Modul Praktikum. Logika Dasar. Dosen Pengampu: Anie Rose Irawati M.Cs. Penyusun:

Transkripsi

1 Daftar Isi Modul Praktikum Logika Dasar Dosen Pengampu: Anie Rose Irawati M.Cs. Penyusun: Arif munandar Dinora Refiasari Gandi Laksana Putra Muhammad Saleh Firmansyah Feri Krisnanto Muammar Rizki F.I. Edisi 1 (2017) Laboratorium Komputasi Dasar Jurusan Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung i

2 Daftar Isi Deskripsi Mata Kuliah Kebanyakan orang setuju bahwa logika memainkan peranan penting dalam berbagai bidang keilmuan, bahkan dalam kehidupan sehari-hari. Logika terkait erat dengan berbagai ilmu lain yang berhubungan dengan komputer, misalnya matematika, statistika, algoritma,dan mata kuliah-mata kuliah pemrograman. Materi logika, yaitu dasar-dasar logika, tabel kebenaran, proposisi majemuk, tautologi, ekivalensi logis, pembuktian logika dan analisis argument, kuantor, dan rangkaian logika. Tujuan Perkuliahan Agar mahasiswa dapat memahami mata kuliah logika dan dapat mengimplementasikannya. Deskripsi Isi Perkuliahan Materi pembelajaran dalam Mata Kuliah Logika disusun dalam 6 pokok bahasan, yaitu: konsep logika proposisi yang mencangkup operator, hukum, dan tabel logika, konsep logika predikat yang mencangkup tentang kuantor, terjemahan kalimat berkuantor, dan teorema kalimat berkuantor, Teori inferensi yang mencangkup argumentasi, tautologi, dan validitas argumen, deskripsi teori himpunan yang mencangkup operasi, hukum dan sifat operasi himpunan, jenis himpunan, perkalian himpunan, Aljabar Boolean yang mencangkup ekspresi boolean, prinsip dualitas, hukum aljabar boolean, bentuk kanonik, penyederhanaan fungsi, dan Rangkaian Logika yang mencangkup cara pembuatan rangkaian. ii

3 Daftar Isi Daftar Isi Daftar Isi... iii Memahami Konsep Logika Proposisi... 4 Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2) Memahami Konsep Logika Predikat Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2) Teori Inferensi Teori Inferensi (bag.2) Mendeskripsikan Teori Himpunan Aljabar Boolean Aljabar Boolean (bag.2) Aljabar Boolean (bag.3) Aljabar Boolean (bag.4) Rangkaian logika iii

4 Memahami Konsep Logika Proposisi Pertemuan 1 Memahami Konsep Logika Proposisi Tujuan Instruksional : Pengantar Tujuan dari materi ini adalah untuk memahami konsep dari logika proposisi. Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa dapat mengerti tentang konsep logika proposisi Waktu Pertemuan : 100 menit Sebelum membahas lebih jauh tentang logika proposisi, terlebih dahulu kita bahas pengertian dari logika proposisi. Logika proposisi / kalkulus proposisi adalah bidang logika yang membentuk proposisi pada peryataan yang mengandung peubah. Proposisi itu sendiri adalah peryataan dalam bentuk kalimat yang mengandung nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus mengandung nilai benar dan salah. Benar diartikan sebagai adanya kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan fakta yang sebenarnya. Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil (misal: p, q, r). Contoh dari proposisi: p : 13 adalah bilangan ganjil. q : Soekarno adalah almnus UGM. r : = 4 Mengkombinasikan proposisi Beberapa proposisi tunggal, dapat dikombinasikan menjadi satu kesatuan. Contoh: 4

5 Memahami Konsep Logika Proposisi Misalkan p dan q adalah proposisi. 1. Konjungsi (conjunction) : p dan q Dinotasikan dengan p q 2. Disjungsi (disjunction) : p atau q Dinotasikan dengan p q 3. Ingkaran (negation) dari p : tidak p Dinotasikan dengan ~p Dalam hal ini, p dan q disebut sebagai proposisi atomik. Sedangkan kombinasi dari proposisi tersebut menghasilkan proposisi majemuk (compound proposition). Berikut ini adalah contoh dari kalimat logika proposisi. Diketahui : p : hari ini hujan. q : murid-murid diliburkan dari sekolah. p q : hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah. p q : hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah. ~p : tidak benar bahwa hari ini hujan (atau : hari ini tidak hujan) Berikut ini adalah contoh penotasian (bentuk simbolik) dari kalimat proposisi majemuk. 5

