Sumber: Art & Gallery

Transkripsi

1 Sumber: Art & Gallery Standar Kmpetensi 0. Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi dua Kmpetensi Dasar 0. Mengidentifikasi sudut 0. Menentukan keliling bangun datar dan luas daerah bangun datar 0. 3 Menerapkan transfrmasi bangun datar

2 0 Matematika XI SMK Kelmpk: Penjualan dan Akuntansi A. PENDAHULUAN Standar Kmpetensi Gemetri Dimensi Dua terdiri dari tiga (3) Kmpetensi Dasar. Pada penyajian dalam buku ini, setiap Kmpetensi Dasar memuat Tujuan, Uraian materi, Rangkuman dan Latihan. Kmpetensi Dasar dalam Standar Kmpetensi ini adalah Sudut Bangun Datar, Keliling Bangun Datar dan Luas Daerah Bangun Datar dan Transfrmasi Bangun Datar. Standar Kmpetensi ini digunakan untuk menyelesaikan masalah masalah sudut, luas dan keliling bangun datar, pada kehidupan sehari-hari dalam rangka untuk menunjang prgram keahliannya. Sebelum mempelajari kmpetensi ini, diharapkan anda telah menguasai standar kmpetensi Sistem Bilangan Real terutama tentang perkalian, pembagian, penjumlahan dan pengurangan bilangan real dan fungsi. Pada setiap akhir Kmpetensi dasar tercantum sal-sal latihan yang disusun dari salsal yang mudah sampai sal-sal yang sukar. Latihan sal ini digunakan untuk mengukur kemampuan anda terhadap kmpetensi dasar ini, artinya setelah mempelajari kmpetensi dasar ini secara mandiri dengan bimbingan guru sebagai fasilisatr, ukur sendiri kemampuan anda dengan mengerjakan sal-sal latihan tersebut. Untuk melancarkan kemampuan anda supaya lebih baik dalam mengerjakan sal, disarankan semua sal dalam latihan ini dikerjakan baik di seklah dengan bimbingan guru maupun di rumah. Untuk mengukur standar kmpetensi lulusan tiap siswa, di setiap akhir kmpetensi dasar, guru akan memberikan evaluasi apakah anda layak atau belum layak mempelajari standar Kmpetensi berikutnya. Anda dinyatakan layak jika anda dapat mengerjakan sal 60% atau lebih sal-sal evaluasi yang akan diberikan guru. B. KOMPETENSI DASAR B.. Sudut Bangun Datar a. Tujuan Setelah mempelajari uraian kmpetensi dasar ini, anda dapat: Mengukur sudut dengan menggunakan busur Mengknversikan satuan sudut derajat ke radian atau sebaliknya. b. Uraian Materi ). Definisi dan pengukuran sudut Sudut adalah daerah yang dibatasi leh dua ruas garis dan titik. Untuk menyatakan nama, disertai suatu sudut dilambangkan dengan : < huruf-huruf Yunani seperti : α, β, θ dan lain-lain. Untuk mengukur sudut biasanya digunakan dengan Busur.

3 BAB IV Gemetri Dimensi Dua Sudut disebelah diberi nama sudut α atau < ACB. Untuk menentukan besarnya suatu sudut biasanya dinyatakan dengan derajat ( ) atau radian Gambar 4- Cara mengukur besarnya sudut dengan Busur: Letakkan menempel garis 0 pada busur ke salah satu ruas garis yang akan diukur besar sudutnya Letakkan titik pusat busur (titik pusat ½ lingkaran) pada titik sudut dan ruas garis yang lain terletak di dalam busur Ukur besar sudutnya dengan menggunakan skala pada busur Secara garis besar, besarnya suatu sudut terbagi menjadi tiga bagian, yaitu: Sudut lancip yaitu sudut yang besarnya kurang dari 90. Sudut siku-siku yaitu sudut yang besarnya 90 Sudut tumpul yaitu sudut yang besarnya lebih dari 90 Ukuran sudut dalam derajat yang lebih kecil dapat dinyatakan dalam menit (') dan detik(") derajat 60 menit dan menit 60 detik Cnth Nyatakan ukuran sudut di bawah ini dalam derajat, menit dan detik: a. 34,3 b. 79,8 c. 37,8 a. 34, , ,3 x 60' 34 8' b. 79, , ,8 x 60' ,8' ' + 0,8' ' + 0,8 x 60'' 79 0' 48'' c. 37, , ,8 x 60' ,' ' + 0,' ' + 0, x 60'' 37 49' '' Cnth Nyatakan ukuran sudut di bawah ini dalam derajat saja: a. 38 5' 8'' b. 47 7' 36'' a ' 8'' ( )

