BEBERAPA CONJECTURE TENTANG BILANGAN PRIMA. Sangadji*

Transkripsi

1 BEBERAPA CONJECTURE TENTANG BILANGAN PRIMA Sangadji* ABSTRAK BEBERAPA CONJECTURE TENTANG BILANGAN PRIMA. Makalah ini membahas beberapa conjecture tentang bilangan prima yang patut diketahui, yaitu conjecture Goldbach, conjecture Bertrand, conjecture Hardy-Littlewood, conjecture Prima Kembar dan conjecture n Sampai sekarang, semua conjecture ini masih merupakan persoalan tentang bilangan prima yang belum terselesaikan. Kata-kata kunci: conjecture, bilangan prima, bilangan prima kembar. ABSTRACT SEVERAL CONJECTURES ABOUT PRIMES. This paper discusses several remarkable conjectures about primes le., Goldbach conjecture, Bertrand conjecture, Hardy-Littlewood conjecture, Twin Prime conjecture and the n2 + 1 conjecture. So far, all these conjectures stiil constitute unsolved problems about primes. Key words: conjecture, prime, twin primes. PENDAHULUAN Sebelum kita membahas beberapa conjectures tentang bilangan prima, sebaiknya kita bicarakan dahulu beberapa definisi dan terminologi yang diperlukan serta beberapa teorema dan sifat-sifat yang penting dalam Teori Bilangan. Bilangan bulat positif p yang lebih besar dari 1 disebut bilangan prima hila pembagi positif dati p (bilangan bulat) hanyalah 1 dan p. Bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 yang bukan prima disebut bilangan komposit..pusat Pengernbangan Teknologi Infonnasi dan Kornputasi -BATAN 239

2 Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir XIV, Juli 2003 ( ) Sesuai dengan namanya, bilangan-bilangan prima berperan sangat penting dan fundamental dalam Teori Bilangan. Teorema Fundamental Aritmetika yang akan dibahas dapat dijadikan dasar peranan dari bilangan prima yang penting dan fundamental tersebut. Dari definisi tersebut jelas bahwa 1 bukan bilangan prima meskipun pembagi positif dari 1 hanyalah dia sendiri. Juga jelas bahwa satu-satunya bilangan prima yang genap adalah bilangan 2. Bilangan bulat b dikatakan habis dibagi oleh bilangan bulat a> 0, ditulis dengan notasi a I b, hila terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga b = a c. Di bawah ini diberikan beberapa sifat tentang divisibilitas dati bilanganbilangan bulat. Bukti dati sifat-sifat tersebut tidaklah sulit dan dapat dibaca di buku teks standar tentang teori bilangan. Sifat-sifat Untuk bilangan-bilangan bulat p, q, r, s berlaku: (a)pio,llp,plp. (b) p 11 hila dan hanya hila p =:t 1. (c) Bilaplqdan rlsmakaprlqs. (d) Bilap I q dan ql rmaka p I r. (e) pi q dan q I p hila dan hanya hila p =.rq. (t) Bilap I q dan q * 0 maka IFI ~ Iql. (g) Bilap I q dan p I r, makapl (qx + ry) untuk sembarang bilangan-bilangan bulatx dally. Teorema tentang algoritma pembagian di bawah ini merupakan fondasi untuk pengembangan dari Teori Bilangan. Bukti dari teorema tersebutidaklah mudah. Bagi pembaca yang berminat untuk mengetahui buktinya dipersilakan membaca buku teks standar tentang Teori Bilangan. Teorema (Algoritma Pembagian) Diberikan bilangan-bilangan bulat a clan b dengan b > O. Maka terdapat dengan tunggal pasangan bilangan-bilangan bulat q clan r yang memenuhi persamaan a = q b + r, 0 r<b. 240

