SIFAT-SIFAT GRAF KOSET DAN GRAF KONJUGASI DARI GRUP NON KOMUTATIF
|
|
- Iwan Chandra
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 MATEMATIKA LAPORAN PENELITIAN PENGUATAN PROGRAM STUDI SIFAT-SIFAT GRAF KOSET DAN GRAF KONJUGASI DARI GRUP NON KOMUTATIF Spektrum Graf Konjugasi dan Graf Komplemen Graf Konjugasi dari Grup Dihedral Disusun oleh: Dr. Abdussakir, M.Pd FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 6
2 LAPORAN PENELITIAN PENGUATAN PROGRAM STUDI SPEKTRUM GRAF KONJUGASI DAN GRAF KOMPLEMEN GRAF KONJUGASI DARI GRUP DIHEDRAL FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 6
3 PENGESAHAN LAPORAN PENELITIAN PENGUATAN PROGRAM STUDI Judul Penelitian : Spektrum Graf Konjugasi dan Graf Komplemen Graf Konjugasi dari Grup Dihedral Ketua Peneliti : Dr. Abdussakir, M.Pd 3 Peneliti & Judul Penelitian : Ketua Spektrum Adjacency Graf Konjugasi dan Graf Komplemen Graf Konjugasi dari Grup Dihedral Mahasiswa Spektrum Laplace Graf Komplemen Graf Konjugasi dari Grup Dihedral Mahasiswa Spektrum Laplace Graf Konjugasi dari Grup Dihedral 4 Bidang Ilmu : Aljabar 5 Mahasiswa :. M. Muzakir (NIM. 3677). Rhoul Khasanah (NIM. 36) 6 Lama Kegiatan : 5 (Lima) Bulan 7 Biaya yang diusulkan : Rp...,- Disahkan oleh: Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Malang, 9 Desember 6 Peneliti, Dr. drh. Hj. Bayyinatul Muchtaromah, M.Si Dr. Abdussakir, M.Pd NIP NIP Ketua LPM UIN Maulana Malik Ibrahim Malang Dr. Hj. Mufidah Ch., M.Ag. NIP
4 KATA PENGANTAR Puji syukur ke hadirat Allah Swt., sehingga dengan rahmat dan hidayah-nya laporan penelitian dengan judul Spektrum Graf Konjugasi dan Graf Komplemen Graf Konjugasi dari Grup Dihedral dapat diselesaikan. Sholawat dan salam semoga tetap tercurahkan kepada nabi Muhammad Saw. yang telah membimbing manusia menuju jalan yang lurus, yaitu agama Islam. Selama penyusunan laporan ini, peneliti telah dibantu oleh banyak pihak. Pada kesempatan ini, peneliti menyampaikan terima kasih kepada.. Prof. Dr. H. Mudjia Rahardjo, M.Si, selaku rektor Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang.. Dr. drh. Hj. Bayyinatul Muchtaromah, M.Si, selaku dekan Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang beserta seluruh Pembantu Dekan di Fakultas Sains dan Teknologi. 3. Dr. Abdussakir, M.Pd, selaku ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang, beserta rekan-rekan dosen Jurusan Matematika. 4. Dosen dan staf di Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang. 5. Semua anggota tim penelitian. Peneliti mendo akan semoga bantuan yang telah diberikan dicatat sebagai amal baik oleh Allah SWT. Malang, Desember 6 Peneliti i
5 ABSTRAK Pada penelitian ini ditentukan beberapa spektrum dari graf konjugasi dan graf komplemen graf kojugasi dari grup dihedral. Spektrum yang diteliti meliputi spektrum adjacency dan spektrum Laplace. Berdasarkan penelitian ini diperoleh:. Spektrum adjacency graf konjugasi dari grup dihedral D n untuk n ganjil dan n 3 adalah n spec A G D n = 3 n n. Spektrum Laplace graf konjugasi dari grup dihedral D n untuk n ganjil dan n 3 adalah n spec L (G(D n )) = n + 3 n n 3. Spektrum Laplace graf komplemen dari graf konjugasi pada D n untuk n ganjil adalah spec L G(D n = n n n n n n 4. Spektrum Laplace graf komplemen dari graf konjugasi pada D n untuk n genap adalah spec L G(D n = 3n n n n n n + 4 Kata kunci: Spektrum adjacency, spektrum Laplace, graf konjugasi, grup dihedral ii
6 DAFTAR ISI Halaman Sampul Halaman Pengesahan Kata Pengantar... Abstrak... Daftar Isi... Daftar Tabel... Daftar Gambar... i ii iii iv v BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang... B. Rumusan Masalah... 3 C. Tujuan Penelitian... 3 D. Manfaat Penelitian... 4 BAB II STUDI PUSTAKA A. Graf... 5 B. Derajat Titik... 5 C. Graf Terhubung... 8 D. Graf dan Matriks... E. Spektrum Graf... 3 F. Grup Dehidral... 6 G. Graf Konjugasi... 8 BAB III METODE PENELITIAN A. Jenis Penelitian... 9 B. Tahap Penelitian... 9 BAB IV PEMBAHASAN A. Spektrum Adjacency Graf Konjugasi dari Grup Dihedral (D n )... B. Spektrum Laplace Graf Konjugasi dari Grup Dihedral (D n ) C. Spektrum Laplace Graf Komplemen Graf Konjugasi dari Grup Dihedral (D n ) BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN-LAMPIRAN iii
7 DAFTAR TABEL Tabel 4. Tabel Cayley Grup Dihedral-6 (D 6 )... Tabel 4. Polinomial Karakteristik Matriks Adjacency dari Beberapa Graf Konjugasi dari Grup Dehidral (D n ) Tabel 4.3 Spektrum Adjacency dari Graf Konjugasi dari Grup Dehidral (D n ) Tabel 4.4 Tabel Cayley Grup Dihedral-6 (D 6 ) Tabel 4.5 Polinomial Karakteristik Matriks Laplace dari Beberapa Graf Konjugasi dari Grup Dehidral (D n ) Tabel 4.6 Spektrum Laplace dari Graf Konjugasi dari Grup Dehidral (D n )... 5 iv
8 DAFTAR GAMBAR Gambar. Graf Konjugasi dari D Gambar 4. Graf Konjugasi D Gambar 4. Graf Konjugasi D... 7 Gambar 4.3 Graf Konjugasi D Gambar 4.4 Graf Konjugasi D Gambar 4.5 Graf Konjugasi D Gambar 4.6 Graf Konjugasi D Gambar 4.7 Graf Konjugasi D 6 dan Komplemennya Gambar 4.8 Graf Konjugasi D dan Komplemennya Gambar 4.9 Graf Konjugasi D 4 dan Komplemennya Gambar 4. Graf Konjugasi D dan Komplemennya... 6 v
9 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Graf G adalah pasangan (V(G), E(G)) dengan V(G) adalah himpunan tidak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik, dan E(G) adalah himpunan (mungkin kosong) pasangan takberurutan dari titik-titik berbeda di V(G) yang disebut sisi. Banyaknya unsur di V(G) disebut order dari G dan dilambangkan dengan p(g), dan banyaknya unsur di E(G) disebut ukuran dari G dan dilambangkan dengan q(g). Jika graf yang dibicarakan hanya graf G, maka order dan ukuran dari G masing-masing cukup ditulis p dan q. Graf dengan order p dan ukuran q dapat disebut graf-(p, q). Sisi e = (u, v) dikatakan menghubungkan titik u dan v. Jika e = (u, v) adalah sisi di graf G, maka u dan v disebut terhubung langsung (adjacent), v dan e serta u dan e disebut terkait langsung (incident), dan titik u dan v disebut ujung dari e. Untuk selanjutnya, sisi e = (u, v) akan ditulis e = uv. Derajat dari titik v di graf G, ditulis deg G (v), adalah banyaknya sisi di G yang terkait langsung dengan v. Dalam konteks pembicaraan hanya terdapat satu graf G, maka tulisan deg G (v) disingkat menjadi deg(v). Misalkan G graf dengan order p (p ) dan ukuran q serta himpunan titik V(G) = {v, v,, v p }. Matriks keterhubungan titik (atau matriks Adjacency) dari graf G, dinotasikan dengan A(G), adalah matriks (p p) dengan unsur pada baris ke-i dan kolom ke-j bernilai jika titik v i terhubung langsung dengan titik v j serta bernilai jika titik v i tidak terhubung langsung dengan titik v j. Dengan kata lain, matriks adjacency dapat ditulis A(G) = [a ij ], i, j p, dengan a ij, jika, jika v v E( G) i v v E( G) i j j Matriks adjacency suatu graf G adalah matriks simetri dengan unsur dan dan memuat nilai pada diagonal utamanya. Matriks derajat dari matriks G, dinotasikan dengan D(G), adalah matriks diagonal yang elemen baris ke-i dan kolom ke-i adalah derajat dari v i, i =,, 3,
10 , p. Jadi, matriks derajat dari graf G dapat ditulis D(G) = [d ij ], i, j p, dengan d ij deg( vi ), i j, i j Matriks L(G) = D(G) A(G) disebut matriks Laplace dan matriks L + (G) = D(G) + A(G) disebut matriks Signless Laplace dari graf G. Pada graf G, lintasan-v v n adalah barisan titik-titik berbeda v, v,, v n sedemikian hingga titik yang berurutan terhubung langsung. Suatu graf kemudian disebut terhubung jika terdapat suatu lintasan antara sebarang dua titik di G. Misalkankan G adalah graf terhubung dengan order p. Matriks Detour dari G adalah matriks DD(G) sedemikian hingga elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j adalah bilangan yang menyatakan lintasan terpanjang dari v i ke v j di G. Pembahasan matriks Adjacency A(G), matriks Laplace L(G), matriks Signless Laplace L + (G), dan matriks Detour DD(G) dari graf G dapat dikaitkan dengan konsep nilai eigen dan vektor eigen pada topik aljabar linier yang menghasilkan konsep spectrum. Misalkan,,, n dengan > > > n adalah nilai eigen berbeda dari matriks suatu graf, dan misalkan m( ), m( ),, m( n ) adalah banyaknya basis untuk ruang vektor eigen masing-masing i. Matriks berordo ( n) yang memuat,,, n pada baris pertama dan m( ), m( ),, m( n ) pada baris kedua disebut spectrum graf G, dan dinotasikan dengan Spec(G). Jadi, spectrum graf G dapat ditulis dengan Spec(G) = m ) ( m( ) n m( ). Spektrum yang diperoleh dari matriks A(G) disebut spektrum Adjacency, dari matriks L(G) disebut spektrum Laplace, dari matriks L + (G) disebut spekturm Signed-Laplace, dan dari matriks DD(G) disebut spektrum Detour. Beberapa penelitian mengenai spektrum suatu graf sudah pernah dilakukan. Shuhua Yin (6) meneliti spektrum Adjacency dan spektrum Laplace pada graf G l yang diperoleh dari graf komplit K l dengan menambahkan pohon isomorfik berakar untuk masing-masing titik di K l. Abdussakir, dkk (9) meneliti spektrum adjacency pada graf komplit (K n ), graf star (S n ), graf bipartisi komplit (K m,n ), dan graf lintasan (P n ). Ayyaswamy & Balachandran () n
11 3 meneliti spektrum Detour pada beberapa graf yang meliputi graf K(n, n), graf Korona G dan K, graf perkalian Kartesius G dengan K, graf perkalian leksikografik G dengan K, dan perluasan dobel kover dari graf beraturan. Abdussakir, dkk () meneliti spektrum Adjacency, Laplace, Singless Laplace, dan Detour graf multipartisi komplit K(α, α, α 3,, α n ). Abdussakir, dkk (3) meneliti spektrum spektrum Adjacency, Laplace, Singless Laplace, dan Detour graf commuting dari grup dehidral. Rivatul Ridho Elvierayani (4) meneliti spektrum Adjacency, Laplace, Singless Laplace graf non commuting dari grup dehidral, sedangkan Nafisah (4) meneliti spektrum Detour graf non commuting dari grup dehidral. Teori graf juga membahas graf yang dibangun dari grup yang anggotanya memenuhi sifat saling konjugasi. Misalkan G grup non komutatif. Unsur g dan h di G dikatakan saling konjugasi jika ada x di G sehingga g = xhx -. Misalkan semua kelas konjugasi di G adalah [e], [g ], [g ],, [g n ]. Pada graf konjugasi dari grup G, unsur h akan terhubung langsung ke g i, jika h anggota [g i ]. Penelitian mengenai graf konjugasi telah dilakukan oleh beberapa peneliti. Hartanto () sudah meneliti sifat-sifat graf konjugasi dari grup dehidral terkait bentuk grafnya. Wahyu H. Irawan (5) meneliti pola umum graf konjugasi dari grup dehidral dan grup simetri. Sampai saat ini belum ada yang mengkaji spektrum pada graf konjugasi dari grup dehidral. Pada penelitian ini, akan dikaji spektrum dari graf konjugasi dan graf komplemen graf konjugasi dari grup dehidral (D n ). B. Rumusan Masalah Masalah dalam penelitian ini dirumuskan sebagai berikut, yaitu bagaimana pola umum spektrum (Adjacency, Laplace, Signless Laplace, atau Detour) graf konjugasi dan graf komplemen graf konjugasi dari grup dehidral (D n ). C. Tujuan Penelitian Sesuai rumusan masalah, maka tujuan penelitian ini adalah untuk menentukan pola umum spektrum (Adjacency, Laplace, Signless Laplace, atau Detour) graf konjugasi dan graf komplemen graf konjugasi dari grup dehidral (D n ).
