METODA NUMERIK PRAKTIKUM 4 : INTERPOLASI POLINOMIAL Pokok Bahasan: Metoda Lagrange

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "METODA NUMERIK PRAKTIKUM 4 : INTERPOLASI POLINOMIAL Pokok Bahasan: Metoda Lagrange"

Farida Lesmono
7 tahun lalu
Tontonan:

1 METODA NUMERIK PRAKTIKUM 4 : INTERPOLASI POLINOMIAL Pokok Bahasan: Metoda Lagrange Tujuan Mengimplementasikan metoda interpolasi polinomial pada komputer dengan menggunakan MATLAB Kompetensi Dasar Mefinisikan fungsi Lagrange pada MATLAB. Menggambarkan polinomial Lagrange pada MATLAB. Memahami sifat interpolasi melalui grafik. Mefinisikan kombinasi linear polinomial Lagrange. Memahami fakta-fakta yang terjadi melalui grafik. Menyusun m-file untuk menentukan polinomial interpolasi dengan metoda Lagrange. Menyusun m-file untuk mefinisikan matriks selisih terbagi. Mefinisikan polinomial interpolasi dengan formula Newton Mengimplementasikan interpolasi Hermite Memahami fungsi polyval dan ployfit pada MATLAB Bila diberikan n + pasangan titik x k, y k, i =,,,, n di mana x k x j maka kita senantiasa dapat membangun P n polinomial berderajat n dengan sifat P n x k = y k, k =,,,, n. Konstruksi polinomial ini adalah sebagai berikut P n x : = n y k k= L n,k x di mana L n,k adalah polinomial Lagrange yang didefinisikan oleh L n,k x n i=,i k (x x i ). (x k x i ) Diperhatikan berlaku sifat interpolasi L n,k x i = δ k,i =, k = i, k i. Proyek : Mefinisikan polinomial Lagrange dan menyajikannya secara grafis Misalkan kita mempunyai node x =.5, x =.5 dan x 3 = 3. Berdasarkan definisi, kita dapat membangun tiga polinomial Lagrange untuk node ini, yaitu L, x x.5 x , L, x x.5 (x 3).5.5 (.5 3), L, x = x.5 (x.5) 3.5 (3.5) P re p a r e d b y J u l a n H E R N A D I

2 Kita definisikan dan gambarkan para polinomial ini langsung pada command window. Kita ambil domain [, 4] untuk menggambarkan grafik ketiga polinomial Lagrange tersebut. >>node = [.5.5 3]; >>x = node();x=node();x=node(3); >>x = linspace(,4,);%menetapkan bilangan tersebar rata pada interval [,4]. >>L = (x-x).*(x-x)./((x-x)*(x-x));%langrange pertama >>L = (x-x).*(x-x)./((x-x)*(x-x));%lagrange kedua >>L = (x-x).*(x-x)./((x-x)*(x-x));%lagrange ketiga Selanjutnya kita gambarkan grafik ketiga polinomial ini pada satu bidang koordinat sebagai berikut: >> plot(x,l,x,l,xl); Bila pekerjaan Anda benar maka akan diperoleh Gambar sebagai berikut Coba amati apakah hasil ini sesuai dengan teori khususnya sifat interpolasi L k x i = δ i,k. Identifikasilah melalui grafik ini polinomial Lagrange L,, L, dan L,. Berilah noktah pada grafik nilai dari L k (x i ) untuk k, i =,, dengan cara sebagai berikut: >> L_node = (node-x).*(node-x)./((x-x)*(x-x)); >> L_node = (node-x).*(node-x)./((x-x)*(x-x)); >> L_node = (node-x).*(node-x)./((x-x)*(x-x)); >> hold on >> plot(node,l_node,'s',node,l_node,'o',node,l_node,'d'); Hasilnya seperti disajikan pada Gambar berikut. P re p a r e d b y J u l a n H E R N A D I

3 Berilah leg (keterangan) untuk masing-masing grafik tersebut. Gunakan Insert Leg, kemudian tulis keterangan yang sesuai. Proyek : Mefinisikan kombinasi linear polinomial Lagrange dan menyajikannya secara grafis Kombinasi linear dari ketiga polinomial Lagrange ini berbentuk: y = y L, x + y L, x + y L, x di mana y, y dan y adalah koefisien. Jadi hasilnya merupakan sebuah fungsi yang baru. Misalkan kita mempunyai koefisien y =, y = 3 dan y = maka pefinisian pada command window dapat dilakukan sebagai berikut. >>koef = [ 3 ]; >>y = koef(); y = koef(); y = koef(3) >>y = y*l+y*l+y*l; >>plot(x,y);grid Bila pekerjaan Anda benar maka akan diperoleh Gambar berikut 3 P re p a r e d b y J u l a n H E R N A D I

