Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD."

Transkripsi

1 Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011

2 Daftar Isi 1 Peubah Acak dan Distribusi Kontinu Fungsi distribusi Unsur Peluang Ekspektasi Distribusi Bivariat Distribusi Bersyarat Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Sampel, Likelihood dan Penaksir Sampel Acak Likelihood Statistic Cukup Distribusi Sampel Statistik Terurut Momen dari Mean dan Proporsi Sampel Teorema Limit Pusat Penaksiran dan Selang Kepercayaan Sifat-sifat (Kesalahan) penaksiran Konsistensi Selang Kepercayaan Efisiensi Uji Hipotesis Hipotesis, Statistik Uji dan P-value Daerah Penolakan, Kesalahan dan Fungsi Kuasa Uji Paling Kuasa Uji Paling Kuasa Seragam Uji Rasio Likelihood i

3 BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi Kontinu 1.1 Fungsi distribusi Definisi: Misalkan X peubah acak. Fungsi distribusi (kumulatif) dari X adalah F X (x) = P (X x) Contoh: 1. Misalkan X Bin(3, 0.5), maka fungsi distribusi F (x) adalah fungsi tangga berikut 0, x (, 0); 1/8, x [0, 1); F (x) = 1/2, x [1, 2); 7/8, x [2, 3); 1, x [3, ). 2. Misalkan X peubah acak dengan support S = [a, b], b > 0. Misalkan peluang X akan berada di selang S proporsional terhadap panjang selang. Dengan kata lain, P (x 1 X x 2 ) = λ (x 2 x 1 ), 1

4 untuk a x 1 x 2 b. Untuk menentukan λ, misalkan x 1 = a dan x 2 = b. Maka, P (a X b) = 1 = λ (b a) λ = 1/(b a) Fungsi distribusinya: 0, x < a; x a F (x) = P (X x) = P (a X x) = b a, x [a, b]; 1, x > b. Peubah acak X dikatakan berdistribusi Uniform, X U(a, b). Sifat-sifat fungsi distribusi: F ( ) = 0 dan F ( ) = 1 F merupakan fungsi tidak turun; F (a) F (b) untuk a b F adalah fungsi kontinu kanan; lim ϵ 0 + F (x + ϵ) = F (x) Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi F (x). Jika b a, maka P (a < X b) = F (b) F (a) Untuk setiap x, P (X = x) = lim ϵ 0 + P (x ϵ < X ) = F (x) F (x ) (Perhatikan notasi F (x ) dan kasus apabila fungsi distribusi kontinu kiri) Definisi: Distribusi dari peubah acak X dikatakan KONTINU jika fungsi distribusi disetiap x kontinu dan fungsi distribusi tersebut dapat diturunkan. Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi F X (x). Misalkan g(x) fungsi naik satu-satu kontinu. Untuk y yang berada di daerah hasil dari g, fungsi invers x = g 1 (y) ada. Misalkan Y = g(x). Fungsi distribusi dari Y adalah P (Y y) = P (g(x) y) = P (X g 1 (y)) = F X (g 1 (y)) Misalkan g(x) fungsi turun satu-satu kontinu. Untuk y yang berada di daerah hasil dari g, fungsi invers x = g 1 (y) ada. Misalkan Y = g(x). Fungsi distribusi dari Y adalah P (Y y) = P (g(x) y) = P (X > g 1 (y)) = 1 F X (g 1 (y)) MA3081 Stat.Mat. 2 K. Syuhada, PhD.

5 Misalkan X U(0, 1) dan Y = g(x) = hx + k, h < 0. Maka X = g 1 (Y ) = (Y k)/h F X (x) = F Y (y) = Y U(h + k, k) Latihan: 1. Misalkan X peubah acak kontinu yang memiliki fungsi distribusi F X (x) yang naik murni. Misalkan Y = F X (X). Tentukan distribusi dari Y 2. Misalkan U peubah acak berdistribusi U(0, 1). Misalkan F X (x) fungsi distribusi yang naik murni dari X. Tentukan fungsi distribusi dari peubah acak F 1 X (U) 3. Misalkan U 1, U 2,..., U n sampel acak dari U(0, 1). Bangkitkan sampel acak dari F X (x) (ambil contoh misalnya untuk F X (x) = 1 e λ x, x > 0) Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi F X (x). Misalkan Y = g(x) fungsi kontinu tidak monoton. Kita ketahui bahwa pada fungsi yang monoton, F Y (y) = P (Y y) = P (g(x) y) dimana dalam hal ini setiap solusi inverse x = g 1 (y) digunakan untuk menentukan F Y (y) dengan menggunakan F X (g 1 (y)). Untuk X U( 1, 2) dan g(x) = Y = X 2, kita dapatkan fungsi distribusi dari Y : F Y (y) = MA3081 Stat.Mat. 3 K. Syuhada, PhD.

6 1.2 Unsur Peluang Misalkan X peubah acak kontinu, x bilangan positif kecil. Definisikan h(a, b) = def P (a X a + b) = F X (a + b) F X (a) Untuk h(x, x) = P (x X x + x), maka deret Taylor-nya disekitar x = 0 adalah dimana h(x, x) = F (x + x) F (x) = h(x, 0) + d d x h(x, x) x=0 x + o( x) lim x 0 = = o( x) x = 0 Fungsi df (x) = [ ] d dx F (x) x disebut DIFERENSIAL. Dalam statistika, diferensial dari fungsi distribusi adalah UNSUR PELUANG (yang merupakan pendekatan terhadap h(x, x)). Unsur peluang adalah fungsi linier dari d dx F (x). Contoh: Misalkan F (x) = 1 e 3x untuk x 0. Apakah F (x) suatu fungsi distribusi? Hitung unsur peluang di x = 2. Cari pendekatan untuk P (2 X 2.01). Densitas rata-rata pada selang (x, x + x) didefinisikan: def P (x X x + x) Density rata-rata = x Sedangkan fungsi densitas peluang atau fungsi peluang (f.p) di x adalah limit MA3081 Stat.Mat. 4 K. Syuhada, PhD.

7 densitas rata-rata saat x 0: f.p = f(x) = def = = lim x 0 = d dx F (x) P (x X x + x) x Catatan: Unsur peluang dituliskan sebagai df (x) = f(x) x. Sifat-sifat fungsi peluang: f(x) 0 untuk semua x f(x) = 1 Hubungan antara fungsi peluang dan fungsi distribusi: f(x) = d dx F (x) F (x) = x f(u)du P (a < X < b) =... =... =... = F (b) F (a) = b a f(x)dx Latihan: 1. Misalkan λ bilangan riil positif. Jika F (x) = 1 e λx, maka f(x) = 2. Jika X U(a, b) maka F (x) = dan f(x) = 3. *Misalkan f(x) = c/(1 + x 2 ) untuk < x < dan c konstanta. Fungsi f(x) tak negatif dan (1 + x2 ) 1 dx = π. Berapa nilai c agar f(x) menjadi fungsi peluag? Tentukan fungsi distribusinya. 4. *Pandang distribusi waktu tunggu. Misalkan T adalah waktu kedatangan kejadian ke-r dalam Proses Poisson dengan laju λ. Tentukan fungsi peluang dari T MA3081 Stat.Mat. 5 K. Syuhada, PhD.

8 Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi peluang f(x) dan Y = g(x) fungsi yang terdiferensial bernilai tunggal. Maka fungsi peluang dari Y : f Y (y) = f X (g 1 (y)) d dy g 1 (y) untuk support Y = g(x). Komponen J(y) = d dy g 1 (y) adalah transformasi Jacobian. BUKTI: Misalkan g(x) memiliki lebih dari satu fungsi invers maka unsur peluang yang terpisah harus dihitung untuk setiap fungsi invers. Contoh, misalkan X U( 1, 2) dan Y = g(x) = X 2. Maka untuk y [0, 1], terdapat 2 fungsi invers yaitu?, dan satu fungsi invers untuk y (1, 4] yaitu?. Fungsi peluang dari Y adalah: f(y) = MA3081 Stat.Mat. 6 K. Syuhada, PhD.

