ALGORITMA PENENTUAN UKURAN SAMPEL EKSAK UNTUK DISTRIBUSI NORMAL, DISTRIBUSI POISSON DAN DUA DISTRIBUSI BINOMIAL DALAM MODEL KELUARGA EKSPONENSIAL
|
|
- Ade Rachman
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 ALGORITMA PENENTUAN UKURAN SAMPEL EKSAK UNTUK DISTRIBUSI NORMAL, DISTRIBUSI POISSON DAN DUA DISTRIBUSI BINOMIAL DALAM MODEL KELUARGA EKSPONENSIAL 1) Program Studi Matematika Universitas Ahmad Dahlan Abstrak Ketika akan melakukan suatu eksperimen dengan menggunakan pendekatan klasik ataupun pendekatan Bayesian, informasi tentang ukuran sampel yang tepat sangatlah penting. Penentuan ukuran sampel ini selain tergantung pada parameter yang diselidiki juga berkaitan dengan biaya yang dibutuhkan untuk survey data. Penentuan ukuran sampel yang tepat akan memberikan kesimpulan dan keputusan yang baik dengan biaya minimal. Tujuan dari penulisan ini adalah membahas masalah penentuan besarnya ukuran sampel untuk distribusi-distribusi dalam model keluarga eksponensial yaitu distribusi Normal, distribusi Poisson dan dua distribusi Binomial dengan menggunakan negatif log normed likelihood. Kata kunci : distribusi Normal, distribusi Poisson dan dua distribusi Binomial, fungsi likelihood, generalized likelihood ratio, ukuran sampel eksak 1. Pendahuluan 1.1 Teori Inferensi Statistik Teori inferensi statistik merupakan teori yang berkaitan dengan penarikan inferensi mengenai populasi yang didasarkan pada data sampel. Inferensi dapat dilakukan dengan dua pendekatan yaitu pendekatan klasik (frekuentif) dan pendekatan Bayesian. Dalam pendekatan klasik, inferensi didasarkan sepenuhnya pada informasi yang diperoleh melalui data sampel yang diambil dari populasi, sedangkan dalam pendekatan Bayesian, selain didasarkan seperti pada pendekatan klasik, inferensi juga dilakukan berdasarkan pada parameter populasi yang timbul dari sumber investigasi statistik yang lain. Informasi dari investigasi awal ini dikenal sebagai informasi prior. Inferensi statistik dapat dibagi kedalam dua bagian yang besar yaitu estimasi (penaksiran) dan pengujian hipotesa. Teori estimasi ini cukup menarik karena biasanya parameter populasi tidak diketahui, sehingga inferensi yang dilakukan terhadap parameter populasi tersebut dilakukan dengan menggunakan informasi sampel. Penaksiran parameter populasi yang tidak diketahui dibedakan menjadi dua pendekatan, yaitu pendekatan klasik dan pendekatan teori keputusan. Dalam pendekatan klasik, metode-metode yang sering digunakan untuk menaksir parameter 27
2 populasi diantaranya adalah metode moment dan metode maksimum likelihood. Persoalan dalam penaksiran parameter populasi adalah menentukan estimator terbaik, dimana dalam statistik klasik kriteria kebaikan suatu estimator diketahui dengan menyelidiki sifat ketakbiasan, asas kecukupan, variansi minimum dan sebagainya. Dalam pendekatan teori keputusan, inferensi didasarkan pada kombinasi informasi sampel dan aspek lain yang relevan untuk mendapatkan keputusan yang terbaik. Salah satu aspek yang dianggap relevan tersebut adalah pengetahuan tentang konsekuensi yang mungkin timbul dari keputusan yang diambil. Pengetahuan ini sering diukur dalam bentuk fungsi kerugian yang mungkin untuk setiap keputusan. Fungsi resiko didefinisikan sebagai harga harapan dari fungsi kerugian. Kriteria kebaikan dari suatu estimator, salah satunya dilihat dari besarnya resiko estimator tersebut. Salah satu konsep yang ditawarkan dalam pendekatan teori keputusan ini adalah memperoleh keputusan dengan resiko minimal. Penggunaan konsep ukuran sampel tetap tidak mungkin digunakan karena adanya parameter-parameter pengganggu. Karenanya untuk memperoleh keputusan yang ditawarkan adalah prosedur keputusan sekuensial. Prosedur keputusan ini mempunyai dua komponen, yang pertama adalah rencana sampling dan kedua aturan keputusan. Karena itulah maka ukuran sampel yang akan diambil merupakan variabel random. Sebelum melakukan eksperimen dengan menggunakan pendekatan klasik atau pendekatan Bayesian, dibutuhkan ukuran sampel yang tepat dan penentuan ukuran sampel tersebut biasanya berhubungan dengan kondisi tertentu dalam menentukan sebuah parameter. Penentuan ukuran sampel secara langsung berhubungan dengan biaya survey serta memiliki pengaruh yang sangat besar pada kesimpulan dan keputusan tentang parameter yang akan diperoleh. Dalam tulisan ini dibahas masalah penentuan ukuran sampel yang diambil untuk distribusi Normal, distribusi Poisson dan dua distribusi Binomial yang merupakan keluarga eksponensial dengan menggunakan negatif log normed likelihood masingmasing model karena statistik cukup untuk model-model dalam keluarga eksponensial adalah Maksimum Likelihood Estimation. 1.2 Maksimum Likelihood Estimation (MLE) Maksimum likelihood estimation (MLE) merupakan suatu metode pengestimasian yang sangat populer dan merupakan statistik cukup untuk keluarga eksponensial. Definisi. 1.[Soejoeti, 1990] Misalkan y, y,., y likelihood dari y adalah: sampel random dari f(y; θ) maka diperoleh fungsi L = L(θ) = f(y ; θ) 28
3 Dan fungsi log likelihoodnya : l(θ) = log(l(θ)) Misalkan w = h(y, y, y, )dimanasetiapnilai w memaksimumkan L(θ) yakni L(w) L(θ) untuk semua θ w dinamakan maksimum likelihood estimation (MLE) untuk θditulis w = θ 2. Negative Log Normed Likelihood dan Deviance Definisi. 2.[Lindsey, 1995] Misalkan Y, variabel random dengan distribusi probabilitas bergantung pada parameter tunggal θdan θ suatu estimasi maksimum likelihood dari θ dan f(y; θ) adalah fungsi densitas dari Y. Misalkan L(θ) sebagai fungsi likelihood untuk variabel θ dan L(θ) sebagai fungsi likelihood untuk estimasi maksimum likelihood parameter θ. Negative log normed likelihood dinotasikan l didefinisikan sebagai : l = log L(θ) L(θ) Deviance dinotasikan dengan D(θ) didefinisikan sebagai : D(θ) = 2 log Lθ L(θ) = 2 l Teorema 1.[Lindsey, 1997] Misalkan Y variabel random dengan distribusi probabilitas bergantung pada parameter tunggal θ, dan f(y; θ) merupakan anggota keluarga eksponensial linier sehingga dapat dinyatakan sebagai berikut : f(y; θ) = exp[a(y)b(θ) + c(θ) + d(y)] : Bentuk umum fungsi negative log normed likelihood untuk satu observasi adalah l (y; θ) = yθ + yθ k (θ) dengan θ sebagai parameter kanonik, θ estimasi maksimum likelihood dari θ, k(θ)sama dengan c(θ) dan k(θ)sama dengan c(θ) 3. Penentuan ukuran sampel eksak untuk model keluarga eksponensial Negatif normed log likelihood pada masing-masing model digunakan untuk membandingkan harga-harga parameter dugaan dengan estimasi maksimum likelihood. Nilai besar dari negatif normed log likelihood mengindikasikan bahwa 29