6 Memahami Konsep Logika Proposisi Diketahui : p : pemuda itu tinggi q : pemuda itu tampan 1. Pemuda itu tinggi dan tampan p q 2. Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan p ~q 3. Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan ~ (p q) 4. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan ~ ( ~p ~q ) 5. Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan p (~p q) 6. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan ~ (~p q) Operator logika dan Tabel logika Didalam konsep logika, terdapat beberapa operator-operator logika. Operator tersebut berfungsi untuk menggabungkan proposisi-proposisi atomik. Berikut ini adalah macam-macam operator logika: - Negasi (NOT) - Konjungsi (AND) - Disjungsi (OR) - Eksklusif or (XOR) - Implikasi (jika - maka) - Bikondisional (jika dan hanya jika) 6

7 Memahami Konsep Logika Proposisi Tabel logika (tabel kebenaran / truth table) adalah tabel yang digunakan untuk mencari nilai kebenaran dari suatu proposisi majemuk. Tabel ini berisi semua kemungkinan dari nilai proposisi. Berikut ini adalah tabel kebenaran yang ada dari dari tiap operator logika: - Negasi (NOT) : operator uner, lambang: ~ p ~p Benar Salah Salah Benar - Konjungsi (AND) : operator biner, lambang: p q p q Benar Benar Benar Benar Salah Salah Salah Benar Salah Salah Salah Salah - Disjungsi (OR) : operator biner, lambang: p q p q Benar Benar Benar Benar Salah Benar Salah Benar Benar Salah Salah Salah - Eksklusif or (XOR) : operator biner, lambang: + p q p + q Benar Benar Salah 7

8 Memahami Konsep Logika Proposisi Benar Salah Benar Salah Benar Benar Salah Salah Salah - Implikasi (jika - maka) : operator biner, lambang: p q p q Benar Benar Benar Benar Salah Salah Salah Benar Benar Salah Salah Benar - Bikondisional (jika dan hanya jika) : operator biner, lambang: p q p q Benar Benar Benar Benar Salah Salah Salah Benar Salah Salah Salah Benar Pernyataan-pernyataan dan operator-operator sebelumnya, dapat digabungkan menjadi suatu pernyataan yang baru. Contohnya: p q p q p (p q) ~q ( p (p q)) (~q) Benar Benar Benar Benar Salah Salah Benar Salah Salah Benar Benar Benar Salah Benar Salah Salah Salah Salah Salah Salah Benar Benar Benar Benar 8

9 Memahami Konsep Logika Proposisi Pernyataan-pernyataan dapat memiliki nilai kebenaran yang sama dengan suatu pernyataan yang lain. Kondisi ini disebut ekivalen. Contoh dari pernyataan ekivalen dapat dilihat pada tabel berikut: p q ~(p q) (~p) (~q) (~(p q)) ((~p) (~q)) Benar Benar Salah Salah Benar Benar Salah Benar Benar Benar Salah Benar Benar Benar Benar Salah Salah Benar Benar Benar Pernyataan ~(p q) dan (~p) (~q) adalah ekivalen secara logis, karena nilai (~(p q)) ((~p) (~q)) selalu benar. Catatan : urutan pengerjaan untuk operasi logika adalah: ( ), negasi, disjungsi dan konjugsi, implikasi, biimplikasi. 9

10 Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2) Pertemuan 2 Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2) Tujuan Instruksional : Pengantar Pokok bahasan ini menjelaskan tentang konsep dari logika proposisi secara lebih lanjut. Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa dapat mengerti tentang konsep logika proposisi secara lebih lanjut. Waktu Pertemuan : 100 menit Tautologi dan Kontradiksi Suatu tautologi adalah pernyataan yang selalu bernilai benar pada semua kasus. Contoh: r (~r) ~(p q) (~p) (~q) Jika s t sebuah tautologi, kita tulis s t Jika s t sebuah tautologi, kita tulis s t Jika proposisi majemuk selalu bernilai salah untuk semua kasus, maka proposisi majemuk tersebut disebut dengna kontradiksi. Berikut ini tabel kebenaran dari sebuah tautologi: p q ~(p q) (~p) (~q) (~(p q)) ((~p) (~q)) Benar Benar Salah Salah Benar Benar Salah Benar Benar Benar Salah Benar Benar Benar Benar Salah Salah Benar Benar Benar Berikut ini tabel kebenaran dari sebuah kontradiksi: 10

