BAB 2 RELASI DAN FUNGSI

Transkripsi

1 BAB 2 RELASI DAN FUNGSI 2.1 Pengantar Kejadian dalam dunia nyata ini, umumnya tidak berdiri sendiri. Melainkan berhubungan satu sama lainnya atau ada kaitan antara satu kejadian dengan kejadian yang lainnya. 2.2 Relasi Relasi atau hubungan dua himpunan A dan B adalah pengaitan (pemasangan) anggotaanggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Notasinya R = [ (x,y) ; x A dan y B] Relasi dua himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan berbagai cara, antara lain: (a) Diagram Anak Panak (b) Himpunan Pasangan Berurutan ( Kusno, kopi ) ( Made, teh ) ( Redi, susu ) ( Leny, kopi ) ( Leny, susu ) Himpunan pasangan berurutan sebagai berikut: R = ( Kusno, kopi ), ( Made, teh ), ( Redi, susu ), ( Leny, kopi ), ( Leny, susu ) (c) Grafik Cartesius Himpunan B susu teh kopi Kusno Redi Himpunan A Made Leny 1

2 2.3 Fungsi Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus yang mengaitkan atau memasangkan setiap anggota A dengan satu dan hanya satu anggota B. Fungsi dari himpunan A ke B dapat dinyatakan sebagai berikut: f : A B Artinya jika x A dan y B dan a dikaitkan dengan b maka f(a) = b dengan: 1. A disebut daerah asal (domain) 2. B disebut daerah kawan (kodomain) 3. B disebut bayangan dari a 4. Himpunan semua bayangan dari setiap x A disebut daerah hasil/daerah jelajah atau range. Sama halnya dengan relasi, fungsi juga bisa dinyatakan dengan cara: (a) Diagram Anak Panak (b) Himpunan Pasangan Berurutan (c) Grafik Cartesius CONTOH 2 5 Bila A = { 1, 2, 3 } dan B = { 2, 3, 4, 5, 6 } Jika x A dan y B, maka relasi x setengah y dari himpunan A ke himpunan B dengan diagram panah dapat dinyatakan sebagai berikut: Keterangan gambar: 1. { 1, 2, 3 } = daerah asal (domain) 2. { 2, 3, 4, 5, 6 } = daerah kawan (kodomain) 3. 2 B adalah bayangan dari 1 A 4 B adalah bayangan dari 2 A 6 B adalah bayangan dari 3 A 4. { 2, 4, 6 }= daerah nilai (range) 2

3 Membedakan Relasi dan Fungsi (a) (b) (c) (d) Keterangan : - Pada gambar (a) dan (b) merupakan suatu fungsi, karena setiap anggota A dipasangkan hanya satu kali dengan satu anggota B. - Pada gambar (c) merupakan relasi, karena ada anggota R yaitu r, tidak memiliki pasangan dengan anggota S. - Pada gambar (d) juga merupakan relasi, karena ada anggota A yaitu s memiliki lebih dari satu pasangan anggota-anggota B ( s anggota A dikaitkan dengan 1 dan 3 anggota B ). Kesimpulan: Suatu fungsi kelas merupakan suatu relasi, tapi suatu relasi belum tentu suatu fungsi Notasi Suatu Fungsi Fungsi dari himpunan A ke B dapat dinyatakan sebagai berikut: f : A B Apabila fungsi tersebut mengaitkan x A dan y B maka ditulis: f(x) = y atau f : x y 3

4 Nilai Suatu Fungsi dan Grafik Suatu Fungsi Nilai Suatu Fungsi Bila suatu nilai x tertentu disubsitusikan ke dalam rumusan suatu fungsi y = f (x), maka diperoleh nilai fungsi tersebut (nilai y) pada nilai x tersebut. Grafik Suatu Fungsi Kurva (grafik) suatu fungsi umumnya dapat dibuat melalui dua cara, yaitu: (1) menentukan dan menghubungkan titik-titik yang dilalui kurva, dan (2) menentukan dan menghubungkan titik-titik penting kurva. CONTOH 2 10: Diketahui : A = Bilangan riil dan B = Bilangan riil Tentukanlah : Grafik f:a B dengan x A dan 2x 3 = y B Penyelesaian (a) cara pertama, Diketahui : y = f(x) = 2x 3 f(-1) = 2(-1) 3 = -5 (-1, -5) f(0) = 2(0) 3 = -3 (0, -3) f(1) = 2(1) 3 = -1 (1, -1) f(2) = 2(2) 3 = 1 (2, 1) f(3) = 2(3) 3 = 3 (3, 3) dst

