Estimasi Titik. (Point Estimation) Minggu ke 1-3. Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. Universitas Gadjah Mada

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Estimasi Titik. (Point Estimation) Minggu ke 1-3. Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. Universitas Gadjah Mada"

Transkripsi

1 Estimasi Titik (Point Estimation) Minggu ke 1-3 Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. Universitas Gadjah Mada 2014 Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33 DAFTAR ISI 1 Minggu 1 Pertemuan 1 : Pendahuluan Estimasi Titik Beberapa Metode Estimator Metode Moment Metode Maksimum Likelihood 2 Minggu 2 Minggu 2 : Metode Evaluasi Estimator Sifat Takbias (Unbias) Sesatan Kuadrat Rata-rata / MSE Estimator Takbias Terbaik 3 Minggu 3 Minggu 3 : Konsistensi Minggu 3 : Konsistensi Sifat Sifat Asimtotis dari MLE Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33

2 Minggu 1 : Pendahuluan Statistika Inferensial Untuk mengetahui karakteristik yang bersifat numerik dari suatu populasi, observasi terhadap satu atau lebih variabel acak yang terkait perlu dilakukan. Hasil observasi ini kemudian dianalisis dengan menggunakan teknik-teknik tertentu untuk mengestimasi karakteristik (dalam model parametrik disebut parameter) populasi atau menguji hipotesis tentang populasi. Bagian statistika yang membahas teori estimasi dan uji hipotesis dinamakan statistika inferensial (inferential statistics). Estimasi parameter dibedakan menjadi dua macam, yaitu estimasi titik dan estimasi interval. Bab ini membahas estimasi titik. Estimasi interval dan uji hipotesis akan di bahas di bab-bab yang akan datang. Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33 Estimasi Titik Kongsep dari estimasi titik sangat sederhana. bila sampling berasal dari populasi yang digambarkan melalui densitas f (x θ), pengetahuan tentang θ menghasilkan karakteristik mengenai keseluruhan populasi. Dengan kata lain Estimasi Titik adalah suatu nilai (suatu titik) yang digunakan untuk menduga suatu parameter populasi. Definisi Dalam statistik T = t(x 1, X 2,..., X n ) yang digunakan untuk memperkirakan nilai dari τ(θ) adalah estimator dari τ(θ) dan nilai yang diamati dalam statistik, t(x 1, x 2,..., x n ) disebut estimate dari τ(θ). Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33

3 Perhatikan bahwa terdapat perbedaan antara estimate dan estimator. Suatu estimator adalah fungsi sampel. sedangkan estimate adalah nilai terealisasi dari estimator yaitu bilangan yang didapat bila sempel benar benar terambil. Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33 Beberapa Metode Estimator 1 Metode Moment. 2 Metode Maksimum Likelihood. Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33

4 Metode Moment (Method of Moment Estimator/MME) Adalah Metode yang diciptakan oleh Karl Pearson pada tahun 1800 dan merupakan metode tertua dalam menentukan estimator titik.ide utama dari metode momen adalah menyamakan karakteristik sampel tertentu seperti mean dan varians untuk nilai-nilai yang diharapkan populasi yang bersesuaian dan kemudian menyelesaikan persamaan yang dihasilkan untuk mendapatkan nilai perkiraan parameter tidak diketahui Definisi jika X 1, X 2,..., X n adalah sampel random dari populasi dengan fungsi densitas f (x; θ 1, θ 2,..., θ n ), maka moment populasi ke k didifinisikan sebagai µ k = E(X k ) Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33 Definisi Misalkan X 1, X 2,..., X n adalah sampel random dari populasi dengan fungsi densitas f (x; θ 1, θ 2,..., θ k ). Estimator metode moment didapat dengan menyamarkan k moment sampel pertama pada k moment sampel populasi dan menyelesaikan sistem persamaan simultan yang dihasilkan ( diselesaikan untuk θ 1, θ 2,..., θ k ). Contoh : Misalkan X 1, X 2,..., X n adalah sampel random dari populasi yang berdistibusi Poisson dengan parameter λ. Dengan metode moment tentukan estimator untuk λ. Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33

5 Penyelesaian : X P(λ) Maka fungsi densitasnya f (x θ) = e λ λ x x! E(x) = xe λ λ x x! = λ x 1=0 e λ λ x 1 x 1! = λ, x = 1, 2,... Karena hanya satu parameter yang akan diestimasi maka hanya diperlukan satu pesamaan dan langsung diperolah estimator titiknya. E(X ) = 1 n Xi Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33 Contoh : Misalkan X 1, X 2,..., X n merupakan sampel acak dari sebarang distribusi dengan mean µ dan Variansi σ 2 maka dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa µ = X dan σ 2 = Σn i=1 (X i X n ) 2 n Perhatikan bahwa σ 2 = n 1 n S 2 dimana S 2 adalah sampel varians. Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33

6 Metode Maksimum Likelihood Metode kedua dalam estimasi parameter dari suatu distribusi probabilitas didasarkan pada fungsi likelihood. Sejauh ini metode Maksimum Likelihood adalah metode yang paling populer dalam menghasilkan estimator. untuk mendapatkan metode maksimum likelihood akan di berikan definisi fungsi likelihood sebagai berikut: Definisi Fungsi densitas bersama dari n variable random X 1, X 2,..., X n dengan nilai pengamatan x 1, x 2,..., x n dinotasikan dengan f (x 1, x 2,..., x n ; θ) dan disebut fungsi likelihood. Untuk x 1, x 2,..., x n tetap adalah fungsi dari θ dan dinotasikan dengan L(θ).Jika X 1, X 2,..., X n adalah sampel random dari fungsi densitas f (x 1 ; θ), maka fungsi likelihoodnya adalah: L(θ) = f (x 1 ; θ),..., f (x n ; θ) = Π n n 1 f (x n; θ) Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33 Definisi Misalkan L(θ) = f (x 1 ; θ),..., f (x n ; θ) = Π n n 1 f (x n; θ), θɛω Adalah Fungsi densitas bersama X 1, X 2,..., X n dan bila diberikan himpunan dari pengamatan x 1, x 2,..., x n nilai ˆθ dalam Ω yang memaksimumkan L(θ) disebut penduga maksimum likelihood dari θ. Dalam hal ini ˆθ merupakan nilai dari θ yang memenuhi f (x 1, x 2,..., x n ; ˆθ) = max θɛω f (x 1, x 2,..., x n ; θ) Sesungguhnya ide dasar dari metode maksimum likelihood adalah mencari nilai parameter yang memberi kemungkinan (likelihood) yang paling besar untuk mendapatkan data yang terobservasi sebagai estimator. Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33