4 Matematika XI SMK Kelmpk: Penjualan dan Akuntansi ( ,4 + 0,005) 38,405 b ' 36'' ( ) ( ,45 + 0,0) 47,46 ). Pengubahan derajat ke radian atau sebaliknya Pengukuran sudut berdasarkan ukuran radian didasarkan anggapan bahwa : satu radian besarnya sudut pusat lingkaran yang dibatasi leh busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari Jika OA dan OB adalah jari-jari r dan busur AB juga panjangnya r maka < AOB sebesar radian. Kita sudah mengetahui bahwa : putaran 360 Dan keliling lingkaran : k π r maka berdasarkan rumus perbandingan pada lingkaran berlaku: AOB panjang busur AB 360 keliling lingkaran radian r (kalikan silang diperleh) 360 π r Gambar 4- π radian 360 π radian 80 3,4 radian 80 radian 57,3 Cnth 3 Ubahlah ukuran radian di bawah ini ke dalam derajat : a. radian b.,5 radian c. π radian a. radian x 57,3 4,6 b.,5 radian,5 x 57,3 85,95 c. π radian x Cnth 4 Ubahlah ukuran derajat ini kedalam radian: a. 40,3 b. 30 c. 0 a. 40,3 40,3 radian 0,703 radian 57,3 b radian 0,54 radian atau 30 π 30 x radian 57, π c. 0 0 x radian π radian 80 3 π radian

5 BAB IV Gemetri Dimensi Dua 3 c. Rangkuman. Sudut adalah daerah yang dibatasi leh dua ruas garis dan titik. Untuk menentukan besarnya suatu sudut biasanya dinyatakan dengan derajat atau radian. Ukuran sudut dalam derajat yang lebih kecil dapat dinyatakan dalam menit (') dan detik("), derajat 60 menit dan menit 60 detik 3. Secara garis besar, besarnya suatu sudut terbagi menjadi tiga bagian, yaitu: a. Sudut lancip yaitu sudut yang besarnya kurang dari 90. b. Sudut siku-siku yaitu sudut yang besarnya 90 c. Sudut tumpul yaitu sudut yang besarnya lebih dari satu radian besarnya sudut pusat lingkaran yang dibatasi leh busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari 5. putaran 360 π radian 80 radian 57,3. Ukur sudut di bawah ini dengan busur ( ketelitian angka dibelakang kma ): B Q A C P R K H L M I J. Ubah ukuran sudut ini ke dalam derajat, menit dan detik: a. 5,44 e. 45,48 b. 45,8 f. 3, c. 5,3 g. 85,4 d. 8,8 h. 8,09

6 4 Matematika XI SMK Kelmpk: Penjualan dan Akuntansi 3. Ubahlah ukuran sudut di bawah ini menjadi derajat saja: a. 56 6' 9' ' c. 5' 7'' e. 5 4' 8'' g ' 36'' b. 3 5' 8'' d. ' 54'' f. 5 30' 9'' h. 5 ' 36'' 4. Ubahlah ukuran derajat ini ke radian: a. 50 c. 05 e. 5 g. 45 b. 50 d. 3,7 f. 35 h Ubahlah ukuran radian ini ke derajat? 3 3 a.,3 radian b. 4 radian c. 4 π radian d. π radian 3 a., radian b. 0, 4 radian c. 0,4 π radian d. 5 / 3 π radian 6. Mana yang termasuk sudut tumpul, lancip maupun siku-siku? a. 3 b. π radian c. radian d. ' 54'' B. Keliling Bangun Datar dan Luas Daerah Bangun Datar a. Tujuan Setelah mempelajari uraian kmpetensi dasar ini, anda dapat: Menghitung keliling dan luas bidang datar sesuai dengan rumusnya Menghitung luas bangun datar Menjelaskan sifat-sifat bangun datar Menyelesaikan masalah prgram keahlian yang berkaitan dengan luas dan keliling bangun datar b. Uraian Materi ). Persegi Sifat-sifat : Keempat sisinya sama panjang AB BC CD DA Keempat sudutnya siku-siku A B C D 90 0 Kedua diagnalnya sama panjang dan saling berptngan tegak luru s di tengah-tengahnya. AC BD (diagnal) Memiliki empat sumbu simetri Gambar 4-3 Luas Persegi s Keliling persegi 4s

7 BAB IV Gemetri Dimensi Dua 5 ). Persegi Panjang Sifat-sifat : Sisi-sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang Keempat sudutnya siku-siku 0 A B C D 90 Kedua diagnalnya sama panjang. AC BD (diagnal) Memiliki dua sumbu simetri Gambar 4-4 Luas Persegi panjang : L l x p Keliling persegi panjang: K (p + l ) Cnth 5 Keliling suatu persegi adalah 56 cm, tentukan luasnya? K 4 s Luas s x s 56 4s 4 cm x 4 cm s 56 : 4 4 cm 96 cm Cnth 6 Panjang suatu persegi panjang lebihnya dari lebarnya. Jika luas tersebut 48 cm. Tentukan kelilingnya? persegi panjang Misalkan : l x p x + L p x l 48 (x +).x 48 x + x 0 x + x 48 0 (x +8)(x 6) x -8(tidak memenuhi) x l 6 cm p cm Keliling(K) p + l 6 cm + cm 8 cm Cnth 7 Pak Ahmad memiliki dua kebun yang saling berdampingan dengan denah seperti gambar dibawah ini: 5 m 40 m 5 m Kebun Anggur Kebun Mangga

