Matematika X Sekolah Menengah Kejuruan (SMK)

Transkripsi

1

2 Mtemtik X Sekolh Menengh Kejurun (SMK) Kelompok Penjuln dn Akuntnsi Untuk kels X To li Pust Perbukun Deprtemen Pendidikn Nsionl

3 ii Hk Cipt pd Deprtemen Pendidikn Nsionl Dilindungi Undng-undng Mtemtik X Sekolh Menengh Kejurun Kelompok Penjuln dn Akuntnsi Penulis : To li Ukurn Buku : 7, x cm.7 TOA m To li Mtemtik X : Sekolh Menengh Kejurun Kelompok Penjuln dn Akuntnsi / To li. Jkrt: x, hlm.: ilus.; cm. Bibliogrfi hlm. Indeks hlm. - ISBN Mtemtik Studi dn Pengjrn I. Judul Diterbitkn oleh Pust Perbukun Deprtemen Pendidikn Nsionl Thun 8 Diperbnyk oleh...

4 iii Kt Smbutn Puji syukur kmi pnjtkn ke hdirt Allh SWT, berkt rhmt dn kruni-ny, Pemerinth, dlm hl ini, Deprtemen Pendidikn Nsionl, pd thun 8, telh membeli hk cipt buku teks peljrn ini dri penulis untuk disebrluskn kepd msyrkt mellui website Jringn Pendidikn Nsionl. Buku teks peljrn ini telh dinili oleh Bdn Stndr Nsionl Pendidikn dn telh ditetpkn sebgi buku teks peljrn yng memenuhi syrt kelykn untuk digunkn dlm proses pembeljrn mellui Perturn Menteri Pendidikn Nsionl Nomor Thun 8. Kmi menympikn penghrgn yng setinggi-tingginy kepd pr penulis yng telh berkenn menglihkn hk cipt kryny kepd Deprtemen Pendidikn Nsionl untuk digunkn secr lus oleh pr pendidik dn pesert didik di seluruh Indonesi. Buku-buku teks peljrn yng telh dilihkn hk ciptny kepd Deprtemen Pendidikn Nsionl tersebut, dpt diunduh (down lod), digndkn, dicetk, dilihmedikn, tu difotokopi oleh msyrkt. Nmun, untuk penggndn yng bersift komersil hrg penjulnny hrus memenuhi ketentun yng ditetpkn oleh Pemerinth. Dihrpkn bhw buku teks peljrn ini kn lebih mudh dikses sehingg pesert didik dn pendidik di seluruh Indonesi mupun sekolh Indonesi yng berd di lur negeri dpt memnftkn sumber beljr ini. Kmi berhrp, semu pihk dpt mendukung kebijkn ini. Selnjutny, kepd pr pesert didik kmi ucpkn selmt beljr dn mnftknlh buku ini sebik-bikny. Kmi menydri bhw buku ini msih perlu ditingktkn mutuny. Oleh kren itu, srn dn kritik sngt kmi hrpkn. Jkrt, Juni 8 Kepl Pust Perbukun

5 iv KATA PENGANTAR Puji syukur pd Allh SWT yng telh memberikn rhmt begitu besr pd kit semu, sehingg, buku mtemtik SMK untuk kels X Kelompok Penjuln dn Akuntnsi Sekolh Menengh Kejurun dpt terselesikn dengn bik. Buku ini disusun berdsrkn Perturn Menteri Pendidikn Nsionl Republik Indonesi No. dn Thun yng tertung dlm Stndr Isi dn Stndr Kompetensi Lulusn untuk Stun Pendidikn Dsr dn Menengh. Selin memut urin yng berisikn pengembngn stndr kompetensi dn kompetensi dsr, buku ini jug berisikn konsep-konsep dsr mtemtik yng dpt digunkn pd kehidupn sehri-hri yng berhubungn dengn Penjuln dn Akuntnsi. Tip bb berisi teori yng hrus diphmi secr benr oleh pesert didik dn diserti dengn contoh-contoh sol yng relevn dengn teori tersebut. Selin itu terdpt jug sol-sol yng didsrkn pd konsep dn teori yng dibhs sebgi lt uji untuk mengukur kemmpun pesert didik dlm pengusn mteri tersebut. Dlm mengembngkn buku ini, penulis berupy gr mteri yng disjikn sesui dengn kebutuhn kompetensi yng hrus dicpi pd kels X bidng Penjuln dn Akuntnsi Sekolh Menengh Kejurun. Oleh krenny, selin dri hsil pemikirn dn penglmn penulis sebgi guru mtemtik pd SMK Bisnis dn Mnjemen, mteri yng dikembngkn jug diperky dengn referensi-referensi lin yng sesui. Penulis mengucpkn terim ksih kepd semu pihk yng mendukung buku ini dpt diterbitkn. Mudh-mudhn buku ini dpt bermnft bgi pesert didik dlm mengembngkn kemmpun mtemtikny. Nmun demikin penulis menydri bhw buku ini msih perlu dikembngkn terus. Sehingg srn dri berbgi pihk penggun buku ini sngt dihrpkn. Penulis

6 Diunduh dri BSE.Mhoni.com v DAFTAR ISI Kt Smbutn iii Kt Pengntr iv Dftr Isi v Petunjuk Penggunn Buku viii BAB Sistem Bilngn Riil A. Opersi pd Bilngn Riil.... Skem Bilngn Opersi Penjumlhn dn Pengurngn.... Opersi Perklin dn Pembgin.... Mengonversikn Pechn ke Persen tu Seblikny.... Mengonversikn Pechn ke Desiml tu seblikny.... Contoh-Contoh Sol Apliksi Perbndingn Senili Perbndingn Berblik Nili... B. Rngkumn Opersi pd Bilngn Riil... C. Bilngn Berpngkt.... Pengertin Bilngn Berpngkt.... Aturn Dsr Pengopersin Bilngn Berpngkt... D. Rngkumn Bilngn Berpngkt... E. Bilngn Irsionl.... Definisi Bentuk Akr.... Menyederhnkn Bentuk Akr.... Mengopersikn Bentuk Akr... F. Rngkumn Bilngn Irsionl... G. Logritm.... Logritm Bis (Briggs).... Sift-Sift Logritm.... Menentukn Nili Logritm dengn Tbel/Dftr Logritm.... Antilogritm.... Opersi pd Logritm... H. Rngkumn Logritm... Uji Kemmpun BAB Persmn dn Pertidksmn.. A. Persmn dn Pertidksmn Linier. Definisi Persmn dn Pertidksmn Linier.... Himpunn Penyelesin Persmn Linier stu Vribel.... Himpunn Penyelesin Persmn Linier Du Vribel.... Himpunn Penyelesin Pertidksmn Linier stu Vribel... 8

7 vi BAB BAB. Sol-Sol Apliksi Persmn dn Pertidksmn Linier... B. Rngkumn Persmn dn Pertidksmn Linier... C. Persmn dn Pertidksmn Kudrt.... Persmn Kudrt.... Pertidksmn Kudrt.... Jenis-Jenis Akr Persmn Kudrt.... Rumus Jumlh dn Hsil Kli Akr-Akr Persmn Kudrt. D. Rngkumn Persmn dn Pertidksmn Kudrt... E. Penerpn Persmn dn Pertidksmn Kudrt.... Menyusun Persmn Kudrt.... Menyusun Persmn Kudrt Berdsrkn Akr-Akr Persmn Kudrt Lin.... Apliksi Persmn dn Pertidksmn Kudrt... F. Rngkumn Penerpn Persmn dn Pertidksmn Kudrt Uji Kemmpun. Mtriks... A. Mcm-Mcm Mtriks Pengertin, Notsi, dn Ordo Mtriks.... Trnspose Mtriks.... Kesmn Du Mtriks... B. Rngkumn Mcm-Mcm Mtriks... C. Opersi pd Mtriks.... Penjumlhn dn Pengurngn Mtriks.... Perklin Mtriks... D. Rngkumn Opersi pd Mtriks... E. Determinn dn Invers Mtriks.... Determinn Mtriks Ordo Du.... Determinn Mtriks Ordo Tig.... Minor, Kofktor, dn Adjoin.... Invers Mtriks.... Menyelesikn Sistem Persmn Linier... F. Rngkumn Determinn dn Invers Mtriks... Uji Kemmpun. Progrm Linier. A. Grfik Himpunn Penyelesin Sistem Pertidksmn Linier.. Pengertin Progrm Linier.... Grfik Himpunn Penyelesin Sistem Pertidksmn Linier Stu Vribel. Grfik Himpunn Penyelesin Sistem Pertidksmn Linier Du Vribel. B. Rngkumn Grfik Himpunn Penyelesin Sistem Pertidksmn Linier. C. Model Mtemtik dri Sol Cerit (Klimt Verbl).... Pengertin Model Mtemtik.... Mengubh Klimt Verbl menjdi Model Mtemtik dlm Bentuk Sistem Pertidksmn... D. Rngkumn Model Mtemtik dri Sol Cerit (Klimt Verbl)

8 vii E. Nili Optimum dri Sistem Pertidksmn Linier... F. Rngkumn Nili Optimum dri Sistem Pertidksmn Linier.. G. Gris Selidik... H. Rngkumn Gris Selidik... Uji Kemmpun Kunci Jwbn... Glosrium... Indeks... Dftr Pustk

9 viii PETUNJUK PENGGUNAAN BUKU A. Deskripsi Umum Mteri yng terckup pd mtemtik SMK Kelompok Penjuln dn Akuntnsi kels X terdiri ts stndr kompetensi yitu:. Memechkn mslh berkitn dengn konsep opersi bilngn riil. Memechkn mslh berkitn sistem persmn dn pertidksmn linier dn kudrt. Memechkn mslh berkitn dengn konsep mtriks. Menyelesikn mslh progrm linier Setelh mempeljri buku ini, kompetensi yng dihrpkn dlh pesert didik dpt menerpkn konsep sistem bilngn riil, konsep Persmn dn Pertidksmn, konsep Mtriks dn Progrm Liner dlm menunjng progrm kehlin kelompok Penjuln dn Akuntnsi. Pendektn yng digunkn dlm menyelesikn buku ini dlh menggunkn pende-ktn pesert didik ktif mellui berbgi metode, seperti pemberin tugs, diskusi pemechn mslh, dn presentsi. Guru merncng pembeljrn yng memberikn kesemptn selus-lusny kepd pesert didik untuk berpern ktif dlm membngun konsep secr mndiri tupun bersm-sm. B. Prsyrt Umum Stndr kompetensi yng terdpt pd urin-urin mteri mempunyi hubungn stu sm linny tetpi pengusn kompetensiny tidk berurutn. Sehingg dlm mempeljri buku ini tidk hrus berurutn sesui dengn dftr isi. Nmun demikin setip stu stndr kompetensi hrus dikusi secr tunts bru dpt pindh pd stndr kompetensi yng lin. Wlupun begitu, sngt disrnkn gr mengusi kompetensi yng pling mendsr yitu memechkn mslh berkitn dengn konsep opersi bilngn riil, bru pindh pd kompetensi linny. C. Cr Menggunkn Buku. Penjelsn untuk Pesert Didik. Bclh buku ini muli dri kt pengntr, petunjuk penggunn buku kemudin phmi benr isi dri setip bbny b. Kerjkn semu tugs-tugs yng d dlm buku ini gr kompetensi klin berkembng sesui stndr.

10 ix c. Butlh rencn beljr untuk mempeljri buku ini dn konsultsikn rencn klin tersebut dengn gurumu. d. Lkukn kegitn beljr untuk mendptkn kompetensi sesui dengn rencn kegitn beljr yng telh klin susun. e. Setip mempeljri stu subkompetensi, hrus di muli dri mengusi pengethun pendukung (urin mteri), membc rngkumnny dn mengerjkn sol ltihn bik mellui bimbingn guru tupun tugs di rumh. f. Dlm mengerjkn sol-sol ltihn klin jngn meliht kunci jwbn terlebih dhulu, sebelum klin menyelesikn sol-sol tersebut. g. Setip menyelesikn stu stndr kompetensi, selesikn uji kemmpun untuk menghdpi ujin yng diberikn oleh guru.. Pernn Guru. Membntu pesert didik dlm merencnkn proses beljr. b. Membimbing pesert didik dlm menyelesikn tugs-tugs/ltihn yng dijelskn dlm thp beljr. c. Membntu pesert didik dlm memhmi konsep dn menjwb pertnyn mengeni proses beljr pesert didik. d. Membntu pesert didik dlm menentukn dn mengkses sumber tmbhn lin yng diperlukn untuk beljr. e. Mengorgnissikn kegitn beljr kelompok jik diperlukn. f. Melksnkn penilin. g. Menjelskn kepd pesert didik mengeni bgin yng perlu untuk dibenhi dn merundingkn rencn pembeljrn selnjutny. h. Menctt pencpin kemjun pesert didik dengn memberikn evlusi. Pemberin evlusi kepd pesert didik dihrpkn dimbil dri sol-sol Uji Kemmpun yng tersedi. D. Pengukurn Kemmpun Untuk mengethui tingkt pengusn klin terhdp mteri dpt digunkn rumus berikut:. Sol pilihn gnd Tingkt Pengusn. sol essy jumlh jwbn yng benr jumlh sol X % skor yng diperoleh Tingkt pengusn x % skor mksimum Arti tingkt pengusn yng klin cpi : 9% - % bik sekli 7% - 89% bik

11 x % - 7% sedng < % kurng Jik sol terdiri dri pilihn gnd dn essy, tingkt pengusn totl dlh jumlh tingkt pengusn pd sol pilihn gnd dn essy Jik nd mencpi tingkt pengusn % ke ts, nd dpt meneruskn mteri yng membhs kompetensi dsr berikutny, tetpi sngt disrnkn gr pengusn yng belum tunts jug tetp dipeljri lgi gr seluruh kompetensi dsr dpt terkusi secr bik. Jik tingkt pengusn klin di bwh %, klin hrus mengulngi mteri tersebut terutm yng belum dikusi.

12 SISTEM BILANGAN RIIL Sumber: Art & Gllery

13 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi Stndr kompetensi sistem bilngn riil terdiri ts empt kompetensi dsr. Dlm penyjin pd buku ini, setip kompetensi dsr memut tujun, urin mteri, dn ltihn. Rngkumn diletkkn pd setip khir bhsn sutu kompetensi dsr. Kompetensi dsr pd bb ini dlh opersi pd bilngn riil, opersi pd bilngn berpngkt, opersi pd bilngn irsionl, dn konsep logritm. Stndr kompetensi ini digunkn sebgi kemmpun dsr untuk mempeljri kompetensikompetensi yng lin. Sebelum mempeljri kompetensi ini ingtlh kembli tentng penjumlhn dn pengurngn bilngn bult, penjumlhn dn pengurngn pechn, desiml dn persen. Perhtikn gmbr - di bwh ini: Gmbr - Alt-lt elektronik di psr swlyn Gmbr - di smping merupkn lt-lt elektronik yng dijul di psr swlyn. Kegitn jul beli di psr tersebut membutuhkn pengethun tentng persen, rugi tu lb, diskon dn perhitungn bilngn riil linny. Oleh kren itu pengethun tentng opersi bilngn riil sngt dibutuhkn pd kehidupn sehri-hri di rumh, di tempt kerj di psr mupun di tempt linny. Pernhkh klin byngkn bgimn menghitung bung mupun jumlh simpnn di sutu bnk? Perhitungn bung di bnk menggunkn opersi bilngn berpngkt, dn msih bnyk lgi kegunn dri sistem bilngn riil. Pd setip khir kompetensi dsr, tercntum sol-sol ltihn yng disusun dri sol-sol yng mudh hingg sol-sol yng sulit. Ltihn sol ini digunkn untuk mengukur kemmpun klin terhdp kompetensi dsr ini. Artiny setelh mempeljri kompetensi dsr ini secr mndiri dengn bimbingn guru sebgi fsilittor, ukurlh sendiri kemmpun klin dengn mengerjkn sol-sol ltihn tersebut. Untuk melncrkn kemmpun klin gr lebih bik dlm mengerjkn sol, disrnkn semu sol dlm ltihn ini dpt dikerjkn di sekolh dengn bimbingn guru mupun di rumh. Untuk mengukur stndr kompetensi lulusn tip pesert didik, di setip khir kompetensi dsr, guru kn memberikn evlusi pkh klin lyk tu belum lyk mempeljri stndr kompetensi berikutny. Klin dinytkn lyk jik klin dpt mengerjkn sol % tu lebih sol-sol evlusi yng kn diberikn guru.

14 BAB I Sistem Bilngn Rel A. Opersi pd Bilngn Riil Setelh mempeljri mteri pd kompetensi dsr ini, klin dihrpkn dpt: membut skem bilngn riil, mengopersikn du tu lebih bilngn bult, mengopersikn du tu lebih bilngn pechn, mengonversikn pechn ke persen tu seblikny, mengonversikn pechn ke desiml tu seblikny, mengonversikn persen ke desiml tu seblikny, mengopersikn bilngn pechn dengn bilngn bult, menyelesikn sol yng mengndung perbndingn senili, menyelesikn sol yng mengndung perbndingn berblik nili, menytkn ukurn yng sebenrny jik ukurn pd gmbr dn sklny dikethui, tu seblikny, dn menytkn perbndingn ke dlm bentuk persen.. Skem Bilngn Sebelum membhs opersi pd bilngn riil, perhtikn pet konsep bilngn di bwh ini. Gmbr - Pet konsep bilngn

15 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi Keterngn: Contoh bilngn imjiner bisny dilmbngkn dengn i,, dn seterusny. Bilngn rsionl dlh bilngn yng dpt dibentuk menjdi b dengn b Bilngn irsionl dlh bilngn yng tidk dpt dibentuk menjdi b tu bilngn yng bnykny desiml tidk terhingg. Bilngn cch dlh bilngn positif ditmbh nol. Bilngn prim dlh bilngn yng hny mempunyi du fktor. Bilngn komposit dlh bilngn yng memiliki fktor lebih dri du. Contoh Beberp bilngn irsionl, yitu, ; log, 77 ; π,. dll Ad bilngn yng memiliki bnykny desiml tk terhingg, nmun merupkn bilngn rsionl, yitu bilngn desiml berulng. Desiml berulng dinotsikn dengn tnd gris (br) di ts ngk yng berulng. Contoh Beberp bilngn desiml berulng, yitu:,....,,....,,...., Untuk mengubh desiml berulng menjdi pechn, gunknlh cr berikut: Berulng penyebutny 9, berulng penyebutny 99 dn seterusny. Contoh Ubhlh bilngn desiml berulng di bwh ini menjdi pechn..,.... d.,.... b., e.,.... c., f., , b., d., e., c., f., Opersi Penjumlhn dn Pengurngn Sift-sift yng berlku pd opersi penjumlhn yitu: Komuttif : b b Mislkn : (-) - 7 7

16 BAB I Sistem Bilngn Rel Asositif ( b ) c ( b c ) Mislkn: ( 7) (7 ) 9 Memiliki elemen netrl penjumlhn, yitu Memiliki invers penjumlhn. Invers penjumlhn dri dlh - Contoh Invers penjumlhn dri dlh -, invers penjumlhn dri - dlh Untuk penjumlhn dn pengurngn pd bilngn pechn, berlku rumus berikut: b b c c c c b c b c c d bc b d bd b c d d bc bd Contoh. b. c d Opersi Perklin dn Pembgin Pd perklin dn pembgin bilngn riil berlku rumus berikut: x b b : b b x (- b) - (b) : (-b) - ( ) b (-) x b - (b) (-) : b - ( ) b (-) x (-b) b (-) : (-b) b Contoh. x c. : - - b. - x - d. - : - Sift-sift pd opersi perklin dn pembgin dlh sebgi berikut. Komuttif dn Asositif berlku jug pd opersi perklin, ykni. o Komuttif, x b b x c o Asositif, ( x b) x c x (b x c) ;, b, c R Memiliki unsur identits/elemen netrl, yitu Memiliki invers perklin

17 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi Contoh 7. Invers perklin dri dlh. c. Invers perklin dri - dlh -. b. Invers perklin dri dlh. d. Invers perklin dri dlh 7. Untuk perklin dn pembgin pechn berlku rumus berikut: c c x b d bd Contoh 8 Hukum sositif perklin ( x 7) x - x (7 x (-)) x - x Contoh 9 Perklin dn pembgin pechn:. b. c. : c : b d d bc Untuk perklin dengn penjumlhn tu pengurngn berlku sift distributif, yitu: A x (B C) (A x B) (A x C A x (B C) (A x B) (A x C) Contoh. x ( 8) ( x ) ( x 8) b. x ( ) ( x ) ( x ) Cttn Jik menyelesikn opersi bilngn riil yng terdiri ts mutliopersi, mk hrus diselesikn berdsrkn hierrki opersi bilngn riil, yitu selesikn dhulu opersi dlm kurung, pngkt, kli tu bgi kemudin jumlh tu kurng. Contoh.. x 7 bukn x b. : x x bukn : tu : :,. Mengonversikn Pechn ke Persen tu Seblikny p x % p % b b

18 BAB I Sistem Bilngn Rel 7 Contoh Konversikn ke bentuk persen:. b.. x % % b. x %, % 7 7 c. x % 87, % 8 8 c. 8 7 Contoh Konversikn ke bentuk pechn:., % b. %., %, b. %.. Mengkonversikn Pechn ke Desiml tu seblikny dihitung dengn dibgi b b Contoh Konversikn ke bentuk desiml. 8 b. c.. 8 b. dengn cr yng sm, 8, 8 c. dengn cr yng sm,

19 8 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi Contoh Konversikn ke bentuk pechn:., b., c.,777.., 9 b.,. 7 c., Contoh-Contoh Sol Apliksi Contoh Dit membeli klkultor sehrg Rp.,, kemudin i menjulny dengn hrg Rp.,. Berp persen keuntungn yng diperoleh Dit? Untung Hrg jul Hrg beli Rp., Rp., Rp., untung Persentse keuntungn x % hrg Beli. x% %. Contoh 7 Tentukn niliny pd sol-sol berikut:. % dri Rp., b. 7 dri Rp., c.,7777 dri Rp8..,.8.. % dri Rp., x. b. dri Rp., x. Rp., 7 7 Rp8., c.,7777 dri Rp8.., 9 7 x 8.. Rp.., Contoh 8 Hrg brng setelh diskon % dlh Rp7.,. Tentukn hrg brng sebelum diskon. Hrg brng setelh diskon % menjdi 7% sehingg diperoleh skem sebgi berikut:

20 BAB I Sistem Bilngn Rel 9 Hrg brng persentse Sebelum diskon : x % Sesudh diskon : Rp7., 7% x x. 7 Jdi, hrg brng sebelum diskon dlh Rp., Contoh 9 Pk Abdullh kn menjul bersny sebnyk krung dengn bert per krung kg. I kn menjulny mellui seorng komisioner bernm Pk Yssin dengn kesepktn trr %, rfksi % dn komisi %. Jik bers dijul Rp., per kg. Tentukn:. Hsil komisi yng diterim Pk Yssin. b. Hsil penjuln yng diterim Pk Abdullh.. Bert bruto x kg. kg Trr % x. kg kg _ Netto. kg Rfksi % x. kg kg _ Bert bersih setelh rfksi. kg Hsil penjuln sebelum komisi. kg x Rp., Rp.., Komisi yng diperoleh Pk Yssin % x Rp.., Rp.., Keterngn: % trr % bert pembungkus Rfksi penyusutn Bruto bert kotor Netto bert bersih b. Hsil penjuln yng diterim Pk Abdullh Rp.., Rp.., Rp.9., Contoh Seorng sles lt-lt elektronik kn mendptkn bonus minggun 7,% jik omset penjulnny ntr Rp.., smpi dengn Rp..,; kn mendpt bonus % jik omsetny ntr Rp.., smpi dengn Rp..,; dn kn mendpt bonus % jik omsetny di ts Rp..,. Jik gji tetpny tip buln Rp.7., dn hsil penjulnny pd buln Mei 7 sebgi berikut: minggu pertm omsetny Rp7.., minggu kedu omsetny Rp8.., minggu ketig omsetny Rp Rp.., dn minggu keempt omsetny Rp7..,. Tentukn gji dn bonus yng kn diterim krywn tersebut pd wl Juni 7. Gmbr - Situsi toko elektronik

21 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi Bonus minggu pertm 7,% x Rp7.., Rp., Bonus minggu kedu % x Rp8.., Rp.., Bonus minggu ketig % x Rp.., Rp Bonus minggu keempt % x Rp7.., Rp.7., Bonus totl yng diterim sles Rp.., Jdi, jumlh gji dn bonusny pd wl Juni 7 Rp.., Rp.7., Rp8..,. Contoh Seorng milider meninggl duni dn kn mewriskn hrtny kepd ketig nkny dengn pembgin sebgi berikut. Ank pertm mendptkn jth %, nk kedu dengn jth,., nk ketig dengn jth dn sisny disumbngkn kepd beberp yysn sosil. Hrt yng ditingglkn sebesr Rp8 milir. Berp jth msing-msing nk dn yng disumbngkn kepd yysn sosil tersebut? Jth nk pertm % x Rp8 milir Jth nk kedu Rp, milir, x Rp8 milir 9 x Rp8 milyr milir Jth nk ketig x Rp 8 milir Rp, milir Hrt yng disumbngkn ke yysn Rp8 milir ( Rp, Rp Rp,) milir Rp milir tu ( %, ) x Rp 8 milir ( 9 ) x Rp8 milir x Rp8 milir Rp milir. Ubhlh menjdi bentuk persen dn pechn.., d., b.,8 e., c., f.,. Ubhlh menjdi bentuk persen dn desiml.. 7 d. 8 b. e. c. f. 8 g. 9 9 h. 8 7 i.

22 BAB I Sistem Bilngn Rel. Ubhlh menjdi pechn:.,888 f.,777 b., g., c.,.. h., d.,. i.,. e., j.,. Selesikn sol-sol berikut.. 8 (-9) f. -8 (-8) b. 8 (-7) g. 7 ( - ) c. - 9 h. 8 : x d. - x i. x e. 8 : - j. 8 (-). Selesikn sol-sol berikut.. g. b. h. 8 7 c. x i. 8 9 d. x j : 7 e. k. 7 f. l. 8. Bdru meninggl duni dn hrtny sebesr Rp.., kn diwriskn kepd nkny. Ketig nkny msing-msing kn mendptkn, dn dri hrt wrisnny. Sisny diberikn kepd nkny yng keempt. Berpkh wrisn yng diperoleh merek msing-msing? 7. Neni kn menjul bersny sebnyk 7 krung kg, mellui seorng komisioner bernm Bhlul dengn ketentun sebgi berikut. Trr %, rfksi % dn komisi %. Jik hrg bers Rp., tip kg, tentukn:. komisi yng diterim Bhlul, b. hsil penjuln yng diterim Neni. 8. Hrg klkultor setelh diskon 7% dlh Rp.,. Tentukn hrg klkultor sebelum diskon. 9. Usmn mengikuti sutu multilevel mrketing (MLM) dengn ketentun sebgi berikut. Akn menerim bonus % jik omset < Rp..,. Bonus % jik Rp.., < omset < Rp..,. Bonus % jik omset Rp.., lebih. Bonus kerjinn % dri omset,

23 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi Pd buln Jnuri, Februri, dn Mret omset Usmn berturut-turut Rp..,; Rp8..,; dn Rp..,. Tentukn totl bonus yng diterim Usmn selm tig buln tersebut.. Seorng pedgng buh membeli mngg, kwintl dengn hrg Rp., per kg, 8 kg dengn hrg Rp., per kg, dn sisny dijul dengn hrg Rp., per kg. Untung tu rugikh pedgng tersebut dn berp untung tu ruginy?. Pk Pohn membeli buku kwitnsi dn mendptkn diskon %. Jik Pk Pohn hrus membyr ke ksir sebesr Rp.,, berp hrg sebuh buku kwitnsi tersebut sebelum diskon?. Bdu, Tono, dn Deni kn membuk ush bersm dengn nm Grosir Alt Tulis dengn modl msing-msing: Rp..,; Rp9..,; dn Rp..,. Pd khir thun pertm grosirny mendptkn Sis Hsil Ush (SHU) sebesr Rp.., dn pembgin SHU berdsrkn persentse modlny dengn ketentun % dri SHU digunkn untuk penmbhn modl ush. Berp SHU yng diterim Bdu, Tono dn Deni pd khir thun pertm?. Seorng pedgng berhsil menjul dgngnny Sebesr Rp8.,. Jik pedgng tersebut untung %, tentukn hrg beli brng tersebut.. Seorng krywn mendpt bonus sebesr,% dri gjiny kren rjin. Gji krywn semul Rp8.,, berp gji krywn setelh mendpt bonus?. Bdu menbung di bnk sebesr Rp..,. Jik bnk memberikn bung,% sethun, tentukn ung Bdu setelh stu thun. 7. Perbndingn Senili Perbndingn disebut sebgi perbndingn senili jik du perbndingn niliny sm, yitu tu x b x b b b Contoh Lim liter minyk mempunyi mss kg dn liter minyk mempunyi mss 8 kg. Perbndingn ntr kuntits minyk dn mssny dituliskn sebgi: : : 8 tu : : Contoh Perbndingn pnjng dn lebr sutu bngunn dlh :. Jik lebrny 8 m, tentukn pnjng dri bngunn tersebut.

24 BAB I Sistem Bilngn Rel p p x 8 p p m 8 Jdi, pnjng bngunn dlh m. 8. Perbndingn Berblik Nili Perbndingn disebut perbndingn berblik nili jik du perbndingn hrgny sling berblikn. Perbndingn berblik nili dpt dirumuskn dengn: b tu x b x b b Contoh Sutu mobil berjln sejuh (S) km dlm wktu (t) jm pd keceptn (v) km/jm. Bil keceptnny km/jm, mk jrk tersebut ditempuh dlm wktu jm. Artiny, jik keceptn mobil diliptkn dengn sutu bilngn mk wktu yng diperlukn untuk menempuh jrk yng sm dibgi sesui dengn bilngn keliptnny. Contoh Sutu pekerjn dpt diselesikn oleh pekerj selm hri. Tentukn bnyk pekerj yng hrus ditmbhkn gr pekerjn dpt diselesikn dlm wktu hri. Pekerj Wktu ( perbndingn berblik nili ) orng hri x hri x x x 9 x Jdi, pekerj yng perlu ditmbhkn dlh (9 ) orng. Contoh Hrg jul mesin ketik elektrik dlh Rp8.,. Jik dri hrg penjuln tersebut mendptkn untung %, tentukn hrg beliny. Hrg jul setelh untung % menjdi %, sehingg diperoleh Hrg brng Persentse Hrg jul Rp8., % Hrg beli x % x x x 7. x Jdi, hrg beli dlh Rp7.,. Contoh 7 Hrg buh buku besr setelh diskon 7,% dlh Rp7.,. Tentukn besrny diskon.

