APLIKASI FUNGSI BESSEL TERMODIFIKASI PADA PERPINDAHAN KALOR PIN SEGITIGA LURUS

Transkripsi

1 APLIKASI FUNGSI BESSEL TERMODIFIKASI PADA PERPINDAHAN KALOR PIN SEGITIGA LURUS SKRIPSI untuk eenuhi sebagian persyaratan encapai derajat Sarjana S- Progra Studi Mateatika diajukan oleh : FITRI NURHAYATI 96 Kepada PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN KALIJAGA YOGYAKARTA 4

2 ii

3 iii

4 iv

5 MOTTO Syukurilah kesulitan, karena terkadang kesulitan engantar kita pada hasil yang lebih baik dari apa yang kita bayangkan - Adi Wijaya- Boleh jadi Allah akan engabulkan harapan kita dengan tidak eberi apa yang kita inginkan, karena Dia Maha Tahu bahaya yang akan enipa dibalik keinginan kita -Aa Gy- v

6 HALAMAN PERSEMBAHAN Skripsi ini penulis persebahkan kepada: Kedua Orang tua, Bapak Susato S.Pd.I dan Ibu Parti. Alaater UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta. vi

7 KATA PENGANTAR Segala puji bagi Allah SWT yang telah eberikan segala rahat, nikat dan karunia-nya, sehingga penulis apu enyelesaikan skripsi ini dala rangka engabdi kepada-nya. Sholawat beserta sala tak lupa penulis panjatkan kepada suri tauladan uat anusia sepanjang asa, Rasulullah SAW sang revolusioner sejati yang enjadi inspirasi setiap saat dala eperbaiki uat anusia enuju asyarakat islai. Alhadulillah, akhirnya penulis dapat enyelesaikan penulisan skripsi yang berjudul Aplikasi Fungsi Bessel Terodifikasi pada Perpindahan Kalor Pin Segitiga Lurus ini. Naun, tidak dapat dipungkiri bahwa skripsi ini dapat penulis buat dengan bantuan dan dukungan dari banyak pihak. Oleh karena itu, atas dukungan dan bantuan tersebut aka penulis engucapkan banyak teria kasih kepada:. Dekan Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta.. Ketua Progra Studi Mateatika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta. 3. Bapak Sugiyanto, S.T, M.Si selaku dosen pebibing yang telah eluangkan waktu dan tenaga untuk eberikan bibingan dan arahan kepada penulis dala enyelesaikan skripsi ini. 4. Segenap staf dosen dan karyawan Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta. vii

8 5. Bapak Susato, S.Pd.I dan Ibu Parti, Aziz dan Ulu serta seluruh keluarga yang telah eberikan dorongan baik oril aupun ateriil selaa penulis eniba ilu di FST UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta. 6. Ibu Pipit yang selalu ebantu eberi solusi dan seangat untuk terus elanjutkan skripsi ini. 7. Mbak Eki dan as Dodo yang senasib sepenanggungan, selalu eberi seangat dan dukungan untuk enyelesaikan skripsi ini. 8. Sahabat-sahabat atas keceriaan, dukungan, tepat curhat dan seangat yang kalian berikan. 9. Isail atas waktu dan tutorial singkat yang sangat beranfaat.. Seluruh tean-tean Mateatika 9, untuk kebersaaan kita selaa eniba ilu di FST UIN Sunan Kalijaga selaa ini.. Seua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per-satu yang telah ebantu dala penulisan skripsi ini. Dengan penuh kesadaran bahwa skripsi ini asih jauh dari kesepurnaan. Oleh karena itu, saran dan kritik yang ebangun dan engarahkan untuk lebih baik, penulis teria dengan tangan terbuka. Walaupun deikian, penulis berharap skripsi ini dapat beranfaat. Ain. Yogyakarta, Januari 4 Penulis viii