8 6 Matematika XI SMK Kelmpk: Penjualan dan Akuntansi Jika semua kebun aka n dipagari bambu dengan biaya Rp.000,00/m. Tentukan biaya ttal yang dikeluarkan Pak Ahmad? Keliling persegi panjang p + l ( x 5 + x 5 )m + ( x 40 + x 5 ) m 5 m 75 m ( dua persegi panjang dengan satu sisi perimpit) Biaya ttal yang dikeluarkan Pak Ahmad 75 x Rp.000,00 Rp ,00 Cnth 8 Bim membeli rumah di IDAMAN ESTATE dengan ukuran tanahnya m x 8 m dan luas bangunannya 65 m. Jika harga tanah tersebut Rp ,00/ m dan harga bangunan Rp ,00 / m. Tentukan harga ttal yang harus di bayar Bim? Luas tanah m x 8 m 98 m Harga tanah Rp ,00 / m x 98 m Rp ,00 Harga bangunan Rp ,00 / m x 65 m Rp ,00 Jadi harga ttal yang di bayar Bim adalah Rp ,00 + Rp ,00 Rp ,00 3). Segitiga Macam-macam segitiga: Segitiga siku-siku (salah satu sudutnya 90 0 ) Segitiga sama kaki (kedua sisinya sama panjang) Segitiga sama sisi ( ketiga sisinya sama panjang) Segitiga lancip (segitiga yang ketiga sudutnya lancip, α < 90 0 ) Segitiga tumpul (segitiga yang salah satu sudutnya sudut tumpul, α > 90 0 ) AB alas segitiga CD tinggi segitiga AC BC sisi miring a x t Luas segitiga Keliling segitiga AC + CB + BA Gambar 4-5 Luas segitiga sembarang jika diketahui panjang ketiga sisinya a, b dan c : L s (s a)(s b)(s c) Dengan s keliling segitiga (a + b + c)

9 BAB IV Gemetri Dimensi Dua 7 Cnth 9 Tentukan luas segitiga di bawah ini: a. b. c. cm 8 cm 6 cm 5 cm 0 cm 9 cm d. e. f. 0 cm 6 cm 4 cm 3 cm 3 cm 3 cm 5 cm 0 cm a. Luas panjang alas x tinggi 5 cm x cm 90 cm b. Luas panjang alas x tinggi 0 cm x 8 cm 40 cm c. Luas panjang alas x tinggi 9 cm x 6 cm 7 cm d. Panjang alas 6 0 ( ingat rumus pytagras ) cm Luas panjang alas x tinggi 4 cm x 0 cm 0 cm e. Segitiga sembarang dengan a 5 cm, b 4 cm dan c 3 cm maka s ( a + b + c) ( ) cm cm Luas s (s a)(s b)(s c). ( 5)( 4)( 3) cm cm

10 8 Matematika XI SMK Kelmpk: Penjualan dan Akuntansi cm cm 84 cm f. Segitiga samakaki deng an a 3 cm, b 3 cm dan c 0 cm maka s ( a + b + c) ( ) cm 8 cm Luas s (s a)(s b)(s c) 8. (8 0)(8 3)(8 3) cm cm 60 cm Untuk segitiga sama sisi, dengan menggunak an aturan sinus untuk luas segitiga (lihat bab ), maka luasnya adalah: luas s 3 4 Cnth 0 Tentukan luas dari segitiga sama sisi yang memiliki sisi : a. 0 cm b. a. luas s cm 5 3 cm cm b. luas 4 s 3 4. (6 3). 3 cm cm 7 3 cm 4). Jajar Genjang Sifat-sifat : Sisi-sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang Sudut-sudut yang berhadapan sama besar D B dan C A Memiliki dua diagnal yang saling membagi Gambar 4-6 dua sama panjang. A O OC dan BO OD Luas Jajar Genjang: L alas x tinggi DC x t Keliling: K ( AB + BC )

11 BAB IV Gemetri Dimensi Dua 9 5). Belah Ketupat Sifat-sifat : Keempat sisinya sama panjang Sudut-sudut yang berhadapan sama besar D B dan C A Memiliki dua diagnal yang saling membagi dua sama panjang. A O OC dan BO OD Kedua diagnal berptngan saling tegak lurus Gambar 4-7 Luas Belah Ketupat: L AC x BD Keliling: K 4 x s. d. d 6). Layang-layang D x A O x B Sifat-sifat : Sisi-sisi yang berdekatan sama panjang AD AB dan DC BC Kedua diagnalnya berptngan saling tegak lurus DO OB dan ADC ABC y y Luas Layang-layang: L AC x BD C Gambar 4-8 Keliling: K x + y C nth Tentukan luas dan kelilingnya dari suatu belah ketupat dengan panjang diagnal masing-masing cm dan 6 cm s Luas cm d x d Keliling x x 6 cm 96 cm 4 x s 4 x 0 cm 40 cm