25 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi Hrg brng setelh diskon 7,% menjdi 8,% sehingg diperoleh Hrg brng Persentse Diskon x 7,% Sesudh diskon Rp7., 8,% x 7, 7. x 7, x x , 8, Jdi, besrny diskon dlh Rp8.7,. Contoh 8 Kren mls, seorng krywn dipotong gjiny sebesr %. Gji krywn setelh dipotong menjdi Rp..,. Berp gji mul-mul sebelum dipotong. Gji setelh dipotong % menjdi 8% sehingg diperoleh Gji Persentse Sebelum dipotong x % Sesudh dipotong Rp.., 8% x.. x x x Jdi, gji sebelum dipotong dlh Rp..,. Contoh 9 Seorng pengush rotn menerim order dri pengush Sudi Arbi untuk mengekspor hsil kerjinn rotnny. Untuk itu, pengush tersebut kn mempekerjkn pengrjin dn kn diselesikn dlm wktu 8 hri. Setelh berjln hri, pekerjn dihentikn selm hri. Supy pekerjn selesi pd wktu yng telh direncnkn, tentukn jumlh pekerj yng hrus ditmbh. Gmbr: - Brng kerjinn rotn Setelh berjln hri, wktu yng tersis hny hri, istirht selm hri, sehingg wktu yng tersis untuk menyelesikn bngunn sesui rencn hny hri. Akibtny hrus menmbh pekerj. Untuk menyelesiknny, liht penyelesin berikut. Pekerj Wktu Rencn semul hri Wktu tersis x hri x x x x Jdi, pekerj yng hrus ditmbh ( ) pekerj pekerj.

26 BAB I Sistem Bilngn Rel 9. Skl Skl ilh bentuk perbndingn senili dri ukurn sutu besrn nyt. Simbol untuk menytkn skl dlh : Mislny skl pd pet tertulis :.. rtiny jik pd pet cm, mk jrk sebenrny dlh.. cm tu km. Contoh Jrk kot pd pet 7, cm. Jik skl pd pet :., berpkh jrk sesungguhny? Jrk sesungguhny 7, cm x... cm, km Contoh Pnjng sebenrny sutu pintu, m, dn dilukis oleh rsitek dengn skl :. Tentukn pnjng pintu dlm lukisn. Pnjng pintu dlm lukisn, m : cm : cm Contoh Jrk Jkrt Surby sesungguhny dlh 8 km. Jik di dlm pet digmbr sepnjng cm, tentukn sklny. Skl cm : 8 km cm : 8.. cm :.. Contoh Jrk Jkrt Cirebon sesungguhny dlh 8 km, digmbr dlm pet cm. Berpkh jrk sebenrny Jkrt Subng yng di dlm pet berjrk 8 cm? Jrk sebenrny Jrk dlm pet Jrk sebenrny Jrk dlm pet 8 km cm 8 x x 8 km x km x 8 cm Jdi, Jrk Jkrt Subng dlh km. B. Rngkumn Opersi pd Bilngn Riil. Sift-sift opersi penjumlhn dn perklin pd bilngn riil meliputi sift komuttif, sositif, memiliki unsur identits penjumlhn( ), memiliki unsur identits perklin (), Memiliki invers perklin dn penjumlhn.

27 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi. Untuk penjumlhn pechn, berlku rumus berikut c d bc b d bd b b c c c b c c d d bc bd b b c c. Perklin dn pembgin pechn: c c x b d bd c d : b d bc. Mengonversikn pechn ke persen tu seblikny p x % P % b b. Mengonversikn pechn ke desiml tu seblikny dihitung dengn dibgi b b. Pd perklin dn pembgin bilngn bult, rsionl dn riil berlku rumus berikut: x b b : b b x (- b) - (b) : (-b) - ( ) b ( -) x b - (b) (-) : b - ( ) b (-) x (-b) b (-) : (-b) b 7. Sift disributif perklin dengn penjumlhn tu pengurngn dlh sebgi berikut. A x ( B C) (A x B) (A x C) A x ( B - C) (A x B) (A x C) 8. Perbndingn senili, b b 9. Perbndingn berblik nili, tu x b x b b tu x b x b. Perhitungn pd skl berlku rumus berikut Jrk pd gmbr skl x jrk sebenrny Jrk sebenrny jrk pd gmbr : skl b

28 BAB I Sistem Bilngn Rel 7. Seorng tukng bngunn dpt menghbiskn sk semen untuk membngun m dinding. Jik di kn membngun dinding selus m, berp sk semen yng diperlukn?. Sutu gedung direncnkn kn dibngun selm minggu dengn pekerj. Jik rencn pembngunn gedung dipercept menjdi minggu, berp pekerj yng hrus ditmbh?. Pnjng s sebuh rotor digmbr dengn pnjng rdiusny cm. Jik skl ukurn itu :, berpkh ukurn rdius sesungguhny?. Pnjng sebuh mobil sedn sesungguhny dlh, m. Berpkh pnjng sedn pd lyr TV jik sklny :?. Sebtng perunggu terbut dri Kg tembg, Kg timh hitm, dn Kg timh putih. Berpkh persentse tip-tip bhn tersebut dlm perunggu itu?. Jik jrk Solo-Surby sebenrny km ternyt di gmbr dlm pet hny cm. Tentukn sklny. 7. Dlm pet, jrk kot A B cm dn jrk kot C D 8 cm. Jik jrk sebenrny kot A B dlh 9 km, berpkh jrk sebenrny kot C D? 8. Ujng jln-jln dengn mobil bersm temnny ke Bndung. Keceptn rtrt mobil yng dikendri km/jm, dn memerlukn wktu jm untuk smpi di Bndung. Bdru terlmbt, jm dibnding Ujng dn menyusul dengn menggunkn mobil lin. Jik Bdru menghendki smpi di Bndung bersm-sm dengn Ujng, mk berp keceptn rt-rt Bdru mengendri mobilny? 9. Sederhnkn perbndingn di bwh ini.. : d. : g. : j. cm : m b. : 8 e. : h., m : cm k. % :,7 c. : f. : i. g :, Kg l. : :. Perbndingn pnjng : lebr : tinggi sutu blok dlh 7 : :. Jik lebrny cm, tentuknlh:. pnjng dn tinggi blok, b. jumlh pnjng rusuk blok.. Kren prestsiny bik, seorng krywn mendptkn bonus % dn i menerim gji dengn bonusny sebesr Rp.7.,. Tentukn gji krywn tersebut sebelum ditmbh bonus.

29 8 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi. Seorng pedgng mendptkn kerugin %. Jik brngny dijul dengn hrg Rp.,, hitung keruginny.. Seorng tukng kn membut pintu dengn bentuk persegi pnjng. Pd gmbr pnjngny cm dn lebrny cm. Jik pnjng pintu sebenrny, m, hitunglh lebr dun pintu sebenrny.. Seorng pemborong bngunn hrus mengelurkn ung Rp., per orng setip hriny untuk menyelesikn sutu pekerjn. Jik orng dpt menyelesikn pekerjn itu selm hri, mk untuk menyelesikn pekerjn selm hri, hitunglh:. jumlh pekerj yng diperlukn pemborong itu, dn b. jumlh ung yng dikelurknny.. Sebuh lukisn berukurn cm x cm. Jik sklny :, berpkh ukurn lus lukisn itu sesungguhny?. Jumlh sisw SMK Kelompok Bisnis dn Mnjemen sebnyk orng, terdiri ts % memilih jurusn Akuntnsi, % memilih jurusn Administrsi Perkntorn, dn sisny memilih jurusn Penjuln. Berpkh jumlh sisw msing-msing jurusn tersebut? 7. Jumlh ung Neni, Lin dn Devi besrny Rp9.,. Jik perbndingn ung Neni : Llin : Devi dlh : :, tentukn ung merek msing-msing. 8. Denh rumh dibut dengn skl :.. Jik lus pd denh cm, berpkh lus sebenrny? b. Jik lus pd denh 8 cm, berpkh lus sebenrny? 9. Sutu gedung direncnkn kn dibngun oleh pekerj selm 7 minggu. Setelh berjln minggu, pembngunn dihentikn sementr selm minggu. Jik pembngunn ingin selesi sesui rencn semul, berpkh pekerj yng hrus ditmbhkn dlm pembngunn tersebut?. Skl denh sutu gedung :. Lus tnh yng kn dibngun berukurn 8 cm x cm. Berp:. ukurn tnh sebenrny? b. lus tnh sebenrny?. Hrg brng setelh diskon 7,% dlh Rp.7,.Tentuknlh hrg brng tersebut sebelum diskon.. Kren kurng lku, toko elektronik mengobrl mesin ketik elektrikny sehingg hny memperoleh hsil penjuln Rp..,. Setelh dihitung, toko tersebut rugi %. Tentukn hrg beliny.

30 BAB I Sistem Bilngn Rel 9 C. Bilngn Berpngkt Setelh mempeljri mteri pd kompetensi dsr ini, klin dihrpkn dpt: menglikn du bilngn berpngkt yng bilngn pokokny sm, membgi du bilngn berpngkt yng bilngn pokokny sm, memngktkn bilngn berpngkt, memngktkn dri perklin du bilngn, memngktkn dri pembgin du bilngn, mengubh pngkt negtif ke pngkt positif, dn mengubh pngkt pechn ke bentuk kr pngkt.. Pengertin bilngn berpngkt Bilngn berpngkt dirumuskn sebgi berikut n Contoh. x x 8 b. x x x c. ( ) x x x x d. x x x x x x.... x. Aturn Dsr Pengopersin Bilngn Berpngkt. Perklin Bilngn Berpngkt yng Bilngn Pokokny Sm Contoh p x q n p q. x 8 x x x x x x x b. ( ) x ( ) c. x ( ) ( ) d. x 7 e. x - (-) b. Pembgin Bilngn Berpngkt yng Bilngn Pokokny Sm p : q p q Contoh. 8 : 8-7 b. ( ) : ( ) ( ) c. : - ( )

31 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi d. : - - e. : - -(-) c. Pemngktn Bilngn Berpngkt ( p ) q p x q Contoh 7. ( ) x d. ( ) 8 x b. ( ) e... ( ) 7 x 7 7 c. x 8 ( ) 7 d. Pemngktn dri Perklin Du Bilngn ( x b) p p x b p Contoh 8. ( x ) x 9 x b. x ( x ). c. x ( x ) e. Pemngktn dri Pembgin Du Bilngn ( : b) p p : b p Contoh 9. ( : ) : 88 : b. : ( : ) f. Bilngn Berpngkt Negtif p p Contoh. b. 8

32 BAB I Sistem Bilngn Rel c.,8. 8 d. :,. e. ( x ) 8 ( ) 7 g. Pemngktn Bilngn Pechn Contoh. b. p q q 8 p d. 8 c e. Contoh Crilh nili x yng memenuhi persmn di bwh ini.. x b. 9 x 7 x. Nytkn rus kiri dn knn dlm bentuk eksponen/pngkt sedemikin sehingg bilngn pokok kedu rus tersebut sm. Jik bilngn pokok kedu rus tersebut sudh sm, mk dismkn kedu eksponenny. x ( ) x x (Bilngn pokok kedu rus sudh sm) x x b. 9 x 7 x ( ) x ( ) x x 9x (Bilngn pokok kedu rus sudh sm) x 9x x 9x x x D. Rngkumn Bilngn Berpngkt. Perklin bilngn berpngkt yng bilngn pokokny sm, p x q p q

33 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi. Pembgin bilngn berpngkt yng bilngn pokokny sm, p : q p q. Pemngktn bilngn berpngkt, ( p ) q p x q. Pemngktn dri perklin du bilngn, ( x b) p p x b p. Pemngktn dri pembgin du bilngn, ( : b) p p : b p. Bilngn berpngkt negtif, p p 7. Pemngktn bilngn pechn, p q q p Ubhlh sol-sol di bwh ini menjdi bentuk pngkt yng pling sederhn.. 7 x 7 x 7., x. ( ) x ( ) x ( ). x ( ) - x 8 9. x :. : x :. x x : 7. (.. x : x. x x 8. 8 :. 8 ) 7. ( 8 ) : ( ) 7. x 8. ( ) : x 9. : 9. x 8. x ( ) :. (. x )

34 BAB I Sistem Bilngn Rel Ubhlh sol-sol di bwh ini menjdi bentuk pngkt yng pling sederhn.. ( ) x. : ( ). ( ) :. x ( ) :. 8 x ( 9 ). ( 9 ) :. : ( ). x - : x.. x( ). x x ( x ). ( 7x). ( ) 9 : - 7. x ( x) x8 x ( x ) 8. x 8 x. 9. : 9., x x (. :.. x(, ). Tentukn hrg x yng memenuhi persmn eksponen berikut ini.. x c. x b. x d. x ) - E. Bilngn Irsionl Setelh mempeljri mteri pd kompetensi dsr ini, klin dihrpkn dpt: membedkn bentuk kr dn bukn bentuk kr, mengopersikn bentuk kr, menyederhnkn bentuk kr, dn mersionlkn penyebut dri bentuk kr.. Definisi Bentuk Akr Seperti yng sudh dibhs pd subkompetensi sebelumny, bhw. Bentuk kr dlh kr dri sutu bilngn yng niliny merupkn bilngn iirsionl. Contoh:,, 8,,, dn lin-lin. Contoh bukn bentuk kr, sebb ( bukn bilngn irsionl) sebb sebb 8 dn lin-lin.

35 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi. Menyederhnkn Bentuk Akr Bentuk kr dpt disederhnkn dengn cr mengubh bilngn di dlm kr tersebut menjdi du bilngn di mn bilngn yng stu dpt dikrkn, sedngkn bilngn yng lin tidk dpt dikrkn. Contoh Sederhnkn bentuk kr di bwh ini.. b. 8 c. d. 8 e. 7. boleh 8 tetpi menyederhnknny du kli b c. d. 8 e Mengopersikn Bentuk Akr. Penjumlhn dn Pengurngn Bentuk Akr Bentuk kr dpt dijumlhkn tu dikurngkn jik bentuk krny sejenis. Contoh Sederhnkn bentuk kr di bwh ini.. d. b. e c. 7 f ( ) b. ( ) c. 7 tidk dpt disederhnkn kren bentuk krny berlinn d. ( ) ( ) - 7 e f

36 BAB I Sistem Bilngn Rel b. Perklin Bilngn Bult dengn Bentuk Akr x b c b c Contoh Selesikn dn sederhnkn bentuk kr di bwh ini.. x d. x( 8 ) b. x e. x( 7 8 ) c. x. x b. x x c. x x 8 d. x ( 8 ) x 8 8 x e. x( 7 8 ) 7 8 x x 8-8 c. Perklin Bentuk Akr dengn Bentuk Akr x b x b c x b d x b c x d x Contoh Klikn dn sederhnkn bentuk kr di bwh ini.. x e. x ( 7 ) b. x f. ( )( ) c. x g. ( 7 )( ) d. x 7 h. ( )( ). x b. x 8 x c. x ( x ). d. x 7 x e. x ( 7 ) ( x 7 ) ( x ) f. ( )( ) x x g. ( 7 )( )

37 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi h. ( )( ) 7 Dri contoh terkhir dpt disimpulkn sebgi berikut. ( b ) ( b) b Contoh 7. ( )( ) b. ( ) ( ) c. ( ) ( ) ( 8 ) ( 8 ) 8 d. Pembgin Bentuk Akr Penyederhnn pembgin bentuk kr sering disebut dengn istilh mersionlkn penyebut bentuk pechn. Untuk mersionlkn penyebut bentuk pechn, lihtlh rumus di bwh ini. b k k b k k b b b x b b b b k( b) x b b b b k( x b b b b) Contoh 8 Rsionlkn penyebut dri pechn di bwh ini. 8. d. b. e. c. 7 f x b. x x 7 ( 7 ) c. x

38 BAB I Sistem Bilngn Rel ( 7) d. x ( ) e. x. f. x F. Rngkumn Bilngn Irsionl. Bentuk kr dlh kr dri sutu bilngn yng niliny merupkn bilngn irsionl.. Bentuk kr dpt disederhnkn dengn cr mengubh bilngn di dlm kr tersebut menjdi du bilngn dimn bilngn yng stu dpt dikrkn, sedngkn bilngn yng lin tidk dpt dikrkn.. Bentuk kr dpt dijumlhkn tu dikurngkn jik bentuk krny sejenis. Perklin bilngn bult dengn bentuk kr: x b c b c. Perklin bentuk kr dengn bentuk kr: x b x b c x b d x b c x d x. Untuk mersionlkn penyebut bentuk pechn, lihtlh rumus di bwh ini.. b b x b b b b b. k k b k( b) x b b b b c. k k b k( b) x b b b b Sederhnkn bentuk kr di bwh ini x ( ). x ( ). x ( 8 ). x( ). x ( ). x ( )

39 8 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi. ( )( ). ( )( ). ( )( ). ( )( ). ( )( ). ( )( ). ( 8 )( 7 ). ( 7 ) ( ) 7. x 9. x 7 ( 7 ) 8. x 7. x 9. 7 x 8 8. ( 7 ) ( ). x 9. x 7. x ( 7 ). x ( - ) Rsionlkn penyebut pd sol berikut G. Logritm Setelh mempeljri mteri pd kompetensi dsr ini klin dihrpkn dpt menjelskn konsep logritm, menjelskn sift-sift logritm, menggunkn tbel logritm, dn melkukn opersi logritm dengn sift-sift logritm.. Logritm Bis (Briggs) Secr umum ditulis, c b log b c disebut bilngn pokok logritm tu Bsis b disebut yng dilogritmkn c disebut hsil logritm >,, b > bilngn pokok boleh tidk ditulis.. Sift-Sift Logritm p. log ( x b) p log p log b b. c. d. p log p log p log b b p log n n. p log log b p p logb log b e. log logb

40 BAB I Sistem Bilngn Rel 9 f. m log n g. b n m m b log. log n dengn >, b >,p dn p > p log p log p Contoh 9 Dengn menggunkn sift logritm, tentukn nili dri sol-sol logritm berikut.. log 9 b. log c. log 8 d. log e. log. log 9 log x Log x b. log log x log c. log 8 log 8 log log log tu dengn rumus ( f ), log 8 log log log d. log e. log log log log tu dengn rumus ( f ), log log, log, log log log Contoh Tentukn nili dri sol-sol logritm berikut.. log 9 log 8 log b. log 8 log log. log 9 log 8 log 9 x 8 log log8 log 8 x b. log 8 log log log log Contoh Jik dikethui log, dn log,77, tentukn logritm berikut ini.. log d. log b. log 9 e. log 7 c. log,

41 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi. log log ( x ) log log,,77,778 b. log 9 log x log x,77,9 c. log log - x log - x, -, d. log log log log log log log log,77,,7 e. log 7 log ( x ) x log x log x, x,77,87 Contoh Tentukn nili logritm berikut.. log x log 8 b. log 9 x log x log c. log 9 x log 7 x 9 log. log x log log 8 log 8 x log log log.log x log log b. log 9 x log x log 9 log log log x x log log log log log log log log log c. log 9 x log 7 x 9 log 9 log 7 log log x x log 9 log log log log 7 log log log log 7. Menentukn Nili Logritm dengn Tbel/Dftr Logritm Logritm yng mempunyi bilngn pokok dinmkn logritm bis. Slh stu cr untuk menentukn nili logritm bis sutu bilngn dlh dengn menggunkn bntun dftr logritm. Pd dftr logritm, hny ditulis mntise (bilngn desiml dri hsil pengmbiln logritm) sj sehingg bilngn indeks tu krkteristik (bilngn bult dri hsil pengmbiln logritm) hrus ditentukn sendiri terlebih dhulu.

42 BAB I Sistem Bilngn Rel. Mencri Hsil Logritm dri Bilngn ntr smpi dengn Kren log dn log mk logritm berbsis dri bilngn-bilngn ntr dn kn terletk ntr dn. Jdi, Indeks tu krkteristikny. Mislkn log, memiliki indeks/krkteristikny. Bilngn di belkng kom, yitu mntise dpt diperoleh dri dftr logritm dimn pd bris kolom diperoleh bilngn 7. (Perhtikn skem tbel di bwh ini). Jdi, log,,7 N b. Mencri Hsil Logritm dri Bilngn Lebih dri Log dn log, mk logritm berbsis dri bilngn-bilngn ntr smpi kn terletk ntr dn. Jdi, indeks tu krkteristikny. Log dn log, mk logritm berbsis dri bilngn-bilngn ntr smpi kn terletk ntr dn. Jdi, indeks tu krkteristikny dn seterusny. Contoh Tentukn nili dri logritm berikut.. log 9,9 b. Log, c. log 9. Indeks dri 9,9 dlh, mntiseny diperoleh dri dftr pd bris 9 kolom 9 dn terdpt bilngn 9. Jdi, log 9,9,9. b. Indeks dri, dlh, mntiseny diperoleh dri dftr pd bris kolom dn terdpt bilngn 9. Jdi, log,,9. c. Indeks dri 9 dlh, mntiseny diperoleh dri dftr pd bris kolom 9 dn terdpt bilngn 8. Jdi, log 9,8. c. Mencri Hsil Logritm dri Bilngn yng Kurng dri Krkteristik dri, smpi dengn dlh -. Krkteristik dri, smpi dengn, dlh -. Krkteristik dri, smpi dengn, dlh -, dn seterusny.

43 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi Contoh Tentukn nili logritm di bwh ini dengn tbel.. log,97 b. log,9. Indeks,97 dlh -, mntiseny diperoleh dri dftr pd bris 97 kolom dn terdpt bilngn 97. Jdi, log,97,97 -,8. b. Indeks,9 dlh - mntiseny diperoleh dri dftr pd bris 9 kolom dn diperoleh bilngn 9. Jdi log,9,9 -,89.. Antilogritm Anti logritm merupkn proses keblikn menghitung nili logritm. Anti logritm dpt ditentukn dengn dftr Antilogritm. Contoh Tentukn nili x dengn menggunkn tbel ntilogritm di bwh ini.. log x,78 b. log x, c. log x,88. Bilngn pd,78 dlh indeksny, sedngkn 78 dlh mntiseny. Angk-ngk yng termut pd dftr ntilogritm pd bris.7 (du ngk pertm) dn kolom 8 (ngk ketig) pd tbel berikut. X Jdi, jik log x,78 diperoleh x,9. b. Bilngn pd, dlh indeksny sehingg nili x dlh ngk stun, sedngkn dlh mntiseny. Mntise pd tbel ntilogritm bris kolom didpt bilngn 8, jdi nili x,8. c. Bilngn - pd,88 dlh indeksny sehingg nili x dlh ngk seperseribun (d ngk di belkng kom), sedngkn 88 tu 9 dlh mntiseny. Mntise 9 pd tbel ntilogritm bris kolom 9 didpt bilngn, jdi nili x,.. Opersi pd Logritm. Opersi Perklin log ( x b) log log b Contoh Hitunglh,8 x,

44 BAB I Sistem Bilngn Rel Jik p,8 x, log p log (,8 x,) og p log,8 log,, Jdi, p Antilog,,9 b. Opersi Pembgin log b log log b Contoh 7 Hitunglh, : 8, Jik p, : 8, log p log (, : 8,) log p log, log 8,,7,87,87 Jdi, p ntilog,87,7 c. Opersi Akr dn Pngkt log n n log log n log n Contoh 8 Dengn menggunkn tbel logritm, tentukn nili dri sol-sol berikut.. 8 b. 7, 8,. Jik p 8 log p log 8 8 Log 8 x,99,9 Jdi, p ntilog,9 98 b. Jik p 7,, mk log p log 8, 7, 8, (Log 7, Log 8,) (,7,) (,7), Jdi, p nti log,,8

45 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi Contoh 9 Dengn menggunkn klkultor, tentukn nili dri logritm berikut.. log 9 b. 7 log. log 9 log9 log,9,99, b. 7 log log log7,79,8,77 H. Rngkumn Logritm. Logritm secr umum ditulis c b log b c. Sift-sift logritm p. log ( x b) p log p log b b. c. d. p log p log p log b b p log n n x p log log b p p logb log b e. log logb m f. n log m tu b n m m b log log n n. Tentukn nili logritm berikut.. log 8 e. log b. log f. log c. log g. log, d. log 7 log 8 h. log 8 log 8. Selesiknlh sol berikut.. log x log 9 d. log 7 x 9 log 9 x log b. log log 8 log e. log x log 8 x log c. log x log f., log. Jik dikethui log, dn log,77, tentukn logritm berikut.. log c. log, e. log 9 b. log 8 d. log f. log. Jik dikethui log p dn log q, tentukn dlm p dn q.. log c. log 7 e. log 9 b. log d. log 8 f. log 7

46 BAB I Sistem Bilngn Rel. Dengn menggunkn tbel, tentukn nili dri logritm berikut.. log, e. log, b. log, f. log, c. log g. log 8,79 d. log,8 h. log,7. Dengn tbel logritm, tentukn nili x dri logritm berikut.. log x,9 d. log x,9 g. log x -,898 b. log x, 897 e. log x,9 h. log x, c. log x,99 f. log x -,8 7. Hitunglh tnp menggunkn klkultor.. log log log log log log 8 log b. log log log log c. /8 log d. log e. log f. 8 log. log g. log x 9 log 7 x log 7 h. log x log x log 8. Dengn menggunkn klkultor, tentukn niliny dri sol di bwh ini.. 8 log f. log 7 b. log c. 8 log g. log 9 h. log 8 x log 7 d. log e. log i. log x log 9 j. log 9. Selesiknlh sol di bwh ini dengn tbel logritm.., x,7, b., x, 9,. Jik log 7 p dn log q, tentuknlh nili log di bwh ini dlm bentuk p dn q.. log 7 b. log c. log 7 d. log e. log,

47 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi A. Sol Pilihn Gnd Pilihlh slh stu jwbn, b, c, d tu e yng benr.. Hrg beli stu lusin buku kwitnsi dlh Rp., dn dijul dengn hrg Rp., tip buh. Persentse keuntungnny dlh..... % c. % e. % b. % d.,7 %. Sebuh kopersi sekolh membeli lusin buku sehrg Rp.,. Jik hrg jul sebuh buku Rp.8, mk persentse keuntungn yng diperoleh kopersi tersebut dlh..... % c. % e. % b. % d. %. Toko A memberikn potongn hrg % pd setip penjuln brng, untuk pembelin sepsng septu, Mrlin membyr kepd ksir sebesr Rp.,. Hrg septu tersebut sebelum mendpt potongn dlh..... Rp8., c. Rp8., e. Rp7., b. Rp., d. Rp.,. Toko buku sedng memberikn potongn hrg % pd setip penjuln brng, untuk pembelin buku Mtemtik, Fuln membyr kepd ksir sebesr Rp.,. Hrg buku tersebut sebelum mendpt potongn dlh..... Rp., c. Rp., e. Rp8., b. Rp., d. Rp.,. Hrg sebuh TV dlh Rp8.,. Jik terhdp pembelin TV dikeni pjk penjuln sebesr %, mk besr ung yng hrus dibyr dri pembelin TV tersebut dlh..... Rp9., c. Rp., e. Rp7.9, b. Rp., d. Rp79.9,. Hrg du buku dn du pensil Rp8.8,. Jik hrg sebuh buku Rp, lebih murh dri hrg pensil, mk hrg sebuh buku dlh..... Rp., c. Rp.9, e. Rp., b. Rp., d. Rp., 7. Sebuh kopersi menjul bju sehrg Rp8., setip lusinny. Jik hsil penjuln ternyt untung % dri hrg beliny, mk hrg beli sebuh bju dlh..... Rp., c. Rp7., e. Rp.8., b. Rp., d. Rp7., 8. Seorng pedgng buh membeli kotk jeruk yng tip kotkny berisi kg sehrg Rp., Jik kemudin jeruk tersebut dijul sehrg Rp9., tip

48 BAB I Sistem Bilngn Rel 7 kilogrmny, mk persentse keuntungn yng diperoleh pedgng tersebut dlh..... % c. 8% e.,% b. 7,% d. % 9. Jrk pd pet ntr Kot Jkrt dn Kot Bogor dlh cm, sedngkn jrk sesungguhny km. Skl pet itu dlh..... : 8 c. : 8. e. : 8.. b. : 8. d. : 8.. Nili dri (-) 9 x (-) dlh..... c. e. b. d.. Nili x yng memenuhi x 7 x dlh..... c. e. b. d.. Hsil dri -9 x (-) x (-) : dlh c. 8 e. 8 b. - d. 7. Dikethui log dn log b, mk log 8 dlh..... b c. b e. ( b) b. b d. ( b). Pernytn berikut benr, keculi..... m : n mn c.. e. ( p ) q p.q b. p. q pq d.. b. b. Hsil dri ( ) x ( )..... c. 8 e. b. 8 d.. Nili x yng memenuhi x x dlh c. - e. b. - d. 7. Nili x dri log x dlh c. e. b. - d.

49 8 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi 8. Jik log x; log y dn log z, mk nili dri log dlh..... x y z c. x.y.z e. x y z b. x y z d. x y z 9. Bentuk sederhn dri log log log dlh..... c. 8 e. b. d.. Krkteristik dri log, dlh..... c. e., b. d.,. Gul dibeli dengn hrg Rp8., per kg, kemudin dijul dengn hrg Rp., tip ½ kg. Persentse keuntungn dri hrg pembelin dlh..... % c. % e. % b. % d. %. Jik log, dn log,77, mk log dlh.....,7 c.,889 e.,778 b.,778 d.,7. Jik log,, log,77 dn log 7.8, mk log dlh....., c., e.,9 b., d.,. Dengn menggunkn tbel, nili dri log,987 dlh....., c., e., b., d.,. Bentuk pechn dri, dlh..... c. b. e. d. 9. Invers penjumlhn dri dlh..... b. c. d., e., 7. ( ) : , c. e.,9 9 b. d.