9 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... HALAMAN PERSETUJUAN SKRIPSI... HALAMAN PENGESAHAN... HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI... HALAMAN MOTTO... HALAMAN PERSEMBAHAN... KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR SIMBOL... DAFTAR GAMBAR... ABSTRAKSI... i ii iii iv v vi vii ix xi xiii xiv BAB I PENDAHULUAN..... Latar Belakang..... Batasan Masalah Ruusan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian Tinjauan Pustaka Metode Penelitian Sisteatika Penulisan... 5 BAB II DASAR TEORI Persaaan Diferensial Persaaan Diferensial Bessel......Persaaan Diferensial Bessel Order n......persaaan Diferensial Bessel Terodifikasi Order n persaaan Diferensial Bessel Terodifikasi Order nol Bentuk Lain Persaaan Diferensial Bessel Perpindahan Kalor Perpindahan Kalor Konduksi Perpindahan Kalor Konveksi Pin Segitiga Lurus... 6 BAB III PEMBAHASAN Persaaan Diferensial Pin Segitiga Lurus... 8 ix

10 3.. Efisiensi Pin Segitiga Lurus... 5 BAB IV PENUTUP Kesipulan Saran... 3 DAFTAR PUSTAKA... 3 LAMPIRAN x

11 DAFTAR SIMBOL : Fungsi Gaa dari (dibaca tho ) J ( x ) : Fungsi Bessel jenis pertaa order nol J ( ) v x : Fungsi Bessel jenis pertaa order v Y ( x ) : Fungsi Bessel jenis kedua order nol atau fungsi Nauann order nol Y ( ) v x : Fungsi Bessel jenis kedua order v Y ( x) : Fungsi Bessel Jenis kedua order nol atau Fungsi Weber order nol. a : Tinggi pin b : Ketebalan pin h : Koefisien perpindahan panas secara konveksi k : Konduktifitas teral l : Panjang pin x : Kehilangan kalor dari x ke ujung pin x : Terjadinya keseibangan kalor x x : Perpindahan kalor dari dinding ke x I : Fungsi Bessel terodifikasi jenis pertaa order nol K : Fungsi Bessel terodifikasi jenis kedua order nol u : Suhu perukaan xi

12 u : Suhu udara U : Distribusi suhu q : Aliran kalor konduksi pin segitiga lurus q : Aliran kalor konduksi pin segitiga lurus atau pin ideal : Efisiensi pin : Konstanta Euler xii

13 DAFTAR GAMBAR Gabar 3.. Pin Segitiga Lurus... 8 Gabar 3.. Segitiga Sebangun pada Pin Segitiga Lurus... xiii

14 ABSTRAK Persaaan diferensial Bessel eiliki penyelesaian yang disebut fungsi Bessel. Fungsi Bessel terdiri dari fungsi Bessel jenis pertaa, fungsi Bessel jenis kedua, fungsi Bessel jenis ketiga, dan fungsi Bessel terodifikasi. Penelitian ini enyajikan satu aplikasi fungsi Bessel terodifikasi pada perpindahan kalor pin segitiga lurus. Persaaan diferensial pin segitiga lurus enggabarkan tentang distribusi teperatur sepanjang pin yang diperoleh dari dasar-dasar perpindahan kalor konduksi dan konveksi. Persaaan diferensial tersebut akan ditransforasi ke persaaan uu persaaan diferensial Bessel. Penyelesaian persaaan diferensial pin segitiga lurus adalah fungsi Bessel terodifikasi order nol. Selanjutnya fungsi Bessel terodifikasi yang diperoleh digunakan untuk eperoleh efisiensi pin yang dapat diartikan sebagai perbandingan laju aliran kalor konduksi pin dibagi dengan laju aliran kalor konveksi pin ideal. Kata Kunci: fungsi bessel terodifikasi order nol, pin segitiga lurus, efisiensi pin segitiga lurus. xiv

