ANALISA DAN SIMULASI MODEL QUATERNION UNTUK KESEIMBANGAN PESAWAT TERBANG

Transkripsi

1 ANALISA DAN SIMULASI MODEL QUATERNION UNTUK KESEIMBANGAN PESAWAT TERBANG Dosen Pembimbing: Drs. Kamiran, M.Si RIZKI FAUZIAH JURUSAN MATEMATIKA ITS FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2013

2

3 Abstrak Pendahuluan Tinjauan Pustaka Metode Penelitian Abstrak Permasalahan dalam kendali pesawat salah satunya adalah gangguan yang terjadi saat pesawat berada di ketinggian tertentu. Pada Tugas akhir ini akan dikaji beberapa cara pesawat untuk menyeimbangkan posisinya saat terjadi gangguan dengan torsi kecil. Dalam hal ini posisi pesawat pada koordinat bumi sangat penting untuk di diketahui. Dalam tugas akhir ini akan dikaji sebuah pesawat yang mengalami gangguan dengan torsi yang sangat kecil. Agar metode pengendalian juga bisa menstabilkan posisi pesawat dalam waktu yang cepat. Oleh karena itu digunakan sebuah metode Quaternion, yang banyak digunakan dalam permasalahan rotasi. Pada penelitian penelitian sebelumnya sudah banyak digunakan pada spacecraft. Dalam makalah Tugas akhir ini metode Quaternion digabungkan dengan metode Sliding Mode Control untuk menghasilkan sebuah rancangan kontrol yang mendukung posisi pesawat agar tetap seimbang diudara. Kata kunci: attitude aircraft, position update, Sliding Mode Control (SMC), dan Quaternion

4 Abstrak Pendahuluan Tinjauan Pustaka Metode Penelitian Latar Belakang MATEMATIKA ILMU TERAPAN HUBUNGAN UDARA Attitude PESAWAT Simulasi MATLAB KONTROL ATAU KENDALI (Roll, Pitch, Yaw) kontrol dengan SMC Analisa model pergerakan dengan menggunakan model quaternion

5 Abstrak Pendahuluan Tinjauan Pustaka Metode Penelitian Rumusan Masalah Bagaimana analisis model pergerakan pesawat terbang berdasarkan model quaternion Bagaimana desain pengendali perilaku pesawat terbang menggunakan Sliding Mode Control Batasan Masalah Gaya torsi pada bodi pesawat dianggap cukup kecil. Pesawat terbang dengan three-body axis (roll, pitch, yaw). Simulasi menggunakan software MATLAB

6 Abstrak Pendahuluan Tinjauan Pustaka Metode Penelitian Tujuan Menganalisa model pergerakan pesawat terbang berdasarkan model quaternion Mendapatkan desain pengendali perilaku pesawat terbang menggunakan Sliding Mode Control Manfaat Adapun manfaat yang dapat diambil dari tugas akhir ini nanti adalah untuk mendapatkan analisa model pergerakan pesawat terbang berdasarkan model quarternion yang selanjutnya akan digunakan untuk memperoleh desain pengendali perilaku pesawat terbang.

7 Abstrak Pendahuluan Tinjauan Pustaka Metode Penelitian Model Dinamika Pesawat Terbang Berdasarkan sifat gerakan pesawat terbang, dinamika pesawat terbang dikelompokkan menjadi dua : longitu dional Model dinamika lateral

8 Abstrak Pendahuluan Tinjauan Pustaka Metode Penelitian Dan secara umum gerakan yang dialami sebuah pesawat terbang ketika melaju di diudara ada dua macam, yaitu gerakan translasi dan rotasi. Gerakan translasi terdiri dari: surge (maju/mundur) sway (kanan/kiri) heave (atas/ bawah). Gerak rotasi terdiri dari: roll (gerakan maju) pitch (gerakan memutar ke depan) yaw (gerakan memutar ke samping)

9 Abstrak Pendahuluan Tinjauan Pustaka Metode Penelitian Namun dalam Tugas Akhir ini hanya akan membahas masalah Rotasi saja. Rolling Gerak rotasi Pitching Yawing

10 Abstrak Pendahuluan Tinjauan Pustaka Metode Penelitian Model Matematika Model matematika menunjukkan gangguan, input kontrol, spesifikasi pesawat terbang sebagai input, kecepatan linier dan kecepatan angular pada koordinat bodi pesawat sebagai outputnya. Dengan U,V, dan W adalah kecepatan linear. X, Y dan Z adalah posisi Body axis. Sementara itu, P, Q dan R adalah kecepatan sudut disekeliling body axis.

