Modul Matematika 2012

Transkripsi

1 Modul Matematika 0 Minggu ke dan MAKSIMISASI ATAU MINIMISASI (MAXIMIZATION ATAU MINIMIZATION) : A FREE OPTIMUM. Pengertian dan persyaratan Global maximum atau global minimum, Relative maximum atau relative minimum : Dengan ungsi dari (satu) independent variable y = (x) Dependent variable dari ungsi merupakan the objective unction yaitu obyek dari maksimisasi (maximization) atau minimisasi (minimization). Maximization atau minimization menetapkan angka atau bilangan dari independent variables sehingga diperoleh angka atau nilai the objective unction atau dependent variable tertinggi (maximum) atau terendah (minimum). Karena itu, independent variables juga disebut sebagai choice variables. Istilah : Baik global maximum atau minimum, maupun relative maximum atau minimum, disebut extremum. Titik extremum disebut stationary point. Sedangkan angka atau nilai extremum dari ungsi atau dependent variable atau the objective unction disebut a critical value atau stationary value. Selain itu, the slope dari the objective unction pada titik extremum adalah 0 (nol). Suryari Purnama

2 Modul Matematika 0 Diagram G.4. : Extremum Fungsi y = (x) y (a) (b) y A z = g(w) E C B h = k(m) G 0 x D y M (c) q = s(u) y = (x) N F 0 x 0 x Global (absolute) maximum adalah titik atau angka tertinggi dari the objective unction atau dependent variable. Contoh, titik A pada ungsi z = g(w) di bawah. Sedangkan, global (absolute) minimum merupakan titik atau angka terendah. Contoh titik B pada ungsi h = k(m) di atas. Relative (local) maximum adalah titik atau angka maximum di sekitar titik itu pada the objective unction. Sedangkan, relative (local) minimum adalah titik atau angka minimum di sekitar titik itu pada the objective unction. Diantara 4 extremums pada Diagram G.4. (b) di atas, maka : Titik E adalah a global (absolute or ree) maximum, sedangkan titik G adalah local (relative) maximum. Titik F adalah a global minimum, sedangkan titk D adalah local minimum. Suryari Purnama

3 Modul Matematika 0 Persyaratan untuk extremum dan inlection point : Dengan ungsi dari (satu) independent variable) y = (x) PERSYARATAN EXTREMUM (Global/Absolute and Local/Relative) Maximum Minimum Inlection Point Necessary Condition, or, First Order Condition (FOC) (First Derivative Condition) 0 = 0 = 0 Suiciet Condition, or, Second Order Condition = (SOC) (Second Derivative Condition) : *) a. SOC necessary b. SOC suicient.. < 0 > 0 ) ) = 0 ) * ) SOC bahwa negative (< 0) / positi (> 0) pada nilai kritikal (the critical value) x 0 adalah cukup (suicient) untuk relative maximum/relative minimum, merupakan hal yang tidak perlu (necessary). Oleh karena itu, kehati-hatian diperlukan atas dasar kenyataan bahwa relative maximum/relative minimum dapat terjadi tidak hanya apabila negative (< 0) / positi (> 0), tetapi juga apabila = 0. Dengan demikian, SOC necessary harus dinyatakan dengan weak inequalities 0) / 0. Lihat C & W (Book ) Ch. 9 hal 35. Ingat :. Untuk the irst derivative : a. > 0 berarti nilai ungsi (the value o the unction) akan meningkat. b. > 0 berarti nilai ungsi (the value o the unction) akan menurun... Untuk the second derivative : a. > 0 berarti the slope o the unction or the curve akan meningkat. b. > 0 berarti the slope o the unction or the curve akan meningkat. Catatan : Titik M dan N pada Diagram G.4. (c) di atas, tidak dapat dianggap extremum karena pada kedua titik itu ungsi g = s(u) tidak kontinyu sehingga tidak terdapat derivati dari ungsi g. Titik inleksi (inlection point) adalah titik dimana tidak terdapat extremum (maximum atau minimum). Suryari Purnama 3

