BAB 7 MOMEN, KEMIRINGAN DAN KERUNCINGAN

Transkripsi

1 BAB 7 MOMEN, KEMIRINGAN DAN KERUNCINGAN A. Mome Misalka diberika variable x dega harga- harga : x, x,., x. Jika A = sebuah bilaga tetap da r =,,, maka mome ke-r sekitar A, disigkat m r, didefiisika oleh hubuga : Meurut Gasperz (989:87) Dimaa d = X - A m r = (x i A) r. () m r = Meurut Amudi Pasaribu (975:), j= (X j A) r = dr m h = ( k ) (x i a) h i=j Utuk A = didapat mome ke-r sekitar ol atau disigkat mome ke-r (mome sekitar titik asal): Meurut Gasperz (989:87) mome ke r = x i r X r = X r + X r + + X r Meurut Amudi Pasaribu (975:),.. () k m h = ( ) x i h i=j = j= X j r = Xr ௰ Dari rumus () maka utuk r = didapat rata-rata x. Jika A = x kita peroleh mome ke-r sekitar rata-rata, biasa disigkat dega m r. Jadi didapat : Meurut Gasperz (989:87) m r = (x i x) r. () m r = j= (X j X) r = (X X)r Mome, Kemiriga, da Keruciga Page

2 Meurut Amudi Pasaribu (975:), m h = ( k ) (x i x) h Utuk r =, rumus () memberika varias s. i=j Utuk membedaka apakah mome itu utuk sampel atau populasi maka dipakai simbol: m r da m r utuk mome sampel da µ r da µ r utuk mome populasi. jika m r da m r adalah statistik sedagka µ r da µ r adalah parameter. Jika data telah disusu dalam dalam betuk distribusi frekuesi, maka rumusrumus diatas berturut-turut berbetuk : Meurut Gasperz (989:9), m r = f i (x i A) r. (4) m r = j= Meurut Amudi Pasaribu (975:), Meurut Gasperz (989:9) f j (X j A) r k = m h = ( ) (x i a) h f i i=j f (X A)r mome ke r = f r ix 㐳.. (5) X r = f X r + f X r r + + f k X k = Meurut Amudi Pasaribu (975:), m h = ( ) x i h f i m r = f i (x i x) r k i=j dega = f i, x i = tada kelas iterval Meurut Gasperz (989:9) j= f j X j r. (6) da f i = frekuesi yag sesuai dega x i m r = j= f 〱 (X j X) r = f(x X)r = fxr Mome, Kemiriga, da Keruciga Page

3 Meurut Pasaribu (975:), m h = ( k ) (x i x) h Dega megguaka cara sadi, rumus empat mejadi : i=j f i m r = p r f i c i r. (7) Dega p = pajag kelas iterval, c i = variable sadi. Meurut Gasperz (989:9) m r = c k f r j= j u j r Dari m r, harga-harga m r utuk beberapa r, dapat ditetuka berdasarka hubuga : m = m (m ) m = m m m + (m ) m 4 = m 4 4m m + 6(m ) m + (m ) 4 Meurut Gasperz (989:96) m = m = m (m ) m = m m m + (m ) m 4 = m 4 4m m + 6(m ) m (m ) 4 Cotoh: Utuk meghitug empat buah mome sekitar rata-rata utuk data dalam daftar distribusi frekuesi, kita lakuka sebagai berikut. DATA f i c i f i c i f i c f i c i f i c 4 i jumlah Mome, Kemiriga, da Keruciga Page

4 Dega megguaka rumus (7) maka : m = p f i c i m = p f i c i m = p f i c i m 4 = p 4 f i c i 4 Sehigga dega megguaka hubuga di atas : m = m (m ) = 8,7 (,45) = 8,5 = 5 =,45 = 97 = 8,7 = = 8,9 = 4 5 = 4,9 m = m m m + (m ) = 8,9 (,45)(8,7) + (,45) =,69 m 4 = m 4 4m m + 6(m ) m + (m ) 4 = 4,9 4 (,45)(8,9) + 6(,45) (8,7) + (,45) 4 = 99,8 Dari hasil ii didapat varias s = m = 8,5 B. Kemiriga (Kemecega) Hasa (9:5) meyataka kemecega atau kecodoga (skewess) adalah tigkat ketidaksimetrisa atau kejauha simetri dari sebuah distribusi. Meurut Somatri (6:47), ukura kemiriga adalah suatu ukura yag dapat diguaka utuk meetuka mirig tidakya suatu kurva distribusi. Meurut Gasperz (989:98), ukura kemejulura atau kemecega (skewess) merupaka suatu ukura yag meujukka sejauh maa pergesera dari betuk yag simetri utuk suatu sebara atau distribusi. Sedagka meurut Herrhyato da Hamid (8 : 6.), ukura kemiriga adalah ukura yag meyataka sebuah model distribusi yag mempuyai kemiriga tertetu. Jadi ukura kemiriga adalah suatu ukura yag dapat diguaka utuk meetuka mirig tidakya suatu kurva distribusi dibadigka dega betuk yag simetri. C. Keruciga atau Kurtosis Keruciga atau kurtosis adalah tigkat kepucaka dari sebuah distribusi yag biasaya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi ormal. (Hasa, 9:7). Meurut Gasperz (989: 4), kurtosis adalah suatu ukura tetag keruciga dari sebuah sebara, yag biasaya dibadigka dega sebara ormal. Meurut Somatri Mome, Kemiriga, da Keruciga Page 4

5 (6:5), kurtosis merupaka tigkat megguugya suatu distribusi, yag umumya dibadigka dega distribusi ormal. Sedagka meurut Herrhyato da Hamid (8 : 6.), kurtosis adalah derajat kepucaka dari suatu distribusi, biasaya diambil relatif terhadap distribusi ormal. Jadi keruciga adalah tigkat kepucaka dari sebuah distribusi, yag biasaya dibadigka dega distribusi ormal. D. Koefisie Mome Kemiriga Utuk megetahui bahwa kosetrasi distribusi meceg ke kaa atau meceg ke kiri, dapat diguaka metode-metode berikut :. Koefisie Kemecega Pearso Koefisie Kemecega Pearso merupaka ilai selisih rata-rata dega modus dibagi simpaga baku. (Hasa, 9:6). Koefisie Kemecega Pearso dirumuska sebagai berikut: Keteraga : sk = koefisie kemecega Pearso s = simpaga baku M o = modus sk = x M o s Apabila secara empiris didapatka hubuga atar ilai pusat sebagai : x M o = (x M e ) Maka rumus kemecega diatas dapat diubah mejadi: sk = (x M e) s. Koefisie Kemecega Bowley Koefisie kemecega Bowley berdasarka pada hubuga kuartil-kuartil (Q, Q da Q) dari sebuah distribusi. (Hasa, 9:5). Begitu pula meurut Gasperz (989:) bahwa Bowley (A.L Bowley) medasarka rumusya pada ilai-ilai kuartil dari suatu sebara (distributio). Koefisie kemecega Bowley dirumuska : sk B = (Q Q ) (Q Q ) (Q Q ) + (Q Q ) Mome, Kemiriga, da Keruciga Page 5

6 Keteraga : skb = Q = atau sk B = Q Q + Q Q Q koefisie kemecega Bowley; kuartil. Koefisie Kemecega Persetil Gasperz (989:) megataka Ukura Kelly merupaka suatu ukura moderat atara ukura Pearso yag didasarka pada semua bagia data da ukura Bowley yag didasarka pada 5% dari bagia data. Kelly medasarka pada sebara atara persetil 9 (P 9 ) da persetil (P ). Jadi Koefisie Kemecega Persetil didasarka atas hubuga atar persetil (P9, P5 da P) dari sebuah distribusi (Hasa, 9:). Koefisie Kemecega Persetil dirumuska : sk P = (P 9 P 5) (P 5 P ) (P 9 P 5 ) + (P 5 P ) atau sk P = P 9 P 5 + P P 9 P skp = koefisie kemecega persetil, P = persetil 4. Koefisie Kemecega Mome Koefisie Kemecega Mome didasarka pada perbadiga mome ke- dega pagkat tiga simpaga baku. Koefisie kemecega mome dilambagka dega α. kemecega relatif. (Hasa, 9:) Koefisie kemecega mome disebut juga Meurut Gasperz (989:), kemejulura relatif α diguaka sebagai pegukura kemejulura sekitar rata-rata sebara teoritis (distribusi teoritis). Meurut Somatri (6:49), koefisie alpha ketiga merupaka rata-rata peyimpaga data dari rata-rataya dipagkatka tiga, dibagi dega simpaga baku pagkat tiga. Jadi koefisie kemecega mome adalah ilai perbadiga mome ke- dega pagkat tiga simpaga baku. Utuk mecari ilai α, dibedaka atara data tuggal da data berkelompok. a. Utuk data tuggal Koefisie kemecega mome utuk data tuggal dirumuska sebagai: á = koefisie kemecega mome á = M s = (x x) s Mome, Kemiriga, da Keruciga Page 6