9 1.3 Ekspektasi Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang f(x). Nilai harapan dari X, jika ada, adalah E(X) = µ X = f(x)dx Catatan: nilai ekspektasi dikatakan ada jika nilai integral adalah hingga. Misalkan X rv dengan pdf f(x). adalah E[g(X)] =. g(x)f(x)dx Maka nilai harapan dari g(x), jika ada, Operator integral bersifat linier. Jika g 1 (X) dan g 2 (X) fungsi-fungsi yang memiliki ekspektasi dan a, b, c konstanta, maka E[ag 1 (X) + bg 2 (X) + c] = ae[g 1 (X)] + be[g 2 (X)] + c Contoh/Latihan: 1. Jika distribusi X simetrik di sekitar c dan nilai harapanny ada maka E(X) = c. Bukti: E(X c) = = c = = 0 0 (x c)f(x) dx (x c)f(x)dx + uf(c u)du + c 0 (x c)f(x)dx uf(c + u)du u(f(c + u) f(c u)) du = 0 2. Misalkan X U(a, b). Tunjukkan bahwa distribusi tersebut simetrik disekitar (a + b)/2. MA3081 Stat.Mat. 7 K. Syuhada, PhD.

10 Bukti: ( a + b f 2 untuk δ [ b a, ] b a 2 2 ) ( a + b δ = f 2 ) + δ = 1 b a 3. Misalkan X berdistribusi Cauchy dengan fungsi peluang f(x) = 1 [ ], σπ 1 + (x µ)2 σ 2 dengan µ, σ konstanta yang memenuhi µ < dan σ (0, σ). Tunjukkan bahwa fungsi peluang simetrik di sekitar µ namun ekspektasinya bukanlah µ. 4. Misalkan X Exp(λ). Nilai harapan dari X adalah... MA3081 Stat.Mat. 8 K. Syuhada, PhD.

11 1.4 Distribusi Bivariat Suatu fungsi f X,Y (x, y) dikatakan fungsi peluang bivariat jika f X,Y (x, y) 0, untuk semua x, y f X,Y (x, y) dxdy = 1 Jika f X,Y (x, y) fungsi peluang bivariat maka F X,Y (x, y) = P (X x, Y y) = x y f X,Y (u, v) dvdu Sifat-sifat fungsi distribusi bivariat: 1. F X,Y (x, ) = F X (x) 2. F X,Y (, y) = F Y (y) 3. F X,Y (, ) = 1 4. F X,Y (, y) = F X,Y (x, ) = F X,Y (, ) = 0 5. f X,Y (x, y) = 2 x y F X,Y (x, y) f X,Y (x, y) x y adalah unsur peluang bersama, P (x X x + x, y Y y + y) = f X,Y (x, y) x y + o( x y) Contoh/Latihan: 1. Jika (X, Y ) U(a, b, c, d) maka f X,Y (x, y) = 1, x (a, b), y (c, d) (b a)(d c) 2. Untuk soal no 1 di atas, misalkan a = c = 0, b = 4, d = 6 maka P (2.5 X 3.5, 1 Y 4) = 3/24 P (X 2 + Y 2 > 16) = 1 P (X 2 + Y 2 16) = 1 π/6 MA3081 Stat.Mat. 9 K. Syuhada, PhD.

12 3. Jika f X,Y (x, y) = (6/5) (x+y 2 ) untuk x (0, 1) dan y (0, 1). Tentukan P (X + Y < 1). P (X + y < 1) = P (X < 1 Y ) = = = 3/ y 0 0 f X,Y (x, y) dx dy Untuk menentukan fungsi peluang marginal, integralkan peubah yang tidak diinginkan : f X (x) = f X,Y (x, y) dy f Y (y) = f X,Y (x, y) = f X,Y (x, y) dx f W,X,Y,Z (w, x, y, z) dwdz Pada fungsi peluang f X,Y (x, y) = 6/5(x + y 2 ) diperoleh f X (x) = 6 x + 2, x (0, 1) 5 f Y (y) = 6 y2 + 3, y (0, 1) 5 dan nilai harapan E(g(X, Y )) = E(X) = g(x, y) f X,Y (x, y) dxdy = = 3/5 MA3081 Stat.Mat. 10 K. Syuhada, PhD.

13 1.5 Distribusi Bersyarat Misalkan f X,Y (x, y) adalah fungsi peluang bersama, maka fungsi peluang Y, diberikan X = x, adalah f Y X (y x) = def f X,Y (x, y), f X (x) asalkan f X (x) > 0. Contoh: Misalkan X dan Y memiliki distribusi bersama maka f X,Y (x, y) = 8xy, 0 < x < y < 1, f X (x) = 4 x 4 x 3, 0 < x < 1 E(X r ) = 8 (r + 2)(r + 4) f Y (y) = 4 y 3, 0 < y < 1 E(Y r ) = 4 r + 4 f X Y (x y) = 2 x y 2, 0 < x < y f Y X (y x) = 2 y 1 x 2, x < y < 1 E(X r Y = y) = 2 yr r + 2 E(Y r X = x) = 2 (1 xr+2 ) (r + 2)(1 x 2 ) Misalkan (X, Y ) adalah peubah acak berpasangan dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y). Pandang persoalan memprediksi Y setelah X = x terobservasi. Prediktor dinotasikan sebagai ŷ(x). Prediktor terbaik didefinisikan sebagai fungsi Ŷ (X) yang meminimumkan ] 2 E [Y Ŷ (X) = Prediktor terbaik adalah ŷ(x) = E(Y X = x). BUKTI: (y ŷ(x)) 2 f X,Y (x, y) dydx MA3081 Stat.Mat. 11 K. Syuhada, PhD.

14 Contoh/Latihan: 1. Misalkan X dan Y memiliki distribusi bersama maka f X,Y (x, y) = 8xy, 0 < x < y < 1, f Y X (y x) = 2 y 1 x 2, x < y < 1 ŷ(x) = E(Y X = x) = 2 (1 x3 ) 3 (1 x 2 ) 2. Misalkan (Y, X) berdistribusi normal bivariat dengan E(Y ) = µ Y, E(X) = µ X, V ar(y ) = σ 2 Y, V ar(x) = σ2 X, Cov(X, Y ) = ρ X,Y σ X σ Y. Distribusi bersyarat Y, diberikan X, adalah (Y X = x) 3. Tunjukkan bahwa ] E X [f Y X (y X) = f Y (y) 4. Buktikan E X {E [ ]} [ ] h(y ) X = E h(y ) 5. Buktikan ] V ar(y ) = E X [V ar(y X) [ ] + V ar E(Y X) 6. Misalkan X dan Y memiliki distribusi bersama Maka f X,Y (x, y) = 3y2 x 3, 0 < y < x < 1 f Y (y) = 1.5 (1 y 2 ), 0 < y < 1 E(Y r ) = 3, E(Y ) = 3/8, V ar(y ) = 19/320 (r + 1)(r + 3) f X (x) = 1, 0 < x < 1 MA3081 Stat.Mat. 12 K. Syuhada, PhD.

15 f Y X (y x) = 3 y2 x 3, 0 < y < x < 1 E(Y r X = x) = 3 xr 3 x 3 x2, E(Y X = x) =, V ar(y X = x) = 3 + r 4 80 V ar(e(y X)) = 3/64 E(V ar(y X)) = 1/80 MA3081 Stat.Mat. 13 K. Syuhada, PhD.

16 1.6 Fungsi Pembangkit Momen Misalkan X peubah acak kontinu, fungsi pembangkit momen dari X adalah M X (t) = E(e tx ) = e tx f(x)dx, asalkan ekspektasi ada untuk t disekitar 0. Jika semua momen dari X tidak ada, maka fungsi pembangkit momen juga tidak ada. Fungsi pembangkit momen berkaitan dengan fungsi pembangkit peluang M X (t) = G X (e t ) asalkan G X (t) ada untuk t disekitar 1. Jika M X (t) adalah fungsi pembangkit peluang maka M X (0) = 1. Contoh/Latihan: 1. Jika f X (x) = λe λx I 0, (x), maka M X (t) = 2. Jika M X (t) ada maka M a+bx (t) = 3. Jika X i, i = 1,..., n saling bebas, M Xi (t) ada untuk setiap i, dan S = Xi, maka M S (t) = 4. Fungsi pembangkit momen bersifat unik. Setiap distribusi memiliki fungsi pembangkit momen yang unik, dan setiap fungsi pembangkit momen berkorespondensi dengan tepat satu distribusi. Akibatnya, jika fungsi pembangkit momen ada maka fungsi pembangkit momen tersebut secara unik menentukan distribusinya. Beri contoh. 5. Pandang turunan dari M X (t) yang kemudian dievaluasi di t = 0. Apa yang dapat anda katakan? Dapatkah kita mendapatkan momen orde tinggi? 6. Dapatkah hasil diatas digunakan untuk distribusi diskrit? Ambil contoh distribusi Geometrik dengan parameter p. MA3081 Stat.Mat. 14 K. Syuhada, PhD.