4 Modul Matematika 0 Diagram G.5. : Inlection point pada ungsi y = (x) dan y = g (x) (a) (b) y y = (x) y y = g(x) slope + slope + J slope = 0 K slope + slope + 0 x 0 x dy dy = dy dy = 0 J x 0 x Penjelasan inlection point : Pada Diagram G.5di atas, titik J dan K disebut inlection point karena tanda slope tidak berubah dari sebelum ke sesudah titik J atau K : Pada diagram G.5. (a), walaupun mempunyai ungsi (x) derivati pada titik J = 0 atau = 0, yang juga digambarkan dengan slope pada titik J = 0. Tetapi tanda slope atau derivati tetap sama positi (slope +) baik sebelum dan sesudah titik J dan J. Padahal syarat titik J menjadi extremum, apabila tanda slope berubah dari sebelum ke sesudah titik extremum J. Apabila titik J minimum, maka tanda slope berubah dari negati untuk sebelum titik J menjadi positi untuk setelah titik J. Atau sebaliknya, apabila titik J. Pada Diagram G.5. (b) di atas, derivati atau slope ungsi g(x) pada titik K tertinggi maximum (tidak sama dengan 0 (nol)) seperti terlihat pada titik K. Tetapi slope atau derivati atau sebelum titik K naik (+) tajam dan setelah titik K tetap naik (+) tetapi dengan melandai atau menurun.. Contoh Maximisasi dan Minimisasi dengan ungsi dari (satu) Independent variable Minimisasi dari ungsi y = (x) = 4 x x dimana kurva berbentuk U (U-shaped curve) Suryari Purnama 4

5 Modul Matematika 0 Syarat : The irst order condition (FOC) atau necessary condition : dy / 8x Maka : 8 x = berarti x = ⅛ The second order condition (SOC) atau suicient condition : d y // 8 > 0 d y // Karena SOC terpenuhi yaitu > 0 atau 0 tapi pisiti, maka nilai minimum dari ungsi atau dependent variable (the stationary value pada x = ⅛, yaitu y = 4. (⅛) ⅛ =. 3. Maksimisasi dan minimisasi dengan ungsi dari (dua) atau lebih independent variables Fungsi z = (x, y) FOC : Persyaratan FOC untuk Extermum bagi ungsi dengan independent variable z = (x, y) Maximum Minimum FOC dz = 0 untuk setiap nilai atau angka atau dy 0 atau hanya salah satu = 0, sehingga berarti : x = 0 dan y = 0 dz = 0 untuk setiap nilai atau angka dan dy 0 atau hanya salah satu = 0, sehingga berarti : x = 0 dan y = 0 dz = (The irst) total dierential dari ungsi z = (x, y) dz z z dy x ydy, dimana : x y x = z = the partial derivative ungsi z terhadap independent variable x x y = z = the partial derivative ungsi z terhadap independent variable y y Dengan FOC yaitu dz = 0 dan dan dy 0 sehingga partial derivatives x dan y = 0, maka angka atau nilai variabel x dan y diperoleh. 0 6 Untuk lebih dari (dua) independent variables FOC dan SOC diormulasikan dengan menggunakan matriks dan vectors, pada kuliah mendatang. Suryari Purnama 5

6 SOC : Persyaratan SOC untuk Extermum bagi ungsi dengan independent variable Maximum Modul Matematika 0 Minimum SOC necessary d z 0 D z 0 d z < 0 berarti jika (i) * : xx < 0, yy < 0, serta xx yy > ( xy ) xx yy > ( xy ) SOC suicient ( dz) ( dz) * Karena : d z d( dz) dy x y d z d( dz) = ( x ydy) ( x ydy) dy = x y = ( dy) ( dy dy= Catatan d z > 0 berarti jika (i) * : xx > 0, yy > 0, serta xx xy yx yy ) = xx xydy yxdy yydy = = xx xydy yydy atau mempunyai angka atau nilai yang sama xy seperti didalilkan oleh Young s theorem. Contoh : z = 8 x 3 + xy 3 x + y + FOC : x = 4 x + y 6 x = 0 dan y = x + y = 0 yx dengan substitusi, maka diperoleh angka x dan y : x = 0 berarti y = 0; x = 3 berarti y = 3 SOC : Dengan x = 0 dan y = 0, maka : xx = 48 x 6 = 6 (< 0); yy = (> 0), { xx yy = } < {( xy ) = () = 4} Jadi SOC tidak terpenuhi dengan x = 0 dan y = 0 baik untuk maximum maupun minimum Dengan x = 3 dan y = 3, maka : xx = 48 x 6 = 0 ( > 0); yy = (> 0), { xx yy = 0} > {( xy ) = () = 4} Suryari Purnama 6