7 Meurut Gasperz (989:), Meurut Pasaribu (975:8), b. Utuk data berkelompok 捦 = m s atau a = m ( m ) á = m s = s (x i x) Koefisie kemecega mome utuk data berkelompok dirumuska atau α = C fu s = ( Meurut Pasaribu (975:8), atau α = C fu = ( s i= α = 〱 s = (x x) f s ( fu fu fu ) ( ) + ( ) ) á = m s = s (x i x) i= f i ( fu fu fu ) ( ) + ( ) dalam pemakaiaya, rumus kedua lebih praktis da lebih mudah perhitugaya. ) E. Koefisie Mome Keruciga Utuk megetahui keruciga suatu distribusi, ukura yag serig diguaka adalah koefisie kurtosis persetil.. Koefisie keruciga Koefisie keruciga atau koefisie kurtosis dilambagka dega α4 (alpha 4). Utuk mecari ilai koefisie keruciga, dibedaka atara data tuggal da data kelompok. a. Utuk data tuggal Meurut Gasperz (989:), α 4 = Meurut Pasaribu (975:), (x x)4 s 4 a 4 = m 4 s 4 atau a 4 = m 4 m Mome, Kemiriga, da Keruciga Page 7

8 b. Utuk data kelompok atau α 4 = C4 fu4 4 = ( á 4 = m 4 s 4 = s 4 (x i x) 4 α 4 = Meurut Pasaribu (975:),. Koefisie kurtosis persetil i= (x x)4 f s 4 4 ( fu fu fu fu ) ( ) + 6 ( ) ( á 4 = m 4 s 4 = s 4 (x i x) 4 f i i= ) ( fu 4 ) ) Koefisie kurtosis persetil dilambagka dega K (kappa). Utuk distribusi ormal, ilai K=,6. Koefisie kurtosis persetil, dirumuska : K = (Q Q ) P 9 P F. Sifat Distribusi Data Berdasarka Koefisie Mome Kemiriga Da Koefisie Mome Keruciga.. Sifat Distribusi Data Berdasarka Koefisie Mome Kemiriga Sebuah distribusi yag tidak simetris aka memiliki rata-rata, media da modus yag tidak sama besarya (x M e M o ). Sehigga distribusi aka terkosetrasi pada salah satu sisi da kurvaya aka meceg. Jika distribusi memiliki ekor yag lebih pajag ke kaa daripada yag ke kiri maka distribusi disebut meceg ke kaa atau memiliki kemecega positif. Sebalikya, jika distribusi memiliki ekor yag lebih pajag ke kiri daripada yag ke kaa maka distribusi disebut meceg ke kiri atau memiliki kemecega egatif. Jika ilai sk dihubugka dega keadaa kurva maka : a. sk = kurva memiliki betuk simetris b. sk ilai-ilai terkosetrasi pada sisi sebelah kaa (x terletak disebelah kaa M o ) sehigga kurva memiliiki ekor memajag ke kaa, kurva meceg ke kaa atau meceg positif. Mome, Kemiriga, da Keruciga Page 8

9 c. sk ilai-ilai terkosetrasi pada sisi sebelah kiri (x terletak disebelah kiri M o ) sehigga kurva memiliiki ekor memajag ke kiri, kurva meceg ke kiri atau meceg egatif. Berikut ii gambar kurva dari distribusi yag meceg ke kaa (meceg positif) da meceg ke kiri (meceg egatif). Mo x x Mo (a) (b) Gambar Keteraga : Kemecega Distribusi (a) Meceg ke kaa (b) Meceg ke kiri a. Koefisie Kemecega Pearso Cotoh soal : Berikut ii adalah data ilai ujia statistik dari 4 mahasiswa sebuah uiversitas Nilai Ujia Frekuesi Jumlah 4 Tetuka ilai sk da ujilah arah kemecegaya (guaka kedua rumus tersebut)! Mome, Kemiriga, da Keruciga Page 9

10 Peyelesaia: Nilai X F U u F f 4 5, , , , , , , Jumlah 4-4 x = M + C fu f = 75,5 + ( ) = 75,5 8 = 67,5 4 s = C fu ( fu ) = 4 4 ( 4 ) = (,646) = 6,46 M e = B + ( f )o. C = 6,5 + f Me 4. = 6,5 + = 7,5 8 M o = L + d. C = 7,5 + = 7,5 + 4,9 = 74,4 d + d + 4 sk = x M o s = 67,5 74,4 6,46 Dega megguaka cara lai : sk = (x M e) s (67,5 7,5) sk = =,5 6,46 =,4 Oleh karea ilai sk-ya egatif (-,4) maka kurvaya meceg ke kiri atau meceg egatif. Mome, Kemiriga, da Keruciga Page