7 Langkah Langkah Menentukan Estimator Maksimum Likelihood : 1 Tentukan fungsi likelihood. 2 Bentuk log likelihood. 3 Tentukan turunan dari bentuk log likelihood dan meyamakan turunannya sama dengan nol. 4 Bentuk persamaan likelihood. Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33 Contoh : Misalkan X 1, X 2,..., X n merupakan sampel acak dari distribusi Poisson,X POI (θ) dengan fungsi densitas f (x; θ) = θx e θ X!, x = 1, 2,... Fungsi likelihood L(θ) = Π n i=1 f (x; θ) = θ ni=1 x e θn Π n i=1 X! dan fungsi log likelihood ln L(θ) = n i=1 x i ln θ nθ Π n i=1 X! Persamaan maksimum likelihoodnya adalah θ ln L(θ) = n i=1 x i θ n = 0 yang mempunyai penyelesaian ˆθ = X n Jadi MLE dari θ adalah ˆθ = X n. Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33

8 Contoh : Banyak cacat dalam suatu lini produksi ditemukan mengikuti distribusi Poisson dengan suatu rata-rata? yang tidak diketahui. Dua sampel random diambil dan banyaknya unit-unit yang cacat adalah 10 dan 12. Tentukan estimasi kemungkinan maksimum (MLE) dari µ? Jawab: Probabilitas yang mempunyai x unit dari suatu distribusi Poisson adalah P(x) = µx e µ X!, x = 1, 2,... Probabilitas yang mempunyai 10 dan 12 cacat berturut-turut adalah: P(10) = µ10 e µ 10! dan P(12) = µ12 e µ 12! Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33 Fungsi likelihood l[x, µ] adalah perkalian dari P(10) dan P(12), yaitu: l[x, µ] = µ10 e µ 10! x µ12 e µ 12! = µ22 e 2 µ 10!12! Evaluasi dari persamaan di atas untuk nilai-nilai yang berbeda dari µ dapat disederhanakan dengan mengambil logaritma dari l[x, µ]. Misal L[x, µ] = logl[x, µ] dan logaritma dari fungsi likelihood adalah L[µ] = 22 log µ 2µ log(10!12!) Derivatif dari L[µ] terhadap µ adalah l[µ] µ = 22 µ 2 = 0 Jadi estimasi terbaik dari ˆµ adalah 22 2 = 11 Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33

9 Minggu 2 : Metode Evaluasi Estimator Estimator titik untuk parameter θ melalui pendekatan klasik yaitu metode moment dan metode maksimum likelihood, mungkin diperoleh estimator yang berbeda. Masalahnya sekarang adalah bagimana memilih salah satu estimator terbaik yang memenuhi sifat sifat kebaikan suatu estimator. Dalam presentasi ini akan diperkenalkan patokan dasar untuk mengevaluasi estimator dan meyelidiki kelakuan beberapa estimator terhadap kreteria tertentu. Metode Evaluasi Estimator : 1 Sifat Takbias (Unbias). 2 Sesatan Kuadrat Rata-rata(mean square Error/MSE). 3 Estimator Takbias Terbaik. 4 Konsistensi. Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33 Sifat Takbias (Unbias) Sifat takbias ini merupakan sifat baik dari suatu estimator yang dipeoleh melalui pendekatan klasik, dalam pemilihan estimator terbaik salah satunya harus memenuhi sifat takbias ini. Definisi Sebuah estimator T dikatakan estimator tak bias untuk τ(θ), Jika E(T ) = τ(θ) untuk semua θɛω Jika tidak demikian T dikatakan estimator bias untuk τ(θ). Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33

10 Contoh : Jika X 1, X 2,..., X n merupakan sampel acak dari sebarang distribusi dengan mean µ = E(X i ) dan variansi σ 2 = Var(X i ) maka menurut Teorema X dan S 2 masing-masing adalah estimator tak bias untuk µ dan σ 2 karena E(X ) = µ dan E(S 2 ) = σ 2 Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33 Sesatan Kuadrat Rata-rata(mean square Error/MSE) Definisi kesalahan kuadrat rata-rata (MSE) dari estimator T [x] dari parameter θ adalah fungsi θ yang didifinisikan dengan E θ [T (x) θ] 2. dengan mudah dapat kita lihat bahwa E θ [T (x) θ] 2 = vart (x) + (Bias(T (x))) 2 dengan Bias(T (x)) = E θ T (x) θ Jadi, MSE mempunyai dua komponen, variansi yang mengukur variabilitas estimator ( precision ) dan bias mengukur akuransi dari estimator. jadi untuk estimator takbias kita mempunyai E θ [T (x) θ] 2 = vart (x) Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33

11 Teorema MSE(T ) = Var(T ) + [Bias(T )] 2 Bukti gunakan sebagai latihan: Meskipun banyak estimator takbias yang masuk akal dari pandagan MSE, kita harus berhati hati bahwa pengontrolan bias tika otomatis menjadi pengontrolan bias. Pada khususnya, sering terjadi timbal balik antara variansi dan bias sedemikian hingga sedikit kenaikan bias dapat ditukar dengan penurunan yang lebih besar dari variansi, yag hasilnya dapat diperbaiki pada MSE. Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33 Estimator Takbias Terbaik Pada umumnya, MSE adalah fungsi dari parameter. sehingga tidak ada estimator terbaik untuk θ. Salah satu penyebab adalah MSE dari estimator saling berpotongan yang berati kebaikan dari estimator hanya bersifat lokal. salah satu cara untuk mengatasi tidak adanya estimator terbaik adalah melalui pembatasan pada kelas estimator. salah satu pembatasan yang kita bahas adalah melalui kelas takbias. Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33

12 Definisi Sebuah estimator T dikatakan estimator tak bias dengan variansi minimum secara uniform (uniformly minimum variance unbiased estimator / UMVUE ) untuk τ(θ) jika i. T estimator tak bias untuk τ(θ) dan ii. Untuk sebarang estimator tak bias T untuk τ(θ), Var(T )<Var(T ) untuk semua θɛω Dalam kasus tertentu UMVUE untuk τ(θ) dapat ditemukan dengan menggunakan batas bawah Cramer-Rao (Cramer-Rao lower bound / CRLB). Teorema ( CRLB ) Jika T adalah estimator tak bias untuk τ(θ), maka : Var(T ) ne[ θ [τ (θ)] 2 ] ln f (X ;θ)] Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33 Contoh : Misalkan X 1, X 2,..., X n merupakan sampel acak dari sebarang distribusi eksponensial, X EXP(θ) dan τ(θ) = θ Karena x θ θ ln f (X ; θ) = θ 2 maka dapat ditunjukkan bahwa E[ θ ]2 = 1 θ 2 sehingga CRLB untuk τ(θ) sama dengan θ2 n jelas bahwa X merupakan estimator tak bias untuk τ(θ) = θ Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa Var(X ) = θ2 n Kesimpulannya X merupakan UMVUE untuk τ(θ) Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33

13 Definisi Misalkan T dan T merupakan estimator tak bias untuk τ(θ) Efisisensi relatif dari T terhadap T didefinisikan sebagai re(t, T ) = Var(T ) Var(T ) T dikatakan efisien jika re(t, T ) 1 untuk semua estimator tak bias T untuk τ(θ) dan semua θεω. Jika T adalah estimator efisien untuk τ(θ) Maka efisiensi dari estimator tak bias T untuk τ(θ) didefinisikan sebagai : e(t ) = re(t, T ) Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33 Minggu 3 : Konsistensi Sejauh ini kreteria yang kita bahas adalah kreteria sampel berhingga. sebaliknya konsistensi adalah sifat asimtotis, yaitu mengambarkan sifat astimator bila ukuran sampel menjadi tak berhingga. ini hanya satu dari kreteria yang kita bahas. Konsistensi adalah sifat barisan estimator, bukan dari estimator tunggal walapun biasanya disebut suatu estimator konsisten. Bila kita mengobservasi X 1, X 2,..., X n menurut densitas f (x; θ) kita dapat meng-kontruksi barisan estimator T n = T n (X 1, X 2,..., X n ) dengan melakukan prosedur estimasi yang sama untuk ukuran sampel n. Sebagai contoh x 1 = x 1, x 2 = x 1x 2 2 dan seterusnya. selanjutnya kita dapan mendifinisikan barisan konsisten. Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33

14 Difinisi Barisan estimator T n = T n (X 1, X 2,..., X n ) adalah barisan estimator dikatakan konsisten untuk τ(θ), bila untuk setiap ɛ > 0 dan untuk setiap θɛω lim n P( T n τ(θ) < ɛ) = 1 ekuvalen dengan lim n P( T n τ(θ) > ɛ) = 0 Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33 Difinisi Barisan estimator T n untuk τ(θ) dikatakan MSE konsisten jika lim n E([T n τ(θ)] 2 = 0 untuk setiap θɛω Barisan estimator T n untuk τ(θ) dikatakan tak bias asimtotik jika lim n E([T n ) = τ(θ) untuk setiap θɛω Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33

15 Teorema Bila T n barisan estimator dari parameter θ yang memenuhi : i. lim n var(t n ) = 0 ii. lim n Bias(T n ) = 0. maka T n adalah barisan estimator parameter θ konsisten. Bukti gunakan sebagai latihan Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33 Teorema Bila T n barisan estimator dari parameter θ. misalkan a 1, a 2,... dan b 1, b 2,... barisan konstante yang memenuhi : i. lim n a n = 0 ii. lim n b n = 0. maka barisan U n = a n T n + b n adalah barisan konsisten dari estimator θ. Bukti gunakan sebagai latihan Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33

16 Difinisi Misalkan T n dan T n merupakan estimator tak bias asimtotik untuk τ(θ). Efisisensi relatif asimtotik dari T n dan T n didefinisikan sebagai : are(t, T ) = Var(T ) Var(T ) Barisan T n dikatakan efisien secara asimtotik jika are(t, T ) 1 untuk semua barisan estimator takbias asimtotik T n untuk τ(θ) dan semua θɛω. Jika T n adalah barisan estimator efisien secara asimtotik untuk τ(θ) maka efisiensi asimtotik dari barisan estimator takbias asimtotik T n untuk untuk τ(θ) didefinisikan sebagai ae(t n ) = are(t, T ) Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33 Sifat Sifat Asimtotis dari MLE Dalam keadaan tertentu, dapat ditunjukan bahwa praduga kemungkinan maksimum atau MLE mempunyai sifat sifat yang diinginkan. Secara spesifik, bila syarat syarat reguler tertentu dipenuhi, maka penyelesain likelihood ˆθ n mempunyai sifat sifat sebagai berikut : i. ˆθ n ada dan tunggal ii. ˆθ n estimator kongsiten untuk θ. iii. ˆθ n berdistribusi normal asimtotis dengan mean θ dan variansi log f (x; θ)]2 1 n E[ θ iv. ˆθ n efisien secara asimtotis dalam arti var(ˆθ n ) secara asimtotis dengan CLRB dari θ. Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33

17 Catatan : perhatikan bahwa efisien asimtotis ˆθ n terlihat dari fakta bahwa variansi asimtotis sama dengan CLRB untuk estimator takbias dari θ. jadi untuk n besar secara hampiran ˆθ n N(θ, CLRB) Selanjutnya berdasarkan teorema usefull bila g(θ) fungsi θ dengan derivatif tidak nol, maka g(ˆθ n ) juga berdistribusi normal asimtotis dengan mean g(θ) dan variansi (g (θ)) 2 CLRB. perhatikan juga bahwa variansi asimtotik dari g(ˆθ n ) sama dengan CLRB untuk variansi estimator tak bias dari g(θ) dengan kata lain g(ˆθ n ) juga efisien secara asimtotis Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi / 33

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Bab 4: Metode Evaluasi Estimator Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Penggunaan metode estimasi yang berbeda dapat menghasilkan estimator yang sama maupun berbeda Dari hasil estimator yang berbeda,

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Bab 3: Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Bila sampling berasal dari populasi yang digambarkan melalui fungsi peluang f X (x θ), pengetahuan tentang θ menghasilkan karakteristik mengenai keseluruhan

Lebih terperinci

Setiap karakteristik dari distribusi populasi disebut dengan parameter. Statistik adalah variabel random yang hanya tergantung pada harga observasi

Setiap karakteristik dari distribusi populasi disebut dengan parameter. Statistik adalah variabel random yang hanya tergantung pada harga observasi ESTIMASI TITIK Setiap karakteristik dari distribusi populasi disebut dengan parameter. Statistik adalah variabel random yang hanya tergantung pada harga observasi sampel. Statistik merupakan bentuk dari

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Pengantar Statistika Matematika II Distribusi Sampling Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia March 20, 2017 atinaahdika.com Bila sampling berasal dari populasi yang

Lebih terperinci

DEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI GAMMA

DEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI GAMMA digilib.uns.ac.id DEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI GAMMA oleh ANIS TELAS TANTI M0106003 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Bab 2: Sifat-Sifat Estimator Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Statistik Cukup Dalam kondisi real, kita tidak mengetahui parameter dari populasi data yang akan kita teliti Informasi dalam sampel

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Pegatar Statistika Matematika II Metode Evaluasi Atia Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi Statistika FMIPA Uiversitas Islam Idoesia April 11, 2017 atiaahdika.com Pegguaa metode estimasi yag berbeda dapat meghasilka

Lebih terperinci

ESTIMASI INTERVAL. (INTERVAL ESTIMATION) Minggu ke Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. Universitas Gadjah Mada