11 Abstrak Pendahuluan Tinjauan Pustaka Metode Penelitian Dengan memisalkan input control sebagai C dan gangguan pada body axes sebagai D,maka didapat persamaan dinamika pesawat terbang sebagai berikut : Pada persamaan (2.4) j adalah konstanta inersia matriks. Sedangkan adalah kecepatan linier pesawat terbang dalam 3 body axes.

12 Abstrak Pendahuluan Tinjauan Pustaka Metode Penelitian Metode Quaternion Quaternion q didefinisikan sebagai penjumlahan skalar dengan vektor. dengan adalah vektor satuan. adalah skalar, q adalah vektor, dan

13 Abstrak Pendahuluan Tinjauan Pustaka Metode Penelitian Rotasi tunggal quaternion diilustrasikan pada Gambar berikut. Gambar diatas merupakan Rotasi tunggal quaternion dengan posisi obyek di titik, vektor di ruang berdimensi tiga, dianggap sebagai quaternion dengan koordinat real sama dengan nol, maka perkalian quaternionnya adalah:

14 Abstrak Pendahuluan Tinjauan Pustaka Metode Penelitian Quaternion dapat digunakan untuk mendeskripsikan rotasi 3D. Quaternion mempunyai keunggulan dibandingkan matriks biasa. Diantaranya yaitu karena menggunakan axis-angle, mudah dalam modifikasi rotasi, nonsingular, pasti ortogonal, dan tidak dibutuhkan representasi fisik.

15 Abstrak Pendahuluan Tinjauan Pustaka Metode Penelitian PosisiTerbaru (position Updates) Mengubah Posisi koordinat Body Pesawat ke koordinat bumi. Secara efektif atau sederhana dirotasikan vektor (U,V,W) oleh sudut Euler

16 Abstrak Pendahuluan Tinjauan Pustaka Metode Penelitian Sliding Mode Control Sliding Mode Control merupakan salah satu metode pengendalian sistem melalui aplikasi dari kendali pensaklaran (switching) berfrekuensi tinggi. Metode ini memiliki konsep pengendalian berdasar atas pemodelan yang tidak harus tepat, melainkan hanya pada estimasi yang berbatas. Oleh karena itu, metode ini cukup tangguh untuk menangani adanya ketidakpastian dalam sistem[3].

17 Abstrak Pendahuluan Tinjauan Pustaka Metode Penelitian Permukaan Sliding Fungsi Switcing Komponen Sliding Mode Control Kondisi Sliding

18 Abstrak Pendahuluan Tinjauan Pustaka Metode Penelitian Fungsi Switching u = input kendali x = vector keadaan f (x,t) dan b(x,t) berupa fungsi terbatas d(t)= gangguan eksternal Jika merupakan x yang diinginkan, maka tracking errornya dapat dinyatakan dengan : Fungsi Switching yaitu permukaan S (x,t) di dalam ruang keadaan Dimana fungsi switching ini digunakan untuk menentukan besarnya nilai u agar memenuhi kondisi sliding.

19 Abstrak Pendahuluan Tinjauan Pustaka Metode Penelitian Permukaan sliding Fungsi switching disebut dengan permukaan sliding (sliding surface) jika memenuhi : Dengan suatu konstanta positif yang dipilih agar persamaan diatas menjadi permukaan yang stabil. Permukaan sliding berupa garis yang merupakan komponen penting dari SMC sebagai tempat trayektori keadaan meluncur dari kondisi awal (initial condition) menuju keadaan yang diinginkan (reference point).

