Karakterisktik Elemen Satuan Pada Semiring Pseudo-Ternary Matriks Atas Bilangan Bulat Negatif

Transkripsi

1 Prosiding Seminar Nasional Aljabar USD Karakterisktik Elemen Satuan Pada Semiring Pseudo-ernary Matriks Atas Bilangan Bulat Negatif Maxrizal 1 dan Baiq Desy Aniska Prayanti 2 1 Jurusan Sistem Informasi, SMIK Atma Luhur Pangkalpinang 2 Universitas Bangka Belitung 1 maxrizal@atmaluhur.ac.id dan 2 baiqdesyaniska@gmail.com Abstrak Struktur semiring pseudo-ternary merupakan genaralisasi dari struktur semiring ternary. Sifat-sifat yang terdapat di semiring ternary diselidiki dan diaplikasikan pada semiring pseudo-ternary. Dalam makalah ini dikaji karakteristik dari elemen satuan pada semiring pseudo-ternary matriks atas bilangan bulat negatif. Suatu elemen pada semiring pseudo-ternary dikatakan memiliki elemen satuan jika elemen tersebut merupakan elemen satuan kiri, tengah dan kanan. Jika elemen tersebut hanya merupakan elemen kiri dan kanan maka elemen tersebut dinamakan elemen satuan dua sisi. Hasil kajian menunjukkan bahwa karakteristik elemen satuan pada semiring pseudo ternary matriks atas bilangan bulat negatif bergantung pada ordo dari matriks. Selanjutnya, kelemahan-kelemahan pada ordo matriks dikaji dan dimodifikasi pada beberapa subsemiring pseudo-ternary di semiring pseudo-ternary matriks atas bilangan bulat negatif. ujuannya agar diperoleh subsemiring pseudo-ternary di semiring pseudo-ternary matriks atas bilangan bulat negatif yang memiliki elemen satuan dua sisi atau elemen satuan. Kata Kunci: semiring pseudo ternary matriks atas bilangan bulat negatif, elemen satuan, elemen satuan dua sisi, subsemiring pseudo-ternary matriks atas bilangan bulat negatif. 1. Pendahuluan Konsep semiring ternary pada 2,3, 4,5,6,7 yang diperkenalkan oleh.k. Dutta dan S. Kar (24) merupakan generalisasi dari ring ternary yang diperkenalkan oleh W.G. Lister pada tahun Pada 3,5,6 dijelaskan bahwa konsep semiring ternary dimotivasi oleh struktur pada himpunan bilangan bulat negatif yang dilengkapi operasi biner penjumlahan dan triner perkalian biasa. Selanjutnya pada8, konsep semiring ternary pada diperluas pada matriks persegi atas sehingga M n n yang dilengkapi operasi biner penjumlahan dan triner perkalian biasa merupakan semiring ternary. M n n merupakan bentuk matriks khusus dari matriks persegi Faktanya, panjang dan struktur matriks M m n dilengkapi operasi biner penjumlahan dan triner perkalian biasa bukan merupakan semiring ternary. Bahkan struktur M m n,, tidak tertutup pada operasi triner perkalian biasa. Untuk itu pada 8, didefinisikan operasi perkalian triner untuk matriks persegi panjang yaitu

