Magister Pengelolaan Air dan Air Limbah Universitas Gadjah Mada. 18-Aug-17. 1http://istiarto.staff.ugm.ac.id. Statistika Teknik.

Transkripsi

1 Magister Pengelolaan Air dan Air Limbah Universitas Gadjah Mada Statistika Teknik Rentang Keyakinan 1

2 Rentang Keyakinan Estimasi Parameter Distribusi probabilitas memiliki sejumlah parameter. Parameter-parameter tsb umumnya tak diketahui. Nilai parameter tersebut diperkirakan (di-estimasi-kan) berdasarkan nilai yang diperoleh dari pengolahan data. Estimasi Estimasi tunggal (point estimates) Rentang keyakinan (confidence intervals)

3 Rentang Keyakinan Estimasi tunggal Contoh Nilai rata-rata sampel sbg estimasi nilai rata-rata populasi. X µ Nilai simpangan baku sampel sbg estimasi nilai simpangan baku populasi. s X σ X 3

4 Rentang Keyakinan Estimasi parameter q! ˆθ θ! estimasi parameter Dicari suatu interval [L,U] yang memiliki probabilitas (1 α) bahwa interval tsb mengandung θ. prob(l < θ < U) = (1 α) à Pers (1) L = batas bawah rentang keyakinan. U = batas atas rentang keyakinan. (1 α) = tingkat keyakinan (confidence level, confidence coefficient). L dan U = variabel random 4

5 Rentang Keyakinan Contoh Data debit Sungai A selama tahun 1981 s.d. 000 menunjukkan bahwa debit rata-rata adalah 77 m 3 /s. Kita dapat memperkirakan debit rata-rata Sungai A adalah 77 m 3 /s. Kita menyadari bahwa perkiraan tsb dapat salah; bahkan dari sisi pengertian probabilitas, kita tahu bahwa debit rata-rata sama dengan 77 m 3 /s adalah hampir tidak mungkin terjadi: prob( Q = 77 m 3 s) = 0 5

6 Batas Bawah dan Batas Atas Metode Ostle: method of pivotal quantities Dicari variabel random V yang merupakan fungsi parameter θ (θ = unknown), tetapi distribusi V ini tidak bergantung pada parameter yang tidak diketahui. Ditentukan v 1 dan v sedemikian hingga: prob( v 1 < V < v ) =1 α à Pers. () 6

7 Batas Bawah dan Batas Atas Metode Ostle: method of pivotal quantities ( ) =1 α prob v 1 < V < v Persamaan di atas diubah kedalam bentuk prob(l < θ < U) = 1 α L dan U adalah variabel random dan fungsi V, tetapi bukan fungsi θ. 7

8 Confidence Interval: μ suatu distribusi normal Mencari interval [L,U] yang mengandung µ, prob(l < µ < U) = 1 α Misalkan variabel random V: V = X µ s X V berdistribusi t dengan (n 1) degrees of freedom n adalah jumlah sampel yang dipakai untuk menghitung nilai ratarata sampel, X 8

9 V = X µ s X à berdistribusi t? Bukti Distribusi t: X = Y ν U V = X µ = X µ s X n ( = X µ ) s X, ν = degree of freedom ( ) σ = X µ s X ( ) σ n n 1 X i X σ ( ) Y = X µ ν n, U = X i X σ n σ = Y ( = X µ ) σ n 1 s X σ ν U, ν = n 1 9

10 Pers (): ( ) =1 α prob& v 1 < X µ prob v 1 < V < v $ % ' < v s ) =1 α X ( α a + α b = α prob(t < v 1 ) = α a prob(t > v ) = α b luas = α a t dengan (n 1) αa,n 1degrees of freedom luas = (1 α) luas = α b t αa,n-1 t1- a b t 1-αb,n-1 10

11 prob v 1 < X µ < v s =1 α X prob t < X µ αa < t,n 1 1 αb,n 1 =1 α s X prob( X + t s < µ < X + t s ) αa,n 1 X 1 α b =1 α,n 1 X l Jadi, confidence limits: l = X + t αa,n 1 s X u = X + t 1 αb,n 1 s X u s X = s X n tabel distribusi t t αa,n 1 11

12 Jika dikehendaki probabilitas confidence interval simetris, maka v 1 dan v dipilih sedemikian hingga prob(t < v 1 ) = prob(t > v ). Karena simetri, maka α a = α b = α/ Yang dicari adalah (1 α) = 100(1 α)% confidence interval à maka: prob(t < v 1 ) = α/ = prob(t > v ) luas = (1 α)/ luas = (1 α)/ luas = α/ luas = α/ t α = t 1 α t 1 α 1