4 model dugaan tidak masuk akal. Misalkan N, ukuran sampel yang akan dihitung dan sebagai contoh misalkan µ dan µ dua harga parameter yang diselidiki. Jika diambil suatu harga parameter dari suatu model, maka menurut J.K. Lindsey (1995) ada beberapa situasi yang mungkin terjadi ketika model-model tersebut dibandingkan : i. Negative log normed likelihood salah satu model lebih kecil dari l ii. Negative log normed likelihood kedua model lebih besar dari dari pada l karenanya kedua model tersebut tidak dapat diterima iii. Negative log normed likelihood kedua model lebih kecil dari l karenanya kedua model tersebut dapat diterima Dalam kasus pertama, kesimpulannya jelas. Dengan memilih ukuran sampel secara tepat, diharapkan kasus kedua yang disebabkan ukuran sampel lebih besar dari yang diperlukan dan kasus ketiga, karena ukuran sampel tidak cukup besar untuk membandingkan kedua model dari interest dapat dihindari. Keadaan ditengah kasus kedua dan kasus ketiga tersebut akan terjadi jika kita hanya mempunyai observasi cukup, dalam kasus terburuk, ketika kedua model sama jeleknya, keduanya akan mempunyai Negative log normed likelihood yang sama yaitu l. Jika hal ini terjadi, hubungan maksimum likelihood estimation (MLE) akan berada diantara kedua model dari yang diselidiki, keadaan dimana kedua model tersebut sama-sama tidak masuk akal. Karenanya pada keadaan terburuk, diharapkan masingmasing model berada pada batas menjadi tidak serupa dan diperlukan observasi yang cukup untuk membandingkan kedua model dalam situasi ini. Pemilihan ukuran sampel ini menjamin untuk dapat membandingkan kedua model. Dalam kasus terburuk, parameter kedua model akan dinyatakan tidak masuk akal dengan nilai Negative log normed likelihood kedua model sama dengan l. Dengan pemilihan ukuran sampel yang tepat, akan diperoleh Negative log normed likelihood untuk salah satu model yang lebih besar daripada l untuk model lainnya. Jika ukuran sampel lebih besar, fungsi likelihood akan menjadi terbatas dan terjadilah kasus kedua. Pada saat menghitung ukuran sampel eksak tanda topi (^) pada parameter sebagai indikasi maksimum likelihood estimation (MLE) dalam situasi kasus yang terburuk, bukan pada observasi sesungguhnya. Bagaimanapun, sebagaimana dimaksudkan diatas, nilai l bisa saja dipilih berdasarkan kriteria klasik, yaitu menggunakan deviance. Berdasarkan definisinya deviance juga merupakan rasio likelihood sehingga mempunyai distribusi asimtotis χ (p) dengan p merupakan jumlah parameter dan l adalah setengah dari nilai deviance. Sebagai contoh variabel acak berdistribusi asimtotis χ, dengan p-value 0.05 akan diperoleh nilai l =, = 1,92 4. Penentuan Ukuran Sampel Eksak untuk Keluarga Eksponensial Definisi 3. [Dobson, 1996] Untuk variabel random Y dengan distribusi probabilitas bergantung pada parameter tunggal θ, berlaku : a. Distribusi Y termasuk dalam keluarga eksponensial jika dapat ditulis sebagai : f(y; θ) = s(y)t(θ)e ()() 30
5 b. Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai : f(y; θ) = exp[a(y)b(θ) + c(θ) + d(y)] dengan s(y) = exp[d(y)] dan t(θ) = exp[c(θ)] c. Jika a(y) = y maka dikatakan distribusi tersebut berbentuk kanonik dan b(θ) disebut parameter natural Jika terdapat parameter lain selain θ, maka parameter tersebut dianggap sebagai parameter pengganggu (nuissance parameter) dan nilainya dianggap telah diketahui. Dalam keluarga eksponensial, l proporsinal secara langsung ke N dan terdapat hubungan satu-satu antara parameter dengan statistik cukup, sehingga penghitungan ukuran sampel eksak tersebut mudah untuk keluarga ini. Berdasarkan teorema 1, bentuk umum fungsi Negative log normed likelihood untuk satu observasi adalah : l (y; θ) = yθ + yθ k (θ) Dimana θ adalah parameter kanonik, circumflex mengindikasikan maksimum likelihood estimation (MLE). Bagaimanapun, lebih sederhana untuk bekerja dengan parameter nilai mean μ, yang mempunyai y sebagai estimasi maksimum likelihoodnya. Parameter kanonik adalah fungsi dari mean, katakan θ(μ). Selanjutnya, untuk N observasi, Negative log normed likelihood adalah : l = Nθ(μ)μ + Nkθ(μ) + Nθ(μ )μ Nk (θ(μ )) Dengan : Nμ = Ny = y Pada keadaan dimana kedua model sama buruknya (kasus kedua dengan Negative log normed likelihood lebih besar daripada l untuk kedua model sehingga kedua model tersebut tidak dapat diterima), maka dapat ditetapkan l sama dengan μ dan μ. Lebih lanjut dengan menyamakan persamaan l untuk model H dan l untuk model H diperoleh nilai : μ = (( )) (( )) ( ) ( ) sehingga dapat dihitung nilai : {() ( )}(( ))(()) 4.1. Penentuan Ukuran Sampel Eksak pada Distribusi Normal Definisi 4. [Lungan, 2006] Jika Y merupakan variabel random normal dengan mean μdan variansi σ maka fungsi densitas probabilitas Y adalah : 1 f(y; μ) = < x < σ 2π e() bentuk diatas dapat ditulis dalam bentuk kanonik : f(y; μ) = exp y yμ μ + 2σ σ 2σ 1 2 log[2πσ ] dengan parameter natural. 31
