Bahan A: 6x + 4x 24. Bahan B Harga jual ($1000) 5 4. Identifikasi fungsi tujuan Pendapatan total yang harus dimaksimumkan adalah

Transkripsi

1 Lecture 2: Graphical Method Khusus untuk masalah Program Linear dengan 2 peubah dapat diselesaikan melalui grafik, meskipun dalam praktek masalah Program Linear jarang sekali yang hanya memuat 2 peubah. Tetapi metode grafik mempermudah kita dalam memahami pengertian-pengertian yang timbul dalam Program Linear. Cara paling efektif untuk memperkenalkan pengertian-pengertian tersebut adalah dengan langsung menyelesaikan contoh-contoh soal. A. Solution of a Maximization Model Reddy Mikks. Perusahaan cat memproduksi cat interior dan cat eksterior. Dua bahan A & B digunakan. Kebutuhan bahan untuk tiap cat beserta persediaannya terlihat pada tabel di bawah. Survey menunjukkan bahwa permintaan harian cat interior melebihi cat eksterior tidak lebih dari 1 ton. Permintaan maksimum cat interior adalah 2 ton/hari. Harga jual cat eksterior $5000/hari, sedangkan cat interior $4000. Berapa produksi tiap cat supaya harga jual maksimum? Cat eksterior Cat interior Persediaan bahan Bahan A Bahan B Harga jual ($1000) 5 4 Penyelesaian: Penyusunan Model Program Linear Identifikasi variabel Misalkan x1 : jumlah cat eksterior yang diproduksi. x2 : jumlah cat interior yang diproduksi. Identifikasi fungsi tujuan Pendapatan total yang harus dimaksimumkan adalah z = 5x + 4x Identifikasi fungsi-fungsi kendala Keterbatasan persediaan bahan menimbulkan kendala: Bahan A: 6x + 4x 24 Bahan B: x + 2x 6 Permintaan cat interior melebihi cat eksterior tidak lebih dari 1 ton: x + x 1

2 Permintaan maksimum cat interior 2 ton/hari x 2 Peubah x dan x mewakili besaran yang tidak boleh bernilai negatif: Model Program Linear lengkap Maksimumkan z = 5x + 4x terhadap kendala 6x + 4x 24 x + 2x 6 x + x 1 x 2 Setiap nilai x dan x yang memenuhi semua kendala disebut solusi fisibel (feasible solution). Jika sebaliknya (minimal ada satu kendala yang tidak terpenuhi), maka solusi tersebut tidak fisibel (infeasible). Sebagai contoh, x = 3 ton/hari dan x = 1 ton/hari merupakan solusi fisibel karena memenuhi semua kendala yang diberikan, termasuk kendala tak negatif. Untuk mengecek hasilnya, kita dapat mensubstitusi (x, x ) = (3,1) pada ruas kiri setiap kendala, yaitu 6x + 4x = 6(3) + 4(1) = x + 2x = 3 + 2(1) = 5 6 x + x = = 2 1 x = 1 2 x = 3, x = 1 0 Sedangkan solusi, x = 4 ton/hari dan x = 1 ton/hari merupakan solusi tak fisibel, karena tidak memenuhi kendala pertama, yaitu 6x + 4x = 6(4) + 4(1) = 28 > 24 Tujuan dari masalah Program Linear di atas adalah menentukan solusi fisibel terbaik, atau solusi optimal (optimum solution), yang memaksimumkan total keuntungan. Jumlah solusi fisibel dari masalah Reddy Miks dapat dilihat pada Gambar 2.1, yang menunjukkan bahwa terdapat tak terhingga solusi fisibel. Sehingga tidak mungkin menyelesaikan masalah ini dengan enumerasi (mengecek satu demi satu solusi fisibel). Oleh karena itu, akan diberikan prosedur (langkah-langkah) berhingga untuk mencari solusi optimal menggunakan metode grafik. Terdapat dua langkah dalam metode grafik (graphical method), yaitu

