Lecture 3: Graphical Sensitivity Analysis

Transkripsi

1 Lecture 3: Meskipun Program Linear dianggap sebagai model yang deterministic (koefisien-koefisiennya dianggap sudah pasti, konstan, sehingga nilainilai peubah dapat diperkirakan dengan kepastian tinggi; lawannya ialah probabilistic), tetapi dalam praktek selalu terdapat perubahan nilai parameter, baik keuntungan, biaya, maupun kapasitas sumber daya. Dari hari ke hari harga barang di pasar dapat bergoyang. Hal ini semua dapat mempengaruhi perencanaan yang sudah disusun. Untuk mengatasi kesulitan di atas, dalam menggunakan Program Linear, sering timbul pertanyaan-pertanyaan sebagai berikut. (1) Apakah akibat bagi solusi optimal jika terjadi perubahan nilai parameter? (misal koefisien biaya berubah sedikit). (2) Berapa besar nilai parameter (koefisien) tertentu tersebut boleh berubah tanpa mengubah solusi optimal? Dalam rangka menjawab perntanyaan-pertanyaan di atas, timbullah istilah analisis sensitivitas (sensitivity analysis). Analisis sensitivitas mempelajari mengenai perubahan nilai parameter-parameter model dalam batas tertentu, tanpa mengubah solusi optimal. Jika nilai parameter tertentu berubah melewati batas tersebut, maka dapat mengakibatkan perubahan pada solusi optimal. Dalam model Program Linear, nilai parameter biasanya tidak konstan. Dengan analisis sensitivitas, kita dapat mengetahui dampak dari ketidakpastian nilai parameter tersebut terhadap kualitas solusi optimal. Contoh. Misalkan kita ingin mengestimasi keuntungan satu unit produk (unit profit), yaitu koefisien fungsi objektif. Dalam analisis sensitivitas, jika perubahan keuntungan ±10% tetap memberikan solusi optimal yang sama, maka solusi tersebut dikatakan lebih kuat (robust) dibandingkan jika interval perubahan hanya ±1% (artinya, jika keuntungan 1 unit produk mengalami perubahan lebih dari 1%, maka akan menyebabkan perubahan solusi optimal). Dalam analisis sensitivitas, terdapat dua kasus, yaitu (1) Sensitivitas solusi optimal terhadap perubahan persediaan sumber daya (the availiability of the resources), yaitu nilai ruas kanan dari kendala-kendala. (2) Sensitivitas solusi optimal terhadap perubahan unit profit atau unit cost, yaitu koefisien dari fungsi objektif.

2 1. Perubahan Ruas Kanan Kendala Produk dan Mesin. Suatu perusahaan memproduksi dua produk menggunakan dua mesin. Satu unit produk 1 diproses selama 2 jam pada mesin A dan 1 jam pada mesin B. Sedangkan 1 unit produk 2 diproses selama 1 jam pada mesin A dan 3 jam pada mesin B. Satu unit produk 1 dan 2 berturut-turut memberikan keuntungan sebesar $30 dan $20. Batas waktu proses masing-masing mesin adalah 8 jam setiap hari. Misal x : jumlah produk 1 yang diproduksi (unit/hari) x : jumlah produk 2 yang diproduksi (unit/hari) Model Program Linear lengkap disajikan sebagai berikut. Maksimumkan z = 30x + 20x 2x + x 8 x + 3x 8 x, x 0 Perhatikan daerah fisibel masalah Program Linear di atas. Gambar 2.4 Grafik sensitivitas solusi optimal terhadap perubahan kapasitas kendala

3 Kendala mesin A. Gambar 2.5 menunjukkan perubahan solusi optimal ketika kapasitas mesin A berubah. Jika kapasitas mesin A ditingkatkan dari 8 jam menjadi 9 jam setiap hari, yaitu kendala 2x + x 8 berubah menjadi 2x + x 9, maka solusi optimal juga berubah, seperti disajikan pada tabel berikut. Titik optimal z Kapasitas mesin A = 8 C(3.2, 1.6) 128 Kapasitas mesin A = 9 G(3.8, 1.4) 142 Rata-rata tingkat perubahan keuntungan (z) per jam akibat perubahan kapasitas mesin A (dari 8 menjadi 9 jam) dapat dihitung dengan rumus: Rata-rata tingkat perubahan z = = = $14/jam. Nilai tersebut menunjukkan bahwa penambahan (pengurangan) kapasitas mesin A sebesar 1 jam, akan meningkatkan (menurunkan) keuntungan sebesar $14. Tingkat perubahan fungsi objektif tersebut kemudian disebut sebagai harga dual (dual price atau shadow price). Dari Gambar 2.4, dapat dilihat bahwa harga dual $14 tetap berlaku terhadap perubahan (penambahan/pengurangan) kapasitas mesin A yang menggerakkan garis kendala mesin A secara sejajar (paralel) di sepanjang titik pada garis BF. Sehingga diperoleh Kapasitas minimum Mesin A (titik B(0, 2.67)) = 2x + x = 2(0) = 2.67 jam Kapasitas maksimum Mesin A (titik F(8, 0)) = 2x + x = 2(8) + 0 = 16 jam Jadi, harga dual $14 untuk mesin A tetap berlaku untuk range 2.67 jam kapasitas mesin A 16 jam Jika kapasitas mesin A berada di luar range tersebut, maka akan menghasilkan harga dual yang berbeda. Kendala mesin B. Dengan cara yang sama, harga dual untuk kapasitas mesin B adalah $2/jam. Harga dual $2 tetap berlaku terhadap perubahan (penambahan/pengurangan) kapasitas mesin B yang menggerakkan garis kendala mesin B secara sejajar (paralel) di sepanjang titik pada garis DE. Sehingga diperoleh