50 BAB I Sistem Bilngn Rel 9 8. Seorng pengush memerlukn modl sebesr Rp..,. Modl ush tersebut di ntrny diperuntukkn % lt; / bhn bku;, teng; dn sisny untuk trnsportsi, mk besrny biy trnsportsi dlh..... Rp., c. Rp., e. Rp.., b. Rp., d. Rp8., 9.,% setr dengn..... c. b. d., e... Setelh mendpt bonus % seorng krywn gjiny Rp.., mk gji sebelum bonus dlh..... Rp.., c. Rp.8., e. Rp.., b. Rp.., d. Rp..,. Hsil dri 77. b. 77 : c e. d. 77. Bentuk sederhn - 7 dlh..... d. 8 c. b. 7 e. 9. Di bwh ini dlh contoh dri bilngn rsionl, keculi..... c. e. log b., d. %. Invers perklin dri, dlh....., c. e., b. d.., % dri Rp milir dlh..... Rp., c. Rp.., e. Rp..., b. Rp., d. Rp..,

51 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi. Invers perklin dri dlh c. 7 e. 7 b. - d Bentuk pechn dri,.... dlh c. b. d. 9 e Nili dri. b. x ( ) dlh.... c. d. e. 9. Hrg dos disket Rp.,. Jik pembein dos disket mendpt potongn %, disket yng dpt dibeli dengn ung Rp., dlh..... dos c. dos e. dos b. dos d. dos. Hrg beli dri sebuh brng dlh Rp.,. Jik untungny,..., mk hrg julny dlh..... Rp9., c. Rp., e. Rp., b. Rp., d. Rp7.,. Hsil dri : x d. e. b. 7 c.. Bentuk pechn dri,... dlh c. 7 7 e. 9 b. d. 7. Sebuh rungn berbentuk persegi pnjng digmbr menggunkn sekl : dengn pnjng cm dn lebr cm. Lus rungn sebenrny dlh..... cm c. cm e. m b. cm d. m

52 BAB I Sistem Bilngn Rel. Sutu gedung kn dibngun oleh pekerj selm minggu. Jik rencn penyelesin dipercept menjdi minggu, mk bnykny pekerj yng hrus ditmbh dlh..... orng c. 8 orng e. orng b. orng d. orng. Sutu gmbr gedung berskl :. Jik tnh tempt gedung tersebut berukurn cm x cm, mk lus tnh sebenrny dlh cm c. 7 m e. 7. m b. 7. m d. 7. m. Jrk kot A dengn kot B sebenrny km dn dilukis dengn jrk cm, mk jrk kot A dn kot C yng sebenrny jik dlm lukisn berjrk cm dlh km c. km e. km b. 9 km d. km 7. Sutu pet berskl :... Jik jrk Surby-Yogykrt km, mk dlm pet berjrk..... cm c. cm e. cm b. cm d. 8 cm 8. Sutu mobil berukurn m x m dilukis berukurn cm x cm, mk skl lukisn tersebut dlh..... : c. : e. : b. : d. : 9. Pk Heri membeli sepsng septu, setelh hrgny di potong % i membyr sepsng septu itu sebesr Rp8.,. Besrny potongn hrg septu Pk Heri dlh..... Rp 9., c. Rp., e. Rp 7., b. Rp., d. Rp.,. Dikethui log p, log q dn log r, Hrg log jik dinytkn dlm p, q dn r dlh..... p q r c. p q r e. p q r b. p q r d. p q r B. Sol Essy Kerjkn sol-sol berikut dengn benr.. Pk Burhn kn menjul bersny sebnyk krung dengn bert per krung 7 kg. I kn menjulny mellui seorng komisioner bernm Ali Sstro dengn kesepktn trr %, rfksi %, dn komisi %. Bers dijul Rp., per kg. Tentukn:. hsil komisi yng diterim Pk Ali, b. hsil penjuln yng diterim Pk Burhn.

53 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi. Sutu gedung bertingkt direncnkn kn direnovsi dengn pekerj selm minggu. Setelh berjln minggu, pekerjn dihentikn sementr selm minggu. Renovsi ingin selesi sesui dengn rencn semul. Berpkh pekerj yng hrus ditmbhkn dlm pembngunn tersebut? Gmbr: - Gedung yng kn direnovsi. Sederhnknlh bentuk kr di bwh ini.. x ( 8 ) b. 8 x( - 7) c. x ( ). Tnp mengunkn klkultor tu tbel, tentukn niliny.. log b. log x log 8 x log c. log 8 log log log Log, Log,8. Jik log,77 dn log,99, tentukn nili dri sol berikut.. log 7 b. log c. log Keberhsiln seseorng bukn terletk pd kecerdsnny, tpi pd ushny yng gigih.

54 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Sumber: Art & Gllery

55 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi Stndr kompetensi persmn dn pertidksmn linier dn kudrt terdiri ts tig kompetensi dsr. Dlm penyjin pd buku ini setip kompetensi dsr memut tujun, urin mteri, dn ltihn. Rngkumn diletkkn pd setip khir bhsn sutu kompetensi dsr. Kompetensi dsr dlm stndr kompetensi ini dlh himpunn penyelesin persmn dn pertidksmn linier, himpunn penyelesin persmn dn pertidksmn kudrt, sert menerpkn persmn dn pertidksmn kudrt. Stndr kompetensi ini digunkn sebgi kemmpun dsr berikutny untuk mempeljri kompetensi-kompetensi yng lin. Oleh kren itu, kemmpun dsr ini hrus dikusi dengn benr sehingg dlm mempeljri kompetensi-kompetensi yng lin tidk kn menglmi kesulitn. Pd setip khir kompetensi dsr tercntum sol-sol ltihn yng disusun dri solsol yng mudh hingg yng sulit. Ltihn sol ini digunkn untuk mengukur kemmpun klin terhdp kompetensi dsr ini. Artiny setelh mempeljri kompetensi dsr ini secr mndiri dengn bimbingn guru sebgi fsilittor. Ukurlh sendiri kemmpun klin dengn mengerjkn sol-sol ltihn tersebut. Untuk melncrkn kemmpun klin supy lebih bik dlm mengerjkn sol, disrnkn semu sol dlm ltihn ini dikerjkn bik di sekolh dengn bimbingn guru mupun di rumh. Untuk mengukur stndr kompetensi lulusn tip pesert didik, di setip khir kompetensi dsr, guru kn memberikn evlusi pkh klin lyk tu belum lyk mempeljri stndr kompetensi berikutny. Klin dinytkn lyk jik klin dpt mengerjkn sol % tu lebih dengn benr dri sol-sol evlusi yng kn diberikn guru. Setelh mempeljri kompetensi ini, sisw dihrpkn dpt mengpliksiknny untuk mempeljri kompetensi pd peljrn mtemtik mupun peljrn linny dlm kehidupn sehri-hri. Slh stu bentuk contoh pliksi persmn dlm bidng bisnis dn mnjemen, yitu pd nlisis pulng pokok (brek event point) seperti urin berikut ini. Anlisis pulng pokok dlh nlisis model fungsi yng menggmbrkn hubungn ntr ongkos, hsil penjuln, dn keuntungn. Sutu perushn kn memperoleh keuntungn pbil totl hsil penjuln (totl revenue) yng diperolehny melebihi totl biy (totl cost). Jik totl biy lebih besr dri pd totl revenue pd wktu tertentu, berrti perushn menglmi kerugin. Biy totl produksi sutu brng bisny terdiri ts biy tetp dn biy tidk tetp tu biy vribel. Biy yng tetp pd wktu tertentu tu konstn meskipun hsil produksi berubh-ubh, mislny gji krywn, surnsi, dn sebginy disebut dengn biy tetp. Sedngkn biy yng berubh-ubh yng bergntung pd kpsits produksi bis disebut dengn biy vribel.

56 BAB II Persmn dn Pertidksmn Gmbr:. Mnger sutu perushn sedng membicrkn bisnis mellui telepon Mislkn sebuh perushn memproduksi sebnyk x unit brng yng sejenis dengn hrg p rupih per unitny, mk totl revenue penjuln dimodelkn sebgi R px. Mislkn F dn V dlh msing-msing biy tetp (fix cost) dn biy vribel, mk totl cost (Q) dlh sebgi berikut. Q F V Sutu kondisi pd st totl hsil penjuln sm dengn totl biy, yitu kondisi perushn belum mendpt untung dn tidk menderit kerugin diktkn bhw perushn tersebut dlm kondisi pulng pokok (brek event), yitu P Q Hubungn ntr biy totl dn hsil penjuln totl dilukiskn pd grfik seperti yng ditunjukkn pd Gmbr - Gmbr - Hubungn biy totl dn hsil penjuln

57 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi A. Persmn dn Pertidksmn Linier Setelh mempeljri mteri pd kompetensi dsr ini, klin dihrpkn dpt menjelskn pengertin persmn linier, menyelesikn persmn linier stu vribel dn du vribel, menjelskn pengertin pertidksmn linier, menyelesikn pertidksmn linier, dn menyelesikn mslh progrm kehlin yng berkitn dengn persmn dn pertidksmn linier. Persmn merupkn mteri yng hrus dimiliki sisw SMK setelh mengusi stndr kompetensi sistem bilngn riil. Untuk mempeljri kompetensi berikutny, persmn merupkn kemmpun yng sngt penting, kren tnp mengusi persmn klin kn menglmi kesulitn dlm mempeljri kompetensikompetensi selnjutny. Oleh kren itu, peljri mteri ini dengn bik.. Definisi Persmn dn Pertidksmn Linier Klimt terbuk dlm istilh mtemtik dlh klimt yng belum dikethui nili kebenrnny tu klimt yng msih memut vribel. Klimt terbuk yng memut tnd sm dengn tu disebut Persmn. Sedngkn klimt terbuk yng memut tnd <, <, >, > disebut Pertidksmn. Persmn tu pertidksmn linier dlh sutu persmn tu pertidksmn dengn vribelny berpngkt stu. Contoh Persmn linier stu vribel, x, p Persmn linier du vribel, x y, p q Persmn linier tig vribel, x y z, p q r - Contoh Pertidksmn linier stu vribel, x >, y < Pertidksmn linier du vribel, x y <, y > x (Pertidksmn linier du vribel kn dibhs lebih lnjut pd Kompetensi Progrm Linier).. Himpunn Penyelesin Persmn Linier Stu Vribel Bentuk umum persmn linier stu vribel dlh x b dengn, dlh koefisien sedngkn b dlh konstnt. Beberp hl yng perlu diperhtikn dlm menyelesikn persmn linier stu vribel dlh sebgi berikut. Nili persmn tidk berubh jik pd rus kiri dn knn ditmbhkn tu dikurngkn dengn bilngn negtif tu bilngn positif yng sm. Nili persmn tidk berubh jik pd rus kiri dn knn diklikn tu dibgi dengn bilngn positif yng sm.

58 BAB II Persmn dn Pertidksmn 7 Dengn memperhtikn kedu hl di ts, mk lngkh-lngkh untuk menentukn penyelesin persmn linier stu vribel dlh sebgi berikut. Jik vribel dn konstnt terdpt di sebelh kiri dn sebelh knn, mk kelompokkn vribel dengn vribel dn letkkn sebelh kiri, kemudin konstnt dengn konstnt letkkn sebelh knn, tu seblikny. Ingt st memindhkn vribel tu konstnt dri sebelh kiri ke sebelh knn tu seblikny, mk tndny berubh dri menjdi tu seblikny. Jik beberp vribel sudh dikelompokkn sebelh kiri mk beberp konstnt di sebelh knn tu seblikny. Jumlhkn tu kurngkn vribel tersebut begitu jug konstntny seperti menjumlhkn bilngn bult. Jik konstnt sudh bergbung menjdi stu bilngn begitu jug vribelny, mk bgilh gbungn konstnt dengn koefisien dri gbungn vribel tersebut. Ingt tnd tu dlm proses pembgin sudh dibhs pd modul sistem bilngn riil. Jik bertemu dengn ngk pechn, bik yng sebelh kiri tu sebelh knn, mk lebih bik klikn dengn KPK dri penyebut pechn tersebut. Contoh Tentukn nili x dri persmn-persmn berikut.. 8x x e. (x ) x b. 8(x ) f. (p ) c. x x 7 g. (x ) (x ) d. x 7 x h. (x 9) (x ). 8x x c. x x 7 (diklikn ) 8x x x x 8 x x x -8 x x - x 8 b. 8(x ) d. x 7 x ( diklikn ) 8x (x 7) ( x) 8x 8x x 8x 8x x x -x -7 x 7 8 8

59 8 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi e. (x ) x g. (x ) (x ) x x 8x x 8 x x 8x x 8 x x 8 x x f. (p ) h. (x 9) (x ) (klikn ) p (x 9) (x ) 8 p x x p 8 x x p 8x - p x 8 8. Himpunn Penyelesin Sistem Persmn Linier Du Vribel Bentuk umum sistem persmn linier du vribel yng mempunyi vribel x dn y dlh. x b y c y b y c dengn,, b, b, c, dn c dlh bilngn riil. Untuk menentukn himpunn penyelesin sistem persmn linier dlh dengn mencri hrg vribel tu peubh (x dn y) yng memenuhi sistem persmn tersebut. Himpunn penyelesin dpt dicri dengn menggunkn metode eliminsi, substitusi tu cmpurn dri kedu metode tersebut.. Metode Eliminsi Eliminsi rtiny melenypkn. Menyelesikn sistem persmn linier du vribel dengn cr eliminsi rtiny mencri nili vribel dengn melenypkn vribel yng lin dengn cr mengurngkn tu menjumlhknny. Untuk melenypkn vribel tersebut, koefisienny hrus sm. Jik belum sm, mk msing-msing persmn diklikn dengn bilngn tertentu sehingg memiliki koefisien yng sm. Jik slh stu vribel dri du persmn memiliki koefisien sm, mk persmn stu dijumlhkn dengn yng linny. Tetpi jik memiliki koefisien yng berlwnn, persmn stu dikurngkn dengn yng linny. Contoh Tentukn himpunn penyelesin dri x y x x y x x y x y Untuk mencri vribel y berrti vribel x yng dieliminsi. Untuk mengeliminsi tu melenypkn vribel x, mk koefisien x dismkn terlebih dhulu dengn cr menglikn dengn sutu bilngn sedemikin sehingg koefisien kedu persmn tersebut sm. x y 9 x y 7y y 8

60 BAB II Persmn dn Pertidksmn 9 Sekrng melenypkn vribel y untuk mencri x x y x x y x x Himpunn penyelesin sistem persmn linier tersebut dlh {(-,)} x y x y y x y x y y Jdi, himpunn penyelesin sistem dlh {(, -)} 7 x 7 Contoh Tentukn himpunn penyelesin dri x y x y Kren koefisien y sudh sm sehingg untuk mencri x hny mengeliminsi y dengn cr menjumlhknny x y x y x x Untuk mencri y kit eliminsi x dengn menglikn kedu persmn sehingg koefisien x menjdi sm x y x y x x b. Metode Substitusi Substitusi rtiny menggnti tu menytkn slh stu vribel dengn vribel linny. Contoh Tentukn himpunn penyelesin dri x y x y x y... ) x y... ) Mislkn yng kn disubstitusi tu dignti dlh vribel y pd persmn ), mk persmn ) dinytkn dlm bentuk y x. x y x ( x) x x x x x x Selnjutny x disubstitusikn ke y x () - Jdi, himpunn penyelesin tersebut dlh {(, -)}

61 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi Contoh 7 Tentukn himpunn penyelesin dri x y x y x y... ) x y... ) Mislkn yng kn disubstitusikn tu dignti dlh vribel x pd persmn ), mk persmn ) dinytkn dlm bentuk x y x y y x Substitusikn ke persmn kedu x y y y kedu rus klikn dengn ( y) 9y 8 y 9y y 8 y 8 y - y - y Substitusikn y - pd x untuk mendptkn x. y ( ) x Jdi, himpunn penyelesin tersebut dlh {(, -)} c. Metode Cmpurn (Eliminsi dn Substitusi) Contoh 8 Tentukn himpunn penyelesin dri x y x y Kren koefisien x sudh sm, mk vribel yng dieliminsi dlh x dengn cr mengurngknny. x y x y y y Substitusikn y ke slh stu persmn untuk mendptkn vribel x. x y x () x x, Jdi, himpunn penyelesin tersebut dlh {(, )}

62 BAB II Persmn dn Pertidksmn Contoh 9 Jumlh du bilngn dlh 8 dn selisihny. Crilh bilngn-bilngn itu. Mislkn bilngn-bilngn itu dlh x dn y, mk hsil jumlhny dlh x y 8 dn selisihny dlh x y Dengn menggunkn metode cmpurn dpt dicri x dn y, yitu x y 8 x y x x x y 8 y 8 y 8 8 Jdi, bilngn-bilngn tersebut dlh dn 8. Contoh Hrg buku tulis dn pensil di kopersi dlh Rp.,. Hrg buku tulis dn pensil dlh Rp.,. Berp hrg sebuh buku tulis dn sebtng pensil? Mislkn: hrg sebuh buku tulis dlh x hrg sebuh pensil dlh y, mk diperoleh sistem persmn x y. x x y. x x y 9. x y. - 9y -. y. Substitusi y. ke slh stu persmn sehingg x y. x (.). x.. x. Jdi, hrg sebuh buku tulis Rp., dn sebtng pensil Rp.,.. Himpunn Penyelesin Pertidksmn Linier Stu Vribel Bentuk umum pertidksmn linier stu vribel dinytkn dengn : x b (R) ;, b Riil dn (R) slh stu relsi pertidksmn. Menentukn himpunn penyelesin pertidksmn linier hmpir sm dengn menyelesikn persmn linier stu vribel. Himpunn penyelesin pertidksmn bisny jug dituliskn dlm bentuk intervl tu selng. Beberp bentuk tu jenis intervl disjikn sebgi berikut. Notsi Jenis Intervl Pertidksmn Grfik [, b] Tertutup x b b (, b) Terbuk < x < b b

63 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi [, b) Setengh Terbuk x < b (, b] [, ~) Setengh Tertutup Setengh Terbuk < x b x b (~, b) Terbuk x < b b Tnd pd bts intervl berrti bts tersebut termsuk dlm intervl. Sedngkn tnd pd bts intervl berrti bts tersebut tidk termsuk dlm intervl. Beberp hl yng perlu diperhtikn dlm menyelesikn pertidksmn dlh sebgi berikut. Tnd pertidksmn tidk berubh rh jik pd rus kiri dn knn ditmbhkn tu dikurngkn dengn bilngn negtif tu bilngn positif yng sm (sift ). Tnd pertidksmn tidk berubh rh jik pd rus kiri dn knn diklikn tu dibgi dengn bilngn positif yng sm (sift ). Tnd pertidksmn berubh rh tu diblik jik pd rus kiri dn knn diklikn tu dibgi dengn bilngn negtif yng sm (sift ). Contoh Tentukn himpunn penyelesin dri pertidksmn-pertidksmn di bwh ini.. x > x 9 f. x x < b. 8x < 7x g. x < x < x 8 c. x < x h. < x - < d. x > x i. x < x < x e. - x < x. x > x 9 x x > x 9 x (sift ) x > 9 Jdi, himpunn penyelesin dlh { x x > 9} dengn gris bilngn b. 8x < 7x 8x 7x < 7x 7x (sift ) x < 7 Cr ini kurng efisien, cr lin dengn mengelompokkn vribel di stu rus dn konstnt di rus lin seperti menyelesikn persmn linier 8x < 7x 8x 7x < x < 7 Jdi, himpunn penyelesin dlh {x x < 7} dengn gris bilngn

64 BAB II Persmn dn Pertidksmn c. x < x x x < x < 9 x 9 (sift ) x Jdi, himpunn penyelesin dlh {x x < } dengn gris bilngnny d. x > x x x > -x > x < (sift, yitu rh pertidksmn berubh) x < -. Jdi, himpunn penyelesin dlh {x x < - } dengn gris bilngnny e. - x < x -x x < - -x < - x > ( sift ) x > Jdi, himpunn penyelesin dlh { x x > } x x f. < (diklikn ) (x ) < (x ) x 8 < x x x < 8 8x < - x < - Jdi, himpunn penyelesin dlh {x x < - } 8 8 g. x < x < x 8 (kelompokkn vribel di tengh dn konstnt di sebelh kiri dn knn dengn cr mengurngkn semu rus dengn x dn ) x x < x x < x 8 x - < x <, Jdi, himpunn penyelesin dlh {x - < x < } dengn gris bilngnny h. < x < (tmbhkn semu rus dengn ) diperoleh < x < 8 < x < (bgi semu rus dengn ) diperoleh < x <, Jdi, himpunn penyelesin dlh {x < x < } i. x < x < x (untuk menyelesikn pertidksmn di ts, pishkn menjdi du pertidksmn. Setelh itu, cri irisnny dri HP kedu pertidksmn tersebut). Sebenrny contoh g dn h dpt diselesikn dengn cr ini.

65 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi x < x < x dipishkn menjdi x < x dn x < x x x < dn x x < - x < - dn x < 7 x > dn x < 7 Grfik irisn 7 7 Jdi, himpunn penyelesin dlh { x < x < }. Sol-Sol Apliksi Persmn dn Pertidksmn Linier Untuk menyederhnkn sol-sol verbl menjdi klimt mtemtik dlm bentuk persmn tu pertidksmn, objek yng ditny dimislkn dengn x. Contoh Bhlul meminjmkn ungny kepd Fuln dn Eko sebnyk Rp.., dengn bung msing-msing % dn 7% sethun. Setelh stu thun Bhlul menerim bung totl sebesr Rp.,. Tentukn modl yng dipinjm Fuln dn Eko. Mislkn modl yng dipinjm Fuln dlh x Modl yng dipinjm Eko dlh Rp.. x Bung yng diperoleh Bhlul Bung dri Fuln Bung dri Eko. % x 7%(.. x) (klikn ).. x 7(.. x).. x.. 7x 7x x.... x.. x.. Jdi, modl yng dipinjm Fuln dlh Rp.., dn dipinjm Eko dlh Rp..,. Contoh Seorng pedgng pel membeli. buh pel dengn hrg Rp., tip buh. Pedgng tersebut kemudin menjul buh dengn lb %, berpkh i hrus menjul sisny yng buh gr seluruhny mendptkn lb %? Mislkn i hrus menjul sisny yng buh sehrg x Jdi, lb per buh x. Hrg pembelin buh x Rp.,/buh Rp.., Lb seluruhny % Rp.., Rp.., Lb seluruhny Lb buh lb buh. % (x.)

66 BAB II Persmn dn Pertidksmn. 9. x x x.. x.7 Jdi, i hrus menjul yng buh dengn tip buhny sebesr Rp.7, Contoh CV SEJAHTERA memproduksi minn nk-nk dengn biy Rp., tip unit dn biy opersionl produksi Rp.,. Jik minn kn dijul Rp.,, tentukn bnykny minn yng hrus diproduksi gr untung pling sedikit Rp7.,. Mislkn bnykny minn yng diproduksi sebnyk x Biy totl yng dikelurkn.x. Pendptn totl yng diperoleh.x Untung Pendptn totl Biy totl.x (. x.).x. x..x. Untung pling sedikit Rp7., Jdi, untung > 7..x. > 7..x > 7...x > 7. x >,7 Jdi, supy untung lebih dri Rp7., hrus terjul 7 buh minn nk-nk. Contoh Sutu perushn yng memproduksi brng tertentu dengn hrg jul Rp9, tip unit. Biy tetp yng dikelurkn Rp., dn biy vribel per unit brng dlh Rp,.. Tentukn model persmn untuk totl hsil penjuln dn biy totl. b. Tentukn bnykny unit brng hrus dijul ketik terjdi titik pulng pokok.. Mislkn bnykny brng terjul dlh x unit Totl hsil penjuln x unit yng msing-msing unitny Rp9, brng dlh R 9x Biy tetp Rp., Biy vribel Rp, Biy totl produksi Q. x b. Syrt terjdi titik pulng pokok, yitu R Q R Q 9x. x x. x Jdi, bnykny brng yng hrus terjul gr terjdi pulng pokok dlh unit.

67 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi B. Rngkumn Persmn dn Pertidksmn Linier. Klimt terbuk yng memut tnd disebut Persmn. Sedngkn klimt terbuk yng memut tnd <, <, >, > disebut Pertidksmn.. Persmn tu pertidksmn linier dlh sutu persmn tu pertidksmn dengn vribelny berpngkt stu.. Himpunn penyelesin sistem persmn linier du vribel dpt dicri dengn menggunkn metode sebgi berikut.. eliminsi yitu mencri nili vribel dengn melenypkn vribel yng lin dengn cr mengurngkn tu menjumlhknny, b. substitusi yitu menggnti tu menytkn slh stu vribel dengn vribel linny, c. gbungn eliminsi dn substitusi.. Bentuk umum pertidksmn linier stu vribel dinytkn dengn x b (R) ;, b Riil dn (R) slh stu relsi pertidksmn.. Beberp hl yng perlu diperhtikn dlm menyelesikn pertidksmn. tnd pertidksmn tidk berubh rh jik pd rus kiri dn knn ditmbhkn tu dikurngkn dengn bilngn negtif tu bilngn positif yng sm; b. tnd pertidksmn tidk berubh jik pd rus kiri dn knn diklikn tu dibgi dengn bilngn positif yng sm; c. tnd pertidksmn berubh rh tu diblik jik pd rus kiri dn knn diklikn tu dibgi dengn bilngn negtif yng sm.. Tentuknlh nili x dri persmn-persmn di bwh ini.. x 8 x n. x x b. (x ) 7 c. x 9 x 8 x x o. d. ( x 8) x e. -( x ) -( x ) p. (x 9) (x ) f. ( x ) -(x ) g. -(x ) x x 8 q. x x 8 h. ( x ) -( x) i. x (x ) x j. (x ) x 8 r. x x 7 k. (x ) x l. (x ) x 8 (x ) s. (x 9) (x ) m. ( x ) (x ) t. (x ) x 8 ( x)

68 BAB II Persmn dn Pertidksmn 7. Tentuknlh himpunn penyelesin dri persmn di bwh ini.. 8x x x f. 8x x x 8 x b. x x x x g. 7 c. ( x) 7(x ) h. ( x) (x ) d. ( x 9) (x ) i. ( x 7) ( x ) e. ( x ) x 8 (x ) j. ( x ) 8x (x ). Tentuknlh himpunn penyelesin dri pertidksmn-pertidksmn berikut.. x > x - 9 n. (p ) > - p b. x < 7x 9 o. x x c. (x ) x d. 9 x < p. x > x e. x x > x f. x < 7x q. x x g. (x ) x h. 9 x < (x ) x x r. < - i. -(x ) x > (x ) j. ( x) (x ) s. x > x 7 k. (p ) > - p l. -(x ) x > (8x ) x x m. 8 ( x) 8 (x ) t.. Tentuknlh himpunn penyelesin dri pertidksmn di bwh ini dn lukis gris bilngnny.. 7 x f. x b. x 7 < x x g. x < x x c. x x x 7 h. x x x 7 d. x x x 9 i. x x x 8 e. x x x j. x x x. Tentukn himpunn penyelesin dri sistem persmn linier di bwh ini.. x y d. x y 9 g. x y x y x y x y b. x y e. x y h. x y x y x y x y 8 c. x y -7 f. x y i. x y x y x y -8 x y -. Selesiknlh sol-sol pliksi di bwh ini.. Tun Rente meminjmkn ungny kepd Jk dn Joko Rp7.., dengn bung msing-msing % dn 9% sethun. Setelh stu thun Tun Rente menerim bung totl sebesr Rp8.,. Tentukn modl yng dipinjm Jk dn Joko? b. Toko buku membeli 7 buku kuitnsi dengn hrg Rp., tip buh. Toko tersebut kemudin menjul buh dengn lb %, Berpkh hrg jul tip buku kuitnsi sisny, gr mendptkn lb %?

69 8 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi c. CV ADIL memproduksi kopih dengn biy Rp., tip unit, dn biy opersionl produksi Rp.,. Kopih kn dijul Rp.,. Tentukn bnykny kopih yng diproduksi gr lb pling sedikit Rp.., d. Hrg kg pel kli hrg kg jeruk. Sedngkn hrg kg pel dn kg jeruk Rp.,. Jik dibeli kg pel dn kg jeruk, berp rupih yng hrus dibyr? e. Toko grosir buku membeli 8 buku jurnl dengn hrg Rp., tip buku. Toko tersebut kemudin menjul 7 buh dengn lb %. Berpkh hrg jul tip buku sisny, gr mendptkn lb %? f. Mrlin menerim gji pokok Rp., per buln ditmbh komisi % ts penjuln yng dilkuknny. Mrlin rt-rt mmpu untuk menjul brng sehrg Rp., tip du jm. Berp jm i hrus bekerj rtrt tip buln, gr i dpt menerim penghsiln Rp.., dlm sebuln? 7. Selesikn sol-sol pliksi di bwh ini.. Lim mej dn delpn kursi berhrg $ sedngkn tig mej dn lim kursi berhrg $7. Tentukn hrg stu mej dn stu kursi. b. Hrg bju dn kos dlh Rp8.,. Sedngkn hrg bju dn kos dlh Rp.,. Tentukn hrg bju dn lim kos. c. Jumlh du bilngn bult dlh dn selisih kedu bilngn itu dlh. Tentukn kedu bilngn tersebut. d. Sebuh pulpen hrgny kli hrg sebuh pensil. Apbil Mrlin membeli pulpen dn pensil mk i hrus membyr Rp.9,. Berp yng hrus dikemblikn toko tersebut kepd Mrlin jik membeli pulpen dn 8 pensil dengn menggunkn selembr ung kerts du puluh ribun. e. Jumlh pesert didik sutu kels dlh orng, jik bnykny pesert didik lki-lki dlh 7 orng lebihny dripd du kli bnyk pesert didik wnit, tentuknlh msing-msing jumlh pesert didik tersebut. (petunjuk : Jik bnyk lki-lki x dn bnyk wnit y, mk x y 7) f. Dlm sebuh pest, bnykny pengunjung pri dibnding dengn pengunjung wnit dlh :. Jik di ntr pengunjung pri pergi orng, mk perbndingnny menjdi :. Berpkh bnykny pengunjung pest tersebut. g. Lim thun yng llu umur yh enm kli umur nkny. Lim thun yng kn dtng jumlh umur yh dn nkny dlh thun, tentukn umur yh dn nkny st sekrng.

