PEMBENTUKAN ISOMORFISMA DARI GELANGGANG FAKTOR KE GELANGGANG FAKTOR LOKAL. Amir Kamal Amir

Transkripsi

1 EMBENTUKAN ISOMORFISMA ARI GELANGGANG FAKTOR KE GELANGGANG FAKTOR LOKAL Air Kl Air Kelopok Kehlin Aljr Fkult Mtetik dn Ilu engethun Al Univerit Hnuddin (UNHAS) Jl. erinti Keerdekn KM.10 Mkr 90245, Indonei Atrk Sutu gelnggng lokl dlh gelnggng yng hny epunyi tu idel kil. Idel pri utu gelnggng dpt dipki untuk encri gelnggng locl dn dpt jug dipki untuk eentuk gelnggng fktor. Sedngkn idel kil dri gelnggng lokl dpt dipki untuk eentuk gelnggng fktor lokl. Tulin ini kn eprkn ecr leih terperinci dn jel, ehingg kn leih udh diengerti, engeni gelnggng fktor dn peentukn ioorfi ntr gelnggng fktor dengn gelnggng fktor lokl. Keyword: fktor, gelnggng lokl, kil, ultipliktif, idel pri. ENAHULUAN ri utu derh integrl dpt dientuk utu lpngn yng dieut lpngn frki. l utu lpgn frki dpt diteukn utu gelnggng yng hny epunyi tu idel kil. Gelnggng eperti ini dieut gelnggng lokl. Slh tu cr untuk endptkn gelnggng locl yitu dengn enggunkn hipunn gin ultipliktif. Sedngkn untuk endptkn hipunn ultipliktif dpt digunkn idel pri. erlhn yng kn dih dl tulin ini dlh gin erncng tu eentuk tu ioorfi dri gelnggng fktor ke gelnggng fktor lokl. l tulin ini eprkn ecr leih terperinci dn jel, ehingg leih udh untuk diengerti, engeni hipunn gin ultipliktif, gelnggng lokl, dn tu ioorfi dri gelngggng fktor ke gelnggng fktor lokl. engn terentukny 38

2 eentukn Ioorfi... (Air Kl Air) ioorfi ini, k gelnggng fktor kn ioorfik dengn gelnggng fktor lokl. engn deikin untuk engethui truktur dri gelnggng fktor lokl dpt dielidiki ellui gelnggng fktor yng leih ederhn. Untuk eperudh pehn, k pd gin wl dri tulin ini dijikn eerp pengertin, dn noti yng kn digunkn dl pehn elnjutny. EMBAHASAN Untuk eperudh pehn, k pd gin wl dri gin ini dijikn eerp pengertin, dn noti yng kn digunkn dl pehn elnjutny. efinii 1.1 Sutu gelnggng R dieut gelnggng lokl jik i epunyi tept tu idel kil. Contoh 1.2 Milkn R dlh egi erikut, R =, Z, 0, gnjil, k R dlh gelnggng lokl, dengn Z dlh hipunn ilngn ult. Akn ditunjukkn hw M =, Z, 0, gnjil, genp dlh tu-tuny idel kil dri R. engn udh dpt diti hw M dlh utu idel dl R. Selnjutny ilkn I dlh utu idel dl R dengn I R. Untuk enunjukkn hw M dlh tu-tuny idel kil, k kn ditunjukkn hw I terut dl M. Andikn I tidk terut dl M, errti terdpt I dengn 0, gnjil, dn gnjil. Kren gnjil, k R. engn deikin 1 =. I. Kren 1 I, k I = R. Hl ini kontrdiki dengn pernytn eeluny. 39

3 efinii 1.3 Milkn dlh utu derh integrl. Terdpt utu lpngn K yng eut dengn yrt untuk etip c K, c dpt dituli dl entuk c = 1,, dn 0. Lpngn eperti ini dieut lpngn frki dri. Contoh 1.4 Q dlh lpngn frki dri Z, dengn Q dlh hipunn ilngn rionl dn Z dlh hipunn ilngn ult. efinii 1.5 Milkn dlh utu derh integrl dengn lpngn frki K. utu hipunn gin S dri dieut hipunn gin ultipliktif jik 0 S, 1 S, dn S tertutup terhdp operi perklin. Selnjutny, jik S dlh utu hipunn gin ultipliktif, k didefiniikn utu ugelnggng dri K. 1 =. Hipunn ini jel erupkn S K S Contoh 1.6 { 1, 2 1, 2 2,2 3, } S = L dlh hipunn gin ultipliktif dri derh integrl Z, yitu hipunn ilngn ult. ultipliktif. d teori erikut dierikn huungn ntr idel pri dengn hipunn gin Teore 1.7 Jik dlh utu idel pri dri, k S = \ dlh utu hipunn gin ultipliktif dri. 40