4 Kapasitas minimum Mesin B (titik D(4, 0)) = x + 3x = 4 + 3(0) = 4 jam Kapasitas maksimum Mesin B (titik E(0, 8)) = x + 3x = 0 + 3(8) = 24 jam Jadi, harga dual $2 untuk mesin B tetap berlaku untuk range 4 jam kapasitas mesin B 24 jam Jika kapasitas mesin A berada di luar range tersebut, maka akan menghasilkan harga dual yang berbeda. Catatan. Batas kapasitas mesin A dan B di atas disebut range fisibel (feasibility range). Questions: (1) Jika perusahaan dapat meningkatkan kapasitas kedua mesin (mesin A dan B), mesin mana yang memiliki prioritas lebih tinggi? Answer. Harga dual untuk mesin A dan B berturut-turut $14/jam dan $2/jam. Artinya, untuk setiap penambahan 1 jam pada kapasitas mesin A akan meningkatkan keuntungan $14, sedangkan mesin B hanya $2. Jadi, mesin A lebih diprioritaskan daripada mesin B. (2) Jika setiap penambahan kapasitas mesin A dan B membutuhkan biaya reparasi sebesar $10/jam, apakah tetap memberikan penambahan keuntungan? Answer. Setiap penambahan 1 jam pada kapasitas mesin, maka Mesin A: memberikan tambahan hasil setiap jam $14 10$ = $4. Mesin B: memberikan tambahan hasil setiap jam $2 10$ = $8. Jadi, hanya mesin A yang tetap memberikan tambahan keuntungan, sedangkan mesin B akan mengurangi keuntungan. Hal ini karena biaya reparasi lebih besar daripada tambahan keuntungan. (3) Jika kapasitas mesin A ditingkatkan dari 8 jam menjadi 13 jam, berapa besar keuntungan total yang diperoleh? Answer. Diketahui harga dual untuk mesin A adalah $14, dan berlaku pada range [2.67, 16] jam. Sehingga diperoleh peningkatan keuntungan sebesar $14(13 8) = $70. Keuntungan total yang diperoleh adalah $128 + $70 = $198.

5 2. Perubahan Koefisien Fungsi Objektif Gambar 2.5 menunjukkan solusi masalah Program Linear Produk dan Mesin pada contoh sebelumnya. Solusi optimal terjadi pada titik C(3.2, 1.6), dengan keuntungan maksimum z = 128. Gambar 2.5 Grafik sensitivitas solusi optimal terhadap Perubahan koefisien fungsi objektif Perubahan pada koefisien fungsi objektif akan mengakibatkan perubahan kemiringan (slope) dari fungsi z. Tetapi, dari Gambar 2.5 dapat dilihat bahwa solusi optimal tetap di titik C jika garis fungsi objektif z tetap berada antara garis BF dan DE, yaitu dua garis kendala yang berpotongan di titik optimal C tersebut. Jadi, terdapat range untuk koefisien fungsi objektif, sehingga solusi optimal tetap terjadi di titik optimal yang sama. Fungsi objektif dapat ditulis secara umum sebagai berikut. z = c x + c x Perhatikan dari Gambar 2.5 bahwa fungsi z dapat diputar terhadap sumbu C, baik searah maupun berlawanan arah jarum jam. Karena