15 BAB I PENDAHULUAN.. Latar Belakang Persaaan diferensial seringkali uncul dala odel Mateatika. Persaaan Diferensial (PD) erupakan persaaan yang euat turunanturunan dari suatu fungsi. Fungsi tersebut biasa dilabangkan dengan y( x) dengan x variabel bebas dan y variabel bergantung. Persaaan diferensial Bessel erupakan persaaan diferensial linier hoogen tingkat dua. Penyelesaian persaaan diferensial Bessel disebut dengan Fungsi Bessel. Fungsi Bessel pertaa kali didefinisikan oleh Daniel Bernouli dan disepurnakan oleh Freidrich Welhe Bessel tahun 86 (Mclachlan, 955: ). Fungsi Bessel eiliki peranan yang penting dala berbagai perasalahan seperti: gelobang elektroagnetik, konduksi panas, pin pendingin, dan lain-lain. Pada pin pendingin, fungsi Bessel dapat diterapkan pada pin segiepat, pin segitiga lurus, pin elingkar, dan lain-lain. Pada skripsi ini dibahas engenai pin segitiga lurus yang erupakan sebuah pin loga berbentuk prisa segitiga yang enepel pada suatu dinding dan berguna untuk eindahkan panas sehingga keluar dari esin ke lingkungan sekitarnya (Wylie, 976: 8). Persaaan diferensial pin segitiga lurus diperoleh dari distribusi teperatur secara konduksi dan konveksi. Persaaan pin segitiga lurus yang diperoleh berupa persaaan Bessel terodifikasi. Oleh karena itu, penyelesaian dari persaaan pin segitiga lurus

16 adalah suatu fungsi Bessel terodifikasi yang disebut sebagai distribusi teperatur sepanjang pin. Distribusi teperatur tersebut berguna untuk enjaga esin agar tetap stabil dan tidak overheat karena akan epengaruhi kinerja esin. Fungsi Bessel yang didapat, selanjutnya digunakan untuk eperoleh efisiensi pin. Efisiensi pin dapat diartikan sebagai perbandingan laju aliran kalor konduksi pin dibagi dengan laju aliran kalor konveksi pin ideal (Thirualeshwar, 9: 5)... Batasan Masalah Aplikasi fungsi Bessel terodifikasi yang akan dibahas pada skripsi ini dibatasi pada pin yang sangat tipis, dala keadaan tunak (steady state) dan pin berada pada satu diensi..3. Ruusan Masalah Berdasarkan latar belakang dapat dibuat ruusan asalah sebagai berikut: Bagaiana aplikasi fungsi Bessel terodifikasi pada perpindahan kalor pin segitiga lurus?.4. Tujuan Penelitian Tujuan dari penulisan ini yaitu: Mengetahui solusi atau penyelesaian persaaan diferensial pin segitiga lurus yang erupakan fungsi Bessel terodifikasi order nol.

17 3.5. Manfaat Penelitian Berdasarkan tujuan penulisan di atas aka anfaat yang dapat diabil dari penulisan ini yaitu: ) Skripsi ini dapat eberikan inforasi tentang distribusi teperatur pada suatu pin segitiga lurus dengan penerapan fungsi Bessel terodifikasi. ) Dapat engetahui efisiensi pin segitiga lurus. 3) Dapat digunakan sebagai bahan referensi dala perkebangan ilu pengetahuan, khususnya ateatika..6. Tinjauan Pustaka Tinjauan pustaka skripsi ini terdiri dari beberapa jurnal dan skripsi sebagai referensi pelengkap guna enunjang kelengkapan penelitian. Adapun penelitian sebelunya yang enjadi acuan penulis antara lain jurnal yang enjadi rujukan utaa adalah jurnal yang ditulis oleh Dr. Sonuk Theerakulpisut (995) yang berjudul Application of Modified Bessel Functions in Extended Surface Heat Transfer Proble. Penelitian ini enjelaskan efisiensi pin annular dan pin segitiga lurus. Skripsi Asih Dwi Nurrani () yang berjudul Persaaan Diferensial Bessel dan Penerapannya pada Frekuensi Alai Mebran Berbentuk Cincin. Penelitian ini enjelaskan tentang persaaan diferensial Bessel dan fungsi Bessel pada frekuensi alai ebran berbentuk cincin. Skripsi Siti Makhudah (9) yang berjudul Aplikasi Fungsi Bessel pada Getaran Mebran Sirkular dan Distribusi Kecepatan Aliran Lainar