11 Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2) p q (p q) (p q) ~(p q) (p q) (~(p q)) Benar Benar Benar Benar Salah Salah Benar Salah Salah Benar Salah Salah Salah Benar Salah Benar Salah Salah Salah Salah Salah Salah Benar Salah Hukum-hukum logika Didalam konsep logika, terdapat hukum-hukum yang sering juga disebut hukumhukum aljabar proposisi. Macam-macam dari hukum aljabar proposisi yaitu: 1. Hukum identitas p False p p True p 2. Hukum null/dominasi p False False p True True 3. Hukum negasi p ~p True p ~p False 4. Hukum idempoten p p p p p p 5. Hukum involusi (negasi ganda) ~(~p) p 6. Hukum penyerapan (absorpsi) p (p q) p p (p q) p 11

12 Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2) 7. Hukum komutatif p q q p p q q p 8. Hukum asosiatif p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r 9. Hukum distributif p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) 10. Hukum De Morgan ~(p q) ~p ~q ~(p q) ~p ~q Hukum-hukum diatas dapat kita buktikan kebenarannya. Contoh pembuktian dari hukum penyerapan pada kasus p (p q) p : p (p q) (p False) (p q) (hukum identitas) p (False q) p False p (hukum distributif) (hukum Null) (hukum identitas) Terbukti. Contoh soal. Diberikan pernyataan tidak benar bahwa dia belajar Algoritma tetapi tidak belajar Matematika. a.nyatakan pernyataan diatas dalam notasi simbolik. b.berikan pernyataan yang ekivalen secara logika dengan pernyataan tersebut. Penyelesaian: 12

13 Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2) Missal: p = Dia belajar Algoritma q = Dia belajar Matematika Maka, a. ~ (p ~q) b. ~ (p ~q) ~p q (hukum De Morgan) dengan kata lain: dia tidak belajar algoritma atau dia belajar matematika disjungsi eksklusif kata atau (or) dalam operasi logika digunakan dalam salah satu dari dua cara: 1. Inclusive or ( ) Kata atau berarti p atau q atau keduanya Contoh: tenaga IT yang dibutuhkan harus menguasai C++ atau Java 2. Exclusive or ( + ) Kata atau berarti p atau q tapi tidak keduanya Contoh: ia dihukum 5 tahun penjara atau denda 10 juta rupiah Tabel kebenaran Inclusive or p q p q Benar Benar Benar Benar Salah Benar Salah Benar Benar Salah Salah Salah Tabel kebenaran Exclusive or p q p + q Benar Benar Salah Benar Salah Benar Salah Benar Benar Salah Salah Salah Proposisis bersyarat (kondisional atau implikasi) 13

14 Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2) Bentuk dari proposisi ini adalah jika p maka q. Notasi dari proposisi ini yaitu: p q. Proposisi p disebut dengan hipotesis, antesenden, premis, atau kondisi. Sedangkan proposisi q disebut konklusi atau konsekuen. Proposisi ini dapat dianggap sebagai sebab-akibat, contohnya: jika besok tidak hujan, maka saya akan pergi ke pantai Cara mengekspresikan implikasi ada beberapa macam, yaitu: - jika p, maka q - jika p, q - p mengakibatkan q - q jika p - p hanya jika q - p syarat cukup untuk q - q syarat perlu untuk p - q bilaman p Contoh kalimat proposisi dalam berbagai bentuk kalimat: - jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur. - jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang. - es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik. - orang itu mau barangkat jika ia diberi ongkos jalan. - ahmad bisa mengambil mata kuliah teori bahasa formal hanya jika ia telah lulus mata kuliah matematika diskrit. - syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan dari api rokok. - syarat perlu bagi Indonesia agar dapat ikut piala dunia adalah dengan mengontrak pemain asing ternama. - banjir bandang terjadi bilamanahutan ditebangi. 14

15 Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2) Perhatikan, bahwa dalam implikasi yang dipentingkan adalah nilai kebenaran premis dan konsekuen. Bukan hubungan sebab dan akibat diantara keduanya. Beberapa implikasi dibawah ini valid meskipun secara bahasa tidak memiliki makna. - Jika 1+1=2, maka paris ibukota perancis - Jika n adalah bilangan bulat, maka hari ini hujan Notasi ~p q memiliki nilai kebenaran yang sama (ekivalen) dengan notasi implikasi p q. p q ~p p q ~p q Benar Benar Salah Benar Benar Benar Salah Salah Salah Salah Salah Benar Benar Benar Benar Salah Salah Benar Benar Benar Varian proposisi bersyarat Bentuk umum dari implikasi : p q Bentuk konvers (kebalikan) : q p Bentuk invers : ~p ~q Bentuk kontraposisi : ~q ~p p q ~p ~q p q q p ~p ~q ~q ~p Benar Benar Salah Salah Benar Benar Benar Benar Benar Salah Salah Benar Salah Benar Benar Salah Salah Benar Benar Salah Benar Salah Salah Benar Salah Salah Benar Benar Benar Benar Benar Benar 15

16 Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2) Contoh varian proposisi bersyarat dalam kalimat: Implikasi Konvers Invers : jika amir memiliki mobil, maka ia orang kaya : jika amir orang kaya, maka ia memiliki mobil : jika amir tidak memiliki mobil, maka ia bukan orang kaya Kontraposisi : jika amir bukan orang kaya, maka ia tidak memiliki mobil Bikondisional (bi-implikasi) Bentuk proposisi dari bikondisional adalah : p jika dan hanya jika q Bentuk notasi dari bikondisional : p q. Pernyataan p jika dan hanya jika q dapat dibaca jika p maka q dan jika q maka p. perhatikan tabel. p q p q p q q p (p q) ( q p) Benar Benar Benar Benar Benar Benar Benar Salah Salah Salah Benar Salah Salah Benar Salah Benar Salah Salah Salah Salah Benar Benar Benar Benar Bila dua buah proposisi majemuk yang ekivalen di-bikondisionalkan, maka hasilnya adalah tautologi. Teorema : dua buah proposisi majemuk, P(p,q, ) dan Q(p,q, ) disebut ekivalen secara logika, dilambangkan dengan P(p,q, ) Q(p,q, ), jika P Q adalah tautologi. 16

17 Memahami Konsep Logika Predikat Pertemuan 3 Memahami Konsep Logika Predikat Tujuan Intruksional : Pokok Bahasan ini menjelaskan konsep dari logika predikat. Kompetensi Yang Diharapkan : Mahasiswa dapat memahami tentang konsep-konsep dari logika predikat Waktu Pertemuan : 2 x 120 Menit Ada beberapa kasus dimana kita tidak dapat menotasikan kalimat dalam notasi logika. Contohnya pada kasus berikut: - Semua laki-laki adalah makhluk hidup - Socrates adalah laki-laki - Oleh karena itu, Socrates adalah makhluk hidup. Oleh sebab itu, kita memerlukan logika predikat yang memungkinkan untuk memanipulasi pernyataan tentang semua atau sesuatu. Logika predikat memperlihatkan struktur pernyataan atomik, yakni memperhatikan subjek dan predikat dari suatu kalimat. First order logic => subjek kalimat berupa obyek tunggal. Contoh : Socrates adalah laki-laki Second order logic => subjek kalimat berupa obyek lain. Contoh : Semua laki-laki adalah makhluk hidup Dengan logika proposisi diubah menjadi : Untuk semua X, jika x adalah laki-laki maka X adalah makhluk hidup. Dengan logika predikat x adalah laki-laki dipecah menjadi: 17

18 Memahami Konsep Logika Predikat Subyek = x => disebut term, dilambangkan dengan huruf kecil Predikat = adalah laki-laki =>dilambangkan dengan huruf besar (misal: L) Contoh penulisan : Lx (predikat dahulu sebelum term) Penyebutan : x adalah laki-laki Selanjutnya: Jika M menyatakan adalah makhluk hidup Maka Mx menyatakan simbol untuk x adalah makhluk hidup Dengan demikian, pernyataan jika x adalah laki-laki, maka x adalah makhluk hidup ditulis sebagai Lx Mx Sehingga untuk menuliskan secara simbolik : untuk semua x, jika x adalah lakilaki, maka x adalah makhluk hidup adalah x[lx Mx] Simbol disebut kuantor, dibaca untuk setiap Macam-Macam Kuantor - Untuk setiap x, P(x) Disebut kuantor universal. Disimbolkan dengan : - Untuk beberapa x, P(x) Disebut kuantor eksistensial. Disimbolkan dengan : Kuantor Universal -misalkan P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal D. - x, P(x) dibaca : untuk setiap x, P(x) -Pernyataan x, P(x) bernilai benar jika berlaku untuk semua x pada domain D -Pernyataan x, P(x) bernilai salah jika berlaku hanya sebagian x pada domain D Kuantor Eksistensial -Misalkan P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal D. - x,p(x) dibaca: untuk beberapax, P(x). - Juga dapat dibaca untuk beberapa, ada, atau setidaknya ada. -Pernyataan x,p(x) bernilai benar jika berlaku setidaknya salah satu x dari domain D -Pernyataan x,p(x) bernilai benar jika berlaku setidaknya salah satu x dari domain D 18