12 4 D. Manfaat Penelitian Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat sebagai berikut.. Memberikan informasi mengenai spektrum suatu graf yang diperolah dari suatu grup.. Memberikan informasi saling keterkaitan antara beberapa topic dalam matematika, khususnya teori graf, aljabar linier, dan aljabar abstrak.
13 BAB II STUDI PUSTAKA A. Graf Graf G adalah pasangan (V(G), E(G)) dengan V(G) adalah himpunan tidak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik, dan E(G) adalah himpunan (mungkin kosong) pasangan takberurutan dari titik-titik berbeda di V(G) yang disebut sisi. Banyaknya unsur di V(G) disebut order dari G dan dilambangkan dengan p(g), dan banyaknya unsur di E(G) disebut ukuran dari G dan dilambangkan dengan q(g). Jika graf yang dibicarakan hanya graf G, maka order dan ukuran dari G masing-masing cukup ditulis p dan q. Graf dengan order p dan ukuran q dapat disebut graf-(p, q). Sisi e = (u, v) dikatakan menghubungkan titik u dan v. Jika e = (u, v) adalah sisi di graf G, maka u dan v disebut terhubung langsung (adjacent), v dan e serta u dan e disebut terkait langsung (incident), dan titik u dan v disebut ujung dari e. Dua sisi berbeda e dan e disebut terhubung langsung (adjacent), jika terkait langsung pada satu titik yang sama. Untuk selanjutnya, sisi e = (u, v) akan ditulis e = uv. B. Derajat Titik Jika v adalah titik pada graf G, maka himpunan semua titik di G yang terhubung langsung dengan v disebut lingkungan dari v dan ditulis N G (v). Derajat dari titik v di graf G, ditulis deg G (v), adalah banyaknya sisi di G yang terkait langsung dengan v. Dalam konteks pembicaraan hanya terdapat satu graf G, maka tulisan deg G (v) disingkat menjadi deg(v) dan N G (v) disingkat menjadi N(v). Jika dikaitkan dengan konsep lingkungan, derajat titik v di graf G adalah banyaknya anggota dalam N(v). Jadi, deg( v) N( v) Titik yang berderajat disebut titik terasing atau titik terisolasi. Titik yang berderajat disebut titik ujung atau titik akhir. Titik yang berderajat genap disebut titik genap dan titik yang berderajat ganjil disebut titik ganjil. Derajat 5
14 6 maksimum titik di G dilambangkan dengan (G) dan derajat minimum titik di G dilambangkan dengan (G). Hubungan antara jumlah derajat semua titik dalam suatu graf G dengan banyak sisi, yaitu q, adalah deg( v) q vg disebut sebagai Teorema Pertama dalam Teori Graf yang dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema Misalkan G graf dengan order p dan ukuran q, dengan V(G) = { v, v, v 3,, v p }. Maka Bukti p i deg( v ) i Setiap menghitung derajat suatu titik di G, maka suatu sisi dihitung kali. Karena setiap sisi menghubungkan dua titik berbeda maka ketika menghitung derajat semua titik, sisi akan terhitung dua kali. Dengan demikian diperoleh bahwa jumlah semua derajat titik di G sama dengan kali jumlah sisi di G. Terbukti bahwa q p i deg( v ) i q. Berdasarkan hubungan tersebut, maka banyak titik ganjil dalam suatu graf selalu genap. Hal ini dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema Bukti Banyaknya titik ganjil dalam suatu graf selalu genap. Misalkan G graf. Misalkan X adalah himpunan titik genap di G dan Y adalah himpunan titik ganjil di G. Maka vg deg( v) = deg( v ) deg( v) = q. vx vy Karena X adalah himpunan titik genap maka vx deg( v) adalah genap.
15 Karena q adalah bilangan genap dan vx vy deg( v) haruslah bilangan genap. Karena Y himpunan titik ganjil dan vy deg( v) juga genap maka deg( v) adalah bilangan genap, maka banyak titik di Y haruslah genap, sebab jika banyak titik di Y ganjil maka vy deg( v) adalah ganjil. Terbukti bahwa banyaknya titik ganjil di G adalah genap. Graf G dikatakan beraturan-r atau beraturan dengan derajat r jika masing-masing titik v di G, maka deg(v) = r, untuk bilangan bulat taknegatif r. Suatu graf disebut beraturan jika graf tersebut beraturan-r untuk suatu bilangan bulat taknegatif r. Graf beraturan-3 biasa juga disebut dengan graf kubik. Graf G dikatakan komplit jika setiap dua titik yang berbeda saling terhubung langsung (adjacent). Graf komplit dengan order n dinyatakan dengan K n. Dengan demikian, maka graf K n merupakan graf beraturan-(n ) dengan order p = n dan ukuran n( n ) n q. Graf G dikatakan bipartisi jika himpunan titik pada G dapat dipartisi menjadi dua himpunan tak kosong V dan V sehingga masing-masing sisi pada graf G tersebut menghubungkan satu titik di V dengan satu titik di V. Jika G adalah graf bipartisi beraturan-r, dengan r, maka V V 7. Graf G dikatakan partisi-n jika himpunan titiknya dapat dipartisi menjadi sebanyak n himpunan tak kosong V, V,, V n, sehingga masing-masing sisi pada graf G menghubungkan titik pada V i dengan titik pada V j, untuk i j. Jika n = 3, graf partisi-n disebut graf tripartisi. Suatu graf G disebut bipartisi komplit jika G adalah graf bipartisi dan masing-masing titik pada suatu partisi terhubung langsung dengan semua titik pada partisi yang lain. Graf bipartisi komplit dengan m titik pada salah satu partisi dan n titik pada partisi yang lain ditulis K m,n. Graf bipartisi komplit K,n disebut graf bintang (star) dan dinotasikan dengan S n. Jadi, S n mempunyai order (n ) dan ukuran n.
16 Graf G dikatakan partisi-n komplit jika G adalah graf partisi-n dengan himpunan partisi V, V,, V n, sehingga jika u V i dan v V j, i j, maka uv 8 E(G). Jika V i p i, maka graf ini dinotasikan dengan K...,, p, p n. Urutan p, p, p, p n tidak begitu diperhatikan. Graf partisi-n komplit merupakan graf komplit K n jika dan hanya jika p i = untuk semua i. Jika p i = t untuk semua i, t, maka graf partisi-n komplit ini merupakan graf beraturan dan dinotasikan dengan K n(t). Jadi, K n() tidak lain adalah K n. Berikut ini adalah contoh graf tripartisi komplit K, 3, 5. Perhatikan bahwa titik dalam satu partisi tidak boleh terhubung langsung. K, 3, 5 : C. Graf Terhubung Misalkan G graf. Misalkan u dan v adalah titik di G (yang tidak harus berbeda). Jalan u-v pada graf G adalah barisan berhingga yang berselang-seling W: u=v o, e, v, e, v,, e n, v n =v antara titik dan sisi, yang dimulai dari titik dan diakhiri dengan titik, dengan e i = v i- v i i =,, 3,, n adalah sisi di G. v disebut titik awal, v n disebut titik akhir, titik v, v,, v n- disebut titik internal, dan n menyatakan panjang dari W. Jika v v n, maka W disebut jalan terbuka. Jika v = v n, maka W disebut jalan tertutup. Jalan yang tidak mempunyai sisi disebut jalan trivial. Karena dalam graf dua titik hanya akan dihubungkan oleh tepat satu sisi, maka jalan u-v W: u=v o, e, v, e, v,, e n, v n =v
17 9 dapat ditulis menjadi W: u=v o, v, v,, v n -, v n =v. Jalan W yang semua sisinya berbeda disebut trail. Jalan terbuka yang semua titiknya berbeda disebut lintasan. Dengan demikian setiap lintasan pasti merupakan trail, tetapi tidak semua trail merupakan lintasan. Teorema 3 Setiap jalan u-v pada suatu graf selalu memuat lintasan u-v. Bukti Misalkan W adalah jalan u-v di graf G. Jika W tertutup, maka jelas W memuat lintasan trivial di G. Misalkan W: u=v o, v, v,, v n -, v n =v adalah jalan u-v terbuka. Jika tidak ada titik yang berulang di W, maka W adalah lintasan u-v. Jika ada titik yang berulang di W, misakan i dan j adalah bilangan bulat positif berbeda dengan i < j sehingga v i = v j. Maka, suku v i, v i+,, v j dihapus dari W. Hasilnya sebut W, yakni jalan u-v baru yang panjangnya kurang dari panjang W. Jika pada W tidak ada titik yang berulang, maka W adalah lintasan u-v. Jika pada W ada titik yang berulang, maka lakukan proses penghapusan seperti sebelumnya, sampai akhirnya diperoleh jalan u-v yang merupakan lintasan u-v. Graf berbentuk lintasan dengan titik sebanyak n dinamakan graf lintasan order n dan ditulis P n. Jalan tertutup W tak trivial yang semua sisinya berbeda disebut sirkuit. Dengan kata lain, sirkuit adalah trail tertutup tak trivial. Jalan tertutup tak trivial yang semua titiknya berbeda disebut sikel. Dengan demikian setiap sikel pasti merupakan sirkuit, tetapi tidak semua sirkuit merupakan sikel. Jika dicarikan hubungan antara sirkuit dan sikel diperoleh bahwa: trail tertutup dan taktrivial pada graf G disebut sirkuit di G. Sirkuit v, v, v 3,, v n, v (n 3) dengan dengan v i, i =,, 3,, n berbeda disebut sikel. Sikel dengan panjang k disebut sikel-k. Sikel-k disebut genap atau ganjil bergantung pada k genap atau ganjil.
