Interval Estimation. Tjipto Juwono, Ph.D. May TJ (SU) Interval Estimation May / 19

Transkripsi

1 Interval Estimation Tjipto Juwono, Ph.D. May 2017 TJ (SU) Interval Estimation May / 19

2 Pendahuluan Point Estimator Perhatikan MPC pada persamaan regresi Ŷ i = ˆβ 1 + ˆβ 2 X i = X i (1) Estimasi ˆβ2 = pada persamaan (1) merupakan satu angka saja. Tidak ada angka lain. Karena itu disebut sebagai Point Estimator Estimasi ˆβ2 merupakan satu estimasi tunggal dari β 2 yang tidak diketahui. Estimasi tunggal tersebut diperoleh dari satu set sampling, dan kemungkinan besar harganya berbeda dengan harga yang sesungguhnya (β 2 ), walaupun mean dari sampling berulang diekspektasi mempunyai harga yang sama dengan harga sesungguhnya. TJ (SU) Interval Estimation May / 19

3 Pengertian Confidence Interval Definisi Confidence Interval Confidence Interval Pr( ˆβ 2 δ β 2 ˆβ 2 +δ) = 1 α (2) Pr( ˆβ 2 δ β 2 ˆβ 2 +δ) Probabilitas bahwa interval tersebut memuat β 2. PERHATIKAN! Probabilitas di atas bukanlah probabilitas bahwa β 2 berada di antara ( ˆβ 2 δ) dan ( ˆβ 2 +δ)! α level of significance Bagaimana cara menghitung δ? Kita perlu menghitung t terlebih dahulu. TJ (SU) Interval Estimation May / 19

4 Pengertian Confidence Interval Menuliskan Confidence Interval Kita bisa menuliskan interval ini sebagai berikut: ( ˆβ 2 δ) β 2 ( ˆβ 2 +δ), atau ˆβ 2 ±δ TJ (SU) Interval Estimation May / 19

5 Menghitung t Cara Menghitung Z Definisi Z Z = Estimator Parameter Standard Error of Estimator Z = ˆβ 2 β 2 se( ˆβ 2 ) = ( ˆβ 2 β 2 ) (Xi X) 2 σ (3) TJ (SU) Interval Estimation May / 19

6 Menghitung t Pengertian Z Ingat: Y i = β 1 +β 2 X i +u i. Di sini, u i terdistribusi secara normal. Akibatnya, ˆβ1, ˆβ2 juga terdistribusi secara normal. Sehingga Z pada Pers. (3) merupakan variabel normal standard. Dengan demikian, kita dapat membuat pernyataan probabilistik tentang β 2 asalkan variance populasi σ 2 yang sebenarnya diketahui. Jika µ dan σ 2 diketahui maka luas di bawah grafik normal di antara µ±σ adalah sekitar 68%. Luasan µ±2σ adalah sekitar 95% Luasan µ±3σ adalah sekitar 99.7% Tetapi σ 2 biasanya tidak diketahui. Dalam prakteknya, σ 2 digantikan oleh estimator ˆσ 2. Karena itu Z digantikan oleh t. TJ (SU) Interval Estimation May / 19

7 Menghitung t Cara Menghitung t Definisi t t = Estimator Parameter Estimated Standard Error of Estimator t = ˆβ 2 β 2 estimated se( ˆβ 2 ) = ( ˆβ 2 β 2 ) (Xi X) 2 ˆσ (4) variabel t yang didefinisikan di Pers. (4) mengikuti distribusi-t dengan df = n 2. TJ (SU) Interval Estimation May / 19

8 Menghitung t Mengapa Z diganti t? Z diganti t Z t σ ˆσ (5) TJ (SU) Interval Estimation May / 19

9 Menyusun Confidence Interval Menyusun Confidence interval dengan menggunakan t Pr( t α/2 t t α/2 ) = 1 α (6) t diperoleh dari Pers. (4), sedangkan t α/2 diperoleh dari distribusi-t dengan level of significance α/2 dan df = n 2. ±t α/2 disebut nilai kritis t pada level of significance α/2. TJ (SU) Interval Estimation May / 19