18 4 Unsteady Pipa Sirkular. Penelitian ini enjelaskan tentang persaaan diferensial Bessel dan Fungsi Bessel pada getaran ebran sirkular dan distribusi kecepatan aliran lainar unsteady pipa sirkular. Penelitian ini erupakan pengebangan dari jurnal Dr. Sonuk Theerakulpisut yang ditekankan pada pin segitiga lurus. Perbedaan penelitian ini dengan penelitan Asih yaitu pada penelitian ini, digunakan fungsi Bessel terodifikasi sebagai penerapan pada pin segitiga, sedangkan penelitian Asih dibahas engenai persaaan diferensial Bessel, fungsi Bessel dan penerapannya pada Frekuensi Alai Mebran Berbentuk Cincin. Penelitian Siti enggunakan fungsi Bessel sebagai penerapan pada pipa sirkuler..7. Metode Penelitian Metode penelitian yang digunakan pada skripsi ini yaitu studi literatur, dengan elakukan penelitian untuk eperoleh data-data dan inforasiinforasi yang digunakan dala pebahasan. Adapun langkah-langkah yang dilakukan peneliti dala ebahas skripsi ini yaitu sebagai berikut:. Mencari literatur utaa yang dijadikan acuan dala pebahasan dan engupulkan literatur pendukung sebagai bahan atau suber inforasi yang berkaitan dengan fungsi Bessel terodifikasi, perpindahan kalor dan efisiensi pin segitiga lurus.. Mepelajari dan eahai persaaan diferensial Bessel dan penyelesaiannya (fungsi Bessel).

19 5 3. Mepelajari dan eahai fungsi Bessel terodifikasi. 4. Mepelajari dan eahai perpindahan kalor konduksi dan konveksi. 5. Mencari persaaan diferensial pin dan penyelesaiannya yang berbentuk fungsi Bessel terodifikasi order nol. 6. Mencari distribusi suhu pada pin 7. Mencari efisiensi pin. 8. Mebuat kesipulan dari pebahasan yang telah ditulis..8. Sisteatika Penulisan Sisteatika penulisan dala skripsi ini terdiri dari epat bab, yaitu bab pendahuluan, dasar teori, pebahasan dan penutup. Masing-asing bab akan dijelaskan sebagai berikut: BAB I PENDAHULUAN Pada bab pendahuluan euat tentang latar belakang, batasan asalah, ruusan asalah, tujuan penelitian, anfaat penelitian, tinjauan pustaka, etode penelitian, dan sisteatika penulisan. BAB II DASAR TEORI Pada bab dua ini, diberikan kajian-kajian yang enjadi landasan asalah yang akan dibahas, yaitu persaaan diferensial, persaaan diferensial Bessel, persaaan diferensial Bessel terodifikasi order n, persaaan diferensial Bessel terodifikasi order nol, bentuk lain persaaan diferensial Bessel, perpindahan kalor (konduksi dan konveksi), dan pin segitiga lurus.

20 6 BAB III PEMBAHASAN Pada bab tiga dibahas aplikasi fungsi Bessel terodifikasi order nol pada perpindahan kalor pin segitiga lurus dan dibahas tentang efisiensi dari pin segitiga lurus. BAB IV PENUTUP Bab epat berisi kesipulan dari hasil penelitian yang telah dilakukan dan saran bagi pebaca yang akan elanjutkan penelitian dala skripsi ini.

21 BAB IV PENUTUP 4.. Kesipulan Berdasarkan hasil pebahasan sebelunya yaitu tentang persaaan diferensial pin segitiga lurus dan efisiensi pin, aka dapat disipulkan bahwa, persaaan diferensial pin segitiga lurus epunyai penyelesaian dala bentuk fungsi Bessel terodifikasi order nol yaitu U = c I ( x ) +c K ( x) dengan I ( x) adalah fungsi Bessel terodifikasi jenis pertaa order nol dan K ( ) x adalah fungsi Bessel terodifikasi jenis kedua order nol. Penyelesaian persaaan diferensial pin segitiga lurus dapat digunakan untuk eperoleh efisiensi pin. Efisiensi pin dapat diartikan sebagai perbandingan laju aliran kalor konduksi pin dibagi dengan laju aliran kalor konveksi pin ideal atau kb cos I ( a) a h I ( a). 4.. SARAN Berdasarkan penulisan penelitian ini, aka saran-saran yang dapat disapaikan adalah sebagai berikut: 3