12 30 Matematika XI SMK Kelmpk: Penjualan dan Akuntansi Cnth Suatu layang-layang memiliki panjang diagnal masing-masing 4 cm dan cm, diagnal yang terbagi sama panjang adalah diagnal 4 cm. Jika panjang salah satu sisinya 3 cm, tentukan luas dan kelilingnya. Lihat gambar: x y cm 5 cm 6 cm 5 cm z cm Luas. diagnal x diagnal. 4 x cm 5 cm Keliling ( ) cm 66 cm Cnth 3 Suatu jajargenjang memiliki panjang alas 5 cm dan tinggi 0 cm, tentukan luasnya. Luas panjang alas x tinggi 5 cm x 0 cm 50 cm Cnth 4 4. Lihat gambar jajaran genjang di bawah ini: Jika AE DC dan AF BC AE 6 cm DC 0 cm BC cm, tentukan: a. Luas bangun di samping b. Panjang AF a. Luas panjang alas x tinggi ( alasnya dianggap CD) 0 cm x 6 cm 30 cm b. Luas panjang alas x tinggi ( alasnya dianggap BC) 30 cm cm x AF AF 30 6 cm 3

13 BAB IV Gemetri Dimensi Dua 3 7). Trapesium Macam-macam trapezium a. Trapesium sembarang hanya memiliki sepasang sisi yang saling sejajar Gambar 4-9 b. Trapesium sama kaki Gambar 4-0 Sifatnya: Mempunyai satu pasang sisi sejajar Mempunyai satu pasang sisi sama panjang ( kaki travesium AD BC) Mempunyai dua pasang sudut sama besar A B x dan D C y c. Trapesium siku-siku adalah trapesium yang dua sudutnya siku-siku Luas Trapesium: L ( Jum lah si si-sisi s e jajar ) x tinggi Keliling Trapesium: K Jumlah panjang keempat sisinya Cnth 5 Tentukan luas trapesium yang memiliki panjang sisi-sisi sejajar masing-masing cm dan 8 cm dan tingginy a 0 cm. Luas Trapesium ( Jumlah sisi-sisi sejajar ) x tinggi ( + 8) x 0 cm 5 x 0 cm 50 cm Cnth 6 Trapesium sama kaki dengan panjang kakinya 0 cm dan panjang sisi-sisi sejajar masing-masing 5 cm dan 7 cm. Tentukanlah luas dan kelilingnya.

14 3 Matematika XI SMK Kelmpk: Penjualan dan Akuntansi Dari gambar, x x 6 cm t cm Luas Trapesium ( Jumlah sisi-sisi sejajar ) x tinggi ( 5 + 7) x 8 cm x 8 cm 68 cm Keliling trapesium ( ) cm 6 cm 8). Lingkaran Lihat gambar di bawah ini: Gambar 4- Keterangan: O adalah titik pusat lingkaran OA OB adalah jari-jari lingkaran AB adalah diameter Garis lengkung CD adalah busur lingkaran CD adalah tali busur lingkaran Arsiran POQ adalah juring lingkaran Arsiran CSD adalah tembereng lingkaran OS adalah aptema Luas lingkaran: L π r Keliling lingkaran: K π r α Panjang busur x π r 360 α Luas Juring x π r 360 Keliling juring panjang busur + r α besar sudut pusat lingkaran Cnth 7 Tentukan luas daerah dan keliling lingkaran berikut: a. jari-jarinya 0 cm b. diameternya 56 cm a. Luas lingkaran π r 3,4 x 0 cm ( r tidak bulat di bagi 7 jadi nilai π 3,4) 34 cm Keliling lingkaran π r x 3,4 x 0 cm 6,8 cm

15 BAB IV Gemetri Dimensi Dua 33 b. Diameter 56 cm, maka jari-jarinya 8 cm Luas lingkaran π r x 8 cm ( r bulat di bagi 7 jadi nilai π ) 7 7 x 784 cm 464 cm 7 Keliling lingkaran π r x x 8 cm 76 cm 7 Cnth 7 Tentukan luas juring bersudut pusat 0 lingkaran dan kelilingnya yang berdiameter cm dan Diameter cm maka r 56 cm α Luas juring lingkaran x π r x x 56 cm cm 3 Keliling juring lingkaran panjang busur + r α x π r + r x x x 56 + ( x 56) cm (7 3 + ) cm 9 3 cm Cnth 8 Suatu juring yang bersudut pusat 45 lingkarannya. memiliki luas 40 cm, tentukan luas ( ingat??? Perbandingan sudut pusat dan luas juring pada kelas III SMP) Luas juring Luas lingkaran sudut pusat cm Luas lingkaran cm x 360 Luas lingkara n cm

16 34 Matematika XI SMK Kelmpk: Penjualan dan Akuntansi Cnth 9 Suatu rda sepeda memiliki diameter 60 cm dan melintasi jalan sebanyak 500 putaran, tentukan jarak yang telah di tempuh sepeda tersebut. Keliling rda sepeda π x diameter rda 3,4 x 60 cm 88,4 cm Jarak yang telah di tempuh rda sepeda 88,4 cm x cm 94 m Cnth 0 Tentukan luas daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini: Luas yang diarsir Luas Persegi Luas lingkaran (0 3,4 x 0 ) cm (400 34) cm 84 cm Cnth Tentukan luas daerah dan keliling dari daerah yang diarsir di bawah ini, jika diketahui OA AB 4 cm, Δ COB siku-siku sama kaki dan π 7 O 90 A BC OB + OC C B cm Luas daerah Luas 4 3 lingkaran + Luas segitiga siku-siku ( 4 3 x π x r + x OB x OC) cm ( 4 3 x 7 x 4 + x 8 x 8) cm ( ) cm 884 cm

