengan jumlah kuadrat dua bilangan yang lain. Jika pada tripel ythagoras (a, b, ), ketiga elemennya berupa bilangan asli yang faktor persekutuan terbesarnya adalah, maka (a, b, ) disebut tripel ythagoras primitif. (3, 4, 5), (5,, 3) adalah ontoh dua tripel ythagoras primitif, sedang (5, 0, 5), (0, 4, 6) masing-masing bukan tripel ythagoras primitif. 4. Teorema royeksi Segitiga Miring ari teorema ythagoras dapat diturunkan teorema proyeksi pada segitiga miring, yaitu segitiga yang bukan segitiga siku-siku. a. Teorema royeksi untuk Sisi di depan Sudut Lanip. alam suatu segitiga, kuadrat panjang sisi yang berhadapan dengan sudut lanip samadengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi yang lain, dikurangi dengan dua kali hasilkali panjang salah satu sisi dengan panjang proyeksi sisi lain ke sisi tersebut. iketahui: erhatikan Gambar. b t a p p, m 90 proyeksi pada. erlaku: a = b + p. o p panjang,

3 GEMETRI ING =halaman = b. Teorema royeksi untuk Sisi di depan Sudut Tumpul alam suatu segitiga, kuadrat panjang sisi yang berhadapan dengan sudut tumpul samadengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi yang lain, ditambah dengan dua kali hasilkali panjang salah satu sisi dengan panjang proyeksi sisi lain ke sisi tersebut. t b a p Gambar 3 iketahui: erhatikan Gambar 3., m 90 o p panjang proyeksi pada perpanjangan (proyeksi pada ) erlaku:, a = b + + p. erarti jika dalam suatu segitiga panjang semua sisinya diketahui, kita dapat menghitung panjang proyeksi sebuah sisi pada sisi yang lain. Latihan.. Selidikilah segitiga yang dideskripsikan ukuran sisi-sisinya berikut, merupakan segitiga lanip, siku-siku, ataukah tumpul: a., = 4, = 8, = 0 b. QR, Q = 6, QR = 9, R = 8. KLM, KL = 5, LM = 4, KM = 5. ada, = 3, = 0, =. Hitunglah panjang proyeksi sisi ke sisi dan ke sisi! 5. Teorema Stewart Jika dalam, x menyatakan panjang ruasgaris yang menghubungkan titik sudut dengan titik yang terletak pada sisi, sehingga = dan =, maka berlaku: x a b

4 GEMETRI ING =halaman 3= iketahui: perhatikan Gambar 4. pada sehingga = dan =,, dan = x. erlaku: x = a + b b t x a Gambar 4 engan teorema Stewart tersebut memungkinkan kita untuk menentukan panjang ruasgaris yang menghubungkan salah satu titik sudut dari sebuah segitiga dengan sembarang titik pada sisi di depannya, jika letak titik tersebut dan panjang ketiga sisi segitiga tersebut diketahui. Latihan.. erapakah panjang sesuai informasi gambar di sebelah kanan? erapakah panjang sesuai informasi gambar di sebelah kanan? 6 7 8

5 GEMETRI ING =halaman 4= 6. Teorema tentang anjang Garis-tinggi pada sebuah Segitiga yang iketahui anjang Ketiga Sisinya. Jika dalam yang panjang sisi-sisinya a, b, dan, panjang garis-tinggi ke sisi-sisi,,, dan, berturut-turut t a, t b, dan t, serta s menyatakan setengah keliling segitiga tersebut, maka berlaku: t a a s(s a )( s b)( s ) t b b s(s a )( s b)( s ) t s(s a )( s b)( s ) a b p t a Gambar 5 Latihan 3.. Hitunglah panjang ketiga garis tinggi pada setiap segitiga yang dideskripsikan ukuran sisi-sisinya berikut: a., = 4, = 8, = 0 b. QR, Q = 6, QR = 9, R = 8. KLM, KL = 5, LM = 4, KM = 5. Hitunglah luas masing-masing segitiga pada nomor tadi! 3. Hitunglah luas segitiga yang sisi-sisinya berukuran 7,, dan 39.

6 GEMETRI ING =halaman 5= 7. Teorema tentang anjang Garis-berat pada Sebuah Segitiga yang iketahui anjang Ketiga Sisinya (Teorema pollonius) Jika dalam yang panjang ketiga sisinya masing-masing a, b, dan, dan panjang garis-berat yang melalui titik-titik sudut,, dan berturut-turut adalah m a, m b, dan m, maka: m a (b ) 4 a m b (a ) 4 b m (a b ) 4 b m a iketahui: erhatikan Gambar 6. titik tengah, = m a. erlaku : a a m a (b ) 4 a Gambar 6 Latihan 4.. Hitunglah panjang ketiga garis berat pada setiap segitiga yang dideskripsikan ukuran sisi-sisinya berikut: a., = 4, = 8, = 0 b. QR, Q = 6, QR = 9, R = 8. KLM, KL = 5, LM = 4, KM = ada gambar di sebelah kiri, trapesium F. Hitunglah panjang E F 8 E 8 3. Jajargenjang, dengan = 5 dan = 6. Selidikilah! pakah?