22 3. Penelitian ini dapat dikebangkan dengan ebahas lebih lanjut tentang fungsi Bessel terodifikasi order v atau n yang dapat diaplikasikan pada bidang ilu teknik.. Aplikasi fungsi Bessel terodifikasi pada pin ada banyak penerapannya tergantung dari aca-aca pin yang dibahas. Pada pin segitiga lurus asih bisa dikebangkan dengan encari nilai optial.

23 3 DAFTAR PUSTAKA Anis, Sasudin dan Aris Budiyono. 9. Studi Eksperien Pengaruh Alur Perukaan Sirip pada Siste Pendingin Mesin Kendaraan Berotor. Jurnal Kopetensi Teknik Vol., No.. Universitas Negeri Searang. Arpaci, Vedat S Conduction Heat Transfer. United States of Aerica. Ault, J. C dan Frank Ayres. 99. Persaaan Diferensial dala Satuan SI Metric. Jakarta: Erlangga. Bowan, Frank Introduction To Bessel Functions. United States of Aerica. Buchori, Luqan. 9. Perpindahan Panas Bagian I. Fakultas Teknik Universitas Diponegoro. Holan, J.P dan E. Jasjfi Perpindahan Kalor. Jakarta: Erlangga. Kraus, Allan, D. Abdul Aziz, Jaes Willey.. Extended Surface Heat Transfer. United States of Aerica. Kreyszig, Erwin Mateatika Teknik Lanjutan, edisi ke-6, Buku. Jakarta: Penerbit PT Graedia Pustaka Utaa. Makhudah, Siti. 9. Aplikasi Fungsi Bessel pada Getaran Mebran Sirkulardan Distribusi Kecepatan Aliran Lainar Unsteady Pipa Sirkular. Jawa Tiur: Universtitas Isla Negeri Maulana Malik Ibrahi. Mclachlan, N. W Bessel Functions for Engineers. London: Clarendon Press Nurrani Asih Dwi.. Persaaan Diferensial Bessel dan Penerapannya pada Frekuensi Alai Mebran Berbentuk Cincin. Yogyakarta: UIN Sunan Kalijaga. Rathore M.M dan R.R Kapuno.. Engineering Heat Transfer, Edisi kedua. United States of Aerica. Soare, Mircea V, Petre P.Teodorace, dan Ileana Toa. 7. Differential Equations with Application to Mechanics.Spinger Ordinary Sugiyanto dan Slaet Mugiyono.. Persaaan Diferensial Biasa. Yogyakarta: SUKA-Press UIN Sunan Kalijaga.

24 33 Theerakulpisut, Dr. Sonuk Application of Modified Bessel Functions in Extended Surface Heat Transfer Proble. KKU Engineering Journal Vol., No. (6-74). Khon Kaen University. Thirualeshwar, M. 9. Fundaentals of Heat and Mass Transfer. India: Sai Print-o-Pack Wylie, C. Ray dan Louis C. Barrett Advanced Engineering Matheatic. USA: McGraw-Hill,Inc. diakses pada 7 Septeber 3 pukul 8.4 WIB.

25 34 Lapiran Bahan Loga Konduktivitas Teral Bahan Loga Konduktivitas Teral k t W /. C Aluiniu: Murni Al-Cu (Duraluin), 94-96% Al, 3-5% Cu, runut Mg Al-Si (Siluin, engandung tebaga), 86.5% Al, % Cu Al-Si (Alusil), 78-8% Al, -% Si Al-Mg-Si, 97% Al, % Mg, % Si, % Mn Tibal 35 36,9 33,4 3,5 9,8 Besi: Murni Besi Tepa,.5% C 59

26 35 Konduktivitas Teral Loga W /. C Baja C.5% % % Baja nikel Ni % 73 % 9 4% 8% 35 k t

27 36 Lapiran. Bahan Loga Konduktivitas Teral Berbagai Bahan pada ⁰C Konduktivitas Teral k t W /. C Btu / h.ft. F Perak (urni) 4 37 Tebaga (urni) Aluiniu (urni) 7 Nikel (urni) Besi (urni) 73 4 Baja karbon, C 43 5 Tibal (urni) 35,3 Baja kro-nikel 6,3 9,4 8 Cr,8 Ni Bukan Loga Kuarsa (sejajar subu) 4,6 4 Magnesit 4,5,4 Marar,8-,94,-,7 Batu pasir,83,6 Kaca,jendela,78,45 Kayu apel atau ek,7,96 Serbuk gergaji,59,34 Wol kaca,38, Zat Cair Air-raksa 8, 4,74 Air,556,37 Aonia,54,3 Minyak luas, SAE 5,47,85 Freon, CCI F,73,4 Gas Hidrogen,75, Heliu,4,8 Udara,4,39 Uap air(jenuh),6,9 Karbondioksida,46,844

28 37 Lapiran. Nilai kira-kira Koefisien Perpindahan Panas Konveksi Koefisien Perpindahan Panas Konveksi h t Bahan W /. C Btu / h.ft. F Konveksi bebas, U 3 C Plat vertikal, tinggi,3 (ft) di udara 4,5,79 Silinder horizontal, diaeter 5 c di udara 6,5,4 Silinder horizontal, diaeter c dala air Konveksi paksa Aliran udara /s di atas plat bujur sangkar,, Aliran udara 35 /s di atas plat bujur sangkar, , Udara at engalir di dala tabung diaeter,5 c, kecepatan /s 65,4 Air,5 kg/s engalir di dala tabung,5 c Aliran udara elintas silinder Adiaeter 5 c kecepatan 5 /s 8 3 Air endidih Dala kola atau bejana Di luar tabung horizontal Pengebunan uap air, at Muka vertikal Di luar tabung horizontal

29 38 Lapiran 3 A. Fungsi Bessel Terodifikasi Jenis Pertaa Order Nol I x ( ) Fungsi Bessel terodifikasi jenis pertaa order nol digunakan dala penyelesaian pin segitiga lurus. Sebelu ebahas tentang fungsi Bessel terodifikasi jenis pertaa order nol, terlebih dahulu akan dicari fungsi Bessel jenis pertaa order nol J ( x ). Selanjutnya, J ( ) x akan digunakan untuk encari nilai fungsi Bessel terodifikasi jenis pertaa order nol sebagai berikut. Persaaan diferensial Bessel yang berorder nol secara uu adalah sebagai berikut, x y xy x n y n '' ' ( ) atau x y xy x y '' ' ( ) () Menurut (McLachlan, 934: 5) langkah awal yang dilakukan untuk eperoleh J ( x) adalah dengan engasusikan solusi persaaan () dala bentuk, n y ( x) a x a. () Menurut (Kraus, : 983) diberikan a sebagai berikut, a n ( n ) dengan ( n ) n!. (3) Turunan pertaa dan kedua terhadap x dari persaaan () yaitu,

30 39 n y '( x) a n x. y ''( x) a n n x n Persaaan () dan turunan-turunannya disubstitusi ke persaaan () sehingga diperoleh, n x a n n n x x a n x x a x n n n n a n n x a n x ax n n a n n n x ax n n a n n n n x ax n n a n n x ax Julahan pertaa dijabarkan hingga dan julahan kedua diulai dari. n n n n n a x n n a x n n a x a x n a x n n a x n n a a x (4) n n n Berdasarkan persaaan (4) (koefisien dari setiap pangkat x yaitu koefisien dari n x, n x, n x ) dapat diperoleh,