2 Prosiding Seminar Nasional Aljabar USD A B C AB C, dengan A, B, C M mn matriks B. Selanjutnya, struktur M n n,, 8. dan B adalah transpose dari disebut semiring pseudo-ternary Berdasarkan 8 diperoleh bahwa konsep semiring pseudo-ternary bersifat lebih umum dari semiring ternary sehingga memberi peluang untuk menyelidiki sifatsifat pada semiring ternary yang masih berlaku pada semiring pseudo-ternary. Salah satu sifat yang dikaji pada makalah ini adalah eksistensi elemen satuan pada semiring pseudo-ternary M n n,,. Secara umum, suatu elemen pada suatu semiring pseudo-ternary S disebut elemen satuan jika elemen itu merupakan elemen satuan kiri sekaligus elemen satuan tengah dan kanan. Berdasarkan definisi di atas, dalam makalah ini dikaji eksistensi dari elemen satuan kiri, tengah dan kanan pada semiring pseudo-ternary M n n,,. 2. Kajian Pustaka Berikut ini beberapa definisi yang berkaitan dengan struktur semiring pseudoternary yang didefinisikan pada 8. Definisi 1. Diberikan himpunan S yang dilengkapi dengan operasi biner : S S S dan operasi triner : S S S S. Himpunan S disebut semiring pseudo-ternary jika memenuhi: S, merupakan semigrup abelian S, merupakan semigrup pseudo-ternary yaitu untuk setiap,,,, berlaku abc S dan abc de abcde. a b c d e S 3. Berlaku sifat distributif kanan, kiri dan tengah, yaitu untuk setiap a, b, c, d S berlaku i a b cd acd bcd ii a b c d abd acd iii ab c d abc abd Untuk memudahkan pemahaman pada bagian selanjutnya, struktur semiring pseudo-ternary disimbolkan menjadi semiring P-. Definisi 2. Suatu elemen disebut elemen nol dari semiring P- S,, dinotasikan dengan "" jika untuk setiap x, y S berlaku x x dan xy xy xy. Semiring P- S yang mempunyai elemen nol disebut semiring P- dengan elemen nol.

3 Prosiding Seminar Nasional Aljabar USD Selanjutnya, pada pembahasan di bawah ini S merupakan notasi untuk semiring P- dengan elemen nol dan S* S. Definisi 3. Diberikan suatu semiring P- S,, satuan kiri (tengah, kanan) jika berlaku eex x exe x, xee x. Elemen e di S disebut elemen, untuk setiap x S. Elemen satuan kiri sekaligus kanan disebut elemen satuan dua sisi. Selanjutnya, elemen satuan kiri sekaligus elemen satuan tengah dan kanan disebut elemen satuan. Selanjutnya, di bawah ini diberikan beberapa definisi yang berkaitan dengan subhimpunan yang ada pada semiring P-. Definisi 4. Diberikan semiring P- S,,. Himpunan S disebut subsemiring P- jika,, juga merupakan semiring P-. Perhatikan bahwa Definisi 4 dapat dinyatakan dalam Definisi di bawah ini. Definisi 5. Diberikan suatu semiring P- S,, dan subhimpunan S. Himpunan disebut subsemiring P- jika untuk setiap t1, t2, t3 maka berlaku t1 t2 dan t 1 t 2 t 3. Selain mengkaji definisi-definisi yang berkaitan dengan semiring P-, kajian pada makalah ini juga membutuhkan beberapa konsep dasar aljabar elementer. Berikut ini diberikan beberapa definisi dan sifat matriks pada aljabar elementer 1. Definisi 6. Suatu matriks persegi yang semua elemen di luar diagonal utamanya nol disebut matriks diagonal. Definisi 7. Suatu matriks diagonal L berukuran n n yang semua elemen diagonal utamanya adalah k dinyatakan sebagai L D k. nn Selanjutnya, diberikan beberapa proposisi yang berkaitan dengan matriks diagonal. nn Proposisi 1. Jika L adalah matriks diagonal maka berlaku L tranpose dari matriks L. Proposisi 2. Jika L nn D k maka berlaku nn L L O L O dan nn nn nr nnr nn nr nr n L L, dengan L L L adalah nn nn nn Orn O nnr rn nr n dengan O adalah matriks dengan semua elemennya adalah dan r.,

