Interval Estimation. Tjipto Juwono, Ph.D. May 20, TJ (SU) Interval Estimation May / 24

Transkripsi

1 Interval Estimation Tjipto Juwono, Ph.D. May 20, 2015 TJ (SU) Interval Estimation May / 24

2 Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian Confidence Interval 3 Menghitung t 4 Menyusun Confidence Interval 5 Contoh 6 TUGAS TJ (SU) Interval Estimation May / 24

3 Pendahuluan Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian Confidence Interval 3 Menghitung t 4 Menyusun Confidence Interval 5 Contoh 6 TUGAS TJ (SU) Interval Estimation May / 24

4 Pendahuluan Point Estimator Perhatikan MPC pada persamaan regresi Ŷ i = ˆβ 1 + ˆβ 2 X i = X i (1) Estimasi ˆβ2 = pada persamaan (1) merupakan satu angka saja. Tidak ada angka lain. Karena itu disebut sebagai Point Estimator Estimasi ˆβ2 merupakan satu estimasi tunggal dari β 2 yang tidak diketahui. Estimasi tunggal tersebut diperoleh dari satu set sampling, dan kemungkinan besar harganya berbeda dengan harga yang sesungguhnya (β 2 ), walaupun mean dari sampling berulang diekspektasi mempunyai harga yang sama dengan harga sesungguhnya. TJ (SU) Interval Estimation May / 24

5 Pengertian Confidence Interval Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian Confidence Interval 3 Menghitung t 4 Menyusun Confidence Interval 5 Contoh 6 TUGAS TJ (SU) Interval Estimation May / 24

6 Pengertian Confidence Interval Definisi Confidence Interval Confidence Interval Pr( ˆβ 2 δ β 2 ˆβ 2 +δ) = 1 α (2) Pr( ˆβ 2 δ β 2 ˆβ 2 +δ) Probabilitas bahwa interval tersebut memuat β 2. PERHATIKAN! Probabilitas di atas bukanlah probabilitas bahwa β 2 berada di antara ( ˆβ 2 δ) dan ( ˆβ 2 +δ)! α level of significance Bagaimana cara menghitung δ? Kita perlu menghitung t terlebih dahulu. TJ (SU) Interval Estimation May / 24

7 Pengertian Confidence Interval Contoh Confidence Interval Contoh Level of significance α = 0.05 (5%) Confidence interval: 1 α = 0.95 (95%) Pr( 2.3 β 2 5.1) Probabilitas yang dinyatakan dengan confidence interval bukanlah probabilitas β 2 berada pada interval tersebut. Jadi jika anda membayangkan grafik di kiri ini, maka anda keliru. Grafik ini merupakan gambaran yang keliru tentang arti dari confidence interval. TJ (SU) Interval Estimation May / 24

8 Pengertian Confidence Interval Menuliskan Confidence Interval Kita bisa menuliskan interval ini sebagai berikut: ( ˆβ 2 δ) β 2 ( ˆβ 2 +δ), atau ˆβ 2 ±δ TJ (SU) Interval Estimation May / 24

9 Menghitung t Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian Confidence Interval 3 Menghitung t 4 Menyusun Confidence Interval 5 Contoh 6 TUGAS TJ (SU) Interval Estimation May / 24

10 Menghitung t Cara Menghitung Z Definisi Z Z = Estimator Parameter Standard Error of Estimator Z = ˆβ 2 β 2 se( ˆβ 2 ) = ( ˆβ 2 β 2 ) (Xi X) 2 σ (3) TJ (SU) Interval Estimation May / 24

11 Menghitung t Pengertian Z Ingat: Y i = β 1 +β 2 X i +u i. Di sini, u i terdistribusi secara normal. Akibatnya, ˆβ1, ˆβ2 juga terdistribusi secara normal. Sehingga Z pada Pers. (3) merupakan variabel normal standard. Dengan demikian, kita dapat membuat pernyataan probabilistik tentang β 2 asalkan variance populasi σ 2 yang sebenarnya diketahui. Jika µ dan σ 2 diketahui maka luas di bawah grafik normal di antara µ±σ adalah sekitar 68%. Luasan µ±2σ adalah sekitar 95% Luasan µ±3σ adalah sekitar 99.7% Tetapi σ 2 biasanya tidak diketahui. Dalam prakteknya, σ 2 digantikan oleh estimator ˆσ 2. Karena itu Z digantikan oleh t. TJ (SU) Interval Estimation May / 24

12 Menghitung t Cara Menghitung t Definisi t t = Estimator Parameter Estimated Standard Error of Estimator t = ˆβ 2 β 2 estimated se( ˆβ 2 ) = ( ˆβ 2 β 2 ) (Xi X) 2 ˆσ (4) variabel t yang didefinisikan di Pers. (4) mengikuti distribusi-t dengan df = n 2. TJ (SU) Interval Estimation May / 24

13 Menghitung t Mengapa Z diganti t? Z diganti t Z t σ ˆσ (5) TJ (SU) Interval Estimation May / 24

14 Menyusun Confidence Interval Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian Confidence Interval 3 Menghitung t 4 Menyusun Confidence Interval 5 Contoh 6 TUGAS TJ (SU) Interval Estimation May / 24

15 Menyusun Confidence Interval Menyusun Confidence interval dengan menggunakan t Pr( t α/2 t t α/2 ) = 1 α (6) t diperoleh dari Pers. (4), sedangkan t α/2 diperoleh dari distribusi-t dengan level of significance α/2 dan df = n 2. ±t α/2 disebut nilai kritis t pada level of significance α/2. TJ (SU) Interval Estimation May / 24

16 Menyusun Confidence Interval Menyusun Confidence interval dengan menggunakan t [ Pr t α/2 ˆβ 2 β 2 se( ˆβ 2 ) t α/2 Pr[ˆβ2 t α/2 se( ˆβ 2 ) β 2 ˆβ 2 +t α/2 se( ˆβ ] 2 ) ] = 1 α = 1 α (7) Pers. (7) merupakan 100(1 α) percent confidence interval untuk β 2, yang dapat dituliskan: ˆβ 2 ±t α/2 se( ˆβ 2 ) (8) TJ (SU) Interval Estimation May / 24

17 Menyusun Confidence Interval Menyusun Confidence interval dengan menggunakan t untuk β 1 [ Pr t α/2 ˆβ 1 β 1 se( ˆβ 1 ) t α/2 Pr[ˆβ1 t α/2 se( ˆβ 1 ) β 2 ˆβ 1 +t α/2 se( ˆβ ] 1 ) ] = 1 α = 1 α (9) Pers. (9) merupakan 100(1 α) percent confidence interval untuk β 1, yang dapat dituliskan: ˆβ 1 ±t α/2 se( ˆβ 1 ) (10) TJ (SU) Interval Estimation May / 24

18 Contoh Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian Confidence Interval 3 Menghitung t 4 Menyusun Confidence Interval 5 Contoh 6 TUGAS TJ (SU) Interval Estimation May / 24

19 Contoh CONTOH Table 1: X Y Data fiktif weekly family income X dan weekly family expenditure Y. Buat analisa regresi, dan plot hasilnya. Jelaskan plot tersebut dengan menggunakan teori Keynes Susunlah 95% confidence interval untuk data pada Tabel 1 di samping. TJ (SU) Interval Estimation May / 24

20 Contoh Daftar Rumus se( ˆβ 2 ) = se( ˆβ 1 ) = ˆσ (X X) 2 [ X 2 n (X X) 2 (Y Ŷ) 2 ] ˆσ r = (X X)(Y Ȳ) (n 1)s x s y ˆβ 2 = r s y s x ˆβ 1 = Ȳ ˆβ 2 X ˆσ = n 2 [ Pr t α/2 ˆβ 2 β 2 se( ˆβ 2 ) t α/2 Pr[ˆβ2 t α/2 se( ˆβ 2 ) β 2 ˆβ 2 +t α/2 se( ˆβ ] 2 ) ] = 1 α = 1 α TJ (SU) Interval Estimation May / 24

21 Contoh Contoh y x Menurut Keynes, orang menaikkan konsumsinya jika pendapatannya bertambah, namun pertambahan konsumsi lebih kecil daripada pertambahan pendapatan. Marginal propensity to consume (MPC) lebih besar dari nol, tetapi lebih kecil dari satu; 0 < β 2 < 1. ˆβ 2 = Ŷ = X TJ (SU) Interval Estimation May / 24

22 Contoh Contoh ˆβ 2 = ˆβ 1 = se( ˆβ 2 )= se( ˆβ 1 )= r = , r 2 = t critical = t critical se( ˆβ 2 )= = t critical se( ˆβ 1 )= = ˆβ 2 ±t α/2 se( ˆβ 2 ) = ± β ˆβ 1 ±t α/2 se( ˆβ 1 ) = ± β TJ (SU) Interval Estimation May / 24

23 TUGAS Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian Confidence Interval 3 Menghitung t 4 Menyusun Confidence Interval 5 Contoh 6 TUGAS TJ (SU) Interval Estimation May / 24

24 TUGAS No. 1: Download data INPUT1.xls dari (a) Buat analisa regresi lengkap, dan buat plotnya pada Excel. (b) Susun 95% confidence interval No. 2 (Pertanyaan sama seperti no 1, bandingkan hasilnya dengan no 1): X Y