18 Graf berbentuk sikel dengan titik sebanyak n, n 3, disebut graf sikel dan ditulis C n. Graf sikel sering juga disebut sebagai graf lingkaran karena gambarnya dapat dibentuk menjadi lingkaran. Perlu dicatat bahwa tidak selamanya graf sikel digambar dalam bentuk suatu lingkaran. Graf sikel dapat juga digambar dalam bentuk poligon. C 3 dapat disebut segitiga, C 4 segiempat, dan secara umum C n dapat disebut segi-n. Sikel yang banyak titiknya ganjil disebut sikel ganjil dan sikel yang banyak titiknya genap disebut sikel genap. Misalkan u dan v titik berbeda pada graf G. Titik u dan v dikatakan terhubung (connected), jika terdapat lintasan u-v di G. Suatu graf G dikatakan terhubung (connected), jika untuk setiap titik u dan v yang berbeda di G terhubung. Dengan kata lain, suatu graf G dikatakan terhubung (connected), jika untuk setiap titik u dan v di G terdapat lintasan u-v di G. Sebaliknya, jika ada dua titik u dan v di G, tetapi tidak ada lintasan u-v di G, maka G dikatakan tak terhubung (disconnected). Untuk suatu graf terhubung G, maka jarak d u, v antara dua titik u dan v di G adalah panjang lintasan terpendek yang menghubungkan u dan v di G. Jika tidak ada lintasan dari titik u ke v, maka didefinisikan jarak d(u,v) =. Eksentrisitas e(v) dari suatu titik v pada graf terhubung G adalah jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari titik v ke setiap titik di G dapat dituliskan e(v) = max{ d u, v : u V G }. Titik v dikatakan titik eksentrik dari u jika jarak dari u ke v sama dengan eksentrisitas dari u atau d(u,v)=e(u). Radius dari G adalah eksentrisitas minimum pada setiap titik di G, dapat dituliskan rad G = min{e(v),v V}. Sedangkan diameter dari G, dinotasikan diam G adalah eksentrisitas maksimum pada setiap titik di G, dapat dituliskan diam G= max{e(v), vv} (Chartrand dan Lesniak, 986:9). Graf komplemen G dari graf G adalah graf dengan himpunan titik V(G ) = V(G) dan dua titik akan terhubung langsung di G jika dan hanya jika dua titik tersebut tidak terhubung langsung di G. Artinya jika xy E(G) maka xy E(G ) dan sebaliknya. Dengan demikian maka gabungan antara G dan G akan
19 menghasilkan graf komplit, atau q + q = berikut. n. Sebagai contoh perhatikan graf v v v v G : v 4 v 3 G v 4 v 3 D. Graf dan Matriks Misalkan G graf dengan order p (p ) dan ukuran q serta himpunan titik V(G) = {v, v,, v p }. Matriks keterhubungan titik (atau matriks keterhubungan) dari graf G, dinotasikan dengan A(G), adalah matriks (p p) dengan unsur pada baris ke-i dan kolom ke-j bernilai jika titik v i terhubung langsung dengan titik v j serta bernilai jika titik v i tidak terhubung langsung dengan titik v j. Dengan kata lain, matriks keterhubungan dapat ditulis A(G) = [a ij ], i, j p, dengan a ij, jika, jika v v E( G) i v v E( G) i j j Matriks keterhubungan suatu graf G adalah matriks simetri dengan unsur dan dan memuat nilai pada diagonal utamanya. Hal ini karena graf tidak memuat lup dan tidak memuat sisi paralel. Perhatikan contoh berikut. Misalkan graf G dengan himpunan titik V(G) = {v, v, v 3, v 4 } dan himpunan sisi E(G) = {v v, v v 4, v v 3, v v 4, v 3 v 4 }. Maka, diagram dan matriks keterhubungan graf G sebagai berikut. v v G : A(G) : v v v 3 v 4 v v v 3 v 4 v 4 v 3
20 Misalkan G graf dengan order p (p ) dan ukuran q serta himpunan sisi E(G) = {e, e,, e q }. Matriks keterhubungan sisi dari graf G, dinotasikan dengan B(G) adalah matriks (q q) yang unsur pada baris ke-i dan kolom ke-j bernilai jika sisi e i terhubung langsung dengan sisi e j, dan untuk lainnya. Dengan kata lain, matriks keterhubungan sisi dapat ditulis B(G) = [a ij ], i, j q, dengan b ij, jika, jika e dan e i e dan e i j j terhubung langsung tidak terhubung langsung Matriks keterhubungan sisi suatu graf G juga merupakan matriks simetri dengan unsur dan dan memuat nilai pada diagonal utamanya. Perhatikan contoh berikut. Misalkan graf G dengan himpunan titik V(G) = {v, v, v 3, v 4 } dan himpunan sisi E(G) = {v v, v v 4, v v 3, v v 4, v 3 v 4 }. Maka, diagram dan matriks keterhubungan graf G sebagai berikut. G : v v e e e 3 e 4 e 5 v 4 v 3 B(G) : e e e 3 e 4 e 5 e e e 3 e 4 e 5 Misalkan G graf dengan order p (p ) dan ukuran q serta himpunan titik V(G) = {v, v,, v p } dan himpunan sisi E(G) = {e, e,, e q }. Matriks keterkaitan dari graf G, dinotasikan dengan I(G) adalah matriks (p q) yang unsur pada baris i dan kolom j adalah bilangan yang menyatakan berapa kali titik v i terkait langsung dengan sisi e j. Dengan kata lain, matriks keterkaitan dapat ditulis I(G) = [c ij ], i p, j q dengan c ij, jika, jika v i v i terkait langsung dengan e tidak terkait langsung dengan e j j Matriks keterkaitan suatu graf G adalah matriks dengan unsur dan.
21 3 Perhatikan contoh berikut. Misalkan graf G dengan himpunan titik V(G) = {v, v, v 3, v 4, v 5 } dan himpunan sisi E(G) = {v v, v v 5, v v 3, v v 4, v v 5, v 4 v 5 }. Maka, diagram dan matriks keterkaitan dari graf G sebagai berikut. G : v e v v 5 e e 3 e 5 e 4 e 6 v 4 v 3 I(G) : v v v 3 v 4 v 5 e e e 3 e 4 e 5 e 6 E. Spektrum Graf Matriks keterhubungan banyak digunakan untuk membahas karakteristik graf karena matriks keterhubungan merupakan matriks persegi. Bekerja dengan matriks persegi memberikan banyak kemudahan dibanding dengan matriks tidak persegi. Berikut ini merupakan suatu perluasan pembahasan matriks keterhubungan suatu graf dikaitkan dengan konsep nilai eigen dan vektor eigen pada topik aljabar linier. Misalkan G graf berorder p dan A adalah matriks keterhubungan dari graf G. Suatu vektor tak nol x disebut vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah suatu kelipatan skalar dari x; yakni, Ax = λx, untuk sebarang scalar λ. Skalar λ disebut nilai eigen (eigen value) dari A, dan x disebut sebagai vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan λ. Untuk menentukan nilai eigen dari matriks A, persamaan Ax = λx ditulis kembali dalam bentuk A λi x =, dengan I adalah matriks identitas berordo ( p). Persamaan ini akan mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika det A λi =.
22 4 Persamaan det A λi = akan menghasilkan persamaan polinomial dalam variable dan disebut persamaan karakteristik dari matriks A. Skalar-skalar λ yang memenuhi persamaan karakteristik ini tidak lain adalah nilai nilai eigen dari matriks A. Misalkan,,, n adalah nilai eigen berbeda dari A, dengan > > > n, dan misalkan m( ), m( ),, m( n ) adalah banyaknya basis untuk ruang vektor eigen masing-masing i, maka matriks berordo ( n) yang memuat,,, n pada baris pertama dan m( ), m( ),, m( n ) pada baris kedua disebut spectrum graf G, dan dinotasikan dengan Spec(G). Jadi, spectrum graf G dapat ditulis dengan Spec(G) = ) ( ) ( ) ( n n m m m. Sebagai contoh untuk menentukan spectrum suatu graf, perhatikan graf komplit K 3 beserta matriks keterhubungannya berikut ini. Pertama akan ditentukan nilai eigen dari A menggunakan persamaan det A λi =. Diperoleh det det ) )( ( 3. A : K 3 :
23 5 Jadi, diperoleh nilai eigen = dan = -. Untuk =, maka A λi x = 3 x x x. Melalui operasi baris elementer pada matriks yang diperluas dari persamaan homogen ini, diperoleh matriks eselon tereduksi baris berikut.. Diperoleh x x 3 = x x 3 = Diperoleh vektor eigen x x x x x x x. Dengan demikian, terdapat basis untuk ruang vektor eigen pada =. Untuk = -, maka A λi x = 3 x x x. Akan diperoleh suatu persamaan tunggal, yaitu x + x + x 3 = Diperoleh vektor eigen ) ( x x x x x x x x x. Dengan demikian, terdapat basis untuk ruang vektor eigen pada = -.
24 6 Jadi, diperoleh nilai eigen = dan = - serta m( ) = dan m( ) =. Dengan demikian, maka spectrum graf K 3 adalah Spec( K 3). Spektrum yang dicontohkan di atas disebut spectrum Adjacency karena diperoleh dari matriks adjacency graf. Selain konsep matriks adjacency, masih terdapat konsep matriks lainnya yang dapat diperoleh dari suatu graf. Matriks derajat dari matriks G, dinotasikan dengan D(G), adalah matriks diagonal yang elemen baris ke-i dan kolom ke-i adalah derajat dari v i, i =,, 3,, p. Jadi, matriks derajat dari graf G dapat ditulis D(G) = [d ij ], i, j p, dengan d ij deg( vi ), i j, i j Matriks L(G) = D(G) A(G) disebut matriks Laplace dan matriks L + (G) = D(G) + A(G) disebut matriks Signless Laplacedari graf G. Pada graf G, lintasan-v v n adalah barisan titik-titik berbeda v, v,, v n sedemikian hingga titik yang berurutan terhubung langsung. Suatu graf kemudian disebut terhubung jika terdapat suatu lintasan antara sebarang dua titik di G. Misalkankan G adalah graf terhubung dengan order p. Matriks Detour dari G adalah matriks DD(G) sedemikian hingga elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j adalah bilangan yang menyatakan lintasan terpanjang dari v i ke v j di G. F. Grup Dehidral Grup adalah suatu struktur aljabar yang dinyatakan sebagai ( G, ) dengan G adalah himpunan tak kosong dan adalah operasi biner di G yang memenuhi sifat-sifat berikut:. ( a b) c a ( b c), untuk semua a, b, c G (yaitu assosiatif ).. Ada suatu elemen e di G sehingga a e ea a, untuk semua a G (e disebut identitas di G). 3. Untuk setiap a G ada suatu element ( a di sebut invers dari a) a di G sehingga a a a a e
25 7 Sebagai tambahan, grup ( G, ) disebut abelian (grup komutatif) jika a b ba untuk semua a, b G (Raisinghania dan Aggarwal, 98:3 dan Dummit dan Foote, 99:3-4). Himpunan bilangan bulat Z dengan operasi jumlah memenuhi aksioma grup, yakni (Z, +) adalah grup abelian. Grup dehidral adalah grup dari himpunan simetri-simetri dari segi-n beraturan, dinotasikan D, untuk setiap n bilangan bulat positif dan n 3. n Dalam buku lain ada yang menuliskan grup dehidral dengan Foote, 99:4-5). Misalkan s t D n D n (Dummit dan D n suatu grup yang didefinisikan oleh st untuk, yang diperoleh dari simetri (simetri sebagai fungsi pada segi-n, sehingga st adalah fungsi komposisi).jika st, akibat permutasi titik berturut-turut,, maka st akibat dari. Operasi biner pada D n adalah assosiatif karena fungsi komposisi adalah assosiatif. Identitas dari D n adalah identitas dari simetri (yang meninggalkan semua titik tetap), dinotasikan dengan, dan invers dari s D n adalah kebalikan semua putaran dari simetri s (jadi jika s akibat permutasi pada titik, s akibat dari ) (Dummit dan Foote, 99:4-5). Karena grup dehidral akan digunakan secara ektensif, maka perlu beberapa notasi dan beberapa hitungan yang dapat menyederhanakan perhitungan selanjutnya dan membantu mengamati (), r, () s, r,..., n r D n sebagai grup abstrak, yaitu: (3) (4) i s r untuk semua i. i j sr sr untuk semua i, j n dengan i j. Jadi D n {, r, r,..., r n, s, sr, sr,..., sr n } yaitu setiap elemen dapat dituliskan secara tunggal dalam bentuk untuk k = atau dan i n. (5) sr r s. (6) sr i r i s, untuk semua i n(dummit dan Foote, 99:6). s k r i Sebagai contoh D 6 adalah grup dihendral yang memuat semua simetri (rotasi dan refleksi) pada bangun segitiga sehingga D 6 = {, r, r, s, sr, sr }.
