PERTEMUAN KE-6 LIMIT FUNGSI

Transkripsi

1 MATA KULIAH BERSAMA FMIPA UGM MATEMATIKA KONTEKSTUAL PERTEMUAN KE-6 LIMIT FUNGSI Oleh : KBK ANALISIS

2 APA ITU LIMIT? Arti kata: batas, membatasi, mempersempit, mendekatkan.

3 Dalam kehidupan sehari-hari, orang sering dihadapkan pada masalah-masalah pendekatan suatu nilai/besaran.

4 Contoh: a. Letak rumah Budi dekat dengan rumah Tono. b. Ketika hari sudah mendekati senja, datanglah yang ditunggu-tunggu. c. Nilai ujian matematika Anton hampir 9. d. dst.

5 LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI Gagasan limit mendasari dua konsep utama di dalam kalkulus, yaitu Derivatif dan Integral. Derivatif bermula pada masalah garis singgung Integral bermula pada masalah mencari luas daerah Konsep limit, selain muncul dalam usaha mencari kemiringan (gradien) garis singgung dan luas daerah, juga muncul dalam masalah mencari kecepatan dan jumlah deret tak hingga

6 LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI. Perhatikan gambar berikut.. dst. Di dalam lingkaran dibuat bidang segi n (n polygon) sehingga titik-titik sudut segi n tersebut berada pada lingkaran. Tentu dapat dibayangkan bahwa apabila n sangat besar, maka luas segi n akan mendekati luas lingkaran.

7 LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI Jika A menyatakan luas lingkaran dan A n menyatakan luas segi n, dalam hal ini kita tuliskan A lim n A n Proses mencari luas area datar dengan menggunakan konsep limit tsb akan dibicarakan pada pembahasan integral

8 LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI (Masalah garis singgung) Kata garis singgung diterjemahkan dari kata tangent yg diadopsi dari kata tangens di bahasa latin yg berarti penyentuhan Diket kurva C mempunyai persamaan y=f(x), akan dicari garis singgung kurva C di titik P(a,f(a)). Ditinjau sebuah titik lain yg berdekatan dg P, misalnya Q(x,f(x)) dg x tdk sama dg a.

9 LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI (Garis Singgung) Kemiringan (gradien) garis yg melalui P dan Q adalah m PQ f ( x) x f a ( a)

10 LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI (Garis singgung) Selanjutnya, jk Q digerakkan mendekati P sepanjang kurva C dg cara x dibuat mendekati a, maka garis yg melalui P dan Q akan mendekati garis singgung di P. Dalam hal ini dituliskan m lim m QP PQ lim xa f ( x) x f ( a) a

11 LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI (Deret) 2. Masalah penjumlahan:

12 LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI (Deret)...dst n n

13 LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI (Deret) Apabila jumlahan dilakukan untuk n sangat besar, maka hasil jumlahan akan mendekati.

14 LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI (Masalah Kecepatan) Sebuah benda bergerak dg pers gerak s=f(t) dg s menyatakan jarak perpindahan benda dari titik awal pada waktu t. Kecepatan rata-rata pada selang waktu dari t=a sampai t=a+h adalah f ( a h) f ( a) h

15 LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI (Kecepatan) Kecepatan rata-rata tsb sama seperti kemiringan garis yg melalui P dan Q pada gambar berikut

16 LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI (Kecepatan) Apabila h dibuat mendekati 0, diperoleh kecepatan (atau kecepatan sesaat) benda pada saat a, dan apabila kecepatan ini ditulis dg v(a), maka v( a) lim h0 f ( a h) h f ( a)

17 Mengingat pentingnya menentukan nilai limit suatu besaran, seperti terlihat pada contoh-contoh di atas, perlu untuk dibuat definisi yang tepat untuk limit sehingga diperoleh hukum-hukum limit yang memudahkan kita menentukan nilai limit Untuk itu, perlu diingatkan dulu konsep fungsi

18 FUNGSI Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali dijumpai adanya keterkaitan atau hubungan antara satu obyek dengan obyek yang lain. Misalnya antara pedagang dan pembeli suatu barang, antara majikan dan pelayan, antara bank dan nasabah, dst. Hubungan-hubungan tersebut secara umum disebut relasi. Secara sistemik, suatu relasi menggambarkan hubungan antara anggota dari suatu kumpulan obyek dengan anggota dari kumpulan obyek yang lain. Relasi yang memenuhi syarat tertentu, yaitu apabila setiap unsur dalam suatu kumpulan obyek mempunyai hubungan dengan tepat satu obyek dari kumpulan yang lain, disebut fungsi.

19 FUNGSI Secara matematis, pengertian fungsi diberikan sebagai berikut: Diberikan himpunan tak kosong A dan B. Relasi dari A ke B adalah suatu himpunan R. A B Relasi dari A ke B sehingga untuk setiap anggota A berelasi dengan tepat satu anggota B disebut fungsi dari A ke B.

20 FUNGSI Jika sebarang anggota A diwakili dengan variabel x dan anggota B yang oleh fungsi f berelasi dengan x adalah y, maka fungsi f biasa diberikan dengan rumus y f (x)

21 Limit suatu fungsi f merupakan alat untuk mempelajari perilaku f(x) untuk x mendekati suatu bilangan tertentu. Untuk lebih jelasnya diberikan contoh-contoh berikut

22 Contoh. Diberikan fungsi f ( x) x Akan dipelajari perilaku f(x) di sekitar x= 0. Beberapa nilai f(x) untuk x dekat dengan 0 disajikan dalam tabel berikut

23 x f(x) x f(x) 0,24 2,24 0,55 0, ,997 0,25 0,875 0,0095,0095 0,00 0,999 0,000005, , , , ,

24 Dari tabel di atas dapat dilihat, apabila nilai x semakin dekat dengan 0, maka f (x) akan semakin dekat dengan. CATATAN: Adalah suatu kebetulan bahwa f ( 0). Dengan grafik, dapat digambarkan sebagai berikut.

