SIFAT-SIFAT BI- -IDEAL PADA -SEMIGRUP Romi Setiawardi 1, Y.D. Sumanto 2, Suryoto 3

Transkripsi

1 SIFAT-SIFAT BI- -IDEAL PADA -SEIGRUP Romi Setiawardi 1, Y.D. Sumanto 2, Suryoto 3 1,2,3 Program Studi atematika Jurusan atemetika FS UNDIP romisetiawardi@gmail.com ABSTRAK. Suatu -semigrup merupakan generalisasi dari semigrup. Diberikan dua himpunan tak kosong dan, disebut -semigrup jika terdapat pemetaan yaitu ( a,, b) a b dan memenuhi ( a b ) µc a ( bµc) untuk setiap a, b, c dan, µ. Sub -semigrup B dari -semigrup disebut bi- -ideal dari jika B B B. Jika adalah -semigrup dengan elemen nol, maka setiap bi- -ideal dari memuat elemen nol. -semigrup merupakan bi-simple- -semigrup jika dan hanya jika m m untuk semua m. Bi- -ideal B dari -semigrup merupakan minimal bi- -ideal dari jika dan hanya jika B merupakan bi-simple- -semigrup. Kata kunci : -semigrup, bi- -ideal, elemen nol, minimal bi- -ideal, bi-simple- -semigrup I. PENDAHULUAN Semigrup pertama kali diperkenalkan oleh A.K. Suchkewitsch pada tahun Himpunan tak kosong dengan satu operasi biner yang memenuhi sifat asosiatif membentuk suatu struktur aljabar yang disebut semigrup. Pada tahun 1952 R.A.Good dan D.R.Hughes memperkenalkan konsep bi-ideal pada semigrup. isalkan S adalah semigrup dan B adalah subsemigrup dari S, maka B disebut bi-ideal dari S jika BSB B. Pada tahun 1981,.K. Sen memperkenalkan konsep -semigrup yang merupakan pengembangan dari semigrup. yaitu diberikan dua himpunan tak kosong dan, disebut -semigrup jika terdapat pemetaan S S S, didefinisikan dengan ( a,, b) a b yang memenuhi a b S dan a b ( µc) = a ( bµc) untuk semua a, b, c S dan, µ. Pada semigrup terdapat bi-ideal semigrup. Pada -semigrup juga terdapat konsep bi-ideal yaitu bi- -ideal pada -semigrup. Suaru himpunan tak kosong Q dari -semigrup disebut quasi- -ideal dari jika Q Q Q Dalam paper ini akan dibahas mengenai bahwa setiap -ideal pada -semigrup merupakan quasi- -ideal pada -semigrup tersebut, setiap quasi- -ideal pada -semigrup juga merupakan bi- ideal pada -semigrup tersebut serta setiap -ideal pada -semigrup juga merupakan bi- -ideal pada

2 -semigrup tersebut. Selain itu juga akan dibahas mengenai bi-simple- -semigup dan minimal bi- -ideal dari -semigrup. II. HASIL DAN PEBAHASAN Dalam bab ini akan membahas mengenai -semigrup dan bi- -ideal dan sifat-sifatnya semigrup Definisi 2.1. [9] Diberikan dua himpunan tak kosong dan. Himpunan disebut -semigrup jika terdapat pemetaan yang didefinisikan dengan ( a,, b) a b dan memenuhi ( a b ) µc = a ( bµc) untuk setiap a, b, c dan, µ. a b Contoh 2.1 isalkan = a, b, c, d 2 dan c d x 0 = x, y 2 dengan 2 adalah himpunan bilangan bulat modulo 2. 0 y Diberikan pemetaan yang didefinisikan dengan C C C untuk setiap C1, C2 dan. Untuk setiap 1,, C2 1 2 C1, C2, C3 dan, µ berlaku C1 C2 dan ( C1 C 2) µc3= C 1 ( C 2 µc 3 ). Sehingga adalah -semigrup. Contoh 2.2 isalkan (S,*) adalah sebarang semigrup dan adalah sebarang himpunan tak kosong. Diberikan pemetaan S S S yang didefinisikan dengan a,, b a b = a*b untuk setiap a, b S. Karena (S,*) adalah semigrup maka a* b S dan ( a* b)* c a*( b* c). Lalu pemetaan a b a* b S dan ( a b ) µc = ( a* b)* c = a*( b* c ) = a ( bµc) untuk setiap a, b, c S dan, µ. Sehingga (S,*) adalah -semigrup. Definisi 2.2. [3] isalkan adalah -semigrup. Sebuah elemen 0 yang mengakibatkan 0 a a0 = 0 untuk setiap a dan disebut elemen nol dari. Suatu -semigrup memuat elemen nol. disebut -semigrup dengan elemen nol jika