6 Lebih lanjut, Misalkan kasus klasik distribusi normal dengan variansi σ tak diketahui. Penentuan ukuran sampel eksak pada distribusi ini digunakan untuk dapat membandingkan dua model dengan mean yang berbeda. Misalkan model dengan mean µ dan µ. Karena fungsi likelihood untuk mean dari distribusi normal simetris maka : y = μ = ( ) sehingga diperoleh ( ) 4.2. Penentuan Ukuran Sampel Eksak pada Distribusi Poisson Definisi 5. [Montgomery, 2003] Variabel random Y dikatakan berdistribusi Poisson jika fungsi probabilitas massa variabel random tersebut adalah : f(y; λ) = y = 0, 1, 2,..! bentuk ini dapat ditulis dalam bentuk kanonik sebagai berikut : f(y; λ) = exp[y log λ λ log y!] dengan log λ sebagai parameter natural. Tujuan menentukan ukuran sampel eksak pada distribusi poisson adalah agar diperoleh ukuran sampel yang menjadikan interval konfidensi sekitar mean μ dari distribusi poisson mempunyai panjang. Karena interval tersebut tidak akan simetrik, maka definisikan interval tersebut sebagai (μ c, μ c + ), dimana μ akan tergantung pada sampel, adalah lebar interval yang diinginkan dan c adalah konstanta yang tidak diketahui untuk ketidaksimetrisan dan tergantung pada nilai μ. Telah diketahui rumus umum Negatif log normed likelihood adalah : l = Nθ(μ)μ + Nkθ(μ) + Nθ(μ )μ Nk(θ(μ )) dan distribusi Poisson bentuk kanonik : f(y; μ) = exp[y log μ μ log y!] diperoleh ukuran sampel l μ log μ log 1 + Persamaan ini dapat diplot untuk beragam nilai-nilai yang mungkin dari μ Penentuan Ukuran Sampel Eksak pada Dua Distribusi Binomial Definisi 6. [Montgomery, 2003] Suatu eksperimen random dengan n percobaan Bernoulli dimana a. Percobaan tersebut independen b. Hasil percobaan hanya dua yaitu sukses atau gagal 32
7 c. Probabilitas sukses dinotasikan π, sama untuk semua percobaan Variabel random Y yaitu jumlah sukses dalam n percobaan mempunyai distribusi binomial dengan fungsi probabilitas massa adalah f(y; π ) = n y π (1 π ) dengan y = 0,1,2,...,n dan 0 < π < 1 bentuk ini dapat ditulis dalam bentuk kanonik sebagai berikut : f(y; π ) = exp y log π y log(1 π ) + n log(1 π ) + log n y dengan parameter natural log. Penentuan ukuran sampel eksak pada dua distribusi binomial ini dilakukan untuk dapat menguji perbedaan antara dua distribusi binomial dan ingin dideteksi sehubungan dengan log odds ratio kedua model. Misalkan perbedaan antara dua distribusi binomial, sebagaimana digambarkan dengan suatu tabel kontingensi 2 x 2. Anggap sampel tersebut akan dipilih sedemikian hingga variabel penjelasnya berjumlah sama yaitu N/2 dalam masing-masing kategori. Misalkan fungsi distribusi binomial bentuk kanonik sebagai berikut : diperoleh sehingga π f(y ; π ) = exp y log + N log(1 π 1 π ) + log N y i = 1, 2 π θ(π ) = log maka θ(π 1 π ) = log π 1 π k {θ(π )} = log(1 π ) dan k {θ(π )} = log(1 π ) dengan tabel kontingensi 2 x 2 sebagai berikut : Tabel 1. Tabel Kontingensi 2 x 2 untuk sel frekuensi B A A1 A2 Total B1 Y1 (N/2)-Y1 N/2 B2 Y2 (N/2)-Y2 N/2 Tabel 2. Tabel Kontingensi 2 x 2 untuk sel probabilitas B A A1 A2 Total 33
8 B1 π 1 - π 1 B2 π 1 - π 1 dengan Y ~ B(N, π ) ; i = 1, 2. Jika dapat ditemukan perbedaan dalam distribusi responsi yang sesuai dengan nilai log odds ratio misalkan sebesar 2α, yang kemudian dibandingkan dengan model tanpa perbedaan dengan nilai log dds ratio 0. Karenanya, model yang akan digunakan adalah model logistik biner yang merupakan model yang multiplikatif dalam rasio atau odds probabilitas tetapi linear dalam log odds. Modelnya adalah sebagai berikut : π log = μ + α 1 π dengan π = 2y /N dimana y adalah jumlah sukses dalam kategori i, μ sebagai nilai yang ditentukan sama (untuk kedua kategori) dan α adalah nilai yang ditentukan khusus untuk masing-masing kategori. Persamaan diatas dapat diselesaikan untuk memperoleh probabilitas sebagai berikut : exp(μ + α ) π = ; i = 1, exp(μ + α ) Diasumsikan μ adalah mean diperoleh : log + log μ = 2 μ = μ + α + μ + α 2 diperoleh :α = α, dari yang diketahui, log odds rasio sama dengan2α, karenanya diperoleh : log π /(1 π ) = 2α π /(1 π ) π log log = 2α 1 π 1 π μ + α μ + α = 2α diperoleh α = α, sehingga dapat dinyatakan α = α dan α = α. Negatif log normed likelihood untuk suatu model dengan selisih 2α adalah : l = μ N 2 (π + π ) α N 2 (π + π ) + N log[{1 + exp(μ + α)}{1 + exp(μ α)}] 2 N + π 2 log π N 2 + N 2 (1 π ) log N 2 (1 π ) N + π 2 log π N 2 + N 2 (1 π ) log N 2 (1 π ) N log N 2 (Persamaan(i)) dari sisi lain, karena yang ingin diselidiki adalah perbedaan dalam dua distribusi binomial, maka untuk kasus dimana tidak terdapat perbedaan model-modelnya dapat dinyatakan bahwa π 34
9 log = μ dan log = μ + α hal ini sama dengan menyatakan bahwa α = 0 dan α = α, sehingga dengan asumsi-asumsi sebelumnya untuk model yang tidak mempunyai perbedaan diperoleh α = α = 0 sehingga l = μ N 2 (π + π ) + N log[{1 + exp(μ + α)}{1 + exp(μ)}] 2 N + π 2 log π N 2 + N 2 (1 π ) log N 2 (1 π ) N + π 2 log π N 2 + N 2 (1 π ) log N 2 (1 π ) N log N 2 (Persamaan(ii)) karena Negatif log normed likelihood untuk model dengan perbedaan dan untuk model tanpa perbedaan diasumsikan sama, persamaan (i) dan (ii) dapat disamakan sehingga diperoleh : N 2 (π π ) = y y = N + exp(μ + α)}{1 + exp(μ α)} log {1 2α {1 + exp(μ)} (Persamaan (iii)) lebih lanjut, dari penguraian persamaan (ii) diperoleh: l = N (1 + exp(μ)) log 2 {1 + exp(μ + α )}{1 + exp(μ + α )} + [π α + π α ] 2l (()) log + [π {( )}{( )} α + π α ] Suatu aproksimasi sederhana yang baik diperoleh dengan pengasumsian pada kasus terburuk yaitu α ditentukan sebagai setengah dari nilai α, sehingga diperoleh ukuran sampel sebagai berikut : 2l (()) log + [π + π ] log (()) 2l + 35
10 5. Algoritma Penentuan Ukuran Sampel Eksak untuk Pemilihan Model Terbaik Secara umum, penentuan model terbaik sangat berkaitan dengan penentuan ukuran sampel yang tepat dengan langkah - langkah sebagai berikut : 1. Identifikasi model H θ = θ H θ = θ 2. Ditentukan nilai l berdasarkan nilai p-value untuk deviance dengan distribusiχ (p) dimana p adalah jumlah parameter yang diselidiki. 3. Ditentukan rumus negative log normed likelihood untuk distribusi anggota keluarga eksponensial sebagai berikut : l = Nθ(μ)μ + Nkθ(μ) + Nθ(μ )μ Nk(θ(μ )) dengan Nμ = Ny = y 4. Hitung nilai μ (estimasi maksimum likelihood pada saat nilai l hitung kedua model sama) dengan rumus sebagai berikut : μ = k {θ(μ )} k {θ(μ )} θ(μ ) θ(μ ) 5. Tentukan ukuran sampel dengan rumus sebagai berikut : l μ {θ(μ ) θ(μ )} + k{θ(μ )} { ( )} 6. Ambil sampel berukuran N dari populasi dan hitunglah estimasi maksimum likelihood sampel tersebut. 7. Hitung Negatif log normed likelihood untuk kedua model dengan rumus umum sebagai berikut : i. Negatif log normed likelihood untuk model dibawah H (dinotasikan dengan l ) adalah l = Nθ(μ )μ + Nkθ(μ ) + Nθ(μ )μ Nk(θ(μ )) ii. Negatif log normed likelihood untuk model dibawah H (dinotasikan dengan l ) adalah l = Nθ(μ )μ + Nkθ(μ ) + Nθ(μ )μ Nk(θ(μ )) 8. Bandingkan nilai l dan l dengan nilai l Model dengan nilai Negatif log normed likelihood yang lebih besar dari l diindikasikan sebagai model dengan parameter yang tidak masuk akal. 36