5 (b) cara kedua Titik potong fungsi dengan sumbu tegak/sumbu f(x), bila x = 0, diperoleh f(x) = 2x 3 f(x) = 2(0) 3 f(x) = -3 Jadi, titik potongnya dengan sumbu tegak adalah {x, f(x)} = (0, -3) Titik potong fungsi dengan sumbu datar/sumbu x, bila y atau f(x) = 0, diperoleh f(x) = 2x 3 0 = 2x 3 2x = 3 x = Jadi, titik potongnya dengan sumbu tegak adalah {x, f(x)} = (1 2 1, 0 ) 3 f(x) f(x) = 2x x -1 (1 2 1, 0 ) -2-3 (0,-3) -4-5 CONTOH 2 11: Diketahui : A = Bilangan riil dan B = Bilangan riil Tentukanlah : Grafik f:a B dimana x A dan 3x + x 2 B 5

6 Penyelesaian Fungsi tersebut dapat ditulis f(x) = 3x + x 2 Tabel pasangan nilai x dan f(x) X f(x) (x,f(x)) (-3,12) (-2,7) (-1,4) (0,3) (1,4) (2,7) (3,12) Gambar Grafik f(x) (-3,12) (3,12) (-2, 7) (2, 7) x 2.4 Fungsi Umum dan Fungsi Khusus Fungsi Umum Fungsi umum adalah suatu fungsi yang hanya dinyatakan dalam variable bebas dan variable terikat saja, tanpa memberikan penjelasan bagaimana hubungan/pengaruh variable bebas terhadap variabel terikatnya. Contoh 2-13: Teori ekonomi menyatakan bahwa konsumsi seseorang (C) tergantung tingkat pengahasilannya (y). tentukanlah hubungan ekonomi antara dua variable tersebut dapat dinyatakan dengan fungsi umum? Jawab C = f(y) (Persamaan 2.4) Penjelasan Persamaan (2.4) ini mencatat hubungan antara konsumsi dan tingkat pengasilan, akan tetapi tidak memberikan penjelasan bagaimana penghasilan seseorang mempengaruhi komsumsinya. Berpengaruh positif atau negatif? Berapa besar pengaruhnya? 6

7 Fungsi Khusus Fungsi khusus adalah suatu fungsi yang dapat menjelaskan tentang hubungan atau pengaruh variable bebas terhadap variable terikatnya. Contoh 2-14: Hubungan ekonomi antara pendapatan seseorang dengan konsumsinya yang diiliustrasikan melalui persamaan (2.4) di atas, dapat pula dinyatakan dengan fungsi khusus, seperti: C = ,3Y (Persamaan 2.5) Persamaan (2.5) dengan jelas menyatakan hubungan atau pengaruh pendapatan/penghasilan (y) terhadap konsumsinya (C) adalah positif. Hal ini dinyatakan oleh angka koefisien variable bebas y adalah positif (+). Berapa besar pengaruhnya, hal ini bisa dilihat dari nilai angka koefisien dari y yaitu 0,3. Angka koefisien sebesar 0,3 itu memiliki arti bahwa setiap kenaikan pendapatan (y) sebesar satu unit, mengakibatkan konsumsi (C) naik (meningkat) sebesar 0,3 unit. Kesimpulan Jadi, fungsi umum, tidak menjelaskan bagaimana dan berapa besar pengaruh variable bebas terhadap variable terikatnya. Sebaliknya fungsi khusus dapat menjelaskan bagaimana dan berapa besar pengaruh variable bebas terhadap variable terikatnya. 7

8 LATIHAN SOAL BAB II 1. Buatlah grafik (cartesius) fungsi : a. f : x x 2 + 6x + 4 atau f (x) = x 2 + 6x + 4 b. f : x 2x + 1 atau f (x) = 2x Tentukan manakah fungsi dari relasi yang ditujukkan oleh diagram di bawah ini? a. b. c. d. e. f. 3. Nyatakanlah model matematikanya dalam bentuk fungsi umum untuk hubungan ekonomi di bawah ini: a. Kuantitas barang yang diminta oleh konsumen (q) tergantung dari tingkat harganya (p) b. Besarnya investasi (l) tergantung dari tingkat suku bunga pinjaman bank (i) c. Total penjualan suatu perusahaan (R) tergantung dari jumlah barang yang terjual (q) d. Kuantitas barang yang ditawarkan oleh produsen (q) tergantung dari harga pasar barang tersebut (p) 8

9 Referensi: - Matematika Ekonomi Nata Wirawan (2015) nb. #This material merely used for education (nor for commercial). #UNISKA MUHAMMAD ARSYAD AL-BANJARY FE 2016/2017 #Matematika Ekonomi #Dosen: M. Rizki, S. Pd (M. Pd) 9