20 Abstrak Pendahuluan Tinjauan Pustaka Metode Penelitian Kondisi Sliding Pertidaksamaan diatas disebut kondisi sliding. Kondisi tersebut dapat ditulis dalam beberapa bentuk yaitu : e Gambar 2.2 menginterpretasikan gambar untuk kondisi sliding dari metode pengendalian SMC

21 Abstrak Pendahuluan Tinjauan Pustaka Metode Penelitian Teori Kestabilan Lyapunov Suatu sistem dikatakan stabil Lyapunov apabila trayektori sistem tersebut tetap terjaga dan bertahan di dekat daerah asal (origin), atau dengan kata lain keadaan ekuilibrium dikatakan stabil jika untuk setiap sedemikian sehingga jika Untuk semua maka terdapat

22 Abstrak Pendahuluan Tinjauan Pustaka Metode Penelitian Studi Literatur Pengkajian Model Matematika Analisa Kestabilan dan Perancangan Controller Simulasi dan Analisis Hasil Penarikan Kesimpulan dan Saran

23 Dari persamaan dinamika pesawat terbang : Dengan :

24 Ada hubungan langsung antara sudut pergerakan Euler dan kecepatan sudut pesawat terbang disekeliling body axes. Dari hubungan ini, maka sudut pergerakannya berubah menjadi : Dengan cara invers, maka :

25 Persamaan state untuk gerakan pesawat terbang ini adalah : Pesamaan state diperoleh dengan mendekomposisikan pergerakan pesawat menjadi tiga, yaitu Roll, Yaw dan Pitch sehingga dari persamaan dinamika pesawat : +

26 Gerakan Roll Persamaan state Gerakan Pitch Gerakan Yaw

27 Persamaan State Roll Dari persamaan (4.12) untuk persamaan Roll( Dengan mensubstitusikan Maka selanjutnya diperoleh :

28 Dari semua langkah penyelesaian persamaan state untuk gerakan Roll ( diperoleh sebuah fungsi nonlinier sebagai berikut :

29 Dengan :

30 Persamaan State Pitch langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan state Pitch : = = Dengan :

31 (4.23) Perhitungan diatas adalah untuk mendapatkan fungsi nonlinear persamaan state Pitch : dan persamaan dapat ditulis sebagai berikut :

32 Sehingga diperoleh fungsi state untuk gerakan Pitch Dalam hal ini diasumsikan percepatan adalah konstan

33 Persamaan State Yaw Persamaan (4.25) menunjukkan Dari persamaan (4.11), yaitu persamaan matriks pada baris kedua, maka selanjutnya dapat digunakan sebagai langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan state Yaw :

34 Dengan cara yang sama seperti pada gerakan Roll dan Pitch maka diperoleh fungsi state untuk Yaw : Dengan :

35 Sehingga persamaan non-linier untuk model pesawat yang sedang dalam posisi seimbang adalah menjadi seperti model yang telah dijelaskan pada Bab II, yaitu : dengan n=2, Dari persamaan (4.31) adalah variabel state yang akan dikontrol. u adalah input kontroler, sedangkan dan adalah bentuk yang tidak pasti pada persamaan non-linier. Dan adalah bounded disturbance.

36 Transformasi Model Pergerakan Pesawat Pada persamaan (2.16) telah dijelaskan bahwa arah kosinus diperlukan untuk transformasi antar sistem koordinat. Dengan cara mentransformasikan kecepatan linier dari koordinat badan pesawat ke koordinat bumi.

37 Dengan mengintegralkan resultan vektor kecepatan linier, Karena kita ketahui bahwa posisi adalah hasil integrasi dari kecepatan. Maka dalam koordinat bumi posisi pesawat yang sekarang adalah sebagai berikut.