11 Langkah tersebut dapat dirumuskan dalam algoritma sebagai berikut : Start Masukkan nilai θ dan θ Identifikasi Model H θ = θ H θ = θ Tentukan nilail berdasarkan nilai p-value untuk deviance dengan distribusi χ (p), p adalah jumlah parameter Tentukan nilaiμ Tentukan ukuran sampel (N) Hitung l, l dan l dengan menggunakan rumus l > l Tolak H θ = θ Terima H θ = θ Terima H θ = θ Tolak H θ = θ End 37
12 6. Contoh Penentuan Ukuran Sampel Eksak Misalkan suatu studi untuk mengetahui apakah terdapat perbedaan antara dua jenis kelamin dalam memberi respon terhadap pertanyaan dengan jawaban ya atau tidak. Model yang mewakili untuk menyelidiki perbedaan antara dua distribusi binomial ini digambarkan dalam tabel kontingensi 2 x 2 sebagai berikut : Tabel 2. Tabel Kontingensi 2 x 2 untuk sel probabilitasrespon dari laki-laki dan perempuan JK Respon Ya Tidak Total Laki-laki π 1 - π 1 Perempuan π 1 - π 1 Sehingga harus digunakan model logistic sebagai berikut : π log = μ + α 1 π ; i = 1, 2 Misalkan N adalah ukuran sampel sehingga masing-masing kategori dalam studi ini laki-laki dan perempuan mempunyai ukuran yang sama yaitu N/2 dan misalkan juga odds ratio ψ adalah 5, dari yang diketahui dapat dilakukan analisa sebagai berikut : π ψ =. 1 π = 5 1 π π π log ψ = log. 1 π = 1,6 1 π π Sehingga diperoleh α = 0,8 dan α = 0,8, situasi terburuk dimana perbedaan sulit untuk diketahui adalah jika α = 0,4. Lebih lanjut, misalkan π probabilitas rata-rata dari respon laki-laki dan perempuan yang menjawab ya sama dengan 0,5 maka μ = log π 1 π = log 0,5 1 0,5 = log 1 = 0 karenanya pada kasus terburuk dengan α = 0,4 jumlah laki-laki yang menjawab ya adalah : y = N 2. π = N 2. exp(μ + α ) 1 + exp(μ + α ) = N 2. exp(0,4 ) 1 + exp(0,4 ) 38
13 = N 2. 0,599 jumlah perempuan yang menjawab ya adalah : y = N 2. π = N 2. exp(μ + α ) 1 + exp(μ + α ) = N 2. exp( 0,4 ) 1 + exp( 0,4 ) jumlah sampel adalah : log (()) = N 2. 0,401 2l + dengan pengambilan l = 1,92 diperoleh ukuran sampel sebagai berikut : 2. 1,92 (()) log (,) + 0,4 {(,)}{(,)} (,) (,) (,) = 97,86 jadi dibutuhkan ukuran sampel minimal berukuran 98 untuk dapat membandingkan kedua model, bahkan pada kasus terburuk sekalipun karena semua kemungkinan dari sampel berukuran tersebut mempunyai Negatif log normed likelihood yang lebih kecil dari l untuk model yang satu dan lebih besar dari l untuk model yang lainnya. 7. Kesimpulan Ukuran sampel eksak adalah suatu ukuran sampel yang digunakan dalam membandingkan dua model dengan parameter yang berbeda. Pemilihan ukuran sampel eksak ini menjadikan nilai Negatif log normed likelihood dari kedua model yang ingin dibandingkan berbeda, dengan salah satunya lebih kecil dari l. Penentuan ukuran sampel eksak untuk distribusi Normal, Poisson dan Binomial dalam model keluarga eksponensial dengan menggunakan hubungan antara Negatif log normed likelihood dengan ukuran sampel, yaitu dengan persamaan sebagai berikut : l = Nθ(μ)μ + Nkθ(μ) + Nθ(μ )μ Nk (θ(μ )) sehingga : {() ( )}(( ))(()) dengan μ = (( )) (( )) ( ) ( ) Secara umum, penghitungan ukuran sampel agak sulit dilakukan karena nilai parameter yang diharapkan tidak diketahui dengan baik. Pada kondisi ini, 39
14 approksimasi normal standar secara umum memenuhi dan karenanya pendekatan likelihood untuk penghitungan ukuran sampel ini mempunyai banyak keuntungan antara lain : a. Metode umum yang sama dapat diaplikasikan untuk model keluarga eksponensial sebarang, termasuk model linear tergeneralisir. b. Perhitungannya relatif jelas. Diluar keluarga eksponensial dimana estimasi maksimum likelihood bukanlah merupakan statistik cukup, fungsi log likelihoodnya menjadi lebih kompleks sehingga sampel kasus terburuk tidak dapat secara umum diringkaskan/disimpulkan sebagai nilai skalar yang tunggal tapi tergantung pada konfigurasi (tak bisa diprediksi) dari keseluruhan sampel yang diobservasi. Pada kasus lainnya, modelnya menjadi terlalu kompleks sehingga sulit untuk menghitung ukuran sampel eksaknya. 8. Daftar Pustaka [1] Dobson, A.J An Introduction to Generalized Linear Models. Chapman and Hall, London. [2] Lindsey, J.K Introductory Statistics : The Modelling Approach. Oxford University Press, Oxford. [3] Lindsey, J.K Exact Sample Size Calculation for Exponential Family Models. The Statistician, 46, [4] Lungan, Richard Aplikasi Statistika dan Hitung Peluang. Graha Ilmu, Yogyakarta. [5] Montgomery, Douglas C Applied Statistics and Probability for Engineers. John Wiley and Sons, Inc., New York. [6] Soejoeti, Z Peluang dan Statistika, Fakultas MIPA UGM, Yogyakarta. 40
Pengantar Statistika Matematika II
Bab 2: Sifat-Sifat Estimator Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Statistik Cukup Dalam kondisi real, kita tidak mengetahui parameter dari populasi data yang akan kita teliti Informasi dalam sampel
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Bab 3: Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Bila sampling berasal dari populasi yang digambarkan melalui fungsi peluang f X (x θ), pengetahuan tentang θ menghasilkan karakteristik mengenai keseluruhan
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Pengantar a Matematika II - Estimator Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi a FMIPA Universitas Islam Indonesia April 17, 2017 atinaahdika.com Dalam kondisi real, kita tidak mengetahui parameter dari populasi
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Pengantar Statistika Matematika II Distribusi Sampling Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia March 20, 2017 atinaahdika.com Bila sampling berasal dari populasi yang
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. ii Bagaimana rata-rata atau nilai tengah dibuat oleh Stimulan eksternal.
