Rizkun As Syirazi, Thresye, Nurul Huda Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat

Transkripsi

1 ISSN: Vol. No. (Juni 07) Hal SIFAT-SIFAT FUNGSI PHI EULER DAN BATAS PRAPETA FUNGSI PHI EULER Rizkun As Syirazi, Thresye, Nurul Huda Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat ABSTRAK Teori little Fermat berhasil digeneralisasi oleh Euler menggunakan fungsi phi Euler, Fungsi phi Euler φφ(hh) didefinisikan sebagai banyaknya bilangan asli tidak lebih dari hh dan saling prima dengan hh. Gupta (98) mengatakan tidak semua bilangan asli merupakan elemen range φφ.tujuan dari penelitian ini adalah menentukan sifat-sifat fungsi phi Euler dan menentukan batas bawah dan batas atas prapeta suatu bilangan di bawah fungsi phi Euler. Penelitian ini bersifat studi literatur yaitu dengan mengumpulkan dan mempelajari berbagai referensi yang berkaitan dengan topik penelitian. Hasil yang diperoleh adalah hubungan bilangan asli dengan peta bilangan tersebut ketika dikenakan fungsi phi Euler dan batas prapeta fungsi phi Euler, baik batas bawah maupun batas atas. Batas tersebut dapat digunakan untuk menentukan himpunanprapeta sebuah bilangan di bawah fungsi phi Euler. Kata kunci :Fungsi Phi Euler, Prapeta Phi Euler.. PENDAHULUAN Salah satu teori tentang bilangan prima pada teori bilangan yang terkenal adalah teori little Fermat. Namun, teori tersebut hanya berlaku untuk bilangan prima. [3] mengatakan pada tahun 760, Euler mampu membuat generalisasi dari teori little Fermat untuk semua bilangan asli. Untuk membuat generalisasi tersebut, Euler menggunakan bantuan sebuah fungsi yang kemudian diberi nama fungsi phi Euler dan dinotasikan φφ. Fungsi phi Euler φφ(h) didefinisikan sebagai banyaknya bilangan asli tidak lebih dari h dan saling prima dengan h. Untuk menghitung nilai φφ(nn) tanpa harus mendaftarkan bilangan yang memenuhi syarat, diperlukan sebuah formula φφ(nn) yang diperoleh berdasarkan sifat-sifat dari fungsi φφ. Formula φφ(nn) juga dapat digunakan untuk memperoleh sifat-sifat lainnya dari fungsi φφ [3]. Sebagai sebuah fungsi, φφ tentu memiliki himpunan domain dan range. Menurut [5] tidak semua bilangan asli merupakan elemen range φφ. Salah satu langkah untuk memudahkan mencari nilai prapeta dari mm adalah menentukan batas bawah dan batas atas, sehingga dapat mempersempit ruang pencarian. Berdasarkan analisa masalah yang dikaji, maka dibahas sifat-sifat dari fungsi phi Euler dan batas bawah dan batas atas prapeta suatu bilangan di bawah fungsi phi Euler.. TINJAUAN PUSTAKA. Keterbagian Definisi.. [3] Sebuah bilangan bulat mm bisa dibagi habis dengan bilangan bulat 0, disimbolkan mm, jika ada bilangan bulat c sedemikian sehingga mm =. Ditulis mm untuk menunjuan bahwa m tidak habis dibagi dengan. Teorema.. [3] Untuk semua bilangan bulat, ll, mm, memenuhi 30