6 gradient dari fungsi objectif adalah m =, yaitu bergantung terhadap rasio, maka fungsi objektif z akan bergerak: Searah jarum jam (kanan), yaitu jika c naik atau c turun. Berlawanan arah jarum jam (kiri), yaitu jika c turun atau c naik. Titik C tetap sebagai solusi optimal selama z = c x + c x berada di antara dua garis x + 3x = 8 2x + x = 8 Hal ini berarti bahwa rasio dapat bervariasi antara dan, yaitu atau Questions: (1) Jika keuntungan satu unit produk 1 dan 2 berturut-turut berubah menjadi $35 dan $25, apakah titik optimal tetap sama? Answer. Diperoleh fungsi objektif baru: Maksimumkan z = 35x + 25x. Karena = = 1.4, maka rasio tersebut berada dalam range, 2. Dengan demikian, titik C(3.2, 1.6) tetap sebagai solusi optimal, dengan keuntungan maksimum sebesar z = 35x + 25x = 35(3.2) + 25(1.6) = $152. (2) Jika keuntungan satu unit produk 2 ditetapkan sebesar c = $20, tentukan range untuk keuntungan satu unit produk 1 (c ), sedemikian sehingga solusi optimal tetap di titik C. Answer. Nilai c = $20 disubstitusikan pada 2, diperoleh 2 c 40 atau 6.67 c 40. Range tersebut disebut range optimal (optimality range) untuk c. Keuntungan maksimum terbesar adalah z = c x + 20x = c (3.2) + 20(1.6) = 3.2c + 32

7 Jika c = 6.67, maka titik optimal di sepanjang garis BC (ada tak berhingga banyak solusi optimal). Sedangkan jika c < 6.67, maka titik optimal bergeser ke B 0, = (0, 2.67). Akibatnya, sumber 1 (mesin 1) menjadi berlebih: 2x + x = 2(0) = 2.67 < 8. Artinya penggunaan mesin 1 menurun, sehingga dapat dialokasikan untuk keperluan lain). Jika c = 40, maka titik optimal di sepanjang garis CD (ada tak berhingga banyak solusi optimal). Sedangkan jika c > 40, maka titik optimal bergeser ke D(4,0). Akibatnya, sumber 2 (mesin 2) menjadi berlebih: x + 3x = 4 + 3(0) = 4 < 8. Artinya penggunaan mesin 1 menurun, sehingga dapat dialokasikan untuk keperluan lain). (3) Jika keuntungan satu unit produk 1 ditetapkan sebesar c = $30, tentukan range untuk keuntungan satu unit produk 2 (c ), sedemikian sehingga solusi optimal tetap di titik C. Answer. Nilai c = $30 disubstitusikan pada 2, diperoleh 2 c / 15 c 90 Jadi, range optimal untuk c adalah 15 c 90, dengan keuntungan maksimum sebesar z = 30x + c x = 30(3.2) + c (1.6) = c Soal Latihan (1) Diberikan model Program Linear sebagai berikut. Maksimumkan z = 10x + 20x x + x 8 3x x 0 x, x 0 x q Berapa sajakah nilai q sehingga model di atas mempunyai solusi optimal dan berapa nilai optimal yang sesuai?

8 (2) Diberikan model Program Linear sebagai berikut. Minimumkan z = px + 3x 4x x 0 x 2x 0 x + 3x 6 x, x 0 Berapa sajakah nilai q sehingga model di atas mempunyai solusi optimal dan berapa nilai optimal yang sesuai? (a) Selesaikan soal di atas untuk p = 1. (b) Tentukan nilai p sehingga solusi optimal tidak berbeda dengan solusi optimal pada butir (a). (3) Diberikan model Program Linear sebagai berikut. Minimumkan z = 25 x 2x x x 0 x + x Q x 4 x, y 0 Tentukan nilai Q sehingga nilai minimum z masih positif. (4) Diberikan model Program Linear sebagai berikut. Maksimumkan z = 3x + 2x 2x + 2x 7 ax x 0 x 2x 2 x, y 0 Tentukan nilai a sehingga model masih mempunyai solusi optimal. Kunci Jawaban Soal Latihan (1) Jika q diberi berbagai nilai dari yang besar ke yang kecil akan diperoleh empat kejadian sebagai berikut. (a) Untuk q > 8, model tidak mempunyai daerah fisibel, sehingga tidak mempunyai solusi optimal. (b) Untuk 2 < q 8, daerah fisibel berupa daerah segitiga (untuk q = 8, segitiga menjadi satu titik), dengan solusi optimal (q, 8 q) dan nilai maksimum z = q.

9 (c) Untuk 0 < q 2, daerah fisibel berupa segiempat, dengan titik optimal di (2,6) dan nilai maksimum z = 140. (d) Untuk q 0, kendala terakhir menjadi berlebih, daerah fisibel berupa segitiga, dengan titik optimal di (2,6) dan nilai maksimum 140. (2) Dari masalah Program Linear yang diberikan, diperoleh (a) Solusi optimum di titik 2, 1, dengan nilai minimum z =. (b) 1 p 1 (3) Q < 25 (4) a > 1