EIGENVALUE DAN EIGENVECTOR DARI MATRIKS POLINOMIAL DALAM ALJABAR MAX-PLUS. Jl. Prof. Soedharto Tembalang, Semarang ABSTRAK

Transkripsi

1 EIGENVALUE DAN EIGENVECTOR DARI MATRIKS POLINOMIAL DALAM ALJABAR MAX-PLUS 1 Rt Novitsri, 2 Dir Mutir Kusumo Aggrei 1 Progrm Studi Mtemtik, Jurus Mtemtik, Uiversits Dioegoro 2 Progrm Studi Tekik Iformtik, Jurus Mtemtik, Uiversits Dioegoro Jl. Prof. Soedhrto Temblg, Semrg ABSTRAK Pd eeliti ii, k dibhs megei eigevlue d eigevector dri oliomil dlm betuk mtriks di dlm Aljbr Mx-Plus. Teorem Perro-Frobeius diterk seerti hly d ljbr bis deg membetuk koresodesi stu-stu tr eigevlue d eigevector dri mtriks oliomil deg eigevlue d eigevector dri mtriks Comio. Proses erhitug k diguk Progrm Scilb. Kt Kuci : eigevlue, eigevector, mtriks oliomil, Aljbr Mx-Plus 1. PENDAHULUAN 1.1. Ltr Belkg Dlm ljbr bis, eigevlue d eigevector memuyi er sgt etig dlm fisik d tekik, tr li dlm betuk digolissi mtriks d mucul dlm liksi umum seerti lisis stbilits, fisik rottig bodies, d osilsi dri vibrtig system d sebgiy. Berbgi eeliti terus dilkuk 1

2 megei eigevlue d eigevector ii sert cr medtky dlm betuk berbgi mtriks. Slh stuy dlh mtriks oliomil yg memuyi byk liksi, ditry yitu eeliti oleh A Si (1996), Psrrkos (2004), Byers(2008) d Adhikri (2011). Seerti hly dlm Aljbr bis, eigevlue d eigevector dlm Aljbr Mx Plus jug etig dlm eyelesi sutu sistem tuu utuk meetuk kestbil sutu sistem. Eigevlue d eigevector d mtriks itervl dlm ljbr mx lus telh dibhs oleh Cechlrov (2005) sedgk eigevlue d eigevector mtriks Moge d Aljbr Mx-Plus telh dibhs oleh Gvlec (2006). Eigevlue d eigevector mtriks oliomil dlm Aljbr Mx dibhs oleh Gursoy (2011). Pd eeliti ii, k dibhs megei eigevlue d eigevector dri oliomil dlm betuk mtriks di dlm Aljbr Mx-Plus. Teorem Perro-Frobeius diterk seerti hly d ljbr bis deg membetuk koresodesi stu-stu tr eigevlue d eigevector dri mtriks oliomil deg eigevlue d eigevector dri mtriks Comio. Proses erhitug k diguk Progrm Scilb Rumus mslh Eigevlue d eigevector dri mtriks oliomil dlm Aljbr Mx-lus deg meerk Teorem Perro Frobeius. Sert kodisi tu syrt yg dierluk sutu mtriks oliomil memuyi eigevlue tu eigevector yg tuggl Tuju Tuju dri eeliti ii dlh utuk medtk eigevlue d eigevector dri mtriks oliomil dlm Aljbr Mx-lus. Sert medtk syrt sutu mtriks oliomil dlm Aljbr mx-lus memuyi eigevlue tu eigevector yg tuggl. 1.4.Mft Adu mft dri eeliti ii dlh membh kji megei eigevlue d eigevector dri mtriks oliomil dlm Aljbr Mx-lus. 2

3 2. ALJABAR MAX-PLUS Didefiisik def d def 0 dim R dlh himu bilg riil. Defiisi 2.1 Struktur ljbr R mks (Bcelli dkk., 1992) e. Himu R mks dlh himu R, Simbol R mks meytk himu R deg du oersi bier yitu mksimum yg diotsik d ejumlh yg diotsik. def mks, Utuk seti, b R mks, didefiisik oersi d dlh b b d b def b. Himu R mks deg oersi d disebut Aljbr Mx-Plus d diytk deg R = (R mks,,,, e). Sedgk oersi gkt dlm Aljbr Mx-lus utuk seti x R mks dlh x def, utuk semu N deg 0, d utuk = 0 x x x kli def 0 didefiisik x e 0 ditulis x x x x x. kli. Sehigg x, utuk seti N, dlm ljbr bis dt 2.1 Vektor d Mtriks dlm Aljbr Mx-Plus Himu mtriks di dlm Aljbr Mx-Plus diytk deg R m. Utuk def N deg 0, didefiisik 1,2,. Eleme dri mtriks A R m d bris ke i d kolom ke j diytk deg, utuk i d j m. Mtriks A dt ditulis deg A m 2m m. Oersi ejumlh mtriks A, B R m, diotsik deg A B, didefiisik A B b mks, b, dim i d j m. Adu oersi erkli A R m m deg sklr R, didefiisik oleh A A, deg i d j m. 3