3 Beberapa Conjecture Tentang Bilangan Prima (Sangadji) Bilangan-bilangan bulat q dan r berturut-turut disebut hasi! bagi dan sisa dalam pembagian a oleh b. Diberikan bilangan-bilangan bulat a clan b yang keduanya tidak bersama-sama nolo Yang dimaksud dengan pembagi persekutuan terbesar dari a dan b, ditulis gcd(a,b) adalah bilangan bulat positif d yang memenuhi syarat-syarat: (i) d I a clan d I b. (ii) Bila c I a dan c I b maka c I d. Teorema (Teorema Fundamental Aritmetika) Setiap bilangan bulat positif p yang lebih besar dari 1 adalah bilangan prima atau basil kali dari bilangan-bilangan prima dengan penyajian atau penulisan yang tunggal, terlepas dari urutan faktor-faktomya. Bukti dari Teorema Fundamental Aritmetika dapat dikatakan cukup sulit dan tidak diberikan di sini. Meskipun demikian buktinya juga dapat dibaca pada buku teks standar tentang Teori Bilangan. BEBERAPA CONJECTURE TENTANG BILANGAN PRIMA.Di bawah ini dibahas lima conjecture tentang bilangan prima yang dipandang cukup penting, yaitu conjecture Goldbach, conjecture Bertrand, conjecture Hardy- Littlewood, conjecture Prima Kembar clan conjecture n Semua conjecture ini sampai sekarang masih merupakan persoalan tentang bilangan prima yang belum terselesaikan. Conjecture adalah suatu pernyataan atau dugaan yang secara matematis belum dapat dibuktikan kebenarannya maupun kesalahannya. Meskipun biasanya banyak sekali contoh kejadian yang membenarkan conjecture tersebut, tetapi bukti secara matematis dati conjecture tersebut belum diperoleh. 241

4 Risalah Lokakarya Komputasi dalam gains dan Teknologi Nuklir XIV, Juli 2003 Conjecture Goldbach Christian Goldbach ( ) adalah seorang matematikawan yang mendalami Teori Bilangan dan Analisis. Dia lahir di Prussia, Jerman, tinggal di beberapa negara Eropa Barat dan akhirnya menetap di Rusia. Conjecture Goldbach yang diumumkan dalam tahun 1742 menyatakan bahwa setiap bilangan bulat genap 2n yang lebih besar dati 4 merupakan jumlah dati dua bilangan prima yang ganjil. Dengan bantuan peralatan komputer, telah dapat diperlihatkan kebenaran conjecture Goldbach untuk semua bilangan bulat positif genap yang lebih kecil dati Bila bilangan genap 2n tersebut makin besar maka banyaknya cara penulisan untuk menyatakan 2n sebagai jumlah dati dua bilangan prima yang ganjil juga makin banyak. Sebagai contoh, terdapat cara penulisan untuk bilangan genap Meskipun conjecture Goldbach tampaknya benar, tetapi sampai sekarang belum ada bukti matematis dati conjecture tersebut. Bila conjecture Golbach benar, maka setiap bilangan bulat ganjil yang lebih besar dati 7 merupakan jumlah dati 3 bilangan prima yang ganjil. Hal ini berdasarkan fakta bahwa bila n adalah bilangan bulat ganjil yang lebih besar dati 7 maka n = 3 + (n-3) dengan n-3 adalah bilangan bulat genap yang lebih besar dati 4. Selanjutnya dengan conjecture Goldbach n- 3 merupakan jumlah dati dua bilangan prima yang ganjil. Jadi n merupakanjumlah dati 3 bilangan prima yang ganjil. Conjecture Bertrand Joseph Louis Francois Bertrand ( ) ada1ah seorang matematikawan Perancis yang menda1ami Teori Bi1angan, Analisis, Geometri Diferensial clan Teori Probabilitas. Conjecture Bertrand yang diumumkan dalam tahun 1845, menyatakan bahwa antara bilangan bulat n ~ 2 clan 2n terdapat sekurang-kurangnya satu bilangan prima. Meskipun dia tidak dapat membuktikan conjecture tersebut, tetapi dapat membuktikannya untuk semua bilangan-bilangan bulat n ~ Salah satu cara untuk memperoleh hasil ini adalah dengan membentuk barisan dati bilanganbilangan prima 3,5,7,13,23,43,83,163,317,631,1259,2503, 5003,9973,19937,39869,79699, ,... di mana setiap elemen ke n + 1 nilainya lebih kecil dati dua kalinya elemen ke n. 242