4 Coba amati informasi apa yang dapat diperoleh dari grafik ini khususnya bagaimana nilai y di titik node dihubungkan dengan nilai koefisien yang kita berikan. Untuk jelasnya coba beri noktah pada masing-masing node versus nilai y pada noktah tsb. Bila benar seharusnya Anda mapatkan bahwa sifat y x = y, y x = y dan y x = y. Inilah fakta dasar interpolasi polinomial. Proyek 3: Menyusun m-file untuk menentukan polinomial interpolasi dengan metoda Lagrange Dengan cara manual seperti diberikan sebelumnya tentu saja tidak efektif karena kita harus mefinisikan ulang banyak persamaan setiap diberikan data yang berbeda. Oleh karena itu kita perlu mefinisikan m-file untuk mapatkan polinomial interpolasi bagi pasaangan data yang diberikan. Dua tahap pefinisian sebaiknya dipisahkan, yaitu. Mefinisikan n + polinomial Lagrange untuk node x, x,, x n yang diberikan. Berikut m-file yang bersesuaian (lihat buku hal 36-37). function y = lagr(x,datax,k) %mefinsikan fungsi Lagrange. %INPUT: x anggota domain di mana fungsi akan didefinisikan. % datax adalah kumpulan node x_,x_,..., x_n. % k =,,3,..., n+ urutan polinomial Lagrange n=length(datax); %cek indeks if k>n error('indeks k melebih banyak data') xx=datax;xx(k)=[];%membuang komponen ke k datax d=prod(datax(k)-xx); %penyebut pada definisi polinomial Lagrange 4 P re p a r e d b y J u l a n H E R N A D I

5 y = ; for k=:n-; ya=(x-xx(k)); y=y.*ya;% untuk memperoleh perkalian (x-x)(x-x)... y=y/d; Setelah m-file ini disimpan dengan nama lagr.m maka selanjutnya kita dapat menjalankannya melalui command window. Misalkan kita mempunyai node -, dan 4 berarti kita dapat mefinisikan 3 polinomial langrange. Misalkan kita ambil domain [-, 4], maka berikut cara menggunakan m-file tersebut. >>datax = [- 4];%node yang diberikan. >>x = -:.:4; %range domain polinomial Lagrange ini. >>y = lagr(x,datax,);%lagrange pertama. >>y = lagr(x,datax,);%lagrange kedua. >>y3 = lagr(x,datax,3);%lagrange ketiga. Sampai di sini kita telah mefinisikan tiga polinomial Langrange untuk nodes yang telah diberikan tersebut. Untuk verifikasi, sebaiknya Anda gambarkan grafik ketiga polinomial tersebut kemudian periksa apakah sifat interpolasinya dipenuhi. >> plot(x,y,x,y,x,y3); >>hold on >>plot([ ],[ ], m* );%cek sifat interpolasi >>grid; Mefinisikan polinomial interpoalsi dengan menggunakan polinomial Lagrange function y = poli_inter(x,datax,datay) %INPUT: datax adalah node yang diberikan % datay adalah pasangan bagi datax %OUTPUT: y nilai polinomial interpolasi untuk pasangan datax,datay 5 P re p a r e d b y J u l a n H E R N A D I

6 if length(datax)~=length(datay) error('panjang datax dan datay harus sama') %cek input data n = length(datax); y = ; for k = :n; yp = datay(k)*lagr(x,datax,k);%suku kombinasi linear y = y + yp;%mefefinisikan kombinasi linear. Coba lakukan perintah berikut pada command window. >> x = -:.:4; >> datax=[- 4]; >> datay=[ ]; >> datay=[ ]; >> y = poli_inter(x,datax,datay); >> y = poli_inter(x,datax,datay); >> plot(x,y,datax,datay,'*');grid >> figure >> plot(x,y,datax,datay,'*');grid Hasil keluaran grafik MATLAB diberikan pada halaman berikutnya. Pertanyaan untuk responsi A. Data berikut menyajikan hasil pengukuran temperatur (dalam derajat celcius) pada waktu-waktu tertentu. Pukul Temp Gunakan polinomial interpolasi derajat 3 untuk menentukan perkiraan temperatur pada pukul 4. fajar.. Gambarkan grafik polinomial derajat 3 yang dimaksud. Seharusnya Anda mapatkan dua polinomial derajat 3 yang dimaksud. 3. Tentukan nilai perkiraan suhu pada waktu yang dimaksud. 4. Gambarkan polinomial derajat untuk pasangan data di atas beserta pasangan datanya. Apakah polinomial melewati pasangan data yang diberikan. 5. Setiap 3 pasang data x i, y i, x i+, y i+, (x i+, y i+ ), kita dapat membangun polinomial interpolasi derajat dua. Gambarkanlah 6 potongan-potongan polinomial derajat dua untuk pasangan data di atas. Kemudian tentukan perkiraan temperatur pada midpoint masing-masing subinterval dengan polinomial interpolasi derajat dua yang telah anda temukan. B. Aproksimasi fungsi dengan polinomial interpolasi. Anda diberikan fungsi y = f x = + x + sin x. + x. Gunakan polinomial derajat 3 untuk mengaproksimasi fungsi ini. Anda dibebaskan untuk memilih node dalam rentang [, 8].. Gambarkan grafik fungsi tersebut dan grafik polinomial yang Anda peroleh. 6 P re p a r e d b y J u l a n H E R N A D I

7 3. Hitung kesalahan aproksimasi di setiap titik tengah subinterval [k, k + ], k =,,,7 dengan formula E x k f x k P 3 x k Susunlah hasil Anda ke dalam sebuah Tabel. 4. Hitunglah E digunakan formula kesalahan E 7 f x k P 3 x k= k, P re p a r e d b y J u l a n H E R N A D I

dokumen-dokumen yang mirip

METODA NUMERIK PRAKTIKUM 3 : APROKSIMASI PERSAMAAN TAKLINEAR Pokok Bahasan: Metoda Newton dan Iterasi Titik Tetap

METODA NUMERIK PRAKTIKUM 3 : APROKSIMASI PERSAMAAN TAKLINEAR Pokok Bahasan: Metoda Newton dan Iterasi Titik Tetap Tujuan Kompetensi Dasar Memahami cara mengimplementasikan metoda Newton dan metoda iterasi