70 BAB II Persmn dn Pertidksmn 9 C. Persmn dn Pertidksmn Kudrt Setelh mempeljri mteri pd kompetensi dsr ini, klin dihrpkn dpt menjelskn pengertin persmn dn pertidksmn kudrt, menjelskn kr-kr persmn kudrt dn sift-siftny, dn menyelesikn persmn dn pertidksmn kudrt. Persmn Kudrt Persmn kudrt dlh persmn di mn pngkt tertinggi dri vribel (peubh) dlh du. Bentuk umum dlh x bx c, dengn, b, c R Perhtikn jenis-jenis persmn kudrt berikut ini. x x, dengn, b, dn c - (persmn kudrt bis) x x, dengn, b, dn c (persmn kudrt tidk lengkp) x, dengn, b, dn c - (persmn kudrt murni) Mencri penyelesin persmn kudrt berrti mencri nili x sedemikin sehingg jik nili disubstitusikn kn memenuhi persmn tersebut. Penyelesin persmn kudrt disebut jug kr-kr persmn kudrt. Beberp cr yng dpt digunkn untuk menyelesikn persmn kudrt, yitu: dengn fktorissi, melengkpkn kudrt sempurn dn dengn rumus kudrt (bis dikenl dengn rumus bc).. Fktorissi Dengn menggunkn sift perklin pd bilngn riil, yitu jik du bilngn riil diklikn hsilny sm dengn nol. Dengn demikin, slh stu dri bilngnbilngn tersebut sm dengn nol tu kedu-duny sm dengn nol. Jik p q mk p tu q Contoh Crilh kr-kr persmn kudrt berikut ini.. x x 8 c. x x b. x x d. x Untuk menyelesikn persmn x bx c, terlebih dhulu dicri du bilngn memenuhi syrt sebgi berikut. Hsil kliny dlh sm dengn c Hsil jumlhny dlh sm dengn b Mislkn du bilngn yng memenuhi syrt tersebut dlh α dn β, mk α β c dn α β b Dengn demikin, bentuk fktorny dlh (x α)(x β) dengn membgi pd rus kiri dn knn, mk kn didpt bentuk sl tu mul-mul.

71 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi. x x 8 Dri persmn tersebut didpt, b, dn c -8. Cri du bilngn sehingg Hsil kliny (-8) -8, Hsil penjumlhnny. Bilngn yng memenuhi syrt tersebut dlh dn -, sehingg x x 8 (x )(x ) x tu x x - x b. x x Dri persmn tersebut didpt, b, dn c. Crilh du bilngn sehingg, Hsil kliny, Hsil penjumlhnny Bilngn yng memenuhi syrt tersebut dlh dn, sehingg x x (x )(x ) Membgi dengn pd rus kiri dn knn didpt (x )(x ) x tu x x tu x - x Untuk mempersingkt dpt jug digunkn cr memfktorkn lngsung (persmn dengn nili c ). x x x(x ) x (x ) x tu x x - x c. x x Dri persmn tersebut didpt, b, dn c - Cri du bilngn sehingg Hsil kliny (-) -, Hsil penjumlhnny Bilngn yng memenuhi syrt tersebut dlh - dn, sehingg x x (x )(x ) Membgi dengn pd rus kiri dn knn didpt (x )(x ) x tu x x tu x - x d. x Untuk mempersingkt gunkn pemfktorn cr lngsung (persmn dengn b ), yitu ( x )( x 7) ( x ) tu ( x ) x x tu x x b. Melengkpkn Bentuk Kudrt Sempurn Persmn kudrt x bx c, diubh menjdi bentuk kudrt dengn cr sebgi berikut. Pstikn koefisien dri x dlh, bil tidk bgilh dengn bilngn sedemikin sehingg koefisienny dlh.

72 BAB II Persmn dn Pertidksmn Tmbhkn rus kiri dn knn dengn setengh koefisien dri x kemudin kudrtkn. Butlh rus kiri menjdi bentuk kudrt, sedngkn rus knn dimnipulsi, sehingg menjdi bentuk yng lebih sederhn. Contoh 7 Dengn cr melengkpkn bentuk kudrt sempurn, crilh kr-krny.. x x c. x b. x x d. x x. x x x x x x ( ) ( x x (-) (-) ( x ) 9 x ± 9 x ± x tu x - - b. x x x x ) x x ( ) ( ) ( x ) ( x ) 9 x ± x ± x 9 tu x c. x Kren b mk menmbhkn dengn setengh koefisien b dikudrtkn pd kedu rus tidk memberikn rti pd persmn tersebut. x x x ± x ± x - tu x d. x x x x ( ) ( ) x x ( ) ( x ) x ± x ± x tu x - c. Rumus Kudrt Dengn menggunkn turn melengkpkn kudrt sempurn yng telh dipeljri sebelumny, dpt dicri rumus untuk menyelesikn persmn kudrt. x bx c, b c x x

73 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi x x b b x x ( (x x x x x b ( ) b b ) b ) b ± b b c c b - b ± x c ± ±. b ( ) b c b c b c b c b ± Bentuk di ts disebut rumus kudrt. b c Contoh 8 Tentukn penyelesin persmn berikut dengn menggunkn rumus di ts.. x x 9 b. x. Dri persmn diperoleh, b -, dn c 9 gunkn rumus kudrt x. b ± (-) ± b c (-) 9 ± x tu x Mempunyi du kr sm b. Dri persmn diperoleh, b, dn c - gunkn rumus kudrt x. b ± b c ± () (-) ± ± x tu x Mempunyi du kr rel berlwnn. Pertidksmn Kudrt Pertidksmn kudrt dlh pertidksmn dengn pngkt tertinggi dri vribel (peubh) dlh du. Himpunn penyelesin (HP) pertidksmn dpt dituliskn dlm bentuk notsi himpunn tu dengn gris bilngn.

74 BAB II Persmn dn Pertidksmn Lngkh-lngkh untuk mencri himpunn penyelesin pertidksmn kudrt dlh sebgi berikut. Nytkn pertidksmn dlm bentuk persmn kudrt (rus knn ). Crilh kr-kr dri persmn tersebut. Butlh gris bilngn yng memut kr-kr tersebut. Tentukn tnd (positif tu negtif) pd msing-msing intervl dengn cr menguji tnd pd msing-msing intervl tersebut. Himpunn penyelesin diperoleh dri intervl yng memenuhi pertidksmn tersebut. Contoh 9 Tentukn himpunn penyelesin dri pertidksmn berikut ini.. x x 8 > Nytkn dlm bentuk persmn. x x 8 Crilh kr-krny x x 8 (x )(x ) x tu x - Butlh gris bilngn yng memut kr-kr tersebut - Gris bilngn terbgi dlm tig intervl yitu Intervl kiri, tengh dn knn. Tentukn tnd pd tip intervlny dengn cr mengmbil slh stu bilngn yng terdpt pd msingmsing intervl, kemudin ujilh tndny. - x x 8 Dri tbel didpt - intervl yng memut - bertnd ( ) - intervl yng memut bertnd () - intervl yng memut bertnd( ) Kren pd sol tnd pertidksmn lebih dri (>), mk untuk penyelesin dimbil intervl yng bertnd positif (), yitu x < - tu x > HP {x x < - tu x >, x R } Untuk mempersingkt penentun tnd pd tip intervl dpt dilkukn dengn cr sebgi berikut. Jik koefisien x bertnd positif, mk rus knn dri intervl diberi tnd positif, bergerk ke kiri (tengh) bertnd negtif dn intervl pling kiri kembli bertnd positif. Seblikny jik koefisien x bertnd negtif, mk rus knn dri intervl diberi tnd negtif, bergerk ke kiri (tengh) bertnd positif dn intervl kiri kembli bertnd negtif. b. x x x ( x)( x) x tu x x tu x - Kren koefisien x bertnd ( ), mk intervl knn bertnd ( ) bergnti ke kiri () kemudin ( ) lgi. - - Kren pd sol tnd pertidksmn lebih dri sm dengn ( ), mk untuk penyelesin dimbil intervl yng bertnd (). HP {x - x, x R } Contoh Sisi miring sebuh segitig dlh cm. Crilh pnjng dri kedu sisi siku-sikuny pbil pnjng sisi siku-siku yng pertm lebih pnjng cm dri yng lin. -

75 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi Ambil x dn x sebgi pnjng sisi siku-sikuny, mk x (x) (Teorem Pythgors) x x 8 (x )(x ) x - tu x. Jdi, sisi siku-siku tersebut dlh dn. Selesikn persmn kudrt berikut dengn fktorissi.. x 7x. x 7x. x x. x x. x. x x. x x. x x 8. x x. 9x x. x x. x x 7. x 7. x x 8. x x 8. 9x 9. x x 9. x x. x x. x x Selesikn persmn kudrt berikut dengn melengkpkn kudrt sempurn.. x x. x x. x x 8. x x. x x. x 7x. x x. x x. x x. x x 9. x x. x x 7. x 7. -x x 8. -x x 8. x x 9. x x 9 9. x x. x x. x x Gunkn rumus kudrt untuk menyelesikn sol-sol di bwh ini.. x x 8. 8x x. x x 7. x x. x x 8. x x. x 7x 9. x 9. x 8x. x x. Slh stu kr persmn kudrt x x c dlh, tentukn nili c dn kr yng linny.. Jik x memenuhi persmn (k )x (k )x k, tentukn k dn kr keduny dri persmn tersebut.. Akr x x m m dlh, hitunglh nili m.

76 BAB II Persmn dn Pertidksmn. Sebuh kotk terbuk kn dibut dri bhn selus cm. Tinggi kotk dlh cm dn sisi ls kotk berbentuk persegi. Tentukn pnjng sisi lsny Susunlh sehingg berbentuk persmn kudrt, kemudin crilh kr-krny pd sol nomor 8.. x x 8 7. x x x x x. x 8. x x Tentukn himpunn penyelesin dri pertidksmn di bwh ini. 9. x x <. x x > 7. x x <. x x >. x x x 7. x x. x 8x x 7x 7. x x -. x x > 8. x x 88 > 7. x > x. - x x > 9. -x 7x > 7. x x <. x x < 7. x > x 7. x x >. Jenis-jenis Akr Persmn Kudrt Jik diperhtikn cr mencri penyelesin persmn kudrt dengn menggunkn rumus, mk jenis-jenis kr-kr tersebut kn bergntung pd nili b c. Oleh kren itu, b c disebut diskriminn tu pembed dn bisny disingkt dengn D dimn D b c. Beberp kemungkinn jenis-jenis kr persmn kudrt:. jik D > tetpi bukn kudrt murni, mk persmn kudrt mempunyi du kr riil yng berbed; b. jik D, mk persmn kudrt mempunyi du kr riil yng sm tu sering disebut mempunyi kr kembr; c. jik D <, mk persmn kudrt, tidk mempunyi kr riil (kr imjiner); d. jik D merupkn kudrt murni, mk persmn kudrt mempunyi kr rsionl yng berlinn. Contoh Selidiki jenis kr-kr persmn kudrt di bwh ini tnp mencri krny terlebih dhulu.. x x b. x x c. x x. Dri persmn diperoleh, b, dn c D b c Du kr sm tu kembr. b. Dri persmn diperoleh, b, dn c D 8-7 < Tidk mempunyi kr riil (kr imjiner). c. Dri persmn diperoleh, b -, dn c - D (-) (-) > D merupkn bilngn kudrt murni. Persmn mempunyi du kr rsionl yng berbed.

77 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi Contoh Tentukn hrg k gr persmn kudrt x x k mempunyi kr kembr dn kr persmn kudrtny. Dri persmn, b, dn c k Syrt gr krny kembr dlh D D b c k k -k - k x x (x )(x ) x tu x x - x -. Rumus Jumlh dn Hsil Kli Akr-kr Persmn Kudrt Dri rumus kudrt, diperoleh kr-kr persmn kudrt sebgi berikut. b b c b b c x tu x Jik kedu kr tersebut dijumlhkn dn diklikn mk hsilny b b c b x x - b - b - b dn b b c b b x x b c c (b c) Dengn demikin b c c b x x dn x x Contoh Jik x dn x kr-kr dri persmn x x, tentuknlh. x x c. x x b. x x d. x x xx c

78 BAB II Persmn dn Pertidksmn 7 Dri persmn diperoleh, b, dn c -. b. x x c. x x (x x ) xx (-) (-) c b. x x d. x x xx x x (x x ) -(-) Contoh Slh stu kr x x k dlh du kli kr yng lin. Hitunglh nili k. Dri persmn diperoleh, b, dn c k. Jik kr-kr tersebut x dn x, mk x x (slh stu krny du kli kr yng lin). Dengn rumus, mk jumlh kr-krny dlh b x x x x - x - x - sehingg x x ( ) - Dengn rumus, hsil kli kr-krny dlh c k x x k -.(-) k k Contoh Hitunglh nili k gr persmn x k x k mempunyi kr-kr berikut.. Berkeblikn b. Berlwnn. Dri persmn, b k, dn c k. Mislkn kr-krny dlh x dn x, mk kr-kr berkeblikn x tu x x x c k x x k k b. Akr-kr berlwnn x - x b x x b k -x x k k D. Rngkumn Persmn dn Pertidksmn Kudrt. Persmn kudrt dlh persmn di mn pngkt tertinggi dri vribel (peubh) dlh du. Bentuk umumny dlh x bx c, dengn, b, c R

79 8 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi. Cr yng dpt digunkn untuk menyelesikn persmn kudrt, yitu sebgi berikut.. Fktorissi dengn menggunkn sift, jik p q mk p tu q b. Melengkpkn bentuk kudrt sempurn dengn cr sebgi berikut. Pstikn koefisien dri x dlh, bil tidk bgilh dengn bilngn sedemikin sehingg koefisienny dlh. Tmbhkn rus kiri dn knn dengn setengh koefisien dri x kemudin kudrtkn. Butlh rus kiri menjdi bentuk kudrt, sedngkn rus knn kit mnipulsi sehingg menjdi bentuk yng lebih sederhn. c. Rumus Kudrt, yitu x. b ± b c. Pertidksmn kudrt dlh pertidksmn dengn pngkt tertinggi dri vribel (peubh) dlh du. Lngkh-lngkh menentukn HP ny dlh sebgi berikut. Nytkn pertidksmn dlm bentuk persmn kudrt dn cri krny. Butlh gris bilngn yng memut kr-kr tersebut dn tentukn tnd (positif tu negtif) pd msing-msing intervl dengn cr menguji tnd pd msing-msing intervl tersebut. HP diperoleh dri intervl yng memenuhi pertidksmn tersebut.. Diskriminn dri fungsi kudrt dlh D dengn D b c.. Beberp kemungkinn jenis-jenis kr persmn kudrt dlh sebgi berikut.. Jik D > tetpi bukn kudrt murni, mk persmn kudrt mempunyi du kr riil yng berbed. b. Jik D, mk persmn kudrt mempunyi du kr riil yng sm tu sering disebut mempunyi kr kembr. c. Jik D<, mk persmn kudrt tidk mempunyi kr riil (kr imjiner). d. Jik D merupkn kudrt murni, mk persmn kudrt mempunyi kr rsionl yng berlinn.. Jik x dn x kr-kr persmn kudrt, mk berlku rumus berikut. b c x x dn x x. Selidikilh sift-sift kr persmn kudrt berikut ini.. x x d. x x b. x x e. x c. x x f. x x. Dengn menggunkn pd sol nomor, tentuknlh hsil jumlh dn hsil kli kr-krny.

80 BAB II Persmn dn Pertidksmn 9. Jik x dn x dlh kr-kr persmn x x, tentuknlh. x x d. x x x x b. x. x e. x x x x c. x x f. x x Untuk persmn pd sol nomor, tentuknlh. x x d. x x x x b. x. x e. (x x ) c. x x x x f. x x. x x. x x. x E. Penerpn Persmn dn Pertidksmn Kudrt Setelh mempeljri mteri pd kompetensi dsr ini, klin dihrpkn dpt menyusun persmn kudrt berdsrkn kr-kr yng dikethui, menyusun persmn kudrt berdsrkn kr-kr persmn kudrt lin, menyelesikn mslh progrm kehlin yng berkitn dengn persmn dn pertidksmn kudrt.. Menyusun Persmn Kudrt Jik x dn x kr-kr persmn kudrt, mk persmn kudrtny dlh sebgi berikut Rumus perklin fktor tu Rumus jumlh dn hsil kli kr-kr (x x )(x x ) x (x x )x x x Contoh Tentukn persmn kudrt yng kr-krny sebgi berikut.. - dn c. dn - b. dn d. - dn. Menggunkn rumus perklin fktor Mislkn x - dn x (x (-))(x ) (x )(x ) x x x x x Menggunkn rumus jumlh dn hsil kli kr Mislkn x - dn x x x - dn x x - x (x x )x x. x x ()x (-) x x

81 7 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi b. x dn x (gunkn rumus jumlh dn hsil kli) x x ( ) ( ) x x ( )( ) - x (x x )x ( x x ) x x (-), sehingg x x c. x dn x - x x (-) - x x ( ) - x (x x ) x (x. x ) x ( ) x ( ), sehingg x x d. x - dn x x x - x x -. x (x x ) x (x. x ) x x ( ), sehingg x x. Menyusun Persmn Kudrt Berdsrkn Akr-kr Persmn Kudrt Lin Untuk menentukn persmn kudrt berdsrkn kr-kr persmn kudrt lin, perhtikn contoh-cotoh sol di bwh ini. Contoh 7 Susunlh persmn kudrt yng kr-krny du kli kr-kr persmn kudrt x x. Mislkn kr-kr persmn x x dlh x dn x, Dri persmn diperoleh, b - dn c -, sehingg b c x x x x dn Mislkn kr-kr persmn kudrt bru yng kn dicri dlh α dn β yng krny du kli kr-kr persmn yng dikethui tu α x dn β x. α β x x dn α β x x x x (x x ) (-) -

82 BAB II Persmn dn Pertidksmn 7 Persmn kudrt bru yng mempunyi kr-kr α dn β dlh x (α β)x α β x ()x (-) x x Contoh 8 Tentukn persmn kudrt bru yng kr-krny x dn x dri persmn kudrt x x yng mempunyi kr-kr x dn x. x x x x diperoleh, b - dn c b c x x - x x misl kr-kr persmn kudrt yng bru dlh α dn β, α x dn β x, mk α β x x x α β ( x ). ( x ) x x x x x x x ( x x ) 7 x (α β) x ( α β ) x 7x. Apliksi Persmn dn Pertidksmn Kudrt Contoh 9 Sebuh pbrik minn menjul produkny sehrg Rp., per unit. Biy pembutn x unit produk didpt menurut persmn B x. x. Berp unit produk hrus diproduksi dn dijul gr mendptkn lb Rp..,? Lb Art nd glery Gmbr. Hsil produksi pbrik pembutn minn Pendptn Biy pembutn Hrg jul x jumlh yng diproduksi Biy pembutn

83 7 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi... x (x. x) x. x.. (x.)(x.) x. tu x. x. tu x. Jdi, untuk mendptkn lb Rp.., hrus diproduksi dn terjul sebnyk. unit tu. unit. Contoh Pk Somd memiliki sebidng tnh berbentuk persegi dengn ukurn (x ) meter dn Pk Krt jug memiliki sebidng tnh berbentuk persegi pnjng dengn ukurn pnjng (x ) meter dn lebr x meter. Lus tnh Pk Krt du kliny lus tnh pk Somd. Tentukn lus tnh Pk Somd dn Pk Krt. Lus tnh Pk Somd sisi x sisi (x )(x ) x x Lus tnh Pk Krt Pnjng x lebr (x ) x x x Lus tnh Pk Krt du kliny lus tnh Pk Somd x x (x x ) x x 8x x x x x x (x )(x ) x tu x x -, (tidk memenuhi) tu x Jdi, lus tnh Pk Somd ( )( ) m lus tnh Pk Krt ( ) m F. Rngkumn Penerpn Persmn dn Pertidksmn Kudrt. Jik x dn x kr-kr persmn kudrt, mk persmn kudrtny dlh sebgi berikut. Rumus perklin fktor tu Rumus jumlh dn hsil kli kr-kr (x x )(x x ) x (x x )x x x. Lngkh-lngkh menyusun persmn kudrt dri kr-kr persmn kudrt lin sebgi berikut:. Mislkn kr-kr persmn yng dikethui dlh x dn x. b. Tentukn nili x x dn x x c. Mislkn kr-kr persmn kudrt bru yng kn dicri dlh α dn β d. Tentukn nili α β dn α β e. Persmn kudrt bru yng diperoleh dlh : x (α β)x α β

84 BAB II Persmn dn Pertidksmn 7. Susunlh persmn kudrt bru dengn menggunkn rumus perklin fktor dn rumus jumlh dn hsil kli yng mempunyi kr-kr sebgi berikut.. dn - d. dn g. - dn b. dn e. dn h. dn c. dn f. ± i. dn. Akr-kr x x dlh x dn x, susunlh persmn kudrt bru yng kr-krny dlh. x dn x c. x dn x e. x dn x b. x dn d. -x dn -x f. x dn x x. Susunlh persmn kudrt bru yng kr-krny keblikn dri kr-kr persmn kudrt x x.. Susunlh persmn kudrt bru yng kr-krny lim kli kr-kr persmn kudrt x x.. Susunlh persmn kudrt bru yng kr-krny kudrt dri kr-kr persmn kudrt x x.. Sebuh pbrik menjul produkny sehrg Rp7., per unit. Biy pembutn x unit produk didpt menurut persmn B x x. Berp unit produk hrus diproduksi dn dijul gr mendptkn lb Rp..,? 7. Pk Ali memiliki sebidng tnh berbentuk persegi pnjng dengn ukurn pnjng (x ) meter dn lebr x meter. Jik lus tnh Pk Ali kli dri lus tnh Ibu Selvi yng memiliki sebidng tnh berbentuk persegi dengn ukurn (x ) meter. Tentukn ukurn tnh Pk Ali dn Ibu Selvi. Gmbr. Tnh Pk Ali

85 7 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi 8. Biy totl untuk pembutn x unit brng tertentu, diperoleh dri bentuk C x x 7.. Berp bnyk unit dpt dibut untuk biy totl yng dikelurkn sebesr Rp7.,? A. Pilihn Gnd Pilihlh slh stu jwbn, b, c, d dn e yng benr.. Himpunn penyelesin dri (x ) < (x ) dlh..... { x x < - } c. { x x < - } e. { x x > } b. { x x > - } d. { x x < }. Himpunn penyelesin dri (x ) < (x ) dlh..... { x x < } c. { x x < - } e. { x x > } b. { x x > - } d. { x x < - }. Slh stu kr dri x (k )x (k ) ilh ; mk nili k dlh c., e. b. - d.. Himpunn penyelesin dri - < (x ) < dlh..... { x - < x < } c. { x - < x < } e. { x < x < } b. { x < x < } d. { x < x < }. Himpunn penyelesin dri pertidksmn (x ) ( x) dlh..... {x x - tu x 7, x R } d. {x x - tu x - 7, x R } b. {x x tu x - 7, x R } e. {x - 7 x, x R } c. {x - x 7, x R }. Himpunn penyelesin dri x x > 9 dlh..... { x -9 < x < } d. { x - < x < 9} b. { x x < - tu x > 9} e. { x x < 9 tu x > } c. { x x < -9 tu x > } 7. Jik diskriminn x x m sm dengn nol, mk nili m , c. e. b. -, d., 8. Slh stu kr persmn kudrt x px p dlh, mk nili p dlh c. e. b. - d.

86 BAB II Persmn dn Pertidksmn 7 9. Sepuluh thun yng llu umur Neni du kli umur Bimbim. Lim thun dri sekrng umur Neni menjdi stu setengh kli umur Bimbim. Umur Neni sekrng dlh..... thun c. thun e. thun b. thun d. thun. Persmn kudrt yng kr-krny dn dlh..... x x c. x x e. x x b. x x d. x x. Persmn kudrt yng kr-krny dn - dlh..... x x c. x x e. x x b. x x - d. x x -. Jik x dn x kr-kr dri x x 9, mk nili dri x x , c., e., b. -,7 d.,7. Jik x dn x kr-kr dri x x, mk nili dri.... x x. -, c., e., b. -, d.,7. Bentuk perklin 8x 8x dlh..... (x )(x ) c. (x )(x ) e. (x )(x ) b. (x )(x ) d. (x )(x ). Himpunn penyelesin dri pertidksmn - x x > dlh..... {x x >, x R} c. {x x <, x R} e. {x < x < -, x R} b. {x x <, x R} d. {x - < x <, x R}. Penyelesin dri pertidksmn - < x < 7 dlh < x < 7 c. - < x < - e. - < x < b. - < x < d. < x < 7. Persmn (m ) x x m mempunyi kr riil, mk bts-bts nili m dlh..... m < - tu m > c. m < - tu m > e. - < m < b. - < m < d. - < m < - 8. Persmn kudrt x x mempunyi kr-kr x dn x. Nili dri x x dlh c. - e. b. - d.

87 7 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi 9. CV SEJAHTERA memproduksi minn nk-nk dengn biy Rp., per unit dn biy opersionlny Rp..,. Rencn minn kn dijul sehrg Rp9.,. Supy CV mendpt untung Rp.., mk bnykny minn yng hrus terjul dlh unit c.. unit e. 8. unit b.. unit d.. unit. Persmn kudrt yng kr-krny lebihny dri kr-kr persmn x 7x dlh..... x 9x c. x 7x e. x 9x 7 b. x x d. x 7x. Himpunn penyelesin dri x 7x > dlh..... {x - < x <} c. { x - < x < } e. { x - < x < } b. {x x < - tu x> } d. { x x< - tu x > }. Sift dri kr-kr persmn kudrt x ( x ) x dlh..... Nyt dn berbed c. Nyt dn sm e. tidk nyt b. Nyt dn irsionl d. Nyt dn berlwnn. Jik x dn x dlh kr-kr dri persmn kudrt x x, mk x x c. e. 8 b. - d.. Sepotong kwt sepnjng x cm hendk dibentuk persegi. Agr lusny lebih besr dripd kelilingny, mk nili x yng memenuhi dlh..... x > c. x < 8 e. x < b. x > 8 d. x >. Persmn x x k(x ) tidk mempunyi kr riil. Nili k yng memenuhi dlh..... k < - tu k > c. - < k < e. - < k < b. k < - tu k > d. < k <. Agr kedu kr dri x (m ) x m khyl, mk bts-bts m dlh..... m < tu m > c. < m < e. m > b. m < tu m > d. < m < x x 7. Nili x dri 7 dlh c. - e. 9 b. - d.