ESTIMASI INTERVAL. (INTERVAL ESTIMATION) Minggu ke Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. Universitas Gadjah Mada ESTIMASI INTERVAL (INTERVAL ESTIMATION) Minggu ke 8-10 Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. Universitas Gadjah Mada 2014 Outline 1 Metode Kuantitas Pivotal 2 3 Outline 1 Metode Kuantitas Pivotal 2 3 Outline

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Pengantar a Matematika II - Estimator Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi a FMIPA Universitas Islam Indonesia April 17, 2017 atinaahdika.com Dalam kondisi real, kita tidak mengetahui parameter dari populasi

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA

II. TINJAUAN PUSTAKA II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam proses penelitian untuk mengkaji karakteristik penduga distribusi generalized gamma dengan metode generalized moment ini, penulis menggunakan definisi, teorema dan konsep dasar

Lebih terperinci

ESTIMASI PARAMETER UNTUK DISTRIBUSI HALF LOGISTIK. Jl. A. Yani Km. 36 Banjarbaru, Kalimantan Selatan

ESTIMASI PARAMETER UNTUK DISTRIBUSI HALF LOGISTIK. Jl. A. Yani Km. 36 Banjarbaru, Kalimantan Selatan Jurnal Matematika Murni dan Terapan εpsilon Vol. 07, No.01, 201, Hal. 45 52 ESTIMASI PARAMETER UNTUK DISTRIBUSI HALF LOGISTIK Rizqi Elmuna Hidayah 1, Nur Salam 2 dan Dewi Sri Susanti 1,2, Program Studi

Lebih terperinci

SILABUS MATA KULIAH. : Dapat menganalisis tentang statistika inferensial secara teoritik beserta komponen dan sifat-sifatnya

SILABUS MATA KULIAH. : Dapat menganalisis tentang statistika inferensial secara teoritik beserta komponen dan sifat-sifatnya SILABUS MATA KULIAH Program Studi : Pendidikan Matematika Kode Mata Kuliah : 50603 Mata kuliah : Statistika Matematika Bobot : 3 SKS Semester : V Mata Kuliah Prasyarat : Probabilitas Deskripsi Mata Kuliah

Lebih terperinci

MINGGU KE-11 HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT

MINGGU KE-11 HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT MINGGU KE-11 HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT Misalkan X 1, X 2, X 3... barisan variabel random. Kita tulis S n = n X i. Dalam subbab ini kita akan menjawab pertanyaan

Lebih terperinci

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Daftar Isi 1 Peubah Acak

Lebih terperinci

II.TINJAUAN PUSTAKA. Dalam proses penelitian untuk mengkaji karakteristik pendugaan distribusi

II.TINJAUAN PUSTAKA. Dalam proses penelitian untuk mengkaji karakteristik pendugaan distribusi II.TINJAUAN PUSTAKA Dalam proses penelitian untuk mengkaji karakteristik pendugaan distribusi generalized weibull menggunakan metode generalized momen ini, penulis menggunakan definisi dan konsep dasar

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. menyatakan hubungan antara variabel respon Y dengan variabel-variabel

LANDASAN TEORI. menyatakan hubungan antara variabel respon Y dengan variabel-variabel 5 II. LANDASAN TEORI 2.1 Model Regresi Poisson Analisis regresi merupakan metode statistika yang populer digunakan untuk menyatakan hubungan antara variabel respon Y dengan variabel-variabel prediktor

Lebih terperinci

Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis

Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat diprediksi dengan tepat tetapi kita

Lebih terperinci

ALGORITMA PENENTUAN UKURAN SAMPEL EKSAK UNTUK DISTRIBUSI NORMAL, DISTRIBUSI POISSON DAN DUA DISTRIBUSI BINOMIAL DALAM MODEL KELUARGA EKSPONENSIAL

ALGORITMA PENENTUAN UKURAN SAMPEL EKSAK UNTUK DISTRIBUSI NORMAL, DISTRIBUSI POISSON DAN DUA DISTRIBUSI BINOMIAL DALAM MODEL KELUARGA EKSPONENSIAL ALGORITMA PENENTUAN UKURAN SAMPEL EKSAK UNTUK DISTRIBUSI NORMAL, DISTRIBUSI POISSON DAN DUA DISTRIBUSI BINOMIAL DALAM MODEL KELUARGA EKSPONENSIAL 1) Program Studi Matematika Universitas Ahmad Dahlan dian@math.uad.ac.id

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Dalam menentukan penduga parameter dari distribusi G3F dan karakteristik dari

TINJAUAN PUSTAKA. Dalam menentukan penduga parameter dari distribusi G3F dan karakteristik dari II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam menentukan penduga parameter dari distribusi G3F dan karakteristik dari penduga tersebut, maka dalam hal ini penulis menggunakan beberapa definisi dan teorema yang berkaitan

Lebih terperinci

MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI

MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI Kita telah mengetahui bahwa untuk n besar dan θ kecil sedemikian hingga nθ = λ, distribusi binomial bisa dihampiri oleh distribusi Poisson. Mencari hampiran distribusi

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Dalam mengkaji penelitian Karakteristik Penduga Parameter Distribusi Log

II. TINJAUAN PUSTAKA. Dalam mengkaji penelitian Karakteristik Penduga Parameter Distribusi Log II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam mengkaji penelitian Karakteristik Penduga Parameter Distribusi Log Normal Menggunakan Metode Generalized Moment digunakan beberapa definisi, dan teorema yang berkaitan dengan

Lebih terperinci

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Daftar Isi

Lebih terperinci

Model Poisson. Inferensi likelihood. Andi Kresna Jaya November 19, Jurusan Matematika

Model Poisson. Inferensi likelihood. Andi Kresna Jaya November 19, Jurusan Matematika Review Poisson dengan overdispersi Inferensi likelihood Andi Kresna Jaya andikresna@yahoo.com Jurusan Matematika November 19, 2014 Review Poisson dengan overdispersi Outline 1 Review 2 3 Poisson dengan

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Generalized Eksponensial Menggunakan Metode Generalized Momen digunakan. merupakan penjabaran definisi dan teorema yang digunakan:

TINJAUAN PUSTAKA. Generalized Eksponensial Menggunakan Metode Generalized Momen digunakan. merupakan penjabaran definisi dan teorema yang digunakan: II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam tinjauan pustaka penelitian Karakteristik Penduga Parameter Distribusi Generalized Eksponensial Menggunakan Metode Generalized Momen digunakan beberapa definisi dan teorema yang

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. sewajarnya untuk mempelajari cara bagaimana variabel-variabel itu dapat

BAB I PENDAHULUAN. sewajarnya untuk mempelajari cara bagaimana variabel-variabel itu dapat BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Jika kita mempunyai data yang terdiri dari dua atau lebih variabel maka sewajarnya untuk mempelajari cara bagaimana variabel-variabel itu dapat berhubungan, hubungan