2 ISSN: Vol. No. (Juni 07) Hal Jika ll dan mm, maka llll.. Jika l dan ll mm, maka mm. 3. Jika ll dan mm, maka (llll + mmmm) untuk sembarang bilangan bulat xx dan yy.. Faktor Persekutuan Terbesar Definisi.. [3] Diberikan dan ll bilangan bulat, dimana paling tidak salah satu dari keduanya bukan nol. Faktor persekutuan terbesar dari dan ll, ditulis dengan (, ll), adalah bilangan bulat positif ww memenuhi pernyatn berikut :. ww dan ww ll jika cc dan cc ll, maka cc ww.3 Bilangan Prima Definisi.3. [6] Bilangan prima ialah bilangan asli yang lebih besar dari yang hanya bisa dibagi dengan bilangan dan bilangan itu sendiri. Bilangan komposit adalah bilangan asli yang lebih besar dari dan bukan merupakan bilangan prima. Teorema.3. [] Jika nn = = adalah faktorisasi prima dari nn, pembagi positif dari nn maka dapat dinyatakan dalam bentuk = cc =, dimana 0 cc untuk =,,,..4 Kelipatan Persekutuan Terkecil Definisi.4. [3] Diberikan dan ll bilangan bulat, dengan paling tidak salah satu dari keduanya bukan nol. Kelipatan persekutuan terkecil dari dan ll, ditulis dengan [, ll], adalah bilangan bulat positif vv memenuhi pernyatn berikut :. vv dan ll vv. jika cc dan ll cc, maka vv cc. Teorema.4. [3] Pada bilangan asli bb dan berlaku [bb, ](bb, ) = bbbb..5 Fungsi Multiplikatif Definisi.5. [6] Sebuah fungsi yang didefinisikan untuk setiap bilangan bulat positif disebut fungsi multiplikatif jika ff(ssss) = ff(ss)ff(tt) dimana ss tt bilangan asli yang saling prima. Teorema.5. [6] Jika ff adalah fungsi multiplikatif dan misal ss ss adalah faktorisasi prima dari n, maka ff(nn) = ff( )ff( ) ff( ss ss )..6 Fungsi phi Euler Definisi.6. [6] Misal h bilangan bulat positif. Fungsi phi Euler φφ(h) didefinisikan sebagai banyaknya bilangan asli tidak lebih dari h yang saling prima dengan h. Teorema.6. [6] 3

3 ISSN: Vol. No. (Juni 07) Hal Jika ss dan tt adalah bilangan bulat positif yang saling prima maka φφ(ssss) = φφ(ss)φφ(tt)..7 Himpunan Terbatas Definisi.7. [] Misal SS adalah himpunan tak kosong yang merupakan subset R. (a) himpunan bilangan SS disebut terbatas ke atas jika terdapat bilangan tt R sedemikian hingga ss tt untuk setiap ss SS. Semua bilangan yang memenuhi syarat tt dikatakan batas atas SS. (b) himpunan bilangan SS disebut terbatas ke bawah jika terdapat bilangan vv R sedemikian hingga vv ss untuk setiap ss SS. Semua bilangan yang memenuhi syarat vv disebut batas bawah SS. (c) sebuah himpunan dikatakan himpunan terbatas jika himpunan tersebut terbatas ke atas dan terbatas ke bawah. Sebuah himpunan dikatakan himpunan tak terbatas bila himpunan tersebut tidak terbatas. 3. METODE PENELITIAN Penelitian dilakukan dengan cara mengumpulkan referensi pendukung yang berhubungan dengan fungsi phi Euler khususnya sifat-sifat fungsi phi Euler. Referensi tersebut dipahami, dibahas dan diuraikan sehingga diperoleh sifat-sifat fungsi phi euler dan batas prapeta fungsi phi euler. 4. HASIL DAN PEMBAHASAN Teorema 4.. [6] Jika adalah bilangan prima dan adalah bilangan bulat positif, maka φφ( ) = ( )( ) Bilangan kelipatan dan tidak lebih dari ada sebanyak buah, yaitu,, 3,, ( )4T. Sehingga ada sebanyak yang tidak lebih dari dan relatif prima dengan, dengan kata lain φφ( ) = = ( )( ). Teorema 4.. [3] Jika adalah faktorisasi prima dari bilangan asli h, maka φφ(h) bisa dinyatakan dalam satu bentuk berikut (). ( )( ) ( ) (). h (). h ( ) h Karena φφ adalah fungsi multiplikatif maka φφ(h) = φφ φφ φφ = ( ) ( ) ( ) = ( )( ) ( ) = ( )( ) ( ) 3

4 ISSN: Vol. No. (Juni 07) Hal = h = h = h ( h ). Teorema 4..3 [6] Jika nn adalah bilangan bulat positif, maka nn φφ() = nn Bilangan dari sampai nn dibagi ke dalam kelas-kelas. Bilangan mm dimasuan ke dalam kelas CC jika dan hanya jika (mm, nn) =. Karena (mm, nn) = jika dan hanya jika mm, nn =. Sehingga Bilangan bulat mm dimasuan ke kelas CC jika dan hanya jika mm, nn =. Jadi diperoleh Banyaknya bilangan di dalam kelas CC adalah sebanyak bilangan bulat positif tidak lebih dari nn dan relatif prima dengan nn. Berdasarkan definisi.6. maka terdapat φφ nn buah bilangan dalam kelas CC. Karena bilangan sampai nn dibagi ke dalam ke dalam kelas yang saling disjoin dan setiap bilangan hanya dimasuan ke dalam tepat kelas, maka jumlah elemen dari kelas-kelas yang berbeda adalah nn. akibatnya φφ nn nn = nn. Karena adalah sebarang bilangan yang membagi nn, bilangan nn juga yang membagi nn, maka nn φφ() = φφ nn nn = nn. Teorema 4..4 [3] Jika nn bilangan bulat positif lebih besar dari, maka jumlah bilangan bulat positif tidak lebih dari nn dan relatif prima dengan nn adalah nn φφ(nn). Misalkan,,, φφ(nn) adalah bilangan-bilangan bulat positif tidak lebih dari nn dan relatif prima dengan nn. Karena (, nn) = jika dan hanya jika (nn, nn) =, maka bilangan-bilangan nn, nn,, nn φφ(nn) sama dengan bilanganbilangan,,, φφ(nn). sehingga φφ(nn) = (nn ) + (nn ) + + (nn φφ(nn) ) = φφ(nn) nn ( φφ(nn) ) sehingga φφ(nn) = nnφφ(nn). Teorema 4..5 [5] Jika nn 3, maka φφ(nn) adalah bilangan genap. Misal adalah faktorisasi prima dari nn. Karena fungsi φφ adalah fungsi multiplikatif maka φφ(nn) = φφ φφ φφ = φφ =. Berdasarkan teorema 4.. diketahui bahwa φφ = ( ). Karena diberikan nn 3 maka pasti memenuhi dari kondisi berikut. Kondisi, jika nn memiliki faktor prima ganjil. Misal adalah bilangan prima ganjil maka φφ = ( ) adalah bilangan genap karena ( ) genap, sehingga φφ(nn) juga adalah bilangan genap. Kondisi, Jika nn tidak memiliki faktor prima ganjil maka nn = jj dengan jj. Sehingga φφ jj = jj ( ) = jj juga bilangan genap. Akibatnya φφ(nn) adalah bilangan genap untuk nn 3. 33

5 ISSN: Vol. No. (Juni 07) Hal Akibat 4..6 [5] Jika nn adalah bilangan bulat positif, maka peta dari nn dibawah fungsi phi Euler adalah atau bilangan genap, sehingga dipastikan tidak ada bilangan bulat xx yang memenuhi φφ(xx) = tt +, tt. Diketahui φφ() = φφ() = dan berdasarkan teorema 4..5 φφ(nn) adalah bilangan genap untuk nn 3. Sehingga peta dari nn dibawah fungsi phi Euler adalah atau bilangan genap. Teorema 4..7 [5] Jika adalah bilangan prima dengan nn =, maka φφ(nn) = ( )φφ(mm) untuk (, mm) =, dan φφ(nn) = (mm) untuk (, mm). Jika (, mm) = maka berdasarkan teorema.6. φφ(nn) = φφ()φφ(mm) = ( )φφ(mm). Jika (, mm), maka (, mm) =. Karena (, mm) = maka berdasarkan definisi.. mm. Sehingga mm dapat ditulis sebagai, dengan dan (, ) =. Karena (, ) = maka (, ) = ( +, ) =. Karena (, ) = maka berdasarkan teorema.6. dan teorema 4.. φφ(mm) = φφ( ) = φφ( )φφ(). Jadi φφ() = φφ(mm) φφ(mm). Bilangan nn = φφ( ) ( )( ) dapat dijabarkan menjadi nn = = ( ) = +. Karena ( +, ) = dengan bilangan prima maka berdasarkan teorema.6., teorema 4.. dan φφ() = φφ(mm) diperoleh ( )( ) φφ(mm) φφ(nn) = φφ( + ) = φφ( + )φφ() = ( )( ) ( )( ) = (mm). Akibat 4..8 [5] Jika mm adalah bilangan bulat positif, mm adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika φφ(mm) = φφ(mm). ( ) diketahui mm adalah bilangan ganjil Akan ditunjuan φφ(mm) = φφ(mm) Karena mm adalah bilangan ganjil maka (, mm) =. Sehingga φφ(mm) = φφ()φφ(mm) = φφ(mm) = φφ(mm) ( )R diketahui φφ(mm) = φφ(mm) Akan ditunjuan mm adalah bilangan ganjil Andaikan mm adalah bilangan genap maka mm = tt. Sehingga (, mm) =. Berdasarkan teorema 4..7, φφ(mm) = φφ(mm) φφ(mm). Hal ini kontradiksi dengan yang diketahui, seharusnya mm adalah bilangan ganjil. Teorema 4..9 [6] Jika nn memiliki faktor prima ganjil sebanyak buah, maka φφ(nn). Karena nn memiliki faktor prima ganjil, maka nn dapat ditulis sebagai bb bb bb dengan 0 dan bb untuk =,,,. Karena fungsi φφ adalah fungsi multiplikatif maka φφ(nn) = φφ( )φφ bb φφ bb φφ bb. Berdasarkan teorema 4..5 maka φφ bb adalah bilangan genap untuk =,,,, sehingga φφ bb. Karena φφ bb untuk =,,,, berdasarkan 34

6 ISSN: Vol. No. (Juni 07) Hal teorema..() maka φφ bb φφ bb φφ bb. Karena φφ bb φφ bb φφ bb, 0 dan φφ( ) adalah bilangan bulat maka berdasarkan teorema.. (3) φφ( )φφ bb φφ bb φφ bb + φφ( ) 0 φφ( bb )φφ bb φφ bb φφ φφ(nn). Teorema 4..0 [6] Jika mm nn dengan mm, nn adalah bilangan positif maka φφ(mm) φφ(nn). Misal nn =, karena mm nn maka berdasarkan teorema.3. mm = cc cc cc dimana 0 cc untuk =,,..,. Misal cc = 0 untuk =,,, jj dan cc untuk = jj +, jj +,, maka cc mm = cc cc jj cc jj jj+ cc jj+ jj+ cc jj+ = cc jj jj+ cc jj+ jj+ cc jj+ cc = jj+ cc jj+ jj+ cc jj+ cc = jj+ cc jj+ jj+ cc jj+ Berdasarkan teorema 4.. φφ(nn) = ( ) ( ) = ( = ) =( ) dan cc φφ(mm) = jj+ cc jj+ cc jj+ ( ) = ( ) ( ) Maka φφ(nn) = ( ) = = ( ) φφ(mm) cc ( ) =jj+ =jj+ ( ) jj = jj = =jj+ =jj+ = ( ( ) ( ) (cc ) =jj+ ) =( ) = ( ( ) ( cc ) jj =jj+ ) =( ) Karena 0 cc untuk =,,.., jj +, jj +,, maka cc 0. jj Sehingga ( ( ) ( cc ) jj =jj+ ) ( ) = φφ(nn) = = bilangan bulat. jj φφ(mm) Karena φφ(nn) bilangan bulat maka berdasarkan definisi.. φφ(mm) φφ(nn). φφ(mm) Teorema 4.. [6] Jika (, bb) = dan [, bb] = cc maka φφ()φφ(bb) = φφ()φφ(cc) Misalkan PP jj adalah himpunan bilangan prima yang membagi, dan PP adalah himpunan bilangan prima yang membagi bb. Jika (PP jj PP ) dan cc PP jj PP maka dan cc cc. Karena nn PP jj + nn(pp ) = nn PP jj PP + nn PP jj PP dan juga elemen pada himpunan tersebut saling identik maka jj PP jj ) ( PP ) = ( (PP jj PP ) ) ( cc cc (PP jj PP ) ) ( jj jj Berdasarkan teorema.4. = (, bb)[, bb] =, jadi φφ()φφ(bb) = jj PP jj )bb ( PP ) = ( jj jj PP jj ) ( ( jj jj = ( (PP jj PP ) ) cc ( cc cc (PP jj PP ) = ( Teorema 4.. [5] (PP jj PP ) ) ( cc cc (PP jj PP ) ) cc cc 35 ) = φφ()φφ(cc). jj cc PP )

7 ISSN: Vol. No. (Juni 07) Hal Setiap himpunan tak kosong φφ (mm),maka φφ (mm) terbatas ke atas dan terbatas ke bawah Misalkan untuk sebarang = nn φφ (mm), maka φφ(nn) = mm. Berdasarkan definisi.6. φφ(nn) tidak lebih dari nn. Sehingga φφ(nn) nn mm nn. Karena mm nn maka berdasarkan definisi.7. mm adalah batas bawah dari φφ (mm). Karena = nn maka berdasarkan teorema 4.. mm = φφ(nn) = ( )( ) ( ) Sehingga jika diberikan nn dan nn maka ( ) mm. Namun jika diberikan mm dan ( ) mm belum dapat dipastikan nn. contohnya φφ(7) = 6, diketahui (3 ) 6 namun 3 7. Akibatnya ( nn ) ( ( ) mm ). nn = φφ(nn) nn ( = nn ( ) ( ) ( ) mm ) Sehingga nn φφ(nn) ( ( ) mm ) = mm ( ( ) mm ) Karena nn mm ( ) mm ) maka berdasarkan definisi.7. mm ( ( ( ) mm ) adalah batas atas dari φφ (mm). Jadi φφ (mm) terbatas ke atas dan terbatas ke bawah. Akibat 4.. [5] Jika qq adalah elemen ganjil terbesar dari himpunan φφ (mm), maka qq mm ( ) ( ) mm Karena qq φφ (mm) maka φφ(qq) = mm. Berdasarkan akibat 4.8 jika qq ganjil maka φφ(qq) = φφ(qq) = mm. Sehingga qq φφ (mm). Berdasarkan teorema 4., qq mm ( ( ) mm ). Sehingga qq mm ( ( ) mm ). 5. KESIMPULAN Kesimpulan yang diperoleh dari penilitian ini adalah. Sifat-sifat fungsi phi Euler terkandung dalam teorema berikut: a. Jika bilangan prima, bilangan bulat positif maka φφ( ) = ( )( ) b. Jika adalah faktorisasi prima dari bilangan bulat positif h. maka φφ(h) = ( )( ) ( ) = h = h ( h ) c. Jika nn bilangan bulat positif dan faktor positif nn maka nn φφ() = nn d. Jika nn bilangan bulat positif lebih besar dari, maka jumlah bilangan bulat positif tidak lebih dari nn dan relatif prima dengan nn adalah nn φφ(nn) e. Jika nn 3 maka φφ(nn) adalah bilangan genap 36

8 ISSN: Vol. No. (Juni 07) Hal f. Jika nn adalah suatu bilangan bulat positif maka peta dari nn dibawah fungsi phi Euler adalah atau bilangan genap g. Jika adalah bilangan prima dengan nn =, maka φφ(nn) = ( )φφ(mm) untuk (, mm) =, dan φφ(nn) = (mm) untuk (, mm) h. Jika mm bilangan bulat positif, maka mm adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika φφ(mm) = φφ(mm) i. Jika nn memiliki faktor prima ganjil sebanyak buah, maka φφ(nn) j. Jika mm nn dengan mm, nn adalah bilangan positif maka φφ(mm) φφ(nn) k. Jika FPB (, bb) = dan KPK [, bb] = cc maka φφ()φφ(bb) = φφ()φφ(cc). Batas bawah dan batas atas prapeta bilangan positif mm di bawah fungsi phi Euler adalah sebagai berikut: a. mm adalah batas bawah dari φφ (mm) b. mm ( ) adalah batas atas dari φφ (mm) dengan adalah bilangan ( ) mm prima c. Jika qq adalah elemen ganjil terbesar dari himpunan φφ (mm), maka qq mm ( ) ( ) mm DAFTAR PUSTAKA [] Apostol, T.M. Introduction to analytic Number Theory. California Institu of Tecnology. United States of America. [] Bartle & Sherbet Introduction to Real Analysis Third Edition. Hamilton: United State of America. [3] Burton, D. M. 0. Elementary Number Theory Seventh Edition. McGraw Hill: New York. [4] Coel, W. R Number theory An Introduction To Mathematics: Part A. New York: United Stated of America. [5] Gupta, H. 98. Euler s totient function and its inverse. Indian J. Pure al. Math., (): -30. [6] Rosen. K. H Elementary Number Theory And Its Aplication Fifth Edition. AT&T Laboratories: United States of America. 37