4 Prosiding Seminar Nasional Aljabar USD Hasil dan Pembahasan Berdasarkan Definisi 2, struktur M m n,, merupakan semiring P- dengan elemen nol. Selanjutnya, berdasarkan permasalah pada bagian pendahuluan, berikut ini diberikan beberapa definisi, contoh dan proposisi yang berkaitan dengan eksistensi elemen satuan pada semiring P- M m n bahwa perkalian triner untuk A, B, C M mn A B C AB C. Perhatikan contoh di bawah ini.,,. Perlu diperhatikan didefinisikan sebagai Contoh 1. Diketahui semiring P- M 2 3,,. Untuk semua A M maka terdapat E M 23 1 yang merupakan elemen satuan kiri, karena berlaku E E A A. Perhatikan bahwa A E E A dan E A E A sehingga E bukan merupakan elemen satuan kanan dan tengah. Selanjutnya, Contoh 1 di atas memotivasi proposisi berikut ini. Proposisi 3. Jika m n m n maka semiring P- M m n,, hanya memiliki elemen satuan kiri (kanan). Bukti: Diketahui m n sehingga berlaku semiring P- M m m k,,, dengan k. Kasus 1. (Akan diselidiki elemen satuan kiri) A M m m k L Diambil sebarang mm D Perhatikan bahwa untuk setiap A M m m k sehingga berlaku. Jika 1m m terdapat Im m D 1 maka berlaku LA A., mn mm mn mm mm mn mm mk mmk mm mk mk m mn A L A I I A I O I O A Jika diambil setiap A M m m k E I O maka berlaku m m m k m m k. Jadi, E merupakan elemen satuan kiri. mm A EE A E E A, untuk Kasus 2. (Akan diselidiki elemen satuan kanan) A M m n. Jika Rn n D1 maka berlaku AR A. Diambil sebarang n n Perhatikan bahwa untuk setiap A M m n terdapat In n D 1 berlaku, sehingga nn

5 Prosiding Seminar Nasional Aljabar USD Jika diambil I I A A R A I I A nn nn mn mn nn mn nn nn mn Ok n O n nk kn nkn I E O nn kn nk n maka berlaku. Perhatikan bahwa E M m n A E E AE E A, untuk setiap A M m n, karena diketahui m n. Jadi, E bukan merupakan elemen satuan kanan. Kasus 3. (Akan diselidiki elemen satuan tengah) A M m n. Andaikan terdapat E elemen satuan tengah. Diambil sebarang Menurut Definisi 3, untuk setiap A M m n Karena m n maka tidak mungkin berlaku berlaku A E AE EA E A A A, untuk setiap A M m n erjadi kontradiksi. Jadi, E bukan merupakan elemen satuan tengah.. Dari pembuktian Proposisi 3, kita dapat menemukan elemen satuan kiri yang lain dengan menukarkan kolom-kolom pada matriks Im m dan Om k. Salah satu hasil E O I. Berikut ini dekomposisi untuk elemen satuan kiri adalah mk mm m mk diberikan proposisi yang menyatakan banyaknya elemen satuan kiri atau kanan dari semiring P- M m n,,. Proposisi 4. Jika m n m n maka elemen satuan kiri (kanan) pada semiring P- M m n,, tidak tunggal dan banyaknya elemen satuan kiri (kanan) adalah permutasi m baris ( n kolom) dari n kolom ( m baris). Berikut ini diberikan contoh untuk memperjelas Proposisi 3 dan 4. Contoh 2. Diberikan semiring P- terdapat E I3 3 O3 2 M dengan I3 3 D 13 3 pada semiring P- M 3 5,, M m n M 3 5,,. Berdasarkan Proposisi 3, sebagai salah satu elemen satuan kiri,. Berdasarkan Proposisi 5, banyaknya elemen satuan kiri adalah 3 faktor Kita telah menyelidiki eksistensi elemen satuan pada semiring P-,, untuk ukuran matriks m n. Selanjutnya, pada proposisi di bawah ini akan dijelaskan eksistensi elemen satuan pada semiring P- M m n,, dengan ukuran matriks m n (matriks persegi).

6 Prosiding Seminar Nasional Aljabar USD Proposisi 5: Semiring P- Bukti: M 1 1,, memiliki elemen satuan. Diberikan semiring P- M 1 1,,. Diambil sebarang a M 1 1 berlaku a a. Jika diambil 1 maka 1 a a1 a untuk setiap a M 1 1 terdapat E 1, sehingga berlaku dan dan. Perhatikan bahwa AE E AE E a a a A E E A EE A a a a A E A E a a a A Jadi, E elemen satuan di semiring P- M 1 1,,. Selanjutnya, banyaknya elemen satuan pada semiring P- M dinyatakan pada proposisi di bawah ini. Proposisi 6. Elemen satuan pada semiring P- M 1 1,,,, 1 1 tunggal, yaitu 1. Perhatikan bahwa Proposisi 5 merupakan kasus umum pada bilangan bulat, karena setiap bisa dinyatakan sebagai matriks berukuran 1 1. Selanjutnya, pada proposisi di bawah ini akan dinyatakan kasus m n dan n 1, untuk semiring P- M n n,,. Proposisi 7. Jika 1 satuan dua sisi. Bukti: Diberikan semiring P- M n n n maka semiring P- M n n,,, dengan n 1.,, hanya memiliki elemen Kasus 1. (Akan diselidiki elemen satuan dua sisi) A M n n. Jika Ln n D1 maka berlaku LA AL A. Diambil sebarang n n Perhatikan bahwa untuk setiap A M n n terdapat In n D 1 berlaku Jika diambil In n A I I A L A nn nn nn nn nn nn I I A L A A E dan dibentuk nn nn nn nn nn nn A E E AE E A E E A EE A A Jadi, E elemen satuan dua sisi. Kasus 2. (Akan diselidiki elemen satuan tengah), sehingga nn

