IMPLEMENTASI PROGRAM SOFTWARE MATLAB DALAM MEMECAHKAN KASUS FISIKA: DINAMIKA SISTEM MASSA DAN PEGAS (PRINSIP NILAI DAN VEKTOR EIGEN)

Transkripsi

1 JURNAL SAINS DAN PENDIDIKAN FISIKA (JSPF) Jilid Nomor, Desember 5 ISSN 858-X IMPLEMENASI PROGRAM SOFWARE MALAB DALAM MEMECAHKAN KASUS FISIKA: DINAMIKA SISEM MASSA DAN PEGAS (PRINSIP NILAI DAN VEKOR EIGEN) Muh Sid L Jurus Fisik Fkults Sis d ekologi Uiversits Islm Negeri Aluddi Mkssr Kmpus Smt e-mil: muhmmdsidlto8@gmilcom Abstrct: Mtlb Softwre Progrm Implemettio i Solvig Physics Problem: Dymics Mss System d Sprig (Vlues d Eige Vectors Priciples) Mtlb softwre ws pplied i resolvig physics problems especilly i clcultio the mgitudo d eige vector Physics problem solved i this rticle ws oscilltor motio which cosists of four mss d four sprigs rget of this progrm pplictio ws to determie the sprig devitio legth, thus the mgitudo s well s the eige vector could be obtied he method pplied i this study ws usig the problem mgitudo d eige vector to clculte sprig devitio i Mtlb For the cse of oscilltory motio, determitio of ech mss of system d the sprigs costts hve bee specified ccordig to the system Equtio of motio for the mss-sprig system ws deduced by cosider ech poit of msses use the j t fuctio q() t ie, which is clled s fuctio of zts, the derived twice respect to time By usig Mthlb pplictio, the result obtied idicte tht by eploitig the eig (eige) commd i Mthlb progrm, it ws showed tht ruig of the Mthlb progrm would result ccurtely clcultio for vlue d eige vector Keywords: Mthlb, dymics, oscilltor, mgitude d eige vector Abstrk: Implemetsi Progrm Softwre Mtlb dlm Memechk Ksus Fisik: Dimik Sistem Mss d Pegs (Prisip Nili d Vektor Eige) Softwre Mtlb dipliksik dlm pemech ksus fisik megguk progrm perhitug ili d vektor eige Ksus fisik yg dipechk dlh sutu bed yg bergerk secr osiltor terdiri dri sistem empt mss d empt pegs uju pliksi progrm ii dlh utuk meetuk seberp besr simpg pegs, sehigg ili (hrg) d vektor eige dpt diperoleh Metode yg dilkuk dlh memftk persol ili d vektor eige utuk meghitug simpg pegs dlm progrm Mtlb Pd ksus gerk osiltor, peetu besr msig-msig sistem mss d kostt pegs telh ditetpk sesui sistem Persm gerk utuk sistem mss d pegs msig-msig ditiju j t setip titik mss d fugsi yg diguk dlh q() t ie, yg disebut sebgi fugsi zts, kemudi didiferesilk du kli terhdp wktu Deg megguk pliksi progrm Mtlb mk hsil yg diperoleh meujukk bhw deg memftk perith eig (eige) progrm mtlb dpt meujukk secr perhitug kurt hsil ruig (eksekusi) ili d vektor eige Kt Kuci: Mtlb, dimik, osiltor, ili d vektor eige Dlm kehidup sehri-hri, byk persol mtemtik sehigg dpt dipechk permslh dri feome rel yg dpt deg opersi perhitug tu ritmetik bis dijelsk mellui pembetuk model (tmbh, kurg, kli, d bgi) mtemtik Pd umumy perumus model Pd umumy metode umerik tidk mtemtik ii berup fugsi Dlm byk megutmk diperolehy jwb yg eksk ksus, tidk semu model mtemtik tersebut (tept), tetpi megushk perumus metode dpt diselesik secr mudh deg yg meghsilk jwb pedekt yg megguk metode litik, sehigg berbed dri jwb yg eksk sebesr sutu ili diguk metode umerik utuk mecri yg merupk glt dri metode yg peyelesiy Metode umerik dlh tekik diguk Nmu demiki, hsil perhitug yg diguk utuk memformulsik 5

2 5 Jurl Sis d Pedidik Fisik Jilid, Nomor, Desember 5, hl 5-58 deg metode umerik cukup dpt memberik solusi pd persol yg dihdpi Slh stu peerp dri metode umerik ii yitu dlm mslh ili eige d vektor eige Metode umerik memberik sutu cr ltertif yg diguk utuk meemuk ili eige d vektor eige dri sutu mtriks Cr yg diguk dlm metode umerik ii termsuk uik kre dlm peyelesiy hy diperluk opersi-opersi ljbr bis Hy sj, dlm peghitugy tidk cukup dilkuk sekli tetpi hrus dilkuk berulgulg smpi ditemuk ili yg koverge ke stu ili yg merupk ili peyelesiy Nili eige byk diguk utuk medptk solusi berbgi bidg Kre permslh ili eige cukup petig keguy, mk berbgi metode yg diguk utuk meemuk ili eige mejdi petig utuk dipeljri Metode umerik memberik sutu cr ltertif yg diguk utuk meemuk ili eige d vektor eige dri sutu mtriks, slh stuy yitu metode pgkt Dlm mecri ili eige d vektor eige megguk metode pgkt, k memerluk proses itersi yg sgt pjg utuk meemuk hsil yg medekti ili yg sebery Semki byk itersi yg dilkuk, mk semki bik hsil yg diperoleh Rumus mslh dri peeliti ii dlh: Bgim meyelesik persol ili d vektor eige deg megguk pliksi bhs pemrogrm Mtlb? Seberp besr ili d vektor eige pd proses pemech ksus dimik (gerk osiltor) sistem mss d pegs deg megguk pliksi bhs pemrogrm Mtlb? EORI Defiisi Nili d Vektor Eige Slh stu peerp mtriks pd persol fisik, dpt dijumpi dlm betuk persm A λ Deg A = ij dlh mtriks bujur sgkr berorde () d λ dlh sutu bilg (sklr) Utuk solusi trivil = berppu hrg λ k memeuhi, d bisy solusi ii tidk byk guy dlm fisik Utuk solusi o-trivil yitu, hrg λ yg memeuhi persm tersebut disebut ili eige tu ili krkteristik dri mtriks A d solusi yg bersesui deg persm yg diberik A λ disebut vektor eige tu vektor krkteristik dri A Jik persm tersebut diytk dlm betuk sistem persm yg terpish, misly: tu λ λ λ λ λ Jik rus k dipidhk ke rus kiri, mk persmy mejdi:

3 Muh Sid L, Implemetsi Progrm Softwre Mthlb dlm Memechk Sol Fisik 5 ( λ) ( Metode Jcobi λ) ( λ) ( λ) Slh stu metode utuk memechk persol ili d vektor eige dlh metode Jcobi Metode ii merupk metode betuk digolissi sutu mtriks deg megguk sistem koordit Misl ditetuk koordit du dimesi sebgi berikut: A A cosθ siθ siθ cosθ () Persm di ts dpt diytk dlm betuk mtriks: A A cosθ siθ siθ cosθ () tu dpt diugkpk dlm betuk persm secr umum yitu: A () Mtriks mtriks trspose: cosθ siθ memiliki siθ cosθ cosθ siθ () siθ cosθ Pd mtriks persm () d persm () dpt diperlihtk sift perkli mtriks yg disebut mtriks digolmtriks ii dpt diguk utuk persm eige I tu Ksus Fisik: Gerk Osiltor Sistem Empt Mss d Lim Pegs Berikut stu ksus utuk memechk persm dimik pd sistem mss d pegs seperti gmbr berikut ii Gmbr iju sistem empt mss d lim pegs iju pd setip titik mss, diperoleh: m q (k k k )q k q k q (k k k 5)q m q k q (k k )q k q (k k 5)q m q k q k q (k k )q k 5q q k q m 5 Fugsi zts yg diguk dlh: q t e jt ( ) i (5) deg i =,, ; d j = bilg kompleks berili, ω dlh simpg pegs Jik fugsi ii didiferesilk du kli terhdp wktu mk diperoleh: q t e jt ( ) i (6) Msukk hsil diferesil tersebut ke msig-msig tiju setip titik mss, sehigg dibetuk mejdi: ω m (k k k) k k (k k k5) m k (k k ) k (k k ) k m k m m ω 5 ω m k k (k k ) k 5 ω m k 5 k k k5 m

4 5 Jurl Sis d Pedidik Fisik Jilid, Nomor, Desember 5, hl 5-58 Pd ksus sistem mss d pegs di ts, k ditetuk msig-msig ili kostt pegs d pegs yg diguk yitu: m = kg; m = kg; m = kg; m = kg ; k = kgn/m; k = k = kgn/m; k = 5 kgn/m d k 5 = 5 kgn/m Msig-msig ili di ts disubtitusi kepersm tiju setip titik mss: ω ω 5 ω ω 5 Dri empt tiju tersebut, mk dpt diytk dlm betuk: ω Deg d A B A 55 B Utuk meetuk ili simpg pegs, dpt dihitug deg megguk persol ili d vektor eige Nili dlh vektor eige MEODE A Pergkt Luk d Kers yg diguk Dlm proses uji pemrogrm komputer yg dilkuk dlm peeliti ii megguk pergkt luk d pergkt kers Proses uji cob dilkuk pd sebuh PC deg itel (R) tom (M) CPU GHz 798 MHz deg memori,99 GB Sistem opersi yg diguk dlh Microsoft Widows XP Profesiol SP versio d bhs pemrogrm yg telh diguk dlh pd pliksi metode yitu MALAB 65 B Vribel Peeliti Dt prmeter yg dibutuhk terdiri dri beberp vribel yitu: Vribel bebs ili mss d kostt pegs, kedu prmeter ii sgt diperluk utuk proses pemodel dlm peiju gerk osiltor deg sistem empt mss d lim pegs sesui deg ksus yg ditetuk seperti pd gmbr b Vribel terikt: peetu ili d vektor eige deg megguk pliksi progrm Mtlb c Vribel kotrol : fugsi yg diguk dlm memechk ksus ii dlh fugsi zts, ksus gerk osiltor deg sistem empt mss d lim pegs yg ditetuk d bhs pemrogrm yg difokusk megguk Mtlb C Prosedur Peeliti Dlm peeliti ii dilkuk lgkhlgkh sebgi berikut: Membut model ksus gerk osiltor deg sistem empt mss d lim pegs seperti pd gmbr di ts, kemudi meetpk msig-msig ili mss d kostty (ili tidk boleh megguk dt ck mu perlu diperhitugk sesui deg tigkt kekurt dt) b Meiju setip mss d memodelk kedlm betuk persm diferesil orde du c Megguk fugsi zts q ( t ) e i jt sebgi fugsi pemech ksus d mediferesilk du kli terhdp wktu

5 Muh Sid L, Implemetsi Progrm Softwre Mthlb dlm Memechk Sol Fisik 55 d Seljuty hsil diferesil tersebut ke msig-msig persm setip mss (poit b), seljuty mesubstitusi ili mss d kostt pegs kemudi meghitugy d membut model mtriks sebgi lgkh terkhir sebelum msuk dlm proses pembut progrm e Dri progrm yg telh dibut mk seljuty me-ruig progrm tersebut deg megiput semu eleme-eleme mtriks tersebut, d lgkh seljuty mecetk kedu mtriks yg pd khiry ili d vektor eige diperoleh D Algorim Progrm Lgkh-lgkh dlm membut pliksi progrm Mtlb dlm peetu ili (hrg) d vektor eige pd sistem empt mss d lim pegs ditujukk dlm gmbr pd bgi khir rtikel ii HASIL DAN DISKUSI A Hsil Pemrogrm deg Komputsi Sebelum proses pembut bhs pemrogrm, terlebih dhulu medeskripsik betuk mtriks yg k diiput Berikut hsil mtriksy dlh: A 55 B Deg meliht skem lgoritm progrm seperti pd gmbr, mk dibut seljuty stu progrm komputsi megguk bhs pemrogrm deg tuju utuk meetuk ili d vektor eige berdsrk ksus fisik berup gerk osiltor deg sistem empt mss d lim pegs, sehigg diperoleh hsil eksekusi iliy Adpu fse bhs pemrogrm komputsi dlm softwre Mtlb terdiri dri beberp lgkh progrm yitu: Sipk rug utuk mtriks A: disp('sipk rug utuk mtriks A') Msukk jumlh bris d kolom mtriks A: m=iput('msukk jumlh bris='); =iput('msukk jumlh kolom='); M=zeros(m,); disp(' ') Iput eleme mtriks A: disp('## INPU ELEMEN MARIKS A ##') for i=:m for j=: disp(['a'umstr(i)','umstr(j)']) A(i,j)=iput(' = '); ed ed disp('mtriks A') disp('a=') disp(a) disp(' ') Sipk rug utuk mtriks B: disp('sipk rug utuk mtriks B') 5 Msukk jumlh bris d kolom mtriks B: =iput('msukk jumlh bris='); y=iput('msukk jumlh kolom='); B=zeros(,y); 6 Iput eleme mtriks B: disp('## INPU ELEMEN MARIKS B ##') for i=: for j=:y disp(['b' umstr(i) ',' umstr(j)']) B(i,j)=iput(' = '); ed ed disp('mtriks B') disp('b=') disp(b)

6 56 Jurl Sis d Pedidik Fisik Jilid, Nomor, Desember 5, hl Meetuk ili eige, lmbd=eig(a): disp('============================') disp('==== Nili Eige ====') disp('============================') lmbd=eig(m,k)' 8 Meetuk vektor eige, omeg= sqrt(oes(,)/lmbd): disp('============================') disp('==== Nili Eige ====') disp('============================') omeg=sqrt(oes(,y)/lmbd) Berikut hsil ruig progrm dpt ditmpilk pd jedel commd widow setelh ditek F5 sebgi berikut: PERSOALAN NILAI DAN VEKOR ================================ Sipk rug utuk mtriks A Msukk jumlh bris= Msukk jumlh kolom= ##INPU ELEMEN MARIKS A## A, = A, = A, = A, = A, = A, = A, = A, = A, = A, = A, = A, = A, A, A, A, = = = = Mtriks A A = Sipk rug utuk mtriks B Msukk jumlh bris= Msukk jumlh kolom= ## INPU ELEMEN MARIKS B ## B, = 55 B, = - B, = -5 B, = 6 B, = - B, = B, = - B, = 5 B, = -5 B, = - B, = 5 B, = -5 B, = B, = B, = B, = 5 Mtriks B B=

7 Muh Sid L, Implemetsi Progrm Softwre Mthlb dlm Memechk Sol Fisik ================================ ==== Nili Eige ==== ================================ lmbd = deg megguk pliksi bhs pemrogrm Mtlb diperoleh besr ili eige = 9; ; ; 7 d vektor eige 879; 76876; 5869; 969 Algoritm progrm MULAI ================================= ==== Vektor Eige ==== ================================= omeg = Dri hsil peetu deg megguk pliksi progrm dpt dikethui bhw ili eige (lmbd) diperoleh 9; ; ; 7 d vektor eige (omeg) dihsilk 879; 76876; 5869; 969 Jdi dpt diperkut bhw ili eige merupk hrg lmbd yg memeuhi krkteristik mtemtik-fisiky dlh A λ, sedgk vektor eige merupk solusi yg bersesui deg hrg λ Peetu ili d vektor eige ii merupk slh stu cr memechk sistem persm liier dlm ksus fisik, sehigg dpt disimpulk secr jels bhw progrm softwre Mtlb dpt meyelesik solusi ksus yg berkit deg dimik sistem mss d pegs dlm kosep komputsi fisik mtemtik Sipk rug utuk mtriks A Msukk jumlh bris d kolom mtirk A Iput eleme mtriks A Y Cetk mtriks A Sipk rug utuk mtriks B Msukk jumlh bris d kolom mtriks B Iput eleme mtriks B Y Cetk mtriks B Meetuk ili eige Lmbd=eig(A) idk idk SIMPULAN Utuk meyelesik persol ili d vektor eige deg megguk pliksi bhs pemrogrm Mtlb dpt dilkuk deg memftk perith eig yitu lmbd=eig(a,b) utuk meetuk ili eige d omeg=sqrt(oes(,y)/lmbd) utuk meetuk vektor eige b Pd proses pemech ksus dimik (gerk osiltor) sistem mss d pegs idk Meetuk vektor eige, Omeg= sqrt(oes(,)/lmbd) Cetk hsil ili d vektor eige Selesi

8 58 Jurl Sis d Pedidik Fisik Jilid, Nomor, Desember 5, hl 5-58 DAFAR RUJUKAN Amiuddi, Jmrud 8 Dsr-Dsr Fisik Komputsi Megguk MALAB Yogykrt: Gv Medi Arfke, G, 985 Mthemticl Metods for Phisicists rd ed, Acdemic Press Bos, Mry, L 98 Mthemticl Methods i he Phisicl Scieces Seco Editio Joh Wiley Crosby, ME, & Idig, M K 997 he Ifluece og Multimedi Physics utor d User Diffreceso the Developmet of Scietific Kowledge (pp5-) Computer & Eductio 9, 7-6 Etter, DM 99 Egieerig Problem Solvig with MALAB Pretice Hll Eglewood Cliff New Jersey 76 Gicolli, Dougls C, Fisik Jilid Ed 5 Erlgg Jkrt Guidi, AA, 6 MALAB Progrmmig Bdug: Iformtik Hllidy, Dvid & Robert Resick 99 Fisik Jilid d (Alih bhs: Ptur Silb d Erwi Sucipto), Edisi ke- Jkrt: Erlgg Jimoyiis, AMikropoulus, A & Rvis, K Studets Performce owrds Computer Simultios o Kiemtics (hemes I Eductio), () (i press) Supriyto Supro, 9, Komputsi utuk Sis d ekik Edisi Jkrt: Deprteme Fisik-FMIPA, Uiverists Idoesi o, PK 997Cofrotig Studet s Altertive Coceptios i Mechics with the Force d Motio Microworld Computer i Physics (), 99-7 Roswti Mudjirto, dkk Mtemtik Fisik Uiversits Pedidik Idoesi: Jurus Pedidik Fisik Fkults Pedidik Mtemtik d Ilmu Pegethu Alm Schroeder, DV, & Moore, A 99 A Computer-Simulted Ster-Gerlch Lbortory Americ Jourl of Physics 6, Wylie, CR, Jr 96 Advced Egieerig Mthemtics McGrw-Hill, New York