Penduga : x p s r b. Pertemuan Ke 9. BAB V PENDUGAAN PARAMETER

Transkripsi

1 Pertemuan Ke 9. BAB V PENDUGAAN PARAMETER 5.1 Pengertian Pendugaan Parameter. Pendugaan merupakan suatu bagian dari statistik inferensia yaitu suatu pernyataan mengenai parameter populasi yang tidak diketahui berdasarkan informasi dari sampel random sederhana yang diambil dari populasi. Pendugaan Titik Parameter Populasi : Penduga adalah suatu statistik sampel yang digunakan untuk menduga suatu parameter yang tidak diketahui. Pendugaan adalah seluruh proses menggunakan statistik untuk menduga parameter. Pendugaan tunggal atau titik (point estimate) ialah pendugaan yang terdiri dari satu nilai saja. Contoh : Rata-rata konsumsi gula tiap keluarga per bulannya 12 kg artinya X = 12 sebagai penduga (estimator) dari µ. Persentase pelanggan supermarket yang tidak puas sebesar 20 % artinya p sebagai penduga dari parameter P. Beberapa penduga dan parameter : Parameter : µ P σ ρ β Penduga : x p s r b

2 Pendugaan Interval Pendugaan tunggal yang terdiri dari satu angka tidak memberikan gambaran mengenai berapa jarak/selisih nilai penduga tersebut terhadap nilai sebenarnya. Jika kita menginginkan suatu pengukuran yang obyektif tentang derajat kepercayaan kita terhadap ketelitian pendugaan, maka kita sebaiknya menggunakan pendugaan interval (interval estimation). Pendugaan ini akan memberikan nilai-nilai statistik dalam suatu interval dan bukan nilai tunggal sebagai penduga parameter. Pendugaan interval (selang) merupakan pendugaan berupa interval yang dibatasi oleh dua nilai yang disebut dengan nilai batas bawah dan nilai batas atas. Pendugaan interval itu akan merupakan interval kepercayaan atau interval keyakinan (confidence interval) yang dibatasi oleh batas keyakinan atas (upper confidence limit) dan batas keyakinan bawah (lower confidence limit). Untuk membuat pendugaan interval harus ditentukan terlebih dahulu koefisien keyakinan atau tingkat keyakinan yang diberi simbol 1 - α. Koefisien keyakinan atau tingkat keyakinan : Misalnya : 1 - α= 0,90 α = 0,10 = 10 %. α/2 = 0,05 jadi Z α/2 = Z 0,05 = (Z P = 0,5 - α/2) = Z 0,5 0,05 = Z 0,45 = 1,645 (lihat Tabel Normal). Misalnya : 1- α = 0,98 dan n = 25 α = 0,02 α/2 = 0,01 jadi t α/2 ; v = t α/2 ; n 1 = t 0,01 ; 25 1 = t 0,01 ; 24 = 2,492 ( lihat tabel Distribusi t).

3 5.2 Pendugaan interval Rata-rata µ Pendugaan parameter dengan sampel besar (n > 30). Jika µ dan σ diketahui, populasi tak terbatas atau populasi terbatas dan penarikan sampel dilakukan dengan pengembalian kembali (with replacement), maka rumusnya adalah P ( X - Z α/2. σ < µ < X + Z α/2.σ ) = 1 - α n n Jika µ dan σ diketahui, populasi terbatas dan penarikan sampel dilakukan tanpa pengembalian kembali (without replacement), maka rumusnya adalah P ( X - Zα/2. σ. N n < µ < X + Zα/2. σ. N n ) = 1 - α n N 1 n N 1 Jika µ dan σ tidak diketahui, populasi tak terbatas atau populasi terbatas dan penarikan sampel dilakukan dengan pengembalian kembali (with replacement), maka rumusnya adalah P ( X - Zα/2.S < µ < X + Zα/2.S ) = 1 - α n n S 2 = 1 Σ (X i X) 2 n 1 S 2 = 1 { (X 1 X) 2 + (X 2 X) (X n X) 2 } n 1

4 Contoh : 1. Suatu sampel random yang terdiri dari 100 wisatawan asing telah dipilih guna diwawancarai dari populasi yang dianggap tidak terbatas dan terdiri dari semua wisatawan asing yang ada di Indonesia. Dari wawancara itu diketahui rata-rata pengeluaran per kunjungannya ialah $800, per wisatawan. Jika dianggap deviasi standart dari pengeluaran semua wisatawan di Indonesia sebesar $120, maka buatlah interval keyakinan sebesar 95% untuk menduga ratarata pengeluaran per wisatawan per kunjungannya di Indonesia b. Pendugaan parameter dengan sampel kecil (n < 30). Jika µ dan σ tidak diketahui, populasi terbatas dan penarikan sampel dilakukan tanpa pengembalian kembali (without replacement), maka rumusnya adalah P ( X - t α/2. S < µ < X + t α/2. S ) = 1 - α n n t α/2 ; v = t α/2 ; n 1 v = n 1 = derajat bebas

5 Contoh : 1. Diketahui data tinggi x i = 159, 161, 157, 155, 163 Interval keyakinan sebesar 90%. Perkirakan ratarata mahasiswa seluruhnya! 5.3 Penentuan Besarnya Sampel n untuk Pendugaan Rata-rata. n = [Zα/2.σ ] 2 Contoh : E 2 Andaikan di antara plat baja yang dibuat melalui suatu proses tertentu memiliki distribusi normal dengan σ = 0,50, berapa besarnya sampel yang harus kita ambil agar kita 95 % yakin bahwa ratarata sampelnya tidak akan berselisih dari rata-rata populasinya lebih dari 0,1?

6 SOAL SOAL LATIHAN 01. Pendugaan parameter yang terdiri dari satu nilai saja disebut a. interval estimate c. point estimate b. one estimate d. single estimate 02. Parameter simpangan baku populasi dapat diduga oleh penduga(estimator) yaitu : a. p c. s b. µ d. β

7 02. Parameter simpangan baku populasi dapat diduga oleh penduga(estimator) yaitu : a. p c. s b. µ d. β 03. Jika tingkat kesalahan (α) = 1 %, maka tingkat keyakinan dalam pendugaan parameter adalah : a. 90 % c. 99 % b. 95 % d. 100 % 03. Jika tingkat kesalahan (α) = 1 %, maka tingkat keyakinan dalam pendugaan parameter adalah : a. 90 % c. 99 % b. 95 % d. 100 % 04. Diketahui standar deviasi 8 dan rata-rata dari 25 sampel adalah 20 dengan nilai kritis z = 2,58 maka batas atas interval konfidensi pendugaan rata- ratanya adalah.. a. 15,87 c. 24,13 b. 18,57 d. 23,14

8 04. Diketahui standar deviasi 8 dan rata-rata dari 25 sampel adalah 20 dengan nilai kritis z = 2,58 maka batas atas interval konfidensi pendugaan rata- ratanya adalah.. a. 15,87 c. 24,13 b. 18,57 d. 23, Jika tingkat keyakinan dalam pendugaan interval rata-rata digunakan 99% dan sampel tidak kurang dari 30 maka nilai Z tabel sebesar a. 1,65 b. 1,96 c. 2,33 d. 2,58 petunjuk: ( Z 0,05 = 1,65 ; Z 0,025 = 1,96 ; Z 0,01 = 2,33 ; Z 0,005 = 2,58 ) 05. Jika tingkat keyakinan dalam pendugaan interval rata-rata digunakan 99% dan sampel tidak kurang dari 30 maka nilai Z tabel sebesar a. 1,65 b. 1,96 c. 2,33 d. 2,58 petunjuk: ( Z 0,05 = 1,65 ; Z 0,025 = 1,96 ; Z 0,01 = 2,33 ; Z 0,005 = 2,58 ) 01. Pendugaan parameter yang terdiri dari satu nilai saja disebut a. interval estimate c. point estimate b. one estimate d. single estimate