ESTIMASI INTERVAL. (INTERVAL ESTIMATION) Minggu ke Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. Universitas Gadjah Mada

Transkripsi

1 ESTIMASI INTERVAL (INTERVAL ESTIMATION) Minggu ke 8-10 Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. Universitas Gadjah Mada 2014 Outline 1 Metode Kuantitas Pivotal 2 3

2 Outline 1 Metode Kuantitas Pivotal 2 3 Outline 1 Metode Kuantitas Pivotal 2 3

3 Untuk mengetahui seberapa dekat estimasi dengan nilai sebenarnya dapat diketahui dengan nilai dari variansi atau MSE, atau dengan estimasi interval Misalkan X 1,, X n memiliki pdf bersama f (x 1,, x n ; θ), θ Ω dengan Ω adalah sebuah interval. Misalkan L = l(x 1,, X n ) dan U = u(x 1,, X n ). Jika sebuah eksperimen menghasilkan data x 1,, x n, maka diperoleh nilai observasi l(x 1,, x n ) dan u(x 1,, x n ) Definisi Interval Konfidensi Sebuah interval (l(x 1,, x n ), u(x 1,, x n )) disebut interval konfidensi 100 γ untuk θ jika P[l(x 1,, x n ) < θ < u(x 1,, x n )] = γ dengan 0 < γ < 1. Nilai dari observasi l(x 1,, x n ) dan u(x 1,, x n ) masing-masing disebut sebagai batas bawah dan batas atas konfidensi. Interval Konfidensi Definisi Batas Konfidensi Satu Sisi 1 Jika P[l(x 1,, x n ) < θ] = γ maka l(x) = l(x 1,, x n ) disebut batas bawah konfidensi satu sisi 100 γ untuk θ. 2 Jika P[θ < u(x 1,, x n )] = γ maka u(x) = u(x 1,, x n disebut batas atas konfidensi satu sisi 100 γ untuk θ.

4 Metode Kuantitas Pivotal Metode Kuantitas Pivotal Misalkan X 1,, X n memilik pdf bersama f (x 1,, x n ; θ), dan menghasilkan batas konfidensi untuk θ dimana parameter-parameter sulit yang tidak diketahui juga ditampilkan. Definisi Kuantitas Pivotal Jika Q = q(x 1,, X n ; θ) adalah variabel acak yang merupakan fungsi hanya dari X 1,, X n dan θ, maka Q disebut kuantitas pivotal jika distribusinya tidak bergantung pada θ atau parameter yang tidak diketahui. Teorema Misalkan X 1,, X n merupakan sampel acak dari distribusi dengan pdf f (x, θ) untuk θ Ω dan diasumsikan MLE dariˆθ ada. 1 Jika θ adalah parameter lokasi, maka Q = ˆθ θ adalah kuantitas pivotal. 2 Jika θ adalah parameter skala, maka Q = ˆθ pivotal. θ adalah kuantitas

5 Lanjutan Metode Kuantitas Pivotal Teorema Misalkan X 1,, X n merupakan sampel acak dari distribusi dengan parameter skala lokasi f (x; θ 1, θ 2 ) = 1 θ 2 f 0 ( x θ 1 θ 2 ) Jika MLE dari ˆθ1 dan ˆθ 2 ada, maka ( ˆθ 1 θ 1 ) dan ˆθ 2 ˆθ 2 θ 2 merupakan kuantitas pivotal untuk θ 1 dan θ 2. masing-masing Metode Umum Jika kuantitas pivotal tidak tersedia, maka masih mungkin untuk menghitung daerah konfidensi untuk parameter θ jika sebuah statistik ada dengan distribusi bergantung pada θ, tetapi tidak pada semua parameter-parameter sulit yang tidak diketahui. Secara khusus, diberikan X 1,, X n memilik pdf bersama f (x 1,, x n ; θ) dan S = s(x 1,, X n ) g(s; θ). Untuk setiap nilai dari θ yang mungkin, asumsikan bahwa akan ditemukan nilai dari h 1 (θ) dan h 2 (θ), sehingga P[h 1 (θ) < S < h 2 (θ)] = 1 α (1)