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Bab 3: Estimasi Titik dengan Metode Bayes Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Dalam pendekatan klasik, parameter θ adalah besaran tetap yang tidak diketahui Sampel random X 1, X 2,..., X n diambil

Lebih terperinci

ESTIMASI TOTAL DAYA LISTRIK YANG HILANG MELALUI PROSES POISSON TERPANCUNG MAJEMUK

ESTIMASI TOTAL DAYA LISTRIK YANG HILANG MELALUI PROSES POISSON TERPANCUNG MAJEMUK ESTIMASI TOTAL DAYA LISTRIK YANG HILANG MELALUI PROSES POISSON TERPANCUNG MAJEMUK Adri Arisena 1, Anna Chadidjah 2, Achmad Zanbar Soleh 3 Departemen Statistika Universitas Padjadjaran 1 Departemen Statistika

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. sementara grafik distribusi F tidak simetrik dan umumnya sedikit positif seperti

II. LANDASAN TEORI. sementara grafik distribusi F tidak simetrik dan umumnya sedikit positif seperti 4 II. LANDASAN TEORI 2.1 Distribusi F Distribusi F merupakan salah satu distribusi kontinu. Dengan variabel acak X memenuhi batas X > 0, sehingga luas daerah dibawah kurva sama dengan satu, sementara grafik

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI.1 Peubah Acak dan Distribusinya.1.1 Peubah Acak Definisi.1: Peubah acak adalah suatu fungsi yang menghubungkan sebuah bilangan real dengan setiap unsur di dalam ruang contoh, (Walpole

Lebih terperinci

I. PENDAHULUAN. Perkembangan teori statistika telah mempengaruhi hampir semua aspek. Dalam teori statistika dan peluang, distribusi gamma (

I. PENDAHULUAN. Perkembangan teori statistika telah mempengaruhi hampir semua aspek. Dalam teori statistika dan peluang, distribusi gamma ( I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang dan Masalah Perkembangan teori statistika telah mempengaruhi hampir semua aspek kehidupan. Hal ini disebabkan statistika merupakan salah satu disiplin ilmu yang berperan

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Dalam pembicaraan statistik, jawaban yang diinginkan adalah jawaban untuk ruang lingkup yang lebih luas, yakni populasi. Tetapi objek dari studi ini menggunakan sampel

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. dengan kendala menjadi model penuh tanpa kendala,

II. TINJAUAN PUSTAKA. dengan kendala menjadi model penuh tanpa kendala, 4 II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam penelitian ini akan didiskusikan tentang transformasi model tak penuh dengan kendala menjadi model penuh tanpa kendala, pendugaan parameter, pengujian hipotesis dan selang

Lebih terperinci

Uji Hipotesis dan Aturan Keputusan

Uji Hipotesis dan Aturan Keputusan Uji Hipotesis dan Aturan Keputusan oleh: Khreshna Syuhada, PhD. 1. Pendahuluan Pada perkuliahan tingkat 2, telah dikenalkan masalah uji hipotesis sebagai berikut: Seorang peneliti memberikan klaim bahwa

Lebih terperinci

BAB 3 MODEL ESTIMASI REGRESI NONPARAMETRIK

BAB 3 MODEL ESTIMASI REGRESI NONPARAMETRIK BAB 3 MODEL ESTIMASI REGRESI NONPARAMETRIK Dalam melakukan estimasi pada suatu kasus regresi nonparametrik, ada banyak metode yang dapat digunakan. Yasin (2009) dalam makalahnya melakukan estimasi regresi

Lebih terperinci

III. HASIL DAN PEMBAHASAN

III. HASIL DAN PEMBAHASAN III. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Perumusan Masalah Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen pada interval dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas diasumsikan terintegralkan lokal

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Bab 6: Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Inferensi Statistik Pendahuluan Inferensi Statistik Inferensi statistik adalah metode untuk menarik kesimpulan mengenai suatu populasi. Inferensi statistik

Lebih terperinci

INFERENSI STATISTIK DISTRIBUSI BINOMIAL DENGAN METODE BAYES MENGGUNAKAN PRIOR KONJUGAT. Oleh : ADE CANDRA SISKA NIM: J2E SKRIPSI

INFERENSI STATISTIK DISTRIBUSI BINOMIAL DENGAN METODE BAYES MENGGUNAKAN PRIOR KONJUGAT. Oleh : ADE CANDRA SISKA NIM: J2E SKRIPSI INFERENSI STATISTIK DISTRIBUSI BINOMIAL DENGAN METODE BAYES MENGGUNAKAN PRIOR KONJUGAT Oleh : ADE CANDRA SISKA NIM: J2E 006 002 SKRIPSI Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada

Lebih terperinci

ESTIMASI. Widya Setiafindari

ESTIMASI. Widya Setiafindari ESTIMASI Widya Setiafindari Tujuan Pembelajaran Menjelaskan konsep-konsep dasar yang mendukung pendugaan rata-rata populasi, persentase dan varians Menghitung dugaan-dugaan (estimates) rata-rata populasi

Lebih terperinci

BAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK

BAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK BAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK 3. Perumusan Penduga Misalkan N adalah proses Poisson non-homogen pada interval 0, dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas

Lebih terperinci

Teorema Newman Pearson

Teorema Newman Pearson pengujian terbaik Andi Kresna Jaya andikresna@yahoo.com Jurusan Matematika October 6, 2014 Outline 1 Review 2 Uji dua sisi untuk mean 3 Teorema Neyman-Pearson Back Outline 1 Review 2 Uji dua sisi untuk

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Regresi Linier Sederhana Dalam beberapa masalah terdapat dua atau lebih variabel yang hubungannya tidak dapat dipisahkan karena perubahan nilai suatu variabel tidak selalu terjadi

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Model Linier dengan n pengamatan dan p variable penjelas biasa ditulis sebagai

TINJAUAN PUSTAKA. Model Linier dengan n pengamatan dan p variable penjelas biasa ditulis sebagai II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Model Linear Model Linier dengan n pengamatan dan p variable penjelas biasa ditulis sebagai berikut : Y i = β 0 + X i1 β 1 + X i2 β 2 + + X ip β p +ε i ; i = 1,2,, n bila dirinci

Lebih terperinci

PENAKSIR RATA-RATA DISTRIBUSI EKSPONENSIAL TERPOTONG. Agustinus Simanjuntak ABSTRACT

PENAKSIR RATA-RATA DISTRIBUSI EKSPONENSIAL TERPOTONG. Agustinus Simanjuntak ABSTRACT PENAKSIR RATA-RATA DISTRIBUSI EKSPONENSIAL TERPOTONG Agustinus Simanjuntak Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya Pekanbaru

Lebih terperinci

RENCANA MUTU PEMBELAJARAN

RENCANA MUTU PEMBELAJARAN RENCANA MUTU PEMBELAJARAN Nama Dosen : N. Setyaningsih, MSi. Program Studi : Pendidikan Matematika Kode Mata Kuliah : 504203 Nama Mata Kuliah : Statistika Matematika Jumlah sks : 3 sks Semester : V Alokasi

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA

II. TINJAUAN PUSTAKA II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Distribusi Logistik Distribusi logistik merupakan distribusi yang memiliki fungsi kepekatan peluang kontinu. Bentuk kurva distribusi logistik adalah simetris dan uni modal. Bentuk

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Daftar Isi

Lebih terperinci

ESTIMASI. Arna Fariza PENDAHULUAN

ESTIMASI. Arna Fariza PENDAHULUAN ESTIMASI Arna Fariza PENDAHULUAN MATERI LALU Karena adanya berbagai alasan seperti banyaknya individu dalam populasi amatan, maka penelitian keseluruhan terhadap populasi tersebut tidaklah ekonomis, baik

Lebih terperinci

I. PENDAHULUAN. merangkum, dan mempresentasikan data dengan cara informatif. Sedangkan

I. PENDAHULUAN. merangkum, dan mempresentasikan data dengan cara informatif. Sedangkan I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Statistika merupakan ilmu tentang pengumpulan, pengaturan, analisis, dan pendugaan data untuk membantu proses pengambilan keputusan secara lebih efisien. Ilmu statistika

Lebih terperinci

STATISTIKA MATEMATIKA

STATISTIKA MATEMATIKA STATISTIKA MATEMATIKA Penulis: Prof. Subanar, Ph.D Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2013 Hak Cipta 2013 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau

Lebih terperinci

BAB VII DISTRIBUSI LIMIT

BAB VII DISTRIBUSI LIMIT BAB VII DISTRIBUSI LIMIT 7.1 PENDAHULUAN Di bab 6 telah dibahas metode umum untuk mendapatkan fungsi sebuah distribusi dari variabel acak yaitu. Pada beberapa kejadian, pdf dari dapat dicari dengan mudah.

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. landasan pembahasan pada bab selanjutnya. Pengertian-pengertian dasar yang di

BAB II LANDASAN TEORI. landasan pembahasan pada bab selanjutnya. Pengertian-pengertian dasar yang di 5 BAB II LANDASAN TEORI Bab ini membahas pengertian-pengertian dasar yang digunakan sebagai landasan pembahasan pada bab selanjutnya. Pengertian-pengertian dasar yang di bahas adalah sebagai berikut: A.

Lebih terperinci

PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI BETA DENGAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD

PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI BETA DENGAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 2 Hal. 23 28 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI BETA DENGAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD FEBY RIDIANI Program

Lebih terperinci

PENAKSIR MAKSIMUM LIKELIHOOD DENGAN METODE ITERASI NEWTON - RAPHSON

PENAKSIR MAKSIMUM LIKELIHOOD DENGAN METODE ITERASI NEWTON - RAPHSON PENAKSIR MAKSIMUM LIKELIHOOD DENGAN METODE ITERASI NEWTON - RAPHSON Haposan Sirait 1 dan Rustam Efendi 2 1,2 Dosen Program Studi Matematika FMIPA Universitas Riau. Abstrak: Makalah ini menyajikan tentang

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI DAN KAJIAN PUSTAKA

BAB 2 LANDASAN TEORI DAN KAJIAN PUSTAKA BAB 2 LANDASAN TEORI DAN KAJIAN PUSTAKA 2.1 Estimasi Bayes Definisi 1 Estimasi Bayes yang paling mungkin dari suatu nilai kebenaran θ 0 yang tidak diketahui pada parameter θ adalah nila ˆθ yang meminimumkan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Daftar Isi

Lebih terperinci

STATISTIKA UNIPA SURABAYA

STATISTIKA UNIPA SURABAYA MATEMATIKA STATISTIKA (MATHEMATICAL STATISTICS) GANGGA ANURAGA Materi : Distribusi variabel random Teori Himpunan Fungsi Himpunan Fungsi Himpunan Peluang Variabel Random Fungsi Kepadatan Peluang Fungsi

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Menurut Usman dan Warsono (2000) bentuk model linear umum adalah :

TINJAUAN PUSTAKA. Menurut Usman dan Warsono (2000) bentuk model linear umum adalah : II. TINJAUAN PUSTAKA. Model Linear Umum Menurut Usman dan Warsono () bentuk model linear umum adalah : Y = Xβ + ε dengan : Y n x adalah vektor peubah acak yang teramati. X n x p adalah matriks nxp dengan

Lebih terperinci

MINGGU KE-8 HARGA HARAPAN DAN BEBERAPA KETAKSAMAAN DALA

MINGGU KE-8 HARGA HARAPAN DAN BEBERAPA KETAKSAMAAN DALA MINGGU KE-8 HARGA HARAPAN DAN BEBERAPA KETAKSAMAAN DALAM STATISTIKA HARGA HARAPAN Definisi Misalkan X variabel random. Bila X variabel random kontinu dengan f.k.p. f (x) dan maka harga harapan X adalah

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Pengantar Statistika Matematika II Estimasi Titik dengan Metode Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia May 9, 2017 atinaahdika.com Dalam pendekatan klasik, parameter

Lebih terperinci

MODUL TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR

MODUL TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR MODUL 9 TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR. Pendahuluan Untuk menginginkan mengumpulkan populasi kita lakukan dengan statistik berdasarkan data yang diambil secara sampling yang

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Dalam statistika, sebuah penaksir adalah sebuah fungsi dari sample data

BAB I PENDAHULUAN. Dalam statistika, sebuah penaksir adalah sebuah fungsi dari sample data BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Dalam statistika, sebuah penaksir adalah sebuah fungsi dari sample data observasi yang digunakan untuk menaksir parameter populasi yang tidak diketahui. Ada

Lebih terperinci

BAB IV MODEL HIDDEN MARKOV

BAB IV MODEL HIDDEN MARKOV BAB IV MODEL HIDDEN MARKOV 4.1 State dan Proses Observasi Semua proses didefinisikan pada ruang peluang (Ω, F, P). Misalnya X = {X : k N} adalah rantai Markov dengan state berhingga yang bersifat homogen

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pemodelan persamaan struktural (Structural Equation Modeling, SEM) adalah

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pemodelan persamaan struktural (Structural Equation Modeling, SEM) adalah II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Structural Equation Modeling (SEM) Pemodelan persamaan struktural (Structural Equation Modeling, SEM) adalah salah satu teknik peubah ganda yang dapat menganalisis secara simultan

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang 1 \ BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Informasi-informasi faktual yang diperoleh berdasarkan hasil observasi maupun penelitian sangatlah beragam. Informasi yang dirangkum sedemikian rupa disebut dengan