17 7. Misalkan Y U(a, b). Gunakan fungsi pembangkit momen untuk mendapatkan momen pusat (( E((Y µ Y ) 2 ) = E Y a + b ) r ) 2 MA3081 Stat.Mat. 15 K. Syuhada, PhD.

18 BAB 2 Distribusi Sampel, Likelihood dan Penaksir 2.1 Sampel Acak Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak berukuran n (random sample of size n). Fungsi peluang n-variat nya adalah f X1,X 2,,X n (x 1, x 2,..., x n ) = n f Xi (x i ) i=1 Contoh/Latihan: 1. Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari distribusi Eksponensial dengan parameter θ. Fungsi peluang n-variatnya adalah Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari distribusi Uniform pada selang (a, b). Fungsi peluang n-variatnya adalah Likelihood Misalkan fungsi peluang n-variat bergantung pada parameter yang tidak diketahui θ. Fungsi peluang tersebut ditulis sebagai atau f X1,X 2,...,X n (x 1,..., x n θ 1,..., θ k ) f X (x θ) 1

19 Contoh/Latihan: 1. Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari distribusi N(µ, σ 2 ). Fungsi peluang n-variat yang bergantung pada parameternya ditulis sebagai... Definisi Fungsi likelihood adalah ukuran yang menyatakan sebarapa sering nilai θ, diberikan bahwa x telah terobservasi. Fungsi likelihood BUKAN suatu peluang. Fungsi likelihood diperoleh dengan (i) menukar peran θ dan x dalam fungsi peluang n-variat, dan (ii) membuang suku yang tidak bergantung pada θ. Notasi: L(θ) = L(θ x) f X (x θ) Contoh/Latihan: 1. Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari distribusi Eksponensial dengan parameter θ. Fungsi likelihoodnya adalah... function likefunction; % this function calculates the likelihood function of distribution % % created by K Syuhada, 14/3/2011 clear clc n = input( n = ); % size of random sample % data x = exprnd(0.5,n,1); sumx = sum(x); % parameter of exponential distribution lambda = 0.5:0.05:5; for i = 1:length(lambda) L(i) = (lambda(i)^n)*exp(-lambda(i)*sumx); end plot(lambda,l) MA3081 Stat.Mat. 2 K. Syuhada, PhD.

20 2. Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari distribusi Uniform pada selang (π, b). Fungsi likelihoodnya adalah... Prinsip Likelihood Jika dua percobaan, yang melibatkan model dengan parameter θ, memberikan likelihood yang sama, maka inferensi terhadap θ haruslah sama. Ilustrasi Pandang percobaan 1 dimana sebuah koin dilantunkan sebanyak n kali secara bebas. Misalkan p adalah peluang muncul MUKA dan X peubah acak yang menyatakan banyaknya MUKA yang muncul. Fungsi peluang dari X dan fungsi likelihoodnya adalah... Pandang percobaan 2 dimana sebuah koin dilantunkan hingga diperoleh MUKA sebanyak 6 kali secara bebas. Misalkan Y peubah acak yang menyatakan banyaknya lantunan yang dibutuhkan agar diperoleh enam MUKA. Fungsi peluang dari X dan fungsi likelihoodnya adalah... Dari 2 percobaan diatas, misalkan kita ingin melakukan uji hipotesis: H 0 : p = 0.5 versus H 0 : p < 0.5 Nilai signfikansinya atau p-value adalah... Penaksir Likelihood Maksimum Misalkan L(θ) adalah fungsi likelihood (fungsi dari parameter θ). Kita dapat menentukan nilai θ yang memaksimumkan L(θ). Penaksir untuk θ, yaitu ˆθ disebut Penaksir Likelihood Maksimum (maximum likelihood estimator, MLE). Penaksir suatu parameter adalah fungsi dari peubah acak. Contoh/Latihan: 1. Diketahui sampel acak berukuran n dari distribusi Bernoulli (p). Fungsi likelihoodnya: L(θ) = θ x i (1 θ) n x i, 0 < θ < 1. Untuk menentukan nilai θ yang memaksimumkan L(θ), transformasikan L(θ) menjadi log L(θ): l(θ) = log L(θ) = x i log(θ) + (n x i ) log(1 θ), kemudian hitung turunan pertama l(θ) terhadap θ: dl(θ) dθ = xi θ n x i. 1 θ MA3081 Stat.Mat. 3 K. Syuhada, PhD.

21 Normalisasi dari turunan pertama tersebut memberikan nilai xi θ = n, yang mana sebagai penaksir ditulis sebagai berikut: ˆθ = Xi n = X. (Pr: Tunjukkan bahwa θ ini memaksimumkan L(θ) dengan menghitung turunan kedua). 2. Misalkan X 1,..., X n sampel acak berdistribusi U(0, θ). Tentukan θ yang memaksimumkan L(0, θ). Dengan kata lain, tentukan penaksir ˆθ untuk θ. Sifat Penaksir Setelah kita mendapatkan penaksir ˆθ, kita dapat menentukan sifat baik penaksir. Salah satunya adalah sifat TAK BIAS. Penaksir ˆθ dikatakan tak bias apabila E(ˆθ) = θ. Untuk contoh sampel acak Bernoulli, ( ) X1 + + X n E(ˆθ) = E n = 1 n E(X X n ) = 1 ( ) E(X 1 ) + + E(X n ) n = 1 (θ + + θ) n = θ Jadi, penaksir ˆθ = X adalah penaksir tak bias untuk θ. Catatan: Jika suatu penaksir ˆθ bersifat bias maka selisih nilai ekspektasi dan nilai θ tidak nol, atau E(ˆθ θ) 0. MA3081 Stat.Mat. 4 K. Syuhada, PhD.

22 2.3 Statistic Cukup Definisi -1 Suatu statistik T = t(x) adalah CUKUP atau sufficient untuk suatu keluarga distribusi f X (x θ) JIKA dan HANYA JIKA fungsi likelihoodnya bergantung terhadap X hanya melalui T: L(θ) = h(t(x), θ) Definisi -2 Suatu statistik T = t(x) adalah CUKUP untuk suatu keluarga distribusi f X (x θ) JIKA dan HANYA JIKA distribusi bersyarat dari X TIDAK BERGAN- TUNG pada θ: f X T (x t, θ) = h(x) Definisi -3 Suatu statistik T = t(x) adalah CUKUP untuk suatu keluarga distribusi f X (x θ) JIKA dan HANYA JIKA fungsi peluangnya dapat difaktorkan sebagai: f X (x θ) = g(t(x) θ) h(x) Contoh/Latihan: 1. Misalkan X i untuk i = 1,..., n saling bebas dan berdistribusi identik Bernoulli(p). Tunjukkan bahwa Y = n i=1 X i adalah statistik cukup. 2. Misalkan X 1,..., X n sampel acak berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Tunjukkan bahwa T = n i=1 X i adalah statistik cukup. 3. Misalkan X i untuk i = 1,..., n saling bebas dan berdistribusi identik N(µ, 1). Tunjukkan bahwa Y = X adalah statistik cukup. 4. Misalkan X 1,..., X n sampel acak berdistribusi Gamma dengan parameter (α, λ). Tunjukkan bahwa T = n i=1 ln(x i) adalah statistik cukup. 5. Pandang sampel acak berukuran n dari U(a, b), dengan a diketahui. Tunjukkan bahwa T = X (n) adalah statistik cukup. 6. Pandang sampel acak berukuran n dari N(µ, σ 2 ), dengan µ, σ 2 tidak diketahui. Tunjukkan bahwa statistik T berikut adalah cukup: ( ) S 2 T = X X MA3081 Stat.Mat. 5 K. Syuhada, PhD.