3 1. Menentukan daerah fisibel atau ruang solusi fisibel (feasible solution space). 2. Menentukan solusi optimal (optimum solution) diantara semua solusi fisibel dalam ruang solusi. Langkah 1. Menentukan Daerah Fisibel/Ruang Solusi Fisibel Pertama kita perhatikan kendala tak negatif. Pada Gambar 1, sumbu horisontal x dan vertikal x berturut-turut merepresentasikan cat eksterior dan cat interior. Sehingga kendala tak negatif setiap variabel menunjukkan bahwa ruang solusi berada di kuadran I, yaitu di atas sumbu-x dan di kanan sumbu-x. Selanjutnya, mengubah setiap pertidaksamaan pada masing-masing kendala menjadi sebuah persamaan. Kemudian menggambar setiap persamaan dalam sebuah garis lurus, dengan menentukan dua titik yang memenuhi persamaan tersebut dan menghubungkannya. Berikutnya, menentukan daerah fisibel untuk setiap kendala yang memenuhi tanda pertidaksamaan. Untuk menentukan daerah fisibel yang tepat, dapat dipilih titik (0,0) sebagai titik referensi (reference point). Jika pada titik tersebut memenuhi tanda pertidaksamaan, maka daerah dimana titik (0,0) berada merupakan daerah fisibel untuk kendala yang bersangkutan. Daerah fisibel/ruang solusi fisibel merupakan irisan semua daerah fisibel dari masing-masing kendala. Gambar 2.1 Daerah fisibel masalah Reddy Mikks

4 Langkah 2. Menentukan Solusi Optimal Daerah fisibel dalam Gambar 2.2 merupakan daerah segienam ABCDEF. Jadi, semua titik yang berada di dalam ruang segienam ABCDEF merupakan solusi fisibel. Karena ruang fisibel ABCDEF mengandung tak berhingga banyak titik, maka dibutuhkan suatu prosedur untuk mengidentifikasi solusi optimal. Penentuan solusi optimal membutuhkan identifikasi ke arah mana fungsi objektif z = 5x + 4y mengalami kenaikan (maksimum z). Jika kepada z diberikan nilai tetap 5x + 4y = k, maka grafik fungsi sasaran berupa garis lurus yang disebut garis senilai (isoquant, isoprofit, isocost) karena menggambarkan pasangan-pasangan (x, x ) yang memberikan nilai z yang sama. (Disebut juga garis selidik). Diambil 2 nilai z, misal z = 10 dan z = 15, sehingga diperoleh persamaan garis lurus 5x + 4y = 10 dan 5x + 4y = 15, yang menunjukkan arah kenaikan nilai z, yaitu semakin ke kanan garis senilai digeser, maka nilai z juga semakin besar. Solusi optimal terjadi di titik C, karena C merupakan titik terakhir yang memberikan nilai z terbesar dan beririsan dengan daerah fisibel. Gambar 2.2 Garis selidik masalah Reddy Mikks Titik C merupakan perpotongan garis (1) dan (2), yaitu 6x + 4x = 24 x + 2x = 6