88 BAB II Persmn dn Pertidksmn Himpunn penyelesin dri (x ) < (x ) dlh..... { x x < - } c. { x x < 7 } e. { x x < } b. { x x > -7 } d. { x x > 7 } 9. Nili x dri sistem persmn x y - dn - x y 7 dlh c. - e. b. - d.. Akr-kr persmn kudrt x x dlh p dn q. Persmn kudrt p q yng kr-krny dn dlh... q p. x x c. x x e. x x b. x x d. x x B. Sol Essy Kerjkn sol-sol berikut dengn benr. Tentukn Himpunn penyelesin dri persmn berikut ini!. -(x ) (x ) b. (x 7 ) (x ). Tentukn persmn kudrtny yng memiliki kr-kr. - dn d. dn b. dn -7 e. 9 dn -9 c. - dn f. dn. Tentuknlh nili diskriminnny dn sift-siftny dri persmn kudrt di bwh ini.. x x(x ) x b. x(x ) x. Tentuknlh persmn kudrt yng kr-krny kli kr-kr x x.. Tentukn persmn kudrt yng kr-krny kurngny dri kr-kr x x?. Tentuknlh himpunn penyelesinny dri. - x 7x > d. x > x - b. x x < e. x x > 7. Dikethui (m ) x (m )x m. Tentukn nili m. gr mempunyi du kr riil berlinn, dn b. tidk mempunyi kr riil. Bkt kit kn diperoleh hny dengn beljr dn bekerj dn nili kit diperoleh hny dengn tindkn-tindkn dn bukn dengn kt-kt

89 78 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi Rung Pengethun KEPUASAN KERJA Kepusn kerj khir-khir ini semkin ters penting rtiny dlm lingkup orgnissi. Kepusn kerj mempunyi pengruh yng cukup besr terhdp produktivits orgnissi bik secr lngsung tupun tidk lngsung. Ketidkpusn merupkn titik wl dri mslh-mslh yng muncul dlm orgnissi, seperti kemngkirn, konflik mnger-pekerj, turn-over, sert bnyk mslh linny yng menyebbkn tergngguny proses pencpin tujun orgnissi. Dri sisi pekerj, ketidkpusn dpt menyebbkn menurunny motivsi, menurunny moril kerj, menurunny tmpiln kerj bik secr kulittif mupun secr kuntittif. Secr umum dpt dikemukn bhw pemechn mslh-mslh orgnissi dri segi mnusiny dpt dilkukn mellui prinsip-prinsip kepusn kerj. Dengn dny kepusn kerj yng tinggi kn muncul iktn yng positif ntr pekerj dengn pekerjnny, sehingg dri pekerj ini dpt dihrpkn sutu hsil yng optiml. Dri hmpir semu perushn yng menglmi kemjun yng pest ditndi dengn gejl kepusn kerj yng tinggi di ntr pr pekerjny. Pd dsrny, prinsip-prinsip kepusn kerj dirhkn kepd pemenuhn kebutuhn-kebutuhn pekerj. Milton menytkn bhw kepusn kerj merupkn kondisi emosionl positif tu menyenngkn yng dihsilkn dri penilin pekerj berdsrkn penglmnny (Milton, hl.). Lebih juh lgi, Milton mngtkn reksi efektif pekerj terhdp pekerjnny tergntung kepd trf pemenuhn kebutuhn-kebutuhn fisik dn psikologis pekerj tersebut oleh pekerjnny. Kesenjngn ntr yng diterim pekerj dri pekerjnny dengn yng dihrpknny menjdi dsr bgi munculny kepusn tu ketidkpusn. Beberp hli telh mencob mengemukkn fktor-fktor yng terlibt dlm kepusn kerj. Herzberg, seperti yng dikutip oleh Gilmer (9), mengemukkn fktor-fktor kempnn tu kemnn pekerjn, kesemptn untuk mju, pndngn pekerj mengeni perushn dn mnjemenny, gji, spekspek intrinsik pekerjn, kulits penyelin, spek-spek sosil dri pekerjn, komuniksi, sert kondisi kerj fisik dn jm kerj sebgi fktorfktor yng menentukn kepusn kerj. Dri kenytn-kenytn di ts tmpk bhw fktor-fktor relsi sosil yng bik dn penghrgn terhdp prestsi kerj merupkn fktor-fktor yng sngt menetukn kepusn kerj. Fktor gji dn imbln linny wlupun msih dinggp penting, tidk memperoleh peneknn yng khusus. Dengn demikin, untuk meningktkn kepusn kerj kedu hl itu hrus terpenuhi terlebih dhulu. (USU digitl librry)

90 MATRIKS Sumber: yginsf.files.wordpress.com

91 8 Mtemtik X SMK Kelompok:Penjuln dn Akuntnsi Stndr kompetensi konsep mtriks terdiri ts tig kompetensi dsr. Dlm penyjin pd buku ini setip kompetensi dsr memut tujun, urin mteri, dn ltihn. Rngkumn diletkkn pd setip khir bhsn sutu kompetensi dsr. Kompetensi dsr dlm stndr kompetensi ini dlh mcm-mcm mtriks, opersi mtriks dn determinn sert invers. Stndr kompetensi ini digunkn untuk melengkpi dlm menentukn himpunn penyelesin sistem persmn jug untuk merumuskn berbgi mslh pd kehidupn sehri-hri dlm rngk menunjng progrm kehlin Penjuln dn Akuntnsi www. yginsf.files.wordpress.com Sumber: yginsf.files.wordpress.com Gmbr - Kegitn perbnkn sehri-hri Gmbr di smping merupkn kegitn perbnkn sehri-hri. Pr nsbh sering menemukn sutu dt yng disjikn dlm bentuk dftr, mislkn dftr bung, dftr konversi mt ung dn dftr-dftr yng lin. Mengp dt itu sering hrus dibut tbel? Tbel dibut dengn tujun gr dt mudh dibc dn dimengerti. Agr dt lebih sederhn lgi sehingg proses pengolhn dt lebih mudh, tbel jug sering disjikn dlm bentuk mtriks. Dlm proses penyelesin mslh dlm peljrn lin tu dlm kehidupn sehri-hri sering dihdpkn pd pencrin nili beberp peubh. Mtriks dlh slh stu medi bntu untuk memechkn mslh-mslh tersebut. Mislkn mtriks dpt memudhkn dlm membut nlisis mslh ekonomi yng memut bermcm-mcm peubh. Mtriks jug dpt digunkn untuk mempermudh nlisis input-output bik dlm bidng ekonomi, mnjemen, kependidikn dn bidng linny. Pd setip khir kompetensi dsr tercntum sol-sol ltihn yng disusun dri solsol yng mudh hingg sulit. Ltihn sol ini digunkn untuk mengukur kemmpun klin terhdp kompetensi dsr ini. Artiny setelh mempeljri kompetensi dsr ini secr mndiri dengn bimbingn guru sebgi fsilittor, ukurlh sendiri kemmpun klin dengn mengerjkn sol-sol ltihn tersebut. Untuk melncrkn kemmpun klin supy lebih bik dlm mengerjkn sol, disrnkn semu sol dlm ltihn ini dikerjkn, bik di sekolh dengn bimbingn guru mupun di rumh. Untuk mengukur stndr kompetensi lulusn tip pesert didik, di setip khir kompetensi dsr, guru kn memberikn evlusi pkh klin lyk tu belum lyk mempeljri stndr Kompetensi berikutny. Klin dinytkn lyk jik klin dpt mengerjkn sol % tu lebih sol-sol evlusi yng kn diberikn guru.

92 BAB III Mtriks 8 A. Mcm-mcm Mtriks Setelh mempeljri mteri pd kompetensi dsr ini, klin dihrpkn dpt: menjelskn pengertin mtriks, notsi mtriks, bris, kolom, elemen dn ordo mtriks, membedkn jenis-jenis mtriks, menjelskn kesmn mtriks, dn menjelskn trnspose mtriks.. Pengertin, Notsi, dn Ordo Mtriks Dlm kehidupn sehri-hri, mtemtik, mupun dlm mt peljrn lin, keterngn-keterngn sering kli disjikn dlm bentuk mtriks. Contoh Berikut merupkn contoh kedn bsensi kels X pd tnggl Jnuri 7 SMK Unggul di Jkrt. KEADAAN ABSENSI KELAS X TANGGAL JANUARI 7 Kels Skit (s) Izin (i) Alph () Kels X AK Kels X AK Kels X AP Kels X AP Jumlh Apbil pembts tersebut dihilngkn, mk kn didptkn susunn elemenelemen sebgi berikut. Susunn elemen-elemen tersebut bis disebut dengn mtriks.. Pengertin Mtriks Mtriks dlh sutu susunn elemen-elemen tu entri-entri yng berbentuk persegipnjng yng ditur dlm bris dn kolom. Susunn elemen ini diletkkn dlm tnd kurung bis ( ), tu kurung siku [ ]. Elemen-elemen tu entri-entri tersebut dpt berup bilngn tu berup huruf. Mtriks dinotsikn dengn huruf kpitl seperti A, B, C dn seterusny. Sedngkn elemenny, jik berup huruf, mk ditulis dengn huruf kecil.

93 8 Mtemtik X SMK Kelompok:Penjuln dn Akuntnsi A m m m n bris ke n bris ke mn bris ke m kolom ke kolom ke kolom ke n Dlm mtriks A [ ij ], dengn i dn j merupkn bilngn bult yng menunjukkn bris ke-i dn kolom ke-j. Mislny rtiny elemen bris ke- dn kolom ke-. Contoh P 8 7 Dri mtriks P di ts dpt dinytkn bhw. bnykny bris dlh ; b. bnykny kolom dlh ; c. elemen-elemen bris ke- dlh, -,, -7, -; d. elemen-elemen bris ke- dlh -,, -,, ; e. elemen-elemen kolom ke- dlh, -,, -; f. elemen-elemen kolom ke- dlh, -, -7, ; g. elemen bris ke- dn kolom ke- tu dlh 8; h. elemen bris ke- dn kolom ke- tu dlh -. b. Ordo Mtriks Ordo (ukurn) dri mtriks dlh bnykny elemen bris diikuti bnykny kolom. A mxn berrti mtriks A berordo m x n, rtiny mtriks tersebut mempunyi m buh bris dn n buh kolom. Contoh Tentukn ordo dri mtriks di bwh ini. 8. A b. B ( ). Mtriks A terdiri ts bris dn kolom, mk mtriks A berordo x, tu ditulis A x. b. Mtriks B terdiri ts bris dn kolom, mk mtriks B berordo x, tu ditulis H x.

94 8 BAB III Mtriks ( ) B A H ( ) M ( ) 7 N C 7 D C D S B c. Jenis-Jenis Mtriks ) Mtriks Nol Mtriks nol dlh mtriks yng seluruh elemenny nol. Contoh ) Mtriks Kolom Mtriks kolom dlh mtriks yng hny terdiri ts stu kolom. Contoh ) Mtriks Bris Mtriks bris dlh mtriks yng hny terdiri ts stu bris. Contoh ) Mtriks Persegi tu Bujur Sngkr Mtriks persegi dlh mtriks yng bnykny bris sm dengn bnykny kolom. Contoh 7 ) Mtriks Digonl Mtriks digonl dlh mtriks yng seluruh elemenny nol keculi pd digonl utmny tidk semuny nol. Contoh 8 ) Mtriks Segitig Mtriks segitig terdiri ts du mcm, yitu mtriks segitig ts dn mtriks segitig bwh. Mtriks segitig ts dlh mtriks yng elemen-elemen di bwh digonl utm seluruhny nol. Contoh 9 9 P

95 8 Mtemtik X SMK Kelompok:Penjuln dn Akuntnsi S 9 7 B A B C Mtriks segitig bwh dlh mtriks yng elemen-elemen di ts digonl utm seluruhny nol. Contoh 7) Mtriks Identits Mtriks identits merupkn mtriks persegi yng semu elemen pd digonl utmny stu dn elemen linny dlh nol. Contoh I x I x. Trnspose Mtriks Trnspose mtriks A ( ij ) dengn ordo m x n ditulis A T ( ji ) dn mempunyi ordo n x m. Elemen-elemen bris mtriks A T diperoleh dri elemen-elemen kolom mtriks A dn seblikny. Contoh A mk A T. Kesmn Du Mtriks Du mtriks diktkn sm, pbil mempunyi ordo sm dn elemen-elemen yng seletk (bersesuin) dri kedu mtriks tersebut sm. Contoh Mtriks AB kren ordo dn elemen-elemen yng seletk dri kedu mtriks tersebut sm. Sedngkn A C, wlupun elemenny sm tetpi tidk seletk. Contoh Tentukn nili x, y, z,, b, dn c dri kesmn du mtriks di bwh ini. b z y y x c b z x

96 BAB III Mtriks 8 Elemen bris kolom ( ), x x Elemen bris kolom ( ), x y y Elemen bris kolom ( ), z y z. Elemen bris kolom ( ), z. 8 7 Elemen bris kolom ( ), b b 7 b Elemen bris kolom ( ), c b c - c c Jdi, nili x, y, z, 7, b, dn c Contoh Tentukn x, y, dn z jik A B dri mtriks-mtriks di bwh ini. A x x y dn B x z y x A B x x y z y x x z x y y x x - z y y -x - z y y x z y y B. Rngkumn Mcm-Mcm Mtriks. Mtriks dlh sutu susunn elemen-elemen tu entri-entri yng berbentuk persegipnjng yng ditur dlm bris dn kolom.. Sutu mtriks A yng memiliki m bris dn n kolom berrti mtriks A berordo m x n. Trnspose mtriks A dengn ordo m x n ditulis A T dn mempunyi ordo n x m. Elemen-elemen bris mtriks A T diperoleh dri elemen-elemen kolom mtriks A dn seblikny.. Du mtriks diktkn sm, pbil mempunyi ordo sm dn elemen-elemen yng seletk (bersesuin) dri kedu mtriks tersebut sm.

97 8 Mtemtik X SMK Kelompok:Penjuln dn Akuntnsi. Diberikn sutu mtriks 8 7 M. Berpkh bnykny bris? b. Berpkh Bnykny kolom? c. Tuliskn elemen-elemen bris ke-. d. Tuliskn elemen-elemen bris ke-. e. Tuliskn elemen-elemen kolom ke-. f. Tuliskn elemen-elemen kolom ke-. g. Sebutkn elemen bris ke- kolom ke-. h. Sebutkn elemen bris ke- kolom ke-. i. Nytkn nm untuk elemen-elemen -,,,. j. Nytkn nm untuk elemen-elemen,, -,,. k. Nytkn nm untuk elemen. l. Nytkn nm untuk elemen -8.. Butlh mtriks sembrng yng mempunyi ketentun sebgi berikut.. Mempunyi stu bris dn tig kolom. b. Mempunyi tig bris dn du kolom. c. Mempunyi empt bris dn stu kolom.. Tuliskn ordo dri mtriks-mtriks berikut.. A c. 8 A b. 9 A d. ( ) A. Tentukn trnspose dri mtriks-mtriks pd sol nomor di ts.. Tentukn nili x, y, dn z dri persmn-persmn mtriks di bwh ini.. 9 y x c. 7 y x y x b. x y x d. x y y z x

98 87 BAB III Mtriks e. 8 x y x f. x y x y y z x. Tentuknlh nili x, y, z,, dn b dri persmn mtriks di bwh ini. z 8 x y b 8 z x y 7. Jik A B T dimn A dn w y z y x y x B Tentuknlh w, x, y, dn z. C. Opersi pd Mtriks Setelh mempeljri mteri pd kompetensi dsr ini, klin dihrpkn dpt menyelesikn penjumlhn, pengurngn, perklin sklr dengn mtriks dn perklin mtriks dengn mtriks; menyelesikn kesmn mtriks menggunkn penjumlhn, pengurngn, dn perklin mtriks.. Penjumlhn dn Pengurngn Mtriks Du Mtriks A dn B dpt dijumlhkn tu digunkn opersi pengurngn bil ordo (bris x kolom) kedu mtriks tersebut sm. Hsil jumlh tu selisih didpt dengn cr menjumlhkn tu mengurngkn elemen-elemen yng seletk dri kedu mtriks tersebut. Contoh Dikethui: A, B dn 8 C A B 7 9 ) ( ) ( ) ( A B 7 7 ) ( ) ( A C tidk dpt dijumlhkn, kren ordo kedu mtriks tersebut tidk sm. Untuk setip mtriks A, B dn C yng berordo sm, berlku sift-sift opersi penjumlhn dn pengurngn mtriks sebgi berikut:. A (B C) (A B) C sift sositif, b. A B B A sift komuttif, c. A(B C) AB AC sift distributif,

99 88 Mtemtik X SMK Kelompok:Penjuln dn Akuntnsi d. A(B C) AB AC, e. A A A, f. terdpt mtriks X sedemikin sehingg A X B.. Perklin Mtriks. Perklin Mtriks dengn Sklr (k) Mislkn k sebuh sklr dn A sebuh mtriks, mk ka dlh sebuh mtriks yng didpt dengn cr menglikn setip elemen (entri) mtriks A dengn sklr k. Contoh 7 Dikethui A mk A 8 ) ( ) ( -A 8 ) ( ) ( A A Contoh 8 Tentukn, b, dn c jik dikethui P, b c Q, dn 8 R sehingg berlku P Q R. P Q R b c 8 - b c 8 8 b c 8 dri persmn mtriks tersebut didpt b c c Contoh 9 Tentukn mtriks X yng memenuhi persmn berikut ini.. X 7 b. X

100 BAB III Mtriks 89. X 7 7 X 8 X 8 8 X 8 b. X X 8 X 8 X 7 X 8 Untuk setip sklr k dn k, dn untuk setip mtriks A dn B yng berordo sm dn AB terdefinisi, berlku sift-sift perklin mtriks dengn sklr sebgi berikut:. (k k ) A k A k A b. (k k ) A k A k A c. (k k ) A k (k A) d. k (A B) (k A) B e. k (A B) k A k B f. k (A B) k A k B b. Perklin Mtriks dengn Mtriks Du mtriks A dengn ordo m x n dn mtriks B dengn ordo n x p, hsil kli ntr A dn B dlh sebuh mtriks C A B yng berordo m x p, didpt dengn cr menglikn setip elemen bris mtriks A dengn elemen kolom mtriks B. Jik mtriks A berordo m x n dn B berordo p x q dimn n p mk A B tk terdefinisi. Perhtikn ilustrsi krtu domino pd Gmbr - untuk perklin du mriks yng berordo msing-msing x dn x.

101 9 Mtemtik X SMK Kelompok:Penjuln dn Akuntnsi Syrt du mtriks Dpt diklikn B A x x Hsil kli kedu mtriks dengn ordo x Contoh Dikethui A dn B, tentukn A B Mtriks A berordo x dn B berordo x, hsil kli A B dlh mtriks yng berordo x. Perhtikn ilustrsi di bwh ini. - ) ( dlh entri bris ke- dn kolom ke- dri mtriks A yng diperoleh dengn cr menglikn elemen-elemen bris ke- mtriks sebelh kiri (mtriks A) dengn elemen-elemen kolom ke- mtriks sebelh knn (mtriks B) kemudin menjumlhknny. Demikin seterusny untuk mengisi kotk-kotk tersebut. 7 A.B Contoh Dikethui mtriks, A B dn C Tentukn. A B b. A B c. A C d. Apkh A B A B.. A B 8 b. A B 8 Gmbr - Contoh perklin mtriks

102 BAB III Mtriks 9 c. A C Tidk dpt diselesikn kren kolom mtriks pertm (sebelh kiri) dengn bnykny bris mtriks kedu (sebelh knn) tidk sm. d. Dri hsil penyelesin dn b di ts, ternyt A B komuttif. Contoh Tentukn hsil kli dri mtriks-mtriks di bwh ini.. ( ) 9. ( ) B A. Jdi, perklin tidk b. ( ) c. ( ) ( ) ( ) b. ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) c. ( ) ( ) ( ) Contoh Ibu Ahmd berbelnj di Toko Sembko Sejhter sebnyk kg bers dengn hrg Rp., per kg, kg terigu dengn hrg Rp7., per kg, dn liter minyk goreng dengn hrg Rp9., per liter. Ibu Susn berbelnj brng yng sm di toko yng sm dengn kuntits kg bers, 8 kg terigu, dn liter minyk goreng. Sederhnkn persoln di ts dlm bentuk perklin mtriks dn tentukn jumlh yng hrus dibyr oleh Ibu Ahmd dn Ibu Susn. Persoln di ts jik disjikn dlm bentuk Mtriks dlh sebgi berikut. A 7. S 8 9. Keterngn A Ibu Ahmd dn S Ibu Susn Jumlh yng hrus dibyr Ibu Ahmd dn Ibu Susn dlh: Gmbr - Toko kehidupn sehri-hri

103 9 Mtemtik X SMK Kelompok:Penjuln dn Akuntnsi S A. 8. x9. 8x7. x. x9. x7. x. S A Jdi, jumlh yng hrus dibyr Ibu Ahmd dlh Rp8., dn Ibu Susn dlh Rp.,. D. Rngkumn Opersi pd Mtriks. Du Mtriks A dn B dpt dijumlhkn tu digunkn opersi pengurngn bil ordo (bris x kolom) kedu mtriks tersebut sm. Hsil jumlh (selisih) didpt dengn cr menjumlhkn (mengurngkn) elemen-elemen yng seletk dri kedu mtriks tersebut.. Mislkn k sebuh sklr dn A sebuh mtriks, mk ka dlh sebuh mtriks yng didpt dengn cr menglikn setip elemen (entri) mtriks A dengn sklr k.. Du buh mtriks dpt diklikn jik bnykny kolom pd mtriks pertm sm dengn bnykny bris pd mtriks kedu.. Du mtriks A dengn ordo m x n dn mtriks B dengn ordo n x p, hsil kli ntr A dn B dlh sebuh mtriks C A B yng berordo m x p, didpt dengn cr menglikn setip elemen bris mtriks A dengn elemen kolom mtriks B.. Dikethui P, 8 Q dn R Tentuknlh. P R d. R T Q g. Q T P b. (Q P) R e. P (Q R) h. (P Q) (P R) c. (Q R P) T f. P T R i. P Q R T. Hitunglh hsil opersi mtriks berikut ini.. d. ( ) ( ) 7 8 b. e. 7 c. 9 7 f

104 9 BAB III Mtriks. Dikethui P, tentuknlh. P c. P e. -P 8P b. -P d. P P f. P P. Tentukn hsil kli dri kedu mtriks di bwh ini.. c. ( ). e b.. 9 d.. f. ( ). 8. Dikethui A, B dn C Tentuknlh mtriks-mtriks berikut.. A B d. A B g. A b. A (C T B) e. (A T C) B h. A C c. (A B)(A B) f. A B T i. A B C. Tentukn mtriks X dri. 7 X c. 7 8 X b. X 8 d. X 7. Diberikn A, B dn C, tunjukknlh bhw ( B A ) ) C (B A C. 8. Dikethui A dn B, tentuknlh!. B A c. A B e. T B T A b. ( A B ) T d. T T A B f. ( B A ) T 9. Dikethui A, crilh f(a) A A I (I mtriks identits)

105 9 Mtemtik X SMK Kelompok:Penjuln dn Akuntnsi. Dikethui A dn B. Perikslh pkh B A. Crilh, b, c, dn d dri persmn-persmn berikut.. d c b b. 7 8 b d c b. Dikethui 7 z y x, tentuknlh nili x, y, dn z.. Dikethui A, 7 B, dn 8 C. Tentuknlh!. A B c. ( A B T C) e. AB BC (AC) T b. A B d. A B C f. B(A C) T. Tentukn nili, b, c dn d dri persmn berikut ini.. 9 d b c b. 8 8 b b b c. Budi membeli di toko lt-lt tulis, 8 buku dengn pensil dengn dn pulpen dengn Ani membeli brng yng sm di toko yng sm dengn kuntits buku, 8 pensil dn pulpen. Sederhnkn persoln di ts dlm bentuk perklin mtriks dn tentukn jumlh yng hrus dibyr oleh Budi dn Ani.. Perushn bus mengtur sutu rute perjlnn busny dri kot P ke kot T mellui kot Q tu R tu S. Dri kot P ke Q, R dn S berturutturut terdpt rute, rute dn rute sedngkn dri Q, R, dn S ke T berturut-turut terdpt rute, rute dn rute. Sederhnkn persoln di ts dlm bentuk perklin mtriks dn tentukn jumlh rute yng dpt ditempuh dri kot P ke T. Gmbr - Bus Dokumentsi penulis

106 BAB III Mtriks 9 E. Determinn dn Invers Mtriks Setelh mempeljri mteri pd kompetensi dsr ini, klin dihrpkn dpt: menentukn determinn dn invers mtriks ordo, menentukn minor, kofktor dn djoin mtriks, menentukn determinn dn invers mtriks ordo, dn menyelesikn sistem persmn linier dengn menggunkn mtriks.. Determinn Mtriks Ordo Du b Misl b A, mk determinn A ( det(a) ) dlh det(a) d bc c d c d Contoh Tentukn determinn mtriks-mtriks berikut. P dn Q P ( ) ( ) 7 dn Q ( ) Contoh x Jik x, tentuknlh hrg x yng memenuhi persmn tersebut. x x x (-) x x x x x - x -. Determinn Mtriks Ordo Tig Mislkn mtriks persegi dengn ordo tig diberikn di bwh ini A, determinn dri mtriks A dlh det(a) A

107 9 Mtemtik X SMK Kelompok:Penjuln dn Akuntnsi Bnyk cr yng dpt digunkn untuk menghitung determinn mtriks dengn ordo x, tetpi yng pling bnyk digunkn dlh dengn menggunkn turn Srrus. Dengn lngkh-lngkh sebgi berikut. Letkkn kolom pertm dn kedu di sebelh knn gris vertikl dri determinn. Jumlhkn hsil kli unsur-unsur yng terletk pd digonl utm dengn hsil kli unsur-unsur yng sejjr digonl utm pd rh knn, kemudin dikurngi dengn hsil kli unsur-unsur yng terletk sejjr dengn digonl smping. Perhtikn skem untuk menghitung dengn menggunkn srrus di bwh ini. det( A) Contoh ( ) ( ) Tentukn determinn dri mtriks M M ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( 8 ) (- ) -8-9 Contoh 7 x Determinn mtriks Q dlh, tentukn nili x x Q (x ) ( ) x ( ) x ( ) (x ) ( ) (x ) x 8x 8(x ) x x 8x 8x 8 -x 9 Q -x 9 -x 9 -x x -

108 BAB III Mtriks 97. Minor, Kofktor, dn Adjoin Jik A dlh sebuh mtriks persegi, mk minor entri tu elemen ij dinytkn oleh M ij dn didefinisikn sebgi determinn submtriks yng tinggl setelh bris ke-i dn kolom ke-j dicoret dri A. Bilngn (-) ij M ij dinytkn oleh C ij dinmkn kofktor entri ij. Jik A dlh sembrng mtriks persegi (n x n) dn C ij dlh kofktor ij, mk mtriks C C C Cn C C C Cn Cn Cn Cn C nn disebut mtriks kofktor dri A. Trnspose mtriks ini disebut djoin dri A dn dinytkn dengn Adj (A). Contoh 8 Tentukn minor, kofktor, mtriks kofktor, dn djoin dri Minor dri mtriks A dlh M M M M - Kofktor dri mtriks A dlh A C (-) M () C (-) M (-) - C (-) M (-) - C (-) M ()(-) - Mtriks kofktorny dlh C C C C Adjoin dri mtriks kofktor dlh trnspose dri mtriks kofktor, sehingg T Adj ( A ) Contoh 9 Tentukn minor, kofktor, mtriks kofktor, dn djoin dri Minor dri mtriks tersebut dlh: A M (- ) (-) M - ( -)

109 98 Mtemtik X SMK Kelompok:Penjuln dn Akuntnsi M M M M (-) 7 M (-) -8 M (-) M - - (-) - - (-) Kofktor dri minor-minor tersebut dlh C (-) M () C (-) M (- ) - C (-) M (-) 7-7 C (-) M ( ) (-) - C (-) M ( ) (-8) -8 C (-) M (- ) (-) C (-) M (-) - C (-) M ( ) (-8) -8 C (-) M ( ) (-) - Mtriks kofktorny dlh C C C 7 8 C C C C C C 8 Adjoin dri mtriks kofktor dlh trnspose dri mtriks kofktor, sehingg Adj (A) 7 T Invers Mtriks Jik A dn B dlh mtriks persegi yng berordo sm, sedemikin sehingg hsil kli AB BA I, dengn I mtriks identits mk B dlh invers dri A dn seblikny, yitu B A - tu A B -. Contoh Dri P 7 dn 7 Q, tunjukkn bhw kedu mtriks sling invers P Q dn 7 7 Q P Kren PQ QP I, mk P Q dn Q P. Jik A dlh mtriks persegi, mk invers dri mtriks A dlh: A det(a) dj (A)

110 BAB III Mtriks 99 Contoh Tentukn invers dri A c b d Determinn A (det(a)) dlh det (A) c Minor dri A dlh M d d M b b M c c M b d d bc Kofktor dri A dlh C (-) M d C (-) M -b C (-) M -c C (-) M Mtriks kofktor d b dj (A) c sedngkn mtriks djoin d b Invers mtriks A dlh A det (A) c T dj (A) d c b d d bc c b Contoh Dengn menggunkn hsil terkhir pd contoh di ts, tentukn invers dri: 7. A b. A. Det(A) - (-) sehingg: 7 A.Adjoin A det(a) b. Det(A) (- ( ) (-)) ( (- ) (- ) (-) ) (- ) (8 ) A Adjoin (A) (dri Contoh 9 diperoleh Adj (A)) det(a) A 7 8 8

111 Mtemtik X SMK Kelompok:Penjuln dn Akuntnsi Cttn Mtriks yng mempunyi invers dlh mtriks yng nili determinnny, mtriks seperti ini disebut mtriks nonsingulr, sedngkn mtriks yng hrg determinnny disebut mtriks singulr. Invers sutu mtriks jik d dn tunggl, mk berlku sift (A ) A (A x B) B x A Contoh Mnkh yng termsuk mtriks singulr dn mtriks nonsingulr. A b. B. det (A), kren determinnny mk disebut mtriks singulr b. det (B) (-) (- ) (-) - -, kren determinnny tidk mk disebut mtriks nonsingulr Contoh Dikethui mtriks A dn B, tentukn mtriks dri: 7. (AB) b. B A. AB (AB) x 8 x b. A 7 7 x 7 x B x x B.A Ternyt, dri jwbn dn b pd contoh sol di ts, diperoleh kesimpuln (A x B) B x A

112 BAB III Mtriks. Hitunglh determinn mtriks berikut.. c. e. 7 b. 9 d., f.. Tentukn determinn dri mtriks ordo di bwh ini.. c. e. b. d. f.. Tentukn nili x dri persmn di bwh ini.. x c. x 7 x e. x x x b. x x d. x x x f. x x x. Tunjukkn bhw mtriks-mtriks di bwh ini sling invers.. dn c. dn b. 7 9 dn 9 7 d. dn. Crilh minor, mtriks kofktor, djoin, dn invers dri mtriks-mtriks di bwh ini.. b. c. 7. Crilh minor, kofktor, djoin, dn invers dri mtriks-mtriks pd sol nomor. 7. Dikethui dn Q P, tentukn. P e. ( P Q) b. Q f. ( Q P) c. P Q g. Apkh ( P Q) Q P d. Q P h. Apkh ( Q P) P Q

113 Mtemtik X SMK Kelompok:Penjuln dn Akuntnsi 8. Mnkh yng termsuk mtriks singulr dn nonsingulr. c. sin x b. d., cos x. Menyelesikn Sistem Persmn Linier Sistem persmn linier du tu tig vribel selin dengn menggunkn eliminsi dn substitusi dpt jug digunkn invers dn kidh Crmer untuk mencri himpunn penyelesinny. Beberp lngkh yng perlu diperhtikn untuk mencri himpunn penyelesin sistem persmn linier dengn menggunkn invers, dlh sebgi berikut. Tulislh sistem persmn dlm bentuk mtriks. Nytkn bentuk tersebut ke dlm perklin mtriks koefisien dengn mtriks vribelny. x y c x y c x c y c persmn mtriks berbentuk A X C Klikn kedu rus dengn invers A tu A, sehingg menjdi A A X A C I X A C X A C A X C Untuk persmn yng berbentuk X A C, mk untuk mendptkn X, klikn kedu rus dengn A - dri sebelh knn, sehingg didpt X A A C A X I C A X C A Contoh Tentukn nili x dn y dri sistem persmn x y - -x y x y Sistem persmn jik dibut dlm bentuk mtriks menjdi x y x perklin mtriks tersebut berbentuk A X C dengn y A x X y dn C

114 BAB III Mtriks A ( ) ( ) x y 8 Jdi, himpunn penyelesin dri sistem persmn tersebut dlh {(, )}. Di smping menggunkn cr invers dpt jug penyelesin sistem persmn linier dicri dengn menggunkn kidh Crmer. Jik A X C dlh sistem persmn liner yng terdiri ts n persmn linier dn n vribel yng tidk dikethui sehingg det (A), mk sistem tersebut mempunyi penyelesin yng unik (tunggl). Penyelesin tersebut dlh det (A) det (A) det (An) x, x,. xn det (A) det (A) det (A) dimn A j dlh mtriks yng didpt dengn cr menggnti entri-entri di dlm kolom ke-j dri A dengn entri-entri di dlm mtriks c C c Contoh Gunkn kidh Crmer untuk mencri himpunn penyelesin sistem persmn berikut ini. x y x y Bentuk perklin mtriks sistem persmn tersebut dlh bentuk ini didpt. A dn det (A) ( ) x, dri y dn det (A ) ( ) A dn det (A ) A det (A) det (A) sehingg x dn y det (A) det (A) Jdi, himpunn penyelesin dri sistem persmn dlh {(, -)}