19 Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2) Petemuan 4 Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2) Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini menjelaskan konsep logika predikat secara lebih lanjut. Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa dapat memahami konsep logika predikat secara lebih lanjut. Waktu Pertemuan : 100 menit Kuantor Dan Teori Kuantifikasi Term dan variabel - Variabel/peubah adalah pemegang tempat sementara dalam suatu ungkapan, untuk kemudian diganti dengan nilai yang pasti. - Variabel ditulis dengan huruf kecil: x,y,z, atau p,q,r - Kumpulan variabel membentuk suatu term: x+ y Predikat - Pandang kalimat: semua mahasiswa unila adalah lulusan SMA - Untuk setiap x, jika x adalah mahasiswa unila, maka x lulusan SMA - Ada 2 predikat untuk x: x mahasiswa unila dan x lulusan SMA - Predikat ditulis dengan huruf besar: Mx: mahasiswa unila Lx: lulusan SMA - Kalimat diatas ditulis : untuk setiap x, Mx Lx Kuantor Universal - Ditulis dengan lambang - pandang kalimat: semua orang Indonesia adalah orang asia 19

20 Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2) - diterjemahkan menjadi : untuk semua x, jika Lx adalah Ax Lx: x orang Indonesia Ax : x orang asia - dalam kalimat logika, ditulis : ( x)[lx Ax] - bentuk ini disebut afirmatif umum - pandang kalimat: semua orang Indonesia bukan orang eskimo - dalam kalimat logika, ditulis : ( x)[lx ~Ax] - bentuk ini disebut negatif umum Kuantor Ekstensial - ditulis dengan lambang - pandang kalimat ada orang Indonesia yang makan nasi ada beberapaorang Indonesia yang makan nasi - diterjemahkan menjadi ada x yang memenuhi sifat :x orang Indonesia dan x makan nasi ada x sehingga x orang Indonesia dan x makan nasi Lx: x orang Indonesia Nx: x makan nasi - dalam kalimat logika ditulis: ( x)[lx Nx] - bentuk ini disebut afirmatif khusus. 20

21 Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2) 21

22 Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2) Menterjemahkan Kalimat Berkuantor 22

23 Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2) 23

24 Teori Inferensi Petemuan 5 Teori Inferensi Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini menjelaskan tentang teori-teori inferensi. Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa diharapkan dapat memahami tentang teori-teori inferensi. Waktu Pertemuan : 100 menit Inferensi adalah cara menarik kesimpulan dalam suatu argumentasi. Argumentasi adalah sederetan pernyataan (premis) yang diakhiri dengan suatu pernyataan yang disebut sebagai kesimpulan. Suatu argumentasi dikatakan valid apabila konjungsi dari semua premisnya berimplikasi secara tautologi pada kesimpulan. argumentasi Bentuk umum: - p1 (premis) - p2 (premis)... - pn (premis) - q (kesimpulan) 24

25 Teori Inferensi Tautologi dan argumentasi Validitas sebuah argumentasi dan kesimpulannya harus dipastikan (terutama tautologi implikasi dan tautologi ekivalensi mengarah pada aturan penalaran) Ada beberapa aturan penalaran yang sudah terbukti validitasnya: 1. Modus ponen 2. Modus tollen p q p q p ~q q ~p 3. Silogisme disjungtif 4. Simplifikasi p q p q ~p p q 5. penjumlahan 6. Konjungsi p p q p q p q 7. transitifitas p q q r p r 25

26 Teori Inferensi (bag.2) Petemuan 6 Teori Inferensi (bag.2) Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini menjelaskan tentang teori-teori inferensi lebih lanjut. Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa diharapkan dapat memahami tentang teori-teori inferensi secara lebih lanjut. Waktu Pertemuan : 100 menit Berikut ini beberapa argumen yang sudah terbukti sahih (Tautologi ekivalensi) Negasi ganda p ~ ~p Hukum Komutatif p q q p p q q p Hukum asosiatif (p q) r p (q r) p (q r) (p q) r (p q) r p (q r) p (q r) (p q) r Hukum De Morgan 26

27 Teori Inferensi (bag.2) ~(p q) ~p ~q ~(p q) ~p ~q ~p ~q ~(p q) ~p ~q ~(p q) Hukum distributif p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) Hukum idempoten p p p p p p Switcheroo (hukum ekivalensi untuk implikasi dan disjungsi) p q ~p q ~p q p q kontrapositif p q ~q ~p ~q ~p p q Hukum bikondisional p q (p q) (q p) p q (p q) (~p ~q) Validitas Argumen 27

28 Teori Inferensi (bag.2) - sebuah argument dikatakan sahih/valid jika konklusi benar bilamana semua hipotesisnya benar, dan sebaliknya. - konklusi mengikuti hipotesis, atau menunjukkan bahwa (p1 p2 pn) q adalah benar/tautologi 28

29 Mendeskripsikan Teori Himpunan Petemuan 7 Mendeskripsikan Teori Himpunan Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini menjelaskan tentang teori himpunan. Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa diharapkan dapat mendeskripsikan teori himpunan secara baik. Waktu Pertemuan : 100 menit Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan keterangan yang jelas. Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan huruf kapital A, B, C, sedangkan untuk menyatakan anggotanya digunakan huruf kecil a, d, c, Terdapat 4 cara untuk menyatakan suatu himpunan : 1. Enumerasi, yaitu dengan mendaftarkan semua anggotanya yang diletakan didalam sepasang tanda kurung kurawal dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh : A = {a, i, u, e, o}. 2. Simbol baku, yaitu dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. Contoh : P adalah himpunan bilangan bulat positif dan R adalah himpunan bilangan riil. 3. Notasi pembentukan himpunan, yaitu denganmenuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum dari anggota. Contoh : A = {x x adalah himpunan bilangan bulat positif} 4. Diagram venn, yaitu dengan menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta yang digambarkan dengan segi empat. 29

30 Mendeskripsikan Teori Himpunan Operasi-Operasi Dalam Himpunan 30

31 Mendeskripsikan Teori Himpunan 31

32 Mendeskripsikan Teori Himpunan Hukum Dan Sifat-Sifat Operasi Himpunan Jenis operasi Hukum dan sifat-sifat operasi Gabungan (union) A B=B A ; disebut sifat komutatif gabungan (A B) C=A (B C) ; disebut sifat asosiatif gabungan A =A A U=U A A =U ; disebut sifat komplemen gabungan Irisan (intersection) A B=B A ; disebut sifat komutatif irisan (A B) C=A (B C) ; disebut sifat asosiatif irisan A U=A A A = ; disebut sifat komplemen isiran Distributif A (B C) = (A B) (A C) ; disebut sifat distributif gabungan terhadap irisan A (B C) = (A B) (A C) ; disebut sifat distributif gabungan terhadap irisan Selisih A-A= A- =A A-B=A B A-(B C)=(A-B) (A-C) A-(B C)=(A-B) (A-C) Komplemen (A ) =A U = =U Jenis-Jenis Himpunan jenis notasi keterangan Himpunan A yang anggotanya adalah semua A={a,b,c,d, } A adalah nama yang diberikan kepada suatu himpunan huruf kecil dalam abjad Himpunan bagian A B A himpunan bagian dari himpunan B 32

33 Mendeskripsikan Teori Himpunan Himpunan kosong { } atau Himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali Himpunan yang sama A=B Himpunan A dikataan sama dengan himpunan B jika setiap anggota A juga menjadi anggota B dan sebaliknya Himpunan universal / semesta U atau S Adalah himpunan dari semua unsur yang dibicarakan Himpunan komplemen A atau A c Jika: U={1,2,3,4,5,6} A={3,5} Maka : A = A c = {1,2,4,6} Perkalian Himpunan (Cartesian product) Jika kita menemukan soal tentang perkalian himpunan, kita dapat mengerjakan seperti contoh berikut: A={a,b,c} B={p,q} A x B = {(a,p),(a,q),(b,p),(b,q),(c,p),(c,q)} 33

34 Aljabar Boolean Petemuan 8 Aljabar Boolean Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini memberikan penjelasan tentang aljabar boolean Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa diharapkan dapat memahami tentang dasar-dasar aljabar boolean. Waktu Pertemuan : 100 menit Misalkan terdapat - Dua operator biner: + dan - Sebuah operator uner:. - B : himpunan yang didefinisikan pada operator +,, dan - 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B. Tupel (B, +,, ) disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut: 34

35 Aljabar Boolean Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan: 1. Elemen-elemen himpunan B, 2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner, 3. Memenuhi postulat Huntington Aljabar Boolean Dua-Nilai - B = {0, 1} - operator biner, + dan - operator uner, - Kaidah untuk operator biner dan operator uner: Cek apakah memenuhi postulat Huntington: Closure : jelas berlaku Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa: = = = 0 1 = 0 Komutatif: jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner. Distributif: (i) a (b + c) = (a b) + (a c) dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran: 35

36 Aljabar Boolean (ii) Hukum distributif a + (b c) = (a + b) (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i). Komplemen: jelas berlaku karena pada Tabel memperlihatkan bahwa: a + a = 1, karena = = 1 dan = = 1 a a = 0, karena 0 0 = 0 1 = 0 dan 1 1 = 1 0 = 0 Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1} bersama-sama dengan operator biner + dan operator komplemen merupakan aljabar Boolean. Ekspresi boolean Misalkan (B, +,, ) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +,, ) adalah: (i) setiap elemen di dalam B, (ii) setiap peubah, (iii) jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 e2, e1 adalah ekspresi Boolean Contoh : 0 1 a b a + b a b a (b + c) a b + a b c + b, dan sebagainya 36

