PERBANDINGAN METODE ROBUST LEAST MEDIAN OF SQUARE (LMS) DAN PENDUGA S UNTUK MENANGANI OUTLIER PADA REGRESI LINIER BERGANDA

Transkripsi

1 i PERBANDINGAN METODE ROBUST LEAST MEDIAN OF SQUARE (LMS) DAN PENDUGA S UNTUK MENANGANI OUTLIER PADA REGRESI LINIER BERGANDA Skripsi disusu sebagai salah satu syarat utuk memperoleh gelar Sarjaa Sais Program Studi Matematika oleh Laeli Sidik Febriato JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2016 i

2 ii ii

3 iii PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN Saya meyataka bahwa skripsi ii bebas plagiat, kecuali yag secara tertulis dirujuk dalam skripsi ii da disebutka dalam daftar pustaka. Apabila dikemudia hari terbukti terdapat plagiat dalam skripsi ii, maka saya bersedia meerima saksi sesuai ketetua perudag-udaga. Semarag, Jui 2016 Laeli Sidik Febriato iii

4 iv PENGESAHAN Skripsi yag berjudul Perbadiga Metode Robust Least Media of Square (LMS) da Peduga S utuk Meagai Outlier pada Regresi Liier Bergada. disusu oleh Laeli Sidik Febriato telah dipertahaka di hadapa sidag Paitia Ujia Skripsi FMIPA Uiversitas Negeri Semarag pada taggal 2 Jui 2016 Paitia, Ketua Sekretaris Prof. Dr. Zaeuri, S.E., M.Si., Akt. Drs. Arief Agoestato, M.Si. NIP NIP Ketua Peguji Drs. Sugima, M.Si. NIP Aggota Peguji / Aggota Peguji / Pembimbig I Pembimbig II Dr. Nur Karomah Dwidayati, M.Si. Putriaji Hedikawati, S.Si., M.Pd., M.Sc. NIP NIP iv

5 v MOTTO DAN PERSEMBAHAN MOTTO Ma Jadda Wajada (Umar bi Abd. Aziz) Da (igatlah juga), tatkala Tuhamu memaklumka; "Sesugguhya jika kamu bersyukur, pasti Kami aka meambah (ikmat) kepadamu, da jika kamu megigkari (ikmat-ku), maka sesugguhya azab-ku sagat pedih". (QS. 'Ibrahim [14] : 7) Orag-orag yag sukses telah belajar membuat diri mereka melakuka hal yag harus dikerjaka ketika hal itu memag harus dikerjaka, etah mereka meyukaiya ataupu tidak. (Aldus Huxley) Jika dirimu sediri tidak mampu mejadi motivasi utukmu meraih sukses, jadika orag tuamu sebagai motivasi utukmu meraih sukses. PERSEMBAHAN Utuk kedua orag tua tercita, Ibu Sukiyem da Bapak Surato Utuk Adikku tersayag, Dwi Aditya Utuk keluarga besar tercita Utuk Uiversitas Negeri Semarag v

6 vi KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT yag telah memberika ikmat da karuia-nya serta kemudaha sehigga peulis dapat meyelesaika skripsi yag berjudul Perbadiga Metode Robust Least Media of Square (LMS) da Peduga S utuk Meagai Outlier pada Regresi Liier Bergada. Peyusua skripsi ii dapat diselesaika berkat kerjasama, batua, da doroga dari berbagai pihak. Oleh karea itu peulis megucapka terima kasih kepada: 1. Prof. Dr. Fathur Rokhma, M.Hum., Rektor Uiversitas Negeri Semarag. 2. Prof. Dr. Zaeuri, S.E., M.Si., Akt., Deka FMIPA Uiversitas Negeri Semarag. 3. Drs. Arief Agoestato, M.Si., Ketua Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Negeri Semarag. 4. Drs. Mashuri, M.Si., Ketua Prodi Matematika FMIPA Uiversitas Negeri Semarag. 5. Dr. Nur Karomah Dwidayati, M.Si., selaku Dose Pembimbig I yag telah memberika bimbiga, pegaraha, asehat, da sara selama peyusua skripsi ii. 6. Putriaji Hedikawati, S.Si., M.Pd., M.Sc., selaku Dose Pembimbig II yag telah memberika bimbiga, pegaraha, asehat, da sara selama peyusua skripsi ii. vi

7 vii 7. Drs. Sugima, M.Si., selaku Dose Peguji yag telah memberika peilaia da sara dalam perbaika skripsi ii. 8. Drs. Mashuri, M.Si., selaku Dose Wali saya yag telah memberika bimbiga da araha. 9. Dose-dose Matematika Uiversitas Negeri Semarag yag telah membekali peulis dega berbagai ilmu selama megikuti perkuliaha sampai akhir peulisa skripsi ii. 10. Ibu da Bapak tercita, Ibu Sukiyem da Bapak Surato yag seatiasa memberika dukuga da doa yag tiada putusya. 11. Adik tersayag, Dwi Aditya yag selalu memberika semagat da doa. 12. Bidikmisi Uiversitas Negeri Semarag yag telah memberika dukuga secara materiil maupu o-materiil. 13. Tema-tema HIMATIKA da MSC yag telah memberika bayak pegalama orgaisasi. 14. Sahabat da tema-tema Jurusa Matematika FMIPA Ues. 15. Semua pihak yag tidak dapat disebutka satu per satu yag telah memberika batua. Peulis meyadari bahwa dalam peyusua skripsi ii masih terdapat bayak kekuraga. Oleh karea itu, peulis megharapka sara da kritik yag membagu dari pembaca. Semarag, Jui 2016 Peulis vii

8 viii ABSTRAK Febriato, Laeli Sidik Perbadiga Metode Robust Least Media of Square (LMS) da Peduga S utuk Meagai Outlier pada Regresi Liier Bergada. Skripsi, Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Negeri Semarag. Pembimbig Utama: Dr. Nur Karomah Dwidayati, M.Si. da Pembimbig Pedampig: Putriaji Hedikawati, S.Si., M.Pd., M.Sc. Kata Kuci: Outlier, Metode Robust, LMS, Peduga S. Aalisis regresi liier bergada diguaka utuk megukur pegaruh lebih dari satu variabel bebas (X) terhadap variabel terikat (Y). Estimasi parameter aalisis regresi umumya diselesaika dega Ordiary Least Square (OLS). Pada keyataaya bayak ditemuka kasus bahwa data megadug outlier yag meyebabka estimasi koefisie garis regresi dega OLS mejadi tidak tepat, sehigga diperluka metode regresi robust. Least Media of Square (LMS) da Peduga S merupaka metode-metode dalam regresi robust. Permasalaha yag dikaji dalam peelitia ii adalah meetuka metode terbaik dalam megatasi permasalah outlier. Peelitia ii megguaka simulasi dega data rekap Aggara Pedapata da Belaja Daerah (APBD) kabupate/kota di Pulau Jawa tahu 2010 dega variabel bebas meliputi Pedapata Asli Daerah (X1), Daa Bagi Hasil (X2), Daa Alokasi Umum (X3), Luas Wilayah (X4), da variabel terikat yaitu Belaja Modal (Y). Aalisis dimulai dega uji asumsi ormalitas, liieritas, keberartia simulta, keberartia parsial, multikoliearitas, heteroskedastisitas, da autokorelasi. Model regresi yag dapat diterima yaitu regresi data trasformasi logaritma dari data APBD dega variabel bebas meliputi Pedapata Asli Daerah (logx1) da Daa Bagi Hasil (logx2), serta variabel terikat yaitu Belaja Modal (logy). Pedeteksia outlier megguaka metode boxplot da Cook s Distace meujuka bahwa terdapat outlier, sehigga dilakuka pedugaa parameter regresi robust dega metode LMS da Peduga S. Metode LMS meghasilka ilai AIC sebesar 25,54423 da SIC sebesar 27,76414, sedagka dega metode Peduga S meghasilka ilai AIC sebesar 40,22523 da SIC sebesar 43, Peetua metode terbaik dega membadigka ilai AIC da SIC. Berdasarka hasil peelitia da pembahasa dapat disimpulka bahwa LMS merupaka metode regresi robust terbaik dibadigka metode Peduga S, karea metode LMS memiliki ilai AIC da SIC yag lebih kecil dibadigka dega metode Peduga S. viii

9 ix DAFTAR ISI Halama HALAMAN JUDUL... i PENYATAAN KEASLIAN TULISAN... iii HALAMAN PENGESAHAN... iv MOTTO DAN PERSEMBAHAN... v KATA PENGANTAR... vi ABSTRAK... viii DAFTAR ISI... ix DAFTAR TABEL... xiii DAFTAR GAMBAR... xv DAFTAR LAMPIRAN... xvi BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Rumusa Masalah Batasa Masalah Tujua Peelitia Mafaat Peelitia Sistematika Peulisa... 7 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Tijaua Pustaka Regresi Liier Bergada... 9 ix

10 x Residual Ordiary Least Square (OLS) Uji Asumsi Uji Normalitas Uji Liieritas Uji Keberartia Simulta Uji Keberartia Parsial Uji Multikoliearitas Uji Heteroskedastisitas Uji Autokorelasi Pecila (Outlier) Deteksi Outlier Metode Boxplot Metode Cook s Distace Regresi Robust M-Estimatio Least Media of Square (LMS) Least Trimmed Squares (LTS) Peduga S (S-Estimatio) MM-Estimatio Ukura Pemiliha Model Terbaik Aggara Pedapata da Belaja Daerah Belaja Modal x

11 xi Pedapata Asli Daerah Daa Bagi Hasil Daa Alokasi Umum Luas Wilayah Peelitia Terdahulu Keragka Berpikir BAB 3 METODE PENELITIAN 3.1 Fokus Peelitia Klasifikasi Peelitia Berdasarka Tujua da Pedekata Pegumpula Data Peyelesaia Masalah Pearika Kesimpula BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Uji Asumsi Regresi Liier Bergada Uji Asumsi Regresi pada Data APBD Uji Asumsi Regresi pada Data logapbd Estimasi Regresi Liier Bergada dega OLS Pedeteksia Outlier Metode Boxplot Metode Cook s Distace Pedugaa Parameter dega Metode LMS Pedugaa Parameter dega Metode Peduga S Nilai AIC da SIC Estimasi Regresi yag Diperoleh dega Metode xi

12 xii LMS da Metode Peduga S Pembahasa BAB 5 PENUTUP 5.1 Kesimpula Sara DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xii

13 xiii DAFTAR TABEL Tabel Halama Tabel 2.1 Kriteria Pegujia Autokorelasi dega Durbi-Watso Tabel 4.1 Hasil uji Kolmogorov-Smirov data APBD Tabel 4.2 Model Summary LM-Test data APBD Tabel 4.3 ANOVA regresi data APBD Tabel 4.4 Nilai α uji keberartia parsial data APBD Tabel 4.5 Nilai VIF variabel bebas pada data APBD Tabel 4.6 Nilai sigifikasi pada Uji Glejser data APBD Tabel 4.7 Model Summary regresi data APBD dega 3 (tiga) variabel bebas Tabel 4.8 Hasil uji Kolmogorov-Smirov data logapbd Tabel 4.9 Model Summary LM-Test data logapbd Tabel 4.10 ANOVA regresi data logapbd Tabel 4.11 Nilai α uji keberartia parsial data logapbd Tabel 4.12 Nilai VIF variabel bebas pada data logapbd Tabel 4.13 Nilai sigifikasi pada Uji Glejser data logapbd Tabel 4.14 Model Summary regresi data logapbd dega 2 (dua) variabel bebas Tabel 4.15 Koefisie regresi liier bergada pada data logapbd Tabel 4.16 Hasil pedeteksia outlier dega metode Cook s Distace xiii

14 xiv Tabel 4.17 Koefisie regresi robust pada data logapbd dega metode LMS Tabel 4.18 Koefisie regresi robust pada data logapbd dega metode Peduga S Tabel 4.19 Hasil perhituga ilai AIC da SIC xiv

15 xv DAFTAR GAMBAR Gambar Halama Gambar 2.1 Skema Idetifikasi Outlier Megguaka Boxplot Gambar 2.2 Diagram Alir Keragka Berpikir Gambar 3.1 Diagram Alir Peyelesaia Masalah Gambar 4.1 Boxplot Data logapbd xv

16 xvi DAFTAR LAMPIRAN Lampira Halama 1. Data APBD Hasil Uji K-S Data APBD Data Kuadrat dari Data APBD Output LM-Test Data APBD Output Regresi Data APBD Output Regresi Data APBD (X1, X2, X3 terhadap Y) Output Uji Glejser data APBD Data logapbd Hasil Uji K-S Data logapbd Data Kuadrat dari Data logapbd Output LM-Test Data logapbd Output Regresi Data logapbd (logx1, logx2, da logx4 terhadap logy) Output Regresi Data logapbd (logx1, logx2, da logx4 terhadap logy) Output Uji Glejser data logapbd Sytax pedugaa parameter regresi pada data logapbd dega metode LMS Output hasil pedugaa parameter regresi pada data logapbd xvi

17 xvii dega metode LMS Sytax pedugaa parameter regresi pada data logapbd dega metode Peduga S Output hasil pedugaa parameter regresi pada data logapbd dega metode Peduga S Tabel perhituga ilai AIC da SIC estimasi regresi dega metode LMS da metode Peduga S xvii

18 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Statistika memegag peraa petig dalam memecahka masalah yag terjadi pada berbagai macam bidag. Seperti bidag ekoomi, kepeduduka, kesehata, da kemilitera. Adaya permasalaha-permasalaha yag terjadi pada bidag-bidag tersebut, maka statistikawa berusaha memberika solusi berupa suatu hasil aalisis yag berkualitas yag pada akhirya dapat diguaka utuk pegambila keputusa. Aalisis regresi memiliki beberapa keguaa (Draper da Smith, 1992), diataraya utuk tujua deskripsi dari feomea data atau kasus yag sedag diteliti, utuk tujua kotrol, da sebagai prediksi. Regresi mampu medeskripsika feomea data melalui terbetukya suatu model hubuga yag bersifat umerik. Regresi juga dapat diguaka utuk melakuka pegedalia (kotrol) terhadap suatu kasus atau hal-hal yag sedag diamati melalui pegguaa model regresi yag diperoleh. Selai itu, model regresi juga dapat dimafaatka utuk melakuka prediksi variabel terikat. Aalisis Regresi Liier Bergada diguaka utuk megukur pegaruh atara lebih dari satu variabel prediktor (variabel bebas) terhadap variabel terikat. 1

19 2 Ordiary Least Square (OLS) (Draper da Smith, 1992) merupaka salah satu metode yag serig diguaka utuk medapatka ilai-ilai peduga parameter dalam pemodela regresi. Pegguaa OLS memerluka beberapa asumsi klasik yag harus dipeuhi oleh kompoe residual atau galat dalam model yag dihasilka. Beberapa asumsi itu atara lai: (1) Residual megikuti distribusi ormal, (2) varias dari residual adalah kosta da homoskedastisitas, (3) tidak ada autokorelasi, (4) tidak ada multikoliearitas di atara variabel bebas. Jika asumsi-asumsi klasik dalam metode OLS terpeuh maka peduga parameter yag diperoleh bersifat Best Liear Ubiased Estimasi (BLUE). Pada berbagai kasus tidak jarag ditemui hal-hal yag meyebabka tidak terpeuhiya asumsi klasik. Salah satu peyebabya adalah adaya pecila (outlier) dalam data amata. Data outlier (Makkulau et al., 2010) adalah data pegamata yag berada jauh (ekstrim) dari pegamata-pegamata laiya. Outlier mugki ada karea adaya data terkotamiasi, yaitu adaya kesalaha pada saat melakuka pegambila sampel pada populasi. Outlier yag disebabka oleh data terkotamiasi dapat dihapuska dari data peelitia atau jika memugkika dapat dilakuka samplig ulag. Jika setelah dilakuka beberapa samplig ulag amu data outlier tetap mucul maka data tersebut tidak dapat dihapuska dari data peelitia, karea aalisis data yag dihasilka aka tidak mecermika populasi yag diteliti.

20 3 Meurut Sembirig (Paludi, 2009:57), outlier adalah pegamata yag jauh dari pusat data yag mugki berpegaruh besar terhadap koefisie regresi. Keberadaa data outlier aka meggaggu dalam proses aalisis data. Kaitaya dalam aalisis regresi, outlier dapat meyebabka hal-hal berikut. 1. Residual yag besar dari model yag terbetuk atau E(e) 0 2. Varias pada data tersebut mejadi lebih besar 3. Taksira iterval memiliki retag yag lebar. Pedeteksia outlier merupaka tahapa yag perlu dilakuka terutama jika estimasi modelya dega OLS, yag dikeal cukup peka terhadap outlier. Pedeteksia outlier dapat dilakuka dega beberapa metode diataraya dega metode Boxplot da metode Cook s Distace. Metode Boxplot merupaka metode yag memperguaka ilai kuartil da jagkaua utuk medeteksi outlier, sehigga pada metode ii dapat megetahui adaya outlier utuk masig-masig variabel. Sedagka megguaka metode Cook s Distace dapat megetahui adaya outlier secara simulta pada variabel bebas. Saat ada asumsi yag tidak terpeuhi, maka pegguaa metode OLS aka memberika kesimpula yag bersifat kurag baik atau ilai peduga parameterya bersifat bias sehigga berakibat iterpretasi hasil yag diperoleh mejadi tidak valid (Nurcahyadi, 2010). Oleh karea itu, saat asumsi klasik tidak terpeuhi maka metode OLS perlu dihidari. Utuk megatasiya diperluka metode lai supaya aalisis data dega adaya data outlier tetap taha (robust) terhadap asumsi yag diterapka pada aalisis dataya. Metode tersebut dikeal dega metode robust.

21 4 Regresi robust diperkealka oleh Adrews (1972), yaitu metode regresi yag diguaka ketika distribusi dari residual tidak ormal atau adaya beberapa outlier yag berpegaruh pada model (Wijayati, 2015). Metode ii merupaka alat petig utuk megaalisa data yag dipegaruhi oleh outlier sehigga dihasilka model yag robust atau resistace terhadap outlier. Meurut Che (2014) regresi robust terdiri dari 5 metode peduga, yaitu estimasi robust M, estimasi robust least media of square (LMS), estimasi robust least trimmed square (LTS), estimasi robust S da estimasi robust MM. Pegguaa metode LMS data outlier yag ada tidak dibuag begitu saja, tetapi diproses da dielimiasi melalui sebuah iterasi. Metode ii mempuyai keutuga utuk meguragi pegaruh dari residual terhadap keakurata koefisie regresi. Megguaka media dari kuadrat residual, peduga yag dihasilka aka lebih kekar dalam meghadapi outlier. Pada peelitia Oktariada (2014) megeai perbadiga efisiesi metode LTS da metode LMS dalam estimasi parameter regresi robust. Perbadiga keakurata model megguaka koefisie determiasi da RMSE diperolehka kesimpula bahwa data yag diguaka dalam peelitia lebih sesuai megguaka peduga LMS dalam meduga parameter regresi. Selai itu, parameter duga yag dihasilka LMS relatif lebih efisie daripada LTS karea ragam parameter duga dari metode LMS lebih kecil daripada LTS. Dega kata lai metode LMS lebih efisie.

22 5 Peduga S bertujua utuk memperoleh peduga dega ilai simpaga baku terkecil. Pedugaa parameter dega Peduga S dapat meghasilka peduga yag bersifat robust terhadap outlier berpegaruh. Hasil peelitia Permaa (2014) meujuka metode Peduga S merupaka metode yag lebih baik dibadigka metode Least Trimmed Square (LTS) utuk meagai outlier pada regresi karea memiliki ilai Mea Square Error (MSE) lebih kecil. Peelitia ii difokuska pada metode estimasi parameter dega megguaka metode Robust LMS da Peduga S. Dari kedua model regresi robust yag dihasilka dari kedua metode tersebut diperoleh metode terbaik berdasarka ilai AIC da SIC terkecil. Pada peelitia ii megguaka batua software SPSS16 da SAS Rumusa Masalah Berdasarka latar belakag yag telah diuraika, maka permasalaha yag dikaji dalam peelitia ii adalah: 1. Bagaimaa hasil estimasi regresi liier bergada metode robust LMS da Peduga S pada data Aggara Pedapata da Belaja Daerah (APBD) kabupate/kota di Pulau Jawa tahu 2010? 2. Maakah metode regresi robust terbaik di atara metode LMS da metode Peduga S?

23 6 1.3 Batasa Masalah Batasa masalah yag dilakuka pada peelitia ii adalah sebagai berikut: 1. Idetifikasi outlier haya megguaka metode boxplot da Cook's distace. 2. Peelitia haya megguaka metode LMS da metode Peduga S? 3. Paket program yag medukug peelitia adalah SPSS16 da SAS Tujua Peelitia Berdasarka permasalaha yag dikaji, peelitia ii mempuyai tujua: 1. Memperoleh hasil estimasi regresi liier bergada metode robust LMS da Peduga S pada data Aggara Pedapata da Belaja Daerah (APBD) kabupate/kota di Pulau Jawa tahu Memperoleh metode regresi robust terbaik di atara metode LMS da metode Peduga S. 1.5 Mafaat Peelitia Mafaat yag diperoleh dalam peelitia ii diataraya : Bagi Mahasiswa Bagi mahasiswa mafaat dari peelitia ii adalah agar dapat: 1. Memperoleh pegetahua tetag data outlier. 2. Memperoleh pegetahua megeai prosedur utuk memperoleh hasil estimasi regresi liier bergada metode robust LMS da Peduga S pada data Aggara Pedapata da Belaja Daerah (APBD) kabupate/kota di Pulau Jawa tahu Megguaka model regresi robust terbaik di atara metode LMS da metode Peduga S utuk keperlua peramala.

24 Bagi Pembaca Bagi pembaca mafaat dari peelitia ii adalah agar dapat: 1. Meambah atau memperkaya khasaah kepustakaa Jurusa Matematika. 2. Meambah topik kajia tetag metode LMS da metode Peduga S. 3. Meramalka data yag megadug outlier megguaka model regresi robust tapa membuag data outlier yag ada. 1.6 Sistematika Peulisa Secara garis besar skripsi ii dibagi mejadi tiga bagia yaitu bagia awal skripsi, bagia isi skripsi, da bagia akhir skripsi. Berikut ii dijelaska masigmasig bagia skripsi Bagia awal skripsi Bagia awal skripsi meliputi halama judul, abstrak, halama pegesaha, halama motto da persembaha, kata pegatar, daftar isi, daftar gambar, daftar tabel, da daftar lampira Bagia isi skripsi Bagia isi terdiri dari lima bab. Adapu lima bab tersebut sebagai berikut. Bab 1 Pedahulua Pada bab Pedahulua dikemukaka tetag alasa pemiliha judul, permasalaha, batasa masalah, tujua peelitia, mafaat peelitia, da sistematika peulisa skripsi.

25 8 Bab 2 Ladasa Teori Pada bab Ladasa Teori dikemukaka kosep-kosep yag dijadika ladasa teori seperti regresi liier bergada, uji asumsi regresi liier bergada, outlier, deteksi outlier, regresi robust, da kriteria pemiliha motode terbaik. Selai itu, peelitia terdahulu da keragka berpikir juga dikemukaka pada bab ii. Bab 3 Metode Peelitia Pada bab Metode Peelitia berisi peetua masalah fokus peelitia, klasifikasi peelitia berdasarka tujua da pedekata, pegumpula data, peyelesaia masalah, da pearika kesimpula. Bab 4 Pembahasa Pada bab Pembahasa berisi hasil peelitia da pembahasa sebagai jawaba atas permasalaha. Bab 5 Peutup Pada bab Peutup dikemukaka kesimpula dari pembahasa da sara yag berkaita dega kesimpula Bagia akhir skripsi Bagia akhir skripsi meliputi daftar pustaka da lampira-lampira yag medukug.

26 9 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Tijaua Pustaka Regresi Liier Bergada Istilah regresi pertama kali dalam kosep statistik diguaka oleh Sir Fracis Galto dimaa yag bersagkuta melakuka kajia yag meujukka bahwa tiggi bada aak-aak yag dilahirka dari para orag tua yag tiggi cederug bergerak (regress) kearah ketiggia rata-rata populasi secara keseluruha ( diakses ). Galto memperkealka kata regresi (regressio) sebagai ama proses umum utuk memprediksi satu variabel, yaitu tiggi bada aak dega megguaka variabel lai, yaitu tiggi bada orag tua. Pada perkembaga berikutya hukum Galto megeai regresi ii ditegaska lagi oleh Karl Pearso dega megguaka data lebih dari seribu. Pada perkembaga berikutya, para ahli statistik meambahka isitilah regresi bergada (multiple regressio) utuk meggambarka proses dimaa beberapa variabel diguaka utuk memprediksi satu variabel laiya. Regresi dalam pegertia modere meurut Gujarati ( diakses ) ialah kajia terhadap ketergatuga satu variabel, yaitu variabel bebas terhadap satu atau lebih variabel laiya atau yag disebut sebagai variabel-variabel eksplaatori dega tujua utuk membuat estimasi da / atau memprediksi rata-rata populasi atau ilai 9

27 10 rata-rata variabel tergatug dalam kaitaya dega ilai-ilai yag sudah diketahui dari variabel eksplaatoriya. Meski aalisis regresi berkaita dega ketergatuga atau depedesi satu variabel terhadap variabel-variabel laiya hal tersebut tidak harus meyiratka sebab-akibat (causatio). Utuk medukug pedapatya ii, Gujarati megutip pedapat Kedal da Stuart yag diambil dari buku yag berjudul The Advaced Statistics terbit pada tahu 1961 yag megataka bahwa, suatu hubuga statistik betapapu kuat da sugestifya tidak aka perah dapat meetapka hubuga sebab akibat (causal coectio); sedag gagasa megeai sebab akibat harus datag dari luar statistik, yaitu dapat berasal dari teori atau laiya. Meurut Draper da Smith (1992) aalisis regresi liier bergada diguaka utuk megukur pegaruh atara lebih dari satu variabel prediktor (variabel bebas) terhadap variabel terikat. Betuk umum model regresi liier bergada dega p variabel bebas seperti pada persamaa (2.1) berikut. Y i = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X β p X p + e i (2.1) dega: Y i adalah variabel terikat utuk pegamata ke-i, utuk i = 1, 2,...,. β 0, β 1, β 2,, β p adalah parameter X 1, X 2,..., X p adalah variabel bebas e i adalah residual utuk pegamata ke-i yag diasumsika berdistribusi ormal yag salig bebas da idetik dega rata-rata 0 (ol) da variasi σ 2.

28 11 Betuk otasi matriks persamaa (2.1) dapat ditulis mejadi persamaa (2.2) berikut (Draper da Smith, 1992). Y = X β + e (2.2) dega: Y 1 1 Y Y = ( 2 ), X = 1 Y ( 1 X 11 X 21 X 1 X 12 X 22 X 2 Y X 1p 1 β 0 e 1 X 2p 1 β, β = ( 1 e 2 ), e = ( ) X p 1) β p e Serigkali persamaa (2.1) ditaksir oleh model dega persamaa (2.3) sebagai berikut (Draper da Smith, 1992) Residual Y i = b 0 + b 1 X 1 + b 2 X b p X p (2.3) Meurut Gujarati (2004) residual dalam regresi liear sederhaa merupaka selisih dari ilai prediksi dega ilai yag sebearya atau e i = Y i Y i. Namu pegguaa jarak e i = Y i Y i tidaklah memuaska. Dega memiimumkaya diperoleh hasil yag wajar seperti berikut: 2 i=1 e i = i=1 (Y i Y i) 2 (2.4) Meurut Sugkawa (2009) jika ilai pegamata terletak dalam garis regresi maka ilai residualya sama dega ol. Jadi jika total jarak atau ilai mutlak dari residual sama dega ol ( i=1 e i = 0) berarti semua ilai pegamata berada pada garis regresi. Semaki besar ilai residualya maka garis regresi semaki kurag tepat diguaka utuk memprediksi. Yag diharapka adalah total residu kecil sehigga garis regresi cukup baik utuk diguaka.

29 12 Meurut Sugkawa (2009) ilai residual aka semaki besar jika terdapat data outlier da dapat meuruka ilai koefisie regresi. Utuk meujukka apakah model regresi tersebut layak atau tidak maka beberapa persyarata harus dipeuhi, diataraya aggapa ilai residu meyebar ormal. Jika ii dipeuhi maka jelas total residualya sama dega ol ( i=1 e i = 0). Jadi apabila ilaiya jauh dari ol maka perlu dilakuka pegeceka (ormalitas serta adaya outlier) Ordiary Least Square (OLS) Meurut Sembirig (2003) salah satu peduga model utuk betuk regresi liier adalah dega metode Ordiary Least Square (OLS). Kosep dari metode ii adalah memiimumka jumlah kuadrat residual (selisih atara data sebearya dega data dugaa) dari model regresi yag terbetuk. OLS pertama kali diperkealka oleh Carl Freidrich Gauss, seorag ahli matematika dari Jerma. Metode ii merupaka metode yag palig bayak diguaka dalam pembetuka model regresi atau megestimasi parameter regresi dibadigka dega metodemetode yag lai. Utuk megestimasi koefisie garis regresi β 0, β 1, β 2,, β p pada p data suatu peelitia adalah (Sembirig, 2003): J = e 2 i = (Y i b 0 b 1 X 1 b 2 X 2 b p X p ) 2 i=1 i=1 (2.5) da itu harus berilai miimum. Pada persamaa (2.5) ilai X da Y berasal dari pegamata. Jika J berubah dituruka terhadap b 0, b 1, b 2,, b p, kemudia meyamakaya dega ol, sehigga diperoleh (Sembirig, 2003):

