BENTUK - BENTUK IDEAL PADA SEMIRING ( ( ) )

Transkripsi

1 BENTUK - BENTUK IDEAL PADA SEMIRING ( ( ) ) Dian Winda Setyawati Jurusan Matematika FMIPA ITS Surabaya ABSTRAK. Diberikan R semiring dan I himpunan bagian dari R maka I disebut ideal pada R jika dan maka dan Pada semiring terdapat jenis-jenis ideal dimana pengertian jenisjenis ideal tersebut identik dengan jenis jenis ideal pada ring. Pada semiring ( ) telah diperoleh bentuk bentuk ideal substraktif, Q-ideal, Ideal semiprima dan ideal primary. Pada paper ini akan ditunjukkan bentuk bentuk ideal substraktif, Q-ideal, Ideal semiprima dan ideal primary pada semiring ( ( ) ) dimana ( ) merupakan himpunan matriks berukuran nxn atas bilangan bulat taknegatif Kata Kunci : ideal substraktif, Q-ideal, Ideal semiprima dan ideal primary 1. PENDAHULUAN Pada saat ini banyak paper yang membahas tentang semiring serta jenis-jenis ideal pada semiring. Pada paper Gupta & Chaudhari [2] telah menunjukkan bentuk ideal prima pada semiring ( ) Selanjutnya pada paper Setyawati [3] menunjukkan bentuk ideal prima pada semiring( ( ) ). Dari hasil ini, tahun, Setyawati dkk [4] melanjutkan untuk menunjukkan bentuk bentuk ideal pada semiring ( ) yaitu ideal substraktif, Q-ideal, Ideal semiprima dan ideal primary. Pada paper ini akan ditunjukkan bentuk bentuk ideal yaitu ideal substraktif, Q-ideal, Ideal semiprima dan ideal primary pada semiring ( ( ) ) dimana ( ) merupakan himpunan matriks berukuran nxn atas bilangan bulat taknegatif. Himpunan ( ) merupakan generalisasi dari himpunan.. 2. TINJAUAN PUSTAKA Sebelumnya akan diberikan beberapa definisi yang akan digunakan untuk membahas bentuk bentuk ideal pada semiring ( ). Berikut ini akan diberikan definisi dari semiring yang merupakan generalisasi dari ring dimana terhadap operasi penjumlahan elemennya tidak memiliki invers Definisi 2.1 Himpunan tak kosong terhadap operasi biner + dan ditulis ( ) disebut semiring jika (i) ( ) bersifat assosiatif, komutatif dan mempunyai elemen identitas 0 (ii) ( ) bersifat assosiatif (iii) ( ) bersifat distributive Selanjutnya akan diberikan definisi ideal dan jenis jenis ideal pada semiring yang identik dengan pengertian pada ring 1

2 Definisi 2.2 [1,2] Diberikan semiring dan subset dari. I disebut ideal pada R jika untuk setiap dan berlaku dan Berikut ini akan diberikan jenis-jenis ideal pada semiring pada artikel ini: yang akan digunakan (i) Ideal { }, disebut ideal utama pada, yaitu ideal utama yang dibangun oleh. (ii) Ideal I disebut ideal subtractive jika,, maka. (iii) Ideal I disebut ideal prima jika, maka atau (iv) Ideal I disebut ideal semiprima jika, maka, untuk semua. (v) Ideal I disebut ideal primary jika dan maka untuk suatu, (vi) Ideal I disebut Q-ideal jika ada himpunan subset dari sehingga dan jika, maka ( ) ( ) Selanjutnya akan diberikan bentuk bentuk ideal substraktif, Q-ideal, Ideal semiprima dan ideal primary pada semiring ( ) yang merupakan hasil dari penelitian sebelumnya. Teorema 2.1 [4] Setiap ideal pada semiring ( ) berbentuk dengan Akibat 2.1 [4] Ideal sejati I dari semiring ( ) adalah maksimal jika dan hanya jika { } Teorema 2.2 [4] Ideal pada semiring ( ) adalah substraktif jika dan hanya untuk suatu Sebagai gambaran dan merupakan ideal subtraktif dari semiring ( ) tetapi bukan ideal substraktif dari semiring ( ) sebab tetapi 1 Teorema 2.3 [4] Ideal pada semiring ( ) adalah Q-ideal jika dan hanya untuk Seminar Nasional Matematika Prosiding

3 Teorema 2.4 [4] Ideal sejati tak nol untuk pada semiring ( ) adalah semiprima jika dan hanya jika, adalah faktor prima yang berbeda dari x Teorema 2.5 [4] Ideal sejati tak nol untuk pada semiring ( ) adalah primary jika dan hanya jika bilangan prima 3. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bagian ini akan ditunjukkan bentuk bentuk ideal substraktif, Q-ideal, Ideal semiprima dan ideal primary pada semiring ( ) Teorema 3.1 [3] Diberikan..., dimana i = 1, 2, 3, 4,...n dan ( ) Himpunan { } merupakan ideal pada ( ) Teorema 3.2 Ideal { } pada ( ) adalah substraktif jika dan hanya jika dimana ( ) Andaikan terdapat dimana maka terdapat dimana dan maka akibatnya sehingga N bukan ideal substraktif pada ( ) ( ) Jelas Dari teorema diatas dapat digambarkan pada contoh berikut ini : Contoh 2.1 { } merupakan ideal subtraktif pada ( ) Contoh 2.2 { } merupakan ideal subtraktif pada ( ) Contoh 2.3 { } bukan merupakan ideal subtraktif pada ( ) sebab [ ], [ ] Seminar Nasional Matematika Prosiding

4 [ ] [ ] tetapi [ ] sebab Teorema 3.3 Ideal { } pada ( ) adalah Q-ideal jika dan hanya jika dimana dan { } { { { } } ( ) Andaikan terdapat dimana untuk maka anggota dari dapat diurutkan dari yang terkecil dan selisih dua elemen berurutan tidak konstan sehingga jika terdapat ( ), ( ) maka tidak berlaku dengan ( ) jelas dari teorema Q-ideal pada Contoh 3.4 Dari teorema diatas bisa diberikan contoh sebagai berikut : { } merupakan Q-ideal pada ( ) dengan { { } { } maka akan terbentuk 6 himpunan dimana yaitu (1) [ ] = ={[ ] } (2) [ ] {[ ] } (3) [ ] {[ ] } (4) [ ] {[ ] } (5) [ ] {[ ] } (6) [ ] {[ ] } Terlihat bahwa ( ) dan jika, maka ( ) ( ) Seminar Nasional Matematika Prosiding

5 Teorema 3.4 Ideal { } pada ( ) adalah semiprima jika dan hanya jika atau, untuk adalah faktor prima yang berbeda dari Jelas dari Teorema ideal semiprima pada semiring Contoh 3.5 { } merupakan ideal semiprima pada ( ) Contoh 3.6 { } bukan merupakan ideal semiprima pada ( ) sebab sedangkan Dari teorema ideal primary pada maka untuk membentuk ideal primary pada ( ), elemen - elemen pada diagonal dapat berada pada himpunan dengan pembangun yang sama juga dapat berada pada himpunan dengan pembangun yang berbeda. Kasus 1 (apabila ada elemen-elemen pada diagonal yang berada pada himpunan dengan pembangun yang sama) Diberikan himpunan ( ) dimana { }. Jika terdapat dimana dan maka N merupakan ideal pada ( ) tetapi tidak primary Kasus 1 dapat dijelaskan sebagai berikut : Tanpa mengurangi keumuman misalkan maka terdapat dan dimana dan tetapi untuk setiap sebab Terlihat bahwa tidak primary. Kasus 2 (apabila ada elemen-elemen pada diagonal yang berada pada himpunan dengan pembangun yang berbeda) Diberikan himpunan ( ) dimana { }. Jika terdapat dan dimana, dan maka N merupakan ideal pada ( ) tetapi tidak primary Kasus 2 dapat dijelaskan sebagai berikut : Seminar Nasional Matematika Prosiding

6 Tanpa mengurangi keumuman misalkan dan maka terdapat dan dimana dan tetapi untuk setiap sebab Terlihat bahwa tidak primary. Dari kasus 1, kasus 2 dan teorema dari ideal primary pada terbentuklah ideal primary pada ( ) sebagai berikut: Teorema 3.5 Ideal { } pada ( ) adalah primary jika dan hanya jika atau { } ( ) Dari kasus 1 dan kasus 2 terlihat bahwa Ideal dari ( ) bukan primary jika elemen elemen pada diagonal berada pada himpunan dengan pembangun yang sama, demikian juga elemen pada diagonal berada pada himpunan dengan pembangun yang berbeda sehingga agar N merupakan ideal primary pada ( ) maka atau { } ( ) Dari teorema ideal primary pada maka jelas bahwa atau { } merupakan ideal primary pada ( ) Contoh 3.7 merupakan ideal primary pada ( ) Contoh 3.8 bukan merupakan ideal primary pada ( ) sebab [ ] [ ] dimana [ ] tetapi [ ] sebab Seminar Nasional Matematika Prosiding

7 4. KESIMPULAN Pada paper ini telah diperoleh bentuk bentuk ideal substraktif, Q-ideal, Ideal semiprima dan ideal primary pada semiring ( ) sebagai berikut : (i) Ideal { } pada ( ) adalah substraktif jika dan hanya jika dimana (ii) Ideal { } pada ( ) adalah Q-ideal jika dan hanya jika dimana dan { } { { { } } (iii) Ideal { } pada ( ) adalah semiprima jika dan hanya jika atau, untuk adalah faktor prima yang berbeda dari (iv) Ideal { } pada ( ) adalah primary jika dan hanya jika atau { } DAFTAR PUSTAKA [1] Chaudhari, J.N. and K.J Ingale, A Note on Strongly Euclidean Semirings, International Journal of Algebra, 6, , [2] Gupta, V. & J.N. Chaudhari, Prime Ideals in Semiring, Bulletin of Malaysian Mathematical Science Society. Http: //math. usm. my /bulletin,2009. [3] Setyawati, D.W., Ideal Prime pada Semiring ( ), Jurnal Matematika Jurusan Matematika FMIPA Universitas Diponegoro Semarang; 14: 14-18,2011. [4] Setyawati DW, Soleha dan R. Rimadhany, Bentuk Bentuk Ideal pada Semiring ( ) dan Semiring ( ), akan diterbitkan pada Jurnal Sains dan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Surabaya Edisi Oktober 2014 Seminar Nasional Matematika Prosiding