115 Mtemtik X SMK Kelompok:Penjuln dn Akuntnsi Contoh 7 Tentukn penyelesin dri sistem persmn dengn menggunkn kidh Crmer. x z 7 -x y z 7 -x y z Bentuk perklin mtriks sistem persmn tersebut dlh 7 7 z y x, dri bentuk ini didpt 8 (A) det, A ) (A det, 7 7 A ) (A det, 7 7 A ) (A det, 7 7 A Dengn demikin, (A) det ) (A det z dn 88 (A) det ) (A det y, (A) det ) (A det x Contoh 8 Tentuknlh mtriks P dri persmn mtriks di bwh ini:. P b. P. Dri P diperoleh persmn: A P B, sehingg P A B P 9 P 7 b. Dri P diperoleh persmn mtriks P A B, sehingg P B A

116 BAB III Mtriks Dri persmn P B A, diperoleh bnykny kolom mtriks B tidk sm dengn bnykny bris mtriks A. Dengn demikin B A tidk dpt diselesikn. Oleh kren itu, tidk d mtriks P dri persmn mtriks di ts. Contoh 9 Hrg bju dn kos dlh Rp8.,. Sedngkn hrg bju dn kos yng sm dlh Rp.,. Tentukn hrg bju dn kos. Persoln di ts diterjemhkn dlm bentuk model mtemtik dengn memislkn hrg tip bju x dn hrg tip kos y, sehingg diperoleh sistem persmn sebgi berikut. x y 8. x y. x y 8. Sistem persmn jik dibut dlm bentuk mtriks menjdi x y. x 8. perklin mtriks tersebut berbentuk y. A X C dengn A x X y dn 8. C. A 7 x 8. x 8. (-) x. y 7. 7 x 8. x x. x.. Jdi, hrg bju dn kos dlh Rp.,. Hrg bju dn kos ( ) ( ) (. ) F. Rngkumn Determinn dn Invers Mtriks b. Jik b A mk det(a) d bc c d c d. Jik A, mk

117 Mtemtik X SMK Kelompok:Penjuln dn Akuntnsi det( A). Jik A dlh sebuh mtriks persegi, mk minor dinytkn oleh M ij dn didefinisikn sebgi determinn submtriks yng tinggl setelh bris ke-i dn kolom ke-j dicoret dri A. Sedngkn C ij (-) ij M ij dinmkn kofktor. Trnspose mtriks kofktor A disebut djoin dri A dn dinytkn dengn Adj (A).. Jik A dn B dlh mtriks persegi yng berordo sm sedemikin sehingg hsil kli A B B A I, dengn I mtriks identits mk B dlh invers dri A dn seblikny, yitu B A tu A B.. Jik A dlh mtriks persegi, mk invers dri mtriks A dlh A det(a) dj (A). Mtriks yng mempunyi invers dlh mtriks yng nili determinnny, mtriks seperti ini disebut mtriks nonsingulr, sedngkn mtriks yng hrg determinnny disebut mtriks singulr. 7. Pd invers mtriks berlku (A ) A (A x B) B x A Jik A B I, mk B A Jik A X B mk X A Jik X A B mk X B B A 8. Jik AX C dlh sistem persmn liner yng terdiri ts n persmn liner dn n vribel yng tidk dikethui sehingg det (A), mk sistem tersebut mempunyi penyelesin yng unik (tunggl). Penyelesin tersebut dlh det (A) det (A) det (An) x, x,. xn det (A) det (A) det (A) dimn A j dlh mtriks yng didpt dengn cr menggnti entri-entri di dlm kolom ke-j dri A dengn entri-entri di dlm mtriks C. Tentukn himpunn penyelesin dengn menggunkn invers. x 8y -7. y 8 x x y x y

118 7 BAB III Mtriks. x y - x y. y -x y,x. x y -9 -x y Gunkn kidh Crmer untuk mendptkn himpunn penyelesin dri sistem persmn berikut.. x y 8 9. x y z x y - x y x z - 7. x y 8 x y. x y z - x y z 8. x y - x y z x y. Tentukn mtriks X yng memenuhi persmn berikut.. 7 X d. 7 X b. X e. X c. ( ) X f. X 9 7. Crilh x dn y dri persmn berikut ini.. 7 y x b. y x. Seorng pedgng menjul du jenis komodits cmpurn. Komodits jenis pertm merupkn cmpurn dri kg kulits A dn kg kulits B, sedngkn komodits jenis kedu merupkn cmpurn dri kg kulits A dn kg kulits B. Hrg komodits jenis pertm Rp., dn jenis kedu Rp7.,.. Bentuklh mtriks dri pernytn tersebut. b. Selesiknlh perklin mtriks untuk mendptkn hrg msing-msing kulits per kilogrm.. Lim mej dn delpn kursi berhrg $, sedngkn tig mej dn lim kursi berhrg $7. Tentukn hrg mej dn kursi.

119 8 Mtemtik X SMK Kelompok:Penjuln dn Akuntnsi A. Sol Pilihn Gnd Pilihlh stu jwbn, b, c, d tu e yng dinggp benr. Dikethui mtriks A dn mtriks B mk A B..... c. 7 e. b. 7 d.. Dikethui mtriks A, B dn C mk A B C c. e. 9 b. d.. Dikethui mtriks A dn B dn X A B. Mtriks X dlh..... c. 8 e. b. d.. Jik A dn A B I, dengn I mtriks stun, mk B..... c. e. b. d.. Jik dikethui mtriks A dn B mk mtriks A B dlh....

120 9 BAB III Mtriks. c. e. b. d.. Nili I dn I pd persmn mtriks I I berturut-turut dlh..... dn c. dn e. 9 dn b. dn d. 7 dn - 7. Dikethui A mk det (A) c. e. b. - d. 8. Nili, b, c, dn d berturut-turut yng memenuhi persmn d c b dlh ,, dn c. -, -, dn e. -, -9, dn b. -,, dn d.,, 9 dn 9. Mtriks X yng memenuhi persmn 9 X dlh..... c. e. b. d.. Dikethui A dn B, mk (A B)..... c. e. b. d. 8. Dikethui x, nili x yng memenuhi persmn dlh c. e. 9 b. - d.

121 Mtemtik X SMK Kelompok:Penjuln dn Akuntnsi. Dikethui A nili k yng memenuhi k det(a T ) det(a - ) dlh.... b. - c. - e. c. - d.. Dikethui A 8. 8 b. dn B. Jik AX B T, mk mtriks X dlh... 9 c. 9 e d. 8. Jik Q mtriks Q dlh..... c b. d.. Hrg x dn y berturut-turut dri persmn y dlh..... dn - c. dn - e. x 9 e. - dn b. - dn d. - dn. Dikethui A dn B, X mtriks berordo (x) yng memenuhi persmn mtriks A B X, mk X..... c. e. b. d. 7. Jik A, B, dn C mk A x ( B C ) c. e. b. d. 8

122 BAB III Mtriks 8. Dikethui persmn mtriks X. c. 7 b. d. 7 9 mk X dlh.... e. 9. Jik 8 9 A 7 mk A c. e. 7 b. - d. d. Dikethui mtriks A ; B b c ; dn C c d b Jik A B t C dengn B t dlh trnspos dri B mk nili d c. e. b. - d. x. jik mk x y dlh... y. - c. - e. b. - d.. Penyelesin sistem persmn x y dpt dinytkn sebgi.... x y 9 x x. d. y 9 y 9 x x b. e. y 9 y 9 x c. y 9 p. Dikethui mtriks A, B dn C q nili p dn q yng memenuhi A B C Berturut-turut dlh.... dn c. dn e. dn b. dn d. dn. Dikethui A, B dn C, A T B C c. e. 8 b. d.

123 Mtemtik X SMK Kelompok:Penjuln dn Akuntnsi. Invers mtriks A dlh..... c. e. b. d. A. Sol Essy Kerjkn sol-sol berikut dengn benr.. Tentukn mtriks X yng memenuhi persmn berikut.. ( ) 7 X b. X. Gunkn kidh Crmer untuk mendptkn himpunn penyelesin dri sistem persmn berikut.. x y b. x y z - y x x y - x z -7. Dikethui dn B A, tentuknlh:. (A T. B) d. (A B) b. (B ) e. (B A) T c. A B T f. Buktikn (A B) B - A -. Dikethui A, crilh f(a) A A I ( I dlh mtriks identits). Tentuknlh nili x, y, z, dn b dri persmn mtriks di bwh ini: x z 7 x y T 8 8 z x y. Tentukn mtriks X yng memenuhi persmn berikut ini..,x 9 T b. T X Ubhlh cr berpikir klin, mk duni klin jug kn berubh

124 PROGRAM LINIER Sumber: Art & Gllery

125 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi Stndr kompetensi progrm linier terdiri ts empt kompetensi dsr. Dlm penyjin pd buku ini setip kompetensi dsr memut tujun, urin mteri, dn ltihn. Sedngkn rngkumn dipprkn pd setip khir bhsn sutu kompetensi dsr. Kompetensi dsr dlm stndr kompetensi ini dlh grfik himpunn penyelesin sistem pertidksmn linier, model mtemtik dri sol cerit (klimt verbl), nili optimum dri sistem pertidksmn linier, dn gris selidik. Stndr kompetensi ini digunkn untuk menyelesikn persoln-persoln tertentu sehingg diperoleh nili yng optimum pd kehidupn sehri-hri dlm rngk menunjng progrm kehlin Penjuln dn Akuntnsi. Sebelum mempeljri stndr kompetensi ini, dihrpkn klin telh mengusi stndr kompetensi sistem bilngn riil dn stndr kompetensi Persmn dn Pertidksmn. Pd setip khir kompetensi dsr tercntum sol-sol ltihn yng disusun dri solsol yng mudh hingg yng sulit. Ltihn sol digunkn untuk mengukur kemmpun klin terhdp kompetensi dsr ini. Artiny setelh mempeljri kompetensi dsr ini secr mndiri dengn bimbingn guru sebgi fsilittor, ukurlh sendiri kemmpun klin dengn mengerjkn sol-sol ltihn tersebut. Untuk melncrkn kemmpun klin supy lebih bik dlm mengerjkn sol, disrnkn semu sol dlm ltihn ini dikerjkn, bik di sekolh dengn bimbingn guru mupun di rumh. Untuk mengukur stndr kompetensi lulusn tip pesert didik, di setip khir kompetensi dsr, guru kn memberikn evlusi pkh klin lyk tu belum lyk mempeljri stndr kompetensi berikutny. Klin dinytkn lyk jik klin dpt mengerjkn sol % tu lebih sol-sol evlusi yng kn diberikn guru. Setelh mempeljri kompetensi ini, pesert didik dihrpkn dpt mengpliksiknny dlm mempeljri kompetensi-kompetensi pd peljrn mtemtik, peljrn linny, mupun dlm kehidupn sehri-hri. Slh stu contoh bentuk pliksi progrm linier bidng Penjuln dn Akuntnsi, yitu nlisis produk yng dibut tu dibngun untuk mendptkn keuntungn mksimum tu biy minimum seperti contoh berikut ini. Pengembng sutu perumhn kn membngun perumhn yng terdiri ts tig tipe, yitu tipe, tipe dn tipe 7 dri lhn yng dimilikiny. Lhn yng d sebgin digunkn untuk fsilits umum dn sosil. Dri kondisi tersebut, nlisis yng mungkin dilkukn oleh pihk pengembng dlm menentukn jumlh rumh yng dpt dibngun untuk mendptkn keuntungn mksiml ntr lin:. hrg jul tnh per meter persegi, b. biy mteril per unit untuk tip tipe, c. biy js tukng per unit untuk tip tipe, d. hrg rumh stndr per unitny untuk msing-msing tipe, e. bnykny tip tipe yng hrus dibngun, dn f. modl totl yng hrus disedikn untuk membngun perumhn tersebut

126 BAB IV Progrm Linier Gmbr - Tmpk perumhn berbgi tipe Sumber: Mungkin msih bnyk lgi yng hrus dinlisis untuk membngun sebuh kompleks perumhn, nmun di sini hny memberikn gmbrn penggunn progrm linier dlm kegitn sebuh bisnis. Dri nlisis sederhn tersebut dpt diperoleh gmbrn komponen p sj yng terlibt dlm membut sebuh perumhn. Komponen-komponen ini sebgi vribel yng kemudin disusun menjdi bentuk model pertidksmn linier dn dicri solusiny untuk mendptkn keuntungn yng optimum. Dlm buku ini hny melibtkn pertidksmn-pertidksmn du vribel yng merupkn pengethun dsr dn dihrpkn setelh mempeljri kompetensi ini pesert didik dpt mengembngkn pertidksmn dengn vribel lebih dri du dlm penyelesin kehidupn sehri-hri. A. Grfik Himpunn Penyelesin Sistem Pertidksmn Linier Setelh mempeljri mteri pd kompetensi dsr ini, klin dihrpkn dpt: menjelskn pengertin progrm linier, menggmbr grfik himpunn penyelesin pertidksmn linier, dn menggmbr grfik himpunn penyelesin sistem pertidksmn linier dengn vribel.. Pengertin Progrm Linier Dlm kegitn produksi dn perdgngn, bik pd industri skl besr mupun kecil tidk terleps dri mslh lb yng hrus diperoleh oleh perushn tersebut. Tujun utmny dlh untuk memperoleh pendptn yng sebesr-besrny dengn meminimumkn pengelurnny (biy bhn bku, biy proses produksi, gji krywn, trnsportsi, dn lin-lin). Untuk mksud tersebut bisny pihk mnjemen perushn membut beberp kemungkinn dlm menentukn strtegi yng hrus ditempuh untuk mencpiny. Mislny, dlm memproduksi du mcm brng dengn biy dn keuntungn

127 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi berbed. Pihk perushn dpt menghitung keuntungn yng mungkin dpt diperoleh sebesr-besrny dengn memperhtikn bhn yng diperlukn, keuntungn per unit, biy trnsportsi, dn sebginy. Untuk menyelesikn mslh tersebut digunkn progrm linier. Progrm linier dirtikn sebgi cr untuk menyelesikn sutu persoln (penyelesin optimum) dengn menggunkn metode mtemtik yng dirumuskn dlm bentuk persmnpersmn tu pertidksmn-pertidksmn linier. Untuk mendptkn penyelesin optimum tersebut digunkn metode grfik yng diterpkn pd progrm linier sederhn yng terdiri ts du vribel dengn cr uji titik pojok tu gris selidik pd derh himpunn penyelesin.. Grfik Himpunn Penyelesin Pertidksmn Linier Stu Vribel Grfik himpunn penyelesin pertidksmn linier stu vribel sudh dibhs pd st klin beljr mtemtik di SMP. Nmun, untuk mengingtkn kembli perhtikn beberp contoh di bwh ini. Contoh Tentukn derh penyelesin dri. x c. x < e. x b. y d. x - f. < y. x mempunyi persmn x, ini merupkn gris lurus, yng berimpit dengn sumbu y. Derh penyelesin dengn mudh dpt dicri yitu derh di sebelh knn gris tu sumbu y kren yng dimint dlh untuk x. Derh penyelesin ditunjukkn pd gmbr -. b. y mempunyi persmn y, ini merupkn gris lurus yng berimpit dengn sumbu x. Derh penyelesin dengn mudh dpt dicri, yitu derh di sebelh ts gris tu sumbu x kren yng dimint dlh untuk y. Derh penyelesin ditunjukkn pd gmbr -b. c. x < mempunyi persmn x. Derh penyelesin dlh derh di sebelh kiri gris kren yng dimint dlh untuk x <. Derh penyelesin ditunjukkn pd gmbr -c. d. x - mempunyi persmn x -. Derh penyelesin dlh derh di sebelh knn gris kren yng dimint dlh untuk x -. Derh penyelesin ditunjukkn pd gmbr -d. e. x mempunyi persmn x dn x. Derh penyelesin dlh derh di ntr kedu gris tersebut. Derh penyelesin ditunjukkn pd gmbr -e.

128 BAB IV Progrm Linier 7 f. - y mempunyi persmn y - dn y. Derh penyelesin dlh derh di ntr kedu gris tersebut. Derh penyelesin ditunjukkn pd gmbr -f. y y y HP x HP x HP x - () y HP x y (b) HP x (c) y - HP x (d) (e) Gmbr - Himpunn derh penyelesin (f). Grfik Himpunn Penyelesin Pertidksmn Linier Du Vribel Pertidksmn linier du vribel, yitu pertidksmn yng memut du peubh mislny x dn y. Himpunn penyelesin pertidksmn tersebut dpt disjikn dlm bidng crtesius. Bentuk-bentuk pertidksmn linier dlh x by < c, x by c, x by c tu x by > c. Lngkh-lngkh yng ditempuh untuk menyelesikn derh himpunn pertidksmn linier du vribel dlh sebgi berikut. Gmbrlh gris x by c pd bidng crtesius dengn cr mencri titik-titik potong grfik dengn sumbu x ( y ) dn sumbu y ( x ). b. Ambil titik sembrng P(x, y ) yng bukn terletk pd gris tersebut, kemudin dihitung nili dri x by. Nili x by ini dibndingkn dengn nili c. c. Derh penyelesin untuk pertidksmn x by c ditentukn sebgi berikut Jik x by < c, mk derh yng memut P merupkn derh penyelesin. Jik x by > c, mk derh yng memut titik P bukn merupkn derh penyelesin. d. Derh penyelesin untuk pertidksmn x by c ditentukn sebgi berikut Jik x by > c, mk derh yng memut P merupkn derh penyelesin. Jik x by < c, mk derh yng memut titik P bukn merupkn derh penyelesin. e. Derh yng bukn merupkn penyelesin diberi rsirn, sehingg derh penyelesinny merupkn derh tnp rsirn. Hl ini sngt membntu pd st menentukn derh yng memenuhi terhdp beberp pertidksmn.

129 8 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi f. Derh penyelesin untuk pertidksmn yng memut tnd sm dengn digmbr dengn gris penuh, sedngkn derh penyelesin pertidksmn yng tidk memut tnd sm dengn digmbr dengn gris putus-putus. Contoh Tentukn derh penyelesin dri. x y b. x y Untuk menyelesikn contoh di ts, gmbrkn terlebih dhulu grfik msing-msing grisny dengn cr mencri titik-titik potong dengn sumbu x dn sumbu y.. x y Untuk mencri titik potong grfik dengn sumbu x dn sumbu y dicri dengn cr membut tbel berikut ini. x y Dengn demikin titik potong dengn sumbu x dn y dlh (, ) dn (, ). Ambillh titik P(, ) sebgi titik uji pd x y dn diperoleh. Derh yng terdpt titik P merupkn penyelesin (derh tidk terrsir) yng ditunjukkn pd gmbr. b. x y Untuk mencri titik potong grfik dengn sumbu x dn sumbu y dicri dengn cr membut tbel berikut ini: x y - Dengn demikin titik potong dengn sumbu x dn y dlh (, -) dn (, ). Ambillh titik P(,) sebgi titik uji pd x y, dn diperoleh. Derh yng terdpt titik P bukn merupkn penyelesin (derh terrsir) yng ditunjukkn pd gmbr b. Gmbr - Himpunn derh penyelesin pertidksmn du vribel Contoh Tentukn himpunn penyelesin dri x, y dn x y

130 BAB IV Progrm Linier 9 Himpunn penyelesin dri sistem pertidksmn di ts dlh perpotongn tu irisn dri ketig penyelesin pertidksn tersebut. Perhtikn () dn (b) pd contoh dn () pd contoh di ts. Dengn demikin himpunn penyelesin dri sistem pertidksmn tersebut disjikn seperti tmpk pd gmbr - di smping. Gmbr - HP dri x, y dn x y Contoh Tentukn himpunn penyelesin dri x, y - dn x y. Untuk x mempunyi persmn x. Derh penyelesin dlh derh di sebelh knn gris kren yng dimint dlh untuk x. Untuk y - mempunyi persmn y -. Derh penyelesin dlh derh di sebelh ts gris kren yng dimint dlh untuk y -. Untuk x y mempunyi persmn x y dn titik potong grfik dengn sumbu koordint dicri seperti berikut ini. x y Titik potong dengn sumbu koordint dlh (, ) dn (, ) Ambillh titik P(, ) sebgi titik uji pd x y dn diperoleh. Derh yng memut titik P merupkn penyelesin (derh tidk terrsir). Jdi, derh yng merupkn penyelesin dlh derh yng tnp rsirn seperti gmbr - di smping. Gmbr - HP dri x, y - dn x y Contoh Tentukn himpunn penyelesin dri x, y, x y, dn x y x y mempunyi persmn x y dn titik potong grfik dengn sumbu koordint dpt dicri seperti berikut ini.

131 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi x y Titik potong dengn sumbu koordint dlh (, ) dn (, ). Ambillh titik P(, ) sebgi titik uji pd x y, dn diperoleh. Derh yng memut titik (, ) bukn merupkn penyelesin (derh terrsir). x y mempunyi persmn x y dn titik potong grfik dengn sumbu koordint dpt dicri seperti berikut ini. x y Gmbr - HP x, y, x y, dn x y Titik potong dengn sumbu koordint dlh (, ) dn (, ). Ambillh titik P(, ) sebgi titik uji pd x y, dn diperoleh.. Derh yng memut titik (, ) bukn merupkn penyelesin (derh terrsir). Derh penyelesinny merupkn derh tnp rsirn seperti pd gmbr - Contoh Tentukn penyelesin dri x, y, x y, dn x y -, (x, y B). Untuk y mempunyi persmn gris y dn y. Derh penyelesin dlh derh di ntr y dn y. Untuk x y mempunyi persmn x y dn titik potong grfik dengn sumbu koordint dpt dicri seperti berikut ini. x y Titik potong dengn sumbu koordint dlh (, ) dn (, ) Ambillh titik P(, ) sebgi titik uji pd x y, dn diperoleh. Derh yng memut titik P merupkn penyelesin (derh tidk terrsir). x y - mempunyi persmn x y - dn titik potong grfik dengn sumbu koordint dpt dicri seperti berikut ini. Gmbr -7 HP dri x, y, x y, dn x y -

132 BAB IV Progrm Linier x - y Titik potong dengn sumbu koordint dlh (-, ) dn (, ). Ambillh titik P(, ) sebgi titik uji pd x y -, dn diperoleh. -. Derh yng memut titik P merupkn penyelesin (derh tidk terrsir). Penyelesin dri sistem pertidksmn ditunjukkn oleh nokth-nokth pd derh penyelesin, kren x dn y merupkn bilngn bult seperti ditunjukkn pd gmbr,7 di ts. Jik dicri himpunn penyelesinny dlh HP {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) (, ), (, ), (, )}. Contoh 7 Derh HP dri gmbr -8 di smping merupkn himpunn penyelesin dri sutu sistem pertidksmn. Tentukn sistem pertidksmn tersebut. Untuk menyelesikn sol tersebut, yng pertm dilkukn dlh mencri persmn gris yng mellui titik-titik pd gmbr -8 dengn menggunkn rumus persmn gris yng mellui titik (x, y ) dn (x, y ) sebgi berikut. y y x x y y x x Gmbr -8 Derh HP dri sutu sistem pertidksmn Mislkn g dlh gris yng mellui titik (, ) dn (, ), mk g dlh y x y x y x x y dn g dlh gris yng mellui titik (, ) dn (, ), mk g dlh y x y x y x x y Dengn demikin sistem pertidksmn Derh yng dirsir terletk pd dri derh yng dirsir dlh sebelh knn sumbu y, mk x ; x sebelh ts sumbu x, mk y ; sebelh bwh gris g mk x y ; y sebelh bwh gris g, mk x y. x y x y Untuk mencri persmn gris yng memotong sumbu x dn sumbu y di titik (, ) dn (, b) dpt digunkn rumus bx y b Contoh penggunn rumus tersebut dpt diliht pd contoh di bwh ini.

133 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi Contoh 8 Derh yng dirsir dri gmbr -9 merupkn himpunn penyelesin dri sutu sistem pertidksmn. Tentukn sistem pertidksmn tersebut. Persmn gris g mellui titik (, ) dn (, ) dlh: x y 8 x y Gmbr: -9 Derh HP dri sutu sistem pertidksmn Persmn gris g mellui titik (, ) dn (, ) dlh x y Selin dibtsi oleh gris-gris di ts jug dibtsi oleh gris x dn y. Derh yng dirsir terletk: Sebelh knn sumbu y, mk x Sebelh ts sumbu x, mk y Sebelh ts gris g, mk x y Sebelh ts gris g, mk x y Sehingg sistem pertidksmn dri derh yng dirsir dlh x y x y x y B. Rngkumn Grfik Himpunn Penyelesin Sistem Pertidksmn Linier. Pertidksmn linier du vribel yitu pertidksmn yng memut du peubh mislny x dn y. Himpunn penyelesin pertidksmn tersebut dpt disjikn dlm bidng crtesius. Bentuk umumny dlh x by < c, x by c, x by c tu x by > c.. Lngkh-lngkh yng ditempuh untuk menyelesikn derh himpunn penyelesin pertidksmn linier du vribel dlh sebgi berikut.. Gmbrlh gris x by c pd bidng crtesius dengn cr mencri titiktitik potong grfik dengn sumbu x ( y ) dn sumbu y ( x ). b. Ambil titik sembrng P(x, y ) yng bukn terletk pd gris tersebut, kemudin dihitung nili dri x by untuk mengethui pkh nili P terletk pd derh penyelesin tu tidk. c. Derh yng bukn merupkn penyelesin diberi rsirn, sehingg derh penyelesinny merupkn derh tnp rsirn. Hl ini sngt membntu pd st menentukn derh yng memenuhi terhdp beberp pertidksmn.. Untuk menyelesikn sol-sol pertidksmn membutuhkn rumus-rumus berikut:. Rumus persmn gris yng mellui titik (x, y ) dn (x, y ), yitu y y x x y y x x b. Persmn gris yng memotong sumbu x dn y di titik (, ) dn(, b) dpt digunkn rumus bx y b

134 BAB IV Progrm Linier. Tentukn himpunn penyelesin dri pertidksmn di bwh ini.. x e. - x i. x y b. x - f. x j. -x y c. y g. - y k. x y d. y - h. y l. x y. Tentukn himpunn penyelesin dri sistem pertidksmn di bwh ini.. x, y, x y h. x, y, x y b. x, y, x y i. x, - y, x y c. x, y, x y j. - x, y, -x y d. x, y, x y k. x, y, x y 8, x y e. x, y, x y l. x, y, x y, x y f. x -, y, x y m. x, y, x y, x y g. x y, x y n. x, y, x y 8, x y. Tentukn himpunn penyelesin dri sistem pertidksmn berikut untuk x dn y nggot bilngn bult.. x, y, x d. x, y, x y b. x, y e. x, y, x y c. - x, y f. x, y, x y, x y 8. Tentukn sistem pertidksmn dri himpunn penyelesin yng disjikn dlm gmbr (derh dirsir) di bwh ini. (, )

135 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi C Model Mtemtik dri Sol Cerit (Klimt Verbl) Setelh mempeljri mteri pd kompetensi dsr ini, klin dihrpkn dpt: menjelskn pengertin model mtemtik, menyusun model mtemtik dlm bentuk sistem pertidksmn linier, menentukn derh penyelesin.. Pengertin Model Mtemtik Hl terpenting dlm mslh progrm linier dlh mengubh persoln verbl ke dlm bentuk model mtemtik (persmn tu pertidksmn) yng merupkn penyjin dri bhs sehri-hri ke dlm bhs mtemtik yng lebih sederhn dn mudh dimengerti. Jdi model mtemtik dlh sutu rumusn (dpt berup persmn, pertidksmn tu fungsi) yng diperoleh dri sutu penfsirn ketik menerjemhkn sutu sol verbl. Model mtemtik pd persoln progrm linier pd umumny membhs beberp hl, yitu:. Model mtemtik berbentuk sistem pertidksmn linier du peubh yng merupkn bgin kendl-kendl yng hrus dipenuhi oleh peubh itu sendiri. b. Model mtemtik yng berkitn dengn fungsi ssrn yng hendk dioptimlkn(minimlkn tu mksimlkn). Mengubh Klimt Verbl menjdi Model Mtemtik dlm Bentuk Sistem Pertidksmn Untuk mempermudh mengubh sol-sol verbl yng berbentuk progrm linier ke dlm model mtemtik digunkn tbel sebgi berikut : Vribel Vribel (x) Vribel (y) Persedin Vribel lin Vribel lin Vribel lin Contoh 9 Untuk membut roti A diperlukn grm tepung dn grm menteg. Sedngkn untuk roti B diperlukn grm tepung dn grm menteg. Tepung yng tersedi hny kg dn menteg yng d, kg. Jik hrg roti A Rp, dn roti B hrgny Rp,. Butlh model mtemtikny. Mislkn bnyk roti A x dn bnyk roti B y, berrti vribel yng lin dlh tepung dn menteg. Sehingg tbel yng diperoleh sebgi berikut : Vribel Roti A (x) Roti B (y) Persedin tepung grm grm grm menteg grm grm grm

136 BAB IV Progrm Linier Terigu dn menteg pling bnyk tersedi kg. grm dn, kg. grm jdi tnd pertidksmn <. Dri tbel dpt dibut pertidksmn: x y <. disederhnkn: x y <... () x y <. disederhnkn: x y < 8... () kren x dn y dlh bilngn bult yng tidk negtif mk: x >... () y >... () Gmbr - Toko roti keempt pertidksmn di ts merupkn persyrtn yng hrus dipenuhi disebut fungsi kendl. Hrg roti A Rp, dn roti B Rp,, mk hsil penjuln dpt dirumuskn dengn Z x y : Z disebut fungsi objektif tu fungsi ssrn yng dpt dimksimumkn tu diminimumkn. Contoh Seorng gen seped bermksud membeli buh seped untuk persedin. Hrg seped bis Rp., per buh dn seped federl Rp8., per buh. I merencnkn untuk tidk membelnjkn ungny lebih dri Rp.., dengn menghrp keuntungn Rp., per buh dri seped bis dn Rp., per buh dri seped federl. Butlh model mtemtikny. Mislkn x jumlh seped bis dn y jumlh seped federl, mk dpt dibut tbel sebgi berikut. Vribel Seped bis Seped federl (x) (y) Persedin Jumlh Modl Persedin seped dn modl pling bnyk buh dn Rp..,. Jdi tnd pertidksmn <, sehingg pertidksmnny sebgi berikut. x y <.... ().x 8. y <.. disederhnkn x y < () x >.... () dn y >.... () Bentuk objektifny Z. x. y