30 13 J = 2 b i=1 (Y i b 0 b 1 X 1 b 2 X 2 b p X p ) = 0 (2.6) o J = 2 b i=1 (Y i b 0 b 1 X 1 b 2 X 2 b p X p )X 1 = 0 (2.7) 1 J = 2 b i=1 (Y i b 0 b 1 X 1 b 2 X 2 b p X p )X p = 0 (2.8) p Persamaa (2.6), (2.7), da (2.8) dapat disederhaaka mejadi (Sembirig, 2003): b 0 + b 1 i=1 X 1 + b 2 i=1 X 1 X b p i=1 X 1 X p = i=1 Y i (2.9) b 0 i=1 X 1 + b 1 i=1 X b 2 i=1 X 1 X b p i=1 X 1 X p = i=1 X 2 Y i (2.10) b 0 X p + b 1 X 1 X p + b 2 X 2 2 i=1 i=1 i=1 2 X p + + b p i=1 X p = i=1 X p Y i (2.11) Apabila diyataka dalam betuk matriks, persamaa ormal (2.9), (2.10), (2.11) mejadi (Sembirig, 2003): X T Xb = X T Y (2.12) Dega demikia b sebagai peduga β dapat diperoleh melalui rumus (Sembirig, 2003): b = (X T X) 1 X T Y (2.13) Uji Asumsi Model regresi yag diperoleh dari OLS merupaka model regresi yag meghasilka estimator liier tidak bias yag terbaik (Best Liear Ubias Estimator/BLUE). Kodisi ii aka terjadi jika beberapa asumsi yag disebut dega asumsi klasik dipeuhi. Meurut Gujarati (Suliyato, 2008) dalam bukuya

31 14 yag berjudul Basic Ecoometrics, megemukaka ada beberapa asumsi klasik diataraya: 1. Nilai residual berdistribusi ormal. 2. Model regresi adalah liier, yaitu liier dalam parameter. 3. Variabel bebas berpegaruh secara sigifika terhadap variabel terikat. 4. Tidak terdapat multikoliearitas yag sempura. 5. Homoskedastisitas atau varia dari residual adalah kosta. 6. Tidak terdapat autokorelasi atara ilai residual Uji Normalitas Meurut Suliyato (2008) uji ormalitas dimaksudka utuk megetahui apakah residual yag telah distadardisasi berdistribusi ormal atau tidak. Nilai residual dikataka berdistribusi ormal jika ilai residual tersebut sebagaia besar medekati ilai rata-rataya sehigga bila residual tersebut berdistribusi ormal maka jika digambarka dalam betuk kurva, kurva tersebut aka berbetuk loceg (ell-shaped curve) yag kedua sisiya melebar sampai tidak terhigga. Melihat pegertia uji ormalitas tersebut maka uji ormalitas disii tidak dilakuka per variabel (uivariate) tetapi haya terhadap ilai residual terstadarisasiya saja (multivariate). Tidak terpeuhiya ormalitas pada umumya disebabka karea distribusi data yag diaalisis tidak ormal, karea tedapat outlier dalam data yag diambil. Nilai outlier ii dapat terjadi karea adaya kesalaha dalam pegambila sampel, bahka karea kesalaha dalam melakuka iput data atau memag karea karakteristik data tersebut memag aeh.

32 15 Utuk medeteksi apakah ilai residual terstadardisasi berdistribusi ormal atau tidak, dapat diguaka uji Kolmogorov-Smirov (Suliyato, 2008). Uji ii dilakuka dega megguaka lagkah-lagkah: 1. Membuat persamaa regresi. 2. Mecari ilai prediksiya (Y ). 3. Mecari ilai residualya (Y Y ). 4. Megurutka ilai residual terstadardisasi dari yag terkecil sampai yag terbesar. 5. Mecari ilai Z r relatif kumulatif. 6. Mecari ilai Z t teoritis berdasarka Tabel Z. 7. Meghitug selisih ilai Z r dega Z t da diberi simbol K. 8. Mecari ilai K mutlak terbesar da beri ama dega K hitug. 9. Badigka ilai K hitug dega Tabel Kolmogorov-Smirov (K tabel ). 10. Mearik kesimpula dega kriteria jika K hitug < K tabel maka residual terstadardisasi berdistribusi ormal, atau jika sig > 0,05 (pada perhituga megguaka SPSS16) maka residual berdistribusi ormal. Kosekuesi jika asumsi ormalitas tidak terpeuhi adalah ilai prediksi yag diperoleh aka bias da tidak kosiste. Utuk megatasi jika asumsi ormalitas tidak terpeuhi dapat diguaka bebarapa metode berikut (Suliyato, 2008): 1. Meambah jumlah data. 2. Melakuka trasformasi data mejadi log atau LN atau betuk laiya. 3. Meghilagka data yag diaggap sebagai peyebab data tidak ormal.

33 Uji Liieritas Meurut Suliyato (2008) pegujia liieritas perlu dilakuka utuk megetahui model yag dibuktika merupaka model liier atau tidak. Uji liieritas dilakuka agar diperoleh iformasi apakah model empiris sebaikya liier, kuadrat, atau kubik. Apabila salah dalam meetuka model regresi maka ilai prediksi yag dihasilka aka meyimpag jauh sehigga ilai prediksiya aka mejadi bias. Meurut Suliyato (2008) uji Lagrage Multipler (LM-Test) merupaka salah satu metode yag diguaka utuk megukur liieritas yag dikembagka oleh Egle pada tahu Prisip metode ii adalah membadigka atara ilai 2 X hitug berikut: 2 dega ilai X tabel dega df=(,α). Lagkah-lagkahya adalah sebagai 1. Membuat persamaa regresiya. 2. Mecari ilai prediksiya (Y ). 3. Mecari ilai residualya (Y Y ). 4. Meguadratka semua ilai variabel bebas. 5. Meregresika kuadrat variabel bebas terhadap ilai residualya. 6. Mecari ilai koefisie determiasiya (R 2 ) Meghitug ilai X hitug 2 X hitug dimaa adalah jumlah pegamata. = ( X R 2 ) seperti pada persamaa (2.14) = ( X R 2 ) (2.14) Mearik kesimpula uji liieritas, dega kriteria jikax hitug < X tabel dega df=(,α) maka model diyataka liier. Demikia juga sebalikya.

34 Uji Keberartia Simulta Meurut Suliyato (2008) pegujia keberartia simulta diguaka utuk meguji ketepata model. Uji sigifikasi simulta serig disebut uji F, diguaka utuk meguji apakah variabel bebas yag diguaka dalam model secara simulta (bersama-sama) mampu mejelaska perubaha ilai variabel tak bebas atau tidak. Meurut Suliyato (2008) uji sigifikasi simulta megguaka ilai F hitug yag dapat diperoleh dega perhituga rumus seperti pada persamaa (2.15 ). Nilai F hitug juga dapat diperoleh megguaka SPSS16. Kriteria pegujia keberartia simulta yaitu jika F hitug F tabel atau ilai sig (α ) < 0,05 maka variabel bebas yag diguaka dalam model secara simulta (bersamasama) mampu mejelaska perubaha ilai variabel tak bebas. Nilai F tabel diperoleh dari Tabel distribusi F dega df: α,(k-1),(-k). F = R2 /(k 1) 1 R 2 /( k) (2.15) Uji Keberartia Parsial Pegujia keberartia parsial perlu dilakuka utuk megetahui keberartia masig-masig variabel bebas terhadap variabel tak bebas. Uji keberartia parsial megguaka ilai t hitug, dega kriteria pegujia jika t hitug > t tabel atau ilai sig (α ) < 0,05 maka variabel bebas memiliki pegaruh yag berarti terhadap variabel tak bebas. Nilai t tabel diperoleh dega df: α,(-k). Nilai t hitug dapat diperoleh megguaka rumus dega persamaa (2.16) atau megguaka SPSS16.