17 BAB IV Gemetri Dimensi Dua 35 Keliling keliling 3 4 lingkaran + AB + BC 4 3 x x 7 x 4 + x ) cm ( ) cm c. Rangkum an. Persegi : Luas sisi x sisi Keliling 4 x sisi. Persegi Panjang : Luas panjang x lebar Keliling (panjang + lebar) 3. Segitiga : Lua s ½ x alas x tinggi Kelilin g s + si + s 3 Segitiga sembarang : Luas s(s a)(s b)(s c) dengan s ( a + b + c) Segitiga sama sisi : Luas 4 s 3 4. Jajaran Genjang : Luas alas x tinggi Keliling x (sisi + sisi ) 5. Belah Ketupat : Luas (diagnal pertama x diagnal kedua) Keliling 4x sisi 6. Layang-layang : Luas (diagnal pertama x diagnal kedua) Keliling x ( sisi + sisi ) 7. Trapesium : Luas (Jumlah sisi sejajar x tinggi) Keliling sisi + sisi + sisi + si 8. Lingkaran Luas lingkaran π r Keliling π r α Panjang busur x π r si 4 Luas Juring 360 α x π r Keliling juring panjang busur + r dengan α besar sudut pusat lingkaran

18 36 Matematika XI SMK Kelmpk: Penjualan dan Akuntansi. Keliling suatu persegi adalah 04 cm, tentukan luasnya. Panjang suatu persegi panjang 4 lebihnya dari lebarnya. Jika luas persegi panjang tersebut 45 cm. Tentukan kelilingnya 3. Tentukan luas dan kelilingnya dari suatu masing-masing 40 cm dan 4 cm. belah ketupat dengan panjang diagnal 4. Suatu layang-layang memiliki panjang diagnal masing-masing 3 cm dan 6cm, diagnal yang terbagi sama panjang adalah diagnal 6 cm. Jika panjang salah satu sisinya 7 cm, tentukan luas dan kelilingnya. 5. Tentukanlah luas trapesium yang memiliki panjang sisi-sisi sejajar masing-masing 0 cm dan 5 cm dan tingginya cm. 6. Trapesium sama kaki dengan panjang sisi-sisi sejajar masing-masing 5 cm dan 65 cm dan panjang kakinya 9 cm. Tentukanlah luas dan kelilingnya. 7. Trapesium siku-siku dengan panjang sisi siku-sikunya 5 cm dan panjang sisi-sisi sejajarnya masing-masing 5 cm dan 33 cm, tentukanlah luas dan kelilingnya 8. Tentukan luas daerah dan keliling lingkaran yang berjari-jari : a. 0 cm b. 4 cm 9. Tentukanlah luas daerah dan keliling lingkaran yang berdiameter 5,6 dm 0. Sebuah lingkaran berjari-jari 0 cm. Hitunglah keliling untuk seperempat lingkaran tersebut!. Tentukan luas juring lingkaran dan kelilingnya yang berdiameter 56 cm dan bersudut pusat 50. Suatu juring bersudut pusat 30 memiliki luas 4cm, tentukan luas lingkarannya. 3. Suatu juring memiliki panjang busur 3,4 cm. besar sudut pusat juring tersebut. Jika jari-jarinya 50 cm. tentukanlah 4. Tentukan luas dari segitiga sama sisi yang memiliki sisi : a. 50 cm b. 5 cm 5. Sebuah klam berbentuk persegi panjang memiliki ketentuan ukuran panjang klam sama dengan dua kali lebarnya. Jika luas klam 7 m,tentukan lebar dan panjang klam tersebut!

19 BAB IV Gemetri Dimensi Dua Diketahui sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan panjang 80 m dan lebar 5 m. 0,5 bagian tanah tersebut ditanami phn salak, 0,5 bagian ditanami phn kelapa, dan sisanya ditanami phn jagung. Berapakah luas area yang ditanami phn jagung? 7. Trapesium sama kaki dengan panjang sisi-sisi sejajar masing-masing 5 cm dan 55 cm dan panjang kakinya 7 cm. Tentukanlah luas dan kelilingnya. 8. Tentukan luas segitiga di bawah ini : a. b. c. 8 cm cm 8 cm 4 cm 5 cm 5 cm d. e. f. 0 cm 9 cm 7 cm 6 cm 7 cm 6 cm 6 cm 30 cm Tentukan luas dan kelilingnya dari suatu belah ketupat dengan panjang diagnal masing-masing 80 cm dan 84 cm. 7. Suatu juring yang bersudut pusat 75 memiliki luas 30 cm, tentukanlah luas lingkarannya 8. Suatu persegi panjang dengan perbandingan panjang dan lebarnya : 3. Jika kelilingnya 40 m, tentukanlah luasnya. 9. Dalam suatu lingkaran yang berdiameter 50 cm terdapat layang-layang dengan titik-titik sudutnya pada keliling lingkaran. Jika salah satu diagnalnya melalui pusat lingkaran dan diagnal lainnya dengan panjang 30 cm, tentukan luas daerah diluar layang-layang dan di dalam lingkaran. 0. Tentukan luas sama kaki dengan panjang kaki 9 cm dan panjang alas 4 cm.. Tentukanlah luas daerah tembereng dari suatu juring lingkaran dengan sudut pusat 90 dengan jari-jari cm.. Pak Amir mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi dengan luas 484 m. Jika tanah akan di pagari kawat berduri dengan biaya Rp.5.000,- per meter, tentukanlah biaya ttal yang diperlukan Pak Amir untuk memagari tanah tersebut.

