A. Tali Busur (secant line) dan Garis Singgung (tangent line)

Transkripsi

1 Lecture 5. Derivatives A A. Tali Busur (secant line) dan Garis Singgung (tangent line) Tali busur adalah setiap garis yang melalui dua titik pada suatu kurva. Gambar 5.1 (a) memperlihatkan tali busur (secant line) PQ yang melalui titik Pa, f(a) dan Qx, f(x), dengan x a. Kemiringan (slope) dari tali busur PQ diberikan oleh m = f(x) f(a) x a Gambar 5.1 (a) dan (b) Sekarang perhatikan Gambar 5.1 (b). Anggaplah P tetap dan Q bergerak sepanjang kurva menuju P dengan menggerakkan titik x mendekati a. Jika hal ini terjadi, tali busur itu berputar mengelilingi titik P. Jika tali busur ini mempunyai posisi limit, maka posisi limit tersebut menyatakan garis singgung (tangent line) pada grafik di P, dengan kemiringan m. Jadi, Garis singgung (tangent line) pada grafik di titik P merupakan posisi limit dari tali busur (secant line) PQ untuk Q mendekati P. Definisi. Garis singgung (tangent line) terhadap kurva y = f(x) di titik Pa, f(a) adalah garis melalui titik P dengan kemiringan ()() m = lim, jika limitnya ada. Selanjutnya Perhatikan Gambar 5.2 dimisalkan selisih antara a dan x dengan h = x, sehingga h = x a. Jika x a, maka h 0, nilai m juga dapat dicari dengan rumus berikut: m = lim ()()

2 Gambar 5.2 Contoh. Diketahui parabola y = x. Tentukan (a) kemiringan tali busur melalui kedua titik: (2,4) dan (3,9). Selanjutnya tentukan kemiringan garis singgung pada parabola di titik (2,4). Penyelesaian: (a) Misal P(2,4) dan Q(3,9), sehingga diperoleh m = ()() = = 5 (b) Rumus 1: ()() ()() m = lim = lim = lim = lim ()() = lim (x + 2) = = 4 Rumus 2: m = lim ()() () = lim = lim B. Kecepatan (velocities) = lim ()() = lim = lim (4 + h) = = 4 Pandang suatu objek yang bergerak pada garis lurus berdasarkan persamaan gerak s = f(t), yaitu s menyatakan besarnya perpindahan/jarak (displacement) objek tersebut dari titik awal pada waktu (time) t. Fungsi f tersebut disebut sebagai fungsi posisi dari suatu objek.

3 Posisi saatu t = a t = a + h Gambar 5.3 (a) dan (b) Kecepatan rata-rata Perhatikan pada Gambar 5.3. Pada interval waktu dari t = a ke t = a + h, taejadi perubahan posisi objek dari f(a) ke f(a + h), sehingga kecapatan rata-rata (average velocity) pada interval tersebut adalah Kecapatan rata rata = v = = ()() yang tidak lain merupakan tali busur (secant line) PQ. Jika kita memperkecil perpindahan [a, a + h], yaitu h mendekati 0 (h 0), maka diperoleh kecepatan sesaat (velocity/instantaneous velocity) v(a) pada waktu t = a, yaitu (a) = lim ()() yang tidak lain merupakan garis singgung (tangent line) pada grafik di titik P. Jadi kecepatan sesaat merupakan limit dari kecepatan rata-rata Contoh 1. Sebuah bola dijatuhkan dari sebuah menara dengan ketinggian 450 m di atas permukaan tanah. Tentukan (a) kecepatan bola setelah 5 detik, dan (b) kecepatan bola saat menabrak permukaan tanah. Penyelesaian: Gerak jatuh bebas diformulasikan dalam persamaan s = f(t) = 1 2 gt = 1 2 (9.8)t = 4.9t. Kecepatan bola setelah a detik: ()() v(a) = lim.( = lim ) = lim.(). = lim.( ) = lim 4.9(2a + h) = 4.9(2a + 0) = 9.8a (a) Kecepatan setelah 5 detik adalah v(5) = 9.8(5) = 49 m/s.

4 (b) Dicari waktu yang dibutuhkan bola untuk sampai di permukaan tanah dengan jarak 450 m, misalnya t. Sehingga diperoleh s = 4.9t = 450 t =. = 9.6 detik. Jadi, kecepatan saat menabrak permukaan tanah adalah v(9.6) = (9.8)(9.6) = 94 m/s. Contoh 2. Berikut merupakan tabel temperatur T (dalam derajat celcius) setiap jam pada suatu hari di bulan April di Whitefish, Montana. Tentukan (a) laju rata-rata perubahan temperatur dari tengah hari sampai jam 15.00, dan (b) laju perubahan temperatur sesaat pada tengah hari. Tabel 1 Penyelesaian: (a) Dari tengah hari (12.00) sampai terjadi perubahan temperatur dari C menjadi C, sehingga laju perubahan rata-rata temperatur adalah v = =.. =. = 1.3 C/jam. (b) Karena belum diketahui fungsi T(t), maka untuk mencari laju perubahan sesaat temperatur di t = (kemiringan garis singgung di 12) dapat digunakan grafik sebagai berikut.

5 Dari grafik di atas, kemiringan garis singgung di titik P dapat diestimasi melalui rumus =. = Jadi, laju perubahan sesaat temperatur pada tengah hari (12.00) adalah C/jam. Input Matlab: x = [ ]; y = [ ]; polyfit(x,y,3) Output Matlab: Perintah polyfit(x, y, 3) menggambarkan best fit untuk sebaran data x dan y, dan polinomial x x x adalah fungsi yang paling mendekati pasangan sebaran data yang diberikan. Untuk melihat perbandingan data dengan fungsi pendekatan dapat digunakan perintah berikut.

6 Input Matlab: datax = 0:24; datay = [ ];; x=linspace(0,24); y= *x.^ *x.^ *x ; plot(datax,datay,'+',x,y) grid on Output Matlab: Derajat Celcius Waktu