13 Distribusi t luas = α/ luas = α/ luas = 1 α/ luas = 1 α/ ta t1- a luas = α/ luas = 1 α luas = α/ - t ta t1- a 1-a 13

14 Dengan demikian, confidence limits jika probabilitas confidence interval simetri adalah: l = X t 1 α,n 1 s X u = X + t 1 α,n 1 s X 14

15 n Kadang dikehendaki probabilitas confidence interval satu sisi q batas bawah à prob(t < v 1 ) = α q batas atas à prob(t > v ) = α luas = α ( ) =1 α prob& X µ prob V > v 1 prob V < v ' > v s 1 ) =1 α X ( ' < v s ) =1 α X ( luas = 1 α luas = 1 α $ % $ & % ( ) =1 α prob X µ luas = α ta t 1- a 15

16 Distribusi t Notasi t γ,n = nilai t sedemikian hingga probabilitas variabel random t dengan n degrees of freedom adalah lebih kecil daripada γ. misalkan: t 0.95,50 = nilai t sedemikian hingga prob(t < t 0.95,50 ) = 0.95 untuk t yang memiliki 50 degrees of freedom. 16

17 Distribusi t Dapat dibaca di tabel distribusi t Tabel Distribusi t Dapat dihitung dengan perintah/fungsi MSExcel T.DIST(t,ν,true) menghitung nilai prob(t < t) untuk menghitung nilai prob(t > t) à 1 T.DIST(t,ν,true) t = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusinya ν = degree of freedom one-tailed distribution T.INV(p,ν) mencari nilai t jika nilai p = prob(t < t) diketahui one-tailed distribution 17

18 Distribusi t untuk 50 degrees of freedom t = 1.6 prob(t < 1.6) = T.DIST(1.6,50,TRUE) = 0.94 prob(t < 1.6) = 1 T.DIST.RT(1.6,50) = prob(t < t ) = 0.95 t = T.INV(0.95,50) = t t = 1.6 t = 1.6 prob( 1.6 < T < 1.6) = 1 T.DIST.T(1.6,50) = t t prob(-t < T < t ) = 0.95 t = T.INV.T(1-0.95,50) = 18

19 Rentang Keyakinan: µ suatu distribusi normal Apabila varian populasi diketahui, maka variabel random V didefinisikan sbb.: V = X µ σ X, σ X = σ X n à V berdistribusi normal 19

20 Rentang Keyakinan: µ suatu distribusi normal, σ diketahui Rentang keyakinan l = X + z a σ X n u = X + z b σ X n Jika probabilitas rentang keyakinan diinginkan simetris l = X z 1 α σ X n u = X + z 1 α σ X n α a z a α 1 α α b z b 1 α α z α = z 1 α z 1 α 0

21 Rentang Keyakinan: σ suatu distribusi normal Mencari interval [L,U] yang mengandung σ dengan peluang prob(l < σ < U) = 1 α. Didefinisikan variabel random V: à V = n 1 ( ) s X σ X V berdistribusi chi-kuadrat dengan (n 1) degrees of freedom. 1

22 ( ) =1 α $ ( ) s X prob v 1 < V < v prob v 1 < n 1 ' < v σ & ) =1 α % X ( Pilih: sehingga: v 1 = χ α,n 1 v = χ 1 α,n 1 % prob ' χ α,n 1 & ( ) s X ( < n 1 ) s X σ X % atau: prob n 1 < σ χ X < n 1 ' & 1 α,n 1 ( < χ 1 α,n 1 * =1 α ) ( ) s X χ α,n 1 ( * =1 α )

23 Jadi batas bawah dan batas atas rentang yang mengandung σ X dengan tingkat keyakinan (1 α) adalah: batas bawah: batas atas: ( ) s X l = n 1 χ 1 α,n 1 ( ) s X u = n 1 χ α,n 1 Catatan: X berdistribusi normal χ berdistribusi chi-kuadrat 3

24 Distribusi chi-kuadrat tidak simetris: s X l u s X n» (n 1)» distribusi mendekati distribusi simetris, s X berada kira-kira di tengah-tengah rentang [L,U]. α α 1 α χ α χ 1 α 4

25 Rentang Keyakinan Satu Sisi Hanya diinginkan satu sisi rentang keyakinan saja hanya batas bawah rentang keyakinan µ prob( L < θ) =1 α l = X t 1 α,n 1 hanya batas atas saja rentang keyakinan µ prob( θ < U) =1 α u = X + t 1 α,n 1 5

26 6