23 2.4 Distribusi Sampel Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak berukuran n dari distribusi Poisson dengan parameter λ. Peubah acak X i, i = 1,..., n saling bebas dan berdistribusi identik dengan fungsi peluang n-variat: P (X = x) = n i=1 e λ λ x i x i! = e nλ λ y n i=1 x i!, dengan y = x i. Dapat ditunjukkan juga Y = X i cukup. Distribusi sampel dari Y adalah f Y (y θ) = e nλ (nλ) y. y! Misalkan X i U(0, θ). Peubah acak-peubah acak X i tersebut saling bebas dan berdistribusi identik, dengan fungsi peluang: f X (x θ) = Statistik T = X (n) cukup dan memiliki fungsi distribusi: P (X (n) x) = dan fungsi peluang: f(x) = 2.5 Statistik Terurut Misalkan X 1,..., X n sampel acak berukuran n dari suatu populasi yang berdistribusi tertentu, dengan fungsi peluang f X dan fungsi distribusi F X. Pandang X (k), statistik terurut ke-k. Untuk menentukan f X(k) (x), pertama partisikan I 1 = (, x]; I 2 = (x, x + dx]; I 3 = (x + dx, ). Fungsi peluang f X(k) (x) adalah peluang mengamati sejumlah k 1 dari X di I 1, tepat sebuah X di I 2, dan sejumlah n k dari X di I 3 : ( ) n (FX f X(k) (x) (x) ) k 1 ( fx (x)dx ) 1 ( 1 FX (x) ) n k k 1, 1, n k MA3081 Stat.Mat. 6 K. Syuhada, PhD.

24 yang dengan metode diferensial maka kita peroleh ( ) n (FX f X(k) (x) = (x) ) k 1 ( 1 FX (x) ) n k fx (x) k 1, 1, n k Contoh/Latihan: 1. Fungsi peluang dari statistik terurut terkecil/terbesar adalah Statistik terurut ke-k pada distribusi U(0, 1) memiliki fungsi peluang Momen dari Mean dan Proporsi Sampel 2.7 Teorema Limit Pusat Teorema Misalkan X 1,..., X n sampel acak berukuran n dari populasi dengan mean µ X dan variansi σx 2. Distribusi dari Z n = X µ X σ X / n konvergen ke N(0, 1) untuk n. Catatan: Hal penting dari Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem) adalah bahwa kekonvergenan dari Z n ke distribusi normal akan terjadi apapun bentuk distribusi dari X. Kita dapat memanipulasi sedemikian hingga X N(µ X, σ 2 X/n), asalkan n besar. Ekspresi lain dari TLP adalah ( ) n ( lim P X µx ) c = Φ(c) n σ X MA3081 Stat.Mat. 7 K. Syuhada, PhD.

25 Pandang: X X n, ( n ) E X i = n µ X, i=1 ( n ) V ar X i = n σx, 2 lim P n i=1 ( n i=1 X i n µ X n σx ) c = Φ(c) Seberapa besar n harus kita pilih agar X berdistribusi normal? n = 1? Bergantung pada distribusi dari data (parent distribution)! Misalkan X Exp(θ). Distribusi ini memiliki kemencengan (skewness) dan kelancipan (kurtosis): κ 3 = E(X µ X) 3 σ 3 X = 2, dan κ 4 = E(X µ X) 4 σ 4 X 3 = 6, dengan µ X = 1/θ dan σ 2 X = 1/θ2. Mean sampel X berdistribusi Ga(n, nθ). Kemencengan (skewness) dan kelancipan (kurtosis) dari X adalah κ 3 = E( X µ X) 3 σ 3 X = 2 n, dan κ 4 = E( X µ X) 4 σ 4 X 3 = 6/n, Perhatikan plot berikut: MA3081 Stat.Mat. 8 K. Syuhada, PhD.

26 Misalkan X B(n, p) (ingat bahwa distribusi X tersebut sama dengan distribudi dari sejumlah n peubah acak Bernoulli(p)). Untuk n besar, ( ) p(1 p) ˆp N p, n ( n(c ) p) P (ˆp c) Φ p(1 p) X N(np, np(1 p)) P (X = x) = P Φ ( x 1 2 X x ( ) ( ) x np x 0.5 np Φ, np(1 p) np(1 p) ), x = 0, 1,..., n dimana menambah dan mengurangi dengan 0.5 disebut continuity correction. Koreksi kekontinuan untuk pendekatan normal terhadap fungsi distribusi dari X dan ˆp adalah ( P (X c) = P X x + 1 ), x = 0, 1,..., n 2 Φ ( ) x np np(1 p) dan ( P (ˆp c) = P ˆp c + 1 ), c = 0/n, 1/n,..., n/n 2n ( n(c ) + 0.5/n p) Φ p(1 p) MA3081 Stat.Mat. 9 K. Syuhada, PhD.

27 BAB 3 Penaksiran dan Selang Kepercayaan 3.1 Sifat-sifat (Kesalahan) penaksiran Pada penaksiran parameter θ, misalnya, penaksir ˆθ adalah fungsi peubah acak. Nilai taksirannya TIDAK akan pernah sama dengan nilai parameternya. Misalkan T = T (X) adalah penaksir untuk θ. Didefinisikan: dan b T = E(T θ) = E(T ) θ, V ar(t ) = σ 2 T = E(T µ T ) 2 = E(T ) θ; µ T = E(T ), adalah bias dan variansi dari penaksir T. Selain itu, didefinisikan pula, MSE atau Mean Square Error, MSE T (θ) = E(T θ) 2 = V ar(t ) + b 2 T, Misalkan X 1,..., X n sampel acak dari N(µ, σ 2 ). Penaksir untuk σ 2 adalah S 2 = 1 n 1 n (X i X) 2, i=1 dan/atau V = 1 n n (X i X) 2, i=1 1

28 Bias and MSE dari kedua penaksir adalah b S 2 = b V = dan MSE S 2 = MSE V = Catatan: Penaksir dari deviasi standar dari suatu penaksir disebut standard error atau SE. Apakah SE dari jenis pengambilan sampel (sampling): Apapun asalkan tanpa pengembalian? Bernoulli tanpa pengembalian? 3.2 Konsistensi Salah satu sifat dari penaksir yang baik adalah sifat tak bias. Kita akan mempelajari sifat baik yang lain yaitu konsisten. Namun sebelumnya, perhatikan Ketaksamaan Chebyshev. Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang f X (x). Misalkan h(x) fungsi non-negatif dari X dan ekpektasinya ada serta k adalah konstanta positif. Maka P (h(x) k) E(h(X)). k Bukti: Misalkan R = {x; x S X ; h(x) k}. Maka E(h(X)) = h(x) f X (x) dx S X h(x) f X (x) dx R k f X (x) dx Jadi, R = k P (h(x) k). E(h(X)) k P (h(x) k). MA3081 Stat.Mat. 2 K. Syuhada, PhD.

29 Aplikasi 1 Ketaksamaan Chebyshev. Misalkan E(X) = µ X dan V ar(x) = <. Maka σ 2 X [ X µx 2 P σ 2 X k 2 ] 1 k 2. Bukti: Pilih h(x) = (X µ X) 2. σx 2 Dapat kita tunjukkan bahwa E(h(X)) = 1. Juga, ( ) X µx P k σ X = P ( X µ X k σ X ) ( ) X µx 2 = P k 2 1 k, 2 σ 2 X dengan Ketaksamaan Chebyshev. Jadi, P ( X µ X < k σ X ) 1 1 k 2. Aplikasi 2 Ketaksamaan Chebyshev. Misalkan T peubah acak (penaksir dari parameter θ) dengan E(T ) = µ T dan V ar(t ) = σt 2 <. Maka Bukti: Pilih P [ X θ < ϵ] 1 MSE X(θ) ϵ 2. h(x) = (X θ) 2. Maka E(h(T )) = MSE T (θ), dan P ( T θ ε) = P ( T θ 2 ε 2 ) MSE T (θ), dengan Ketaksamaan Chebyshev = σ2 T ε 2 + (E(T ) θ)2 ε 2 MA3081 Stat.Mat. 3 K. Syuhada, PhD.

