INFERENSI STATISTIS: RENTANG KEYAKINAN

Transkripsi

1 Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan INFERENSI STATISTIS: RENTANG KEYAKINAN Statistika dan Probabilitas

2 Rentang Keyakinan Estimasi Parameter Distribusi probabilitas memiliki sejumlah parameter. Nilai parameter-parameter tsb umumnya tidak diketahui. Nilai parameter tersebut diperkirakan (di-estimasi-kan) berdasarkan nilai yang diperoleh dari pengolahan data. Estimasi n Estimasi tunggal (point estimates) n Rentang keyakinan (confidence intervals)

3 3 Rentang Keyakinan Estimasi tunggal Contoh n Nilai rata-rata sampel sebagai estimasi nilai rata-rata populasi X µ n Nilai simpangan baku sampel sebagai estimasi nilai simpangan baku populasi s X σ X

4 4 Rentang Keyakinan Estimasi parameter θ! ˆθ θ! estimasi parameter Dicari suatu rentang [L,U] yang memiliki probabilitas (1 α) bahwa rentang tsb mengandung θ. prob(l < θ < U) = (1 α) à Pers (1) L = batas bawah rentang keyakinan U = batas atas rentang keyakinan (1 α) = tingkat keyakinan (confidence level, confidence coefficient) L dan U = variabel random

5 Rentang Keyakinan 5 Contoh Data pengukuran temperatur udara di Yogyakarta pada periode 1991 s.d. 014 menunjukkan bahwa temperatur udara rata-rata di Yogyakarta adalah 30 C n Kita dapat memperkirakan bahwa temperatur udara rata-rata di Yogyakarta adalah 30 C. n Kita menyadari bahwa perkiraan tsb dapat salah; bahkan dari sisi pengertian probabilitas, kita tahu bahwa temperatur udara rata-rata sama dengan 30 C adalah hampir tidak mungkin terjadi: prob( T = 30 C) = 0

6 Batas Bawah dan Batas Atas 6 Metode Ostle: method of pivotal uantities Dicari variabel random V yang merupakan fungsi parameter θ (θ = unknown), tetapi distribusi V ini tidak bergantung pada parameter yang tidak diketahui. Ditentukan v 1 dan v sedemikian hingga: prob( v 1 < V < v ) =1 α à Pers ()

7 7 Batas Bawah dan Batas Atas Metode Ostle: method of pivotal uantities ( ) =1 α prob v 1 < V < v Persamaan di atas diubah kedalam bentuk prob(l < θ < U) = 1 α L dan U adalah variabel random dan fungsi V, tetapi bukan fungsi θ

8 8 Rentang Keyakinan μsuatu distribusi normal Mencari interval [L,U] yang mengandung µ, prob(l < µ < U) = 1 α Misal variabel random V: V = X µ s X V berdistribusi t dengan (n 1) degrees of freedom n adalah jumlah sampel yang dipakai untuk menghitung nilai rata-rata sampel

9 V = X µ s X à berdistribusi t? Bukti Distribusi t: X = Y ν U, ν = degree of freedom V = X µ = X µ s X n ( = X µ ) s X ( ) σ = X µ s X ( ) σ n n 1 X i X σ n σ = Y ( = X µ ) σ n 1 s X σ ν U ( ) Y = X µ ν n, U = X i X σ, ν = n 1 9

10 Pers () ( ) =1 α prob& v 1 < X µ prob v 1 < V < v α a + α b = α $ % ' < v s ) =1 α X ( prob(t < v 1 ) = α a dengan (n 1) degrees of freedom prob(t > v ) = α b luas = (1 α) luas = α a luas = α b t α t αa,n 1 a t α t 1 αb 1,n 1 b 10

11 " prob v 1 < X µ % $ <v s ' =1 α # X & " prob t < X µ % $ αa <t,n 1 1 αb,n 1 ' =1 α # & s X ( ) =1 α prob X +t! s <µ < X +t s αa,n 1 X 1 α b,n 1 X l u Jadi, batas rentang keyakinan: l = X +t αa,n 1 s X s X = s X n u = X +t! s 1 αb,n 1 X t αa,n 1 tabel distribusi t 11

12 Jika dikehendaki probabilitas rentang keyakinan adalah simetris, maka v 1 dan v dipilih sedemikian hingga prob(t < v 1 ) = prob(t > v ). Karena simetris, maka α a = α b = α/ Yang dicari adalah (1 α) = 100(1 α)% rentang keyakinan maka: prob(t < v 1 ) = α/ = prob(t > v ) luas = (1 α)/ luas = (1 α)/ luas = α/ luas = α/ t α = t 1 α t 1 α 1

13 Distribusi t luas = α/ luas = α/ luas = 1 α/ luas = 1 α/ t α t 1 α luas = α/ luas = 1 α luas = α/ t α = t 1 α t 1 α 13

14 Dengan demikian, confidence limits jika probabilitas confidence interval simetri adalah: l = X t 1 α,n 1 s X u = X + t 1 α,n 1 s X 14

15 n Kadang dikehendaki probabilitas rentang keyakinan satu sisi batas bawah à prob(t < v 1 ) = α batas atas à prob(t > v ) = α ( ) =1 α prob& X µ prob V > v 1 $ % $ & % ( ) =1 α prob X µ prob V < v ' > v s 1 ) =1 α X ( ' < v s ) =1 α X ( luas = α luas = 1 α luas = 1 α luas = α t α t 1 α 15

16 16 Distribusi t Notasi t α,n adalah nilai t sedemikian hingga probabilitas variabel random t yang memiliki n degrees of freedom adalah lebih kecil daripada α Misalnya: n t 0.95,50 adalah nilai t sedemikian hingga prob(t < t 0.95,50 ) = 0.95 untuk t yang memiliki 50 degrees of freedom Tabel distribusi t Tabel untuk membaca nilai t sebagai fungsi nilai probabilitas dan nilai degrees of freedom n Tabel ada di buku-buku statistika, ada di, dapat pula dibuat sendiri dengan memakai MSExcel

17 17 Distribusi t Dapat dihitung dengan perintah/fungsi MSExcel MSExcel 007 TDIST(t,ν,tails) n menghitung nilai prob(t > t) n untuk menghitung nilai prob(t < t) à 1 TDIST(t,ν,tails) n t = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusinya n ν = degree of freedom n tails = 1 (one-tailed distribution) atau (two-tailed distribution) TINV(p,ν) n mencari nilai t jika nilai p = prob(t > t) diketahui n two-tailed distribution n jika ingin mencari nilai t untuk one-tailed distribution, p diganti dengan p

18 distribusi t, 50 degrees of freedom MSExcel t = 1.6 prob(t < 1.6) = 1 TDIST(1.6,50,1) = 0.94 prob(t < t ) = 0.95 t = TINV(*(1-0.95),50) = 1.68 t 0.95 t = 1.6 t = 1.6 t t prob( 1.6 < T < 1.6) = 1 TDIST(1.6,50,) = prob(-t < T < t ) = 0.95 t = TINV(1-0.95,50) = 18

19 distribusi t, 50 degrees of freedom MSExcel t = 1.6 prob(t < 1.6) = T.DIST(1.6,50,TRUE) = 0.94 prob(t < 1.6) = 1 T.DIST.RT(1.6,50) = 0.94 prob(t < t ) = 0.95 t = T.INV(0.95,50) = 1.68 t 0.95 t = 1.6 t = 1.6 t t prob( 1.6 < T < 1.6) = 1 T.DIST.T(1.6,50) = prob(-t < T < t ) = 0.95 t = T.INV.T(1-0.95,50) = 19

20 0 Rentang Keyakinan μsuatu distribusi normal, σ diketahui Apabila varian populasi diketahui, maka variabel random V didefinisikan sbb. V = X µ σ X, σ X = σ X n à V berdistribusi normal

21 1 Rentang Keyakinan μsuatu distribusi normal, σ diketahui Rentang keyakinan l = X + z a σ X = X + z a σ X u = X + z b σ X = X + z b σ X n n α a 1 α α b z αa z 1 αb Rentang keyakinan simetris l = X z 1 α σ X = X z 1 α σ X u = X + z 1 α σ X = X + z 1 α σ X n n α z α = z 1 α 1 α z 1 α α

22 Rentang Keyakinan σ suatu distribusi normal Mencari interval [L,U] yang mengandung σ dengan probabilitas prob(l < σ < U) = 1 α Didefinisikan variabel random V: ( V = n 1 ) s X σ X à V berdistribusi chi-kuadrat dengan (n 1) degrees of freedom

23 ( ) =1 α $ ( ) s X prob v 1 < V < v prob v 1 < n 1 ' < v σ & ) =1 α % X ( Pilih: v 1 = χ α,n 1 v = χ 1 α,n 1 sehingga: % prob ' χ α,n 1 & ( < n 1 ) s X σ X ( < χ 1 α,n 1 * =1 α ) ( ) s X ( ) s X % atau: prob n 1 < σ χ X < n 1 ' & 1 α,n 1 χ α,n 1 ( * =1 α ) 3

24 Jadi batas bawah dan batas atas rentang yang mengandung σ X dengan tingkat keyakinan (1 α) adalah: batas bawah: batas atas: ( ) s X l = n 1 χ 1 α,n 1 ( ) s X u = n 1 χ α,n 1 % prob ' & ( n 1 ) s X < σ < n 1 χ 1 α,n 1 ( ) s X χ α,n 1 ( * =1 α ) catatan: X berdistribusi normal χ berdistribusi chi-kuadrat 4

25 Distribusi chi-kuadrat tidak simetris: s X l u s X n» (n 1)» distribusi mendekati distribusi simetris, s X berada kira-kira di tengah-tengah rentang [L,U]. α 1 α α χ α χ 1 α 5

26 6 Rentang Keyakinan Satu Sisi One-sided confidence intervals Hanya diinginkan satu sisi rentang keyakinan Batas bawah saja untuk rentang keyakinan µ prob( L < θ) =1 α l = X t 1 α,n 1 Batas atas saja untuk rentang keyakinan µ prob( θ < U) =1 α u = X + t 1 α,n 1

27 7