7 Prosiding Seminar Nasional Aljabar USD Diambil sebarang A M n n Menurut Definisi 3, untuk setiap A M m n. Andaikan terdapat E elemen satuan tengah. berlaku A E AE EA E A Perhatikan bahwa tidak setiap A M n n M n n,, M n n berlaku tidak memiliki elemen satuan tengah. A A. Jadi, semiring P- Selanjutnya, banyaknya elemen satuan dua sisi pada semiring P-,, dinyatakan pada proposisi di bawah ini. Proposisi 8. Jika n 1 maka elemen satuan dua sisi pada semiring P- M n n,, tidak tunggal dan banyaknya elemen satuan dua sisi adalah permutasi n baris dari n kolom. M n n Berdasarkan Proposisi 7, penambahan syarat n 1 pada semiring P-,, hanya menghasilkan elemen satuan dua sisi. Dari fakta ini, memotivasi untuk menyelidiki elemen satuan tengah pada suatu subsemiring P- di semiring P- M n n,,. Perhatikan contoh di bawah ini. a c Contoh 3. Dibentuk himpunan K a, b, c c b. Perhatikan bahwa K M 2 2. Untuk setiap A K berlaku A A A, B, C M nn 1 3 yaitu A 3 2,. Diambil B 1 2 dan C 5 2. Perhatikan bahwa AB C AB C K Jadi, subhimpunan K,, bukan merupakan subsemiring P- di semiring P- M 2 2,,. Perhatikan bahwa membentuk subhimpunan yang dibentuk dari semua matriks simetri A A di M n n tidak menghasilkan suatu subsemiring P- di semiring P- M n n dinyatakan pada contoh di bawah ini.,,. Dari kelemahan Contoh 4, diperoleh fakta yang

8 Prosiding Seminar Nasional Aljabar USD a Contoh 4. Diberikan D a, b b untuk setiap A D berlaku A A. Perhatikan bahwa D M 2 2 dan. Berdasarkan Definisi 5, subhimpunan D,, merupakan subsemiring P- di semiring P- M n n 1 maka terdapat E D 1 2 2,,. Misalkan diambil sebarang A D 1 sehingga E A E EA E A A, untuk setiap A D. Dengan demikian, E adalah elemen satuan tengah. Berdasarkan Proposisi 7, E merupakan elemen satuan dua sisi. Jadi E adalah elemen satuan di D,,. Konsep yang diperoleh dari Contoh 4 di atas dinyatakan pada proposisi di bawah ini. Proposisi 9. Jika D adalah himpunan semua matriks diagonal di M n n semiring P- D,, memiliki elemen satuan. Bukti: Diberikan D himpunan semua matriks diagonal di M n n maka. Berdasarkan Definisi 1, D,, merupakan semiring P-. Perhatikan bahwa untuk setiap berlaku A A. Diambil A Dn n maka terdapat E D 1 n n A Dn n sehingga berlaku E A E EA E A A, untuk setiap A Dn n. Dengan demikan, E adalah elemen satuan tengah. Berdasarkan Proposisi 7, E merupakan elemen satuan dua sisi D,,. di M n n. Jadi E adalah elemen satuan di Proposisi 1. Jika D adalah himpunan semua matriks diagonal di M n n semiring P- D,, memiliki elemen satuan yang tunggal, yaitu D maka. 1 n n Berdasarkan Proposisi 9, elemen satuan dapat ditemukan di salah satu subsemiring P- dari semiring P- M,, n n matriks diagonal di M n n M,, m n diselidiki elemen satuan dua sisi pada subsemiring P- M m n diberikan contoh subsemiring P- di semiring P- M m n,, elemen satuan dua sisi. yaitu pada himpunan semua. Perhatikan kembali bahwa semiring P- hanya memuat elemen satuan kiri atau kanan, sehingga akan,,. Berikut ini yang memiliki

