Grosen A, Jorgensen. P.L Fair valuation of life insurance liabilities: the infact of interest rate guarantees, surrender option and bonus

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Grosen A, Jorgensen. P.L Fair valuation of life insurance liabilities: the infact of interest rate guarantees, surrender option and bonus"

Yohanes Sumadi
7 tahun lalu
Tontonan:

1 59 DAFTAR PUSTAKA Abink M, Saker M Getting to grif with fair value. The Staple Inn Actuarial Society. Bacinello AR Fair pricing of Life Insurance participating policies with a minimum interest guaranteed. ASTIN Bulletin. 3(2): Bacinello AR. 2003a. Fair valuation of a guaranted life insurance participating contract embedding a surrender option. Journal of Risk and Insurance. 70(3): Bacinello AR. 2003b. Pricing guaranteed life insurance participating policies with annual premiums and surrender option. North American Actuarial Journal. 7(3), -7. Black F, Scholes M The Pricing of Option and Corporate Liabilities. The Journal of Political Economy. 8(3): Bodie Zvi, Kane Alex, Markus AJ Investasi. Jilid I. Budi Wibowo, penerjemah. Salemba Empat. Terjemahan dari: Invesment. Bowers NL JR, Gerber HU, Hickman JC, Jones DA, Nesbitt CJ.997. Actuarial Mathematics. Second Edition. The Society of Actuaries. Illinois USA. Briys E, De Varenne F On the risk of insurance liabilities: debunking some common pitfalls. Journal of Risk an Insurance. 64(4): Buhlman H New Math for Actuaries. ASTIN Bulletin. 32(2): Chance DM An Introduction to Derivatives & Risk Management. Sixth Edition. Thomson South Western. Ohio USA. Cox J, Ross S, Rubenstein M Option Pricing: a simplified approach. Journal of Finacial Economics. 7: Devolder P Fair valuation of Actuarial Liabilities in Binomial Environment. Universite Catholique de Louvain. Valencia. Devolder P, Dominguez-Fabian I, Fair Valuation of Various Participation Schemes in Life Insurance. Astin Bulletin, 35(): Ghahramani S Fundamental of Probability With Stochastic Processes. Third Edition, Pearson Precentice Hall. New Jersey USA.

2 60 Grosen A, Jorgensen. P.L Fair valuation of life insurance liabilities: the infact of interest rate guarantees, surrender option and bonus policies. Insurance Mathematics and Economics. 26(): Hull JC Options, futures and other derivatives. Sixth Edition. Pearson Precentice Hall. New Jersey USA. Ross SM Introduction Probabilty Models. Fifth Edition. Academics Press. Inc. San Diego.

3 LAMPIRAN

4 6 Lampiran Bukti Persamaan (2.22) Sebuah fungsi,, yang kontinu, dengan turunannya yang juga kontinu memenuhi 2. Fungsi, merupakan fungsi kontinu dan dapat diturunkan dalam peubah. Jika adalah perubahan kecil pada dan merupakan hasil perubahan kecil dalam, maka. Dapat dikatakan bahwa, sama dengan pendekatan tingkat perubahan berhubungan dengan dikalikan dengan. Jika dibutuhkan perhitungan yang lebih teliti, ekspansi deret Taylor pada dapat digunakan Untuk fungsi yang kontinu dan dapat diturunkan pada dua peubah dan, hasil yang sama dengan persamaan (.) adalah dan ekspansi deret Taylor pada adalah Jika diambil limitnya pada saat dan mendekati 0, persamaan (.4) menjad.5 Perluasan persamaan (.5) untuk mencakup fungsi pada peubah yang mengikuti proses It, dengan memisalkan peubah mengikuti proses It sehingga,,.6 dan merupakan fungsi pada dan. Analog dengan persamaan (.4) dapat dinyatakan sebagai berikut 2 2.7

5 62 Persamaan (.6) dapat dinyatakan dalam fungsi diskret sehingga,, Atau jika penjelasan, dihilangkan menjadi.8.9 Persamaan ini menampakkan perbedaan penting antara persamaan (.4) dengan persamaan (.7). Pada saat penjelasan limit digunakan untuk merubah persamaan (.4) menjadi (.5), bentuk diabaikan karena merupakan bentuk orde kedua. Dari persamaan (.9) dapat diperoleh bentuk orde yang lebih tinggi dalam (.0) Hal ini menunjukkan bahwa bentuk yang mengandung pada persamaan (.7) mempunyai komponen dan tidak dapat diabaikan. Ragam pada distribusi normal baku adalah, hal ini berarti dengan E melambangkan nilai harapan. Pada saat 0 akibatnya sehingga nilai harapan. Hal itu dapat ditunjukkan bahwa adalah ragam pada orde dan sebagai akibatnya dapat diperlakukan sebagai bentuk nonstokastik dan sama dengan nilai harapan, pada saat mendekati 0. Dengan mengambil nilai limitnya pada saat dan mendekati nol pada persamaan (.7) dan menggunakan hasil terakhir diperoleh 2. mengikuti lema It. Dengan menyubstitusikan pada persamaan (.6) ke dalam persamaan (.) diperoleh 2 2 2

6 63 Lampiran 2 Penurunan Persamaan (3.6)

7 64 Lampiran 3 Penurunan Persamaan (3.9)

8 65 Lampiran 4 Penurunan Persamaan (3.20)

9 66 Lampiran 5 Penurunan Persamaan (3.2)

10 67 Lampiran 6 Penurunan Persamaan (3.23) v T v T T T T T T T.