31 4. Pada n x dapat ditulis, n a. Berdasarkan persaaan (4) a, sehingga n. (5) Persaaan (5) eiliki akar kebar n n. Menurut (Sugiyanto, : 7) persaaan (5) epunyai penyelesaian y( x) ax n dan n y ( x) a x y ( x)ln x. y ( x) digunakan untuk eperoleh J ( x) dan y ( ) x digunakan untuk eperoleh Y ( x ).. Pada n x dapat diperoleh, n n a. (6) n disubstitusi ke persaaan (6) sehingga diperoleh, a. (7) 3. Selanjutnya dicari nilai a yaitu diperoleh dari koefisien persaaan x n, n n a a untuk atau a ( n ) a. (8)

32 4 Persyaratan diperlukan dala persaaan (8) karena a tidak terdefinisikan untuk atau. n disubstitusi ke dala persaaan (8) diperoleh bahwa, a a. (9) ( ) Berdasarkan persaaan (7) dan (9) dapat diperoleh, a a a 4 () (!) a a 9 3 a a a 6 () (!) 4 4 a a 5 5 a6 a4 a 4 a (3) (!) (3!) Jadi diperoleh penyelesaian untuk y ( x) yaitu, y( x) ax n n 4 ( ) y( x) ax x x... x... 4 () (!) () (!) () (!) n 4 ( ) y( x) ax x x... x... 4 () (!) () (!) () (!) ( ) y x a x n ( ). () () (!) J ( ) x diperoleh dengan easukkan nilai n pada persaaan (3)

33 4 a, ( ) dan easukkan n persaaan () ( ) ( ) x. () (!) y x Selanjutnya, y ( x) dapat disibolkan dengan J ( ) x sebagai berikut ( ) J x x ( ). () () (!) Persaaan () yaitu fungsi dari variabel real sedangkan fungsi Bessel terodifikasi euat variabel iajiner. Oleh karena itu, J ( ) x dapat dirubah enjadi fungsi dari variabel iajiner sebagai berikut ( ) ( ix) J ( ix)! ( i ) i x! 4 i x.! 4 i akan selalu bernilai satu untuk sebarang nilai,,, atau dapat ditulis, x J( ix).!

34 43 Menurut (McLachlan, 934: 6), I( x) J( ix). Oleh karena itu, fungsi J ( ) ix ini sering disebut fungsi Bessel terodifikasi jenis pertaa orde nol dan disibolkan dengan I ( x ). B. Fungsi Bessel Terodifikasi Jenis Kedua Order Nol K x ( ) Fungsi Bessel terodifikasi jenis kedua order nol digunakan dala penyelesaian persaaan diferensial pin segitiga lurus. Untuk eperoleh fungsi Bessel terodifikasi jenis kedua order nol terlebih dahulu akan dicari nilai fungsi Weber atau fungsi Bessel jenis kedua yang diubah ke variabel iajiner ( Y ( ix) ). Berikut akan dijelaskan alur untuk eperoleh fungsi Bessel terodifikasi jenis kedua order nol. Persaaan (5) epunyai akar kebar yaitu n n dan epunyai penyelesaian n y ( x) a x J ( x)ln x atau y ( x) a x J ( x)ln x. () Selanjutnya persaaan () diturunkan terhadap x, sehingga diperoleh, '( ) '( )ln y x a x J x x J ( x) x (3) '( ) ( ) '( ) ''( ) J x J x J x y x a x J ''( x)ln x x x x

35 44 J '( x) J ( x) y ''( x) a x J ''( x)ln x. (4) x x y ''( x ), y '( x ), dan y ( ) x disubstitusi ke persaaan () seperti berikut, '( ) ( ) J x J x x ax J ''( x)ln x x x J( x) ax J '( x)ln x x J ( x)ln x ax x J( x) ax xj ''( x)ln x J '( x) x J ( x) '( )ln ( )ln ax J x x xj x x ax x J ( x) J ( x) x x xj ''( x)ln x J '( x)ln x xj( x)ln x J '( x) a x a x a x xj ''( x) J '( x) xj ( x) ln x J '( x) ax ax (5) J erupakan solusi persaaan (), aka xj ''( x) J '( x) xj ( x). Oleh karena itu, persaaan (5) enjadi, J '( x) ax ax. (6) Berdasarkan persaaan () yang berbentuk

