PERBANDINGAN SOLUSI NUMERIK INTEGRAL LIPAT DUA PADA FUNGSI ALJABAR DENGAN METODE ROMBERG DAN SIMULASI MONTE CARLO

Transkripsi

1 PERBANDINGAN SOLUSI NUMERIK INTEGRAL LIPAT DUA PADA FUNGSI ALJABAR DENGAN METODE ROMBERG DAN SIMULASI MONTE CARLO Ermwti i, PujiRyu ii, Fitus Zuiro iii i Dose Jurus Mtemtik FST UIN Aluddi Mkssr ii Msisw Jurus Mtemtik FST UIN Aluddi Mkssr iii Dose Jurus Mtemtik YPUP ABSTRAK, Itegrsi umerik merupk metode yg dpt diguk utuk meyelesik persol itegrl yg sulit diselesik secr litis. Artikel ii membs tetg perbdig tigkt kekurt tr metode Romberg d Simulsi Mote Crlo pd peyelesi itegrl lipt du utuk fugsi ljbr bik fugsi ljbr rsiol mupu irrsiol. Tigkt kekurt dpt di ketui dri perbdig glt tr kedu metode tersebut. Berdsrk sil simulsi pd beberp fugsi ljbr bik rsiol mupu irrsiol meujukk bw ili glt metode Romberg lebi kecil dibdigk metode Simulsi Mote Crlo, meskipu juml itersi utuk metode Simulsi Mote Crlo ju lebi besr dibdigk deg metode Romberg. Seigg dpt disimpulk bw metode Romberg lebi kurt dibdig deg metode Simulsi Mote Crlo, pd peyelesi itegrl lipt du deg fugsi ljbr bik yg rsiol mupu irrsiol. Kt Kuci: Itegrsi umerik, Glt, metode Romberg, Simulsi Mote Crlo. PENDAHULUAN Perkembg tekologi mempegrui berbgi segi keidup musi yg dpt membw perub pd bgim cr musi meyelesik permsl yg didpi. Hdiry pegru komputer membw perkembg yg terus berkeljut dlm melkuk pedekt utuk meyelesik permsl yg didpi. Byk permsl yg didpi dpt dimodelk ke dlm sutu persm itegrl. Nmu persm itegrl ii terkdg betuky rumit seigg sulit utuk diselesik deg megguk kidkid klkulus secr litik. Utuk itu diperluk btu komputer d metode pedekt yg tept utuk dpt meyelesik persm tersebut secr efisie d tept. Utuk megi pesm yg rumit dpt megguk metode umerik. Metode umerik merupk tekik dim msl mtemtik diformulsik sedemiki rup seigg dpt diselesik ole pegopersi mtemtik, dim peggu metode ii megsilk solusi mpir yg memg tidk persis sm deg solusi yg sebery (sejti). Ak tetpi tigkt kekurty dpt dilit dri glt sekecil mugki. Opersi itug dlm metode umerik umumy dilkuk deg itersi seigg juml itug yg dilkuk byk d berulg-ulg. Ole kre itu diperluk btu progrm pliksi komputer utuk melksk opersi itug tersebut. Metode umerik yg diguk utuk memeck persol itegrl disebut itegrsi umerik. Itegrsi umerik merupk sutu metode yg diguk utuk medptk ili-ili mpir dri beberp itegrl tetu yg memerluk peyelesi umerik sebgi mpiry. Peyelesi itegrsi deg metode umerik terdiri dri tig kelompok berdsrk proses peuruy yitu metode pis, metode Guss d metode Newto-Cotes. Metode pis seperti metode trpesium, segi empt d titik teg. Metode Guss seperti Guss Legedre titik, titik dmpi titik. Sedgk metode Newto- Cotes seperti metode trpesium, metode Simpso d metode Boole. Metode Romberg merupk gbug dri rumus trpesium rekursif d Boole Rekursif yg didsrk pd perlus ekstrpolsi Ricrdso seigg dpt memperole ili itegrsi yg semki bik. Seli itu, terdpt pul sebu metode yg megguk pembgkit bilg ck yg disebut Simulsi Mote Crlo. Wlupu megguk bilg ck, metode Simulsi Mote Crlo mempuyi kursi yg cukup tiggi kre berdsrk pd teori probbilits 6

2 JURNAL MSA VOL. 5 NO. ED. JAN-JUNI 7 d sttistik. Msl yg k di bs dlm rtikel ii berkit deg perbed tigkt kekurt tr metode Romberg d metode Simulsi Mote Crlo pd peyelesi itegrl lipt du pd fugsi ljbr, yg dimksudk utuk mejelsk perbdig tigkt kekurt peggu metode Romberg d Simulsi Mote Crlo dlm meyelesi itegrl lipt du pd fugsi ljbr.. TINJAUAN PUSTAKA Fugsi Sutu fugsi f merupk sutu tur korespodesi yg megubugk setip objek x dlm sutu impu pertm deg sutu ili tuggl f(x) dri sutu impu kedu. Secr gris besr fugsi dibedk mejdi du yitu fugsi ljbr d fugsi trsede. Fugsi ljbr dl fugsi yg diperole dri sejuml berigg opersi ljbr seperti pejuml, pegurg, perkli, pembgi, perpgkt d perik kr. Adpu yg termsuk fugsi ljbr dl fugsi polyomil, fugsi rsiol d fugsi irsiol. Itegrl Itegrl merupk peritug keblik dri diferesil sutu fugsi (sutu fugsi sl yg dituruk dpt kefugsi sly deg cr itegrl). Itegrl terdiri dri itegrl tktetu (idefiite) d itegrl tetu (defiite). Mislk f sutu fugsi yg didefiisik pd itervl tertutup [, b]. Jik d, mk diktk f dl teritegrsik pd [, b]. Lebi ljut b f(x) dx, disebut lim p f xi xi i Itegrl tetu (itegrl Riem) f dri ke b, kemudi diberik ole b f ( x) dx lim p f xi xi i Dlm bidg tekik, itegrl serig mucul dlm betuk itegrl gd du (lipt du) tu itegrl gd tig (lipt tig). Itegrl lipt du didefiisik sebgi berikut: f(x, y)da [ (x, y)dy] dx A b d d c b [ (x, y)dx] dy c ItegrsiNumerik Itegrsi umerik dl sutu metode yg diguk utuk medptk ili-ili mpir dri beberp itegrl tetu yg memerluk peyelesi umeric sebgi mpiry. Terdpt tig pedekt dlm meuruk rumus itegrl umerik. Pedekt pertm dl berdsrk tfsir geometri itegrl tetu. Der itegrsi dibgi ts sejuml pis (strip) yg berbetuk segiempt. Lus der itegrsi dimpiri deg lus seluru pis. Itegrsi umerik yg dituruk deg pedekt ii digologk kedlm metode pis. Kid itegrsi umerik yg dpt dituruk deg metode pis dl kid segiempt, kid trpezium d kid titik teg. Pedekt kedu dl berdsrk iterpolsi poliomil. Disii fugsi itegr f(x) dimpiri deg poliomil iterpolsi p(x). Seljuty, itegrsi dilkuk terdp p(x) kre poliom lebi mud diitegrlk dripd megitegrlk f(x). Rumus itegrsi umerik yg dituruk deg pedekt ii digologk kedlm metode Newto-Cotes, yitu metode umum utuk meuruk rumus itegrsi umerik. Adpu beberp kid itegrsi umerik yg dituruk dri metode Newto-Cotes tr li kid trpesium, kid Simpso d kid Simpso. Pedekt ketig sm sekli tidk 8 megguk titik-titik diskrit sebgim pd kedu pedekt di ts. Nili itegrl diperole deg megevlusi ili fugsi pd sejuml titik tertetu di dlm selg [-,], megliky deg sutu kostt, kemudi mejumlk keseluru peritug. Pedekt ketig ii dimk Kudrtur Guss. Metode Romberg Metode Romberg merupk metode itegrsi yg didsrk pd perlus ekstrpolsi Ricrdso yg disilk dri tur trpesium rekursif. Kelem dri metode ii 7

3 JURNAL MSA VOL. 5 NO. ED. JAN-JUNI 7 dl rus megguk juml itervl yg besr gu mecpi kursi yg dirpk. Sl stu cr utuk meigktk kursi dl deg membgi du itervl secr terus meerus smpi ili itegrl yg diitug deg k d k+ koverge pd sutu ili. Proses peyelesi itegrl deg megguk metode Romberg dpt dilit pd flow crt seperti pd gmbr berikut: Crlo dpt dilit pd flow crt seperti pd gmbr berikut: strt Iput x, x d x x R(,) T f(x, y) + f(x, y) Gmbr Flowcrt Peyelesi Itegrl deg Metode Romberg Simulsi Mote Crlo Metode simulsi Mote Crlo merupk sl stu metode itegrsi umerik deg cr memsukk sejuml N ili fugsi x secr rdom deg x berd dlm itervl itegrl, meuruk secr ck ili vribel tidk psti secr berulg-ulg dlm simulsi model. Rumus itegrsi umerik deg metode simulsi Mote Crlo dl sebgi berikut: b R(r, ) T k+ T k + k k+ f r ; r f(i) f x + i, r k+ R(r, s) s R(r, s ) R(r, s ) ( s ) Output I b f ( x) dx f ( xi) i Deg xi dl bilg rdom yg dibgkitk deg rg xi b d dl juml msukk (pegulg) byk dt yg diigik. Proses peyelesi itegrl deg megguk simulsi Mote ed Gmbr Flow Crt Peyelesi Itegl deg Simulsi Mote Crlo Glt Glt tu bis disebut error dlm metode umerik dl selisi tr yg ditimbulk tr ili sebery deg ili yg disilk deg metode umerik. Glt dibedk mejdi tig yitu:. Glt Mutlk Kesl mutlk dri sutu gk, pegukur, tu peritug dl perbed umerik ili sesugguy terdp ili pedekt yg diberik, tu yg diperole dri sil peritug tu pegukur. Kesl (Error) ili Eksk Nili perkir Jik dl mpir dri ili eksk mk glt mutlk dri dl E yg berrti mpir ili eksk glt. Glt Reltif e E A. Persetse Glt Glt Nili Eksk Persetse glt dl kli glt reltif ξ e % 8

4 JURNAL MSA VOL. 5 NO. ED. JAN-JUNI 7. METODOLOGI Prosedur Alisis Adpu prosedur peeliti yg diguk peulis utuk mecpi tuju peeliti dl sebgi berikut:. Memberik coto sol itegrl lipt du deg fugsi ljbr rsiol utuk diselesik secr litik,. Meyelesik coto sol megguk metode Romberg d Simulsi Mote Crlo secr umeric deg itersi d,. Megitug glt dri msig-msig metode d membdigk sily,. Mesimulsik beberp fugsi ljbr rsiol d irrsiol pd progrm Mtlb deg megguk metode Romberg d Simulsi Mote Crlo sesui deg flowcrt pd BAB II, 5. Membdigk sil simulsi utuk d. Kemudi meglisis glt mutlk dri kedu metode utuk medptk metode yg plig kurt.. PEMBAHASAN Diberik coto sol itegrl lipt du sebgi berikut: x y x dx dy Peyelesi secr Alitik Metode Substitusi: Misl u x du x dy du x dy utuk bts x > u, d utuk bts x > u xy dx dy y du dy x u l y dy l y 6 y l 6 Solusi di ts merupk solusi eksk. Nmu utuk meyelesik peritug secr umerik rus diub dlm betuk desiml utuk medptk solusi mpir. Ole kre itu, ili l jik diub dlm betuk 6 desiml mejdi,698 Peyelesi Secr Numerik Deg megguk 8 gk petig, sil peritug umerik metode Romberg d Simulsi Mote Crlo dl sebgi berikut: Metode Romberg:. Fugsi itegr yg didefiisik dl x y x +. Bts bw der itegrsi x, bts ts der itegrsi x Bts bw der itegrsi y, bts ts der itegrsi y. Utuk itersi : Itegrl pertm yg diselesik dl itegrl terdp x. Meetuk lebr itervl () pd bts x : x x b. Megitug itegrsi pd kolom pertm R(,): R(,) T f(x, y) + f(x, y) f(x, y) f(, y) f() f(x, y) f(, y) f() y R(,) T y y,5 y c. Megitug itegrsi pd bris kedu kolom pertm R(,): 9

5 JURNAL MSA VOL. 5 NO. ED. JAN-JUNI 7 k R(r, ) T k+ T k + k+ f j j, f i f x + i, r k+ R(,) T T + f f f x + f f ( ) y ( ), y,5 y R(,) T, y,6 y d. Megitug itegrsi pd bris kedu kolom kedu R(,): R(r, s) s R(r, s ) R(r, s ) s R(,) R(, ) R(, ) R(,) R(,) (,6 y),5 y,588 y Itegrl kedu yg diselesik dl itegrl terdp y deg fugsi.588 y :. Meetuk lebr itervl () pd bts y: y y. Megitug itegrsi pd kolom pertm R(,): R(,) T f(x, y ) + f(x, y ) f(x, y ) f(x, ),5858 () f(x, y ) f(x, ),5858 (),69696 R(,) T ( +,69696), Megitug itegrsi pd bris kedu kolom pertm R(,): k R(r, ) T k+ T k + k+ f j j, f i f y + i, r k+ R(,) T T + f f f y + f + f(),88 (),88 R(,) T, ,88,69696 e. Megitug itegrsi pd bris kedu kolom kedu R(,): R(,) R(, ) R(, ) R(,) R(,), Utuk itersi : (,69696),69696 Meyelesik itegrl pertm terdp x. Meetuk lebr itervl () pd bts x : x x. Megitug itegrsi pd kolom pertm R(,): R(,) T f(x, y) + f(x, y) f(x, y) f(, y) f() f(x, y) f(, y) f(),5 y R(,) T ( +,5y) 5

6 JURNAL MSA VOL. 5 NO. ED. JAN-JUNI 7 y,5 y. Megitug itegrsi pd bris kedu kolom pertm R(,): k R(r, ) T k+ T k + k+ f j j, f i f x + i, r k+ R(,) T T + f f f x + f f ( ) y ( ), y,5 y R(,) T, y,6 y. Megitug itegrsi pd bris ketig kolom pertm R(,): k R(r, ) T k+ T k + k+ f j j, f i f x + i, r k+ R(,) T T + (f + f ) f f x + f f ( ) y ( ).6586 y f f x + f + f ( ) y ( ),9569 y R(,) T,6 y (,6586 y +,9569 y),7 y 5. Megitug itegrsi pd bris keempt kolom pertm R(,): R(r, ) T k+ k T k + k+ f j j, f i f x + i, r k+ R(,) T T + 8 (f + f + f 5 + f 7 ) f f x + 8 f 8 ( 8 ) y,5595 y ( 8 ) f f x + 8 f + 8 f 8 ( 8 ) y ( 8 ),587 y f 5 f x f f 5 8 (5 8 ) y ( 5 8 ),977 y f 7 f x f f 7 8 (7 8 ) y ( 7 8 ),58795 y, y R(,) T 8 (,5595 y +,587 y + 5

7 JURNAL MSA VOL. 5 NO. ED. JAN-JUNI 7,977 y +,58795),795 y 6. Megitug itegrsi pd bris kedu kolom kedu R(,): R(r, s) s R(r, s ) R(r, s ) s R(,) R(, ) R(, ) R(,) R(,) (,6 y),5 y,888 y 7. Megitug itegrsi pd bris ketig kolom kedu R(,): R(,) R(, ) R(, ) R(,) R(,) (,7 y),6 y R(,),866 y Deg cr/formul yg sm, sil peritug utuk bris d kolom yg li dpt dilit pd tble berikut. Tbel Hsil itegrsi Romberg terdp x R(r,s).5 y.6 y.88 y.7 y.866 y.58 y.795 y.55 y.9 y.96 y Meyelesik itegrl kedu terdp y deg fugsi.96 y :. Meetuk lebr itervl () pd bts y: y y. Megitug itegrsi pd kolom pertm R(,): R(,) T f(x, y ) + f(x, y ) f(x, y ) f(x, ),96 () f(x, y ) f(x, ),96 (),698 R(,) T ( +,698),698. Megitug itegrsi pd bris kedu kolom pertm R(,): k R(r, ) T k+ T k + k+ f j j, f i f y + i, r k+ R(,) T T + f f f y + f + f(),96,96 R(,) T,698 +,96,698. Megitug itegrsi pd bris ketig kolom pertm R(,): R(,) T T + (f + f ) f f y + f +,96,5558 f f y + f +,96,6577 R(,) T,698 + (,5558 +,6577) 5