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Perkembangan ilmu pengetahuan matematika dan penerapannya dalam berbagai bidang keilmuan selalu mencari metode baru untuk memudahkan dalam memprediksi dan menaksir
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Bab 6: Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Inferensi Statistik Pendahuluan Inferensi Statistik Inferensi statistik adalah metode untuk menarik kesimpulan mengenai suatu populasi. Inferensi statistik
Lebih terperinciMENAKSIR PARAMETER µ DARI N( µ, ) DENGAN METODE BAYES
MENAKSIR PARAMETER µ DARI N( µ, ) DENGAN METODE BAYES Hartayuni Saini 1 1 Jurusan Matematika, FMIPA-UNTAD. e-mail: yunh3_chendist@yahoo.co.id Abstrak Untuk menaksir nilai µ dari N(µ, ) umumnya digunakan
Lebih terperinciPenaksiran Parameter Regresi Linier Logistik dengan Metode Maksimum Likelihood Lokal pada Resiko Kanker Payudara di Makassar
Vol.14, No. 2, 159-165, Januari 2018 Penaksiran Parameter Regresi Linier Logistik dengan Metode Maksimum Likelihood Lokal pada Resiko Kanker Payudara di Makassar Sutrianah Burhan 1, Andi Kresna Jaya 1
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. menyatakan hubungan antara variabel respon Y dengan variabel-variabel
5 II. LANDASAN TEORI 2.1 Model Regresi Poisson Analisis regresi merupakan metode statistika yang populer digunakan untuk menyatakan hubungan antara variabel respon Y dengan variabel-variabel prediktor
Lebih terperinciEstimasi Titik. (Point Estimation) Minggu ke 1-3. Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. Universitas Gadjah Mada
Estimasi Titik (Point Estimation) Minggu ke 1-3 Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. Universitas Gadjah Mada 2014 Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi 2014 1 / 33 DAFTAR ISI 1 Minggu 1 Pertemuan 1
Lebih terperinciPENERAPAN MODEL REGRESI LINIER BAYESIAN UNTUK MENGESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL KREDIBEL
PENERAPAN MODEL REGRESI LINIER BAYESIAN UNTUK MENGESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL KREDIBEL Vania Mutiarani 1, Adi Setiawan, Hanna Arini Parhusip 3 1 Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW, 3 Dosen
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. sewajarnya untuk mempelajari cara bagaimana variabel-variabel itu dapat
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Jika kita mempunyai data yang terdiri dari dua atau lebih variabel maka sewajarnya untuk mempelajari cara bagaimana variabel-variabel itu dapat berhubungan, hubungan
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Dalam pembicaraan statistik, jawaban yang diinginkan adalah jawaban untuk ruang lingkup yang lebih luas, yakni populasi. Tetapi objek dari studi ini menggunakan sampel
Lebih terperinciSetiap karakteristik dari distribusi populasi disebut dengan parameter. Statistik adalah variabel random yang hanya tergantung pada harga observasi
ESTIMASI TITIK Setiap karakteristik dari distribusi populasi disebut dengan parameter. Statistik adalah variabel random yang hanya tergantung pada harga observasi sampel. Statistik merupakan bentuk dari
Lebih terperinciSTATISTIKA MATEMATIKA
STATISTIKA MATEMATIKA Penulis: Prof. Subanar, Ph.D Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2013 Hak Cipta 2013 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau
Lebih terperinciTeorema Newman Pearson
pengujian terbaik Andi Kresna Jaya andikresna@yahoo.com Jurusan Matematika October 6, 2014 Outline 1 Review 2 Uji dua sisi untuk mean 3 Teorema Neyman-Pearson Back Outline 1 Review 2 Uji dua sisi untuk
Lebih terperinciSarimah. ABSTRACT
PENDETEKSIAN OUTLIER PADA REGRESI LOGISTIK DENGAN MENGGUNAKAN TEKNIK TRIMMED MEANS Sarimah Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Lebih terperinciINFERENSI STATISTIK DISTRIBUSI BINOMIAL DENGAN METODE BAYES MENGGUNAKAN PRIOR KONJUGAT. Oleh : ADE CANDRA SISKA NIM: J2E SKRIPSI
INFERENSI STATISTIK DISTRIBUSI BINOMIAL DENGAN METODE BAYES MENGGUNAKAN PRIOR KONJUGAT Oleh : ADE CANDRA SISKA NIM: J2E 006 002 SKRIPSI Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada
Lebih terperinciINFERENSI PARAMETER MEAN POPULASI NORMAL DENGAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF
INFERENSI PARAMETER MEAN POPULASI NORMAL DENGAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF Adi Setiawan Program Studi Matematika Industri dan Statistika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl
Lebih terperinciModul 13 Ukuran Sampel
Modul 13 Ukuran Sampel Daftar Isi 13.1 Tujuan Pembelajaran..................... 1 13.2 Prinsip Penghitungan Besar Sampel............. 1 13.3 Ukuran Sampel untuk Uji Mean............... 3 13.4 Ukuran Sampel
Lebih terperinciMA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: Distribusi Samp
MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: We love Statistics Pengantar Parameter adalah... ...suatu karakteristik dari populasi. Statistik adalah... ...suatu karakteristik dari sampel. Statistik adalah fungsi
Lebih terperinciPEMODELAN DENGAN REGRESI LOGISTIK. Secara umum, kedua hasil dilambangkan dengan (sukses) dan (gagal)
PEMODELAN DENGAN REGRESI LOGISTIK 1. Data Biner Data biner merupakan data yang hanya memiliki dua kemungkinan hasil. Secara umum, kedua hasil dilambangkan dengan (sukses) dan (gagal) dengan peluang masing-masing
Lebih terperinciESTIMASI TOTAL DAYA LISTRIK YANG HILANG MELALUI PROSES POISSON TERPANCUNG MAJEMUK
ESTIMASI TOTAL DAYA LISTRIK YANG HILANG MELALUI PROSES POISSON TERPANCUNG MAJEMUK Adri Arisena 1, Anna Chadidjah 2, Achmad Zanbar Soleh 3 Departemen Statistika Universitas Padjadjaran 1 Departemen Statistika
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
1 \ BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Informasi-informasi faktual yang diperoleh berdasarkan hasil observasi maupun penelitian sangatlah beragam. Informasi yang dirangkum sedemikian rupa disebut dengan
Lebih terperinciPENERAPAN REGRESI POISSON DAN BINOMIAL NEGATIF DALAM MEMODELKAN JUMLAH KASUS PENDERITA AIDS DI INDONESIA BERDASARKAN FAKTOR SOSIODEMOGRAFI
Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 4 Hal. 58 65 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENERAPAN REGRESI POISSON DAN BINOMIAL NEGATIF DALAM MEMODELKAN JUMLAH KASUS PENDERITA AIDS DI INDONESIA
Lebih terperinciUji Hipotesis dan Aturan Keputusan
Uji Hipotesis dan Aturan Keputusan oleh: Khreshna Syuhada, PhD. 1. Pendahuluan Pada perkuliahan tingkat 2, telah dikenalkan masalah uji hipotesis sebagai berikut: Seorang peneliti memberikan klaim bahwa
Lebih terperinciUJI STATISTIK NON PARAMETRIK. Widha Kusumaningdyah, ST., MT
UJI STATISTIK NON PARAMETRIK Widha Kusumaningdyah, ST., MT SIGN TEST Sign Test Digunakan untuk menguji hipotesa tentang MEDIAN dan DISTRIBUSI KONTINYU. Pengamatan dilakukan pada median dari sebuah distribusi
Lebih terperinciKONSISTENSI ESTIMATOR
KONSISTENSI ESTIMATOR TUGAS STATISTIKA MATEMATIKA II Oleh 1. Wahyu Nikmatus S. (121810101010) 2. Vivie Aisyafi F. (121810101050) 3. Rere Figurani A. (121810101052) 4. Dwindah Setiari W. (121810101054)
Lebih terperinciESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI ZERO-INFLATED POISSON (ZIP) MENGGUNAKAN METODE BAYESIAN
ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI ZERO-INFLATED POISSON (ZIP) MENGGUNAKAN METODE BAYESIAN Karima Puspita Sari, Respatiwulan, dan Bowo Winarno Program Studi Matematika FMIPA UNS Abstrak. Model regresi zero-inflated
Lebih terperinciMODUL TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR
TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR MODUL 9 TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR. Pendahuluan Untuk menginginkan mengumpulkan populasi kita lakukan dengan statistik berdasarkan data yang diambil secara sampling yang
Lebih terperinciModel Poisson. Inferensi likelihood. Andi Kresna Jaya November 19, Jurusan Matematika
Review Poisson dengan overdispersi Inferensi likelihood Andi Kresna Jaya andikresna@yahoo.com Jurusan Matematika November 19, 2014 Review Poisson dengan overdispersi Outline 1 Review 2 3 Poisson dengan
Lebih terperinciKAJIAN DATA KETAHANAN HIDUP TERSENSOR TIPE I BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL DAN SIX SIGMA. Victoria Dwi Murti 1, Sudarno 2, Suparti 3
JURNAL GAUSSIAN, Volume 1, Nomor 1, Tahun 2012, Halaman 241-248 Online di: http://ejournal-s1.undip.ac.id/index.php/gaussian KAJIAN DATA KETAHANAN HIDUP TERSENSOR TIPE I BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL DAN
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Perkembangan teori statistika telah mempengaruhi hampir semua aspek kehidupan. Hal ini disebabkan statistika merupakan salah satu disiplin ilmu yang berperan
Lebih terperinciAlgoritma Expectation-Maximization(EM) Untuk Estimasi Distribusi Mixture
Vol. 4, No., Oktober 04 Algoritma Expectation-Maximization(EM) Untuk Estimasi Distribusi Mixture Tomy Angga Kusuma ), Suparman ) ) Program Studi Matematika FMIPA UAD ) Program Studi Pend. Matematika UAD
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan beberapa definisi sebagai landasan dalam penelitian ini. Konsep dasar ini berkaitan dengan masalah yang dibahas dalam
Lebih terperinciINFERENSI PARAMETER SIMPANGAN BAKU POPULASI NORMAL DENGAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF
INFERENSI PARAMETER SIMPANGAN BAKU S - POPULASI NORMAL DENGAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF Adi Setiawan Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana, Jl Diponegoro
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Regresi Linier Sederhana Dalam beberapa masalah terdapat dua atau lebih variabel yang hubungannya tidak dapat dipisahkan karena perubahan nilai suatu variabel tidak selalu terjadi
Lebih terperinciESTIMASI PARAMETER UNTUK DISTRIBUSI HALF LOGISTIK. Jl. A. Yani Km. 36 Banjarbaru, Kalimantan Selatan
Jurnal Matematika Murni dan Terapan εpsilon Vol. 07, No.01, 201, Hal. 45 52 ESTIMASI PARAMETER UNTUK DISTRIBUSI HALF LOGISTIK Rizqi Elmuna Hidayah 1, Nur Salam 2 dan Dewi Sri Susanti 1,2, Program Studi
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Bab 3: Estimasi Titik dengan Metode Bayes Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Dalam pendekatan klasik, parameter θ adalah besaran tetap yang tidak diketahui Sampel random X 1, X 2,..., X n diambil
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Analisis statistika pada dasarnya merupakan suatu analisis terhadap sampel yang kemudian hasilnya akan digeneralisasi untuk menggambarkan suatu karakteristik populasi.
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Ruang sampel S adalah himpunan semua hasil dari suatu percobaan. Kejadian E
5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Peluang Ruang sampel S adalah himpunan semua hasil dari suatu percobaan. Kejadian E adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Peluang suatu kejadian P(E) adalah
Lebih terperinciPengujian Overdispersi pada Model Regresi Poisson (Studi Kasus: Laka Lantas Mobil Penumpang di Provinsi Jawa Barat)
Statistika, Vol. 14 No. 2, 69 76 November 2014 Pengujian Overdispersi pada Model Regresi Poisson (Studi Kasus: Laka Lantas Mobil Penumpang di Provinsi Jawa Barat) Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. (b) Variabel independen yang biasanya dinyatakan dengan simbol
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Regresi Regresi adalah suatu studi statistik untuk menjelaskan hubungan dua variabel atau lebih yang dinyatakan dalam bentuk persamaan. Salah satu variabel merupakan variabel
Lebih terperinciPENGGUNAAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF DALAM INFERENSI PARAMETER POPULASI SERAGAM
PENGGUNAAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF DALAM INFERENSI PARAMETER POPULASI SERAGAM Adi Setiawan Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-6
Lebih terperinciPENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI INVERS MAXWELL UKURAN BIAS SAMPEL MENGGUNAKAN METODE BAYESIAN. Rince Adrianti 1, Haposan Sirait 2 ABSTRACT ABSTRAK
PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI INVERS MAXWELL UKURAN BIAS SAMPEL MENGGUNAKAN METODE BAYESIAN Rince Adrianti, Haposan Sirait Mahasiswa Program Studi S Matematika Dosen Matematika, Jurusan Matematika Fakultas
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Analisis regresi adalah suatu metode yang digunakan untuk menganalisa hubungan antara variabel respon dan variabel prediktor. Pada umumnya analisis regresi
Lebih terperinciPENAKSIR MAKSIMUM LIKELIHOOD DENGAN METODE ITERASI NEWTON - RAPHSON
PENAKSIR MAKSIMUM LIKELIHOOD DENGAN METODE ITERASI NEWTON - RAPHSON Haposan Sirait 1 dan Rustam Efendi 2 1,2 Dosen Program Studi Matematika FMIPA Universitas Riau. Abstrak: Makalah ini menyajikan tentang
Lebih terperinciESTIMASI EROR STANDAR PARAMETER REGRESI LOGISTIK MENGGUNAKAN METODE BOOTSTRAP
ESTIMASI EROR STANDAR PARAMETER REGRESI LOGISTIK MENGGUNAKAN METODE BOOTSTRAP PADA DATA PASIEN HIPERKOLESTEROLEMIA DI BALAI LABORATORIUM KESEHATAN YOGYAKARTA Fransiska Grase S.W, Sri Sulistijowati H.,
Lebih terperinciRENCANA MUTU PEMBELAJARAN
RENCANA MUTU PEMBELAJARAN Nama Dosen : N. Setyaningsih, MSi. Program Studi : Pendidikan Matematika Kode Mata Kuliah : 504203 Nama Mata Kuliah : Statistika Matematika Jumlah sks : 3 sks Semester : V Alokasi
Lebih terperinciESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI POISSON TERGENERALISASI TERBATAS DENGAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD
ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI POISSON TERGENERALISASI TERBATAS DENGAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD Fitra1, Saleh2, La Podje3 Mahasiswa Program Studi Statistika, FMIPA Unhas 2,3 Dosen Program Studi Statistika,
Lebih terperinciKata Kunci: Model Regresi Logistik Biner, metode Maximum Likelihood, Demam Berdarah Dengue
Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 9 16 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PEMODELAN FAKTOR-FAKTOR YANG MEMPENGARUHI KEJADIAN DBD (DEMAM BERDARAH DENGUE) MENGGUNAKAN REGRESI LOGISTIK
Lebih terperinciBagian 2. Probabilitas. Struktur Probabilitas. Probabilitas Subyektif. Metode Frekuensi Relatif Kejadian untuk Menentukan Probabilitas
Probabilitas Bagian Probabilitas A) = peluang (probabilitas) bahwa kejadian A terjadi 0 < A) < 1 A) = 0 artinya A pasti terjadi A) = 1 artinya A tidak mungkin terjadi Penentuan nilai probabilitas: Metode
Lebih terperinciPr { +h =1 = } lim. Suatu fungsi dikatakan h apabila lim =0. Dapat dilihat bahwa besarnya. probabilitas independen dari.