25 Dari grafik dapat dilihat, apabila x sangat dekat dengan 0, baik untuk x<0 maupun untuk x>0, maka f (x) sangat dekat dengan.

26 Hal ini kita katakan Limit f(x) untuk x mendekati 0 sama dengan dan kita tuliskan dengan lim x 0 f ( x)

27 Contoh 2. Diberikan g( x) 2 x x Akan dilihat perilaku g(x) untuk x semakin dekat dengan bilangan Untuk kasus ini, jelas bahwa terdefinisi. g() tidak ada atau tak

28 Perhatikan bahwa untuk, x g( x) 2 x x ( x )( x ) x x f ( x) (Dalam hal ini, kita definisikan f ( x) x ). Selanjutnya, untuk berbagai nilai dapat dilihat pada tabel berikut. x, nilai g(x)

29 x g(x) x g(x) 0,24 2,24 0,557,557,0997 2,0997 0,799999,799999,0095 2,0095 0, , , , , , , ,

30 Dengan grafik, nilai g(x) untuk berbagai nilai x yang sangat dekat dengan dapat dilihat pada gambar berikut. 2

31 Jadi, baik dari tabel maupun dari grafik, diperoleh bahwa semakin dekat nilai x dengan, maka nilai g(x) semakin dekat dengan 2. Hal ini kita katakan Limit g(x) untuk x mendekati sama dengan 2 dan kita tuliskan dengan lim g( x) x 2

32 LIMIT FUNGSI Contoh 3. Diberikan h( x) 2 x, x, x x Akan dipelajari perilaku h(x) untuk x semakin dekat dengan bilangan

33 Jawab: Jelas bahwa. h( ) Apakah keadaan tersebut, yaitu, akan mengakibatkan juga akan bernilai ketika x sangat dekat dengan? h(x) h( )

34 Sama halnya seperti fungsi g pada Contoh 2, x bahwa untuk, 2 x h( x) x ( x )( x ) x f ( x) x (Dalam hal ini, kita definisikan f ( x) x ). Selanjutnya, untuk berbagai nilai dapat dilihat pada tabel berikut. x, nilai h(x)

35 x h(x) x h(x) 0,24 2,24 0,557,557,0997 2,0997 0,799999,799999,0095 2,0095 0, , , , , , , ,

36 Dengan grafik, nilai h(x) untuk berbagai nilai x yang sangat dekat dengan dapat dilihat pada gambar berikut. 2

37 Jadi, baik dari tabel maupun dari grafik, diperoleh bahwa semakin dekat nilai x dengan, maka nilai h(x) semakin dekat dengan 2. Hal ini kita katakan Limit h(x) untuk x mendekati 0 sama dengan dan kita tuliskan dengan lim h( x) x 2

38 Dengan demikian, dengan menggunakan bahasa sehari-hari, pengertian limit bisa kita nyatakan sebagai beirkut Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk x mendekati c, ditulis xc ( x) jika untuk nilai x yang sangat dekat dengan c, tetapi x c lim L, berakibat f(x) mendekati L. f

39 Pengertian dg bahasa sehari-hari tsb tidak dapat digunakan untuk mendapatkan sifat-sifat limit yang kita perlukan untuk perhitungan. Karena itu, diperlukan definisi yang tepat (precise) untuk limit fungsi. Definisi ini pertama kali digunakan oleh Augustin-Louis Cauchy ( ) yg memulai karirnya sebagai insinyur militer. Definisi secara eksak(yg kita gunakan sampai sekarang) dirumuskan oleh Karl Weierstrass (85-897)

40 Definisi. Diberikan fungsi f yg terdefinisi pada suatu selang terbuka yg memuat bil a, kecuali mungkin di a. Limit fungsi f untuk x mendekati a adalah L, dituliskan lim f ( x) L Jika untuk setiap bil 0 terdapat bil 0 sehingga apabila x D f dengan 0 x a berlaku xa f ( x) L

41 c Untuk, pengertian limit dg menggunakan bahasa sehari-hari dapat dituliskan sebagai berikut. Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk x mendekati, ditulis lim x f ( x) jika untuk nilai x yang sangat besar tak terbatas arah positif berakibat f(x) mendekati L. L

42 Contoh 6. Tunjukkan bahwa keliling lingkaran dengan jari-jari R sama dengan 2R. Penyelesaian: Dibuat segi n beraturan di dalam lingkaran sehingga setiap titik sudutnya berada pada lingkaran.

43 Keliling segi n tersebut adalah 2 2 2R cos 2 L n R n n 2 cos 2 n Untuk n cukup besar, maka nilai akan mendekati keliling lingkaran. Oleh karena itu, keliling lingkaran adalah L n n L lim L 2R n n

44 Contoh 7. Suatu partikel bergerak mengikuti persamaan S( t) t 2 4t, t 0 dengan t menyatakan waktu (dalam jam) dan S(t) menyatakan jarak tempuh. Berapa kecepatan partikel pada jam 2?

45 Penyelesaian: Kecepatan rata-rata partikel dari jam 2 sampai dengan jam 2+h, dengan adalah v h h 0 S(2 h) S(2) 8 h Apabila diambil h sangat kecil mendekati 0, maka akan diperoleh kecepatan pada saat jam 2, yaitu v(2) lim h 0 v h 8 h