30 Jadi, P ( T θ < ε) 1 MSE T (θ) ε 2. Konsistensi Definisi: Barisan dari penaksir-penaksir, {T n }, disebut KONSISTEN untuk θ jika lim P ( T n θ < ϵ) = 1, n untuk setiap ϵ > 0. Konvergen dalam Peluang Definisi: Barisan dari penaksir-penaksir, {T n }, KONVERGEN dalam PELU- ANG untuk θ jika barisan tersebut konsisten untuk θ. Notasi: T n prob θ. Contoh/Latihan: 1. (Hukum Bilangan Besar) Jika X adalah mean sampel dari suatu s.a berukuran n dengan mean µ X, maka X prob µ X. Bukti: Mean sampel dari s.a berukuran n dari populasi dengan mean dan variansi hingga memiliki mean µ X dan variansi σx 2 /n. Akibatnya, dan MSE X(µ X ) = σ 2 X + b 2 X = σ 2 X/n + 0, lim MSE X(µ X ) = 0, n yang menunjukkan bahwa X adalah MSC. Jadi, X prob µ X. 2. Sebuah penaksir untuk θ dikatakan Mean Square Consistent jika lim MSE T n (θ) = 0. n MA3081 Stat.Mat. 4 K. Syuhada, PhD.

31 Buktikan bahwa jika sebuah penaksir memiliki sifat MSC maka penaksir tersebut konsisten. Bukti: Misalkan T n penaksir untuk θ. Asumsikan bahwa T n memiliki mean dan variansi hingga. Menurut Ketaksamaan Chebyshev, P ( T n θ < ε) 1 MSE T n (θ) ε 2, dimana ε adalah sebarang konstanta positif. Diketahui T n adalah MSC, yaitu Jadi, lim n MSE Tn (θ) ε 2 = 0, lim P ( T n θ < ε) 1. n 3.3 Selang Kepercayaan Misalkan T n adalah penaksir untuk θ dan ( ) lim P Tn θ c = Φ(c). n Dengan kata lain, σ Tn T n N(θ, σ 2 T n ), asalkan ukuran sampel cukup besar. Misalkan σt 2 n = ω 2 /n dan Wn 2 adalah penaksir yang konsisten untuk ω 2. Maka ( ) lim P Tn θ c = Φ(c). n S Tn Dengan menggunakan distribusi (sampel besar) dari T n, didapat ( P z α/2 T ) n θ z α/2 1 α, S Tn yang dapat dimanipulasi shg P ( T n z α/2 S Tn θ T n + z α/2 S Tn ) 1 α. MA3081 Stat.Mat. 5 K. Syuhada, PhD.

32 Selang acak diatas disebut selang kepercayaan 100(1 α)% sampel besar untuk θ. Selang disebut acak karena T n dan S Tn adalah peubah acak. Contoh/Latihan: 1. Misalkan X 1,..., X n s.a dari populasi dengan mean µ X dan variansi σ 2 X. Jika sampel cukup besar, maka X N(µ X, σ 2 X/n) S 2 X = S 2 X/n V ar(sx) 2 = 2σ4 X n 1 +, dimana merupakan sesuatu yang melibatkan momen ke-4 dari X. Selang kepercayaan untuk µ X adalah ( P X z α/2 S X n µ X X + z α/2 S X n ) 1 α 2. Tentukan selang kepercayaan untuk proporsi populasi, p, untuk s.a dari Bern(p). Solusi: Jika ukuran sampel besar maka ˆp N(p, p(1 p)/n), dengan TLP. Penaksir untuk σ 2 X adalah V X = ˆp(1 ˆp). Kita tahu, dan ˆp prob p, ˆp(1 ˆp) prob p(1 p). Sehingga V X konsisten untuk σx 2. Akibatnya, ( ) lim P ˆp p c = Φ(c) n ˆp(1 ˆp)/n dan ) P (ˆp z α/2 ˆp(1 ˆp)/n p ˆp + zα/2 ˆp(1 ˆp)/n 1 α MA3081 Stat.Mat. 6 K. Syuhada, PhD.

33 3.4 Efisiensi Ketaksamaan Cramer-Rao Misalkan peluang bersama X 1,..., X n adalah f X (x θ), dimana θ bersifat skalar dan support dari X tidak bergantung pada θ. Misalkan statistik T (X) adalah penaksir tak bias untuk fungsi (yang terdiferensial) dari θ; E(T ) = g(θ). Maka, dibawah kondisi regularitas sedang, dengan V ar(t ) ( g(θ)/ θ)2 I θ, ( ) 2 ln fx (X θ) I θ = E. θ Kuantitas I θ disebut informasi Fisher dan merupakan indeks yang menyatakan banyaknya informasi yang dimiliki oleh X tentang θ. Suku ( g(θ)/ θ) 2 I θ disebut Batas Bawah Cramer-Rao atau Cramer-Rao Lower Bound. Contoh/Latihan: 1. Misalkan sampel acak berukuran n dari P oi(λ). Apakah penaksir MLE untuk λ memuat/memenuhi/mencapai CRLB? Solusi: Fungsi informasi Fisher adalah I θ = n/λ. Penaksir MLE dari λ adalah X dan penaksir ini tak bias. Peubah acak Poisson dengan parameter λ memiliki variansi λ. Jadi, V ar X = λ/n. Dengan demikian, CRLB untuk penaksiran λ adalah CRLB = ( λ λ)2 n/λ = λ/n. Jadi, penaksir MLE untuk λ memuat CRLB. 2. Misalkan sampel acak berukuran n dari Geo(θ). Apakah penaksir MLE untuk θ memuat/memenuhi/mencapai CRLB? Solusi: MA3081 Stat.Mat. 7 K. Syuhada, PhD.

34 3. Pandang s.a dari eksponensial dengan mean 1/θ. Apakah penaksirnya mencapai CRLB? Solusi: Efisiensi Efisiensi dari penaksir tak bias dari g(θ) adalah rasio dari CRLB terhadap variansi dari penaksir. Misalkan T penaksir tak bias untuk g(θ), maka efisiensi dari T adalah Efisiensi = CRLB V ar(t ), Jika rasio sama dengan satu, maka penaksir dikatakan efisien. Contoh/Latihan: 1. Misalkan sampel acak berukuran n dari Geo(p). Tentukan efisiensi dari penaksir untuk p. 2. Dapatkah kita mencari efisiensi dari penaksir parameter untuk sampel acak yang BUKAN keluarga eksponensial? MA3081 Stat.Mat. 8 K. Syuhada, PhD.

35 BAB 4 Uji Hipotesis 4.1 Hipotesis, Statistik Uji dan P-value Beberapa definisi: 1. Hipotesis, H 0 dan H 1, adalah pernyataan tentang model peluang. Dapat juga dikatakan sebagai karakteristik populasi. H 0 umumnya menyatakan tidak ada efek, tidak ada perbedaan dsb. H 1 adalah lawan dari H Statistik uji adalah fungsi dari data θ 0. Statistik uji dipilih untuk membedakan H 0 dengan H 1. Umumnya, statistik uji memuat penaksir dari θ. Statistik uji yang dikenal antara lain Z, t, χ Salah satu cara untuk mendapatkan statistik uji untuk menguji H 0 : θ = θ 0 versus H 1 1-sisi atau 2-sisi adalah dengan menguji rasio likelihood LR = L(θ 0 X) max θ L(θ X) dimana memaksimumkan penyebut atas semua θ yang memenuhi H 1. LR adalah rasio dari peluang dari data dibawah H 0 terhadap peluang terbesar yang mungkin dari data dibawah H 1. Nilai LR berada diantara nol dan satu. Nilai yang kecil diinterpretasikan sebagai bukti yang melawan H P-value adalah ukuran kekonsistenan antara data dan H 0. Didefinisikan: p value = P (T > t obs H 0 ) dimana T adalah statistik uji dan t obs adalah realisasinya. Menghitung p-value untuk T > t obs dengan mengikuti arah H 1. 1