38 koordinat bumi menurut arah kosinus (direction cosines) adalah seperti persamaan dibawah : Posisi pesawat pd koordinat bumi

39 Titik posisi quaternion pertama pada koordinat pesawat dapat diubah menjadi posisi referensi dengan single rotation dan titik tetap dengan sudut A, B, dan C pada referensi kedua yaitu koordinat bumi. Empat parameter A, B, C, dan D

40 Berikut adalah hasil transformasi posisi pesawat pada koordinat bumi dengan menggunakan model Quaternion

41 Diperlukan sebuah perancangan kontroler untuk mengetahui apakah suatu pesawat bisa dikatakan dalam keadaan seimbang. Dalam makalah Tugas akhir ini akan dirancang kontroler dengan menggunakan model Quaternion. Perancangan kontroler dilakukan dengan menggunakan quaternion karena quaternion mendeskripsikan rotasi. Maka model dinamika pesawat dari persamaan Sistem dinamik diatas akan diubah menjadi model quaternion :

42 Dari persamaan dinamika tersebut : Dimana T adalah Skew matriks dari q Maka selanjutnya dapat diperoleh : =

43 Dengan : Maka :

44 Secara keseluruhan, tujuan dari sliding mode control adalah agar quaternion yang akan dikontrol menelusuri quaternion tertentu yang diinginkan, Dalam hal ini agar pesawat berada dalam keadaan seimbang. adalah posisi pesawat yang sebelumnya. adalah posisi seimbang yang diinginkan pesawat. Sehingga bisa diperoleh nilai error :

45 Proses selanjutnya adalah mencari persamaan Lyapunov, yang dapat menjadikan stabil secara asimtot.

46 Selanjutnya didefinisikan torsi kontrol : Karena terjadi chattering pada maka output dari ditambahkan dengan Boundary Layer. Sehingga nilai akan menjadi :

47 Dengan adalah batas maksimal dan minimal pada boundary layer dan nilai

48 kecepatan Angular(rad/s) Simulasi Hasil Analisa Pengendalian Menggunakan SMC berdasarkan model quaternion 2.5 x Grafik Kecepatan angular terhadap waktu Time(s) Wx Wy Wz Pada Untuk waktu yang mencapai 40 s, kecepatan angularnya mulai mengalami perubahan yang dapat dilihat dari terbentuknya gelombang-gelombang kecil pada grafik kecepatan angular (Wz). Perubahan kecepatan angular tidak stabil, hal ini karena grafik menunjukkan perubahan kecepatan angular yang terus bergerak dalam selang nilai positif dan negatif.

49 kecepatan linier(km/s) 6.18 x grafik kecepatan linier terhadap waktu Time(s) vx vy vz Karena nilai sudut rotasi pada awal pergerakan tidak stabil, maka nilai kecepatan pesawat pada awal pergerakanpun menjadi tidak stabil. Kestabilan untuk nilai kecepatan pesawat dicapai untuk waktu pergerakan yang melebihi 30s. Dengan kestabilan nilai kecepatan yang dicapai maka posisi quarternion aktual untuk sumbu X,Y,Z juga akan dicapai pada selang waktu yang hampir sama.

50 Quaternion error(km) Grafik Quaternion error terhadap waktu qe roll qe pitch qe yaw Time(s) nilai awal quarternion, nilainya tidak stabil bisa bertambah dan berkurang hingga selang waktu 30s. Namun setelah proses kontroller yang dilakukan, maka nilai quarternion errornya mulai stabil setelah mencapai waktu pergerakan lebih dari 30 s.

51 Quaternion aktual(km) Grafik Quaternion aktual terhadap waktu Time(s) qx qy qz Posisi quarternion masih mengalami ketidakstabilan ini hingga waktu tempuh 30s. Namun setelah lebih dari 30s, quarternion aktual untuk sumbu Z mulai stabil pada nilai quarternion aktual ±(0,5), yang artinya posisi pesawat mulai stabil dan tidak terombangambing. Hal ini sejalan dengan nilai quarternion eror yang dicapai untuk sumbu Z, yang juga mencapai kestabilan pada saat waktu melebihi 30s.

52 quaternion referensi (km) Grafik Quaternion referensi terhadap waktu qd pada roll qd pada pitch qd pada yaw Time(s) Nilai quarternion referensi merupakan nilai quarternion yang diharapkan dari proses kontrol terhadap pergerakan pesawat ini. Karena nilai dari quarternion referensi ini tidak berubah berdasarkan waktu, maka nilai quarternion referensi ini juga konstan. Hal ini dapat ditunjukkan dari grafik yang berupa garis lurus, yang menunjukkan suatu nilai quarternion mendekati nol yang terus konstan hingga waktu mencapai 100s.