6 Metode Umum Jika S = s, maka himpunan dari nilai-nilai θ Ω yang memenuhi h 1 (θ) < s < h 2 (θ) membentuk sebuah daerah konfidensi 100(1 α). Dengan kata lain, jika θ 0 adalah nilai yang sebenarnya dari θ, maka θ 0 akan berada didalam daerah konfidensi jika hanya jika h 1 (θ) < s < h 2 (θ) yang mana memiliki tingkat konfidensi 100(1 α), karena Persamaan (1) menggunakan θ = θ 0 dalam kasus ini. Sangat sering h 1 (θ) dan h 2 (θ) akan menjadi fungsi dari θ yang naik monoton dan hasil dari daerah konfidensi akan menjadi interval. Metode Umum Teorema Diberikan statistik S kontinu dengan CDF G(s; θ), dan h 1 (θ) dan h 2 (θ) merupakan fungsi yang memenuhi dan G(h 1 (θ); θ) = α 1 G(h 2 (θ); θ) = 1 α 2 untuk suatu θ Ω, dengan 0 < α 1 < 1 dan 0 < α 2 < 1. Diberikan s nilai observasi dari S. Jika h 1 (θ) dan h 2 (θ) merupakan fungsi naik dari θ, maka:

7 Lanjutan Teorema 1 Batas bawah konfidensi satu sisi 100(1 α 2 ), θ L adalah solusi dari h 2 (θ L ) = s 2 Batas atas konfidensi satu sisi 100(1 α 1 ), θ U adalah solusi dari h 1 (θ U ) = s 3 Jika α = α 1 + α 2 dan 0 < α < 1, maka (θ L, θ U ) adalah interval konfidensi 100(1 α) untuk θ. Teorema Diberikan statistik S kontinu dengan CDF G(s; θ), dan misalkan s nilai observasi dari S. Jika G(s; θ) adalah fungsi turun dari θ, maka: 1 Batas bawah konfidensi satu sisi 100(1 α 2 ), θ L adalah solusi dengan syarat G(s; θ L ) = 1 α 2 2 Batas atas konfidensi satu sisi 100(1 α 1 ), θ U adalah solusi dengan syarat G(s; θ U ) = α 1 3 Jika α = α 1 + α 2 dan 0 < α < 1, maka (θ L, θ U ) adalah interval konfidensi 100(1 α) untuk θ.

8 Definisi Observasi interval konfidensi [θ L, θ U ] disebut interval konfidensi konservatif 100(1 α) untuk θ jika hubungan interval acak mengandung nilai sebenarnya dari θ dengan peluang 1 α Teorema Misalkan S statistik dengan CDF G(s; θ), dan misalkan h 1 (θ) dan h 2 (θ) fungsi yang memenuhi G(h 1 (θ); θ) = α 1 dan P[S < h 2 (θ); θ] = 1 α 2 ] dengan 0 < α 1 < 1 dan 0 < α 2 < 1. Jika h 1 (θ) dan h 2 (θ) merupakan fungsi naik, maka batas bawah konfidensi konservatif satu sisi 100(1 α 2 ) untuk θ, berdasarkan nilai observasi s dari S, adalah solusi dari h 2 (θ L ) = s atau θ = θ L, sehingga P[S < s; θ L ] = 1 α 2 Batas atas konfidensi konservatif satu sisi 100(1 α 1 ) adalah solusi dari h 1 (θ U ) = s atau G(s; θ U ) = α 1

9 Lanjutan Teorema Jika h 1 (θ) dan h 2 (θ) merupakan fungsi turun, maka batas bawah konfidensi konservatif satu sisi 100(1 α 1 ) adalah solusi dari h 1 (θ L ) = s atau G(s; θ L ) = α 1. Batas atas konfidensi konservatif satu sisi 100(1 α 2 ) adalah solusi dari h 2 (θ U ) = s atau θ = θ U, sehingga P[S < s; θ U ] = 1 α 2 Pada kasus tertentu, jika α = α 1 + α 2 dan 0 < α < 1, maka (θ L, θ U ) adalah interval konfidensi konservatif 100(1 α) untuk θ Kasus Dua Sampel 1 Dua Sampel Normal Prosedur untuk Variansi Prosedur untuk Rata-rata(Mean) 2 Sampel Berpasangan 3 Dua Sampel Binomial

10 Dua Sampel Binomial Misalkan X 1 BIN(n 1, p 1 ) dan X 2 BIN(n 2, p 2 ). ˆp 1 = X 1 /n 1 dan ˆp 2 = X 2 /n 2, dari BAB.7 diperoleh ˆp 2 ˆp 1 (p 2 p 1 ) ˆp1 (1 ˆp 1 )/n 1 + ˆp 2 (1 ˆp 2 )/n 2 d Z N(0, 1) Bisa saja pendekatan batas konfidensi sampel besar untuk p 2 p 1 dapat diperoleh dengan cara yang sama dalam kasus satu sampel, yaitu ˆp 1 (1 ˆp 1 ) ˆp 2 hatp 1 ± z 1 α/2 + ˆp 2(1 ˆp 2 ) n 1 n 2