11 68 Lampiran 7 Penurunan Persamaan (3.24) v T v T t T t T t t T t T T T T T dengan

12 69 Merupakan deret geometri dengan suku pertama Sehingga jumlah deret tersebut adalah: dan rasio..

13 70 Lampiran 8 Penurunan Persamaan (3.30) 2 Menggunakan nilai (3.4) dan (3.7) pada dan, rumus (3.29) menjadi:

14 7 Lampiran 9 Bukti Persamaan (3.38) Suatu fungsi, ln memiliki turunan sebagai berikut: 0 Substitusikan turunan-turunan tersebut ke dalam persamaan Fungsi memiliki drift rate dan variance rate. Perubahan Y dalam waktu antara 0 sampai merupakan sebaran normal dengan rataan dan. Hal ini berarti: ln ln 0, ln ln 0, dengan adalah harga aset pada waktu, 0 harga aset pada waktu 0 dan, menyatakan distribusi normal dengan: rataan ln 0 dan simpangan baku. Selanjutnya, jika didefinisikan sebagai fungsi kepekatan peluang dari, maka nilai harapan menjadi maks,0. 5.

15 72 Selanjutnya didefinisikan sebuah peubah acak lain yaitu dengan ln. 5.2 Dengan menyubstitusikan dan ke dalam persamaan (5.2) diperoleh ln ln 0 2, 5.3 dengan juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan simpangan baku. Fungsi kepekatan peluang dari dinyatakan dengan sehingga 2 /. 5.4 Selanjutnya untuk menentukan nilai maks,0 perlu adanya perubahan batas integral dari integral menurut menjadi integral menurut. Jika, maka dan jika, maka ln. Dengan mengubah persamaan di atas menjadi persamaan dalam sehingga. 5.5 Dengan menggunakan persamaan (5.5) bersama-sama dengan persamaan (5.4) dan dengan perubahan batas integral seperti yang disebutkan di atas, maka persamaan (5.) menjadi maks,0 / / 2 / / / / 2 / / 2 / / / 2 / / / /

16 73 / / / / ln ln / ln ln 5.6 dengan / Dengan menyubstitusikan dan ke dalam persamaan (5.6) menjadi maks,0 / ln ln / / ln ln 0 2 ln ln 0 2 ln ln 0 2 ln ln 0 2 ln 0 2

17 74 ln Karena 0 dan ln maka: maks,0 Nilai opsi call menjadi,, maks,0.

18 75 Lampiran 0 Penurunan Persamaan (3.39) ln 2,, ln 2,,,,,,,, ln 0 2 ln ln 2 ln 2 ln 0 2 ln ln 2,, ln 2

19 76 Lampiran Penurunan Persamaan (3.45) Merupakan deret geometri dengan suku pertama dan rasio. Sehingga jumlah deret tersebut adalah:.

20 77 Lampiran 2 Bukti Persamaan (3.47) Suatu fungsi, ln memiliki turunan sebagai berikut: 0 Substitusikan turunan-turunan tersebut ke dalam persamaan Fungsi memiliki drift rate dan variance rate. Perubahan Y dalam waktu antara 0 sampai T merupakan sebaran normal dengan rataan dan. Hal ini berarti: ln ln 0, atau ln ln 0, dengan adalah harga aset pada waktu, 0 harga aset pada waktu 0 dan, menyatakan distribusi normal dengan: rataan ln 0 dan simpangan baku. Selanjutnya, jika didefinisikan sebagai fungsi kepekatan peluang dari, maka nilai harapan menjadi maks,0. 8.

21 78 Selanjutnya didefinisikan sebuah peubah acak lain yaitu dengan ln. 8.2 Dengan menyubstitusikan dan ke dalam persamaan (8.2) diperoleh ln ln 0 2, 8.3 dengan juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan simpangan baku. Fungsi kepekatan peluang dari dinyatakan dengan sehingga 2 /. 8.4 Selanjutnya untuk menentukan nilai maks,0 perlu adanya perubahan batas integral dari integral menurut menjadi integral menurut. Jika, maka dan jika, maka ln. Dengan mengubah persamaan di atas menjadi persamaan dalam sehingga. 8.5 Dengan menggunakan persamaan (8.5) bersama-sama dengan persamaan (8.4) dan dengan perubahan batas integral seperti yang disebutkan di atas, maka persamaan (8.) menjadi maks,0 / / 2 / / / / 2 / 2 / / / 2 / / / / /

22 79 / / / ln / ln dengan / / ln ln 8.6 Dengan menyubstitusikan dan ke dalam persamaan (8.6) menjadi maks,0 / ln / / ln ln ln 0 2 ln ln 0 2 ln ln 0 2 ln ln 0 2 ln 0 2

23 80 ln Karena 0 dan ln maka: maks,0 Nilai opsi call menjadi,, maks,0

24 8 Lampiran 3 Penurunan Persamaan (3.48),,,, ln ln ln 0 2,, 2 2,, ln ln 2 ln ln 2 2 ln 0 2,, ln ln 2 ln ln 2 2,,

25 82 Lampiran 4 Penurunan Persamaan (3.52) 0 T T,,,, T,,,, T,,,, T,,,, T,,,, T,, 2,, T,,,, T.

dokumen-dokumen yang mirip

NILAI WAJAR ASURANSI ENDOWMEN MURNI DENGAN PARTISIPASI UNTUK TIGA SKEMA PEMBERIAN BONUS YUSUF

NILAI WAJAR ASURANSI ENDOWMEN MURNI DENGAN PARTISIPASI UNTUK TIGA SKEMA PEMBERIAN BONUS YUSUF SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan