Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan ANALISIS FREKUENSI. Statistika dan Probabilitas

Transkripsi

1 Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan ANALISIS FREKUENSI Statistika dan Probabilitas

2 2 Regresi Linear Tabel data x i y i = f(x i ) Hubungan antara variabel pertama, x, dengan variabel kedua, y, yang merupakan fungsi variabel pertama, y = f(x). y = f(x) Grafik/kurva data X

3 3 Regresi Linear Y Kurva regresi merepresentasikan pola hubungan (tren, perilaku) variabel y terhadap x X data regresi

4 4 Sebaran Data Situasi Bagaimana kalau kita ingin mengetahui perilaku salah satu variabel itu sendiri? Misalnya: ingin mempelajari pola sebaran data X (X tentu saja adalah variabel random) Berilah contoh data X di bidang teknik sipil dan lingkungan.

5 5 Temperatur Udara Harian Maksimum Tahun Temperatur [ C] Tahun Temperatur [ C] Tahun Temperatur [ C] Tahun Temperatur [ C]

6 Temperatur Udara Harian Maksimum Temperatur [oc] Tahun

7 7 Temperatur Udara Harian Maksimum Pertanyaan Apa nama instrumen untuk mengukur temperatur udara? Dapatkah kalian menceritakan cara data tersebut diperoleh? Dapatkah kalian mendeskripsikan data tersebut secara statistis? Bandingkan presentasi data dalam bentuk tabel dan grafik; yang manakah yang lebih baik?

8 Distribusi Normal 8 N(μ,σ 2 ) p X (x) pdf (probability density function) p X ( x) = ( 2πσ 2 ) 1 2 e 1 2( x µ ) σ 2 + luas = p X ( x)dx =1 μ 3σ μ 2σ μ σ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ + X

9 9 Distribusi Normal Jika X berdistribusi normal, N(µ,σ 2 ), maka prob(x x) dapat dicari dengan: x ( t µ ) ( X x) = PX ( x) = px ( t) dt = ( 2πσ ) e prob 2 x σ 2 dt luas di bawah kurva pdf (dari s.d. x) à cdf cdf (cumulative distribution function) x +

10 pdf - cdf 10 p X (x) cdf P X (x) 1 pdf µ 0 +

11 Distribusi Normal Standar 11 p X (x) cdf P X (x) 1 Z X = X µ σ pdf 0 μ 3σ μ 2σ μ σ μ μ+σ μ+2σ μ+3σ + X Z

12 12 Tabel Frekuensi Rentang temperatur [ C] Temperatur [ C] frek frek rel Jumlah 40 1 Temperatur udara harian maksimum tahunan minimum 29.0 C maksimum 34.1 C rerata 31.5 C simp. baku 1.4 C nilai median rentang temperatur jika memakai MSExcel, gunakan fungsi =FREQUENCY(, ) control+shift+enter

13 Histogram Frekuensi Frekuensi relatif Temperatur [ C]

14 Histogram Frekuensi Frekuensi relatif Temperatur [ C]

15 15 Pengamatan vs Teoretik Ekspektasi frek. relatif (frek. relatif teoretis menurut distribusi normal) klas ke-2: temperatur C frek. relatif (dist. normal) 2 ( ) = 2πs T f T t = ( ) 1 2 e 1 2 t T 30 ( ) ( ) 2 s T 2 dt = 2 π = F T ( 30) F T ( 29) = F Z ' % & 1.4 ( ) F Z ( ) = F Z = = e ( % ( * F Z ' * ) & 1.4 ) 1 2( t 32.1) dt baca di tabel distribusi normal standar

16 16 Frekuensi Teoretik (Distribusi Normal) Temperatur [ C] z F Z (z) frek rel

17 17 Pengamatan vs Teoretik Cara lain untuk memperkirakan frekuensi relatif dalam suatu interval klas f T p T ( t i ) = Δt i p T ( t i ) ( t i ) = p Z ( z i ) dz dt = p Z z i ( ) s T

18 18 Pengamatan vs Teoretik Cara lain (lanjutan ) i = 2 : Δt i =1 C t i = 29.5 z i = = p Z ( z i ) = p Z p T f T ( ) = ( t i ) = p z Z ( i ) $ ' & ( t i ) = s T p T t i = ) = s T % 1.4 ( ( ) = = baca di tabel distribusi normal standar frek. relatif teoretis (distribusi normal)

19 19 Frekuensi Teoretik (Distribusi Normal) Temperatur [ C] z p z (z) p T (t) frek rel

20 Kurva Pengamatan vs Kurva PDF Teoretis PDF Distribusi Normal Frekuensi relatif Kurva data Temperatur [ C]

21 21 Frekuensi Kumulatif Pengamatan vs Teoretis Temperatur [ C] Pengamatan Distribusi Normal frek rel frek rel kum frek rel frek rel kum

22 Kurva Pengamatan vs Kurva CDF Teoretis Frekuensi relatif CDF Distribusi Normal Temperatur [ C]

23 23 Kurva CDF pada Kertas Khusus Kurva CDF Berupa garis lengkung. Ada satu cara tertentu yang memungkinkan kurva CDF berupa garis lurus, yaitu dengan melakukan transformasi koordinat. n Ordinat: magnitud data. n Skala biasa. n Absis: probabilitas, P X (x) atau kadang dituliskan pula dengan notasi prob(x < x). n Skala dibuat sedemikian hingga kurva CDF distribusi normal berupa garis lurus. Pada tempo doeloe, kertas grafik seperti di atas dibuat dulu à priori sebelum pemplotan data. n Kertas grafik seperti itu dikenal dengan nama kertas probabilitas. n Pemplotan (penggambaran) data dilakukan pada kertas probabilitas tersebut. Pada saat ini, langkah automatisasi dengan program aplikasi komputer dapat dilakukan sehingga kertas probabilitas dibuat bersama-sama dengan pemplotan data.

24 Kertas probabilitas distribusi normal Untuk memplotkan data pengamatan dan kurva CDF teoretis Dapat diunduh dari / prob(x > x) atau 1 P X (x) ordinat adalah magnitud data (skalar) absis adalah probabilitas, prob(x < x) atau P X (x) à frekuensi relatif kumulatif skala dibuat sedemikian hingga CDF berupa garis lurus 24

25 Plot Data pada Kertas Probabilitas 25 Data temperatur udara harian maksimum diplotkan pada kertas probabilitas. Urutkan data dari kecil ke besar, m = 1, 2,, n m adalah nomor urut data, n adalah jumlah data. Posisi titik data pada kertas probabilitas adalah: n absis: m/(n+1), n ordinat: magnitud data. Cara penempatan titik data tersebut adalah cara Weibul. Ada beberapa cara yang lain, yang akan dikenalkan pada kuliah Hidrologi.

26 26 Temperatur Udara Harian Maksimum (Data Urut) m m/(n+1) [%] Temperatur [ C] m m/(n+1) [%] Temperatur [ C] m m/(n+1) [%] Temperatur [ C] m m/(n+1) [%] Temperatur [ C]

27 27 Plot Data pada Kertas Probabilitas Data temperatur udara harian maksimum adalah time series data, data runtut waktu. Memperhatikan prosedur pemplotan data temperatur udara harian maksimum, yaitu data diurutkan, maka: diartikan bahwa data adalah seri data independent sehingga urut data terhadap waktu boleh tidak diperhatikan, data diurutkan dari kecil ke besar dan percentile rank setiap titik data dianggap merupakan nilai pendekatan probabilitas, prob(t < t). Arti notasi prob(t < t) = a probabilitas temperatur udara kurang daripada t C adalah a contoh: prob(t < 32 C) = 0.64

28 28

29 29 Plot Data pada Kertas Probabilitas Kurva CDF distribusi normal (kurva cdf teoretis) Dapat dengan mudah digambarkan pada kertas probabilitas Langkah n Tetapkan dua titik data, misal pada temperatur 29 C dan 34 C n n Hitung prob(t < 29 C) dan prob(t < 34 C) dengan menggunakan tabel distribusi normal standar ( ) = P Z $ P T 29 P T 34 " # " $ # 1.4 ( ) = P Z % ' = P Z & % ' = P Z & ( ) = = 3.71% ( ) = = 96.29% Tarik garis lurus yang melewati titik (3.71%,29 C) dan (96.29%,34 C)

30 30

31 31 Uji Kesesuaian Sebaran Data terhadap Distribusi Normal Dengan mencermati plot data temperatur dan garis CDF distribusi normal, tampak bahwa sebaran data temperatur tersebut mendekati CDF distribusi normal. Artinya, data temperatur udara harian maksimum tahunan tersebut berdistribusi normal. Kesesuaian antara sebaran data dengan CDF distribusi normal perlu diuji Dikenal dengan istilah best fit test. Jenis uji, yang lazim dilakukan di bidang hidrologi, adalah uji Smirnov-Kolmogorov dan uji chi-kuadrat. Kedua jenis cara menguji kesesuaian tersebut akan dibahas pada kuliah Hidrologi. Pada kuliah Hidrologi, akan dikenalkan pula beberapa jenis distribusi teoretis selain distribusi normal.

32 32 Tugas/PR Rapikan hitungan dan plot data temperatur udara harian maksimum tahunan tersebut. Unduh data debit aliran dari weblog saya dan lakukan analisis frekuensi dengan langkah kerja seperti yang telah dibahas pada kuliah ini. /index.php/kuliah/kuliah-sarjana-s1/statistika-danprobabilitas/ Nama fail: Data debit puncak Sungai XYZ.xlsx Tugas/PR dikumpulkan di ruang saya atau di Sekretariat MTPBA. Saran Selain menghitung dan menyajikan data, berilah deskripsi tentang data dan interpretasi Saudara tentang data tersebut.

33 33 Debit Puncak Tahunan Sungai XYZ Tahun ke- Debit (m 3 /s) Tahun ke- Debit (m 3 /s) Tahun ke- Debit (m 3 /s) Tahun ke- Debit (m 3 /s) Tahun ke- Debit (m 3 /s) Tahun ke- Debit (m 3 /s) Data debit di atas berasal dari data debit rerata harian selama 66 tahun, yang kemudian dicuplik nilai maksimum pada setiap tahun.

34 34 Debit Puncak Tahunan Sungai XYZ Debit [m 3 /s] Tahun ke-

35 35