3 Definisi 2.3. [9] isalkan adalah -semigrup dan K adalah himpunan tak kosong dengan K, K disebut sub -semigrup dari jika K K dengan K K =x y x, y K dan. 1 Contoh 2.3 Diberikan = [0,1] dan 2 n. Diberikan pemetaan n yang didefinisikan dengan,, K x y x y untuk setiap x, y dan. Untuk setiap x, y, z dan, µ berlaku x y dan ( x y ) µz = x ( yµz). Sehingga adalah -semigrup. isalkan K = 1 0, 4. Untuk setiap a, b K dan maka a b K. Dengan demikian 1 K K 0, K 16. Jadi, K adalah sub -smigrup dari. Definisi 2.4. [9] Himpunan bagian tak kosong I dari -semigrup disebut -ideal dari jika I I dan I I. Definisi 2.5. [4] Himpunan bagian tak kosong Q dari -semigrup disebut quasi- -ideal dari jika Q Q Contoh 2.4 Diberikan Q. -semigrup seperti pada Contoh 2.1 yaitu a b = a, b, c, d 2 c d dan = x 0 x, y 0 y 2 dengan 2 adalah himpunan bilangan bulat modulo 2. Diberikan pemetaan yang didefinisikan dengan C,, C C C untuk setiap C1, C2 dan p 0 axp 0 isalkan Q = p 2 maka Q = axp, cxp 2 dan 0 0 cxp 0 pxa pxb Q = pxa, pxb 2.Sehingga 0 0 axp 0 Q Q = axp 2 Q Jadi Q adalah quasi- -ideal dari

4 Teorema 2.6. [9] isalkan adalah -semigrup. Setiap -ideal kiri, -ideal kanan dan -ideal dari merupakan quasi- -ideal dari. isalkan L adalah -ideal kiri dari maka L L L L L. Didapat L L L. Kemudian L, sehingga L adalah quasi- -ideal dari. isalkan R adalah -ideal kanan dari R R. Kemudian R R R R R maka R. Didapat R, sehingga R adalah quasi- -ideal dari. isalkan I adalah -ideal dari maka I I dan I I. Kemudian I I I I I I I. Didapat I I sehingga I adalah quasi- -ideal dari. I, Kebalikan dari teorema ini tidak berlaku, karena terdapat quasi- -ideal yang bukan -ideal kiri. Untuk memperjelas hal tersebut akan diberikan contoh sebgai berikut. Contoh 2.5 Diberikan quasi- -ideal Q seperti pada Contoh 2.4. isalkan 1 1 C 1 1, dan 1 0 T Q 0 0 Dengan demikian Q Q, sehingga Q bukan ideal kiri dari. maka C T = 1 0 Q Bi- -ideal dan sifat-sifatnya Definisi 2.7 [5] isalkan adalah -semigrup dan B adalah sub -semigrup dari. Sub -semigrup B disebut bi- -ideal dari jika B B B, yaitu untuk setiap a, c B, b dan, µ maka a b µc B. Contoh 2.6 Diberikan sub -semigrup seperti pada Contoh 2.3 dengan = [0,1] dan 1 2 n. Diberikan pemetaan yang didefinisikan n dengan,, x y x y untuk setiap x, y dan. isalkan 1 1 K = 0, 4. isal diambil sebarang a, c K, b, dan 2 p

5 1 abc µ berlaku ( a b ) µc = q 2 p 2 q 2 Jadi, K adalah bi- -ideal dari. sehingga K K = 1 0, 16 K. Teorema 2.8 [9] Jika -semigrup memuat elemen nol dari maka setiap bi- -ideal dari memuat elemen nol dari. Diberikan adalah -semigrup yang memuat elemen nol x dari sedemikian sehingga x y = y x = x, untuk setiap y dan. Andaikan B adalah bi - -ideal yang tidak memuat elemen nol x dari ( x B ) maka untuk setiap a, c B, b dan, µ berlaku a b µc B. Untuk x maka a x µc = xµc = x, karena x adalah elemen nol dari. Terjadi kontradiksi yaitu a x µc = x B. Berarti pengandaian salah. Yang benar B adalah bi- -ideal yang memuat elemen nol dari. Teorema 2.9 [5] isalkan A adalah himpunan bagian tak kosong dari -semigrup dan A b merupakan bi- -ideal terkecil yang memuat A. aka ( A ) b = A A A A A. Selanjutnya ( A ) b merupakan bi- -ideal dari yang dibangun oleh A. isalkan B = A A A A A maka A B. Kemudian B B =( A A A A A ) ( A A A A A ) A A A A B. Sehingga B adalah sub -semigrup. Selanjutnya, B B = ( A A A A A ) ( A A A A A ) A A B. Jadi, B adalah bi- -ideal dari. isalkan C adalah bi- -ideal dari yang memuat A sehingga C adalah sub -semigrup dari danc C C. Karena C adalah sub -semigrup dari dan A C, maka A A C. Karena C adalah bi- -ideal dari dan A C, maka A A C. Oleh karena itu A A A A A C. Sehingga B C. Dengan demikian B = (A) b = A A A A A adalah bi- -ideal terkecil dari yang memuat A.

6 Contoh 2.7 Diberikan -semigrup seperti pada Contoh 2.3 dengan 1 = [0,1] dan 2 n. Diberikan pemetaan n yang didefinisikan dengan,, x, y dan. isalkan A = 1, A A =,,,..., n 16n x y x y untuk setiap. Kemudian didapat 1 A A = 0, 16. Sehingga bi- -ideal dari yang dibangun dari A adalah A b = A A A A A = 1, , 16. Teorema 2.10 [1] Diberikan -semigrup. Setiap quasi- -ideal dari juga merupakan bi- -ideal dari. isalkan adalah -semigrup dan Q adalah quasi- -ideal dari, maka Q dan Q Q Q Q Q. = Q Q Q Q Q Q = Q Q Q Q Q, Karena Q Q Q, maka Q adalah bi- -ideal dari. Kebalikan dari teorema ini tidak berlaku karena terdapat bi- -ideal yang bukan merupakan quasi- -ideal. Untuk memperjelas hal tersebut akan diberikan contoh sebgai berikut. Contoh 2.8 Diberikan b dan A = 1, , 16 adalah bi- -ideal dari -semigrup seperti pada Contoh 2.7 dengan = [0,1] dan

7 1 2 n. Diberikan pemetaan yang didefinisikan n dengan x,, y x y untuk setiap x, y dan. Kemudian didapat A A b b 1 = 0, 4 1 A b = 0, 4 quasi- -ideal dari -semigup dan A b 1 = 0, 4 A b. Jadi b sehingga A bukan merupakan Teorema 2.11 [9] Diberikan adalah -semigrup. Setiap -ideal kiri atau -ideal kanan atau -ideal (kiri dan kanan) adalah bi- -ideal dari. isalkan adalah -semigrup dan L adalah -ideal kiri dari, maka L dan L L L L. Kemudian = L L L L L, karena L L L L, karena L adalah -ideal kiri dari L, L adalah -ideal kiri dari. Karena diperoleh L L L, maka L adalah bi- -ideal dari. Dengan cara yang sama akan diperoleh setiap -ideal kanan atau -ideal adalah bi- -ideal dari. Kebalikan dari teorema ini tidak berlaku karena terdapat bi- -ideal yang bukan merupakan -ideal. Untuk memperjelas hal tersebut akan diberikan contoh sebgai berikut. Contoh 2.9 Diberikan b A = 1, , 16 adalah bi- -ideal dari -semigrup seperti pada Contoh 2.7 dengan = [0,1] dan 1 2 n. Diberikan pemetaan yang didefinisikan n

8 dengan x,, y x y untuk setiap x, y dan. Kemudian didapat A b 1 = 0, 4 A. Jadi, b b A bukan -ideal kanan dari. Definisi 2.12 [5] isalkan adalah -semigrup, disebut bi-simple- -semigrup jika tidak ada C sedemikian sehingga C adalah bi- -ideal dari. Kalaupun ada C sedemikian sehingga C adalah bi- -ideal dari maka C =. Teorema 2.13 [5] isalkan adalah -semigrup, maka merupakan bi-simple- -semigrup jika dan hanya jika = m m untuk m. ( ) Diketahui adalah bi-simple- -semigrup. isalkan m, maka m m adalah bi- -ideal dari karena m m adalah sub- -semigrup dari damn memenuhi ( m m) ( m m) ( m m). Karena adalah bi-simple- -semigrup serta m m dengan m m adalah bi- -ideal dari, maka dari Definisi 2.11 didapat = m m. ( ) Diketahui = ( m m). isalkan B adalah bi- -ideal dari, maka B. isalkan b B, maka b karena B, sehingga =b b B B B. Diperoleh B. karena B dan B mengakibatkan B =, maka adalah bi-simple- -semigrup. Definisi 2.14 [5] Diberikan adalah -semigrup dan B adalah bi- -ideal dari, B disebut minimal bi- -ideal dari jika tidak ada C B sedemikian sehingga C adalah bi- -ideal dari. Kalaupun ada C B di mana C adalah bi- -ideal dari maka C = B. Teorema 2.15 [5] Diberikan adalah -semigrup dan B adalah bi- -ideal dari, maka B merupakan minimal bi- -ideal dari jika dan hanya jika B adalah bi-simple- -semigrup.

9 ( ) Diketahui B adalah minimal bi- -ideal dari. isalkan C adalah bi- -ideal dari B, maka C B,C dan C B C C B. Selanjutnya C B C adalah bi- -ideal dari karena C B C merupakan sub -semigrup dari dan memenuhi ( C B C) ( C B C) ( C B C). Karena B adalah minimal bi- -ideal dari dan diperoleh C B C B adalah bi- -ideal dari, maka dari Definisi 2.14 diperoleh C B C = B. Diketahui C B dan diperoleh B C B C bi- -ideal dari B dan didapat C ( ) C maka mengakibatkan C B. Karena C B adalah B maka B adalah bi-simple- -semigrup. Diketahui B adalah bi-simple- -semigrup. isalkan C adalah bi- -ideal dari sedemikian sehingga C B, maka C B C C C C. Didapat C adalah bi- -ideal dari B karena C adalah sub -semigrup dari B serta C B C C. Diketahui B adalah bi-simple- -semigrup dan diperoleh C adalah bi- -ideal dari B dengan C B, maka dari Definisi 2.12 didapat C = B. Sehingga B adalah minimal bi- -ideal dari. III. KESIPULAN Dari pembahasan yang disajikan sebelumnya. Dapat disimpulkan misal diberikan dua himpunan tak kosong dan, disebut -semigrup jika terdapat pemetaan yang didefinisikan dengan ( a,, b) dan memenuhi ( a b ) µc a ( bµc) untuk setiap a, b, c dan, µ. Setiap sub -semigrup B dari -semigrup disebut bi- -ideal dari jika memenuhi B B B. Setiap -ideal kiri atau -ideal kanan atau -ideal merupakan quasi- -ideal. Setiap quasi- -ideal merupakan bi- -ideal. Akibat dari hal ini setiap -ideal kiri atau -ideal kanan atau -ideal merupakan bi- -ideal. Suatu -semigrup merupakan bi-simple- -semigrup jika adalah satusatunya bi- -ideal dari. Suatu -semigrup merupakan a b

10 bi-simple- -semigrup jika dan hanya jika m m. Suatu bi- -ideal B dari -semigrup merupakan minimal bi- -ideal jika B tidak memuat bi- -ideal lain dari. Suatu bi- -ideal B merupakan minimal bi- -ideal jika dan hanya jika B merupakan bi-simple- -semigrup. IV. DAFTAR PUSTAKA [1]. Braja, I Charaterizations of Regular Gamma Semi-Groups Using Quazi-Ideals. J.ath. Vol No [2]. Changpas, T On Intra-Reguler -Semigroups. Int. J. Contemp. ath. Sciences. Vol. 7. No [3]. Chattopadhyay, S and S. Kar On Structure Space of - Semigroup. Acta Univ. Palacki.Olomuc., Fac. rer. Nat.,athematica 47, [4]. Chinram, R On Quasi-gamma-ideals in Gamma- Semigroup. J.ath.32, [5]. Chinram, R and Jirojkul, C On bi- -ideal in -semigroups. Songklanakarin J. Sci. Technol. 29(1) : [6]. Chinram, R. And Sripakarn R inimal Quasi-ideals in - Semigroup. Thai.J.ath 4,7-11. [7]. El-madhoun, Neveen. R Quasi-ideals and Bi-ideals on Semigroup and Semirings. Thesis. The Islamic University of Gaza. Palestine [8]. Gilbert, Jimmie and Linda Gilbert Element Of odern Algebra. PWS-Kent Publishing Company. Boston [9]. Iampan, A Note on Bi- -ideals in -semigroups. International journal of Algebra. Vol. 3. No [10]. Kehayopulu, Niovi On le- -semigroups. Internat. ath. Forum. 4. no. 39, [11]. Stephanie, D.A Sifat-sifat Quasi-Ideal- pada Semigrup-. Skripsi. UNDIP. Semarang