35 18 t hitug = b j Sb j (2.16) Keteraga: b j Sb j = koefisie regresi = kesalaha baku koefisie regresi Uji Multikoliearitas Meurut Suliyato (2008) pegertia koliearitas serig dibedaka dega multikoliearitas. Koliearitas berarti terjadi korelasi liier yag medekati sempura atara kedua variabel bebas. Sedagka multikoliearitas berarti terjadi korelasi liier yag medekati sempura atara lebih dari dua variabel bebas. Multikoliearitas bisa terjadi saat adaya kesalaha spesifikasi model (spesificatio model). Hal ii dapat terjadi karea seorag peeliti memasuka variabel bebas yag seharusya dikeluarka dari model empiris. Dapat juga terjadi karea seorag peeliti megeluarka variabel bebas yag seharusya dimasukka dalam model empiris. Selai itu, adaya model yag berlebiha (a overdetermied model) juga dapat meyebabka multikoliearitas. Hal ii terjadi ketika model empiris (jumlah variabel bebas) yag diguaka melebihi jumlah data (observasi). Utuk medeteksi adaya masalah multikoliearitas, metode yag palig serig diguaka yaitu dega megguaka ilai VIF (Variace Iflatio Factor). Utuk megetahui ada tidakya multikoliearitas atar variabel, salah satu caraya dega melihat ilai Variace Iflatio Factor (VIF) dari masig-masig variabel bebas terhadap variabel terikatya. Meurut Gujarati (Suliyato, 2008), jika ilai VIF tidak lebih dari 10 maka model dikataka tidak megadug multikoliearitas.

36 19 Beberapa akibat yag timbul jika hasil estimasi model empiris megalami masalah multikoliearitas diataraya (Suliyato, 2008): 1. Peaksir OLS tidak bisa ditetuka (idetermiate) meskipu hasil estimasi yag dihasilka masih BLUE (Best Liear Ubiased Estimator). 2. Iterval kepercayaa cederug meigkat lebih besar sehigga medorog utuk meerima hipotesis ol (atara lai koefisie populasi adalah ol). 3. Nilai t-statistik koefisie dari satu atau beberapa variabel bebas secara statistik tidak sigifika sehigga dapat meyebabka dikeluarkaya suatu variabel bebas dalam model regresi, padahal variabel bebas tersebut memiliki pera yag sagat petig dalam mejelaska variabel terikat. 4. Peaksir-peaksir OLS da kesalaha bakuya cederug tidak stabil da sagat sesitif bila terjadi perubaha data, meskipu perubaha itu sagat kecil. 5. Jika multikoliearitas sagat tiggi maka mugki R 2 bisa tiggi amu sagat sedikit taksira koefisie regresi yag sigifika secara statistik. Meurut Suliyato (2008) beberapa cara utuk megatasi multikoliear diataraya memperbesar ukura sampel, meghilagka salah satu atau lebih variabel bebas, meggabugka data time series da data cross sectio, atau melakuka trasformasi data.

37 Uji Heteroskedastisitas Meurut Suliyato (2008) heteroskedastisitas berarti ada varias variabel dalam model yag tidak sama (kosta). Sebalikya jika varia variabel dalam model memiliki ilai yag sama (kosta) disebut sebagai homoskedastisitas. Utuk meguji adaya masalah heteroskedastisitas dapat dilakuka dega megguaka metode Glejser. Uji Glejser (Suliyato, 2008) dilakuka dega meregresika semua variabel bebas terhadap ilai mutlak residualya. Jika terdapat pegaruh variabel bebas yag sigifika terhadap ilai mutlak residualya (sig < 0,05) maka dalam model terdapat masalah heteroskedastisitas. Meurut Gujarati (Suliyato, 2008) ada beberapa kosekuesi sebagai akibat dari adaya masalah heteroskedastisitas dalam model persamaa regresi diataraya: 1. Walaupu peaksir OLS masih liier da masih tak bias, tetapi aka mempuyai varia yag tidak miimum lagi serta tidak efisie dalam sampel kecil. Lebih lajut peaksir OLS juga tidak efisie dalam sampel besar. 2. Formulasi utuk meaksir varia dari estimasi OLS secara umum adalah bias, dimaa bila meaksir secara apriori, seorag peeliti tidak dapat megataka bahwa bias tersebut aka positif atau egatif. Akibatya iterval kepercayaa da uji hipotesis yag didasarka pada uji t da ilai distribusi F tidak dapat dipercaya. 3. Prediksi yag didasarka pada koefisie parameter variabel bebas dari data asli aka mempuyai varia yag tiggi sehigga prediksi tidak efisie.

38 21 Meurut Suliyato (2008) perbaika model apabila terjadi masalah heteroskedastisitas diataraya melakuka trasformasi model regresi dega membagi model regresi dega salah satu variabel idepede yag diguaka dalam model regresi tersebut atau melakuka trasformasi logaritma da LN Uji Autokorelasi Meurut Suliyato (2008) uji autokorelasi bertujua utuk megetahui apakah ada korelasi atara aggota seragkaia data observasi yag diuraika meurut waktu (time series) atau ruag (cross sectio). Meurut Gujarati (Suliyato, 2008) ada beberapa cara utuk medeteksi adaya masalah autokorelasi salah satuya yaitu Uji Durbi Watso (Uji DW). Uji DW pertama kali diperkealka oleh J. Durbi da G. S. Watso tahu Rumus yag diguaka utuk Uji DW adalah DW = (e e t 1 )2 e (2.17) Keteraga: DW e e t 1 = Nilai Durbi-Watso Test = Nilai residual = Nilai residual satu baris/periode sebelumya dega kriteria pegujia tertera pada Tabel 2.1. Tabel 2.1 Kriteria Pegujia Autokorelasi dega Durbi-Watso DW Kesimpula < dl Ada autokorelasi positif dl s.d. du Ragu-ragu du s.d. 4-dU Tidak ada autokorelasi 4-dU s.d. 4-dL Ragu-ragu >4-dL Ada autokorelasi egatif

39 22 Meurut Gujarati (Suliyato, 2008) meyebutka beberapa kosekuesi dari muculya masalah autokorelasi dalam aalisis regresi bahwa peaksir OLS ubiased dalam peyampela berulag da kosiste, tetapi sebagaimaa dalam kasus heteroskedastisitas, peaksir OLS tidak lagi efisie (mempuyai varia miimum), baik dalam sampel kecil maupu sampel besar. Meurut Suliyato (2008) utuk memperbaiki autokorelasi dapat dilakuka dega cara diataraya dega membuat persamaa perbedaa yag digeeralisasika atau dega metode perbedaa pertama Pecila (outlier) Meurut Rousseeuw et al (1987) pecila (outlier) adalah data yag tidak megikuti pola umum pada model regresi yag dihasilka, atau tidak megikuti pola data secara keseluruha. Dalam suatu himpua data biasaya terdapat 10% amata yag merupaka outlier (Hampel et al., 1986). Jumlah maksimum outlier dalam data yag diperbolehka adalah 50%. Meurut Paludi (2009: 57) Outlier merupaka suatu kegajila da meadaka suatu titik yag sama sekali tidak tipikal dari data laiya. Apabila dalam pegamata terdapat data outlier, maka alteratif lagkah yag diambil adalah meghilagka atau membuag data outlier tersebut secara lagsug terlebih dahulu sebelum dilakuka aalisis lebih lajut. Data outlier tersebut dapat dibuag secara lagsug jika data tersebut diperoleh dari kesalaha tekis peeliti, seperti kesalaha mecatat amata atau ketika meyiapka peralata.

40 23 Meurut Paludi (2009: 57) keberadaa data outlier aka meggaggu dalam proses aalisis data da harus dihidari dari beberapa hal. Dalam kaitaya dalam aalisis regresi, outlier dapat meyebabka hal-hal berikut: 1. Residual yag besar dari model yag terbetuk E(e i ) 0 2. Varias pada data tersebut mejadi lebih besar 3. Taksira iterval memeliki retag yag lebar Meurut Draper & Smith (Paludi, 2009) adaya outlier berpegaruh aka memberika ilai peduga parameterya bersifat bias sehigga berakibat iterpretasi hasil yag diperoleh mejadi tidak valid. Namu meghidari outlier berpegaruh (meghapus outlier berpegaruh) dalam melakuka aalisis bukalah hal yag tepat utuk dilakuka. Adakalaya outlier memberika iformasi yag tidak bisa diberika oleh titik data laiya, misalya outlier timbul karea kombiasi keadaa yag tidak biasa yag mugki saja sagat petig da perlu diselidiki lebih jauh Deteksi Outlier Meurut Nurcahyadi (2010: 17) ketika peeliti medeteksi outlier, perlakua pertamaya adalah melihat kemugkia bahwa outlier merupaka data yag terkotamiasi. Data outlier dapat dikeali dega pemeriksaa visual dari data metahya (raw) atau dari diagram pecar dari variabel depede. Jika terdapat lebih dari dua variabel idepede, beberapa outlier mugki aka sagat sulit dideteksi dega pemeriksaa visual. Oleh karea itu, dibutuhka alat batu pada pemeriksaa visual yag dapat membatu dalam pedeteksia outlier.

41 24 Data outlier harus dilihat terhadap posisi da sebara data yag laiya sehigga aka dievaluasi apakah data outlier tersebut perlu dihilagka atau tidak. Berdasarka peelitia Ardiyati (2011) ada berbagai macam metode pedeteksia data outlier yag berpegaruh dalam koefisie regresi diataraya adalah metode boxplot, Leverage Value, Stadardized Residual, Breakdow Poit, da Cook s Distace. Dalam peelitia ii haya dibahas metode boxplot da Cook s Distace dalam pedeteksia outlier Metode Bloxplot Meurut Paludi (2009:58) metode boxplot merupaka metode yag memperguaka ilai kuartil da jagkaua utuk medeteksi Outlier. Kuartil 1, 2, da 3 aka membagi sebuah uruta data mejadi empat bagia. Jagkaua (IQR, Iterquartile Rage) didefiisika sebagai selisih kuartil 1 terhadap kuartil 3, atau IQR = Q 3 Q 1. Data Outlier dapat ditetuka yaitu ilai yag kurag dari 1,5*IQR terhadap kuartil 1 da ilai yag lebih dari dari 1,5*IQR terhadap kuartil 3 (Paludi, 2009: 58). Gambar 2.1. Skema Idetifikasi Outlier Megguaka Boxplot

42 Metode Cook s Distace Cook s Distace diperkealka oleh Cook (Yaffe, 2002:44). Cook s Distace merupaka salah satu ukura utuk medeteksi adaya outlier dalam data. D i = e i 2 hii pmse(1 h ii ) 2, (2.18) dega e i adalah residual ke i, MSE adalah rata-rata jumlah kuadrat residual, h ii merupaka ilai leverage utuk kasus ke i, da p bayakya variabel idepede ditambah kosta. Nilai leverage merupaka eleme-eleme diagoal dari matriks H. suatu data yag mempuyai ilai D i > 4 H = X i (X i T X i ) 1 X T i ( 2.19) disebut outlier Regresi Robust Regresi robust merupaka alat yag petig utuk megaalisis data yag terdeteksi sebagai data outlier. Regresi robust diguaka utuk medeteksi outlier da memberika hasil yag resiste terhadap adaya data outlier. Sedagka meurut Auuddi (1988), regresi robust ii ditujuka utuk megatatasi adaya data ekstrim serta meiadaka pegaruhya terhadap hasil pegamata tapa terlebih dulu megadaka idetifikasi. Metode ii merupaka metode yag mempuyai sifat (Auuddi,1988): 1. Sama baikya dega OLS ketika semua asumsi terpeuhi da tidak terdapat titik data yag berpegaruh. 2. Dapat meghasilka model regresi yag lebih baik daripada OLS ketika asumsi tidak dipeuhi da terdapat titik data yag berpegaruh.

43 26 3. Perhitugaya cukup sederhaa da mudah dimegerti, tetapi dilakuka secara iteratif sampai diperoleh dugaa terbaik yag mempuyai stadar residual parameter yag palig kecil. Pada regresi robust terdapat beberapapa estimasi, yaitu : M-Estimatio Salah satu regresi robust yag petig da palig luas diguaka adalah M- Estimatio. Pada prisipya M-Estimatio merupaka estimasi yag memiimumka suatu fugsi residual ρ da residualya (Pradewi, 2012: 3). β mi = i=1 ρ(e i ) = i=1 ρ (y i j=0 x ij ρ j ) (2.20) Berdasarka peelitia Pradewi (2012) pada estimasi parameter regresi robust M metode iterasi diperluka, karea residualya tidak dapat dihitug sampai diperoleh model yag cocok da parameter regresi juga tidak dapat dihitug tapa megetahui ilai Iteratively reweighted least squares (IRLS) adalah metode yag bayak diguaka Least Media of Squares (LMS) Meurut Rosseeuw da Leroy (1987) prisip dasar metode regresi robust peduga Least Media of Squares (LMS) adalah mecocokka sebagia besar data setelah outlier teridetifikasi sebagai titik yag tidak berhubuga dega data. Jika pada OLS hal yag perlu dilakuka adalah memiimumka kuadrat residual i=1 2 ( e i ), maka pada LMS hal yag perlu dilakuka adalah memiimumka media kuadrat residual yaitu: M j = mi{med e 2 i } = mi{m 1, M 2,, M s } (2.21) 2 dega e i adalah kuadrat residual hasil taksira dega OLS. k

44 27 Meurut Rosseeuw da Leroy (1987) utuk medapatka ilai M 1, dicari himpua bagia dari matriks X sejumlah h i pegamata, yaitu: h i = h 1 = [ 2 ] + [P+1 2 ] (2.22) di maa bayakya data, da p bayakya parameter ditambah satu. Meurut Rosseeuw da Leroy (1987) pada proses perhituga, ilai h i harus selalu dalam betuk bilaga bulat oleh karea itu, jika ilai hi buka dalam betuk bilaga bulat maka dilakuka pembulata ke atas. Selajutya utuk mecari M 2, ditetuka himpua bagia data dari matriks X sejumlah h 2 pegamata, yaitu : di maa = h 1 da p = 3. h i = h 2 = [ 2 ] + [P+1 2 ] (2.23) Demikia seterusya, sampai iterasi berahir pada iterasi ke-s yaitu saat h s = h s+1. Jadi aka diperoleh ilai M j seperti pada persamaa (2.21). Meurut Rosseeuw da Leroy (1987) karea LMS merupaka peduga pada regresi robust, maka sama hal ya dega peduga lai pada regresi robust, prisip dasar dari LMS adalah dega memberika bobot w ii pada data sehigga data outlier tidak mempegaruhi model parameter taksira. Bobot w ii ditetuka berdasarka taksira robust stadard deviatio yag diperoleh berdasarka hasil perhituga M j da σ. Berdasarka Rousseeuw (Parmikati, et al., 2013: ), bobot w ii dirumuska dega ketetua sebagai berikut: w ii = { 1, jika e i σ 2,5 0, laiya (2.24)

45 28 dega σ = 1,4826[1 + 5 p ] M j. (2.25) Setelah bobot w ii dihitug, dapat dibetuk matriks W sebagai berikut: w 11 w 12 w 1 w W = ( 21 w 22 w 2 ) (2.26) w 1 w 2 w dega etri matriks w ij = 0, dimaa i j. Setelah terbetuk matriks W, maka peaksir parameter regresi LMS dapat dihitug dega megguaka rumus (Parmikati, et al., 2013: ): β LMS = (X T WX) 1 (X T WY) (2.27) Adapu algoritma pedugaa parameter regresi robust dega metode LMS secara teoritis sebagai berikut: 1. Medapatka ilai M 1, dicari himpua bagia data dari matriks X sejumlah h i pegamata, yaitu h i = h 1 = [ ] + 2 [P+1 ] dega bayakya data da p 2 bayakya parameter ditambah satu. 2. Melakuka lagkah 1 sampai iterasi berahir pada iterasi ke-s yaitu saat h s = h s Membetuk matriks M j seperti pada persamaa (2.21). 4. Meghitug bobot w ii seperti pada persamaa (2.24). 5. Membetuk matriks W seperti pada persamaa (2.26). 6. Meghitug peduga parameter seperti pada persamaa (2.27).

46 Least Trimmed Squares (LTS) LTS diusulka oleh Rousseuw (1998) sebagai alteratif robust utuk megatasi kelemaha ordiary least squares (OLS), yaitu dega megguaka sebayak h(h ) kuadrat residual yag dituruka ilaiya. h 2 mi e i b i=1 (2.28) dega h = 3 + p (2.29) keteraga: e 2 i = kuadrat residual yag diurutka dari terkecil ke terbesar e 2 1 < e 2 2 < < e 2 i < < e 2 2 h < < e = bayakya sampel p = parameter regresi Jumlah h meujukka sejumlah subset data dega kuadrat fugsi objektif terkecil. Nilai h pada persamaa (2.29) aka membagu breakdow poit yag besar sebadig dega 50%. Utuk medapatka ilai residual pada LTS, diguaka algoritma LTS meurut Rousseeauw da Va Driesse (1999) dalam Willems da Aels (2005) adalah gabuga FAST-LTS da C-step, yaitu dega megestimasi parameter b 0, kemudia meetuka residual dega megguaka rumus e 2 i = (y i x i b) 2 yag bersesuaia dega b. Setelah itu h meghitug 0 2 e i, dega h 0 = (3+p+1) pegamata dega ilai e 2 i terkecil. i=1 4

47 30 Tahapa-tahapa tersebut dilakuka sampai diperoleh ilai residual terkecil da koverge Peduga S (S-Estimatio) Estimasi-S pertama kali diperkealka oleh Rousseeuw da Yohai (Susati, et al., 2013: ), Estimasi-S didefiisika sebagai β = mi β σ s(e 1, e 2,, e ) dega meetuka ilai estimator skala robust (σ s) yag miimum da memeuhi dega k mi ρ ( y i j=0 x ij β i=1 ) (2.30) σ s σ s = 1 w K i=1 i e 2 i (2.31) dega K = 0,199, w i = w σ (u i ) = ρ(u i ), da dipilih estimasi awal u i 2 σ s = media e i media(e i ) 0,6745 (2.32) Peyelesaia persamaa (2.30) dega cara mecari turuaya terhadap β sehigga diperoleh (Susati, et al., 2013: ): k ρ ( y i j=0 x ij β i=1 ) = 0 j = 0,1,, k σ s k x ij ψ ( y i j=0 x ij β i=1 ) = 0 j = 0,1,, k (2.33) σ s ψ disebut fugsi pegaruh yag merupaka turua dari ρ (ρ = ψ), turua dari fugsi ρ adalah ψ(u i ) = ρ (u i ) = { u i (1 ( u 2 i c )2 ), u i c 0, u i > c (2.34)

48 31 dega w i merupaka fugsi pembobot IRLS w i (u i ) = ψ(u i) c = { u i (1 ( u 2 i c )2 ) u i, u i c 0, u i > c (2.35) 2 w i (u i ) = { (1 (u i c )2 ), u i c 0, u i > c (2.36) dega u i = e i da c = 1,547. Persamaa (2.33) dapat diselesaika dega IRLS σ s sehigga mecapai koverge. Adapu algoritma pedugaa parameter regresi robust dega metode Peduga S secara teoritis sebagai berikut: 1. Meghitug residual awal yag diperoleh dari OLS. 2. Meghitug stadar deviasi residual σ s utuk medapat ilai u i. 3. Meghitug ilai pembobot w i. 4. Meghitug OLS terbobot utuk medapatka peduga kuadrat terkecil terbobot dega rumus seperti pada persamaa (2.37) β s = (X T WX) 1 (X T WY) (2.37) 5. Mejadika residual lagkah (4) sebagai residual awal lagkah (3) sehigga diperoleh ilai σ s da pembobot w i yag baru. 6. Melakuka pegulaga iterasi IRLS (lagkah 1 sampai 5) sampai didapatka s s s kekovergea sehigga diperoleh β 0, β 1,., β p yag merupaka estimasi- S.

49 MM-Estimatio MM-Estimatio adalah metode yag pertama kali diperkealka oleh Yohai (Irfagutami, 2014: 45-47) yaitu dega yag meggabugka estimasi high breakdow poit da efisiesi statistik. Lagkah pertama dalam estimasi ii adalah mecari estimator S dega mejami ilai breakdow poit, kemudia meetapka parameter-parameter regresi megguaka estimasi M. Pada umumya diguaka fugsi Tukey Bisquare β baik pada estimasi S maupu estimasi M. Betuk dari metode MM-Estimatio adalah (Irfagutami, 2014: 45-47): β MM = arg mi ρ ( e i i=1 = arg mi ρ ( y i j=0 x ij β j i=1 ) (2.38) σ ) MM-Estimatio juga megguaka Iteratively Reweighted Least Squares (IRLS) utuk mecari estimasi parameter regresi. Adapu lagkah-lagkah dalam proses MM-Estimatio adalah: 1. Meghitug estimator awal koefisie β j (1) da residual e (1) i dari regresi robust dega high breakdow poit (estimasi S) dega bobot huber / bisquare (dilihat sebagai betuk estimasi M). 2. Residual e i (1) pada lagkah pertama diguaka utuk meghitug skala estimasi σ s (1) da dihitug pula pembobot awal w (1) i. 3. Residual e i (1) dega skala estimasi σ s pada lagkah kedua diguaka dalam iterasi awal sebagai peaksir WLS utuk meghitug koefisie regresi (1) i=1 w i ( e (1) i (1)) x i = 0, w (1) i.merupaka pembobot Huber/bisquare. σ s k σ

50 33 4. Meghitug bobot baru w i (2) dega skala estimasi dari iterasi awal WLS. 5. Megulag lagkah (2),(3),(4) (dega skala estimasi tetap kosta) sampai medapatka i=1 e (m) i koverge (selisih β j (m+1) da β j (m) medekati 0, dega bayak m iterasi) Ukura Pemiliha Model Terbaik Metode pemiliha model terbaik dalam aalisis regresi biasaya dega membadigka ilai MAE da MSE yag dirumuska sebagai berikut: MAE = 1 e i=1 i (2.39) MSE = 1 e i=1 i 2 (2.40) Tujua optimalisasi statistik serigkali dilakuka utuk memilih suatu model agar ilai MSE miimal, tetapi ukura ii mempuyai dua kelemaha. Pertama ukura ii meujukka pecocokka (fittig) suatu model terhadap data historis. Pecocoka seperti ii tidak selalu megimplikasika peramala yag baik. Suatu model yag terlalu cocok (over fittig) dega deret data berarti sama dega memasukka usur radom sebagai bagia proses bagkita, adalah sama burukya dega dega tidak berhasil megeai pola o acak dalam data. Kekuraga kedua dalam MSE sebagai ukura ketepata model adalah berhubuga dega keyataa bahwa metode berbeda aka megguaka prosedur yag berbeda pula dalam fase pecocoka. Selai itu MAE da MSE tidak memudahka perbadiga atar deret berskala yag berbeda da utuk selag waktu yag berlaia, karea MAE da MSE merupaka ukura absolut yag sagat tergatug pada skala dari data deret waktu. Lagi pula, iterpretasi ilai