36 5. Kesalahan tentang p-value: 1. P-value yang besar adalah bukti untuk H 0 2. P-value yang sangat kecil menunjukkan adanya efekyang besar/penting 4.2 Daerah Penolakan, Kesalahan dan Fungsi Kuasa Beberapa definisi: 1. Misalkan data X 1,..., X n. Daerah penolakan adalah himpunan nilainilai dari statistik uji yang menolak H 0. Daerah penerimaan adalah komplemen dari daerah penolakan. 2. Kesalahan: Tipe I: kesalahan menolak H 0 yang benar Tipe II: kesalahan menerima H 0 yang salah 3. Ukuran uji (test size): α = P (menolak H 0 H 0 benar) 4. Kesalahan tipe II dan kuasa adalah, berturut turut, dan β = P (menerima H 0 H 0 salah) 1 β = P (menolak H 0 H 0 salah) Contoh/Latihan: 1. Pandang uji H 0 : p = 0.4 versus H 1 : p 0.4 berdasarkan sampel acak berukuran 10 dari Bernoulli(p). Misalkan Y = Xi. Jika daerah kritisnya adalah menolak H 0 jika Y 0 atau Y 8, maka ukuran uji-nya adalah α = 1 P (1 Y 7 p = 0.4) = Sedangkan kesalahan tipe II dan kuasanya adalah β = MA3081 Stat.Mat. 2 K. Syuhada, PhD.

37 Plot sbb: kuasa = 2. Pandang Uji Z. Lakukan seperti hal diatas. Fungsi Kuasa Misalkan X 1,..., X n sampel acak dari f X (x θ). Misalkan ruang parameter θ adalah Θ. Misalkan Θ 0 dan Θ 1 adalah subruang dari Θ yang saling asing. Pandang uji H 0 : θ Θ 0 versus H 1 : θ Θ 1. Fungsi kuasa adalah fungsi dari θ, didefinisikan sbg π(θ) = P (menolak H 0 θ), untuk semua θ Θ (meskipun biasanya digunakan saat θ Θ 1 ). Contoh/Latihan: 1. Pandang uji H 0 : µ = µ 0 versus H 1 : µ > µ0 berdasarkan sampel acak berukuran n dari N(µ, σ 2 ), dengan σ 2 diketahui. Uji satu sampel Z = X µ 0 σ/ n akan menolak H 0 jika Z > z 1 α. Fungsi kuasanya adalah π(µ 0 ) = (ilustrasikan untuk µ 0 = 100, σ = 10, n = 25, α = Pandang uji proporsi dan lakukan seperti hal diatas. 4.3 Uji Paling Kuasa Definisi: Hipotesis sederhana adalah hipotesis yang secara lengkap memberikan spesifikasi distribusi bersama dari data. Tidak ada parameter yang tidak diketahui MA3081 Stat.Mat. 3 K. Syuhada, PhD.

38 dalam hipotesis sederhana. Contoh: H 0 : Y B(25, 1/3). Definisi: Uji Paling Kuasa (Most Powerful Test) adalah suatu uji untuk H 0 sederhana versus H 1 sederhana dengan ukuran α yang mana tidak ada lagi uji lain dengan ukuran kurang dari sama dengan α yang memiliki kuasa lebih besar. Lema (Neyman-Pearson): Pandang uji H 0 : X f 0 (x), versus H 1 : X f 1 (x), dengan f 0 dan f 1 adalah fungsi peluang bersama dibawah H 0 dan H 1. Uji paling kuasa adalah menolak H 0 jika Λ(x) = f 0(x) f 1 (x) < K adalah rasio likelihood. Ukuran uji-nya adalah α = f 0 (x) dx, R dengan R = {x : Λ(x) < K}. Contoh/Latihan: 1. Misalkan s.a X 1,..., X n dari distribusi NB(k, θ), dengan k diketahui. Cari uji paling kuasa dari tes H 0 : θ = θ 0 versus H 1 : θ = θ 1, dengan θ 1 > θ Carilah uji paling kuasa untuk s.a dari distribusi eksponensial dengan mean 1/θ. 4.4 Uji Paling Kuasa Seragam 4.5 Uji Rasio Likelihood MA3081 Stat.Mat. 4 K. Syuhada, PhD.

Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Daftar Isi

Lebih terperinci

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Daftar Isi

Lebih terperinci

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Daftar Isi 1 Peubah Acak

Lebih terperinci

Peubah Acak dan Distribusi Kontinu

Peubah Acak dan Distribusi Kontinu BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi Kontinu 1.1 Fungsi distribusi Definisi: Misalkan X peubah acak. Fungsi distribusi (kumulatif) dari X adalah F X (x) = P (X x) Contoh: 1. Misalkan X Bin(3, 0.5), maka fungsi

Lebih terperinci

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Daftar Isi 1 Peubah Acak

Lebih terperinci

MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: Distribusi Samp

MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: Distribusi Samp MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: We love Statistics Pengantar Parameter adalah... ...suatu karakteristik dari populasi. Statistik adalah... ...suatu karakteristik dari sampel. Statistik adalah fungsi

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematik(a)

Pengantar Statistika Matematik(a) Catatan Kuliah Pengantar Statistika Matematik(a) Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014

Lebih terperinci

Uji Hipotesis dan Aturan Keputusan

Uji Hipotesis dan Aturan Keputusan Uji Hipotesis dan Aturan Keputusan oleh: Khreshna Syuhada, PhD. 1. Pendahuluan Pada perkuliahan tingkat 2, telah dikenalkan masalah uji hipotesis sebagai berikut: Seorang peneliti memberikan klaim bahwa

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematik(a)

Pengantar Statistika Matematik(a) Catatan Kuliah Pengantar Statistika Matematik(a) Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014

Lebih terperinci

Distribusi Sampel, Likelihood dan Penaksir

Distribusi Sampel, Likelihood dan Penaksir BAB 1 Distribusi Sampel, Likelihood da Peaksir 1.1 Sampel Acak Misalka X 1, X 2,..., X sampel acak berukura (radom sample of size ). Fugsi peluag -variat ya adalah f X1,X 2,,X (x 1, x 2,..., x ) = f Xi

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Pengantar Statistika Matematika II Distribusi Sampling Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia March 20, 2017 atinaahdika.com Bila sampling berasal dari populasi yang

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Bab 6: Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Inferensi Statistik Pendahuluan Inferensi Statistik Inferensi statistik adalah metode untuk menarik kesimpulan mengenai suatu populasi. Inferensi statistik

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Bab 3: Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Bila sampling berasal dari populasi yang digambarkan melalui fungsi peluang f X (x θ), pengetahuan tentang θ menghasilkan karakteristik mengenai keseluruhan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

MA6281 Topik Lanjut dalam Statistika ANALISIS DATA DENGAN COPULA Dependency is not necessarily bad

MA6281 Topik Lanjut dalam Statistika ANALISIS DATA DENGAN COPULA Dependency is not necessarily bad Catatan Kuliah MA6281 Topik Lanjut dalam Statistika ANALISIS DATA DENGAN COPULA Dependency is not necessarily bad disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut

Lebih terperinci

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.

Lebih terperinci

Definisi: Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah

Definisi: Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah BAB 1 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat 1.1 EKSPEKTASI Definisi: Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah E(X) x x p X (x) dan E(X)

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Pengantar a Matematika II Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi a FMIPA Universitas Islam Indonesia March 20, 2017 atinaahdika.com t F Parameter adalah karakteristik dari populasi (misal θ) adalah karakteristik

Lebih terperinci

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik

Lebih terperinci

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Bab 4: Metode Evaluasi Estimator Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Penggunaan metode estimasi yang berbeda dapat menghasilkan estimator yang sama maupun berbeda Dari hasil estimator yang berbeda,

Lebih terperinci

Dengan demikian, untuk sembarang B = [a, b], maka persamaan (5.1) menjadi

Dengan demikian, untuk sembarang B = [a, b], maka persamaan (5.1) menjadi Bab 5 Peubah Acak Kontinu 5.1 Pendahuluan Definisi 5.1. Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh S ke R (himpunan bilangan nyata) Peubah acak X bersifat diskret jika F (x) adalah fungsi tangga.