7 GEMETRI ING =halaman 6= 8. Teorema tentang anjang Garis-bagi-dalam pada Sebuah Segitiga yang iketahui anjang Ketiga Sisinya. Jika dalam yang panjang sisi-sisinya masing-masing a, b, dan, diketahui garis-bagi-dalam memotong sisi atas bagian-bagian yang panjangnya dan, serta panjang garis-bagi-dalam tersebut dinyatakan dengan d, maka berlaku: b a d Gambar 7 d ab iketahui: erhatikan Gambar 7. atau = dan =. erlaku: d ab 9. Teorema tentang anjang Garis-bagi-luar pada Sebuah Segitiga yang iketahui anjang Ketiga Sisinya garis-bagi-luar Jika dalam yang panjang sisi-sisinya masing-masing a, b, dan, diketahui memotong sinargaris (memuat sisi ) pada titik dengan ( di antara dan ) sedemikian, sehingga =, =, dan =, serta garis-bagi-luar tersebut adalah yang dilambangkan dengan d, maka berlaku: d ab E d b a Gambar 8 iketahui: erhatikan Gambar 8. E atau = dan =. erlaku: d ab

8 GEMETRI ING =halaman 7= Latihan 5.. ada QR diketahui Q = 0, R = 4, dan QR = 6. Garis-bagi dalam sudut memotong QR di titik S dan garis-bagi-luar sudut memotong QR di titik T. Hitunglah panjang masing-masing: Q S, R S, Q T, S, dan T!. KLM siku-siku di titik K, KL = 6, KM = 8. ada segitiga tersebut dibuat garis bagi KN. Hitunglah panjang masing-masing: LN, M N, dan K N! 3. iketahui siku-siku di titik, m = 30 o, = 6. Garis bagi memotong di titik. Hitunglah panjang masing-masing:,,!. Teorema-teorema pada Lingkaran g. Garissinggung lingkaran tegaklurus terhadap jari-jari lingkaran ke titiksinggung. g. Sebuah talibusur pada suatu lingkaran tegak lurus terhadap suatu jari-jari pada lingkaran yang memotong talibusur tersebut. Jari-jari tersebut juga merupakan sumbu bagi talibusur tersebut. E dan atau =. E

9 GEMETRI ING =halaman 8= 3. Sudut antara dua lingkaran yang berpotongan adalah sudut yang dibentuk oleh perpotongan garis-garis singgung dua lingkaran tersebut di titik-potong kedua lingkaran yang berpotongan (, Q) = (g,h) h R g Q 4. Garis-singgung persekutuan dua lingkaran adalah sebuah garis yang menyinggung dua lingkaran.

10 GEMETRI ING =halaman 9= Latihan 6.. iketahui (M, 5), (N, 3), MN = 0. (a) erapakah panjang ruas-garis-singgung -dalam kedua lingkaran tersebut?; (b) erapakah panjang ruas-garis-singgung -dalam kedua lingkaran tersebut?. Hitunglah masing-masing panjang S, S, dan S dari gambar di bawah! 5 S 9

11 GEMETRI ING =halaman 0= 5 S 5. Sentral dua lingkaran yang tidak sepusat membagi dua samapanjang talibusur persekutuan dua lingkaran tersebut. M N M N atau = 6. esar sudut keliling dalam suatu lingkaran samadengan setengah dari besar busur di depan sudut keliling tersebut.