6.. Proses Kelahiran Murni Dalam bab ini, akan dibahas beberapa contoh penting dari waktu kontinu, state diskrit, proses Markov. Khususnya, dengan kumpulan dari variabel acak {;0 } di mana nilai yang mungkin
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Distribusi eksponensial tergenaralisir (Generalized Eponential Distribution) pertama kali diperkenalkan oleh Gupta dan Kundu pada tahun 1999. Distribusi ini diambil
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Di zaman sekarang, kemajuan sains dan teknologi sangat berkembang pesat. Salah satu ilmu yang berkembang adalah matematika yang merupakan induk dari semua ilmu
Lebih terperinciDEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI GAMMA
digilib.uns.ac.id DEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI GAMMA oleh ANIS TELAS TANTI M0106003 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Keberhasilan Belajar 1. Pengertian Keberhasilan Belajar Dalam kamus besar bahasa Indonesia, keberhasilan itu sendiri adalah hasil yang telah dicapai (dilakukan, dikerjakan dan
Lebih terperinciDistribusi Diskrit dan Kontinu yang Penting. Oleh Azimmatul Ihwah
Distribusi Diskrit dan Kontinu yang Penting Oleh Azimmatul Ihwah Distribusi Diskrit Fungsi probabilitas dari variabel random diskrit dapat dinyatakan dalam formula matematik tertentu yang dinamakan fungsi
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. landasan pembahasan pada bab selanjutnya. Pengertian-pengertian dasar yang di
5 BAB II LANDASAN TEORI Bab ini membahas pengertian-pengertian dasar yang digunakan sebagai landasan pembahasan pada bab selanjutnya. Pengertian-pengertian dasar yang di bahas adalah sebagai berikut: A.
Lebih terperinciSILABUS MATA KULIAH. : Dapat menganalisis tentang statistika inferensial secara teoritik beserta komponen dan sifat-sifatnya
SILABUS MATA KULIAH Program Studi : Pendidikan Matematika Kode Mata Kuliah : 50603 Mata kuliah : Statistika Matematika Bobot : 3 SKS Semester : V Mata Kuliah Prasyarat : Probabilitas Deskripsi Mata Kuliah
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Estimasi reliabilitas adalah estimasi yang menggambarkan sebuah taksiran terhadap suatu komponen tertentu, dimana dan adalah variabel random yang independen dengan
Lebih terperinciKontrak Kuliah Metode Statistika 2
Kontrak Kuliah Metode Statistika 2 Ayundyah K., M.Si. PROGRAM STUDI STATISTIKA UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 2015 Deskripsi Mata Kuliah Nama Mata Kuliah : Metode Statistika 2 Semester/SKS : I / 3 SKS Kompetensi
Lebih terperinciE-Jurnal Matematika Vol. 3 (3), Agustus 2014, pp ISSN:
E-Jurnal Matematika Vol. 3 3), Agustus 2014, pp. 107-115 ISSN: 2303-1751 PERBANDINGAN REGRESI BINOMIAL NEGATIF DAN REGRESI GENERALISASI POISSON DALAM MENGATASI OVERDISPERSI Studi Kasus: Jumlah Tenaga Kerja
Lebih terperinciKARAKTERISTIK DISTRIBUSI KELUARGA TRANSFORMASI KHI-KUADRAT. Oleh : Entit Puspita. Dosen Jurusan pendidikan Matematika
KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KELUARGA TRANSFORMASI KHI-KUADRAT Oleh : Entit Puspita Dosen Jurusan pendidikan Matematika FPMIPA Universitas Pendidikan Indonesia Abstrak Dalam Keluarga eksponensial satu parameter
Lebih terperinciRegresi Poisson dan Penerapannya Untuk Memodelkan Hubungan Usia dan Perilaku Merokok Terhadap Jumlah Kematian Penderita Penyakit Kanker Paru-Paru
Regresi Poisson dan Penerapannya Untuk Memodelkan Hubungan Usia dan Perilaku Merokok Terhadap Jumlah Kematian Penderita Penyakit Kanker Paru-Paru IIN SUNDARI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciDISTRIBUSI ERLANG DAN PENERAPANNYA. Rini Kurniasih 1, Getut Pramesti 2 Mahasiswi Pendidikan Matematika FKIP UNS, Dosen Pendidikan Matematika FKIP UNS
DISTRIBUSI ERLANG DAN PENERAPANNYA Rini Kurniasih 1, Getut Pramesti 2 Mahasiswi Pendidikan Matematika FKIP UNS, Dosen Pendidikan Matematika FKIP UNS nia.rini.purita2316@gmail.com, getut.uns@gmail.com ABSTRAK
Lebih terperinciMODEL DISTRIBUSI TOTAL KERUGIAN AGGREGAT MANFAAT RAWAT JALAN BERDASARKAN SIMULASI
MODEL DISTRIBUSI TOTAL KERUGIAN AGGREGAT MANFAAT RAWAT JALAN BERDASARKAN SIMULASI Puspitaningrum Rahmawati, Bambang Susanto, Leopoldus Ricky Sasongko Program Studi Matematika (Fakultas Sains dan Matematika,
Lebih terperinciPENDUGAAN PARAMETER STATISTIK INDUSTRI 1
PENDUGAAN PARAMETER STATISTIK INDUSTRI 1 Agustina Eunike, ST., MT., MBA Mengetahui populasi dan membuat pernyataan peluang mengenai elemen yang diambil dari populasi tersebut Tidak mengetahui distribusi
Lebih terperinciMasalah Overdispersi dalam Model Regresi Logistik Multinomial
Statistika, Vol. 16 No. 1, 29 39 Mei 2016 Masalah Overdispersi dalam Model Regresi Logistik Multinomial Annisa Lisa Nurjanah, Nusar Hajarisman, Teti Sofia Yanti Prodi Statistika, Fakultas Matematika dan
Lebih terperinciSIMULASI DAMPAK MULTIKOLINEARITAS PADA KONDISI PENYIMPANGAN ASUMSI NORMALITAS
SIMULASI DAMPAK MULTIKOLINEARITAS PADA KONDISI PENYIMPANGAN ASUMSI NORMALITAS Joko Sungkono 1, Th. Kriswianti Nugrahaningsih 2 Abstract: Terdapat empat asumsi klasik dalam regresi diantaranya asumsi normalitas.
Lebih terperinciPENDUGAAN PARAMETER STATISTIK INDUSTRI 1
PENDUGAAN PARAMETER STATISTIK INDUSTRI 1 Agustina Eunike, ST., MT., MBA Mengetahui populasi dan membuat pernyataan peluang mengenai elemen yang diambil dari populasi tersebut Tidak mengetahui distribusi
Lebih terperinciESTIMASI. Arna Fariza PENDAHULUAN
ESTIMASI Arna Fariza PENDAHULUAN MATERI LALU Karena adanya berbagai alasan seperti banyaknya individu dalam populasi amatan, maka penelitian keseluruhan terhadap populasi tersebut tidaklah ekonomis, baik
Lebih terperinciModel Regresi Zero Inflated Poisson Pada Data Overdispersion
Model Regresi Zero Inflated Poisson Pada Data Overdispersion Wirajaya Kusuma Fakultas MIPA, Universitas Mataram e-mail: Kusuma_Wirajaya@yahoo.co.id Desy Komalasari Fakultas MIPA, Universitas Mataram e-mail:
Lebih terperinci(R.2) KAJIAN PREDIKSI KLASIFIKASI OBYEK PADA VARIABEL RESPON BINER
(R.2) KAJIAN PREDIKSI KLASIFIKASI OBYEK PADA VARIABEL RESPON BINER Drs. Soekardi Hadi P. Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam As-Syafi iyah Email : s.hadip@yahoo.co.id Abstrak
Lebih terperinciMODEL REGRESI DATA TAHAN HIDUP TERSENSOR TIPE III BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL. Jln. Prof. H. Soedarto, S.H., Tembalang, Semarang.
MODEL REGRESI DATA TAHAN HIDUP TERSENSOR TIPE III BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL Winda Faati Kartika 1, Triastuti Wuryandari 2 1, 2) Program Studi Statistika Jurusan Matematika FMIPA Universitas Diponegoro
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. ruang sampel dan dilambangkan dengan huruf S. Ruang sampel beranggotakan
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Percobaan dan Ruang Sampel Menurut Walpole (1995), istilah percobaan digunakan untuk sembarang proses yang dapat membangkitkan data. Himpunan semua hasil suatu percobaan disebut
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Daftar Isi
Lebih terperinciMETODE PREDICTION CONFIGURAL FREQUENCY ANALYSIS (PCFA) UNTUK MENENTUKAN KARAKTERISTIK USER DAN NON USER MOTOR X DI JAWA BARAT ABSTRAK
METODE PREDICTION CONFIGURAL FREQUENCY ANALYSIS (PCFA) UNTUK MENENTUKAN KARAKTERISTIK USER DAN NON USER MOTOR X DI JAWA BARAT (Studi Kasus PT. XYZ) Muhamad Iqbal Mawardi Departemen Statistika, Universitas
Lebih terperinciStatistika (MMS-1403)
Statistika (MMS-1403) Dr. Danardono, MPH danardono@ugm.ac.id Program Studi Statistika Jurusan Matematika FMIPA UGM MMS-1403 p.1/93 Distribusi Sampling Statistik Populasi: himpunan keseluruhan obyek yang
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI DAN KAJIAN PUSTAKA
BAB 2 LANDASAN TEORI DAN KAJIAN PUSTAKA 2.1 Estimasi Bayes Definisi 1 Estimasi Bayes yang paling mungkin dari suatu nilai kebenaran θ 0 yang tidak diketahui pada parameter θ adalah nila ˆθ yang meminimumkan
Lebih terperinciPENAKSIR RATA-RATA DISTRIBUSI EKSPONENSIAL TERPOTONG. Agustinus Simanjuntak ABSTRACT
PENAKSIR RATA-RATA DISTRIBUSI EKSPONENSIAL TERPOTONG Agustinus Simanjuntak Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya Pekanbaru
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Pengantar a Matematika II Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi a FMIPA Universitas Islam Indonesia March 20, 2017 atinaahdika.com t F Parameter adalah karakteristik dari populasi (misal θ) adalah karakteristik
Lebih terperinciMODEL REGRESI LOGISTIK BINER DENGAN METODE PENALIZED MAXIMUM LIKELIHOOD. Edi Susilo, Anna Islamiyati, Muh. Saleh AF. ABSTRAK
MODEL REGRESI LOGISTIK BINER DENGAN METODE PENALIZED MAXIMUM LIKELIHOOD Edi Susilo, Anna Islamiyati, Muh. Saleh AF. ABSTRAK Analisis regresi logistik biner dengan metode penalized maximum likelihood digunakan
Lebih terperinciPENAKSIR RASIO UNTUK VARIANSI POPULASI MENGGUNAKAN KOEFISIEN VARIASI DAN KURTOSIS PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA
PENAKSIR RASIO UNTUK VARIANSI POPULASI MENGGUNAKAN KOEFISIEN VARIASI DAN KURTOSIS PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA Erpan Gusnawan 1, Arisman Adnan 2, Haposan Sirait 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
Lebih terperinciESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN TRANSFORMASI MODEL REGRESI MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL LINIER
ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN TRANSFORMASI MODEL REGRESI MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL LINIER 1 ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN TRANSFORMASI MODEL REGRESI MENGGUNAKAN
Lebih terperinciSTATISTIKA UNIPA SURABAYA
MATEMATIKA STATISTIKA (MATHEMATICAL STATISTICS) GANGGA ANURAGA Materi : Distribusi variabel random Teori Himpunan Fungsi Himpunan Fungsi Himpunan Peluang Variabel Random Fungsi Kepadatan Peluang Fungsi
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Pengantar Statistika Matematika II Estimasi Titik dengan Metode Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia May 9, 2017 atinaahdika.com Dalam pendekatan klasik, parameter
Lebih terperinciMA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics
Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Daftar Isi 1 Peubah Acak
Lebih terperinciPREDICTION-CFA PADA CFA REGIONAL
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 14 Mei 2011 PREDICTION-CFA PADA CFA REGIONAL Resa Septiani Pontoh Jurusan Statistika,
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Distribusi Normal Salah satu distribusi frekuensi yang paling penting dalam statistika adalah distribusi normal. Distribusi normal berupa kurva berbentuk lonceng setangkup yang
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Bab 1: a FMIPA Universitas Islam Indonesia Parameter adalah karakteristik dari populasi (misal θ) adalah karakteristik dari sampel Akan dibahas konsep statistik dan distribusi sampling Parameter Misalkan
Lebih terperinciESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN TRANSFORMASI MODEL REGRESI MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL LINIER
1 ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN TRANSFORMASI MODEL REGRESI MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL LINIER A. Musdalifa, Raupong, Anna Islamiyati Abstrak Estimasi parameter adalah merupakan hal
Lebih terperinciGeneralized Ordinal Logistic Regression Model pada Pemodelan Data Nilai Pesantren Mahasiswa Baru FMIPA Universitas Islam Bandung Tahun 2017
Prosiding Statistika ISSN: 2460-6456 Generalized Ordinal Logistic Regression Model pada Pemodelan Data Nilai Pesantren Mahasiswa Baru FMIPA Universitas Islam Bandung Tahun 2017 Generalized Ordinal Logistic
Lebih terperinciESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI ZERO ADJUSTED INVERSE GAUSSIAN (ZAIG) UNTUK MENENTUKAN BESAR KLAIM
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 323-328 ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI ZERO ADJUSTED INVERSE GAUSSIAN (ZAIG) UNTUK MENENTUKAN BESAR KLAIM Nurul Huda,
Lebih terperincistatistika untuk penelitian
statistika untuk penelitian Kelompok Ilmiah Remaja (KIR) Delayota Experiment Team (D Expert) 2013 Freeaninationwallpaper.blogspot.com Apa itu Statistika? Statistika adalah ilmu yang mempelajari cara pengumpulan,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Dalam statistika, sebuah penaksir adalah sebuah fungsi dari sample data
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Dalam statistika, sebuah penaksir adalah sebuah fungsi dari sample data observasi yang digunakan untuk menaksir parameter populasi yang tidak diketahui. Ada
Lebih terperinciSTATISTIKA INDUSTRI 2 TIN 4004
STATISTIKA INDUSTRI 2 TIN 4004 Kontrak Perkuliahan Pertemuan & Materi RPKPS Penilaian Tugas, short quiz (30%) Quiz 1 & 2 (40%) UAS (30%) Referensi Montgomery, D.C, George C. Runger. Applied Statistic and
Lebih terperinciJurnal Gradien Vol 8 No 2 Juli 2012: Yuli Andriani, Uxti Mezulianti, dan Herlina Hanum
Jurnal Gradien Vol 8 No 2 Juli 2012:809-814 Model Tingkat Kelancaran Pembayaran Kredit Bank Menggunakan Model Regresi Logistik Ordinal (Studi Kasus: Bank Rakyat Indonesia Tbk Unit Pasar Bintuhan) Yuli
Lebih terperinciMODEL REGRESI COX PROPORTIONAL HAZARD PADA LAJU TAMAT MAHASISWA JURUSAN MATEMATIKA UNIVERSITAS ANDALAS
Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 33 41 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND MODEL REGRESI COX PROPORTIONAL HAZARD PADA LAJU TAMAT MAHASISWA JURUSAN MATEMATIKA UNIVERSITAS ANDALAS
Lebih terperinciPEMODELAN DISPARITAS GENDER DI JAWA TIMUR DENGAN PENDEKATAN MODEL REGRESI PROBIT ORDINAL
1 PEMODELAN DISPARITAS GENDER DI JAWA TIMUR DENGAN PENDEKATAN MODEL REGRESI PROBIT ORDINAL Uaies Qurnie Hafizh, Vita Ratnasari Jurusan Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut
Lebih terperinci