137 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi Contoh Seorng petni memerlukn pling sedikit unit zt kimi A dn unit zt kimi B untuk pupuk kebun syurny. Kedu zt kimi itu dpt diperoleh dri pupuk cir dn pupuk kering. Jik setip botol pupuk cir yng berhrg Rp., mengndung unit zt kimi A dn unit zt kimi B, sedngkn setip kntong pupuk kering yng berhrg Rp., mengndung unit zt kimi A dn unit zt kimi B. Butlh model mtemtikny, sehingg petni dlm membeli du jenis pupuk tersebut mengelurkn biy seminiml mungkin. Mislkn bnyk botol pupuk cir x dn bnyk kntong pupuk kering y, berrti vribel yng lin dlh zt kimi A dn zt kimi B. Dengn demikin tbel yng diperoleh dlh sebgi berikut Vribel Pupuk cir Pupuk kering (x) (y) Persedin Zt kimi A Zt kimi B Zt kimi A dn zt kimi B pling sedikit unit dn unit. Jdi, tnd pertidksmn dlh. Dri tbel dpt dibut pertidksmn: x y.... () x y.... () kren x dn y dlh bilngn bult yng tidk negtif, mk: x.... () y.... () Dengn hrg per botol pupuk cir Rp., dn per kntong pupuk kering Rp.,, mk pengelurn petni untuk membeli pupuk dirumuskn dengn fungsi obyektif Z.x.y Contoh Pengembng PT Bngun Propertindo membngun tig jenis rumh, yitu tipe, tipe, dn tipe di derh Tngerng provinsi Bnten..Lus tnh yng diperlukn untuk membngun msing-msing tipe dlh m, 7 m, dn 9 m untuk tip unitny. Tnh yng tersedi selus hektr. Tnh yng tersedi digunkn jug untuk membut jln sert diwjibkn menyedikn lhn untuk fsilits sosil dn umum (fsos dn fsum) yng lusny % dri tnh yng tersedi. Apbil bnykny rumh yng dpt dibngun msing-msing tipe dlh x, y, dn z unit, butlh model mtemtik dri persoln tersebut. Gmbr - Perumhn di Serpong

138 BAB IV Progrm Linier 7 Mislkn bnykny rumh yng dpt dibngun sebgi berikut. Rumh tipe dlh x unit, Rumh tipe dlh y unit, dn rumh tipe dlh z unit. Lus tnh yng digunkn untuk membngun rumh dlh L. Jdi, L lus tnh yng tersedi lus untuk jln dn fsos/fsum hektr %. hektr 7, hektr 7. m Dengn demikin model mtemtik dri persoln verbl tersebut dlh: x, y, z, x 7y 9z 7. Tnd dimksudkn bhw tip tipe rumh yng dibngun lebih dri sm dengn, sedngkn tnd untuk membtsi lus tnh mksimum yng tersedi. Persoln yng muncul bisny pd perushn, yitu bgimn memksimumkn keuntungn (pendptn) tu meminimumkn pengelurn dri bhn yng digunkn dlm memproduksi sutu brng tu js. Vribel tu fktor-fktor lin yng berkitn proses menentukn nili optimum (mksimum/minimum) perlu diperhitungkn. Pd pembhsn buku ini hny terdiri ts du peubh. Contoh Dri contoh, butlh derh penyelesinny. Contoh, diperoleh sistem pertidksmn: x y < x y < 8 x > y > dengn menggunkn cr menentukn derh penyelesin dri contoh diperoleh grfik derh penyelesin sebgi berikut. Gmbr - Derh HP x y < ; x y < 8; x > ; y >

139 8 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi D. Rngkumn Model Mtemtik dri Sol Cerit (Klimt Verbl). Untuk mempermudh mengubh sol-sol verbl yng berbentuk progrm linier ke dlm model mtemtik kit gunkn tbel sebgi berikut : Vribel Vribel (x) Vribel (y) Persedin Vribel lin Vribel lin Vribel lin. Sistem pertidksmn, jik persedin dlm sol verbl tersirt kt pling bnyk. Sistem pertidksmn, jik persedin dlm sol verbl tersirt kt pling sedikit. Dri sol-sol verbl di bwh ini, butlh model mtemtikny, bik fungsi kendl mupun fungsi ssrn. jik d. Kemudin tentukn derh penyelesinny.. Seorng petni ingin memupuk tnmn jgung dn kedeli msing-msing dengn grm Ure dn grm Z untuk jgung, sedngkn untuk kedeli gr ure dn gr Z. Petni tersebut memiliki hny 8 kg Ure dn kg Z.. Produk A membutuhkn kg bhn menth dn 8 jm wktu kerj mesin. Produk B membutuhkn kg bhn menth dn jm kerj mesin. Bhn menth yng tersedi 7 kg dn wktu kerj mesin 7 jm.. Seorng penjhit kn membut pkin jdi dengn persedin kin polos meter dn kin bergris meter. Model A membutuhkn meter kin polos dn, meter kin bergris. Model B membutuhkn meter kin polos dn, meter kin bergris. Keuntungn pkin model A sebesr Rp., dn pkin model B sebesr Rp.,.. Seorng pemilik toko septu ingin mengisi tokony dengn septu lki-lki pling sedikit 7 psng dn septu wnit pling sedikit psng. Toko tersebut hny dpt memut psng septu. Keuntungn setip psng septu lkilki sebesr Rp., dn septu wnit Rp.,.. Seorng pengush ingin menyewkn rumhny kepd orng mhsisw. Pengush tersebut membngun rumh tidk lebih dri rumh yng terdiri ts tipe I (untuk orng) disewkn Rp.,/buln dn tipe II (untuk orng) disewkn Rp7.,/buln.. Seorng penjg buh-buhn yng menggunkn gerobk menjul Apel dn jeruk. Hrg pembelin pel Rp., tip kg dn jeruk Rp., tip kg. Pedgng tersebut hny mempunyi modl Rp.., dn mutn gerobk tidk melebihi kg. 7. Dikethui lus derh prkir m. Jik lus rt-rt sebuh mobil m dn sebuh bus m, dn derh prkir tidk dpt memut lebih dri

140 BAB IV Progrm Linier 9 kendrn. Biy prkir untuk sebuh mobil Rp., dn sebuh bus Rp.,. 8. Li membeli kue A dengn hrg Rp., dn kue B sehrg Rp.,. Modl yng dimiliki Li tidk lebih dri Rp.,. Li dpt menjul kue A dengn hrg Rp., dn kue B dengn hrg Rp.,. Li hny dpt menjul kedu kue sebnyk buh sj setip hri. 9. Seorng penjhit mempunyi bhn meter wol dn meter ktun. I kn membut seteln js dn rok untuk dijul. Stu setel js memerlukn meter wol dn meter ktun, sedngkn untuk rok memerlukn meter wol dn meter ktun. Keuntungn dri setel js Rp7., dn setel rok Rp.,.. Seorng pengush mteril hendk mengngkut ton brng dri gudng A ke gudng B. Untuk keperlun ini sekurng-kurngny diperlukn kendrn truk yng terdiri ts truk jenis dengn kpsits ton dn truk jenis dengn kpsits ton. Biy sew truk jenis dlh Rp., dn truk jenis dlh Rp.,. E. Nili Optimum dri Sistem Pertidksmn Linier Setelh mempeljri mteri pd kompetensi dsr ini, klin dihrpkn dpt: menentukn titik optimum dri derh himpunn penyelesin sistem pertidksmn linier, dn menentukn nili optimum dri fungsi obyektif. Nili Optimum Fungsi Ssrn dri Derh Sistem Pertidksmn Linier Hl terpenting dlm mslh progrm linier dlh mengubh persoln verbl ke dlm bentuk model mtemtik (persmn tu pertidksmn) yng merupkn penyjin dri bhs sehri-hri ke dlm bhs mtemtik yng lebih sederhn dn mudh dimengerti. Pd pembhsn dlm buku ini hny menyjikn model mtemtik sederhn yng hny melibtkn du vribel dn penentun nili optimum dengn menggunkn uji titik pojok. Lngkh-lngkh yng ditempuh untuk mendptkn nili optimum dlh sebgi berikut.. Ubhlh persoln verbl ke dlm model mtemtik (dlm bentuk sistem pertidksmn). b. Tentukn Himpunn Penyelesin (derh fesible). c. Tentukn semu titik-titik pojok pd derh fesible tersebut d. Hitung nili bentuk objektif untuk setip titik pojok dlm derh fesible. e. Dri hsil pd lngkh d, nili mksimum tu minimum dpt ditetpkn. Contoh Tentukn nili mksimum dn minimum dri Z x y, dengn syrt: x y 8; x y ; x ; y Dengn cr seperti contoh sebelumny, sistem pertidksmn tersebut mempunyi

141 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi himpunn penyelesin seperti tmpk pd gmbr - yng merupkn derh tnp rsirn. Himpunn Penyelesin sistem pertidksmn berup segi empt dengn titik pojok O, A, B dn C. Titik B dpt dicri dengn cr eliminsi/substitusi ntr gris x y 8 dn x y, yitu x y 8 x y y Gmbr - Derh HP dri x y 8; x y ; x ; y Kemudin diuji titik-titik pojokny yng ditunjukkn pd tbel berikut Titik x y x y O (,) A (,) B (,) C (,) Jdi, nili mksimum dlh, terjdi untuk x dn y. Sedngkn nili minimum sm dengn untuk x dn y. Contoh Tentukn nili mksimum dn minimum Z x y dri derh fesible yng ditunjukkn pd gmbr - Dengn menggunkn uji titik pojok nili mksimum dn minimum dicri seperti ditunjukkn pd tbel di bwh ini x x, sehingg titik B(, ) Titik x y x y (, ) (, ) (7, ) 7 (, ) (, ) 9 Gmbr - Derh fesible sistem pertidksmn Dri tbel terliht bhw nili mksimum dlh terjdi pd titik (7, ) dn nili minimum terjdi pd titik (, ). Contoh Sebuh peswt terbng mempunyi kpsits tempt duduk tidk lebih dri 8 orng. Setip penumpng kels utm dpt membw bgsi sebert kg dn kels ekonomi kg, sedngkn peswt tersebut mempunyi kpsits bgsi tidk lebih dri. kg. Apbil hrg tiket untuk kels utm dn ekonomi msing-msing

142 BAB IV Progrm Linier dlh Rp.., dn Rp., per orng, tentukn bnykny penumpng setip kels gr hsil penjuln tiket mksimum. Model mtemtik disusun dengn memislkn bnykny penumpng kels utm x orng bnykny penumpng kels ekonomi y orng Penumpng Bgsi Hrg tiket x kg.., y kg., 8. Mksimumkn Z..x.y Syrt dy tmpung : x y 8 Syrt kpsits bgsi: x y x ; y Dri model mtemtik di dpt derh fesible OABC dengn titik B dicri seperti berikut x y x x y x y 8 x x y 9 x 8 x y 8 y koordint titik B(, ) Uji titik-titik pojok, yitu titik-titik O, A, B, dn C. Titik x y..x.y O (,) A (,) B (,) C (,8) Gmbr - Derh HP dri x y 8; x y 7 ; x ; y Nili mksimum Z dlh Rp.., dipenuhi oleh x dn y, tu dengn kt lin penjuln tiket kn mksimum jik bnykny penumpng kels utm sebnyk orng dn kels ekonomi orng. Contoh 7 Kebutuhn gizi minimum tip psien sutu rumh skit per hriny dlh unit klori dn unit protein. Apbil dlm tip kilogrm dging mengndung unit klori dn unit protein, sedngkn setip ikn bsh mengndung unit klori dn protein dengn hrg msing-msing kilogrmny dlh Rp., dn Rp.,. Tentukn biy minimum untuk kebutuhn psien tip hriny pd rumh skit tersebut.

143 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi Model mtemtik disusun dengn memislkn Bnykny dging spi perhriny x kg Bnykny ikn bsh perhriny y kg Bnykny Klori Protein Hrg x /kg /kg. y /kg /kg. /orng /orng Meminimumkn biy, Z.x.y Syrt klori orng, x y. x y Syrt protein orng, x y. x y x ; y Dri model mtemtik didpt derh fesible ABC (derh tk terrsir) pd gmbr - dengn titik B dicri seperti berikut x y x x y x y x x y - y y x () x koordint titik B(, ) Uji titik-titik pojok, yitu titik-titik A, B dn C. Titik x y.x.y A (, ) B (, ) C (, ) Jdi, biy minimum tip hri untuk psien dlh Rp9., yitu untuk kg dging dn kg ikn perhriny. Gmbr - Derh HP dri x y ; x y ; x ; y Contoh 8 Sutu perushn mengelurkn sejenis brng yng diperoduksi dlm tig ukurn, yitu ukurn besr, ukurn sedng dn ukurn kecil. Ketig ukurn itu dihsilkn dengn menggunkn mesin I dn mesin II. Mesin I setip hri menghsilkn ton ukurn besr, ton ukurn sedng dn ton ukurn kecil. Mesin II setip hri menghsilkn msing-msing ukurn sebnyk ton. Perushn itu bermksud memperoduksi pling sedikit 8 ton ukurn besr, ton ukurn sedng dn ton ukurn kecil. Bil biy opersi mesin I dlh Rp., tip hri dn mesin II dlh Rp., tip hri. Dlm berp hri msing-msing mesin bekerj untuk pengelurn biy sekecil-kecilny dn berp biy tersebut. Model mtemtik disusun dengn memislkn: Jumlh hri kerj mesin I dlh x Jumlh hri kerj mesin II dlh y

144 BAB IV Progrm Linier Dengn menggunkn tbel diperoleh sebgi berikut Mesin I(x) Mesin II(y) Persedin Ukurn besr ton ton 8 ton Ukurn sedng ton ton ton Ukurn kecil ton ton ton Fungsi objektifny Z.x.y Syrt ukurn besr x y > 8 Syrt ukurn sedng x y > Syrt ukurn kecil x y > Dengn cr seperti contoh sebelumny, sistem pertidksmn tersebut mempunyi himpunn penyelesin seperti tmpk pd gmbr -7 yng merupkn derh tnp rsirn Gmbr -7 Derh HP dri x y 8; x y ; x y > ; x ; y Titik A ditentukn dengn cr eliminsi tu substitusi persmn gris x y dn x y diperoleh x dn y. Titik B ditentukn dengn cr eliminsi tu substitusi persmn gris x y dn x y 8 diperoleh x dn y Dri derh penyelesin di smping, mk dpt disimpulkn bhw derh penyelesin tersebut tidk memiliki nili mksimum. Uji titik pojok, yitu koordint (, ), A(, ), B(, ), dn (8, ), yitu: Titik x y.x.y Jdi, untuk biy minimum, mesin (, ).. I bekerj hri dn mesin II A(, ).. hri dengn biy minimum B(, ) 8.. sebesr Rp8.., (8, ) 8.. F. Rngkumn Nili Optimum dri Sistem Pertidksmn Linier Lngkh-lngkh yng ditempuh untuk mendptkn nili optimum dri sol verbl dlh sebgi berikut,. Ubhlh persoln verbl ke dlm model mtemtik (dlm bentuk sistem pertidksmn). b. Tentukn himpunn penyelesin (derh fesible). c. Tentukn semu titik-titik pojok pd derh fesible tersebut. d. Hitung nili bentuk objektif untuk setip titik pojok dlm derh fesible. e. Dri hsil pd lngkh d, nili mksimum tu minimum dpt ditetpkn.

145 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi. Untuk sol-sol berikut, tentukn nili x dn y yng memberikn nili optimum sert nili mksimum tu minimum dri bentuk objektif tersebut dengn menggunkn metode titik pojok.. x y ; x y ; x ; y ; bentuk objektif Z x y. b. x y ; x y ; x ; y ; bentuk objektif Z x y. c. x y 8 ; x y ; x ; y ; bentuk objektif Z x y. d. x y 8 ; x y ; x ; y ; bentuk objektif Z x y. e. x y ; x y ; y ; x ; y ; bentuk objektif Z x y.. Tentukn nili mksimum dn minimum z x y dri derh fesible berikut ini. Sutu jenis roti membutuhkn grm tepung dn grm menteg, sedngkn jenis yng lin membutuhkn 7 grm tepung dn 7 grm menteg. Bhn yng tersedi dlh, kg tepung dn, kg meteg. Keuntungn yng diperoleh dri hsil penjuln roti jenis pertm dn kedu msing-msing Rp, dn Rp,. Tentukn tip-tip jenis roti yng hrus dibut supy didpt hsil keuntungn yng mksimum.. Seorng pemborong merencnkn membngun tipe rumh dengn ukurn T. dn T.7. Untuk itu, i memint ung muk msing-msing jut untuk rumh T. dn jut untuk T.7 dn i menghrpkn ung muk yng msuk pling sedikit jut rupih dri pling sedikit buh rumh yng hendk dibngunny. Biy pembutn tip rumh dlh jut untuk T. dn 7 jut untuk T.7. Tentukn biy miniml yng hrus disedikn untuk membngun rumhrumh tersebut.. Untuk mengngkut ton brng ke tempt penyimpnn diperlukn lt pengngkut. Untuk keperlun itu disew du jenis truk, yitu jenis I dengn kpsits ton dn jenis II dengn kpsits ton. Sew tip truk jenis I dlh Rp., sekli jln dn Rp., untuk jenis II. I dihruskn menyew truk itu sekurng-kurngny buh. Berpkh bnykny tip jenis truk yng hrus disew gr biy yng dikelurkn sekecil-kecilny dn tentukn biy minimum tersebut?. Seorng pemborong mempunyi persedin ct wrn cokelt kleng dn bubu kleng. Pemborong tersebut mendpt twrn untuk menct rung tmu dn rung tidur di sutu gedung. Setelh diklkulsi ternyt rung tmu menghbiskn kleng ct wrn cokelt dn kleng wrn bu-bu. Sedng rung tidur menghbiskn kleng ct wrn cokelt dn kleng wrn bubu. Biy yng ditwrkn pd pemborong setip rung tmu Rp., dn

146 BAB IV Progrm Linier tip rung tidur Rp.,. Berpkh pendptn mksimum yng dpt diterim pemborong? 7. Pengush logm membut logm cmpurn sebgi berikut. Logm I terdiri ts bj, besi, dn luminium dengn perbndingn : :. Logm II terdiri ts bj, besi, dn luminium dengn perbndingn : :. Sedngkn bj, besi dn luminium hny tersedi 8 ton, ton dn 9 ton. Logm I dijul dengn hrg Rp.., per ton dn logm II dijul dengn hrg Rp.., per ton. Tentukn berp ton logm I dn logm II yng hrus diproduksi supy mendptkn hsil mksimum dn berpkh hsil mksimum tersebut. 8. Seorng petni menghdpi sutu mslh sebgi berikut. Agr seht, setip spi hrus diberi mknn yng mengndung pling sedikit 7,, dn stun unsur nutrisi jenis P, Q, dn R setip hriny. Du jenis mknn I dn mknn II diberikn kepd spi tersebut. Stu kg jenis mknn I mengndung unsur nutrisi jenis P, Q, dn R msing-msing sebesr,, dn stun. Sedngkn stu kg jenis mknn II mengndung unsur nutrisi jenis P, Q, dn R msing-msing sebesr,, dn stun. Hrg stu kg mknn I dn mknn II dlh Rp., dn Rp.,. Petni tersebut hrus memutuskn pkh hny membeli stu jenis mknn sj tu kedu-duny kemudin mencmpurny, gr petni tersebut mengelurkn ung sekecil mungkin. Butlh model mtemtik dri persoln di ts, kemudin tentukn besrny pengelurn petni tersebut. 9. Seorng pedgng pling sedikit menyew kendrn untuk jenis truk dn colt dengn jumlh yng dingkut krung. Truk dpt mengngkut krung dn colt 8 krung. Ongkos sew truk Rp., dn colt Rp7., tentukn jumlh kendrn msing-msing yng hrus disew gr ongkos miniml dn tentukn pul ongkos minimumny.. Sebuh rumh skit untuk merwt psienny, setip hri membutuhkn pling sedikit. unit klori dn. unit protein. Setip kg dging spi mengndung unit klori dn unit protein, sedngkn setip kg ikn segr mengndung unit klori dn unit protein. Hrg per kg dging spi dn ikn segr msing-msing Rp., dn Rp.,. Tentukn berp kg dging spi dn ikn segr yng hrus disedikn rumh skit supy mengelurkn biy sekecil mungkin.

147 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi G. Gris Selidik Setelh mempeljri mteri pd kompetensi dsr ini, klin dihrpkn dpt: menjelskn pengertin gris selidik, membut gris selidik menggunkn fungsi obyektif, dn menentukn nili optimum menggunkn gris selidik. Gris selidik dlh sutu gris yng digunkn untuk menyelidiki nili optimum (mksimum tu minimum) yng diperoleh dri fungsi ssrn tu fungsi objektif. Nili optimum (mksimum dn minimum) bentuk objektif dri himpunn penyelesin sistem pertidksmn selin dengn menggunkn metode titik pojok dpt jug dicri dengn menggunkn gris selidik. Lngkh-lngkh yng diperlukn untuk mencri nili optimum dengn menggunkn metode gris selidik dlh sebgi berikut. Butlh gris x by k, dimn x by merupkn bentuk objektif yng dicri nili optimumny. Untuk mempermudh, mbil k b. b. Butlh gris-gris sejjr x by k, yitu dengn cr mengmbil k yng berbed tu menggeser gris x by k ke kiri tu ke knn. i) Jik x by k dlh gris yng pling kiri pd derh penyelesin yng mellui titik (x, y ), mk k x by merupkn nili minimum. ii) Jik x by k dlh gris yng pling knn pd derh penyelesin yng mellui titik (x, y ), mk k x by merupkn nili mksimum bentuk objektif tersebut. Contoh 9 Dengn menggunkn gris selidik, tentukn nili mksimum dn minimum dri fungsi objektif z x y pd derh fesible yng ditunjukkn pd gmbr -8 x Gmbr -8 Derh fesible Sistem pertidksmn Untuk menentukn mksimum dn minimum yng pertm dilkukn dlh dengn membut persmn gris dri fungsi objektif yng dikethui yitu x y k, dn dinmi dengn gris g. y HP Perhtikn Gmbr -9. Geserlh gris g sehingg memotong derh fesible di titik yng pling kiri, yitu gris g yng merupkn gris yng sejjr dengn gris g dn tept mellui titik (, ). Dengn demikin nili minimum Z dlh k () () 8. Sedngkn gris g merupkn gris yng pling knn dn tept mellui titik (, ). Dengn demikin nili mksimum Z dlh k () (). Gmbr -9 titik optimum dengn gris selidik

148 BAB IV Progrm Linier 7 Contoh Tentukn nili mksimum dn minimum z x y dri derh fesible yng dibtsi oleh x y 8; x y ; x ; y ; x, y R Persmn gris dri fungsi objektif yng dikethui, yitu x y k, dn dinmi dengn gris g. Perhtikn gmbr - yng merupkn derh fesible (derh terrsir) dri sistem pertidksmn yng dikethui. Geserlh gris g, sehingg memotong derh fesible di titik yng pling kiri, yitu gris g yng merupkn gris yng sejjr dengn gris g dn tept mellui titik (, ). Nili minimum Z dlh k () (). Sedngkn gris g merupkn gris yng pling knn dn tept mellui titik (, ), sehingg nili mksimum Z dlh k () (). Gmbr - Nili mksimum derh fesible dengn gris selidik Contoh Sebuh perushn PT Ush Rotnindo di Cirebon memproduksi du jenis mebel rotn, yitu jenis mebel kursi dn mej. Kpsits produksi perushn itu tidk kurng dri unit brng per buln. Dri bgin mrketing diperoleh informsi bhw dlm tip buln terjul tidk lebih dri unit untuk jenis kursi dn 7 unit untuk jenis mej. Keuntungn yng diperoleh untuk tip unit kursi dlh Rp., dn mej sebesr Rp.,. Berpkh bnykny mebel jenis kursi dn mej yng hrus diproduksi gr keuntungn yng diperoleh sebesr-besrny? Model mtemtik disusun dengn memislkn bnykny mebel kursi yng terjul x unit bnykny mej yng terjul y unit Bnykny penjuln Keuntungn x. y 7.. Memksimumkn keuntungn Z.x.y Syrt produksi x y. Syrt penjuln x, y 7 x ; y

149 8 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi Perhtikn gmbr - yng merupkn derh fesible (derh terrsir) dri sistem model mtemtik yng dikethui. Geserlh gris g, sehingg memotong derh fesible di titik yng pling kiri, yitu gris g dn tept mellui titik B(, 7). Nili minimum Z dlh k.().(7).. Sedngkn gris g merupkn gris yng pling knn dn tept mellui titik (, 7), sehingg nili mksimum Z dlh k.().(7) 8.. Gmbr - Nili mksimum derh fesible dengn gris selidik H. Rngkumn Gris Selidik. Gris selidik dlh sutu gris yng digunkn untuk menyelidiki nili optimum (mksimum tu minimum) yng diperoleh dri fungsi ssrn tu fungsi obyektif. Lngkh-lngkh yng diperlukn untuk mencri nili optimum dengn menggunkn metode gris selidik dlh sebgi berikut:. Butlh gris x by k, dimn x by merupkn bentuk objektif yng dicri nili optimumny. Untuk mempermudh, mbil k b. b. Butlh gris-gris sejjr x by k yitu dengn cr mengmbil k yng berbed tu menggeser gris x by k ke kiri tu ke knn. i) Jik x by k dlh gris yng pling kiri pd derh penyelesin yng mellui titik (x, y ) mk k x by merupkn nili minimum. ii) Jik x by k dlh gris yng pling knn pd derh penyelesin yng mellui titik (x, y ) mk k x by merupkn nili mksimum bentuk objektif tersebut.. Untuk sol-sol berikut, tentukn nili x dn y yng memberikn nili optimum sert nili mksimum tu minimum dri bentuk objektif tersebut dengn menggunkn metode gris selidik.. x y ; x y 8 ; x ; y ; bentuk objektif Z x y b. x y ; x y ; x ; y ; bentuk objektif Z x y c. x y ; x y ; x ; y ; bentuk objektif Z x y d. x y ; x y ; x ; y ; bentuk objektif Z x y e. x y ; x y ; x ; y ; bentuk objektif Z x y

150 BAB IV Progrm Linier 9. Tentukn nili mksimum dn minimum z x y dri derh fesible berikut.. Sutu jenis roti membutuhkn grm tepung dn grm menteg, sedngkn jenis yng lin membutuhkn 7 grm tepung dn 7 grm menteg. Bhn yng tersedi dlh 9 kg tepung dn kg menteg. Keuntungn yng diperoleh dri hsil penjuln roti jenis pertm dn kedu msing-msing Rp, dn Rp,. Tentukn tip-tip jenis roti yng hrus dibut supy didpt hsil keuntungn yng mksimum dn tentukn pul keuntungn mksimum tersebut.. Sebuh toko seped menyedikn du jenis seped, yitu seped dengn stng dn tnp stng yng msing-msing hrgny Rp., dn Rp.,. Kpsits toko tersebut tidk lebih dri buh seped. Keuntungn dri setip penjuln seped dengn stng dn tnp stng msing-msing Rp., dn Rp.,. Modl yng dimiliki pemilik toko sebesr Rp..,. Tentuknlh:. bnykny msing-msing jenis seped yng hrus disedikn gr diperoleh keuntungn yng sebnyk-bnykny. b. berpkh keuntungn mksimum tersebut.. Pengembng rumh sederhn menyedikn rumh tipe dn tipe dengn hrg jul msing-msing Rp.., dn Rp..,. Lus tnh yng diperlukn untuk membngun tipe dlh m dn tipe dlh 7 m. Sedngkn lhn yng tersedi. m. Biy untuk membngun rumh-rumh tersebut bersl dri kredit sutu bnk swst yng besrny tidk lebih dri Rp...,. Apbil dihrpkn keuntungn sebesr Rp.., untuk tip unit penjuln tipe dn Rp.., untuk tipe, tentuknlh:. bnykny msing-msing rumh yng hrus dibngun gr diperoleh keuntung yng sebesr-besrny. b. keuntungn mksimum tersebut. A. Sol Pilihn Gnd Pilihlh slh stu jwbn, b, c, d, tu e yng dinggp benr.. Sebuh hotel mempunyi du tipe kmr yng msing-msing berdy tmpung orng dn orng. Jik jumlh kmr seluruhny kmr dn dy tmpung keseluruhn 8 orng, mk bnykny kmr yng berdy tmpung orng dlh..... c. e. b. d.