8 , Megitug itegrsi pd bris keempt kolom pertm R(,): R(,) T T + (f + f + f 5 + f 7 ) f f y + f + 8,96 f,57769 f f y + f + 8,96,78687 f 5 f y + 5 f ,96,8885 f 7 f y + 7 f ,96 JURNAL MSA VOL. 5 NO. ED. JAN-JUNI 7,6 R(,) T, (, , ,8885 +,6), Megitug itegrsi pd bris kedu kolom kedu R(,): R(r, s) s R(r, s ) R(r, s ) s R(,) R(, ) R(, ) R(,) R(,) Tbel Hsil itegrsi Romberg terdp y (,698),698,698 Deg cr/formul yg sm, sil peritug utuk bris d kolom yg li dpt dilit pd tble berikut: R(r,s),698,698,698,698,698,698,698,698,698,698 Metode Simulsi Mote Crlo. Fugsi itegr yg didefiisik dl x y x + b. Bts bw der itegrsi x bts ts der itegrsi x Bts bw der itegrsi y bts ts der itegrsi y c. Utuk itersi Itegrl pertm yg diselesik dl itegrl terdp x: ) Membgkitk bu dt (x i ) dri smpi pd Mtlb Mislk x i,7,9 ) Mesubstitusik msig-msig ili x i pd fugsi itegr: x,7 y,7,9556 y x,9 y,9,569 y ) Mejumlk ili x i : i x i,9556 y +,569 y,56668 y ) Megitug ili itegrsi I : I b i x i x,56668 y,68 y 5

9 JURNAL MSA VOL. 5 NO. ED. JAN-JUNI 7 Itegrl kedu yg diselesik dl itegrl terdp y deg fugsi itegr berub mejdi.68 y. ) Membgkitk bu dt (y i ) dri smpi pd Mtlb Mislk y i,, ) Mesubstitusik msig-msig ili y i pd fugsi itegr: y,68 y,68 (,),78 y,68 y,68 (,),98667 ) Mejumlk ili y i : i y i,78 +,98667,69 ) Megitug ili itegrsi I : I d c i y i x,69,69 Mk diperole solusi kir utuk yitu, 69 d. Utuk itersi Itegrl pertm yg diselesik dl itegrl terdp x ) Membgkitk bu dt (x i ) dri smpi pd Mtlb Mislk x i,69,7,76,88 ) Mesubstitusik msig-msig ili x i pd fugsi itegr: x,69 y,69,6777 y x,7 y,7,78676 y x,76 y,76,786 y x,88 y,88,5 y ) Mejumlk ili x i : i x i,6777y +,78676y +,786y +,5 y,99 y ) Megitug ili itegrsi I : b I x i i I x,99 y, y Itegrl kedu yg diselesik dl itegrl terdp y deg fugsi itegr berub mejdi y. ) Membgkitk bu dt (y i ) dri smpi pd Mtlb Mislk y i,79,,5,75 ) Mesubstitusik msig-msig ili y i pd fugsi itegr: y, y, (,79),559 y, y, (,),777 y, y, (,5),77 y, y, (,75), ) Mejumlk ili y i : i y i,559 +,777 +,77 +,659958,896 ) Megitug ili itegrsi I : I d c i y i x,896,7578 Mk diperole solusi kir utuk yitu, 7578 Peritug Glt Metode Romberg Glt mutlk dri metode Romberg yitu sebgi berikut: ) utuk ε I I,698,69696,868 ) utuk ε I I 5

10 JURNAL MSA VOL. 5 NO. ED. JAN-JUNI 7.698,698,9 Metode Simulsi Mote Crlo Glt mutlk dri metode Simulsi Mote Crlo yitu sebgi berikut: ) utuk ε I I,698,69,887 ) utuk ε I I,698,7578,998 Seljuty disimulsik beberp fugsi ljbr rsiol d irrsiol dlm progrm Mtlb. Perbdig glt dri kedu metode tersebut dpt dilit pd tbel Apediks. Pd tbel pediks terlit bw utuk itersi dlm juml kecil ( d ), metode Simulsi Mote Crlo megsilk glt yg reltif lebi besr. Ole kre itu perlu disimulsik pul utuk itersi dlm juml yg besr ( d ). Seperti terlit pd tbel pediks. 5. KESIMPULAN Berdsrk pembs yg tel dilkuk dpt disimpulk bw pd peyelesi itegrl lipt du deg fugsi ljbr yg berbetuk rsiol d irrsiol, metode Romberg lebi kurt dibdigk deg metode Simulsi Mote Crlo. Hl ii dibuktik deg ili glt mutlk yg disilk metode Romberg ju lebi kecil dibdigk deg metode Simulsi Mote Crlo. Deg itersi, metode Romberg bis megsilk glt sebesr. pd fugsi ljbr rsiol d.7 pd fugsi ljbr irrsiol. Sedgk pd metode Simulsi Mote Crlo utuk itersi seklipu glt yg disilk tidk lebi kecil dri glt yg disilk metode Romberg. Metode Romber. Mkssr: UIN Aluddi. 9. Ardi, Pujiyt. Komputsi Numerik deg Mtlb. Yogykrt: Gr Ilmu. 7 Armi, Mummd dkk. Pemrogrm MATLAB. Yogykrt: ANDI,. Awy, Guidi Abdi. te Sorcut of Mtlb Progrmmig. Bdug: Iformtik Bdug, 6. Elsy, Zi. Coto Dftr Pustk Mkl D Skripsi, Artikel Ilmi Legkp, dikses dri ttp:// ETODE-NUMERIK#scribd, pd tggl Oktober 5 pukul. Hryoo, Nugroo gus. Peritug Itegrl Lipt Megguk Metode Mote Crlo. Jurl Iformtik vol. 5 o.. Yogykrt: Uiversits Kriste Dut Wc. 9. Herdi, Jul. Mtemtik Numerik Deg Implemetsi MATLAB. Yogykrt: ANDI.. Ilm, Mummd. Modul Itegrsi Numerik. Bdug: Istitut Tekologi Bdug.. Kossi, Buyug. Komputsi Numerik Teori d Apliksiy.Yogykrt: ANDI. 6. Muir, Rildi. Metode Numerik Revisi Kedu. Bdug: Iformtik Bdug. 8. Muir, Rildi. Metode Numerik sebgi Algoritm Komputsi.ttps://dirgmt9. files.wordpress.com.pdf ( Mei 5) Sid, Pegtr Komputsi Numerik deg MATLAB. Yogykrt: ANDI. 5. Sgdji, Metode Numerik. Yogykrt: Gr Ilmu. 8. Setiw, Agus. Pegtr Metode Numerik. Yogykrt: ANDI. 6. Supgt, Adi. Mtemtik utuk Ekoomi d Bisis. Jkrt: Pred Medi Grup DAFTAR PUSTAKA Ammr, Mummd. Solusi Peyelesi Itegrl Lipt Du deg Megguk 55

11 Apediks Tbel. Perbdig glt metode Romberg d Simulsi Mote Crlo No Fugsi Glt Romberg Glt Simulsi Mote Crlo x6 y x 7 dx dy + 5,7689,89,6568,77995 x y x dx dy,87,5,7,58876 x y 5 7x dx dy + 9,5789,9,88,976 5x 9y x dx dy 7,567,7989 6, , x y x dx dy,687,,6958, (x ) y dx dy,697,,596,758 7 x y dx dy,7558,6,59, xy ( + x) dx dy,866667,8,567868,59 9 x7 y 5 dx dy,9599,796,697977,95 5 x5 y dx dy,7,,976 9, x7 y dx dy,6757,,587,677 9 x5 9y dx dy,665799,5,6798,779 7 y x + dy dx,985,7,79,56796 y dx dy,9,,5 6,89 x xy dx dy,67866,6557,985,6759 x 56

12 tbel. Simulsi Mote Crlo utuk d JURNAL MSA VOL. 5 NO. ED. JAN-JUNI 7 No. Fugsi Simulsi Mote Crlo Glt Simulsi Mote Crlo y x + dy dx 8,66 8,995,65,65 5 (x ) dx dy y,575,59,97,858 x y dx dy 9,66 9,5995,665,9 y dx dy,69766,98975,689,986 x