11 b. Koefisie Kemecega Bowley Koefisie kemecega Bowley serig juga disebut Kuartil Koefisie. Kemecega.Apabila ilai skb dihubugka dega keadaa kurva, didapatka : a. Jika Q - Q = Q - Q atau Q + Q - Q = maka skb = da distribusi dataya simetri b. Jika Q = Q maka skb = da distribusi dataya mirig ke kaa c. Jika Q = Q maka skb = - da distribusi dataya mirig ke kiri d. skb = ±, meggambarka distribusi yag meceg tidak berarti da skb>, meggambarka kurva yag meceg berarti. Cotoh soal : Tetuka kemecega kurva dari distribusi frekuesi berikut : Nilai Ujia Matematika Dasar I dari mahasiswa, 997 Nilai Ujia Frekuesi, 9,99 4, 9,99 9 4, 49,99 5 5, 59,99 4 6, 69,99 8 7, 79,99 5 Jumla Peyelesaia: Kelas Q = kelas ke Q = B + 4 ( f )o. C = 9,995 + f Q Kelas Q = kelas ke 4 Q = B + ( f )o. C = 49,995 + f Q Kelas Q = kelas ke 5 Q = B + 4 ( f )o. C = 59,995 + f Q 7,75. = 45, ,5 8. = 54,7 4 8,5 78. = 6,87 8 Mome, Kemiriga, da Keruciga Page

12 sk B = Q Q + Q 6,87 (54,7) + 45,895 = =,6 Q Q 6,87 45,895 Karea sk B egative (,6) maka kurva maka kurva meceg ke kiri. c. Koefisie Kemecega Persetil Cotoh Soal: Tetuka kemecega kurva dari distribusi frekuesi berikut: Nilai Ujia Matematika Dasar I dari mahasiswa, 997 Nilai Ujia, 9,99, 9,99 4, 49,99 5, 59,99 6, 69,99 7, 79,99 Frekuesi Jumlah Peyelesaia: Kelas P = kelas ke P = B b + ( f )o Kelas P 5 = kelas ke 4. C = 9,995 +, 4. =7,885 f Q 9 P 5 = B b + ( f )o. C = 49,995 + f Q Kelas P 9 = kelas ke 5 P 9 = B b + 55,5 8. = 69, ( f )o 99,9 78. C = 59, = 84, f Q 9 sk P = P 9 P 5 + P 84, (69,44) + 7,885 = =,6 P 9 P 84, 7,885 Karea sk B egative (,6) maka kurva maka kurva meceg ke kiri. Mome, Kemiriga, da Keruciga Page

13 d. Koefisie Kemecega Mome Apabila ilai αdihubugka dega keadaa kurva, didapatka : a. Utuk distribusi simetris (ormal), ilai α=, b. Utuk distribusi meceg ke kaa, ilai α = positif, c. Utuk distribusi meceg ke kiri, ilai α= egatif, d. Meurut Karl Pearso, distribusi yag memiliki ilai α > ±,5 adalah distribusi yag sagat meceg e. Meurut Keey da Keepig, ilai α bervariasi atara ± bagi distribusi yag meceg.. Sifat Distribusi Data Berdasarka Koefisie Mome Keruciga Berdasarka kerucigaya, kurva distribusi dapat dibedaka atas tiga macam, yaitu sebagai berikut : a. Leptokurtik : Merupaka distribusi yag memiliki pucak relatif tiggi. b. Platikurtik : Merupaka distribusi yag memiliki pucak hampir medatar c. Mesokurtik : Merupaka distribusi yag memiliki pucak tidak tiggi da tidak medatar Bila distribusi merupaka distribusi simetris maka distribusi mesokurtik diaggap sebagai distribusi ormal. Dari hasil koefisie kurtosis, ada tiga kriteria utuk megetahui model distribusi dari sekumpula data, yaitu koefisie keruciga atau koefisie kurtosis dilambagka dega α4 (alpha 4). Jika hasil perhituga koefisie keruciga diperoleh : ) Nilai lebih kecil dari, maka distribusiya adalah distribusi pletikurtik ) Nilai lebih besar dari, maka distibusiya adalah distribusi leptokurtik ) Nilai yag sama dega, maka distribusiya adalah distribusi mesokurtik Mome, Kemiriga, da Keruciga Page

14 leptokurtik mesokurtik platikurtik Gambar. Kurva Keruciga a) Koefisie keruciga Cotoh soal : tetuka keruciga kurva dari data,,6,8,! Peyelesaia : X = 6 s =,67 X X X (X X) Jumlah 978 α 4 = (x x)4 s 4 = (,67) 4 = 95,6 8,4 =,8 Karea ilaiya,8 (lebih kecil dari ) maka distribusiya adalah distribusi platikurtik. b) Koefisie kurtosis persetil Jika hasil perhituga koefisie keruciga diperoleh : a) Nilai lebih kurag dari,6, maka distribusiya adalah distribusi pletikurtik b) Nilai lebih lebih dari,6, maka distibusiya adalah distribusi leptokurtik c) Nilai yag sama dega,6, maka distribusiya adalah distribusi mesokurtik Mome, Kemiriga, da Keruciga Page 4

15 Cotoh soal : Berikut ii disajika tabel distribusi frekuesi dari tiggi mahasiswa uiversitas XYZ. a. Tetuka koefisie kurtosis persetil (K)! b. Apakah distribusiya termasuk distribusi ormal! Tiggi (ici) frekuesi (f) Jumlah Peyelesaia : Kelas Q = kelas ke Q = B + Kelas Q = kelas ke 4 Q = B + Kelas P = kelas ke P = B + Kelas P 9 = kelas ke 4 P 9 = B ( f )o f Q. C = 65,5 + 4 ( f )o f Q. C = 68, = 65, = 69,6 7 ( f )o f P. C = 6, = 6, 9 ( f 9 )o f P9. C = 68,5 + Koefisie kurtosis persetil (K) adalah : K = (Q Q ) P 9 P = = 7,8 7 (69,6 65,64) 7,8 6, =,5 Karea ilai K =,5 (K <,6) maka distribusiya buka distribusi ormal. Mome, Kemiriga, da Keruciga Page 5

16 DAFTAR PUSTAKA Akbar, Puromo Setiady da Husaii Usma. 6. Pegatar Statistika Edisi Kedua. Jakarta : PT Bumi Aksara Akdo da Riduwa.. Rumus da Data dalam Aalisis Statistika. Badug : Alfabeta. Daja, Ato, 986. Pegatar Metode Statistik Jilid II. Jakarta : LPES. Furqo Statistika Terapa Utuk Peelitia. AFABETA:Badug Gaspersz, Vicet Statistika. Armico:Badug Hamid, H.M. Akib da Nar Herrhyato. 8. Statistika Dasar. Jakarta : Uiversitas Terbuka. Harialdi, 5. Prisip-prisip Statistik utuk Tekik da Sais. Jakarta : Erlagga. Hasa, M. Iqbal.. Pokok Pokok Materi Statistika ( Statistik Deskriptif ). Jakarta : PT Bumi Aksara Herrhyato, Nar. 8. Statistika Dasar. Jakarta: Uiversitas Terbuka. Magkuatmodjo, Soegyarto. 4. Statistika Lajuta. Jakarta: PT Rieka Cipta. Pasaribu, Amudi Pegatar Statistik. Gahlia Idoesia : Jakarta Rachma,Mama da Muchsi Kosep da Aalisis Statistik. Semarag : CV. IKIP Semarag Press Riduwa.. Dasar-dasar Statistika. Badug : Alfabeta. Saleh,Samsubar STATISTIK DESKRIPTIP. Yogyakarta : UPP AMP YKPN. Siregar,Syofia.. Statistika Deskriptif utuk Peelitia Dilegkapi Perhituga Maual da Aplikasi SPSS Versi 7. Jakarta : Rajawali Pers. Somatri, Atig da Sambas Ali Muhidi. 6. Aplikasi statistika dalam Peelitia. pustaka ceria : Badug Subaa,dkk.. Statistik Pedidika. Pustaka Setia:Badug Sudijoo, Aas. 8. Pegatar Statistik Pedidika. Raja Grafido Persada.Jakarta Sudijoo, Aas. 9. Pegatar Statistik Pedidika. Jakarta : PT RajaGrafido Persada. Sudijoo, Aas Pegatar Statistik Pedidika. Jakarta : PT RajaGrafido Persada. Sudjaa, M.A., M.SC.5. METODE STATISTIKA. Badug: Tarsito Sugiyoo. 4. Statistika utuk Peelitia. Badug : Alfabeta. Suprato, 994. Statistik Teori da Aplikasi Jilid. Jakarta : Erlagga. Usma, Husaii & Setiady Akbar, Puromo.6. PENGANTAR STATISTIKA. Yogyakarta: BUMI AKSARA. Walpole, Roald E, 995. Pegatar Statistik Edisi Ke-4. Jakarta : PT Gramedia. Mome, Kemiriga, da Keruciga Page 6