12 GEMETRI ING =halaman = m m m m Latihan 6.. Teorema-teorema penerapan teorema sudut keliling:

13 GEMETRI ING =halaman = M S m S m m m S m m S M diameter lingkaran M (a) = (b) =

14 GEMETRI ING =halaman 3= S S = S S M S M = M = N M N : M = N : M

15 GEMETRI ING =halaman 4= M : N = M : N M N E M F H G (a) M G.E.EG 4.L EG K (b) MH L K K K

16 GEMETRI ING =halaman 5= Soal soal Latihan. alam sebuah segitiga siku-siku, diketahui bahwa panjang kedua sisi siku-sikunya masing-masing 6 m dan 8 m. Hitunglah: panjang garis-tinggi ke sisi miringnya!. alam, diketahui = m, m = 60, dan = 8 m. Hitunglah: keliling tersebut! 3. alam QR, diketahui R = 0 m, m QR = 45, dan QR = 5 m. Hitunglah: panjang sisi ketiga dari QR tersebut! 4. alam, diketahui = 8 m, = 6 m, dan = 7 m. Hitunglah: panjang ketiga garis-beratnya! 5. alam QR, diketahui Q = 4 m, QR = 3 m, dan R = 5 m. Hitunglah panjang dari: a. royeksi R pada QR ; b. garis-tinggi dari titik sudut Q. 6. ari sebuah, diketahui = 6 m, = 8 m, dan = 7 m, titik terletak pada sedemikian, sehingga dan!. Hitunglah panjang 7. iketahui QR dengan Q = 0 m, QR = 6 m, dan R = 8 m. ada segitiga tersebut dipilih baris-berat R dan garis-bagi RT. Hitunglah panjang ST! 8. alam setiap jajargenjang berlaku: jumlah kuadrat panjang kedua diagonalnya samadengan jumlah kuadrat panjang semua sisinya. uktikan pernyataan tersebut! 9. iketahui trapezium, dengan, = 0 m, = 3 m, = 6 m, dan = 5 m. a. Lukislah dengan ermat, trapezium tersebut! b. Hitunglah panjang diagonal!. Hitunglah luas daerah trapezium tersebut! 0. i halaman depan sebuah sekolah tumbuh pohon emara dan di halaman belakang sekolah tersebut tumbuh pohon mangga (dilukiskan pada gambar sebelah kiri). Kedua pohon tersebut terhalang oleh bangunan sekolah. Jelaskan: bagaimana ara menentukan jarak kedua pohon tersebut, karena tidak mungkin dilakukan pengukuran seara langsung!. iketahui dengan diameter, talibusur-talibusur E, E, dengan F E. Jika EF = 4, E = 6, dan E = 6, berapakah?

17 GEMETRI ING =halaman 6=. iketahui dengan jari-jari dan, garissinggung-garissinggung dan. Jika dan, buktikan suatu persegi. 3. iketahui dengan diameter, dan pada berlainan pihak terhadap. (a) Jika m = 30, berapakah m?; (b) Jika m = 90, buktikan samakaki!; () Jika, buktikan. 4. ada terdapat titik-titik,,, dan seara berurutan sedemikian, sehingga m = 60, m = 90, dan m = 75. Susun talibusur-talibusur:,,, dan. Segiempat yang terjadi, yaitu dinamakan segiempat-talibusur. Jika kedua diagonal pada segiempat tersebut dilibatkan, jelaskan ukuran sudut-sudut yang terjadi! 5. alam int M terdapat talibusur-talibusur yang ujung-ujungnya,,, dan sedemikian, sehingga S dan =. uktikanlah: (a) ; (b) S S ; () S S. 6. iketahui N, ext N, N, N, dan N, = N. Terdapat N dengan N dan N. Terdapat N. uktikan: (a) samakaki; (b) samakaki. Hitunglah: () L ; dan (d) L. 7. iketahui merupakan lingkaran-luar,,,, dan E diameter. uktikan: (a). ; (b) E merupakan garis-bagi-luar 8. iketahui Q merupakan lingkaran-luar dengan m = 50, m = 60, titik merupakan titik-singgung garis g terhadap Q, titik merupakan titiksinggung garis h terhadap Q, titik merupakan titik-singgung garis k terhadap Q sedemikian, sehingga g h =, g k = Q, dan h k = R. Hitunglah ukuran sudut-sudut dalam QR. 9. ada,,,, = 4,, g =, g = E, g, E = E, M. (a) Hitunglah ukuran sudut-sudut yang terjadi dengan M sebagai titik-sudutnya!; (b) erapakah?; () Hitunglah L! 0. iketahui Q =, = Q,, dengan, dan Q dengan Q. uktikanlah: (a) ; (b) ; () Q ; (d) Q.. iketahui Q =, = Q,, garis g menyinggung di titik, dan garis h menyinggung Q di titik. uktikan: (g,h) Q.. iketahui (,0) dan (Q,7), Q =, Q =, = Q,. erapakah?

18 GEMETRI ING =halaman 7= 3. engan visualisasi ini, buktikan M N M N 4. ua buah sisi dari sebuah segitiga berukuran 7 dan 39. Ukuran garis-berat ke sisi yang ketiga sepanjang. erapakah luas segitiga tersebut? 5. arilah ukuran bagian-bagian sumbu-sumbu yang terdapat di interior sebuah segitiga yang berdimensi (0 4)! FTR USTK e aan dan J..oss Ilmu Ukur. Jilid II. Jakarta: J.. Wolters. Keedy, Jameson, Smith, Mould Exploring Geometry. New York: Holt, Rinehart and Winston, In. Travers, alton, Layton GEMETRY. River Forest, Illionis: Laidlaw rothers, ivision of oubleday & ompany, In.