7 Modul Matematika 0 Jadi SOC terpenuhi dengan x = 3 nilai atau angka z = dan y = 3, sehingga Contoh : z = x + ey e x e y FOC : x = e x = 0 dan y = e + e y = 0 dengan substitusi, maka diperoleh hanya angka x dan y : x = 0 berarti y = ½ SOC : Dengan x = 0 dan y = ½, maka : xx = e x = (< 0); yy = 4 e y = 4 e (< 0), { xx yy = 4} > {( xy ) = (0) = 0} Jadi SOC terpenuhi dengan x = 0 dan y = ½, sehingga nilai atau angka z = 0 + e e 0 e = G.. A CONSTRAINED OPTIMIZATION : OPTIMISASI, ATAU, MAKSIMISASI ATAU MINIMISASI DENGAN BATASAN TERTENTU. Pengertian a constrained opmization Pada G.3. tentang maksimisasi (maximization) dan minimisasi (minimization) atau extremum tanpa batasan tertentu (a constraint), disebut a ree optimum. Pada G.4. ini tentang maximization dan minimization atau extremum dengan suatu batasan tertentu (a constraint atau subject to), disebut a constraint optimization. The constraint juga disebut, restraint, side relation, subsidiary condition, yang berungsi membatasi (subject to) domain dari ungsi dan berarti akhirnya terhadap range dari ungsi itu sendiri (the objective unction). Diagram perbedaan a ree optimum dan a constrained optimum pada C&W (book ) Ch. hal Suryari Purnama 7

8 . Penyelesaian a constrained optimum dengan dua cara Modul Matematika 0 The objective unction : U = x x + x A constraint or subject to : 4 x + x = 60 Penyelesaian atas dasar cara a ree optimum seperti pada G.3. di atas Dari the constraint (a linear unction) 4 x + x = 60 diperoleh x = 30 x Maka the objective unction hanya dengan variable x menjadi : U = x (30 x ) + x = 3 x x Kemudian cari dan buktikan extremum dalam hal ini maximum atas dasar persyaratan the ree optimum seperti pada G.3. di atas : U = 3 4 x = 0 diperoleh x = 8 dan x = 4 sehingga U = = + 6 = 8 U = 8 maksimum karena U = 4 (< 0) sehingga SOC untuk maksimum terpenuhi. Penyelesaian dengan Lagrange Multiplier method Esensi dari the Lagrange multiplier method adalah agar cara the ree optimum dapat diaplikasikan pada the constrained optimum. Untuk itu perlu dibentuk the Lagrangian unction yang menyatukan the objective unction dan the constrained unction dengan the Lagrange (undermined) multiplier λ (the Greek letter lambda). Dengan contoh ungsi-ungsi di atas, maka the Lagrangian unction Z : Max. (maximize) : U = x x + x S.t. (subject to) : 4 x + x = 60 Z = Z (x, x, λ) = x x + x + λ {60 (4 x + x )} FOC : Z = Z = Z λ = Z = x λ = 0 x Z x = x λ = 0 Z = 60 4 x x = 0 Untuk lebih dari (dua) independent variables FOC dan SOC diormulasikan dengan menggunakan matriks dan vectors, pada kuliah mendatang. Suryari Purnama 8

9 Modul Matematika 0 Penyelesaian 3 persamaan FOC di atas dengan substitusi menghasilkan : x = 8, x = 4, λ = 4, sehingga Z = x x + x + λ {60 (4 x + x )} = 8 U = x x + x = = 8 Catatan : Dengan demikian apabila angka x dan x menyebabkan angka ungsi constraint benar sebesar 60, yaitu 4 x + x = 60, maka terlepas dari apapun angka λ ungsi dan angka Z = U = x x + x dan yang berarti ungsi λ {60 (4 x + x )} pada bagian akhir ungsi Z menjadi hilang. SOC : Akan dijelaskan dengan menggunakan matriks dan vectors. Bentuk umum penyelesaian dengan the Lagrangian unction The objective unction : z = (x, y) Subject to the constraint : g (x, y) = c The Lagrangian unction : Z = (x, y) + λ {c g (x, y)} FOC : Z x = x λ g x = 0 Z y = y λ g y = 0 Z λ = c g (x, y) = 0 SOC : Akan dijelaskan dengan menggunakan matriks dan vectors. Suryari Purnama 9