36 45 ( ) J x x ( ) x!( )! ( ) x,! dapat diperoleh deret pangkat dari J '( ) x sebagai berikut J J J ( ) x '( x)! '( x) ( ) x! ( ) x '( x). (7)!! Persaaan (7) disubstitusi ke persaaan (6), sehingga diperoleh ( ) x a x ax!! ( ) x a x ax!! ( ) x a x ax!! 3 5 x 3 x 4 x ax ax a x ax 3 a 4 3x a3x!! 3!! 7 9 x 3 5 x a 6 4x a4x 5 a 8 5x a5x 4!3! 5!4! x 6!5! a 6x a6x

37 46 3 ax a x a 3 a 3 x a 4 a4 x!! 4 5 a3 5 a 5 x a a6 x 3!!. Pangkat terkecil dari x yaitu x, dan a erupakan koefisien x. Oleh karena itu a. Setelah itu, dengan enyaakan julah koefisien-koefisien dari pangkat x dengan nol, akan diperoleh a a dengan,,3,. Sehingga dapat dibentuk, a a. Selanjutnya, untuk a a a3 3, a3 a5, 4 5 a5 3 a7, dan seterusnya. 6 7 Keudian dengan enyaakan julah koefisien-koefisien dari x dengan nol, akan diperoleh a = 4 a = a, untuk ( = ). 4

38 47 Untuk nilai-nilai =,, ( ) a a ( )!! ( ), atau a a ( ) ( )!!. ( ) Untuk =, diperoleh a dan secara uunya, a ( ) ()!! (4) a ( )..., =,,. (8) (!) 3 Dan... dapat disibolkan dengan h. Persaaan (8) dan n disubstitusi ke dala persaaan (), aka diperoleh y ( x) J ( x)ln x ( ) h (!) x 3 4 = J ( x)ln x x x.... (9) 4 8 Menurut (Sugiyanto, : 95) y ( ) x diganti dengan penyelesaian khusus yang bebas linear berbentuk A( y BJ), dengan B erupakan konstanta.

39 48 Biasanya A dan B ln, dengan, yang biasa disebut konstanta Euler, yang didefinisikan sebagai liit ln, untuk endekati tak hingga. Oleh karena itu, dapat diperoleh ( ) h A y BJ( x) J( x)ln x x ln J ( x) (!) ( ) h J( x)ln x ln J( x) x (!) atau A y BJ x x ( ) h J( x) ln x (!) ( ) dapat disibolkan dengan Y ( x ). x ( ) h Y x J x x ( ) ( ) ln. () (!) Y ( x) erupakan fungsi bessel jenis kedua order nol atau fungsi Neuann order nol dan digunakan untuk eperoleh nilai dari Y ( x) yang erupakan fungsi Weber (fungsi Bessel jenis kedua order nol). Menurut (McLachlan, 934: 64), diketahui bahwa Y ( x) Y ( x) ln J( x). () Oleh karena itu, berdasarkan persaaan () dan () dapat diperoleh, ( ) h Y ( x) J( x)ln x x ln J( x) (!) atau

40 49 x ( ) Y ( x) J( x) ln x. () (!) h Seperti persaaan (), pada persaaan () Y ( x) diubah enjadi fungsi dengan variabel iajiner. ix ( ) h Y ( ix) J( ix) ln ix. (3) (!) Nilai ln( ix) pada Y ( ix) yaitu ln( ix) ln i ln x ln cis ln x ln e i ln x ln i x. Oleh karena itu, persaaan (3) enjadi Y ( ) h ix J ix i x ix ( ) ( ) ln ln (!) Menurut (McLachlan, 934: 64) nilai K( x) ii( x) iy ( xi). Oleh karena itu, dapat ditulis sehingga, K( x) ii( x) iy ( xi).

41 5 ( ) h K( x) i I( x) i J( ix) i ln x ln ix (!) atau, 4 x i h K( x) I( x) ln x i (!). 4 i akan selalu bernilai satu sehingga dapat diperoleh, x h K( x) I( x) ln x. (4) (!) K ( ) x yaitu fungsi Bessel terodifikasi jenis kedua order nol.