5 Diperoleh solusi x = 3 dan x = 1,5 dengan z = (5)(3)+(4)(1,5) = 21. Jadi, agar diperoleh keuntungan maksimum, perusahaan harus memproduksi cat eksterior 3 ton/hari dan cat interior 1,5 ton/hari, dengan keuntungan maksimum sebesar $ per hari. Karakteristik penting dari masalah Program Linear adalah solusi optimal selalu berhubungan dengan titik pojok (corner point) ruang solusi (perpotongan dua garis). Hal ini juga berlaku bahkan jika fungsi objektif sejajar (parallel) terhadap suatu fungsi kendala. Sebagai contoh jika fungsi objektif z = 6x + 4x, maka fungsi tersebut sejajar dengan kendala (1). Kita dapat selalu mengatakan bahwa solusi optimal terjadi baik di titik B maupun C. Sebenarnya, setiap titik pada garis AB merupakan solusi optimal alternatif (alternative optimum solution), tetapi observasi penting di sini adalah bahwa garis BC didefinisikan secara total oleh titik pojok B dan C. Solusi optimal dari masalah Program Linear selalu berhubungan dengan titik pojok daerah fisibel. Oleh karena itu, solusi optimal dapat ditentukan dengan cara yang lebih sederhana, yaitu dengan mengecek satupersatu titik pojok tersebut, seperti ditunjukkan pada tabel berikut. Titik Pojok (x 1, x 2 ) z = 5x 1 + 4x 2 A B C (0,0) (4,0) (3, 1.5) (Optimum) D (2,2) 18 E (1,2) 13 F (0,1) 4 Solusi optimal terjadi di titik C(3, 1.5) karena memberikan nilai z terbesar (maksimum), yaitu 21. B. Solution of a Minimization Model Diet Problem. Perkebuan Ozark menggunakan paling sedikit 800 lb makanan spesial setiap hari. Makanan tersebut merupakan campuran antara jagung (corn) dan tepung kedelai (soybean meal), dengan komposisi sebagai berikut. Bahan Makanan Jagung Tepung Kedelai lb per lb Bahan Makanan Protein Fiber Biaya ($/lb)

6 Untuk kebutuhan diet, pada bahan makanan (feedstuff) dibutuhkan paling sedikit 30% protein dan paling banyak 5% fiber. Perkebunan Ozark ingin menentukan biaya minimum harian dari adonan makanan tersebut. Penyelesaian: Penyusunan Model Program Linear Identifikasi variabel Misalkan x1 : jumlah jagung dalam adonan makanan (lb/hari). x2 : jumlah tepung kedelai dalam adonan makanan (lb/hari). Identifikasi fungsi tujuan Biaya total harian yang harus diminimumkan adalah z = 0.3x + 0.9x Identifikasi fungsi-fungsi kendala Jumlah makanan paling sedikit 800 lb x + x 800 Jumlah protein paling sedikit 30% dari total adonan makanan 0.09x + 0.6x 0.3(x + x ) Jumlah fiber paling banyak 5% dari total adonan makanan 0.02x x 0.05(x + x ) Peubah x dan x mewakili besaran yang tidak boleh bernilai negatif: Model Program Linear lengkap Minimumkan z = 0.3x + 0.9x terhadap kendala x + x x 0.30x x 0.01x 0 Gambar 2.3 menunjukkan daerah fisibel dari model Program Linear di atas. Berbeda dengan masalah Reddy Mikks, kendala kedua dan ketiga melalui titik asal (0,0). Sehingga titik (0,0) tidak dapat digunakan sebagai titik referensi (reference point) untuk menentukan daerah fisibel dari kedua kendala tersebut. Namun, kita dapat menggunakan titik lain sebagai titik refensi, misalnya (0,100) atau (100, 0).

7 Gambar 2.3 Garis selidik masalah diet Karena tujuan model Program Linear adalah meminimumkan biaya total, maka kita menggeser persamaan fungsi objektif z = 0.3x + 0.9x ke arah kiri (semakin memperkecil nilai z) sampai berpotongan dengan solusi fisibel terakhir. Gambar 2.3 menunjukkan bahwa solusi optimal merupakan perpotongan antara garis x + x = 800 dan 0.21x 0.30x = 0. Diperoleh x = lb dan x = lb, dengan nilai z = Jadi, perkebunan Ozark harus menggunakan menggunakan jagung lb/hari dan tepung kedelai lb/hari, agar mengeluarkan biaya minimum sebesar $ per hari. Catatan. Program Linear tidak menjamin secara otomatis diperoleh solusi bilangan bulat. Tetapi, kita juga tidak diperbolehkan membulatkan solusi optimal (desimal) begitu saja, karena dapat menyebabkan solusi tersebut menjadi tidak fisibel. Masalah Program Linear yang mempelajari secara khusus solusi optimal dalam bentuk bilangan bulat, dipelajari dalam Program Linear Bulat (integer linear programming).