151 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi. Seorng pemborong pengectn rumh mempunyi persedin 8 kleng ct wrn putih dn kleng wrn bu-bu. Pemborong tersebut mendpt twrn untuk mengect rung tmu dn rung tidur. Setelh dihitung ternyt rung tmu menghbiskn kleng ct putih dn kleng bu-bu. Sedngkn rung tidur menghbiskn msing-msing kleng. Jik bnykny rung tmu dinytkn dengn x dn rung tidur dengn y, mk model mtemtik dri pernytn di ts dlh..... x y 8 ; x y ; x ; y b. x y 8 ; x y ; x ; y c. x y 8 ; x y ; x ; y d. x y 8 ; x y ; x ; y e. x y 8 ; x y ; x ; y. Derh penyelesin model mtemtik yng ditunjukkn oleh sistem pertidksmn: x y ; 7x y 7 x y ; x ; y dlh derh yng ditunjukkn oleh..... I c. III e. V b. II d. IV. Nili minimum fungsi objektif f(x, y) x y dri sistem pertidksmn x y ; x y ; x ; y dlh..... c. e. b. d.. Sutu peswt mempunyi tempt duduk tidk lebih dri 8 penumpng. Setip penumpng kels utm boleh membw bgsi kg sedngkn kels ekonomi kg. Peswt itu hny dpt membw bgsi. kg. Bil x dn y berturutturut menytkn bnykny penumpng kels utm dn ekonomi, mk model mtemtik dri persoln di ts dlh..... x y 8 ; x y 7 ; x ; y b. x y 8 ; x y 7 ; x ; y c. x y 8 ; x y 7 ; x ; y d. x y 8 ; x y 7; x ; y e. x y 8 ; x y > 7 ; x ; y. Derh yng dirsir dri gmbr di smping dlh himpunn penyelesin dri sistem pertidksmn..... x y ; x y ; x ; y b. x y ; x y ; x ; y c. x y ; x y ; x ; y d. x y ; x y ; x ; y e. x y ; x y ; x ; y y X -

152 BAB IV Progrm Linier 7. Derh yng dirsir pd gmbr di smping dlh himpunn penyelesin sutu sistem pertidksmn. Nili mksimum untuk x y dri derh penyelesin tersebut dlh..... c. e. b. 8 d. 8. Seorng penjul buh-buhn yng menggunkn gerobk mempunyi modl Rp..,. I telh membeli jeruk dengn hrg Rp., per kg dn pisng Rp., per kg. Bnykny jeruk yng dibeli x kg dn pisng y kg. Sedngkn mutn gerobk tidk dpt melebihi kg sehingg sistem pertidksmn yng memenuhi permslhn di ts dlh..... x y. ; x y ; x ; y b. x y. ; x y ; x ; y c. x y. ; x y ; x ; y d. x y. ; x y ; x ; y e. x y 7 ; x y ; x ; y 9. Derh penyelesin model mtemtik yng ditunjukkn sistem pertidksmn x y ; x y 8; x 8; y dlh derh yng ditunjukkn oleh..... I c. III e. V b. II d. IV. Pk Dud membeli es krim jenis I dengn hrg per buh Rp, dn jenis II Rp,. Lemri es yng dipunyi untuk menyimpn es tersebut tidk dpt memut lebih dri buh, sementr ung yng dimiliki Pk Dud dlh Rp.,. Jik es krim tersebut dijul kembli dengn mengmbil untung msing-msing jenis Rp, per buh, mk bnykny es krim jenis I dn II yng dijul Pk Dud jik terjul seluruhny dn mendpt untung yng sebesrbesrny, msing-msing dlh..... dn c. dn e. dn b. dn d. 7 dn. Tempt prkir selus m dpt menmpung tidk lebih dri kendrn. Untuk prkir sebuh sedn diperlukn rt-rt m dn sebuh bus m. Jik bnykny sedn dinytkn dlm x dn bus y, mk model mtemtik dri pernytn di ts dlh..... x y ; x y ; x ; y b. x y < ; x y < ; x ; y c. x y ; x y < ; x ; y d. x y < ; x y < ; x ; y e. x y ; x y ; x ; y

153 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi. Derh yng dirsir pd gmbr di smping merupkn penyelesin sistem pertidksmn linier. Nili mksimum fungsi objektif f(x,y) x y dlh c. e. b. d. 8. Derh penyelesin dri sistem pertidksmn x y ; x y ; x ; y Pd gmbr di smping dlh..... I c. III e. V b. II d. IV. Dengn persedin kin polos m dn kin bergris m seorng penjhit kn membut pkin jdi. Model I memerlukn m kin polos dn, m kin bergris, model II memerlukn m kin polos dn, kin bergris. Jumlh totl pkin jdi kn mksimum, jik model I dn II msing-msing..... dn 8 c. dn e. 7 dn b. dn 9 e. 8 dn 8. Nili mksimum dri bentuk objektif f(x,y) x y pd himpunn penyelesin pertidksmn x y 8; x y 7; x ; y dlh..... c. e. b. d. 8. Derh yng dirsir dlh himpunn penyelesin permslhn progrm linier. Nili mksimum dri z x y dlh b.. c. 8. d.. e.. 7. Derh yng memenuhi pertidksmn x y ; x y ; x ; y dlh..... I d. IV b. II e. V c. III y V III II IV I x 8. Seorng pemborong mempunyi persedin ct wrn cokelt kleng dn wrn bu-bu kleng. Pemborong tersebut mendpt twrn untuk menct

154 BAB IV Progrm Linier rung tmu dn rung tidur sutu gedung. Setelh diklkulsi ternyt rung tmu menghbiskn kleng ct wrn cokelt dn kleng ct wrn bu-bu. Sedngkn rung tidur menghbiskn kleng ct wrn cokelt dn kleng ct wrn bu-bu. Jik biy yng ditwrkn pemborong setip rung tmu Rp., dn rung tidur Rp.,, mk biy mksimum yng diterim pemborong dlh..... Rp.., c. Rp.., e. Rp.., b. Rp.., d. Rp.., 9. Nili minimum fungsi objektif Z x y yng memenuhi sistem pertidksmn: x y ; x y 9; x ; y dlh c. 8 e. b. d. 7. Derh penyelesin model mtemtik dri sistem Pertidksmn x y ; x y 9 x ; y ditunjukkn oleh grfik dismping pd ngk..... I c. III e. V b. II d. IV y V x y II IV III I x y x. Sebuh perushn bol lmpu menggunkn jenis mesin. Untuk membut bol lmpu jenis A memerlukn wktu menit pd mesin I dn menit pd mesin II. Bol lmpu jenis B memerlukn wktu menit pd mesin I dn 7 menit pd mesin II. Jik mesin I bekerj.8 menit dn mesin II bekerj. menit, mk model mtemtik dri permslhn di ts dlh..... x y.8, x 7y., x, y b. x 7y.8, x y., x, y c. x y., x 7y.8, x, y d. x y.8, x 7y., x, y e. x 7y., x y.8, x, y. Derh yng dirsir dlh derh himpunn penyelesin permslhn progrm linier. Nili minimum dri fungsi z x y dlh..... c. e. 9 b. 7 d. y A(,) E(, ) HP B(,) D(, ) C(, ) x. Nili mksimum bentuk objektif x y pd himpunn penyelesin sistem pertidksmn x, y, x y 7, dn x y 8, dlh..... c. 8 e.

155 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi b. d.. Derh yng dirsir pd gmbr di smping merupkn himpunn penyelesin sistem pertidksmn..... x y -, x y, x, y b. x y -, x y, x, y c. -x y -, x y, x, y d. -x y -, x y, x, y e. x y -, x y, x, y. Perhtikn gmbr di smping, yng merupkn himpunn penyelesin sistem pertidksmn berikut x y ; x y ; x y -, x ; y dlh derh..... I c. III e. V b. II d. IV y IV V I II III - x. Nili mksimum Z x y dri derh fesible pd gmbr di bwh ini terjdi di titik..... O b. A c. B d. C e. D 7. y 8 x Titik-titik pd gmbr di smping merupkn grfik himpunn penyelesin dri sistem pertidksmn. Nili mksimum dri z x y dlh..... c. e. b. 8 d. 8. Himpunn penyelesin dri sistem pertidksmn ditunjukkn pd gmbr di smping (derh terrsir). Sistem pertidksmn dri derh fesible tersebut dlh..... x y, -x y, x, y b. x y, -x y, x, y c. -x y, -x y, x, y d. -x y, x y, x, y e. x y, x y, x, y

156 BAB IV Progrm Linier 9. Seorng pedgng kue mempunyi persedin 9 kg tepung dn kg menteg. Pedgng memproduksi kue jenis isi pisng dn isi keju. Untuk membut kue jenis isi pisng memerlukn grm tepung dn grm menteg, sedngkn jenis isi keju memerlukn 7 grm tepung dn 7 grm menteg. Apbil hrg sebuh kue jenis isi pisng Rp., dn isi keju Rp.,, mk keuntungn mksimum pedgng dlh..... Rp., c. Rp., e. Rp., b. Rp., d. Rp.,. Nili minimum z x y pd himpunn penyelesin sistem pertidksmn x y 8, x y, x y 8, x, y dlh..... c. e. b. d.. Nili minimum dri bentuk objektif P x y pd derh penyelesin sistem pertidksmn: x y > 9 ; x y > ; x > ; y > dlh..... c. e. 8 b. d.. Seseorng memproduksi kecp dengn du mcm kulits yng setip hriny menghsilkn tidk lebih dri botol. Hrg bhn-bhn pembutn kecp per botol untuk kulits I dlh Rp., dn untuk kulits II dlh Rp.,. I tidk kn membelnjkn untuk pembutn kecp tidk lebih dri Rp.,. Jik bnykny kecp kulits I dlh x dn kulits II dlh y, mk model mtemtikny dlh..... x y < ; x y < ; x > ; y > b. x y < ; x y < ; x > ; y > c. x y > ; x y < ; x > ; y > d. x y > ; x y > ; x > ; y > e. x y > ; x y > ; x < ; y <. Seorng pedgng pling sedikit menyew kendrn untuk jenis truk dn colt dengn jumlh yng dingkut krung. Truk dpt mengngkut krung dn colt 8 krung. Jik ongkos sew truk Rp., dn colt Rp7.,, jumlh kendrn msing-msing yng hrus disew gr ongkos miniml dlh..... Colt buh dn tidk disew truk d. Colt buh dn truk buh b. Colt buh dn truk buh e. Hny disew truk buh c. Colt buh dn truk buh

157 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi. Rokok A yng hrg beliny Rp., per bungkus dijul dengn lb Rp, per bungkus, sedngkn rokok B hrg beliny Rp., dijul dengn lb Rp, per bungkus. Seorng pedgng rokok mempunyi modl Rp8., dn kiosny dpt menmpung bungkus rokok, kn memperoleh keuntungn sebesr-besrny jik i dpt menjul..... bungkus rokok A dn bungkus rokok B b. bungkus rokok A dn bungkus rokok B c. bungkus rokok A dn bungkus rokok B d. bungkus rokok A dn bungkus rokok B e. bungkus rokok A dn bungkus rokok B. Sutu Perushn mebel kn memproduksi mej dn kursi dri kyu. Untuk sebuh mej dn kursi dibutuhkn msing-msing keping ppn dn keping ppn. Sedngkn biy sebuh mej dlh Rp., dn kursi Rp.,. Perushn itu hny memiliki bhn keping ppn dn biy produksi yng kn dikelurkn tidk lebih dri Rp..,. Jik bnykny mej yng diproduksi x buh dn kursi y buh, mk model mtemtik perushn di ts dlh..... x y ; x y 8 ; x ; y b. x y ; x y 8 ; x ; y c. x y 8 ; x y 8 ; x ; y d. x y 8 ; x y 8 ; x ; y e. x y ; x y 8 ; x ; y. Derh yng disir pd gmbr di smping dlh himpunn penyelesin dri sistem pertidksmn.. x y < ; -x y > - ; x > ; y > b. x y < ; -x y < - ; x > ; y > c. x y > ; -x y >- ; x > ; y > d. x y > ; x y > ; x > ; y > e. -x y < ; x y < - ; x > ; y > 7. Dikethui fungsi objektif Z x 8y. Nili mksimum Z pd derh penyelesin sistem pertidksmn x y < ; x y < ; x y < ; x > ; y > ; x, y R dlh..... c. e. b. d. 8. Dikethui fungsi objektif P x y. Nili minimum P pd derh himpunn penyelesin sistem pertidksmn: x y > 9; x y > 7; x y < ; x > ; y > ; x, y R dlh c. e. b. 7 d. 9. Seorng gen seped bermksud membeli buh seped untuk persedin. Hrg seped bis Rp., per buh dn seped federl Rp8., per buh. I merencnkn untuk tidk membelnjkn ungny lebih dri Rp..,

158 BAB IV Progrm Linier 7 dengn menghrp keuntungn Rp., perbuh dri seped bis dn Rp., per buh dri seped federl. Keuntungn mksimum yng diperoleh gen seped tersebut dlh..... Rp.., c. Rp.., e. Rp.7., b. Rp.., d. Rp..,. Seorng pemilik toko septu ingin mengisi tokony dengn septu lki-lki pling sedikit psng dn septu wnit pling sedikit psng. Toko tersebut dpt memut psng septu. Keuntungn tip psng septu lki-lki dlh Rp., dn tip psng septu wnit dlh Rp.,. Jik bnyk septu lki-lki tidk boleh melebihi psng, mk keuntungn terbesr yng dpt diperoleh dlh..... Rp.7., c. Rp.., e. Rp.7., b. Rp.., d. Rp.., B. Sol Essy Jwblh pertnyn berikut dengn tept.. Pengembng perumhn mempunyi tnh selus. m kn dibngun tidk lebih dri unit rumh tipe dn. Tipe dn memerlukn lus tnh msing-msing 7 m dn m. Rumh-rumh tersebut kn dijul dengn hrg per unit Rp.., untuk tipe dn Rp.., untuk tipe.. Mislkn bnykny rumh tipe dn yng dpt dibngun dlh x dn y butlh model mtemtik dri persoln di ts. b. Tentukn derh penyelesinny (derh fesible) c. Tentukn bentuk objektif yng menytkn hsil penjuln rumh. d. Berpkh msing-msing tipe yng hrus dibngun gr mendptkn keuntungn yng sebesr-besrny (mksimum). e. Berpkh keuntungn mksimum tersebut.. Sebuh pbrik memproduksi biskuit yng dikems dlm bentuk kleng dengn isi kilogrm dn kg. Kpsits produksi tip hri tidk lebih dri kleng. Tip hri biskuit dengn kemsn kg tidk kurng dri kleng dn kemsn kg kleng. Keuntungn dri hsil penjuln Rp., per kleng dengn isi kg dn Rp7., untuk kemsn isi kg. Mislkn bnykny produksi tip jenis dlh x dn y. Tentuknlh:. model mtemtik dri persoln tersebut b. himpunn penyelesin (derh fesible) dri hsil pd. c. bnykny produksi msing-msing jenis gr diperoleh keuntungn mksimum dn berpkh keuntungn mksimumny

159 8 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi Rung Pengethun TIPS DAN TRIK MELAMAR KERJA Lmrn yng kit but memng hrus sesingkt mungkin, nmun tetp bis memsukkn semu unsur yng diperlukn seperti disebutkn di ts tdi. Solny, pemeriksn lmrn bisny dilkukn cept, sert si pemeriks hny meliht hl-hl yng dibutuhkn tu yng menjdi persyrtn. Dengn pertimbngn itu, kemungkinn klin dpt diterim jug sngt besr, kren menunjukkn klu klin merupkn clon pegwi potensil, dengn potensi yng klin miliki tersebut. Gmbr - Krywn kntor Sumber: CD Imge Jdi, jngn membut surt lmrn yng membingungkn dengn bermcm-mcm keterngn dlm stu bgin. Setidkny d empt bgin penting hrus dicntumkn. Cttn: Tip kop surt lmrn, bisny berisi nm, lmt, nomor telepon, sert e-mil. Bru kemudin posisi yng klin inginkn.. Pnjng Setip lmrn/cv sebikny jngn smpi melebihi tig lembr. Lebih bik du lembr sj. b. Lmpirn Tip sertifikt ijzh, tu surt-surt referensi tidk perlu dimsukkn dlm surt lmrn. Klin hrus menunjukknny st dtng dlm wwncr. Bil memng ingin melengkpi slh stu dokumen kdemik, lmpirkn ijsh terkhir sert referensi kerj sekrng. Sementr sol ps foto, yng pling populer digunkn selm ini memng seukurn ps foto untuk psport. Nmun, sol ukurn ini bisny ditentukn oleh pemsng ikln dn bisny tidk menjdi mslh. c. Lmrn Lewt E-mil Dengn berkembngny internet, lmrn lewt Internet seperti sekrng jug sngt populer. Bnyk perushn di Indonesi st ini jug menerim lmrn lewt e-mil ini. Untuk lmrn lewt e-mil ini, klin jug dpt melmpirkn seluruh biodt itu lewt e-mil. d. Cover Surt Kerpin sert bentuk surt ternyt menjdi bgin sngt penting. Ad sebgin orng yng mengnggp bhw wwncr merupkn bgin pling menentukn, tidk peduli pkh surt lmrnny bik tu jelek. Pdhl dengn membut lmrn bgus sert keterngn jels dn singkt, merupkn slh stu bukti keseriusn Klin merih posisi yng diinginkn.(

160 Kunci Jwbn Sol-sol Pilihn 9 KUNCI JAWABAN BAB SISTEM BILANGAN REAL Ltihn.. % ; c. 9 c. c.,% ; 7 e. e. g. g. 7. Wrisn msing-msing dlh Rp..,; 9. Rp.9.,. Rp.,. Rp.,. Rp.., Rp..,; Rp..,; dn Rp..,. i. i. e.,% ; 8. k. Ltihn. sk. meter. Tembg %; Timh hitm % dn Timh putih % 7. km 9.. : c. : e. : g. : i. : k. :. Rp..,., meter.. m 7. Neni Rp., ; Mrlin Rp., dn Devi Rp8., 9. pekerj. Rp.,

161 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi Ltihn x ; b - Ltihn ( ) , Ltihn.. c. e., g. -..,8 c.,7 e.,9..,79 c.,78 e.,78 g.,9 7. c , e. g., Uji Kemmpun E E C A A D A D B B D E B E E C A B D A B C A B D E A B D E 7 B 7 B 7 C 7 B 7 B 8 E 8 B 8 E 8 D 8 D 9 D 9 A 9 C 9 E 9 B D A D C D

162 Kunci Jwbn Sol-sol Pilihn KUNCI JAWABAN BAB PERSAMAAN dn PERTIDAKSAMAAN Ltihn.. x - k. x 9 c. x -7 m. x e. x o. x g. x - q. x i. x s. x 7.. { x x > - } k. { p p > - } c. { x x > - } m. { x x > } e. { x x > - } o. { x x < - 7 } g. { x x > } q. { x x > - } i. { x x < } s. { x x > } 7.. {(, )} g. {(, )} c. {(-, )} i. {( 7, - )} e. {(, - )} 7.. Mej $, Kursi $, Hrg mej kursi $ c. Bilngn tersebut dlh dn e. Bnyk murid lki-lki 7 orng dn murid perempun orng g. Umur nk sekrng thun dn umur yhny sekrng thun Ltihn. x dn x 7. x - dn x. x - dn x 9 9. x dn x -

163 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi. x - dn x 7. x dn x 7. x dn x -. x - dn x, 9. x - dn x. x,. x dn x - 7. x dn x. x dn x - 9. x - dn x 8. x dn x 9. x dn x 7 7. x - dn x. x dn x 9. x dn x. x dn x. x - dn x 7. x - dn x. x - dn x 9. x - dn x. x - dn x -. c, kr linny 7. m - dn m 8. Persmn kudrtny dlh x 7x dn kr-krny dlh x - dn x 7. Persmn kudrtny dlh x x, kr-krny dlh x dn x 9. {x - < x < } 9. {x - < x < }. {x < x < 7 } 7. {x - < x < }. {x - < x < } 7. {x x R }. {x x < - tu x > } 7. {x - < x < 7 } 7. {x x < tu x > } Ltihn.. D, kr-krny sm tu kembr c. D -, kr-krny tidk rel tu kr-krny imjiner e. D, kr-krny rel dn berbed.. - b. c. d. - e. f... b. c. d. e. f. tidk terdefinisi

164 Kunci Jwbn Sol-sol Pilihn Ltihn.. x x g. x c. x i. x 8x e. x 7x. x x. x x 7. Ukurn tnh Pk Ali dlh m x m dn ukurn tnh Ibu Selvi dlh m x m Uji Kemmpun B E B C E E E C A E E D C D C C B C 7 B 7 E 7 C 8 B 8 B 8 B 9 E 9 C 9 B D A A Ltihn KUNCI JAWABAN BAB MATRIKS.. c.,, -, dn e. -, -, -8 dn g. - i. kolom ke-.. x b. x c. x d. x.. x dn y - c. x dn y - e. x dn y - b. x dn y - d. x, y - dn z f. x -, y, dn z 7. w -,7 x, y -, z - Ltihn

165 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi c. e. g. i , c. e. 8 8, c. e. g. i c e , b -, c dn d, b. -8, b 8,, c - dn d,7.. 7 c. 8 8 e. 7 7 Ltihn.. 8 c. - e. 7.. x c. x - f. x.. Minor : M -, M, M dn M 8 7 Mtriks kofktor dn Mtriks djoin c. M inor : M, M -7, M dn M - 7 Mtriks kofktor dn Mtriks djoin 7

166 Kunci Jwbn Sol-sol Pilihn 7.. c. 7 f. 7 g. (P.Q) Q. P Ltihn. x dn y -. x - dn y. x - dn y 7. x dn y - 9. x, y - dn z.. c. ( ) e Kulits A hrgny Rp., Kulits B hrgny Rp., Uji Kemmpun A A D E D D C E E B A D C A B C C 7 B 7 D 8 E 8 C 9 A 9 E B A Ltihn KUNCI JAWABAN BAB PROGRAM LINEAR.. x < y c. x y x y x y e. x y x y 8 x ; y

167 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi b. x y x y 8 x y d. x y x ; y y Ltihn. Mislkn jumlh tn mn jgung x jumlh tn mn kedeli y, mk: x y Fungsi kendlny x y x ; y. Mislkn jumlh pkin model A x Jumlh pkin model B y, mk: x y Fungsi kendlny: x y x ; y Fungsi ssrn: Z.x.y. Mislkn jumlh rumh tipe x Jumlh rumh tipe y, mk: x y Fungsi kendlny: x y x ; y Fungsi ssrn: Z.x 7.y 7. Mislkn jumlh mobil yng prkir x Jumlh bus yng prkir y, mk: x y Fungsi kendlny: x y x ; y Fungsi ssrn: Z.x.y 9. Mislkn jumlh js yng dibut x Jumlh rok yng dibut y, mk: x y Fungsi kendlny: x y x ; y Fungsi ssrn: Z 7.x.y

168 Kunci Jwbn Sol-sol Pilihn 7 Ltihn.. Titik minimum (, ) dengn nili minimum Titik mksimum (, ) dengn nili mksimum b. Titik minimum (, ) dengn nili minimum Titik mksimum (, ) dengn nili mksimum 8 c. Titik minimum (, ) dengn nili minimum Titik mksimum (, ) dengn nili mksimum e. Titik minimum (, ) dengn nili minimum Titik mksimum (, ) dengn nili mksimum. Untuk mendptkn keuntungn mksiml, mk roti jenis pertm dibut sebnyk buh dn roti jenis kedu sebnyk buh dengn keuntungn mksiml Rp.,. Untuk mengelurkn biy seminiml mungkin, mk truk jenis pertm dn kedu disew msing-msing sebnyk buh dengn biy miniml Rp.8., 7. Untuk mendptkn keuntungn mksiml, mk logm jenis pertm dibut sebnyk 8 buh dn logm jenis kedu sebnyk 8 buh dengn hsil mksiml Rp9.., 9. Untuk mengelurkn biy seminiml mungkin, mk truk yng disew buh dn colt yng disew buh dengn sew miniml Rp.97., Ltihn.. Titik minimum (, ) dengn nili minimum Titik mksimum (, ) dengn nili mksimum c. Titik minimum (, ) dengn nili minimum 8 Titik mksimum (, ) tu (, ) dengn nili mksimum 8 e. Titik minimum (, ) dengn nili minimum Titik dn nili mksimum tidk d.. Untuk mendptkn keuntungn mksiml, mk roti jenis pertm dibut sebnyk buh dn roti jenis kedu sebnyk buh dengn keuntungn mksiml Rp.,.. Rumh tipe sebnyk buh dn type sebnyk buh b. Keuntungn mksimum Rp8.., Uji Kemmpun

169 8 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi B A D E A D A A B A B C C A A A C E B A D C E D 7 D 7 A 7 D 7 E 8 C 8 B 8 A 8 B 9 C 9 B 9 E 9 D A D B A

170 8 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi GLOSARIUM Bilngn rel Bilngn Rsionl : terdiri ts du jenis bilngn yitu bilngn rsionl dn irsionl. : bilngn yng dpt dibentuk menjdi dengn b b Bilngn komposit Persen Perbndingn senili Perbndingn berblik nili Skl Bilngn berpngkt Bentuk kr Logritm Mntise indeks tu krkteristik Persmn : bilngn yng memiliki fktor lebih dri du : pembgin dengn sertus : du perbndingn yng niliny sm : du perbndingn yng hrgny sling berblikn : bentuk perbndingn senili dri ukurn sutu besrn nyt : n didefinisikn dengn x x x x.... x : kr dri sutu bilngn yng niliny merupkn bilngn irsionl : c b identik dengn log b c : bilngn desiml dri hsil pengmbiln logritm : bilngn bult dri hsil pengmbiln logritm : Klimt terbuk yng memut tnd sm dengn n Pertidksmn : klimt terbuk yng memut tnd <, <, >, > Persmn tu pertidksmn liner Eliminsi Subtitusi : sutu persmn tu pertidksmn dengn vribelny berpngkt stu. : melenypkn : menggnti tu menytkn slh stu vribel dengn vribel linny.

171 Glosrium Persmn kudrt Akr-kr persmn kudrt Diskriminn Mtriks Ordo mtriks Mtriks digonl Mtriks identits Trnspose mtriks minor Mtriks singulr Progrm Liner : persmn dimn pngkt tertinggi dri vribel (peubh) dlh du : penyelesin persmn kudrt : pembed persmn kudrt, D b c : susunn elemen-elemen tu entri-entri yng berbentuk persegipnjng yng ditur dlm bris dn kolom : bnykny elemen bris diikuti bnykny kolom. A mxn berrti mtriks A berordo m x n : mtriks yng seluruh elemenny nol keculi pd digonl utmny tidk semuny nol. : mtriks yng semu elemen pd digonl utmny dlh stu dn elemen linny dlh nol. : mengubh susunn mtriks dri bris menjdi kolom tu seblikny : determinn submtriks yng tinggl setelh bris ke-i dn kolom ke-j dicoret dri A : mtriks yng hrg determinnny tu mtriks yng tidk memiliki invers 9 : cr untuk menyelesikn sutu persoln (penyelesin optimum) dengn menggunkn metode mtemtik yng dirumuskn dlm bentuk persmn-persmn tu pertidksmnpertidksmn liner Model mtemtik : sutu rumusn (dpt berup persmn, pertidksmn tu fungsi) yng diperoleh dri sutu penfsirn ketik menterjemhkn sutu sol verbl. Nili optimum Gris selidik : mksimum tu minimum : sutu gris yng digunkn untuk menyelidiki nili optimum (mksimum tu minimum) yng diperoleh dri fungsi ssrn tu fungsi objektif.

172 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi INDEKS A Asositif...,, 88 Adjoin...99,, B Bentuk kr...,, 7,, Bilngn sli... berpngkt...8, 9,, desiml..., irsionl...,, Imjiner... komposit..., prim..., rsionl..., rel...,,,,, 7 Bruto... C Crmer...,, 7, D Determinn... 9, 9,,, Diskon... 8,, Distributif...,, 88 E Elemen... 8, 8, 8, 8, 8, 8 Elemen netrl... Eliminsi...8,,, F Fktorissi... 9,, 8 Fesible...9,,,,,, 7, 8, Fungsi kendl... objektif...,, 9,,,, 8,, 7 G Gris selidik... H Himpunn penyelesin.., 8, 9,,,,,, 7,,,, 7, 7, 7, 77,,,,

173 Indeks I Indeks...,, Invers... 9, 98, 99,,,, penjumlhn...,, 8 perklin...,,, 9 K Krkteristik...,, 8 Komuttif...,, 88, 9 Kofktor...97, 98, 99, L Logritm..., 8, 9,,,,,, M Mntise...,, Mtriks bris...8 digonl...8 identits... 8, 9, kolom...8 nol...8 persegi... 8, 8 segitig... 8, 8 trnspose...8, 8, 8, Minor... 9, 97, 98,, N Netto...9 Nili mksimum...9,,,,, 7, 8,, minimum...9,,,, 7, 8,,, optimum...7, 9, O Opersi...,,,,,,,, 87, 88, 9 Ordo...8, 8, 8, 8, 8, 87, 88, 89, 9, 9, 9, 98, P Pechn...,,,, 7,,,,, 7 Perbndingn berblik nili...,, senili..., Perklin mtriks... 88, 89 Persmn kudrt..., 7,,, 9,,, 7, 8, 7, 7, 7, 7, 77, 78 liner..., 7, 8, 9,, 7 Pertidksmn kudrt...9,,, 8 liner...,,, Progrm liner...,,,

174 Mtemtik X SMK Kelompok: Penjuln dn Akuntnsi R Rfksi...9, Rumus kudrt...,,, 8 S Singulr..., Sistem pertidksmn...,,,, 8, 9,,,,,,, Skl...,,, 7, 8 Substitusi...9,,, T Trr...9, V Verbl...,, 8, 9,

175 DAFTAR PUSTAKA Alders, C.J Ilmu Aljbr. Jkrt: Prdny Prmit. Anton, Howrd Aljbr Liner Elementer. Jkrt: Erlngg Ayres, Frnk.Jr. 97. Clculus edition,schum Outline Series. Mc. Grw Hill London: Book Compny. Anonim. 97. Mtemtik 8. Jkrt: Deprtemen Pendidikn dn Kebudyn Anonim. 97. Mtemtik. Jkrt: Deprtemen Pendidikn dn Kebudyn Anonim.. Kurikulum SMA dn MA. Jkrt: Deprtemen Pendidikn dn Kebudyn Ilmn, M. Oetjoep, Gunwn dkk. 98. Aljbr dn Ilmu Ukur Anlitik. Jkrt: Widjy. Murdhn, D.M. Agung, dkk. 98. Bnk sol SMA Mtemtik A. Bndung: Armico Prtikno, Gwtri U.R, Sukmto, Nurby Mtemtik SMK.Jkrt: Yudhistir Purcell, Edwin J. Vrberg Dole Klkulus dn Geometri Anlitis. Jkrt: Erlngg. Sdler, A.J Introductory Clculus Second Edition. Austrli: Sdler Fmily Trust. Sltzherr, J.P, L.P. Ritchi, Lumbn tobing. 97. Aljbr dn Teori Berhitung. Jkrt: Prdny Prmit. Sety budhi, Wono Mtemtik SMU IB. Jkrt: Pusgrfin Spiegel, Murry R, PhD. 99. Mtemtik Dsr. Jkrt: Erlngg. Wirodikromo, Srtono. 99. Mtemtik Untuk SMU Kels. Jkrt: Erlngg

176 Diunduh dri BSE.Mhoni.com