20 38 Matematika XI SMK Kelmpk: Penjualan dan Akuntansi 3. Neni membeli rumah di TAMAN PALEM dengan ukuran tanahnya 5 m x 0 m dan luas bangunan 60 m. Jika harga tanah tersebut Rp / m dan harga bangunan Rp / m. Tentukan harga ttal yang harus di bayar Neni? 4. Suatu rda sepeda memiliki diameter cm dan melintasi jalan sebanyak 50 putaran, tentukan jarak yang telah di tempuh sepeda tersebut. 5. Sebuah papan dengan ukuran panjang 80 cm dan lebar 60 cm akan diptng dengan ukuran panjang 40 cm dan lebar 0 cm. Berapa luas papan yang tersisa? 6. Lihat gambar jajaran genjang di bawah ini: Jika AE DC dan AF BC AE 8 cm DC 4 cm BC 5 cm, tentukan: a. Luas bangun di samping b. Panjang AF 7. Tentukan luas daerah dan keliling dari daerah yang diarsir di bawah ini: a. b. 4 cm O 90 A C B Diketahui OA AB 0 cm dan Δ COB siku-siku sama kaki. Jika π 3,4 B.3 Transfrmasi Bangun Datar a. Tujuan Setelah mempelajari uraian kmpetensi dasar ini, anda dapat: Menentukan krdinat bayangan dari translasi Menentukan krdinat bayangan dari jenis-jenis refleksi Menentukan krdinat bayangan dari jenis-jenis rtasi Menentukan krdinat bayangan dari jenis-jenis dilatasi Menentukan matriks yang bersesuaian dari jenis-jenis transfrmasi Menentukan krdinat bayangan dari kmpsisi transfrmasi

21 BAB IV Gemetri Dimensi Dua 39 b. Uraian Materi Dalam pelajaran matematika SLTP, telah dipelajari beberapa jenis transfrmasi, diantaranya adalah pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi), perputaran (rtasi) dan perkalian (dilatasi). Dalam pembahasan Transfrmasi gemetri kali ini, dibahas transfrmasi gemetri yang dinyatakan dalam bentuk matriks. ). Translasi (Pergeseran) Pergeseran atau translasi adalah suatu transfrmasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu. Jarak dan arah tertentu dapat diwakili leh a ruas garis berarah atau suatu pasangan bilangan b a Jika translasi T memetakan titik P(x, y) ke titik P (x, y ), maka berlaku b hubungan: x x + a dan y y + b. Hubungan dapat dituliskan dalam bentuk: a T a T b b P(x, y) P (x + a, y + b) Gambar 4- Cnth Tentukan hasil translasi dari titik A(-, 4) dan B(-5, ), jika ditranslasikan leh T 3! a T b A(x, y) A (x + a, y + b) T 3 A(-, 4) A (- + 3, 4 ) A (, ) a T B(x, y) b 3 B (x + a, y + b) T B(-5, ) B (-5 + 3, ) B (-, -) Cnth 3 a Translasi T m emetakan titik P(-, 3) ketitik P ( 4, -). b

22 40 Matematika XI SMK Kelmpk: Penjualan dan Akuntansi a. Tentukan a dan b b. Tentukan hasil translasi titik-titik K(-, 3) dan L(0, -5) akibat translasi T di atas. a T a. P(-, 3 ) b P (- + a, 3 + b) P ( 4, -) - + a 4 a b - b -5 T 5 b. K(-, 3) 5 K (- + 5, 3 5) K (3, -) T 5 5 L(0, -5) L (0 + 5, -5 5) L (5, -0) ). Refleksi (Pencerminan) Pencerminan atau refleksi adalah suatu trasfrmasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin. a). Pencerminan terhadap sumbu x Titik A(x, y) dicerminkan terhadap sumbu x, bayangan yang diperleh adalah A ( x, y ) (x, -y) seperti terlihat pada gambar 4-3 di bawah ini: Gambar 4-3 Matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu x adalah sebagai berikut: x' x x + 0y x' 0 x y' y 0x y y' 0 y Dari persamaan matriks di atas, diperleh matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu x adalah: 0 0 Cnth 4 Tentukan bayangan dari segitiga ABC dengan A(3, -), B(-4, -) dan C(5, 4) setelah dicerminkan terhadap sumbu x! Dengan menggunakan perkalian matriks, diperleh x ' x ' x ' 0 A B C x y A ' y B ' y C ' A x B 0 y A y B x A ' x B ' x C ' 0 y A ' y B ' y C ' x A ' x B ' x C ' 3 4 5, y A ' y B ' y C ' 4 x y C C 5 4