26 8 G. Graf Konjugasi Misalkan G grup non komutatif. Unsur g dan h di G dikatakan saling konjugasi jika ada x di G sehingga g = xhx -. Karena g = xhx - maka akan diperoleh h = x - g(x - ) -. Misalkan semua kelas konjugasi di G adalah [e], [g ], [g ],, [g n ]. Pada graf konjugasi dari grup G, unsur h akan terhubung langsung ke g i, jika h anggota [g i ]. Sebagai contoh pada grup dehidral order 6 yaitu D 6 = {, r, r, s, sr, sr } terhadap operasi fungsi komposisi. Maka klas konjugasi dari D 6 adalah [], [r] = {r, r }, dan [s] = {s, sr, sr }. Dengan demikian akan diperoleh graf konjugasi dari grup D 6 sebagai berikut. r sr r s sr Gambar. Graf Konjugasi dari D 6
27 BAB IV PEMBAHASAN A. Spektrum Adjacency Graf Konjugasi dari Grup Dihedral. Spektrum Adjacency Graf Konjugasi dari Grup Dihedral D 6 Grup dihedral D 6 = {, r, r, s, sr, sr }. Dengan operasi komposisi diperoleh tabel cayley sebagai berikut: Tabel 4. Tabel Cayley Grup Dihedral-6 D 6 r r s sr sr r r s sr sr r r r sr s sr r r r sr sr s s s sr sr r r sr sr sr s r r sr sr s sr r r Berdasarkan tabel Cayley di atas dapat ditunjukkan kelas-kelas konjugasi (D 6 ). Dikatakan saling konjugasi jika ada x D 6 sehingga g = xhx. Karena g = xhx maka akan diperoleh h = x g(x ).. Akan ditunjukkan bahwa g = dan h = saling konjugasi. Ambil g = dan h = dimana D 6, pilih x = maka diperoleh g = xhx = = = g = dan h = saling konjugasi, karena ada x D 6 yang memenuhi =. Sehingga kelas konjugasi [] adalah {}.. Akan ditunjukkan bahwa r dan r saling konjugasi. Ambil g = r dan h = r dimana r, r D 6, pilih x = s maka diperoleh g = xhx
28 r = sr s r = sr s r = r r dan r saling konjugasi, karena ada x D 6 yang memenuhi r = sr s. Sehingga kelas konjugasi r = {r, r }. 3. Akan ditunjukkan bahwa s, sr, sr saling konjugasi. a) Akan ditunjukkan s, sr saling konjugasi Ambil g = s dan h = sr dimana s, sr D 6, pilih x = r maka diperoleh g = xhx s = r sr(r ) s = sr r s = s s dan sr saling konjugasi, karena ada x D 6 yang memenuhi r = sr s. b) Akan ditunjukkan sr, sr saling konjugasi Ambil g = sr dan h = sr dimana sr, sr D 6, pilih x = r maka diperoleh g = xhx sr = r sr (r ) sr = sr s dan sr saling konjugasi, karena ada x D 6 yang memenuhi sr = r sr (r ). c) Akan ditunjukkan sr, s saling konjugasi Ambil g = sr dan h = s dimana sr, s D 6, pilih x = r maka diperoleh g = xhx sr = r s(r ) sr = sr r sr = sr s dan sr saling konjugasi, karena ada x D 6 yang memenuhi sr = r s(r ). Dari poin a), b), dan c) terbentuklah suatu kelas konjugasi s = { s, sr, sr } dimana s, sr dan sr saling konjugasi. Dari poin,, dan 3 maka terbentuklah kelas-kelas konjugasi dari grup D 6 yaitu: = {}
29 3 r = r, r s = {s, sr, sr } Dengan demikian berdasarkan kelas-kelas tersebut dapat digambarkan dalam suatu graf konjugasi D 6 sebagai berikut: Gambar 4. Graf Konjugasi D 6 grup D 6 : A(D 6 ) = Dari graf tersebut dapat diketahui matriks adjacency dari graf konjugasi r r s sr sr r r s sr sr Setelah mendapatkan matriks Adjacency maka akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks Adjacency tersebut det A D 6 λi = det λ λ λ λ λ λ =
30 det λ λ λ λ λ λ = Matriks tersebut dapat direduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gaus yang terdapat pada software Maple 8 sebagai berikut: 4 Karena det A D 6 λi merupakan hasil perkalian diagonal matriks segitiga maka diperoleh polinomial karakteristik sebagai berikut: det A D 6 λi = λ 3 λ λ Karena det A D 6 λi = maka, λ λ λ det A D 6 λi = λ 3 λ λ Sehingga diperoleh nilai eigenya: λ λ λ = λ =, λ =, λ 3 = Kemudian akan dicari basis untuk ruang vektor eigen dari matriks tersebut. Untuk λ = disubstitusikan ke dalam A D 6 λi, sehingga diperoleh: λ λ λ λ λ λ =
31 Selanjutnya hasil matriks tersebut akan direduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8, maka diperoleh 5 Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = sebanyak 3. Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = disubstitusikan ke dalam A D 6 λi, sehingga diperoleh: λ λ λ λ λ λ = Selanjutnya hasil matriks tersebut akan direduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8, maka diperoleh Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = sebanyak. Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 3 = disubstitusikan ke dalam A D 6 λi, sehingga diperoleh:
32 6 λ λ λ λ λ λ = Selanjutnya hasil matriks tersebut akan direduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8, maka diperoleh Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 3 = sebanyak. Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 4 = disubstitusikan ke dalam A D 6 λi, sehingga diperoleh: λ λ λ λ λ λ = Selanjutnya hasil matriks tersebut akan direduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8, maka diperoleh Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 4 = sebanyak.
33 Matriks Adjacency dengan persamaan L D 6 λi dapat diketahui nilai eigen dan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen, dengan demikian terbentuklah spektrum Adjacency dari graf konjugasi dari grup D 6 sebagai berikut: spec A (G(D 6 )) = 3 7. Spektrum Adjacency Graf Konjugasi dari Grup Dihedral (D ) Grup dihedral D = {, r, r, r 3, r 4, s, sr, sr, sr 3, sr 4 }. Dengan operasi komposisi, maka akan diketahui kelas-kelas konjugasi dari grup dihedral D. Untuk memperoleh kelas-kelas konjugasi dari grup D maka dilakukan langkah-langkah seperti pada D 6 sehingga diperoleh kelas-kelas konjugasi sebagai berikut: = {} r = r, r 4 r = r, r 3 s = {s, sr, sr, sr 3, sr 4 } Dengan demikian berdasarkan kelas-kelas konjugasi tersebut dapat digambarkan dalam suatu graf konjugasi dari grup (D ) sebagai berikut: Gambar 4. Graf Konjugasi D Dari graf konjugasi dari grup (D ) yang telah diperoleh dapat ditentukan matriks Adjacency sebagai berikut:
34 8 A D = r r r 3 r 4 s sr sr sr 3 sr 4 r r r 3 r 4 s sr sr sr 3 sr 4 Setelah mendapatkan matriks Adjacency maka akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A D dengan cara: det A D λi = maka diperoleh polinomial karakteristik sebagai berikut: λ 4 λ λ 3 λ λ λ λ λ 3 λ λ 3λ 4 λ 3 Karena det A D λi = maka diperoleh nilai eigennya yaitu: λ =, λ =, λ 3 =, λ 4 = 4. Kemudian akan dicari basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = disubstitusikan ke dalam A D λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8. Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = sebanyak 6. Untuk λ = disubstitusikan ke dalam A D λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8.
35 9 Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = sebanyak. Untuk λ 3 = disubstitusikan ke dalam A D λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8. Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 3 = sebanyak. Untuk λ 4 = 4 disubstitusikan ke dalam A D λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8.
36 3 Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 4 = 4 sebanyak. Matriks Adjacency dengan persamaan A D λi yang telah diketahui nilai eigen dan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen, dengan demikian terbentuklah spektrum Adjacency dari graf konjugasi dari grup D sebagai berikut: spec A (G(D )) = Spektrum Adjacency Graf Konjugasi dari Grup Dihedral (D 4 ) Grup dihedral D 4 = {, r, r, r 3, r 4, r 5, r 6, s, sr, sr, sr 3, sr 4, sr 5, sr 6 }. Dengan operasi komposisi, maka akan diketahui kelas-kelas konjugasi dari grup dihedral D 4. Untuk memperoleh kelas-kelas konjugasi dari grup D 4 maka dilakukan langkah-langkah seperti sebelumnya sehingga kelas-kelas konjugasi dari grup D 4 sebagai berikut: = {} r = r, r 6 r = r, r 5 r 3 = r 3, r 4 s = {s, sr, sr, sr 3, sr 4, sr 5, sr 6 } Dengan demikian berdasarkan kelas-kelas konjugasi tersebut dapat digambarkan dalam suatu graf konjugasi dari grup (D 4 ) sebagai berikut:
37 3 Gambar 4.3 Graf Konjugasi D 4 Dari graf konjugasi dari grup (D 4 ) yang telah diperoleh dapat ditentukan matriks Adjacency sebagai berikut: A D 4 = Setelah mendapatkan matriks Adjacency maka akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A D 4 dengan cara det A D 4 λi = Maka diperoleh polinomial karakteristik sebagai berikut: ( λ) 5 λ λ 4 λ λ λ λ λ 3 λ λ 3λ 4 λ 3 λ 4λ 5 λ 4 Karena det L D 4 λi = maka diperoleh nilai eigennya yaitu: λ 5λ 6 λ 5 λ =, λ =, λ 3 =, λ 4 = 6 Kemudian akan dicari basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = disubstitusikan ke dalam A D 4 λi maka diperoleh matriks
38 tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8. 3 Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = sebanyak 9. Untuk λ = disubstitusikan ke dalam A D 4 λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8. Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = sebanyak. Untuk λ 3 = disubstitusikan ke dalam A D 4 λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8.
39 33 Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 3 = sebanyak 3. Untuk λ 4 = 6 disubstitusikan ke dalam A D 4 λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8. Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 4 = 6 sebanyak. Matriks Adjacency dengan persamaan A D 4 λi yang telah diketahui nilai eigen dan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen, dengan demikian
40 terbentuklah spektrum Adjacency dari graf konjugasi dari grup D 4 sebagai berikut: spec A (G(D 4 )) = Pola Spektrum Adjacency Graf Konjugasi pada (D n ) Dari spektrun yang telah ditemukan maka diperoleh bentuk polinomial karakteristik dan spektrum Adjacency dari graf konjugasi dari beberapa grup dihedral di antaranya: Tabel 4. Polinomial Karakteristik Matriks Adjacency dari Beberapa Graf Konjugasi dari No Graf Konjugasi Polinomial Graf Konjugasi Grup Dihedral (D n ). Graf konjugasi D 6 λ 3 λ λ λ λ λ. Graf konjugasi D λ 4 λ λ 3 λ λ λ λ λ 3 λ λ 3λ 4 λ 3 3. Graf konjugasi D 4 λ 5 λ λ 4 λ λ λ λ λ 3 λ λ 3λ 4 λ 3 λ 4λ 5 λ 4 λ 5λ 6 λ 5 Tabel 4.3 Spektrum Adjacency dari Graf Konjugasi dari Grup Dihedral (D n ) No Graf Konjugasi Spektrum Graf Konjugasi. Graf konjugasi D 6 spec A D6 = 3. Graf konjugasi D spec A D = Graf konjugasi D 4 spec A D4 = 6 9 3
41 Teorema Bukti Dari tabel di atas dapat dirumuskan teorem berikut: Polinomial karakteristik matriks adjacency A D n pada graf konjugasi dari grup dihedral D n untuk n ganjil dan n 3 adalah P(λ) = λ λ n λ λ λ λ n n λ n λ + (n n) λ n λ n λ λ Diketahui grup dihedral D n = {, r, r,, r n, s, sr, sr,, sr n }. n + n + Untuk n ganjil diperoleh bahwa D n = {, r },, r jika dioperasikan dengan opersi komposisi ( ) di D n maka akan menghasilkan unsur-unsur yang saling konjugasi. Dengan demikian terbentuklah graf konjugasi D n yang mempunyai himpunan titik {, r, r,, r n, s, sr, sr,, sr n } dengan n Z ganjil dan himpunan titiknya sebanyak n. Karena graf konjugasi maka berlaku g = xhx untuk setiap x D n dan unsur g D n dan h D n adalah unsur yang saling terhubung langsung di graf konjugasi D n. Dengan unsur yang saling terhubung langsung maka diperoleh matrik keterhubungan titik: A D n = r r r n s sr sr sr n 35 Dengan melakukan eliminasi Gaus-Jordan pada A D n λi maka diperoleh polinomial karakteristik P(λ) = λ λ n λ λ λ λ n n λ n λ + (n n) λ n λ n λ λ
42 Teorema Bukti Spektrum adjacency graf konjugasi dari grup dihedral D n untuk n ganjil dan n 3 adalah spec A (G(D n )) = n, 3(n) n Berdasarkan Teorema maka diperoleh nilai eigen matriks adjacency graf konjugasi dari grup dihedral D n untuk n ganjil dan n 3 adalah λ =, λ =, λ 3 =, λ 4 = 6 Akan diperoleh multiplisitas untuk masing-masing nilai eigen tersebut yaitu m(λ ) = 3(n), m(λ ) =, m(λ 3 ) = n, m(λ 4) = Dengan demikian, maka diperoleh spec A (G(D n )) = n 3(n) n 36
43 37 B. Spektrum Laplace Graf Konjugasi dari Grup Dihedral D n. Spektrum Laplace Graf Konjugasi dari Grup Dihedral D 6 Grup dihedral D 6 = {, r, r, s, sr, sr }. Dengan operasi komposisi diperoleh tabel cayley sebagai berikut: Tabel 4.4 Tabel Cayley Grup Dihedral-6 D 6 r r s sr sr r r s sr sr r r r sr s sr r r r sr sr s s s sr sr r r sr sr sr s r r sr sr s sr r r Berdasarkan tabel Cayley di atas dapat ditunjukkan kelas-kelas konjugasi (D 6 ). Dikatakan saling konjugasi jika ada x D 6 sehingga g = xhx. Karena g = xhx maka akan diperoleh h = x g(x ).. Akan ditunjukkan bahwa g = dan h = saling konjugasi. Ambil g = dan h = dimana D 6, pilih x = maka diperoleh g = xhx = = = g = dan h = saling konjugasi, karena ada x D 6 yang memenuhi =. Sehingga kelas konjugasi [] adalah {}.. Akan ditunjukkan bahwa r dan r saling konjugasi. Ambil g = r dan h = r dimana r, r D 6, pilih x = s maka diperoleh g = xhx r = sr s r = sr s r = r
44 38 r dan r saling konjugasi, karena ada x D 6 yang memenuhi r = sr s. Sehingga kelas konjugasi r = {r, r }. 3. Akan ditunjukkan bahwa s, sr, sr saling konjugasi. a) Akan ditunjukkan s, sr saling konjugasi Ambil g = s dan h = sr dimana s, sr D 6, pilih x = r maka diperoleh g = xhx s = r sr(r ) s = sr r s = s s dan sr saling konjugasi, karena ada x D 6 yang memenuhi r = sr s. b) Akan ditunjukkan sr, sr saling konjugasi Ambil g = sr dan h = sr dimana sr, sr D 6, pilih x = r maka diperoleh g = xhx sr = r sr (r ) sr = sr s dan sr saling konjugasi, karena ada x D 6 yang memenuhi sr = r sr (r ). c) Akan ditunjukkan sr, s saling konjugasi Ambil g = sr dan h = s dimana sr, s D 6, pilih x = r maka diperoleh g = xhx sr = r s(r ) sr = sr r sr = sr s dan sr saling konjugasi, karena ada x D 6 yang memenuhi sr = r s(r ). Dari poin a), b), dan c) terbentuklah suatu kelas konjugasi s = { s, sr, sr } dimana s, sr dan sr saling konjugasi. Dari poin,, dan 3 maka terbentuklah kelas-kelas konjugasi dari grup D 6 yaitu: = {} r = r, r s = {s, sr, sr }
45 Dengan demikian berdasarkan kelas-kelas tersebut dapat digambarkan dalam suatu graf konjugasi D 6 sebagai berikut: 39 grup D 6 : A(D 6 ) = Gambar 4.4 Graf Konjugasi D 6 Dari graf tersebut dapat diketahui matriks adjacency dari graf konjugasi r r s sr sr r r s sr sr Kemudian dapat ditentukan matriks derajat dari graf konjugasi grup D 6 : D D 6 = Dengan demikian diperoleh matriks Laplace sebagai berikut: L D 6 = D D 6 A(D 6 )
46 4 = = Setelah mendapatkan matriks Laplace maka akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks Laplace tersebut det L D 6 λi = det det λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ = = Matriks tersebut dapat direduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gaus yang terdapat pada software Maple 8 sebagai berikut:
47 4 Karena det L D 6 λi merupakan hasil perkalian diagonal matriks segitiga maka diperoleh polinomial karakteristik sebagai berikut: det L D 6 λi λ + λ = λ( λ) + λ Karena det L D 6 λi = maka, λ λ 4λ λ ( 3 + λ)λ + λ λ +λ det L D 6 λi = λ( λ) +λ Sehingga diperoleh nilai eigenya: λ =, λ =, λ 3 = 3 λ λ 4λ +3 +λ ( 3+λ)λ +λ Kemudian akan dicari basis untuk ruang vektor eigen dari matriks tersebut. Untuk λ = disubstitusikan ke dalam L D 6 λi, sehingga diperoleh: = = Selanjutnya hasil matriks tersebut akan direduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8, maka diperoleh Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = sebanyak 3. Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = disubstitusikan ke dalam L D 6 λi, sehingga diperoleh:
48 = Selanjutnya hasil matriks tersebut akan direduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8, maka diperoleh 4 Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = sebanyak. Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 3 disubstitusikan ke dalam L D 6 λi, sehingga diperoleh: = Selanjutnya hasil matriks tersebut akan direduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8, maka diperoleh
49 43 Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 3 = 3 sebanyak. Matriks Laplace dengan persamaan L D 6 λi dapat diketahui nilai eigen dan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen, dengan demikian terbentuklah spektrum Laplace dari graf konjugasi dari grup D 6 sebagai berikut: spec L D6 = 3 3. Spektrum Laplace Graf Konjugasi dari Grup Dihedral (D ) Kelas-kelas konjugasi dari grup D sebagai berikut: = {} r = r, r 4 r = r, r 3 s = {s, sr, sr, sr 3, sr 4 } Dengan demikian berdasarkan kelas-kelas konjugasi tersebut dapat digambarkan dalam suatu graf konjugasi dari grup (D ) sebagai berikut: Gambar 4.5 Graf Konjugasi D
50 44 Dari graf konjugasi dari grup (D ) yang telah diperoleh dapat ditentukan matriks Laplace sebagai berikut: L D = D D A(D ) L D = Setelah mendapatkan matriks Laplace maka akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks L D dengan cara: det L D λi = maka diperoleh polinomial karakteristik sebagai berikut: λ λ λ λ +λ 4 λ λ 8λ +5 4+λ λ 7λ+ λ 3 λ 6λ+5 λ Karena det L D λi = maka diperoleh nilai eigennya yaitu: ( 5+λ)λ +λ λ =, λ =, λ 3 = 5. Kemudian akan dicari basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = disubstitusikan ke dalam L D λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8.
51 45 Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = sebanyak 4. Untuk λ = disubstitusikan ke dalam L D λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8. Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = sebanyak. Untuk λ 3 = 5 disubstitusikan ke dalam L D λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8. Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 3 = 5 sebanyak 4. Matriks Laplace dengan persamaan L D λi yang telah diketahui nilai eigen dan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen, dengan demikian terbentuklah spektrum Laplace dari graf konjugasi dari grup D sebagai berikut: spec L D = 5 4 4
52 46 3. Spektrum Laplace Graf Konjugasi dari Grup Dihedral (D 4 ) Grup dihedral D 4 = {, r, r, r 3, r 4, r 5, r 6, s, sr, sr, sr 3, sr 4, sr 5, sr 6 }. Dengan operasi komposisi, maka akan diketahui kelas-kelas konjugasi dari grup dihedral D 4 sebagai berikut: = {} r = r, r 6 r = r, r 5 r 3 = r 3, r 4 s = {s, sr, sr, sr 3, sr 4, sr 5, sr 6 } Dengan demikian berdasarkan kelas-kelas konjugasi tersebut dapat digambarkan dalam suatu graf konjugasi dari grup (D 4 ) sebagai berikut: Gambar 4.6 Graf Konjugasi D 4 Dari graf konjugasi dari grup (D 4 ) yang telah diperoleh maka dapat ditentukan matriks Laplace sebagai berikut: L D 4 = D D 4 A(D 4 )
53 L D 4 = Setelah mendapatkan matriks Laplace maka akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks L D 4 dengan cara det L D 4 λi = 47 Maka diperoleh polinomial karakteristik sebagai berikut: λ λ 3 λ λ + λ 3 6 λ λ λ λ λ λ + 8 λ 5 λ λ + λ 4 λ 9λ + 4 λ 3 λ 8λ + 7 λ (λ 7)λ + λ Karena det L D 4 λi = maka diperoleh nilai eigennya yaitu: λ =, λ =, λ 3 = 7 Kemudian akan dicari basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = disubstitusikan ke dalam L D 4 λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8.
54 48 Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = sebanyak 5. Untuk λ = disubstitusikan ke dalam L D 4 λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8. Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = sebanyak 3. Untuk λ 3 = 7 disubstitusikan ke dalam L D 4 λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8.
55 49 Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 3 = 7 sebanyak 6. Matriks Laplace dengan persamaan L D 4 λi yang telah diketahui nilai eigen dan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen, dengan demikian terbentuklah spektrum Laplace dari graf konjugasi dari grup D 4 sebagai berikut: spec L D4 = Pola Spektrum Laplace Graf Konjugasi pada (D n ) Dari spektrun yang telah ditemukan maka diperoleh bentuk polinomial karakteristik dan spektrum Laplace dari graf konjugasi dari beberapa grup dihedral di antaranya: Tabel 4.5 Polinomial Karakteristik Matriks Laplace dari Beberapa Graf Konjugasi dari No Graf Konjugasi Polinomial Graf Konjugasi Grup Dihedral (D n ). Graf konjugasi D 6. Graf konjugasi D λ +λ λ( λ) +λ λ λ λ λ +λ λ λ 8λ +5 4+λ λ λ 4λ +3 +λ 4 λ 7λ+ λ 3 ( 3+λ)λ +λ
56 5 λ 6λ +5 λ ( 5+λ)λ +λ 3. Graf konjugasi D 4 λ λ 3 λ λ +λ λ λ λ λ 3 6 λ λ +8 λ 5 λ λ + λ 4 λ 9λ +4 λ 3 λ 8λ +7 λ (λ 7)λ +λ Tabel 4.6 Spektrum Laplace dari Beberapa Graf Konjugasi dari Grup Dihedral (D n ) No Graf Konjugasi Spektrum Graf Konjugasi. Graf konjugasi D 6 spec L D6 = 3 3. Graf konjugasi D spec L D = Graf konjugasi D 4 spec L D4 = Teorema 3 Polinomial karakteristik matriks Laplace L D n pada graf konjugasi dari grup dihedral D n untuk n ganjil dan n 3, adalah λ λ n λ λ λ n n λ λ n λ+(n n ) λ n λ n λ λ Bukti Diketahui grup dihedral D n = {, r, r,, r n, s, sr, sr,, sr n }. n + n + Untuk n ganjil diperoleh bahwa D n = {, r },, r jika dioperasikan dengan opersi komposisi ( ) di D n maka akan menghasilkan unsur-unsur yang saling konjugasi. Dengan demikian terbentuklah graf konjugasi D n yang mempunyai himpunan titik {, r, r,, r n, s, sr, sr,, sr n } dengan n Z ganjil dan himpunan titiknya sebanyak n. Karena graf konjugasi maka berlaku g = xhx untuk setiap x D n dan unsur g D n dan h D n adalah unsur yang
57 saling terhubung langsung di graf konjugasi D n. Dengan unsur yang saling terhubung langsung maka diperoleh matrik keterhubungan titik: A D n = r r r n s sr sr sr n 5 Dan matriks derajat: D D n = r r r n s sr sr sr n n n n n Maka matriks Laplace graf konjugasi dari grup dihedral (D n ) adalah: L D n = r r n r s sr sr sr n n n n n Setelah mendapatkan matriks Laplace akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tersebut dengan cara det L D n λi = sehingga diperoleh matriks dari L D n λi sebagai berikut:
58 5 (L D n λi) = r r r n s sr sr sr n λ λ n n λ λ λ n λ λ λ n λ λ n λ+(n n) λ n λ n λ n λ n λ λ Teorema 4 Bukti Polinomial karakteristik dari L D n λi adalah det(l D n λi) merupakan hasil perkalian semua unsur diagonal utama matriks segitiga atas, sehingga diperoleh polinomial karakteristik sebagai berikut: p λ = λ λ n λ λ λ n n λ λ n λ + (n n) λ n λ n λ λ Spektrum Laplace graf konjugasi dari grup dihedral D n untuk n ganjil dan n 3 adalah spec L (G(D n )) = n n +3 n n Berdasarkan Teorema maka diperoleh nilai eigen matriks adjacency graf konjugasi dari grup dihedral D n untuk n ganjil dan n 3 adalah λ =, λ =, λ 3 = n Akan diperoleh multiplisitas sikel untuk masing-masing nilai eigen tersebut yaitu m(λ ) = n +3, m(λ ) = n, m(λ 3) = n Dengan demikian, maka diperoleh spec L (G(D n )) = n n + 3 n n
59 53 C. Spektrum Laplace Graf Komplemen dari Graf Konjugasi pada (D n ). Spektrum Laplace Graf Komplemen dari Graf Konjugasi pada (D 6 ) Grup dihedral D 6 memiliki anggota yaitu D 6 = {, r, r, s, sr, sr }. Kelaskelas konjugasi dari grup dihedral D 6 adalah =. r = r, r. s = s, sr, sr. Setelah mendapatkan kelas konjugasinnya, maka dapat digambar kedalam bentuk graf, yaitu dengan memisalkan setiap elemen pada D 6 sebagai titik dan kelas konjugasinya sebagai titik-titik yang terhubung. Kemudian dari graf konjugasi tersebut dapat ditentukan graf komplemennya. Dengan menggunakan bantuan aplikasi MAPLE, maka didapatkan (a) Graf konjugasi D 6 (b) Graf komplemen graf konjugasi D 6 Gambar 4.7 Graf Konjugasi D 6 dan Komplemennya Graf komplemen dari graf konjugasi D 6 dapat dibaca menggunakan matriks ketetanggaan (Adjacency Matrix A D 6 ) dan matriks derajat (Degree Matrix D D 6 ). Penjumlahan dari kedua matriks tersebut dapat disebut sebagai matriks Laplace (L D 6 ), sehingga matriks Laplace dari D 6 adalah
60 Dalam menentukan nilai eigen, maka dapat mencari persamaan polinomial dengan variabel λ di mana skalar-skalar yang memenuhi persamaan polinomial tersebut adalah nilai eigennya. Nilai eigen dari matriks D 6 dapat diketahui dengan menggunakan det L D 6 λi = det det λ 4 λ 4 λ 3 λ 3 λ 3 λ λ λ λ λ λ λ = λ 6 λ λ 4 79λ 3 + 6λ 96λ = = Dengan menggunakan persamaan polinomial diatas, maka dapat ditentukan nilai eigen dari D 6 adalah, 3, 4, dan 6. Menentukan basis ruang vektor eigen pada setiap nilai eigen dapat menggunakan L D 6 λi = Untuk nilai eigen, maka basis ruang vektor eigen dari D 6 adalah L D 6 I x =
61 x x x 3 x 4 x 5 x 6 = Sehingga matriks ruang vektor eigen yang memenuhi pada saat λ = adalah Sehingga dari matriks ruang vektor eigen pada saat λ = dapat dicari menggunakan reduksi matriks eselon baris sehingga matriksnya berbentuk Dari matriks tersebut terlihat bahwa pada saat λ = memiliki basis sebanyak. Dengan menggunakan langkah yang sama, dapat ditentukan banyaknya basis pada saat λ bernilai 3, 4, dan 6 secara berurutan adalah,, dan. Sehingga didapatkan Spektrum Laplace pada graf komplemen D 6 adalah specl D 6 = Spektrum Laplace Graf Komplemen dari Graf Konjugasi pada D 8 Dengan langkah yang sama seperti sebelumnya maka kelas konjugasi dari D 8 adalah = r = r, r 3 r = r s = s, sr sr = {sr, sr 3 } Didapatkan graf konjugasi dan komplemennya dari D 8 sebagai berikut
62 56 (b) Graf Komplemen Graf Konjugasi D 8 (a) Graf Konjugasi D 8 Gambar 4.8 Graf Konjugasi D 6 dan Komplemennya Diperoleh matriks Laplace dari D 8 (L D 8 ) adalah L D 8 = D D 8 A D Kemudian dengan menggunakan matriks sebagai berikut L D 8 λi =, maka didapatkan
63 57 7 λ 6 λ 7 λ 6 λ 6 λ 6 λ 6 λ 6 λ sehingga dapat didapatkan persamaan polinomial dari determinan matriks tersebut adalah λ 8 5λ λ 6 63λ λ λ λ λ = Maka didapatkan spektrum Laplace graf komplemen graf konjugasi D 8 sebagai berikut specl D 8 = Spektrum Laplace Graf Komplemen dari Graf Konjugasi pada D Kelas konjugasi dari D adalah = r = r, r 4 r = r, r 3 s = {s, sr, sr, sr 3, sr 4 } Maka didapatkan graf konjugasi dan graf komplemen D sebagai berikut
64 58 (a) Graf konjugasi D (b) Graf komplemen graf konjugasi D Gambar 4.9 Graf Konjugasi D dan Komplemennya Maka dapat ditentukan matriks Laplace dari D L D adalah L D = D D A D Kemudian dengan menggunakan matriks sebagai berikut L D 8 λi =, maka didapatkan
65 59 9 λ 8 λ 8 λ 8 λ 8 λ 5 λ 5 λ 5 λ 5 λ 5 λ sehingga didapatkan persamaan polinomial dari determinan matriks tersebut adalah λ 8 5λ λ 6 63λ λ λ λ λ = Maka didapatkan Spektrum Laplace graf komplemen dari graf konjugasi D sebagai berikut specl D = Spektrum Laplace Graf Komplemen dari Graf Konjugasi pada D Kelas konjugasi dari D adalah = r = r, r 5 r = r, r 4 r 3 = r 3 s = s, sr, sr 4 sr = sr, sr 3, sr 5 Maka didapatkan graf konjugasi dan graf komplemen D sebagai berikut
66 6 (a) Graf konjugasi D (b) Graf komplemen graf konjugasi D Gambar 4. Graf Konjugasi D dan Komplemennya Maka dapat ditentukan matriks Laplace dari D L D adalah L D = D D A D
67 6 Kemudian dengan menggunakan L D λi =, maka didapatkan matriks sebagai berikut λ λ λ λ λ λ 9 λ 9 λ 9 λ 9 λ 9 λ 9 λ sehingga dapat didapatkan persamaan polinomial dari determinan matriks tersebut adalah λ 6λ + 66λ 956λ λ λ λ λ λ λ λ λ = Maka didapatkan Spektrum Laplace graf komplemen graf konjugasi D sebagai berikut specl D = 9 4 Dengan cara yang sama akan diperoleh 5
SPEKTRUM ADJACENCY, SPEKTRUM LAPLACE, SPEKTRUM SIGNLESS-LAPLACE, DAN SPEKTRUM DETOUR GRAF MULTIPARTISI KOMPLIT K( 1, 2,, n )
MATEMATIKA LAPORAN PENELITIAN BERSAMA DOSEN-MAHASISWA SPEKTRUM ADJACENCY, SPEKTRUM LAPLACE, SPEKTRUM SIGNLESS-LAPLACE, DAN SPEKTRUM DETOUR GRAF MULTIPARTISI KOMPLIT K(, 2,, n ) Oleh: ABDUSSAKIR, M.Pd DEASY
Lebih terperinciDIMENSI METRIK, MULTIPLISITAS SIKEL, SERTA RADIUS DAN DIAMETER GRAF KOMUTING DAN NONKOMUTING GRUP DIHEDRAL
ALJABAR/PENELITIAN DASAR LAPORAN AKHIR PENELITIAN PENGUATAN PROGRAM STUDI DIMENSI METRIK, MULTIPLISITAS SIKEL, SERTA RADIUS DAN DIAMETER GRAF KOMUTING DAN NONKOMUTING GRUP DIHEDRAL Oleh: Dr. ABDUSSAKIR,
Lebih terperinciSpektrum Graf Konjugasi dan Komplemen Graf Konjugasi dari Grup Dihedral
Spektrum Graf Konjugasi dan Komplemen Graf Konjugasi dari Grup Dihedral Abdussakir Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang Jalan Gajayano 50 Malang, telp (0341) 551354, fax (0341) 572533
Lebih terperinciSPECTRUM DETOUR GRAF n-partisi KOMPLIT
SPECTRUM DETOUR GRAF n-partisi KOMPLIT Desy Norma Puspita Dewi Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail:phyta_3@yahoo.co.id ABSTRAK Matriks detour dari graf G adalah matriks yang elemen
Lebih terperinciSPECTRUM PADA GRAF STAR ( ) DAN GRAF BIPARTISI KOMPLIT ( ) DENGAN
PROSIDING ISBN : 978 979 6353 3 SPECTRUM PADA GRAF STAR ( ) DAN GRAF BIPARTISI OMPLIT ( ) A. DENGAN Oleh Imam Fahcruddin Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri
Lebih terperinciDETOUR ENERGY OF COMPLEMENT OF SUBGROUP GRAPH OF DIHEDRAL GROUP
ZERO JURNAL SAINS MATEMATIKA DAN TERAPAN Volume 1 No. 2 2017 Page : 41-48 P-ISSN: 2580-569X E-ISSN: 2580-5754 DETOUR ENERGY OF COMPLEMENT OF SUBGROUP GRAPH OF DIHEDRAL GROUP Abdussakir Department of Mathematics
Lebih terperinciPERSAMAAN POLINOMIAL KARAKTERISTIK MATRIKS ADJACENCY, MATRIKS LAPLACE, DAN MATRIKS SIGNLESS-LAPLACE GRAF MULTIPARTISI KOMPLIT K SKRIPSI
PERSAMAAN POLINOMIAL KARAKTERISTIK MATRIKS ADJACENCY, MATRIKS LAPLACE, DAN MATRIKS SIGNLESS-LAPLACE GRAF MULTIPARTISI KOMPLIT K SKRIPSI Oleh: DEASY SANDHYA ELYA IKAWATI NIM. 0960067 JURUSAN MATEMATIKA
Lebih terperinciGRUP AUTOMORFISME GRAF KIPAS DAN GRAF KIPAS GANDA
GRUP AUTOMORFISME GRAF KIPAS DAN GRAF KIPAS GANDA Siti Rohmawati 1, Dr.Agung Lukito, M.S. 2 1 Matematika, Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya Jalan Ketintang Gedung
Lebih terperinciEDGE-MAGIC TOTAL LABELING PADA BEBERAPA JENIS GRAPH
LAPORAN PENELITIAN MANDIRI EDGE-MAGIC TOTAL LABELING PADA BEBERAPA JENIS GRAPH Oleh Abdussakir, M.Pd UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MALANG FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI JURUSAN MATEMATIKA MEI 005 EDGE-MAGIC TOTAL
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. sepasang titik. Himpunan titik di G dinotasikan dengan V(G) dan himpunan
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Teori Graf 1. Dasar-dasar Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) ditulis dengan notasi G = (V, E), dimana V adalah himpunan titik yang tidak kosong (vertex)
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciMENJAWAB TEKA-TEKI LANGKAH KUDA PADA BEBERAPA UKURAN PAPAN CATUR DENGAN TEORI GRAPH. Oleh Abdussakir
MENJAWAB TEKA-TEKI LANGKAH KUDA PADA BEBERAPA UKURAN PAPAN CATUR DENGAN TEORI GRAPH Oleh Abdussakir Abstrak Teka-teki langkah kuda yang dimaksud dalam tulisan ini adalah menentukan langkah kuda agar dapat
Lebih terperinciNILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN disebut vektor eigen dari matriks A =
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN >> DEFINISI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Jika A adalah sebuah matriks n n, maka sebuah vektor taknol x pada R n disebut vektor eigen (vektor karakteristik) dari A jika Ax adalah
Lebih terperinciGRUP AUTOMORFISME GRAF HELM, GRAF HELM TERTUTUP, DAN GRAF BUKU
GRUP AUTOMORFISM GRAF HLM, GRAF HLM TRTUTUP, DAN GRAF BUKU Antoni Nurhidayat 1, Dr. Agung Lukito, M. S. 2 1 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya,
Lebih terperinciMA3051 Pengantar Teori Graf. Semester /2014 Pengajar: Hilda Assiyatun
MA3051 Pengantar Teori Graf Semester 1 2013/2014 Pengajar: Hilda Assiyatun Bab 1: Graf dan subgraf Graf G : tripel terurut VG, E G, ψ G ) V G himpunan titik (vertex) E G himpunan sisi (edge) ψ G fungsi
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori penelitian ini. 2. Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf
Lebih terperinciSebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :
Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi
Lebih terperinciPOLA BILANGAN DOMINASI DAN DOMINASI TOTAL GRAF COMMUTING DAN NONCOMMUTING GRUP DIHEDRAL SKRIPSI OLEH FAIQOTUL HIMMAH NIM
POLA BILANGAN DOMINASI DAN DOMINASI TOTAL GRAF COMMUTING DAN NONCOMMUTING GRUP DIHEDRAL SKRIPSI OLEH FAIQOTUL HIMMAH NIM. 11610048 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada Bagian ini akan dijelaskan beberapa definisi dan teorema terkait graf, matriks adjency, terhubung, primitifitas, dan scrambling index sebagai landasan teori yang menjadi acuan
Lebih terperinciDIMENSI METRIK GRAF COMMUTING DAN NON COMMUTING DARI GRUP DIHEDRAL SKRIPSI OLEH MOH. AFIFUDDIN NIM
DIMENSI METRIK GRAF COMMUTING DAN NON COMMUTING DARI GRUP DIHEDRAL SKRIPSI OLEH MOH. AFIFUDDIN NIM. 11610070 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. Gambar 2.1. Contoh Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai definisi graf, istilah-istilah dalam graf, matriks ketetanggaan, graf terhubung, primitivitas graf, dan scrambling index. 2.1 Definisi Graf
Lebih terperinciEdge-Magic Total Labeling pada Graph mp 2 (m bilangan asli ganjil) Oleh Abdussakir
Jurnal Saintika (ISSN 1693-640X) Edisis Khusus Dies Natalis UIN Malang, Juni 005. Halaman -7 Edge-Magic Total Labeling pada Graph mp (m bilangan asli ganjil) Oleh Abdussakir Abstrak Pelabelan total sisi
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN INTISARI
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 3 (2013), hal. 183-190 DIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN Fidiah Kinanti, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani
Lebih terperinciuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar yang berkaitan dengan permasalahan, seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan dalam penelitian ini. 2.1 Graf Graf
Lebih terperinciBAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang
Lebih terperinciGRUP DARI AUTOMORFISME GRAF BIPARTISI KOMPLIT
GRUP DARI AUTOMORFISME GRAF BIPARTISI KOMPLIT TRY AZISAH NURMAN Jurusan Matematik Fakultas Sains Teknologi, UINAM chicha_chirwan@yahoo.com Info: Jurnal MSA Vol. No. Edisi: Januari Juni 0 Artikel No.: Halaman:
Lebih terperinciAUTOMORFISME GRAF BINTANG DAN GRAF LINTASAN
AUTOMORFISME GRAF BINTANG DAN GRAF LINTASAN Reni Tri Damayanti Mahasiswa Pascasarjana Jurusan Matematika Universitas Brawijaya Email: si_cerdazzz@rocketmail.com ABSTRAK Salah satu topik yang menarik untuk
Lebih terperinciGraf dan Operasi graf
6 Bab II Graf dan Operasi graf Dalam subbab ini akan diberikan konsep dasar, definisi dan notasi pada teori graf yang dipergunakan dalam penulisan disertasi ini. Konsep dasar tersebut ditulis sesuai dengan
Lebih terperinciMODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf, graf pohon dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini 2.1 KONSEP DASAR GRAF Konsep
Lebih terperinciTOTAL k-defisiensi TITIK DARI POHON MERENTANG SUATU GRAF TERHUBUNG
TOTAL k-defisiensi TITIK DARI POHON MERENTANG SUATU GRAF TERHUBUNG SKRIPSI oleh: PUSPITA DYAN ANGGRAINI NIM. 07610041 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK
Lebih terperinciALTERNATIF PEMBUKTIAN DAN PENERAPAN TEOREMA BONDY. Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Mipa Universitas Hasanuddin
ALTERNATIF PEMBUKTIAN DAN PENERAPAN TEOREMA BONDY Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Mipa Universitas Hasanuddin hasma_ba@yahoo.com Abstract Graf yang memuat semua siklus dari yang terkecil sampai
Lebih terperinciv 3 e 2 e 4 e 6 e 3 v 4
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi graf sebagai landasan teori dari penelitian ini... Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan diberikan
Lebih terperinci2. TINJAUAN PUSTAKA. Chartrand dan Zhang (2005) yaitu sebagai berikut: himpunan tak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik
2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf yang diambil dari buku Chartrand dan Zhang (2005) yaitu sebagai berikut: Suatu Graf G adalah suatu pasangan himpunan
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: GRUP
STRUKTUR ALJABAR: GRUP BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI Bandung 2016 1 A. Pendahuluan Ilustrasi 1.1: Perhatikan
Lebih terperinciBAB 2. Konsep Dasar. 2.1 Definisi graf
BAB 2 Konsep Dasar 21 Definisi graf Suatu graf G = (V(G), E(G)) didefinisikan sebagai pasangan himpunan 2 titik V(G) dan himpunan sisi E(G) dengan V(G) dan E(G) [ VG ( )] Sebagai contoh, graf G 1 = (V(G
Lebih terperinciBab 2 TEORI DASAR. 2.1 Graf
Bab 2 TEORI DASAR Pada bab ini akan dipaparkan beberapa definisi dasar dalam Teori Graf yang kemudian dilanjutkan dengan definisi bilangan kromatik lokasi, serta menyertakan beberapa hasil penelitian sebelumnya.
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu
II KONSEP DASAR GRUP Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar abstrak abstract algebra Sistem aljabar algebraic system terdiri dari suatu himpunan obyek satu atau lebih
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: RING
STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari
Lebih terperinciEigen value & Eigen vektor
Eigen value & Eigen vektor Hubungan antara vektor x (bukan nol) dengan vektor Ax yang berada di R n pada proses transformasi dapat terjadi dua kemungkinan : 1) 2) Tidak mudah untuk dibayangkan hubungan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Beberapa konsep dasar
Lebih terperinciALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Lebih terperinciPELABELAN GRACEFUL SISI BERARAH PADA GRAF GABUNGAN GRAF SIKEL DAN GRAF STAR. Putri Octafiani 1, R. Heri Soelistyo U 2
PELABELAN GRACEFUL SISI BERARAH PADA GRAF GABUNGAN GRAF SIKEL DAN GRAF STAR Putri Octafiani 1, R. Heri Soelistyo U 2 1,2 Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang
Lebih terperinciGraph. Rembang. Kudus. Brebes Tegal. Demak Semarang. Pemalang. Kendal. Pekalongan Blora. Slawi. Purwodadi. Temanggung Salatiga Wonosobo Purbalingga
TEORI GRAPH Graph Graph Graph digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar berikut ini sebuah graph yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang dibicarakan yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Bentuk umum dari matriks bujur sangkar adalah sebagai berikut:
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini dibicarakan mengenai matriks yang berbentuk bujur sangkar dengan beberapa definisi, teorema, sifat-sifat dan contoh sesuai dengan matriks tertentu yang dibicarakan yang
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi graf,
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan diberikan beberapa materi yang akan diperlukan di dalam pembahasan, seperti: matriks secara umum; matriks yang dipartisi; matriks tereduksi dan taktereduksi; matriks
Lebih terperinciAPLIKASI TEOREMA MATRIKS-POHON UNTUK MENENTUKAN BANYAKNYA POHON RENTANGAN PADA GRAF BIPARTISI KOMPLIT (K m,n )
APLIKASI TEOREMA MATRIKS-POHON UNTUK MENENTUKAN BANYAKNYA POHON RENTANGAN PADA GRAF BIPARTISI KOMPLIT (K m,n ) SKRIPSI Oleh: NOVIA DWI RAHMAWATI NIM. 06510039 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. definisi mengenai grup, ring, dan lapangan serta teori-teori pengkodean yang
BAB II KAJIAN TEORI Pada Bab II ini berisi kajian teori. Di bab ini akan dijelaskan beberapa definisi mengenai grup, ring, dan lapangan serta teori-teori pengkodean yang mendasari teori kode BCH. A. Grup
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini.. Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang
Lebih terperinciAUTOMORFISME GRAF BINTANG DAN GRAF LINTASAN SKRIPSI. Oleh: RENI TRI DAMAYANTI NIM
AUTOMORFISME GRAF BINTANG DAN GRAF LINTASAN SKRIPSI Oleh: RENI TRI DAMAYANTI NIM. 07610029 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2011
Lebih terperinciDIGRAF EKSENTRIK DARI GRAF STAR DAN GRAF WHEEL
DIGRAF EKSENTRIK DARI GRAF STAR DAN GRAF WHEEL skripsi disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika oleh Rido Oktosa 4150406504 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Teori Graph 2.1.1 Graph Tak Berarah dan Digraph Suatu Graph Tak Berarah (Undirected Graph) merupakan kumpulan dari titik yang disebut verteks dan segmen garis yang
Lebih terperinci5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.
1. Persamaan Linier 5. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier. Contoh : a) 2x + 3y
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Sub Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss Jordan Penyelesaian SPL dengan invers SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan
Lebih terperinciPenerapan Teorema Bondy pada Penentuan Bilangan Ramsey Graf Bintang Terhadap Graf Roda
Vol. 9, No.2, 114-122, Januari 2013 Penerapan Teorema Bondy pada Penentuan Bilangan Ramsey Graf Bintang Terhadap Graf Roda Hasmawati 1 Abstrak Graf yang memuat semua siklus dari yang terkecil sampai ke
Lebih terperinciAljabar Linier Lanjut. Kuliah 1
Aljabar Linier Lanjut Kuliah 1 Materi Kuliah (Review) Multiset Matriks Polinomial Relasi Ekivalensi Kardinal Aritmatika 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Multiset Definisi Misalkan S himpunan
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks
Lebih terperinciPertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan
Lebih terperinciBAB II DASAR DASAR TEORI
BAB II DASA DASA TEOI.. uang ruang Vektor.. uang Vektor Umum Defenisi dan sifat sifat sederhana Defenisi : Misalkan V adalah sebarang himpunan benda yang didefenisikan dua operasi, yakni penambahan perkalian
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Graf (Graph) Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang dinotasikan dalam bentuk G = {V(G), E(G)}, dimana V(G) adalah himpunan vertex (simpul) yang tidak kosong
Lebih terperinciBAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN
BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN Pada bab 1 ini akan dibahas definisi kode, khususnya kode linier atas dan pencacah bobot Hammingnya. Di samping itu, akan dijelaskanan invarian, ring invarian dan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Graf 2.1.1 Defenisi Graf Suatu graf G adalah suatu himpunan berhingga tak kosong dari objek-objek yang disebut verteks (titik/simpul) dengan suatu himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan pada bab selanjutnya. 2.1 Definisi dan Istilah Dalam Teori Graf
Lebih terperinciBab 2. Teori Dasar. 2.1 Definisi Graf
Bab 2 Teori Dasar Pada bagian ini diberikan definisi-definisi dasar dalam teori graf berikut penjabaran mengenai kompleksitas algoritma beserta contohnya yang akan digunakan dalam tugas akhir ini. Berikut
Lebih terperinciGRUP AUTOMORFISMA PADA GRAF COMMUTING DARI GRUP DIHEDRAL DAN GRUP SIMETRI HALAMAN JUDUL SKRIPSI OLEH DINI CHANDRA AULIA PUTRI NIM.
GRUP AUTOMORFISMA PADA GRAF COMMUTING DARI GRUP DIHEDRAL DAN GRUP SIMETRI HALAMAN JUDUL SKRIPSI HALAMAN JUDUL OLEH DINI CHANDRA AULIA PUTRI NIM. 12610019 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
Lebih terperinciJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
CATATAN KULIAH ALJABAR LINEAR MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 20 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan sistem persamaan linear. OPERASI BARIS ELEMENTER
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini dibahas penelitian-penelitian tentang aljabar maks-plus yang telah dilakukan dan teori-teori yang menunjang penelitian masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum
Lebih terperinci7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal
7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal Nilai Eigen, Vektor Eigen Diketahui A matriks nxn dan x adalah suatu vektor pada R n, maka biasanya tdk ada
Lebih terperinciSUPER EDGE-MAGIC LABELING PADA GRAPH ULAT DENGAN HIMPUNAN DERAJAT {1, 4} DAN n TITIK BERDERAJAT 4
SUPER EDGE-MAGIC LABELING PADA GRAPH ULAT DENGAN HIMPUNAN DERAJAT {1, 4} DAN n TITIK BERDERAJAT 4 Abdussakir Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim
Lebih terperinciMATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN
MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN 2301-9115 GRAF TOTAL SUATU MODUL BERDASARKAN SUBMODUL SINGULER Dian Ambarsari (S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciSistem Persamaan Linier dan Matriks
Sistem Persamaan Linier dan Matriks 1.1 Pendahuluan linier: Sebuah garis pada bidang- dapat dinyatakan secara aljabar dengan sebuah persamaan Sebuah persamaan jenis ini disebut persamaan linier dalam dua
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup
BAB 3 DASAR DASAR GRUP Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinci0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d
1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan disajikan beberapa teori dasar yang digunakan sebagai
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan disajikan beberapa teori dasar yang digunakan sebagai landasan teori penelitian ini yaitu teori grup dan teori graf. Pada bagian pertama akan dibahas tentang teori
Lebih terperinci(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciDIMENSI METRIK PADA HASIL OPERASI KORONA DUA BUAH GRAF
JURNAL BUANA MATEMATIKA Vol 7, No 2, Tahun 2017 ISSN 2088-3021 (media cetak) ISSN 2598-8077 (media online) DIMENSI METRIK PADA HASIL OPERASI KORONA DUA BUAH GRAF Silviana Maya P 1, Syarifuddin N Kapita
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan
Lebih terperinciPenerapan Teori Graf untuk Mencari Eksentrik Digraf dari Graf Star, Graf Double Star dan Graf Komplit Bipartit
Penerapan Teori Graf untuk Mencari Eksentrik Digraf dari Graf Star, Graf Double Star dan Graf Komplit Bipartit Ivan Saputra 13505091 Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesha
Lebih terperinci6 Sistem Persamaan Linear
6 Sistem Persamaan Linear Pada bab, kita diminta untuk mencari suatu nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = 0. Pada bab ini, masalah tersebut diperumum dengan mencari x = (x, x,..., x n ) yang secara sekaligus
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN
Lebih terperinciBAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 6 RING (GELANGGANG) Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field Tujuan Instruksional
Lebih terperinciDIMENSI METRIK PADA GRAF LINTASAN, GRAF KOMPLIT, GRAF SIKEL, GRAF BINTANG DAN GRAF BIPARTIT KOMPLIT
DIMENSI METRIK PADA GRAF LINTASAN, GRAF KOMPLIT, GRAF SIKEL, GRAF BINTANG DAN GRAF BIPARTIT KOMPLIT Septiana Eka R. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,Universitas Negeri
Lebih terperinciMENENTUKAN NILPOTENT ORDE 4 PADA MATRIKS SINGULAR MENGGUNAKAN TEOREMA CAYLEY HAMILTON TUGAS AKHIR
MENENTUKAN NILPOTENT ORDE 4 PADA MATRIKS SINGULAR MENGGUNAKAN TEOREMA CAYLEY HAMILTON TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika Oleh: IRMA
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks. 4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks
1.1 LATAR BELAKANG BAB I PENDAHULUAN Teori matriks merupakan salah satu cabang ilmu aljabar linier yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2
Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut
Lebih terperinciMETODE PANGKAT DAN METODE DEFLASI DALAM MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS
METODE PANGKAT DAN METODE DEFLASI DALAM MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS Arif Prodi Matematika, FST- UINAM Wahyuni Prodi Matematika, FST-UINAM Try Azisah Prodi Matematika, FST-UINAM
Lebih terperinciMATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun
Lebih terperinciBAB X SISTEM PERSAMAAN LINIER
BAB X SISTEM PERSAMAAN LINIER 10.1 Definisi Persamaan linier adalah persamaan aljabar yang terdiri dari satu atau lebih peubah dan masing-masing peubah mempunyai derajad satu. Sebagai contoh persamaan
Lebih terperinciBILANGAN RAINBOW CONNECTION DARI HASIL OPERASI PENJUMLAHAN DAN PERKALIAN KARTESIUS DUA GRAF
BILANGAN RAINBOW CONNECTION DARI HASIL OPERASI PENJUMLAHAN DAN PERKALIAN KARTESIUS DUA GRAF Fuad Adi Saputra Mahasiswa Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: tee_fu@yahoo.com ABSTRAK
Lebih terperinciII.TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan tentang definisi serta konsep-konsep yang mendukung
II.TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan tentang definisi serta konsep-konsep yang mendukung dalam penelitian ini. 2.1. Konsep Dasar Teori Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan terurut
Lebih terperinciPertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT
Pertemuan Ke SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST,MT Pendahuluan Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1: 9 5
Lebih terperinci