9 Prosiding Seminar Nasional Aljabar USD a b Contoh 5. Dibentuk subhimpunan H a, b, c, d c d. Berdasarkan Definisi 5,,, M,, 24. H merupakan subsemiring P- di semiring P- Perhatikan bahwa untuk setiap A H terdapat 1 E 1 yang merupakan elemen satuan dua sisi. 1 E 1 Berdasarkan Contoh 5, subsemiring P- H,, memiliki elemen satuan dua sisi. Jika diperhatikan, untuk setiap A H memuat vektor kolom a c b d yaitu vektor-vektor kolom dari matriks M 22 dinyatakan pada proposisi di bawah ini. Proposisi 11. Diberikan semiring P- M n n A M n n dan dibentuk * * mk dan a c dan b d. Selanjutnya, sifat ini,,. Diambil sebarang H A A M, m n 1, k n 1 dan m k. * Jika A memuat semua vektor kolom (vektor baris) dari A dan memuat vektor nol untuk kolom (baris) yang lain maka semiring P- H,, memiliki elemen satuan dua sisi. Perhatikan bahwa jika diambil D matriks diagonal di M n n diperoleh proposisi berikut. Proposisi 12. Diberikan semiring P- M n n diagonal D di M n n dan dibentuk * * mk maka,,. Diambil sebarang matriks G D D M, m n 1, k n 1 dan m k. * Jika D memuat semua vektor kolom (vektor baris) dari D dan memuat vektor nol untuk kolom (baris) yang lain maka semiring P- G,, memiliki elemen satuan. 4. Kesimpulan Hasil kajian menunjukkan bahwa eksistensi elemen satuan pada semiring P- M m n,, semiring P- M m n bergantung pada ordo dari matriks m n. Jika m n m n maka,, memiliki elemen satuan kiri (kanan). Sedangkan

10 Prosiding Seminar Nasional Aljabar USD untuk 1 n maka semiring P- M n n n, semiring P- M n n Untuk kasus 1,, memiliki elemen satuan dua sisi.,, memiliki elemen satuan. Selain itu, kita juga memperoleh fakta bahwa untuk n 1, semiring P- D,, memiliki elemen satuan, dengan D adalah himpunan semua matriks diagonal di M n n. Daftar Pustaka [1] Anton, H., dan Rorres, C., 25, Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi, Edisi.8, diterjemahkan oleh Hermein, I., dan Gressando, J., Erlangga, Jakarta. [2] Dutta.. K., Shum. K. P., dan Mandal. S., 212, Singular Ideal of ernary Semirings, European Journal of Pure and Applied Mathematics, Vol. 5, No.2, pp [3] Dutta.. K., dan Kar. S., 26, A Note On Regular ernary Semiring, Kyungpook Mathematical Journal, Vol. 46, pp [4] Kar. S., 211, Ideal heory In he ernary Semiring, Bulletin of he Malaysian Mathematical Science Society, Vol. 34, No. 1, pp [5] Madhusudana. D. R., Srinivasa. G. R., dan Siva, P, P., 215, Concept on Ordered ernary Semiring, International Journal of Innovative Science, Engineering & echnology, Vol. 2, No. 4, pp [6] Madhusudana. D. R., dan Srinivasa. G. R., 214, Special Element of A ernary Semiring, International Journal of Enginering Research and Applications, Vol. 4, No. 11, pp [7] Madhusudana. D. R., dan Srinivasa. G. R., 214, A Study On ernary Semiring, International Journal of Mathematical Archive, Vol. 5, No. 12, pp [8] Maxrizal dan Suparwanto. A., 214, Semiring Pseudo-ernary, Jurnal Matematika & Sains, Vol. 19, No. 2, pp