Lebih terperinci

The Central Limit Theorem

The Central Limit Theorem Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII March 30, 2015 Sifat-Sifat Distribusi Sampel Sifat-sifat dari distribusi sampel tersebut dikenal dengan Central Limit Theorem 1. Bentuk distribusi dari rata-rata sampel

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Dalam proses penelitian untuk mengkaji karakteristik penduga GMM pada data

II. TINJAUAN PUSTAKA. Dalam proses penelitian untuk mengkaji karakteristik penduga GMM pada data 5 II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam proses penelitian untuk mengkaji karakteristik penduga GMM pada data panel ini, penulis menggunakan definisi, teorema dan konsep dasar yang berkaitan dengan pendugaan parameter,

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA

II. TINJAUAN PUSTAKA II. TINJAUAN PUSTAKA. Pendahuluan Uji perbandingan dua distribusi merupakan suatu tekhnik analisis ang dilakukan untuk mencari nilai parameter ang baik diantara dua distribusi. Tekhnik uji perbandingan

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. 2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika dengan. 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang

II. LANDASAN TEORI. 2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika dengan. 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang II. LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan sering kali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan

Lebih terperinci

INFERENSI PARAMETER MEAN POPULASI NORMAL DENGAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF

INFERENSI PARAMETER MEAN POPULASI NORMAL DENGAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF INFERENSI PARAMETER MEAN POPULASI NORMAL DENGAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF Adi Setiawan Program Studi Matematika Industri dan Statistika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Himpunan Fuzzy Tidak semua himpunan yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari terdefinisi secara jelas, misalnya himpunan orang miskin, himpunan orang pandai, himpunan orang tinggi,

Lebih terperinci

Medan, Juli Penulis

Medan, Juli Penulis 9. Seluruh teman-teman seperjuangan di Ekstensi Matematika Statistika, dan semua pihak yang turut membantu menyelesaikan skripsi ini. Sepenuhnya penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini masih

Lebih terperinci

MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: Distribusi Samp

MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: Distribusi Samp MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: We love Statistics Pengantar Parameter adalah... ...suatu karakteristik dari populasi. Statistik adalah... ...suatu karakteristik dari sampel. Statistik adalah fungsi

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Ruang sampel S adalah himpunan semua hasil dari suatu percobaan. Kejadian E

II. TINJAUAN PUSTAKA. Ruang sampel S adalah himpunan semua hasil dari suatu percobaan. Kejadian E 5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Peluang Ruang sampel S adalah himpunan semua hasil dari suatu percobaan. Kejadian E adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Peluang suatu kejadian P(E) adalah

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2. Pengertian Distribusi Eksponensial Distribusi eksponensial adalah distribusi yang paling penting dan paling sederhana kegagalan mesin penghitung otomatis dan kegagalan komponen

Lebih terperinci

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dibahas tinjauan pustaka yang akan digunakan untuk tesis ini, yang selanjutnya akan diperlukan pada bab 3. Yang akan dibahas dalam bab ini adalah metode bootstrap

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan beberapa definisi sebagai landasan dalam penelitian ini. Konsep dasar ini berkaitan dengan masalah yang dibahas dalam

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA

II. TINJAUAN PUSTAKA II. INJAUAN PUSAKA.1 Penduga Area Kecil Rao (003) mengemukakan bahwa suatu area disebut kecil apabila contoh yang diambil pada area tersebut tidak mencukupi untuk melakukan pendugaan langsung dengan hasil

Lebih terperinci

KONSISTENSI ESTIMATOR

KONSISTENSI ESTIMATOR KONSISTENSI ESTIMATOR TUGAS STATISTIKA MATEMATIKA II Oleh 1. Wahyu Nikmatus S. (121810101010) 2. Vivie Aisyafi F. (121810101050) 3. Rere Figurani A. (121810101052) 4. Dwindah Setiari W. (121810101054)

Lebih terperinci

PENDAHULUAN LANDASAN TEORI

PENDAHULUAN LANDASAN TEORI 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan yang dapat dimodelkan dengan proses stokastik. Proses stokastik dapat dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu

Lebih terperinci

KEKONVERGENAN MSE PENDUGA KERNEL SERAGAM FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT

KEKONVERGENAN MSE PENDUGA KERNEL SERAGAM FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT KEKONVERGENAN MSE PENDUGA KERNEL SERAGAM FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT Ro fah Nur Rachmawati Mathematics & Statistics Department, School of Computer Science, Binus

Lebih terperinci

PENARIKAN SAMPEL & PENDUGAAN PARAMETER

PENARIKAN SAMPEL & PENDUGAAN PARAMETER PENARIKAN SAMPEL & PENDUGAAN PARAMETER Arti Penarikan Sampel Populasi ( Universe) adalah totalitas dari semua objek atau individu yang memiliki karakteristik tertentu, jelas dan lengkap yang akan diteliti

Lebih terperinci

Pendugaan Parameter. Ayundyah Kesumawati. April 13, Prodi Statistika FMIPA-UII. Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, / 30

Pendugaan Parameter. Ayundyah Kesumawati. April 13, Prodi Statistika FMIPA-UII. Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, / 30 Pendugaan Parameter Ayundyah Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII April 13, 2015 Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 1 / 30 Pendugaan 1 Proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga

Lebih terperinci

PENAKSIR RASIO UNTUK VARIANSI POPULASI MENGGUNAKAN KOEFISIEN VARIASI DAN KURTOSIS PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA

PENAKSIR RASIO UNTUK VARIANSI POPULASI MENGGUNAKAN KOEFISIEN VARIASI DAN KURTOSIS PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA PENAKSIR RASIO UNTUK VARIANSI POPULASI MENGGUNAKAN KOEFISIEN VARIASI DAN KURTOSIS PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA Erpan Gusnawan 1, Arisman Adnan 2, Haposan Sirait 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Dalam proses penelitian pendugaan parameter dari suatu distribusi diperlukan

LANDASAN TEORI. Dalam proses penelitian pendugaan parameter dari suatu distribusi diperlukan II. LANDASAN TEORI Dalam proses penelitian pendugaan parameter dari suatu distribusi diperlukan beberapa konsep dan teori yang mendukung dari ilmu statistika. Berikut akan dijelaskan beberapa konsep dan

Lebih terperinci

Sampling, Estimasi dan Uji Hipotesis

Sampling, Estimasi dan Uji Hipotesis Sampling, Estimasi dan Uji Hipotesis Tujuan Pembelajaran Memahami perlunya suatu sampling (pengambilan sampel) serta keuntungan- keuntungan melakukannya Menjelaskan pengertian sampel acak untuk sampling

Lebih terperinci

PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI INVERS MAXWELL UKURAN BIAS SAMPEL MENGGUNAKAN METODE BAYESIAN. Rince Adrianti 1, Haposan Sirait 2 ABSTRACT ABSTRAK

PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI INVERS MAXWELL UKURAN BIAS SAMPEL MENGGUNAKAN METODE BAYESIAN. Rince Adrianti 1, Haposan Sirait 2 ABSTRACT ABSTRAK PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI INVERS MAXWELL UKURAN BIAS SAMPEL MENGGUNAKAN METODE BAYESIAN Rince Adrianti, Haposan Sirait Mahasiswa Program Studi S Matematika Dosen Matematika, Jurusan Matematika Fakultas

Lebih terperinci

MODEL LAJU PERUBAHAN NILAI TUKAR RUPIAH (IDR) TERHADAP POUNDSTERLING (GBP) DENGAN METODE MARKOV SWITCHING AUTOREGRESSIVE (MSAR)

MODEL LAJU PERUBAHAN NILAI TUKAR RUPIAH (IDR) TERHADAP POUNDSTERLING (GBP) DENGAN METODE MARKOV SWITCHING AUTOREGRESSIVE (MSAR) Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 3 Hal. 56 64 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND MODEL LAJU PERUBAHAN NILAI TUKAR RUPIAH (IDR) TERHADAP POUNDSTERLING (GBP) DENGAN METODE MARKOV SWITCHING

Lebih terperinci

Algoritma Expectation-Maximization(EM) Untuk Estimasi Distribusi Mixture

Algoritma Expectation-Maximization(EM) Untuk Estimasi Distribusi Mixture Vol. 4, No., Oktober 04 Algoritma Expectation-Maximization(EM) Untuk Estimasi Distribusi Mixture Tomy Angga Kusuma ), Suparman ) ) Program Studi Matematika FMIPA UAD ) Program Studi Pend. Matematika UAD

Lebih terperinci

Randy Toleka Ririhena, Nur Salam * dan Dewi Sri Susanti Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat ABSTRACT

Randy Toleka Ririhena, Nur Salam * dan Dewi Sri Susanti Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat ABSTRACT PERKIRAAN SELANG KEPERCAYAAN UNTUK NILAI RATA-RATA PADA DISTRIBUSI POISSON Randy Toleka Ririhena, Nur Salam * dan Dewi Sri Susanti Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat *email:

Lebih terperinci

(ESTIMASI/ PENAKSIRAN)

(ESTIMASI/ PENAKSIRAN) ESTIMASI PENDAHULUAN Karena adanya berbagai alasan seperti banyaknya individu dalam populasi amatan, maka penelitian keseluruhan terhadap populasi tersebut tidaklah ekonomis, baik tenaga, waktu, maupun

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. ruang sampel dan dilambangkan dengan huruf S. Ruang sampel beranggotakan

TINJAUAN PUSTAKA. ruang sampel dan dilambangkan dengan huruf S. Ruang sampel beranggotakan II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Percobaan dan Ruang Sampel Menurut Walpole (1995), istilah percobaan digunakan untuk sembarang proses yang dapat membangkitkan data. Himpunan semua hasil suatu percobaan disebut

Lebih terperinci

DIKTAT KULIAH STATISTIKA MATEMATIKA I

DIKTAT KULIAH STATISTIKA MATEMATIKA I DIKTAT KULIAH STATISTIKA MATEMATIKA I Disusun Oleh Dr.rer.nat. Wayan Somayasa, S.Si., M.Si. FMIPA UNHALU-KENDARI KENDARI 2008 Table of Contents Table of Contents 1 1 Statistik dan distribusi sampling 3

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Bab 1: a FMIPA Universitas Islam Indonesia Parameter adalah karakteristik dari populasi (misal θ) adalah karakteristik dari sampel Akan dibahas konsep statistik dan distribusi sampling Parameter Misalkan

Lebih terperinci

4. Mahasiswa mampu melakukan estimasi parameter, melakukan uji hipotesis statistic serta estimasi interval. Diskripsi Singkat MK

4. Mahasiswa mampu melakukan estimasi parameter, melakukan uji hipotesis statistic serta estimasi interval. Diskripsi Singkat MK INSTITUT TEKNOLOGI KALIMANTAN JURUSAN MATEMATIKA DAN TEKNOLOGI INFORMASI PROGRAM STUDI MATEMATIKA RENCANA PEMBELAJARAN MATA KULIAH KODE Rumpun MK BOBOT (sks) SEMESTER Tgl Penyusunan Matematika Statistika

Lebih terperinci

BAB 8 DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT

BAB 8 DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT BAB 8 DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT A. Peluang Peluang atau yang sering disebut sebagai probabilitas dapat dipandang sebagai cara untuk mengungkapkan ukuran ketidakpastian/ ketidakyakinan/ kemungkinan suatu

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN

BAB III METODE PENELITIAN digilib.uns.ac.id BAB III METODE PENELITIAN Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian pustaka dari buku referensi karya ilmiah. Karya ilmiah yang digunakan adalah hasil penelitian serta

Lebih terperinci

Distribusi Diskrit dan Kontinu yang Penting. Oleh Azimmatul Ihwah

Distribusi Diskrit dan Kontinu yang Penting. Oleh Azimmatul Ihwah Distribusi Diskrit dan Kontinu yang Penting Oleh Azimmatul Ihwah Distribusi Diskrit Fungsi probabilitas dari variabel random diskrit dapat dinyatakan dalam formula matematik tertentu yang dinamakan fungsi

Lebih terperinci

Penaksiran Mean Stratum pada Sampling Acak Stratifikasi dengan Menggunakan Metode Empirical Bayes

Penaksiran Mean Stratum pada Sampling Acak Stratifikasi dengan Menggunakan Metode Empirical Bayes Penaksiran Mean Stratum pada Sampling Acak Stratifikasi dengan Menggunakan Metode Empirical Baes Sisca Agnessia Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 6 sisca.agnessia@ahoo.com Abstrak Dalam

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. (b) Variabel independen yang biasanya dinyatakan dengan simbol

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. (b) Variabel independen yang biasanya dinyatakan dengan simbol BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Regresi Regresi adalah suatu studi statistik untuk menjelaskan hubungan dua variabel atau lebih yang dinyatakan dalam bentuk persamaan. Salah satu variabel merupakan variabel

Lebih terperinci

MENAKSIR PARAMETER µ DARI N( µ, ) DENGAN METODE BAYES

MENAKSIR PARAMETER µ DARI N( µ, ) DENGAN METODE BAYES MENAKSIR PARAMETER µ DARI N( µ, ) DENGAN METODE BAYES Hartayuni Saini 1 1 Jurusan Matematika, FMIPA-UNTAD. e-mail: yunh3_chendist@yahoo.co.id Abstrak Untuk menaksir nilai µ dari N(µ, ) umumnya digunakan

Lebih terperinci