4 eentukn Ioorfi... (Air Kl Air) Kren 0, k 0 S. Kren 1, k 1 S. Selnjutny, il, S errti,. engn enggunkn ift pri dri diperoleh. engn diikin S. l pehn elnjutny, S dituli egi. Segi contoh, jik = 3, k Z = Q tidk hi digi oleh 3, dengn Q dlh hipunn ilngn rionl dn Z dlh hipunn ilngn ult. Slh tu cr untuk eentuk gelnggng lokl yitu enggunkn idel pri. Secr lengkp ttcr peentuknny dierikn oleh teori erikut. Teore 1.8 Jik dlh utu idel pri dri, k dlh utu gelnggng lokl. Kren dlh idel pri, k eut eu idel-idel pri yng terpih dri S. engn deikin, idel erupkn tu-tuny idel kil dl. Milne (1998) eerikn entuk korepondeni tu-tu dn pd dri hipunn idelidel pri dl ke hipunn idel-idel pri dl tereut dijikn erikut. S. Secr lengkp teori Teore 1.9 (Milne, 1998) Milkn dlh utu derh integrl dn ilkn S dlh utu hipunn gin ultipliktif dri, k peetn 1 S =, S erupkn peetn tu-tu dn pd dri hipunn idel-idel pri dl yng eenuhi S = ke hipunn idel-idel pri dl S. Inver dri peetn tereut dlh Q Q, dengn Q dlh idel dl S. 41

5 engn udh dpt diliht hw, jik dlh utu idel pri yng terpih dri S, k S dlh utu idel pri dn jik Q dlh idel pri dl S, k Q dlh utu idel dl yng terpih dri S. Jdi, untuk elengkpi peuktin, elnjutny ditunjukkn hw. Akn ditunjukkn hw ( ) ( ) ( ) S = dn S Q = Q. S =. Jel terliht hw ( ) ( ) S. Untuk keliknny, ilkn S,, S. erhtikn pernytn.. = Kren kedu dn erd dl dn dlhi idel pri dl, k pling edikit tu dintr tu erd dl. Tetpi kren (diuikn), k.. Akn ditunjukkn hw ( ) Jel terliht hw ( ) S Q = Q. S Q Q kren Q Q dn Q dlh utu idel dl S. Untuk keliknny, ilkn Q. Kren Q dlh idel dl S, ( ) k dpt ditulikn eperti =. Q. Jdi d gin pehn elnjutny = dengn, S, ehingg (( ) ) ( ) = =. S Q. gelnggng fktor,, ke gelnggng fktor lokl. Q Teore 1.10 dijikn entuk ioorfi dri Milkn dlh utu idel kil dri gelnggng, dn ilkn Q dlh utu idel yng dingun dl, yitu Q =., k peetn dengn turn Q + + Q dlh utu ioorfi. 42

6 eentukn Ioorfi... (Air Kl Air) Milkn : Q ϕ dengn ( ) Q. ϕ + = + ert kn ditunjukkn hw peetn di t dlh peetn tu-tu. l hl ini ditunjukkn hw Q =, egi lngkh wl. Nun deikin, dri proe peentukn Q, dpt diliht hw, Q = S dn S = \, ehingg untuk enunjukkn hw = cukup ditunjukkn ( ) Q = S. d tu ii, jel terliht hw ( ) eleen ( ) S. Untuk keliknny, utu S dpt dituli = dengn, S, dn. Sehingg. Jdi ( + )( + ) = + = (2.1). d ii lin, tu-tuny idel kil yng eut dlh (kren jik M dlh idel kil dengn M, k M. Hl ini kontrdiki kren dlh idel kil). engn deikin kil idel dl hnylh. Kren + tidk erd dl, k + dlh unit dl. Sehingg er dengn pern (2.1) diipulkn hw + = 0 +. Jdi. Spi diini udh ditunjukkn hw, tu-tu dilnjutkn. Milkn ( ϕ c ) ϕ ( d ) Q =. Selnjutny peuktin ift + = +, k c + Q = d + Q, ehingg c d Q. Kren Q =, k c d. engn deikin diperoleh c + = d + yng elengkpi peuktin ift tu-tu. Selnjutny kn ditunjukkn hw peetn di t erift pd. Ail + Q. Q Berrti. Kren dn dlh idel kil, k + =. Oleh kren itu, terdpt dn q edeikin ehingg + q = 1. engn deikin 43

7 ( ) ϕ ( )( ) ( ) = = ϕ ( + ). ϕ ( + ) + ϕ ( q + ) ϕ ( + )( + Q ). 1+ Q = ϕ + q + Q = q + ri pern dit diipulkn hw ϕ ( ) ( ) ϕ ( + ) = + Q. ( + ) = + Q. ehingg SIMULAN ri pehn di t diipulkn eerp hl erikut: Gelnggng fktor yng dientuk oleh gelnggng tereut dengn idel priny kn ioorfik dengn gelnggng fktor yng dientuk oleh gelnggng lokl dengn idel kilny, dengn cttn hw gelnggng lokl ini erkorepondeni dengn idel pri tereut. AFTAR USTAKA Milne, J.S Algeric Nuer Theory. Lecture note t the Univerity of Michign. L, T.Y Lecture on Module nd Mthetic, Springer. Ring. New York: Grdute Text in McConnell, J.C. & Roon, J.C Noncouttive Noetehrin Ring. Chicheter: John Wiley nd Son, Inc. n,.s A Coure in Ring Theory. Cliforni: Wdworth & Brook/Cole Advnced Book & Softwre. Spindler, K Atrct Alger With Appliction. New York: Mrcel ekker, INC. Kepf, G.R Algeric Structure. Brunchweig: Viewieg & Sohn Verlggeellchft H. 44