23 BAB IV Gemetri Dimensi Dua 4 jadi A (3, ), B (-4, ) dan C (5, 4) b). Pencerminan terhadap garis x h Titik A(x, y) dicerminkan terhadap garis x h, bayangan yang diperleh adalah A ( h x, y) seperti terlihat pada gambar 4-4 di bawah ini: y xh A(x, y) A (h x, y) x h x h x Krdinat A dari gambar di samping adalah: A ( x + h x + h x, y) A (h x, y) x Gambar 4-4 Cnth 5 Tentukan bayangan titik A(, -5) setelah dicerminkan terhadap garis x -4! A(x, y) xh A (h x, y) A(, -5) x 4 A (.-4, -5) A (-0, -5) c). Pencerminan terhadap sumbu y Titik A (x, y) dicerminkan terhadap sumbu y, bayangan yang diperleh adalah A ( x, y ) (-x, y) seperti terlihat pada gambar 4-5 di bawah ini: Gambar 4-5 Matriks yang bersesuaian dari pencerminan terhadap sumbu y adalah sebagai berikut: x ' x x + 0y x' 0 x y' y 0x + y y' 0 y Dari persamaan matriks di atas, diperleh matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu y adalah: 0 0 Cnth 6 Setelah dicerminkan leh sumbu y diperleh bayangan P (-, 4) dan Q (, -4). Tentukan krdinat P dan Q! Dengan menggunakan perkalian matriks, diperleh

24 4 Matematika XI SMK Kelmpk: Penjualan dan Akuntansi x P ' x Q ' 0 x P x Q y P ' y Q ' 0 y P y Q 0 x P x Q y P y Q x P x Q, diperleh: x p, y p 4, x Q - dan y Q y P y Q Sehingga titik-titik tersebut adalah P(, 4) dan Q(-, -4) d). Pencerminan terhadap garis y k { { { Titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y k, bayangan yang diperleh adalah A (x, k y) seperti terlihat pada gambar 4-6 di samping ini. Krdinat A dari gambar di di samping adalah: A (x, y + k y + k y) A (x, k y) Matriks yang bersesuaian dari pencerminan terhadap y k tidak ada Gambar 4-6 Cnth 7 Bayangan titik A setelah dicerminkan terhadap sumbu y Tentukan krdinat A! -3 adalah titik A (-3, 5). A(x, y) yk A (x, k y) A(x, y) y 3 A (x, -6 y) A (-3, 5), sehingga diperleh persamaan: x -3 dan -6 y 5 y -, Sehingga krdinat A(-3, -) e). Pencerminan terhadap garis y x Titik A(x, y) dicerminkan terhadap sumbu y x, bayangan yang diperleh adalah A (x, y ) ( y, x) seperti terlihat pada gambar 4-7 di bawah ini: Gambar 4-7 Matriks yang bersesuaian dari pencerminan terhadap garis y x adalah sebagai berikut: x' y 0x + y x' 0 x y' x x + 0y y' 0 y Dari persamaan matriks di atas, diperleh matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap garis y x 0 adalah: 0

25 43 BAB IV Gemetri Dimensi Dua Cnth 8 entukan bayangan dari segitiga ABC dengan A(, 0), B(-3, ) dan C(0, 4) setelah, jadi A (0, ), B (, -3) dan C (4, 0) inan terhadap itik A(x, y) dicerminkan terhadap sumbu y -x, bayangan yang diperleh y ) (-y, -x) seperti terlihat pada gambar 4-8 di bawah ini: T dicerminkan leh garis y x 0 0 A C B A y y y x x x ' y ' y ' y ' x ' x ' x C B A C B A C B 0 3 ' y ' y ' y ' x ' x ' x C B A C B A ' y ' y ' y ' x ' x ' x C B A C B A garis y -x f). Pencerm T adalah A (x, Gambar 4-8 g). Pencerminan terhadap titik pangkal dicerminkan terhadap titik pangkal O(0, 0), bayangan yang diperleh Matriks yang bersesuaian dari pencerminan terhadap garis y -x adalah sebagai berikut: Dari persamaan matriks di atas, diperleh matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap garis y -x adalah: 0y x x y' y 0x y x' + y x 0 0 y' x' 0 0 Titik A(x, y) adalah A ( x, y ) (-x, -y) seperti terlihat pada gambar 4-9 di bawah ini: Matriks yang bersesuaian dari pencerminan terhadap titik pangkal O(0, 0) adalah sebagai berikut: x x Gambar 4-9 y 0x y y' 0y x ' + ' y y x 0 0 x' Dari persamaan matriks di atas, diperleh matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap titik pangkal 0 0 O(0, 0) adalah:

26 44 Matematika XI SMK Kelmpk: Penjualan dan Akuntansi h). Pencerminan terhadap titik P(a, b) Titik A(x, y) dicerminkan terhadap titik P (a, b), bayangan yang diperleh adalah A ( x, y ) (a + x, b + y) seperti terlihat pada gambar 4-0 di bawah ini: Matriks yang bersesuaian terhadap pencerminan terhadap titik P(a, b) tidak ada Gambar 4-0 Cnth 9 Tentukan bayangan dari titik K(, -4) jika dicerminkan terhadap titik L(-3, )! K(, -4) cermin L(a, b) K (a + x, b + y) cermin L( K(, -4) 3, ) K (-6 +, + (-4)) K (-4, -) i). Pencerminan terhadap garis x h dilanjutkan terhadap garis x k Perhatikan Gambar 4- di samping, dengan menggunakan rumus refleksi pada x h diperleh A (h x, y). Dengan menggunakan prinsip yang sama jika A (h x, y) di refleksikan terhadap x k diperleh: A ( k (h x), y) A ( (k h) + x, y) Gambar 4- Refleksi x h dilanjutkan x k ditulis dalam bentuk kmpsisi: (x k) (x h) Jadi A(x, y) (x k) (x h) A ( (k h) + x, y) Catatan: Refl eksi pada x h dilanjutkan x k tidak sama dengan refleksi pada x k dilanjutkan x h atau (x k) (x h) (x h) (x k) (tidak kmutatif)

27 BAB IV Gemetri Dimensi Dua 45 Cnth 30 Tentukan bayangan titik A(-, 5) jika direfleksikan pada x -3 dilanjutkan pada x 4 (x k) (x h) A(x, y) A ( (k h) + x, y) A(-, 5) (x 4) (x 3 ) A ( (4 (-3)) + (-), 5) A (, 5) j). Refleksi terhadap garis y h dilanjutkan terhadap garis y k y A (x, y ) A (x, y ) A(x, y) y k y h Perhatikan Gambar 4- di samping, dengan menggunakan rumus refleksi pada y h diperleh A (x,h y). Dengan menggunakan prinsip yang sama jika A (x, h y) di refleksikan terhadap y k diperleh: A ( x, k (h y)) A ( x, (k h) + y) Jika refleksi yh dilanjutkan y k ditulis: (yk) (yh), maka ( yk) (yh) (yh) (yk) (tidak kmutatif) Dari uraian di atas diperleh: Gambar 4- x A(x, y) ( y k) ( y h ) A ( x, (k h) + y) Cnth 3 P( a, b) direfleksikan pada y -3 dilanjutkan pada y 4 diperleh P (-, 3). Tentukan a dan b! y h) P(x, y) (y k) ( P ( x, (k h) + y) P(x, y) (y 3) ( y 4) P (-, 3) P ( x, (4 (-3)) + y) P ( x, 4 + y) Diperleh x - dan y - sehingga P(-, -) Cnth 3 P(, 3) direfleksikan leh (y k) (y (x, y) h) P P ( x, (k h) + y) y dilanjutkan y k diperleh P (, 7) Tentukan k (y k) (y ) P(, 3) P (, 7) P (, (k ) + 3) P (, k 4 + 3) sehingga diperleh persamaan: 7 k k 9

28 46 Matematika XI SMK Kelmpk: Penjualan dan Akuntansi k). Refl eksi terhadap garis x h dilanjutkan terhadap garis y k Perhatikan Gambar 4-3 di samping, dengan menggunakan rumus refleksi pada x h diperleh A (h x, y). Dengan menggunakan prinsip yang sama jika A (h x, y) di refleksikan terhadap y k diperleh: A (h x, k y) Refleksi xh dilanjutkan yk ditulis: (yk) (xh), (yk) (xh) (xh) (yk) (bersifat kmutatif) Dari uraian di atas diperleh: Gambar 4-3 A(x, y) (y k) (x h) A (h x, k y) 3). Perputaran (Rtasi) Perputaran atau rtasi pada bidang datar ditentukan leh: Titik pusat rtasi Besar sudut rtasi Arah sudut rtasi Arah rtasi dikatakan psitif jika berlawanan dengan arah jarum jam dan arah rtasi dikatakan negatif jika searah dengan jarum jam. a). Rtasi dengan Pusat O(0, 0) Maka diperleh: α Gambar 4-4 Perhatikan gambar 4-4 di samping, Oleh karena P(x, y) diputar sebesar θ berlawanan arah jarum jam ke titik P (x, y ), maka POP merupakan juring lingkaran. Dengan demikian OP OP r Pada segitiga POA, x r cs α dan y r sin α Pada segitiga P OB, x r cs (θ + α ) r cs θ cs α r sin θ sin α x cs θ y sin θ y r sin (θ + α ) r sin θ cs α + r cs θ sin α x sin θ + y cs θ x x cs θ y sin θ y x sin θ + y cs θ jika dibentuk dalam matriks: