CADANGAN ASURANSI PENDIDIKAN MENGGUNAKAN DISTRIBUSI PARETO DENGAN TINGKAT BUNGA VASICEK. Reinhard Sianipar 1, Hasriati 2 ABSTRACT

Transkripsi

1 CADANGAN ASURANSI PENDIDIKAN MENGGUNAKAN DISTRIBUSI PARETO DENGAN TINGKAT BUNGA VASICEK Reinhard Sianipar, Hasriati 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru reinhardsianipar93@gmail.com ABSTRACT This article discusses the retrospektif reserves by using Pareto s distibution and Vasicek s interest rate for education insurance. The life insurance reserve calculation is obtained by endowment life insurance, life annuity, single premium and annual premium. To solve life annuity, single premium and annual premium, the survival and curtate future lifetime using Pareto s distribution is determined in advance. Keywords: Endowment life insurance, education insurance, Vasicek s interest rate, Pareto s distribution, retrospektif reserves ABSTRAK Artikel ini membahas tentang cadangan retrospektif asuransi pendidikan menggunakan distribusi Pareto dan tingkat bunga Vasicek. Perhitungan cadangan asuransi pendidikan ditentukan dari nilai asuransi jiwa dwiguna, anuitas hidup, premi tunggal dan premi tahunan asuransi pendidikan. Dalam menyelesaikan nilai anuitas hidup, premi tunggal dan premi tahunan asuransi pendidikan terlebih dahulu ditentukan peluang hidup dan peluang meninggal tertunda berdasarkan distribusi Pareto. Kata kunci: Asuransi jiwa dwiguna, asuransi pendidikan, tingkat bunga Vasicek, distribusi Pareto, cadangan retrospektif. PENDAHULUAN Asuransi jiwa adalah asuransi yang bertujuan menanggung orang terhadap kerugian finansial tak terduga yang disebabkan karena meninggalnya terlalu cepat atau hidupnya terlalu lama. Banyak jenis asuransi jiwa yang disediakan oleh perusahaan asuransi salah satunya yaitu asuransi pendidikan. Ariasih et 0

2 al. [] menyatakan asuransi pendidikan adalah asuransi jiwa dalam pelayanan terhadap pendidikan yang memberikan nilai pengembalian tunai atas setoran premi pada waktu yang telah disepakati oleh pihak tertanggung dan penanggung. Asuransi pendidikan menggunakan jenis asuransi dwiguna. Futami [6, h. 88] menyatakan asuransi jiwa dwiguna adalah jenis asuransi yang merupakan gabungan dari asuransi jiwa dwiguna murni dan asuransi jiwa berjangka yang berarti dalam maupun saat berakhirnya masa pertanggungan kepada pemegang polis, baik meninggal maupun bertahan hidup akan dibayarkan uang pertanggungan. Dalam asuransi pendidikan peserta asuransi pendidikan akan menerima uang pertanggungan diwaktu yang telah ditetapkan saat kontrak dibuat. Pada asuransi pendidikan terdapat premi dan anuitas. Premi merupakan sejumlah pembayaran yang harus dibayarkan oleh peserta asuransi kepada perusahaan asuransi sebagai pihak penanggung sesuai kontrak polis yang disetujui dan anuitas adalah suatu pembayaran dalam jumlah tertentu, yang dilakukan setiap selang waktu dan lama tertentu secara berkelanjutan. Berdasarkan lama pertanggungan asuransi pendidikan menggunakan anuitas hidup awal berjangka. Pembayaran premi dipengaruhi oleh faktor diskon. Faktor diskon adalah nilai sekarang dari pembayaran sebesar satu satuan yang dilakukan satu tahun kemudian. Besar kecil faktor diskon dipengaruhi percepatan pembungaan yang dapat ditentukan dari model pergerakan tingkat bunga dari waktu ke waktu. Model tingkat bunga yang akan digunakan yaitu model tingkat bunga Vasicek [2]. Selain pengaruh faktor diskon, peluang hidup mempengaruhi pembayaran premi. Peluang hidup dipengaruhi oleh suatu probabilitas yaitu ukuran kemungkinan terjadi atau tidaknya suatu peristiwa. Distribusi probabilitas yang digunakan untuk menentukan peluang meninggal dan peluang hidup peserta asuransi pendidikan adalah distribusi Pareto [8]. Pada perusahaan asuransi harus memiliki dana cadangan, karena apabila terjadi klaim sebelum jatuh tempo dan perusahaan asuransi harus memberikan uang pertanggungan dalam bentuk santunan. Cadangan yang digunakan adalah cadangan retrospektif yang merupakan perhitungan cadangan dengan berdasarkan jumlah total pendapatan di waktu yang lalu sampai saat dilakukan perhitungan cadangan dikurangi dengan jumlah pengeluaran di waktu yang lampau untuk tiap pemegang polis. Pada artikel ini ditentukan nilai cadangan asuransi pendidikan menggunakan distribusi Pareto dengan tingkat bunga Vasicek yang merupakan suatu model dari pergerakan tingkat bunga dari deret waktu.

3 2. PELUANG HIDUP DAN PELUANG MENINGGAL MENGGUNAKAN DISTRIBUSI PARETO Fungsi survival yang dinotasikan S(x) berkaitan dengan fungsi distribusi kumulatif yang dinotasikan F (x). Walpole et al. [9, h. 86] menyatakan dalam mencari fungsi survival dibutuhkan fungsi distribusi yang diperoleh dari fungsi kepadatan peluang. Hubungan fungsi distribusi kumulatif yang dinyatakan oleh Walpole et al. [9, h. 90] dan fungsi survival dinyatakan oleh Dickson et al. [5, h. 8] diperoleh S(x) = F (x). () Bowers et al. [4, h. 55] menyatakan misalkan T (x) merupakan variabel random kontinu sebagai sisa usia dari seseorang yang berusia x tahun dan t sebagai jangka waktu dan fungsi distribusi T (x) dinotasikan dengan F T (x) (t) sebagai berikut: F T (x) (t) = F x+t F x. S(x) (2) Fungsi F T (x) (t) menyatakan peluang seseorang yang berusia x tahun akan meninggal setelah berusia x+t tahun disimbolkan dengan t q x. Menurut Dickson et al. [5, h. 8] fungsi survival dari variabel random T (x) dinotasikan dengan S T (x) (t). Hubungan fungsi F T (x) (t) dan S T (x) (t) dinyatakan dengan S T (x) (t) = F T (x) (t), tp x = t q x. (3) Misalkan x usia peserta asuransi akan bertahan hidup hingga t tahun dan akan meninggal pada tahun berikutnya, artinya peserta asuransi yang berusia x tahun meninggal antara usia x + t tahun sampai x + t + tahun disimbolkan t q x dinyatakan dengan t q x = l x+t l x+t+u l x = t P x t+ P x. (4) Distribusi Pareto dikemukakan oleh seorang ekonom Italia yang bernama Vilfredo Pareto ( ). Rytgaard [8, h. 20] menyatakan fungsi distribusi Pareto sebagai berikut: f(x; p, θ) = θp θ x θ, 0 < p < x, θ > 0. (5) Fungsi distribusi kumulatif distribusi Pareto dinyatakan dengan F (x) = ( ) θ p, 0 < p < x, θ > 0, (6) x dengan mensubstitusikan persamaan (6) ke dalam persamaan (2) diperoleh peluang meninggal seseorang yang berusia x tahun hingga t tahun kemudian 2

4 menggunakan fungsi distribusi Pareto sebagai berikut: ( ) θ x F T (x) (t) =, x + t ( ) θ x tq x =. (7) x + t Peluang hidup seseorang yang berusia x tahun hingga t tahun kemudian menggunakan fungsi distribusi Pareto diperoleh dari hubungan persamaan (3) dan persamaan (7), dinyatakan dengan tp x = ( ) θ x. (8) x + t Kemudian peluang hidup seseorang yang berusia x tahun hingga t + tahun berikutnya menggunakan distribusi Pareto dinyatakan dengan t+p x = ( ) θ x. (9) x + t + Selanjutnya peluang meninggal tertunda seseorang yang berusia x tahun meninggal antara usia x + t tahun sampai x + t + menggunakan distribusi Pareto, dengan mensubstitusikan persamaan (8) dan persamaan (9) ke dalam persamaan (4) dinyatakan dengan t q x = ( ) θ ( ) θ x x. (0) x + t x + t + 3. CADANGAN ASURANSI PENDIDIKAN MENGGUNAKAN DISTRIBUSI PARETO DENGAN TINGKAT BUNGA VASICEK Menurut Bain dan Engelhardt [3, h ] untuk mencari estimasi parameter dengan menggunakan metode maksimum likelihood. Metode maksimum likelihood adalah metode penaksir parameter dengan memaksimumkan fungsi likelihood, dengan menggunakan metode maksimum likelihood diperoleh nilai parameter distribusi Pareto sebagai berikut: θ = n ( n ), () ln x i n ln p i= dari persamaan (), θ merupakan penaksir parameter θ dari distribusi Pareto, dengan parameter p adalah parameter skala yang diasumsikan konstan. Dalam menentukan cadangan memerlukan nilai premi yang dipengeruhi oleh faktor diskon yang dinotasikan dengan v. Besar nilai faktor diskon 3

5 dipengaruhi oleh tingkat bunga. Model tingkat bunga yang digunakan yaitu model Vasicek, model tingkat bunga Vasicek memprediksi pergerakan tingkat bunga untuk waktu berikutnya dengan mengacu pada pergerakan tingkat bunga sebelumnya dan akan selalu bergerak menuju titik keseimbangan tingkat suku bunga. Hubungan antara tingkat bunga dan faktor diskon dinyatakan dengan v t = t s= + E(r(s)). (2) Amin [2, h. 9] menyatakan bentuk umum model tingkat bunga Vasicek sebagai dr(s) = α(β r(s))ds + θdw (s), r(0) = r 0, (3) dengan r(s) := tingkat suku bunga Vasicek pada saat ke s, α := kecepatan menuju titik keseimbangan, β := titik keseimbangan (equilibrium), θ := pergerakan fluktuatif tingkat suku bunga Vasicek, W(s) := proses Wiener, s := satuan waktu. Solusi dari bentuk umum model tingkat bunga Vasicek pada persamaan (3) adalah r(s) = r(0)e αs + β( e αs ) + θ s 0 e α(h s) dw (h). (4) Berdasarkan Klebaner [7, h. Vasicek sebagai berikut: 94] diperoleh nilai ekspektasi tingkat bunga E[r(s)] = r 0 e αs + β( e αs ). (5) Selanjutnya faktor diskon tingkat suku bunga Vasicek saat tahun ket dapat dinyatakan dengan mensubstitusikan persamaan (5) ke dalam persamaan (2), diperoleh v t = t s= + r 0 e αs + β( e αs ). (6) Pada tingkat bunga Vasicek terdapat α dan β, dinyatakan sebagai berikut: α = δv ln r xy βr x βr y + nβ 2 r xx 2βr x + nβ 2, (7) dan β = r y r xx r x r xy n(r xx r xy ) (r 2 x r x r y ), (8) 4

6 dengan δ := percepatan pembungaan, r x := jumlah tingkat suku bunga hingga tahun ke-(n ), r y := jumlah tingkat suku bunga hingga tahun ke-n, r xx := jumlah kuadrat tingkat suku bunga hingga tahun ke-(n ), r xy := jumlah tingkat suku bunga hingga tahun ke-(n ) dikalikan dengan jumlah tingkat suku bunga hingga tahun ke-n, n := banyak tahun perubahan tingkat suku bunga yang diamati. Pembayaran nilai tunai anuitas awal berjangka untuk satuan pembayaran dinyatakan dengan n ä x:n = v t tp x. (9) Selanjutnya nilai tunai anuitas awal berjangka yang menggunakan distribusi Pareto dan tingkat bunga Vasicek yaitu dengan mensubstitusikan persamaan (8) dan persamaan (6) ke dalam persamaan (9), diperoleh n ( n )( ) θ x ä x:n =. (20) + r 0 e αs + (β( e αs )) x + t s= Futami [6, h. 88] menyatakan premi tunggal asuransi jiwa dwiguna seseorang yang berusia x tahun dengan masa pertanggungan selama n tahun sebagai berikut: n A x:n = (v n np x ) + v t+ t q x. (2) Premi tunggal asuransi jiwa dwiguna seseorang yang berusia x tahun dengan masa pertanggungan selama n tahun menggunakan distribusi Pareto dengan tingkat bunga Vasicek dapat dinyatakan dengan mensubstitusikan persamaan (8), (6) dan (0) ke dalam persamaan (2), diperoleh ( t A x:n = s= n + ( x + r 0 e αs + β( e αs ) x + n (( t+ s= + r 0 e αs + β( e αs ) ) θ ), )(( ) θ ( x x + t x x + t + ) θ )). (22) Menurut Ariasih et al. [, h. 6] premi tunggal asuransi pendidikan untuk seseorang yang berusia x tahun dengan masa pertanggungan selama n tahun dinyatakan sebagai A x:n p = R(A x:n ) + P v 5 + P 2 v + P 3 v 4 + P 4 v 7, (23) 5

7 dengan A x:n p R A x:n P t v t := premi tunggal asuransi pendidikan, := uang pertanggungan, := premi tunggal asuransi dwiguna, := uang santunan ke-t diberikan oleh perusahaan asuransi kepada peserta asuransi, := faktor diskon pada tahun ke-t. Premi tahunan merupakan pembayaran premi setiap tahun oleh peserta asuransi kepada perusahaan asuransi. Ariasih et al. [, h. 6] menyatakan cadangan retrospektif asuransi pendidikan yang memerlukan nilai premi tahunan asuransi pendidikan. Premi tahunan asuransi pendidikan dinyatakan dengan P x:n p = A x:n p ä x:n, P x:n p = R(A x:n ) + P v 5 + P 2 v + P 3 v 4 + P 4 v 7 ä x:n. (24) Contoh Bapak Ade menjadi peserta asuransi pendidikan dan menjadi tertanggung. Beliau mengikuti asuransi pendidikan saat berumur 40 tahun untuk menjamin biaya pendidikan anaknya yang masih berusia tahun. Beliau mengikuti asuransi pendidikan mulai tanggal November 998 dengan masa pertanggungan selama 7 tahun dan uang pertanggungannya sebesar Rp ,00 yang akan dibayarkan pada tanggal November 205 dan apabila tertanggung meninggal dunia sebelum jatuh tempo. Uang dana kelangsungan belajar dibayarkan pada tanggal:. November 2003 : Rp , November 2009 : Rp , November 202 : Rp , November 205 : Rp ,00 (ditambah uang pertanggungan). Akan ditentukan besar nilai cadangan retrospektif asuransi pendidikan dengan menggunakan: i. Tingkat bunga Vasicek. ii. Distribusi Pareto dengan tingkat bunga Vasicek. Dari contoh kasus di atas diketahui usia peserta asuransi x = 40 tahun, masa pertanggungan n = 7 tahun, dan uang pertanggungan R =Rp Diberikan tingkat suku bunga bersumber Bank Indonesia dari tahun 999 sampai 205 untuk menentukan parameter dari tingkat suku bunga Vasicek diilustrasikan pada Tabel. 6

8 Tabel : Tabel Tingkat Suku Bunga dari Tahun 999 sampai 205 Tahun Tingkat Bunga SBI (%) Tahun Tingkat bunga SBI (%) 999 2, , , , , , , , , , , , , , , , , Dari Tabel tingkat suku bunga di atas dapat ditentukan nilai estimasi parameter tingkat bunga Vasicek. Berdasarkan persamaan (8) diperoleh nilai β sebagai berikut: r y r xx r x r xy β = n(r xx r xy ) (rx 2 r x r y ), (, 55)0, (, 604)0, = 7(0, , ) (, (, 604), 55), β =0, (25) Dengan mensubstitusikan persamaan (25) ke dalam persamaan (7), diperoleh nilai α sebagai berikut: α = δv ln r xy βr x βr y + nβ 2 r xx 2βr x + nβ 2, = δv ln 0, (0, ), (0, ) 2 (0, (0, ), 604 (0, ), (0, ) 2 ), α =0, (26) Selanjutnya dapat dinyatakan faktor diskon tingkat suku bunga Vasicek dengan mensubstitusikan nilai α dan β ke dalam persamaan (6) sebagai berikut: v t = t s= + 0, 239e 0, s + 0, ( e 0, s ). i. Cadangan retrospektif asuransi pendidikan dengan tingkat bunga Vasicek Nilai premi tunggal asuransi jiwa dwiguna berdasarkan persamaan (2) 7

9 diperoleh n A x:n =(v n np x ) + v t+ t q x, =0, , , A x:n =0, (27) Nilai anuitas hidup berjangka berdasarkan persamaan (9), diperoleh n ä x:n = v t tp x, =0, , , , , , , , , , , , , , , , , , ä x:n =8, Dengan mensubstitusikan nilai premi tunggal asuransi jiwa dwiguna pada persamaan (27), sehingga diperoleh premi tunggal asuransi pendidikan sebagai berikut: A x:n p =R(A x:n ) + P v 5 + P 2 v + P 3 v 4 + P 4 v 7, =Rp (0, ) + Rp (0, )+ Rp (0, ) + Rp (0, )+ Rp (0, ), A x:n p =Rp Selanjutnya premi tahunan bersih untuk asuransi pendidikan berdasarkan persamaan (24) diperoleh P x:n p = A x:n p, ä x:n Rp , 84 =, P x:n p = Rp Nilai cadangan retrospektif asuransi pendidikan disajikan pada Tabel 2. 8

10 Tabel 2: Nilai Cadangan Retrospektif Asuransi Pendidikan pada Tahun ke-t t tv x (Rp) t tv x (Rp) Selanjutnya cadangan retrospektif asuransi pendidikan menggunakan distribusi Pareto dengan tingkat bunga Vasicek. ii. Distribusi Pareto dengan tingkat bunga Vasicek. Terlebih dahulu ditentukan nilai parameter θ distribusi Pareto dari persamaan (), diperoleh sebagai berikut: 7 θ = 69, ln(), θ = 0, Berdasarkan persamaan (8) dapat dinyatakan peluang hidup seseorang yang berusia x tahun yang akan hidup t tahun kemudian dengan menggunakan distribusi Pareto sebagai berikut: tp 40 = ( ) 0, t Premi tunggal asuransi jiwa dwiguna berdasarkan persamaan (23) diperoleh n A x:n = (v n np x ) + v t+ t q x, = 0, , , A x:n = 0, (28) Nilai anuitas hidup berjangka berdasarkan persamaan (20) diperoleh n ä x:n = v t tp x, =0, , , , ,

11 + 0, , , , , , , , , , , , , ä x:n =7, Premi tunggal asuransi pendidikan diperoleh dengan mensubstitusikan nilai premi tunggal asuransi jiwa dwiguna pada persamaan (28) ke dalam persamaan (23), sehingga diperoleh A x:n p =R(A x:n ) + P v 5 + P 2 v + P 3 v 4 + P 4 v 7, =Rp (0, ) + Rp (0, )+ Rp (0, ) + Rp (0, )+ Rp (0, ), A x:n p =Rp Selanjutnya premi tahunan bersih untuk asuransi pendidikan berdasarkan persamaan (24) diperoleh P x:n p = A x:n p, ä x:n Rp , 024 =, 7, P x:n p = Rp Nilai cadangan retrospektif asuransi pendidikan menggunakan distribusi Pareto disajikan pada Tabel 3. Tabel 3: Nilai Cadangan Retrospektif Asuransi Pendidikan Menggunakan Distribusi Pareto pada Tahun ke-t t tv x (Rp) t tv x (Rp)

12 5. KESIMPULAN Kesimpulan yang diperoleh dari pembahasan artikel ini untuk menentukan nilai cadangan retrospektif menggunakan distribusi Pareto dan tingkat bunga Vasicek mempengaruhi besarnya nilai premi tunggal dan nilai anuitas hidup, sehingga mempengaruhi besar nilai premi tahunan dan nilai cadangan yang dimiliki oleh perusahaan asuransi. Jika premi tunggal nilainya besar, maka premi tahunan semakin besar sehingga nilai cadangan juga semakin besar, atau sebaliknya. Nilai akhir cadangan harus sesuai dengan pembayaran dana kelangsungan belajar beserta uang pertanggungan diakhir tahun kontrak agar peserta dan perusahaan asuransi tidak dirugikan. Dalam Perhitungan nilai cadangan retrospektif menggunakan distribusi Pareto, nilai cadangan diakhir tahun kontrak lebih besar dibandingkan tanpa menggunakan distribusi Pareto sehingga lebih sangat menguntungkan pada perusahaan asuransi. DAFTAR PUSTAKA [] P. A. Ariasih, K. Jayanegara, N.Widana dan P. Eka, Penentuan cadangan premi untuk asuransi pendidikan, E-Jurnal Matematika, 4 (205), 4-9. [2] H. H. N. Amin, Calibration of Different Interest Rate Models for a Good Fit of Yield Curves, Tesis Magister, Delft University of Technology, Netherlands, c c9e3a6f2986/final Thesis.pdf [3] L. J. Bain dan M. Engelhardt, Introduction to Probability and Mathematical Statistics, Second Edition, Duxbury, Pacific Grove, California, 992. [4] N. L. Bowers, H. U. Gerber, J. C. Hickman, D. A. Jones dan C. J. Nesbitt, Actuarial Mathematics, Second Edition, The Society of Actuaries, Schaumburg, Illinois, 997. [5] D. C. M. Dickson, M. R. Hardy dan H. R. Waters, Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks, Cambridge University Pres, New York, [6] T. Futami, Matematika Asuransi Jiwa, Bagian I, Terj. dari Seimei Hoken Sugaku, Jokan (92 Revision), oleh G. Herliyanto, Oriental Life Insurane Cultural Development Center, Tokyo, 993. [7] F. C. Klebaner, Introduction to Stochastic Calculus with Applications, Second Edition, Imperial College Press, London, [8] M. Rytgaard, Estimation in the Pareto distribution, Astin Bulletin, 20 (990),

13 [9] R. E. Walpole, R. H. Myers, S. L. Myers dan K. Ye, Probability & Statistics for Engineers & Scientists Ninth Edition, Pearson/Prentice Hall, London,