53 sudut rotasi Grafik pembelokan sudut rotasi terhadap waktu sudut Roll sudut pitch sudut yaw Time(s) karena nilai quaternion error juga tidak stabil hingga waktu 40s, maka nilai sudut rotasinya pun tidak stabil pada detikdetik awal. Nilai sudut sudut rotasi mulai stabil untuk waktu mencapai ±40s. Hal ini dapat ditunjukkan oleh grafik yang berupa gelombang tidak stabil hingga detik ke ±40s dan selanjutnya grafik berupa garis lurus dengan menunjukkan suatu nilai konstan dari sudut rotasinya.

54 ketinggian(km) Grafik ketinggian pesawat terhadap waktu Time(s) rx ry rz Ketinggian pesawat awal tidak stabil. pesawat masih mengalami kenaikan dan penurunan ketinggian hingga waktu mencapai 40s. Untuk selang waktu 10s-40s ketinggian pesawat mulai mengalami sedikit perubahan dengan simpangan grafik yang dihasilkan cukup kecil. Untuk waktu melebihi 40s, ketinggian pesawat mulai stabil yang ditunjukkan dengan grafik yang berupa garis lurus menunjukkan suatu nilai konstan ±10 km untuk sumbu Z.

55 Torsi Kontrol 1.5 x Grafik Torsi Kontrol terhadap waktu Time(s) Tcx Tcy Tcz Torsi kontrol merupakan gaya yang diberikan kepada pesawat agar kedudukan pesawat stabil pada posisi yang diinginkan. Sehingga untuk awal pergerakan, nilai torsi untuk sumbu X,Y,Z adalah nol. Namun, untuk mencapai kestabilan, maka diperlukan nilai torsi diakhir agar mampu menempatkan pesawat pada posisi stabil. Dari hasil grafik yang ditunjukkan, nilai torsi mulai berubah dari waktu mencpai lebih dari 90s.

56 Kesimpulan Dari hasil analisa pengendali SMC dengan Model Quaternion, maka didapat kesimpulan sebagai berikut : 1. Pengendali Sliding Mode Control dapat diterapkan untuk mengendalikan gerak rotasi pesawat. Hal ini terlihat dari hasil simulasi yang menunjukkan bahwa gerak pesawat hanya membutuhkan waktu beberapa detik agar dapat mengikuti posisi yang diinginkan untuk mencapai keseimbangan. 2. Besar quaternion akhir mengalami simpangan terhadap quaternion referensi, begitu pula dengan sudut rotasi.

57 DAFTAR PUSTAKA [1]Cooke, M.J., Zyda, J.M., Pratt, R.D., dan McGhee, B.R Flight Simulation Dynamic Modeling Using Quaternions. Naval Postgraduate School Department of Computer Science, Code CS/Zk [2]Yulianto, Toni Aplikasi Metode Linear Quadratic Regulator Pada endali Attitude Rotor Spacecraft yang Berada di Sumbu Tetap. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya. [3] Zhu, F.Q.Q.M., Winfield, A., dan Melhuish, C Fuzzy Sliding Mode Control for Discrete Nonlinier Sistems. Transactions of China Automation Society, Vol. 22, No.2 (Sum No. 86). [4] Herlambang, T Desain Pengendali Ketinggian Air dan Temperatur Uap pada Sistem Steam Drum Boiler dengan Metode Sliding Mode Control (SMC). Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, InstitutTeknologi Sepuluh Nopember. Surabaya. [5]Millah, N Analisis dan Simulasi Pengendali Robot Polar Derajat Kebebasan Dua Menggunakan Sliding Mode Control (SMC). Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya. [6]Alfayuritresna,Q Perancangan dan Simulasi Sliding Mode Control Pada Satelit Orbit Rendah. JurusanTeknik Elektro, Fakultas Teknologi Industri, InstitutTeknologi Sepuluh Nopember. Surabaya. [7]Yuwinati, Y Analisis dan Simulasi Pengaturan Perilaku Satelit menggunakan Terminal Sliding Mode Control (TSMC). Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya.

58 TERIMA KASIH