5 Beberapa Conjecture Tentang Bilangan Prima (Sangadji) Conjecture Hardy-Littlewood Godfrey Harold Hardy ( ) clan John Edensor Littlewood ( ) keduanya adalah matematikawan Inggris yang mendalami Analisis clan Teori Bilangan. Dalam tahun 1923 keduanya mengumumkan conjecture yang menyatakan bahwa Jl"(X + Y)~Jl"(X) + Jl"(Y) untuk semua bilangan-bilangan bulat x, y dengan 2 ~ Y ~ x, di mana 1l"(n) adalah banyaknya bilangan-bilangan prima yang lebih kecil atau sarna dengan n. Conjecture ini telah dicek kebenarannya untuk x + y ~ Untuk x = y terjadi pertaksamaan 1l"(2x) ~ 21l"(x). Telah dibuktikan kebenarannya bahwa 1l"(2x) < 21l"(x). untuk semua x ~ 11 dalam tahun Conjecture Prima Kembar Dua bilangan prima disebut Prima Kembar hila selisih mereka adalah dua. Sebagai contoh adalah pasangan bilangan prima 3 clan 5, 5 clan 7, 11 dan 13, 101 clan 103, serta 4967 clan Conjecture Prima Kembar menyatakan bahwa terdapat tak berhingga banyak pasangan bilangan prima p clan p + 2. Dalam tahun 1966 matematikawan Cina, J. R. Chen, membuktikan bahwa terdapat tak berhingga banyak bilangan prima p sedemikian sehingga p + 2 punya paling banyak dua faktor prima. Kompetisi untuk menghasilkan Prima Kembar yang paling besar sedang berjalan terns. Rekor saat ini adalah untuk pasangan bilangan pnma oo25:J: 1 yang ditemukan dalam tahun Conjecture n1 + 1 Conjecture n2 + 1 menyatakan bahwa terdapat tak berhingga banyak bilangan prima dengan bentuk n2 + 1 di mana n adalah bilangan bulat positif. Bilangan prima terkecil dengan bentuk n2 + 1 adalah 5 = , kemudian 17 = ,37 = ,101 = ,197 = , clan seterusnya. Hasil terbaik 243

6 Risalah Lokakarya Kornputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir XIV, Juli 2003 selama ini adalah bahwa terdapat tak berhingga bilangan bulat positif n sedemikian sehingga n2 + 1 adalah prima atau basil kali dan dua bilangan prima, yang telah dibuktikan oleh Hendrik Iwaniec dalam taboo KESIMPULAN Dari kelima conjecture di atas, meskipun banyak sekali contoh-contoh kejadian di mana kelima conjecture tersebut benar, tetapi secara matematis kelima conjecture tersebut belum dibuktikan kebenarannya. Sesuai dengan perkembangan teknologi komputasi dengan peralatan komputer yang sangat canggih, dimungkinkan terdapatnya bilangan-bilangan bulat yang besar sekali di mana conjecture tersebut tidak berlaku. Di pihak lain, dimungkinkan juga kebenaran dati beberapa conjecture di atas. Di samping kelima conjecture di atas masih terdapat banyak conjecture yang lain tentang bilangan prima, misalnya conjecture Collatz, conjecture Mertens dan conjecture Artin. DAFTAR PUSTAKA BURTON, David M., Elementary Number Theory, Fifth Edition, McGraw-Hill Higher Education, McGraw-Hill Company, New York, 2002 FLATH, Daniel E., Introduction to Number Theory, John Wiley & Sons Inc., New York, NNEN, I., H. Zuckerman, and H. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, Fifth Edition, John Wiley & Sons Inc., New York, ROSEN, Kenneth H., Elementary Number Theory and Its Applications. Fourth Edition, Addison Wesley Longman, Inc., Massachusetts,

7 Beberapa Conjecture Tentang Bilangan Prima (Sangadji) DISKUSI MIKE SUSMIKANTI Aplikasinya di bidang apa? Bagaiman algoritrnanya agar dapat dikonversi ke program? SANGADll 1 Aplikasi teori bilangan antara lain pada kriptografi, perhitungan kalender, persarnaan diophantine yang solusinya adalah integers dan penggunaan indeks. Dalam makalah ini mernang belum dibahas algoritmanya untuk konversi ke program. DAFT AR RIW A Y A T HIDUP 1. Nama : Sangadji 2. Tempat/fanggal Lahir : Solo, 16 Juni Instansi : P2TIK -BATAN 4. Pekerjaan / Jabatan : Kepala Bidang Infonnasi dan Dokumentasi Ilmiah / Peneliti 5. Riwayat Pendidikan : (setelah SMU sampai sekarang).si Jurusan Matematika, Universitas Gajah Mada, 1974.S2 Jurusan Matematika, University of Arizona, USA,1988.S3 Jurusan Matematika, University of Montana, USA, Pengalaman Kerja :.Kasubag Ilmiah dan Dokumentasi, PPNY-BATAN, Kabid.Kabid 7. Organisasi Profesional : Komputasi, P2TIK -BATAN illi, P2TIK -BATAN, 2002-sekarang.Himpunan Matematika Indonesia.Himpunan Fisika Indonesia 245