37 Aljabar Boolean Mengevaluasi Ekspresi Boolean Contoh: a (b + c) jika a = 0, b = 1, dan c = 0, maka hasil evaluasi ekspresi: 0 (1 + 0) = 1 1 = 1 Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan = ) jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah. Contoh: a (b + c) = (a. b) + (a c) Perjanjian: tanda titik ( ) dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan: (i) a (b + c) = ab + ac (ii) a + bc = (a + b) (a + c) (iii) a 0, bukan a0 37

38 Aljabar Boolean (bag.2) Petemuan 9 Aljabar Boolean (bag.2) Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini menjelaskan tentang aljabar Boolean materi selanjutnya Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa diharapkan dapat memahami aljabar Boolean lebih dalam Waktu Pertemuan : 100 menit Prinsip Dualitas Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +,, dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti: dengan + + dengan 0 dengan 1 1 dengan 0 dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S. Contoh. (i) (a 1)(0 + a ) = 0 dualnya (a + 0) + (1 a ) = 1 (ii) a(a + b) = ab dualnya a + a b = a + b Hukum-Hukum Aljabar Boolean 38

39 Aljabar Boolean (bag.2) Hukum identitas: Hukum idempotent: Hukum komplemen: - a + 0 = a - a + a = a - a + a = 1 - a 1 = a - a a = a - aa = 0 Hukum dominansi: Hukum involusi: Hukum penyerapan: - a 0 = 0 - a + 1 = 1 - a + ab = a - a + 1 = 1 - a(a + b) = a Hukum komutatif: Hukum asosiatif: Hukum distributif: - a + b = b + a - a+(b+c) = (a+b)+c - a+(b c) = (a+b) (a+c) - ab = ba - a (b c) = (a b) c - a (b + c) = a b + a c Hukum De Morgan: Hukum 0/1 - (a + b) = a b - 0 = 1 - (ab) = a + b - 1 = 0 Fungsi Boolean Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari B n ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai: f : B n B yang dalam hal ini B n adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B. Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean. Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah f(x, y, z) = xyz + x y + y z 39

40 Aljabar Boolean (bag.2) Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3 (x, y, z) ke himpunan {0, 1}. Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1 sehingga : f(1, 0, 1) = = = 1. Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain: 1. f(x) = x 2. f(x, y) = x y + xy + y 3. f(x, y) = x y 4. f(x, y) = (x + y) 5. f(x, y, z) = xyz Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya, disebut literal. Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz terdiri dari 3 buah literal, yaitu x, y, dan z. 40

41 Aljabar Boolean (bag.3) Petemuan 10 Aljabar Boolean (bag.3) Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini menjelaskan secara lebih rinci tentang aljabar boolean Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa diharapkan dapat memahami materi-materi aljabar Boolean secara lebih lanjut Waktu Pertemuan : 100 menit Komplemen Fungsi 1. Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, x1 dan x2, adalah Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y z + yz), maka: f (x, y, z) = (x(y z + yz)) = x + (y z + yz) = x + (y z ) (yz) = x + (y + z) (y + z ) 2. Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas. Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang merepresentasikan f, lalu komplemenkan setiap literal di dalam dual tersebut. Contoh: Misalkan f(x, y, z) = x(y z + yz), maka dual dari f : x + (y + z ) (y + z) kemudian komplemenkan tiap literalnya : x + (y + z) (y + z ) = f Jadi, f (x, y, z) = x + (y + z)(y + z ) 41

42 Aljabar Boolean (bag.3) Bentuk Kanonik Ada dua macam bentuk kanonik: 1. Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP) 2. Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS) Contoh: 1. f(x, y, z) = x y z + xy z + xyz SOP Setiap suku (term) disebut minterm 2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z ) (x + y + z )(x + y + z) POS Setiap suku (term) disebut maxterm Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap Konversi Antara Bentuk Kanonik Misalkan f(x, y, z) = Σ (1, 4, 5, 6, 7) 42

43 Aljabar Boolean (bag.3) dan f adalah fungsi komplemen dari f, f (x, y, z) = Σ (0, 2, 3) = m0+ m2 + m3 Dengan menggunakan hukum De Morgan, kita dapat memperoleh fungsi f dalam bentuk POS: f (x, y, z) = (f (x, y, z)) = (m0 + m2 + m3) = m0. m2. m3 = (x y z ) (x y z ) (x y z) = (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z ) = M0 M2 M3 = (0,2,3) Jadi, f(x, y, z) = Σ (1, 4, 5, 6, 7) = (0,2,3). Kesimpulan: mj = Mj Bentuk Baku Tidak harus mengandung literal yang lengkap. Contohnya: f(x, y, z) = y + xy + x yz f(x, y, z) = x(y + z)(x + y + z ) (bentuk baku SOP) (bentuk baku POS) 43

44 Aljabar Boolean (bag.4) Petemuan 11 Aljabar Boolean (bag.4) Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini menjelaskan tentang materi terakhir dari aljabar boolean Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa diharapkan dapat mengerti secara total tentang materi aljabar boolean Waktu Pertemuan : 100 menit Penyederhanaan Fungsi Boolean Contoh: f(x, y) = x y + xy + y disederhanakan menjadi f(x, y) = x + y Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3 cara: 1. Secara aljabar 2. Menggunakan Peta Karnaugh 3. Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi) 1. Penyederhanaan Secara Aljabar Contoh: f(x, y) = x + x y = (x + x )(x + y) = 1 (x + y ) = x + y f(x, y, z) = x y z + x yz + xy = x z(y + y) + xy = x z + xz 44

45 Aljabar Boolean (bag.4) f(x, y, z) = xy + x z + yz = xy + x z + yz(x + x ) = xy + x z + xyz + x yz = xy(1 + z) + x z(1 + y) = xy + x z 2. Peta Karnaugh Peta karnaugh dengan dua peubah Peta karnaugh dengan tiga peubah Peta karnaugh dengan empat peubah Teknik Minimisasi Fungsi Boolean dengan Peta Karnaugh 1. Pasangan: dua buah 1 yang bertetangga 45

46 Aljabar Boolean (bag.4) Sebelum disederhanakan: Hasil Penyederhanaan: f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz f(w, x, y, z) = wxy Bukti secara aljabar: f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz 4. wxy(z + z ) 5. wxy(1) 6. wxy 2. Kuad: empat buah 1 yang bertetangga Sebelum disederhanakan : f(w, x, y, z) = wxy z + wxy z + wxyz + wxyz Hasil penyederhanaan : f(w, x, y, z) = wx Bukti secara aljabar: f(w, x, y, z) = wxy + wxy = wx(z + z) = wx(1) = wx 46

47 Aljabar Boolean (bag.4) Contoh lain: Sebelum disederhanakan: Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = wxy z + wxy z + wx y z + wx y z f(w, x, y, z) = wy = Oktet: delapan buah 1 yang bertetangga Sebelum disederhanakan: f(a, b, c, d) = wxy z + wxy z + wxyz + wxyz + wx y z + wx y z + wx yz + wx yz Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = w Bukti secara aljabar: f(w, x, y, z) = wy + wy = w(y + y) = w 47

48 Aljabar Boolean (bag.4) Kondisi Don t Care Kondisi ini hanya digunakan untuk bantuan dalam meminimalisir fungsi Boolean. Jika kita tidak membutuhkan bantuan, maka kita perlu memperdulikan literal tersebut. 48

49 Aljabar Boolean (bag.4) Contoh: Dari tabel berikut, minimisasi fungsi f sesederhana mungkin. Jawab: Hasil penyederhanaan: f(a, b, c, d) = bd + c d + cd 49

50 Rangkaian logika Petemuan 12 Rangkaian logika Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini menjelaskan tentang bagaimana cara membuat rangkain logika Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa diharapkan dapat membaca simbol-simbol dari rangkaian logika sekaligus dapat merangkai sebuah rangkaian Waktu Pertemuan : 100 menit Sebelum mempelajari lebih lanjut tentang rangkaian logika, disini akan di jelaskan sedikit tentang aplikasi dari aljabar Boolean. Contoh dari aplikasi aljabar Boolean yaitu: 1. Jaringan Pensaklaran (Switching Network) Saklar merupakan objek yang mempunyai dua buah keadaan: buka dan tutup. Tiga bentuk gerbang paling sederhana dari jaringan pensaklaran yaitu: Output b hanya ada jika dan hanya jika x dibuka x Output b hanya ada jika dan hanya jika x dan y dibuka xy Output c hanya ada jika dan hanya jika x atau y dibuka x + y Contoh rangkaian pensaklaran pada rangkaian listrik: a. Saklar dalam hubungan SERI: logika AND 50

51 Rangkaian logika b. Saklar dalam hubungan PARALEL: logika OR 2. Rangkaian Logika Gerbang-Gerbang Turunan : 51

52 Rangkaian logika ekivalen dengan ekivalen dengan ekivalen dengan Contoh Soal: Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + x y ke dalam rangkaian logika. Jawab: (a) Cara pertama 52

53 Rangkaian logika (b) Cara kedua (c) Cara ketiga 53