10 Menyusun Confidence Interval Menyusun Confidence interval dengan menggunakan t [ Pr t α/2 ˆβ 2 β 2 se( ˆβ 2 ) t α/2 Pr[ˆβ2 t α/2 se( ˆβ 2 ) β 2 ˆβ 2 +t α/2 se( ˆβ ] 2 ) ] = 1 α = 1 α (7) Pers. (7) merupakan 100(1 α) percent confidence interval untuk β 2, yang dapat dituliskan: ˆβ 2 ±t α/2 se( ˆβ 2 ) (8) TJ (SU) Interval Estimation May / 19

11 Menyusun Confidence Interval Menyusun Confidence interval dengan menggunakan t untuk β 1 [ Pr t α/2 ˆβ 1 β 1 se( ˆβ 1 ) t α/2 Pr[ˆβ1 t α/2 se( ˆβ 1 ) β 2 ˆβ 1 +t α/2 se( ˆβ ] 1 ) ] = 1 α = 1 α (9) Pers. (9) merupakan 100(1 α) percent confidence interval untuk β 1, yang dapat dituliskan: ˆβ 1 ±t α/2 se( ˆβ 1 ) (10) TJ (SU) Interval Estimation May / 19

12 Contoh CONTOH Table 1: X Y Data fiktif weekly family income X dan weekly family expenditure Y. Buat analisa regresi, dan plot hasilnya. Jelaskan plot tersebut dengan menggunakan teori Keynes Susunlah 95% confidence interval untuk data pada Tabel 1 di samping. TJ (SU) Interval Estimation May / 19

13 Contoh Daftar Rumus se( ˆβ 2 ) = se( ˆβ 1 ) = ˆσ (X X) 2 [ X 2 n (X X) 2 (Y Ŷ) 2 ] ˆσ r = (X X)(Y Ȳ) (n 1)s x s y ˆβ 2 = r s y s x ˆβ 1 = Ȳ ˆβ 2 X ˆσ = n 2 [ Pr t α/2 ˆβ 2 β 2 se( ˆβ 2 ) t α/2 Pr[ˆβ2 t α/2 se( ˆβ 2 ) β 2 ˆβ 2 +t α/2 se( ˆβ ] 2 ) ] = 1 α = 1 α TJ (SU) Interval Estimation May / 19

14 Contoh Contoh y x Menurut Keynes, orang menaikkan konsumsinya jika pendapatannya bertambah, namun pertambahan konsumsi lebih kecil daripada pertambahan pendapatan. Marginal propensity to consume (MPC) lebih besar dari nol, tetapi lebih kecil dari satu; 0 < β 2 < 1. ˆβ 2 = Ŷ = X TJ (SU) Interval Estimation May / 19

15 Contoh Contoh ˆβ 2 = ˆβ 1 = se( ˆβ 2 )= se( ˆβ 1 )= r = , r 2 = t critical = t critical se( ˆβ 2 )= = t critical se( ˆβ 1 )= = ˆβ 2 ±t α/2 se( ˆβ 2 ) = ± β ˆβ 1 ±t α/2 se( ˆβ 1 ) = ± β TJ (SU) Interval Estimation May / 19

16 Home Work 1 Download data INPUT1.xls (a) Buat analisa regresi (gunakan excel!) lengkap dan buat plotnya. (b) Susun 95% confidence interval. 2 (Pertanyaan sama seperti no 1, bandingkan hasilnya dengan no 1): X Y

17 TUGAS Catatan Untuk tabel t untuk regresi, jangan lupa df = n 2 (berbeda dengan t untuk statistik biasa, df = n 1). Untuk α = 0.05 (misalnya), two-tailed, maka nilai t α/2 ada pada kolom 0.05 (bukan 0.05/2). SSR = (Ŷi Ȳi) 2 SSE = (Y i Ŷi) 2 SST = (Y i Ȳi) 2 Koef. of determination adalah r 2. Dapat juga dihitung dengan rumus r 2 = 1 SSE (11) SST TJ (SU) Interval Estimation May / 19

18

19