KAJIAN BENTUK-BENTUK IDEAL PADA SEMIRING

Transkripsi

1 KAJIAN BENTUK-BENTUK IDEAL PADA SEMIRING Oleh: RUZIKA RIMADHANY Dosen Pembimbing: DIAN WINDA SETYAWATI, S.Si, M.Si JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2013

2 Latar Belakang Rumusan Masalah Batasan masalah Tujuan Manfaat

3 LATAR BELAKANG Latar Belakang Rumusan Masalah Batasan masalah Tujuan Manfaat RING Ring merupakan suatu himpunan tak kosong R disertai dengan dua operasi biner, penjumlahan dan perkalian, yang memenuhi : a) <R, +> adalah grup abelian; b) <R,. > bersifat asosiatif serta c) <R, +,. > bersifat distributif [1]. Inv ers e SEMIRING

4 LATAR BELAKANG Latar Belakang Contoh dari semiring adalah Rumusan Masalah Batasan masalah Tujuan Manfaat Bentuk-bentuk ideal pada semiring yang akan dikaji antara lain ideal utama, ideal subtraktif, Q-ideal, ideal prima, ideal maksimal, ideal semiprima dan ideal primary. Operasi biner, penjumlahan dan perkalian, yang digunakan bukan operasi penjumlahan dan perkalian pada umumnya tetapi didefinisikan sebagai FPB dan KPK [3].

5 RUMUSAN MASALAH Latar Belakang Rumusan Masalah Batasan masalah Tujuan Manfaat 1. Bagaimana bentuk ideal utama, ideal subtraktif, Q-ideal dan ideal semiprima pada semiring 2. Bagaimana hubungan antara ideal maksimal dengan ideal utama pada semiring 3. Bagaimana hubungan antara ideal primary dengan ideal prima pada semiring

6 BATASAN MASALAH Latar Belakang Rumusan Masalah Batasan masalah Bentuk-bentuk ideal yang dibahas adalah ideal utama, ideal subtraktif, Q-ideal, ideal prima, ideal maksimal, ideal semiprima dan ideal primary. Tujuan Manfaat

7 TUJUAN Latar Belakang Rumusan Masalah Batasan masalah Tujuan 1. Mengetahui ideal utama, ideal subtraktif, Q-ideal dan ideal semiprima pada semiring 2. Mengetahui hubungan antara ideal maksimal dengan ideal utama pada semiring 3. Mengetahui hubungan antara ideal primary dengan ideal prima pada semiring Manfaat

8 MANFAAT Latar Belakang Rumusan Masalah Batasan masalah 1. Sebagai penerapan ilmu dari mata kuliah yang telah diperoleh, yaitu aljabar 2 dan teori bilangan. 2. Sebagai tambahan wawasan dan referensi mengenai bentuk-bentuk ideal pada semiring. Tujuan Manfaat

9 Grup Semiring

10 GRUP Grup Semiring Berikut diberikan contoh-contoh dari grup.

11 GRUP Pada grup terdapat struktur bagian yang disebut dengan subgrup. Definisi dari subgrup diberikan sebagai berikut. Grup Semiring

12 SEMIRING Grup Semiring

13 SEMIRING Selanjutnya, diberikan definisi dari ideal pada semiring R sebagai berikut. Grup Semiring Bentuk-bentuk ideal yang dibahas pada tugas akhir ini adalah ideal utama, ideal subtraktif, Q-ideal, ideal maksimal, ideal prima, ideal semiprima, dan ideal primary.

14 SEMIRING Untuk memperjelas definisi ideal utama diberikan sebuah contoh sebagai berikut. Grup Semiring Selanjutnya, dibahas mengenai pengertian dari ideal subtraktif melalui definisi berikut.

15 SEMIRING Grup Semiring

16 SEMIRING Untuk memperjelas definisi dan lemma dari Q-ideal diberikan contoh sebagai berikut. Grup Semiring

17 SEMIRING Grup Semiring

18 SEMIRING Grup Semiring

19 SEMIRING Grup Semiring

20 Diagram Alur

21 DIAGRAM ALUR METODE PENELITIAN Menunjukkan bentuk ideal utama, ideal subtraktif, Q-ideal dan ideal semiprima pada semiring Menunjukkan hubungan antara ideal maksimal dengan ideal utama pada semiring Diagram Alur Menunjukkan hubungan antara ideal primary dengan ideal prima pada semiring Penarikan kesimpulan dan saran

22 Bentuk-Bentuk Ideal Pada Semiring

23 BENTUK-BENTUK IDEAL PADA SEMIRING Pada subbab ini dijelaskan mengenai bentuk-bentuk ideal pada semiring melalui teorema, lemma, akibat, dan contoh. Adapun bentuk-bentuk ideal yang akan dibahas antara lain ideal utama, ideal subtraktif, Q-ideal, dan ideal semiprima. Sebelum membahas mengenai ideal utama, terlebih dahulu dibahas tentang definisi ideal utama pada semiring yang diberikan melalui definisi berikut. Bentuk-Bentuk Ideal Pada Semiring

24 BENTUK-BENTUK IDEAL PADA SEMIRING Selanjutnya melalui lemma dibahas mengenai suatu pembangun pada semiring dapat dinyatakan dengan kelipatannya. Dari lemma diatas dapat diberikan suatu akibat berikut ini. Bentuk-Bentuk Ideal Pada Semiring Selanjutnya dibahas bentuk dari ideal utama melalui lemma

25 BENTUK-BENTUK IDEAL PADA SEMIRING Setelah mengetahui bentuk dari ideal utama, berikutnya dibahas mengenai bentuk dari ideal subtraktif. Adapun pembahasannya diberikan melalui lemma Selanjutnya dibahas tentang bentuk dari Q-ideal melalui lemma dan teorema Bentuk-Bentuk Ideal Pada Semiring Dari lemma dapat diberikan bentuk dari Q-ideal melalui teorema

26 BENTUK-BENTUK IDEAL PADA SEMIRING Berdasarkan teorema dapat diberikan suatu akibat sebagai berikut. Bentuk-Bentuk Ideal Pada Semiring Berikutnya dibahas mengenai bentuk dari ideal semiprima melalui teorema

27 BENTUK-BENTUK IDEAL PADA SEMIRING Setelah mengetahui bentuk dari ideal utama, ideal subtraktif, Q- ideal, dan ideal semiprima berikutnya dibahas mengenai keterkaitan antara ideal maksimal dengan ideal utama pada semiring. Bentuk-Bentuk Ideal Pada Semiring Selanjutnya dibahas tentang keterkaitan antara ideal primary dengan ideal prima pada semiring melalui teorema

28 Kesimpulan Saran

29 KESIMPULAN Kesimpulan 1. Pada semiring terdapat beberapa bentuk ideal diantaranya adalah ideal utama, ideal subtraktif, Q-ideal, dan ideal semiprima. Setiap ideal pada semiring merupakan ideal utama, ideal subtraktif, ideal semiprima tetapi bukan merupakan Q-ideal. Satu-satunya bentuk Q-ideal yaitu {0} dan 2. Terdapat suatu keterkaitan antara ideal utama dan ideal maksimal yaitu I adalah ideal maksimal di jika dan hanya jika I = <p> untuk suatu p adalah bilangan prima. 3. Terdapat suatu keterkaitan antara ideal primary dengan ideal prima yaitu setiap ideal tak nol dari semiring adalah ideal primary jika dan hanya jika ideal tersebut adalah ideal prima. Saran

30 SARAN Q-ideal memiliki bentuk ideal yang unik. Setiap ideal pada semiring bukan merupakan Q-ideal. Satu-satunya bentuk Q-ideal pada semiring adalah {0} dan. Oleh karena itu, saran yang diberikan adalah penelitian ini dapat dilanjutkan dengan mengulas mengenai Q-ideal pada semiring yang lain. Kesimpulan Saran

31 [1] Khanna,VJ. (1993), A Course in Abstact Algebra, Vikas Publishing House PVT LYD. [2] Setyawati, DW., (2011), Prime Ideal On Semiring, Jurnal Matematika Vol.14,No.1, [3] Chaudhari, JN, Ingale, KJ, (2012), A Note On Strongly Euclidean Semirings, International Journal of Algebra, Vol.6, No.6, [4] Gupta,V, Chaudhari, JN, (2011), Prime Ideals in Semiring, Bulletin of the Malaysian Mathematical Science Society, http : // math. usm. my /bulletin [5] Subiono, Diktat Ajar SM : Aljabar I, Surabaya: Jurusan Matematika FMIPA-ITS, [6] Dummit, DS, Foote, RM. (1991), Abstract Algebra, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J [7] Subiono (2012). Aljabar Maxplus dan Terapannya, Version Surabaya: Jurusan Matematika FMIPA-ITS. [8] Allen, P.J. (1969), A Fundamental of Homomorphism for Semirings, Proc. Amer. Math. Soc. 21,

32 TERIMA KASIH