CCR-314 #2 Pengantar Linear Programming DEFINISI LP

Transkripsi

1 PENGANTAR LINEAR PROGRAMMING DEFINISI LP Linear Programming/LP (Program Linear) merupakan salah satu teknik dalam Riset Operasional (Operation Research) yang paling luas digunakan dan dikenal dengan baik. LP merupakan metode matematika untuk mengalokasikan sumber daya untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya. 2 1

2 MODEL LINEAR PROGRAMMING Adalah sebuah model matematis yang bersifat umum yang digunakan untuk mengalokasikan faktor produksi atau sumber daya yang jumlahnya terbatas secara optimal, sehingga dapat menghasilkan laba maksimal atau biaya minimal 3 FUNGSI-FUNGSI DALAM LP 1. Variabel Keputusan Variabel persoalan yang akan mempengaruhi nilai tujuan yang hendak dicapai. 2. Tujuan (objective function) Di mana tujuan yang hendak dicapai harus diwujudkan ke dalam sebuah fungsi matematika linear, yang kemudian fungsi itu dimaksimumkan atau diminimumkan terhadap kendala-kendala yang ada. 4 2

3 FUNGSI-FUNGSI DALAM LP 3. Kendala (contrains or subject to) Kendala dalam hal ini dapat diumpamakan sebagai suatu pembatas terhadap kumpulan keputusan yang mungkin dibuat dan harus dituangkan ke dalam fungsi matematika linear yang dihadapi oleh manajemen. 4. Status (status function) yang menyatakan bahwa setiap variabel yang terdapat di dalam model programasi linear tidak boleh negatif. 5 ASUMSI DASAR 1. Certainty Angka yang diasumsikan dalam f.tujuan dan f.kendala secara pasti diketahui dan tidak berubah selama waktu dipelajari. 2. Proporsionality Alokasi sumber daya dengan goal yang ingin dicapai harus proporsional. 3. Additivity Total dari semua aktivitas adalah sama dengan jumlah dari aktivitas individual 6 3

4 ASUMSI DASAR 4. Divisibility Jumlah produk yang akhirnya direkomendasikan dalam kondisi optimum, dapat berupa pecahan bukan bilangan bulat. 5. Non-negatif variable Semua variabel bukan negatif, bisa nol atau positif (negatif dalam kuantitas fisik a/d mustahil) 7 FORMULASI MODEL Permasalahan: mencari nilai-nilai optimal (maksimum atau minimum) dari fungsi linear dengan kendala-kendala tertentu Tujuan: linear yang dioptimumkan Kendala: -fungsi linear (lebih dari satu) yang harus dipenuhi dalam optimalisasi fungsi tujuan. Bentuk fungsi tujuan: persamaan atau pertidaksamaan 8 4

5 FORMULASI MODEL Formulasi model matematika, yang meliputi 3 tahap: 1. Tentukan variable keputusan dan nyatakan dalam simbol matematika 2. Membentuk suatu fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linear dari variable keputusan. 3. Menentukan semua kendala masalah dan mengekspresikan dalam persamaan atau pertidaksamaan yang juga merupakan suatu hubungan linear dari variable keputusan. 9 FUNGSI MATEMATIKA LP 1. Tujuan Max/Min 2. Kendala Z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n < b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n < b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n < b n 3. Status x 1 ; x 2.. X n >

6 CCR-314 #2 Pengantar Linear Programming METODE-METODE DALAM LP Metode Linear Programming Metode Aljabar Metode Grafik Simpleks Primal Simpleks M-Besar Simpleks Dual Simpleks Dua Fase 11 PERBEDAAN METODE SOLUSI Karakteristik Formulasi Masalah Grafis Simpleks Simpleks Big M Jumlah Variabel 2 >2 >2 Jenis fungsi tujuan maksimisasi & minimisasi maksimisasi & minimisasi maksimisasi & minimisasi Jenis fungsi kendala semua bentuk Pertidaksamaan bertanda < Pertidaksamaan bertanda > atau persamaan = 12 6

7 CONTOH #1 Sebuah perusahaan memperkerjakan pengrajin untuk memproduksi mangkok dan cangkir. Sumber daya utama yang digunakan perusahaan adalah tanah liat dan tenaga kerja. Tersedia 40 jam tenaga kerja dan 120 kg tanah liat setiap hari untuk produksi. Dengan keterbatasan sumber daya, perusahaan ingin mengetahui berapa banyak mangkok dan cangkir yang akan diproduksi tiap hari dalam rangka memaksimalkan laba. Parameter kedua produk adalah sebagai berikut: Produk Tenaga Kerja (jam/unit) Kebutuhan Sumber Daya Tanah Liat (kg/unit) Laba ($/unit) Mangkok Cangkir MODEL CONTOH #1 Variabel Keputusan X 1 = jumlah mangkok yang diproduksi X 2 = jumlah cangkir yang diproduksi Tujuan Maksimalkan Z = 40X X 2 Z = total laba per hari 40X 1 = laba dari mangkok 50X 2 = laba dari cangkir Kendala 1X 1 + 2X X 1 + 3X X 1 0 ; X 2 0 (kendala tenaga kerja) (kendala tanah liat) (kendala non negatif) 14 7

8 CONTOH #2 Seorang petani menyiapkan lahan untuk menanam dan membutuhkan pemupukan. Terdapat dua merek pupuk, Super-grow dan Crop-quick. Setiap merek menghasilkan jumlah nitrogen dan fosfat tertentu, sebagai berikut: Merek Nitorgen (kg/kantong) Kontribusi Kimia Fosfat (kg/kantong) Super-grow 2 4 Crop-quick 4 3 Lahan petani memerlukan paling sedikit 16 kg nitrogen dan 24 kg fosfat. Harga Super-grow $6 per kantong, dan Crop-quick berharga $3. Petani tersebut ingin mengetahui berapa banyak kantong dari setiap merek yang akan dibeli dalam rangka meminimalkan total biaya pemupukan. 15 MODEL CONTOH #2 Variabel Keputusan X 1 = jumlah pupuk SG yang dibeli X 2 = jumlah pupuk CQ yang dibeli Tujuan Minimalkan Z = 6X 1 + 3X 2 Z = total biaya pemupukan 6X 1 = harga/biaya dari SG 3X 2 = harga/biaya dari CQ Kendala 2X 1 + 4X X 1 + 3X 2 24 X 1 ; X 2 0 (kendala nitrogen) (kendala fosfat) (kendala non-negatif) 16 8

9 Contoh #3 Perusahaan sepatu membuat 2 macam sepatu. Yang pertama merek I 1, dgn sol karet, dan merek I 2 dgn sol kulit. Diperlukan 3 macam mesin. Mesin 1 membuat sol karet, mesin 2 membuat sol kulit, dan mesin 3 membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merek I 1 mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam. Sedang untuk sepatu merek I 2 tidak diproses di mesin 1, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari mesin 1 adalah 8 jam, mesin 2 adalah 15 jam, dan mesin 3 adalah 30 jam. Sumbangan terhadap laba setiap lusin sepatu merek I 1 =Rp sedang merek I 2 =Rp Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merek I 1 dan merek I 2 yang dibuat agar bisa memaksimumkan laba. 17 Contoh #3 (Uraian Bentuk Tabel) Mesin Merek I 1 (x 1 ) I 2 (x 2 ) Kapasitas Maksimum 1 2? 0? 8? 2 0? 3? 15? 3 6? 5? 30? Sumbangan laba 3? 5? 18 9

10 MODEL CONTOH #3 Variabel Keputusan X 1 = jumlah merek sepatu I 1 yang dibuat (lusin) X 2 = jumlah merek sepatu I 2 yang dibuat (lusin) Tujuan Maksimamlkan Z = 3X 1 + 5X 2 Z = total laba yang diperoleh 3X 1 = laba setiap lusin sepatu merek I 1 5X 2 = laba setiap lusin sepatu merek I 2 Kendala 2X 1 16 (kendala mesin 1) 3X 2 24 (kendala mesin 2) 6X 1 + 5X 2 30 (kendala mesin 3) X 1 ; X 2 0 (kendala non-negatif) 19 CONTOH #4 Produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan adalah meja dan kursi. Dengan Bahan mentah dalam satu minggu yang tersedia adalah sebanyak 10 gelondong kayu dan jumlah jam kerja buruh yang tersedia adalah 36 jam kerja. Informasi mengenai penggunaan sumber daya dan hara jual per unit, dijelaskan dalam table dibawah ini : Jenis Produk Meja Kursi Kebutuhan sumber daya Buruh(jam/unit) 6 6 Bahan(kg/unit) 1 2 Harga ($/unit) 4 5 Dengan melihat kepada informasi diatas, berapakah jumlah Meja dan Kursi yang harus dihasilkan agar keuntungan yang didapat perusahaan maksimum? 20 10

11 MODEL CONTOH #4 Variabel Keputusan X 1 = jumlah meja yang dihasilkan X 2 = jumlah kursi yang dihasilkan Tujuan Maksimamlkan Z = 4X 1 + 5X 2 Z = total laba yang diperoleh 4X 1 = harga meja 5X 2 = harga kursi Kendala 6X 1 + 6X 2 36 (kendala buruh) X 1 + 2X 2 10 (kendala bahan) X 1 ; X 2 0 (kendala non-negatif)