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Bab 2: Sifat-Sifat Estimator Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Statistik Cukup Dalam kondisi real, kita tidak mengetahui parameter dari populasi data yang akan kita teliti Informasi dalam sampel

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Bab 1: a FMIPA Universitas Islam Indonesia Parameter adalah karakteristik dari populasi (misal θ) adalah karakteristik dari sampel Akan dibahas konsep statistik dan distribusi sampling Parameter Misalkan

Lebih terperinci

MA5181 PROSES STOKASTIK

MA5181 PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik A. Jadwal kuliah:

Lebih terperinci

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk!

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! Catatan Kuliah MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4183 Model Risiko A. Jadwal

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Pengantar a Matematika II - Estimator Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi a FMIPA Universitas Islam Indonesia April 17, 2017 atinaahdika.com Dalam kondisi real, kita tidak mengetahui parameter dari populasi

Lebih terperinci

Estimasi Titik. (Point Estimation) Minggu ke 1-3. Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. Universitas Gadjah Mada

Estimasi Titik. (Point Estimation) Minggu ke 1-3. Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. Universitas Gadjah Mada Estimasi Titik (Point Estimation) Minggu ke 1-3 Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. Universitas Gadjah Mada 2014 Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi 2014 1 / 33 DAFTAR ISI 1 Minggu 1 Pertemuan 1

Lebih terperinci

MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi

MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi Orang Biologi Tidak Anti Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi

Lebih terperinci

Catatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA. Insure and Invest! Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA. Insure and Invest! Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Insure and Invest! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang AK5161 MatKeu

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4181 (Pengantar)

Lebih terperinci

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk!

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! Catatan Kuliah MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4183 Model Risiko A. Jadwal

Lebih terperinci

MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided

MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided Catatan Kuliah MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA4181 Model Risiko

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 Tentang MA4181 (Pengantar)

Lebih terperinci

Teorema Newman Pearson

Teorema Newman Pearson pengujian terbaik Andi Kresna Jaya andikresna@yahoo.com Jurusan Matematika October 6, 2014 Outline 1 Review 2 Uji dua sisi untuk mean 3 Teorema Neyman-Pearson Back Outline 1 Review 2 Uji dua sisi untuk

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu. Ruang

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA4183

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MA4183 Model Risiko

Lebih terperinci

Bab 9 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat: Harapan Tanpa Syarat

Bab 9 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat: Harapan Tanpa Syarat MA38 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 9 Bab 9 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat: Harapan Tanpa Syarat Ilustrasi 9. Misalkan banyaknya kecelakaan kerja rata-rata per minggu di suatu pabrik adalah empat.

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4181 (Pengantar)

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.

Lebih terperinci

MA5283 STATISTIKA Bab 3 Inferensi Untuk Mean

MA5283 STATISTIKA Bab 3 Inferensi Untuk Mean MA5283 STATISTIKA Bab 3 Inferensi Untuk Mean Orang Cerdas Belajar Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Peubah acak kontinu, distribusi dan Tabel normal, penaksiran titik dan selang, uji hipotesis untuk

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Percobaan adalah kegiatan

Lebih terperinci

Bab 7 Ekspektasi dan Fungsi Pembangkit Momen: Cintailah Mean

Bab 7 Ekspektasi dan Fungsi Pembangkit Momen: Cintailah Mean MA38 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 7 Bab 7 Ekspektasi dan Fungsi Pembangkit Momen: Cintailah Mean Ilustrasi 7. Seorang peserta kuis diberi dua buah pertanyaan (P-, P-2), yang harus dijawab dengan

Lebih terperinci

Peubah Acak dan Distribusi

Peubah Acak dan Distribusi BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi 1.1 ILUSTRASI (Ilustrasi 1) B dan G secara bersamaan menembak sasaran tertentu. Peluang tembakan B mengenai sasaran adalah 0.7 sedangkan peluang tembakan G (bebas dari

Lebih terperinci

MA4181 MODEL RISIKO Enjoy the Risks

MA4181 MODEL RISIKO Enjoy the Risks Catatan Kuliah MA48 MODEL RISIKO Enjoy the Risks disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2 Tentang MA48 Model Risiko A. Jadwal kuliah:

Lebih terperinci

MA5181 PROSES STOKASTIK

MA5181 PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK We do love uncertainty disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik

Lebih terperinci

BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist

BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi Orang Biologi Tidak Anti Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi

Lebih terperinci

Setiap karakteristik dari distribusi populasi disebut dengan parameter. Statistik adalah variabel random yang hanya tergantung pada harga observasi

Setiap karakteristik dari distribusi populasi disebut dengan parameter. Statistik adalah variabel random yang hanya tergantung pada harga observasi ESTIMASI TITIK Setiap karakteristik dari distribusi populasi disebut dengan parameter. Statistik adalah variabel random yang hanya tergantung pada harga observasi sampel. Statistik merupakan bentuk dari

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Risk: Quantify and Control. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Risk: Quantify and Control. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Risk: Quantify and Control Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang MA4183 Model Risiko

Lebih terperinci

IKG4A2 Kapita Selekta Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si Data Deret Waktu dan i.i.d

IKG4A2 Kapita Selekta Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si Data Deret Waktu dan i.i.d IKG4A2 Kapita Selekta Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si Data Deret Waktu dan i.i.d Data merupakan kumpulan informasi yang diharapkan dapat dinterpretasikan dengan baik dan akurat. Terdapat beberapa jenis

Lebih terperinci

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis

Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat diprediksi dengan tepat tetapi kita

Lebih terperinci

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk!

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! Catatan Kuliah MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4183 Model Risiko A. Jadwal

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MA4183 Model Risiko

Lebih terperinci

MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided

MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided Catatan Kuliah MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA4181 Model Risiko

Lebih terperinci

MA4181 MODEL RISIKO Enjoy the Risks

MA4181 MODEL RISIKO Enjoy the Risks Catatan Kuliah MA4181 MODEL RISIKO Enjoy the Risks disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Tentang MA4181 Model Risiko A. Jadwal

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

STATISTIKA UNIPA SURABAYA

STATISTIKA UNIPA SURABAYA MATEMATIKA STATISTIKA (MATHEMATICAL STATISTICS) GANGGA ANURAGA Materi : Distribusi variabel random Teori Himpunan Fungsi Himpunan Fungsi Himpunan Peluang Variabel Random Fungsi Kepadatan Peluang Fungsi

Lebih terperinci

KONSISTENSI ESTIMATOR

KONSISTENSI ESTIMATOR KONSISTENSI ESTIMATOR TUGAS STATISTIKA MATEMATIKA II Oleh 1. Wahyu Nikmatus S. (121810101010) 2. Vivie Aisyafi F. (121810101050) 3. Rere Figurani A. (121810101052) 4. Dwindah Setiari W. (121810101054)

Lebih terperinci

Bab 8 Fungsi Peluang Bersama: Bersama Kita Berpisah

Bab 8 Fungsi Peluang Bersama: Bersama Kita Berpisah MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 8 1 Bab 8 Fungsi Peluang Bersama: Bersama Kita Berpisah Ilustrasi 8.1 Sebuah perusahaan asuransi menduga bahwa setiap orang akan mengalami dan memiliki parameter

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis

Lebih terperinci

STK 203 TEORI STATISTIKA I

STK 203 TEORI STATISTIKA I STK 203 TEORI STATISTIKA I V. SEBARAN FUNGSI PEUBAH ACAK V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 1 Sebaran Fungsi Peubah Acak Dalam banyak kasus untuk melakukan inferensi terhadap suatu parameter kita lebih banyak

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MA4183 Model Risiko

Lebih terperinci

DISTRIBUTIONS OF RANDOM VARIABLE DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM

DISTRIBUTIONS OF RANDOM VARIABLE DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM 1.11 Chebyshev s Inequality DISTRIBUTIONS OF RANDOM VARIABLE (Ketaksamaan Chebyshev) A. Pendahuluan DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM Konsep atau rumus yang berhubungan dengan Ketaksamaan Chebyshev Ekspektasi

Lebih terperinci

STK 203 TEORI STATISTIKA I

STK 203 TEORI STATISTIKA I STK 203 TEORI STATISTIKA I III. PEUBAH ACAK KONTINU III. Peubah Acak Kontinu 1 PEUBAH ACAK KONTINU Ingat definisi peubah acak! Definisi : Peubah acak Y adalah suatu fungsi yang memetakan seluruh anggota

Lebih terperinci

DEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI GAMMA

DEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI GAMMA digilib.uns.ac.id DEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI GAMMA oleh ANIS TELAS TANTI M0106003 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

Lebih terperinci

MA2081 Statistika Dasar

MA2081 Statistika Dasar Catatan Kuliah MA2081 Statistika Dasar Orang Cerdas Belajar Statistika Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MA2081 Statistika

Lebih terperinci

DASAR-DASAR TEORI PELUANG

DASAR-DASAR TEORI PELUANG DASAR-DASAR TEORI PELUANG Herry P. Suryawan 1 Ruang Peluang Definisi 1.1 Diberikan himpunan tak kosong Ω. Aljabar-σ (σ-algebra pada Ω adalah koleksi subhimpunan A dari Ω dengan sifat (i, Ω A (ii jika A

Lebih terperinci

MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI

MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI Kita telah mengetahui bahwa untuk n besar dan θ kecil sedemikian hingga nθ = λ, distribusi binomial bisa dihampiri oleh distribusi Poisson. Mencari hampiran distribusi

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik

Lebih terperinci

MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided

MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided Catatan Kuliah MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA4181 Model Risiko

Lebih terperinci

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Tentang MA4081 (Pengantar)

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4283 Teori Risiko dan Kredibilitas Forecasting Risk: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4283 Teori Risiko dan Kredibilitas Forecasting Risk: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4283 Teori Risiko dan Kredibilitas Forecasting Risk: Precise and Prospective Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2018

Lebih terperinci

MINGGU KE-11 HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT

MINGGU KE-11 HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT MINGGU KE-11 HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT Misalkan X 1, X 2, X 3... barisan variabel random. Kita tulis S n = n X i. Dalam subbab ini kita akan menjawab pertanyaan

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Model Linier dengan n pengamatan dan p variable penjelas biasa ditulis sebagai

TINJAUAN PUSTAKA. Model Linier dengan n pengamatan dan p variable penjelas biasa ditulis sebagai II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Model Linear Model Linier dengan n pengamatan dan p variable penjelas biasa ditulis sebagai berikut : Y i = β 0 + X i1 β 1 + X i2 β 2 + + X ip β p +ε i ; i = 1,2,, n bila dirinci

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Pengantar Statistika Matematika II Estimasi Titik dengan Metode Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia May 9, 2017 atinaahdika.com Dalam pendekatan klasik, parameter

Lebih terperinci

PENGANTAR MODEL PROBABILITAS

PENGANTAR MODEL PROBABILITAS PENGANTAR MODEL PROBABILITAS (PMP, Minggu 8-14) Sri Haryatmi Kartiko Universitas Gadjah Mada Juni 2014 Outline 1 Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Mean dan Variansi Fungsi Pembangkit Momen (MGF) 2 Minggu

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. landasan pembahasan pada bab selanjutnya. Pengertian-pengertian dasar yang di

BAB II LANDASAN TEORI. landasan pembahasan pada bab selanjutnya. Pengertian-pengertian dasar yang di 5 BAB II LANDASAN TEORI Bab ini membahas pengertian-pengertian dasar yang digunakan sebagai landasan pembahasan pada bab selanjutnya. Pengertian-pengertian dasar yang di bahas adalah sebagai berikut: A.

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang 1 \ BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Informasi-informasi faktual yang diperoleh berdasarkan hasil observasi maupun penelitian sangatlah beragam. Informasi yang dirangkum sedemikian rupa disebut dengan

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Bab 3: Estimasi Titik dengan Metode Bayes Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Dalam pendekatan klasik, parameter θ adalah besaran tetap yang tidak diketahui Sampel random X 1, X 2,..., X n diambil

Lebih terperinci

Model Poisson. Inferensi likelihood. Andi Kresna Jaya November 19, Jurusan Matematika

Model Poisson. Inferensi likelihood. Andi Kresna Jaya November 19, Jurusan Matematika Review Poisson dengan overdispersi Inferensi likelihood Andi Kresna Jaya andikresna@yahoo.com Jurusan Matematika November 19, 2014 Review Poisson dengan overdispersi Outline 1 Review 2 3 Poisson dengan

Lebih terperinci

MA2082 BIOSTATISTIKA Orang Biologi Tidak Anti Statistika

MA2082 BIOSTATISTIKA Orang Biologi Tidak Anti Statistika Catatan Kuliah MA2082 BIOSTATISTIKA Orang Biologi Tidak Anti Statistika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Tentang MA2082

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Pegatar Statistika Matematika II Metode Evaluasi Atia Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi Statistika FMIPA Uiversitas Islam Idoesia April 11, 2017 atiaahdika.com Pegguaa metode estimasi yag berbeda dapat meghasilka

Lebih terperinci

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Learning Outcomes Sebaran Kontinu Nilai Harapan dan Ragam Beberapa Sebaran Kontinu. Peubah Acak Kontinu. Julio Adisantoso.

Learning Outcomes Sebaran Kontinu Nilai Harapan dan Ragam Beberapa Sebaran Kontinu. Peubah Acak Kontinu. Julio Adisantoso. Beberapa 27 April 2014 Beberapa Learning Outcome Outline Mahasiswa dapat mengerti dan menentukan peubah acak diskret Mahasiswa dapat memahami dan menghitung nilai harapan Mahasiswa dapat memahami dan menghitung

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA

II. TINJAUAN PUSTAKA II. TINJAUAN PUSTAKA. Pendahuluan Uji perbandingan dua distribusi merupakan suatu tekhnik analisis ang dilakukan untuk mencari nilai parameter ang baik diantara dua distribusi. Tekhnik uji perbandingan

Lebih terperinci

DISTRIBUSI PROBABILITAS

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISTRIBUSI PROBABILITAS DISTRIBUSI PROBABILITAS Peluang terjadinya nilai variabel random X yang meliputi semua nilai ditentukan melalui distribusi peluang. Distribusi peluang suatu variabel random X adalah

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4283 Teori Risiko dan Kredibilitas Forecasting Risk: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4283 Teori Risiko dan Kredibilitas Forecasting Risk: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4283 Teori Risiko dan Kredibilitas Forecasting Risk: Precise and Prospective Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2018

Lebih terperinci

Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata, f : S R

Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata, f : S R Bab Peubah Acak. Konsep Dasar Peubah Acak Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata, f : S R Contoh peubah acak: Jika X adalah peubah acak banyaknya sisi muka yang muncul pada

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Berikut ini adalah beberapa definisi dan teorema yang menjadi landasan dalam penentuan harga premi, fungsi permintaan, dan kesetimbangannya pada portfolio heterogen. 2.1 Percobaan

Lebih terperinci

BAB IV MODEL HIDDEN MARKOV

BAB IV MODEL HIDDEN MARKOV BAB IV MODEL HIDDEN MARKOV 4.1 State dan Proses Observasi Semua proses didefinisikan pada ruang peluang (Ω, F, P). Misalnya X = {X : k N} adalah rantai Markov dengan state berhingga yang bersifat homogen

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. ruang sampel dan dilambangkan dengan huruf S. Ruang sampel beranggotakan

TINJAUAN PUSTAKA. ruang sampel dan dilambangkan dengan huruf S. Ruang sampel beranggotakan II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Percobaan dan Ruang Sampel Menurut Walpole (1995), istilah percobaan digunakan untuk sembarang proses yang dapat membangkitkan data. Himpunan semua hasil suatu percobaan disebut

Lebih terperinci

Pr { +h =1 = } lim. Suatu fungsi dikatakan h apabila lim =0. Dapat dilihat bahwa besarnya. probabilitas independen dari.

Pr { +h =1 = } lim. Suatu fungsi dikatakan h apabila lim =0. Dapat dilihat bahwa besarnya. probabilitas independen dari. 6.. Proses Kelahiran Murni Dalam bab ini, akan dibahas beberapa contoh penting dari waktu kontinu, state diskrit, proses Markov. Khususnya, dengan kumpulan dari variabel acak {;0 } di mana nilai yang mungkin

Lebih terperinci