4 Sedgk oersi erkli mtriks A, B R m, didefiisik sebgi A B l j1 b jk jl mks b jk, utuk i d j m. Sift erkli mtriks ii dlh tidk komuttif, yitu A B B A. x def mk s mks 1 Eleme-eleme dri R R disebut vektor. Eleme ke j dri sebuh vektor R diotsik deg x mks j tu ditulis j x. Vektor di R deg semu elemey sm deg e disebut vektor uit d diotsik deg u, tu ditulis u e utuk j. Utuk sebrg R erkli u meghsilk sebuh j vektor deg semu elemey sm deg. 2.2 Grh Berrh dlm Aljbr Mx-Plus Grh berrh G dlh sebuh sg (V, E) dim V dlh himu berhigg dri ode tu verteks d E dlh himu sg berurut dri ode yg disebut rc tu edge. Yg dimksud deg berurut bh rc (i, j) tidk sm deg rc (j, i). Jik (i, j) E, berrti G memut rc dri i ke j sehigg disebut icomig rc j d outgoig rc i. Mislk (i, j) E teti (j, i) E berrti bh d rc dri i ke j teti tidk d rc dri j ke i, hl ii meujukk rh dri grh sehigg disebut grh berrh tu digrh. Grh berrh disebut memuyi bobot jik seti rc (i, j) E memuyi sebuh bobot (i, j) R. Jik sebrg mtriks A berukur dlm R mks dt di ubh mejdi sebuh grh yg slig berhubug, mk grh tersebut dimk Commuictio Grh dri mtriks A yg diotsik deg G(A). Himu odeode dri sebuh grh dri mtriks A diotsik deg V(A) = d sebuh mks mks sg (i, j) dlh sebuh rc dri grh jik ji. Himu rc-rc dri sebuh grh dri mtriks A diotsik E (A). Utuk sebrg du ode i, j, sebuh bris rc = ((i k, j k ) E : k m sehigg i = i 1, j k = i k+1 utuk k < m d j m = j disebut sebuh th dri i ke j. Pth yg terdiri 4

5 dri ode i = i 1, i 2,... i m = j diktk memuyi jg m, yg diotsik l m. Seljuty, jik i = j, mk th seerti ii disebut sebuh circuit. Defiisi 2.2 Precedece Grh (Bcelli dkk., 1992) Precedece grh dri mtriks bujur sgkr A deg elemey dlh sebuh digrh berbobot deg ode d sebuh rc (j, i) jik ii dlh ili dri. Precedece grh diotsik G(A)., dim bobot d rc Dri defiisi di ts, utuk sebuh rc (i, j) di G(A) memuyi bobot ji d bobot dri sebuh th di G(A) dlh jumlh dri bobot-bobot semu rc yg membgu grh tersebut. Bobot dri sebuh th diytk deg. Sehigg bobot rt-rt dri sebuh th dlh. Notsi ii jug berlku utuk bobot rtrt sebuh circuit tu circuit me. l Lemm 2.3 (Heidergott dkk., 2006) Mislk A R m dlh sebrg circuit di G(A) memuyi bobot rt-rt circuit kurg tu sm deg e. Mk, mtriks A memeuhi: A A k1 k A A 2 A 3 A R mks Sebuh grh disebut terhubug (coected) jik utuk semu sg ode i d j d rc yg meghubugk i d j. Grh disebut strogly coected jik utuk sebrg ode i d j d sebuh th dri i ke j. Sebuh mtriks A R m disebut irreducible jik grh G(A) dlh strogly coected. Jik sebuh mtriks tidk irreducible, mk mtriks tersebut disebut reducible. 5

6 3. EIGENVALUE DAN EIGENVECTOR DALAM ALJABAR MAX-PLUS Defiisi 3.1. (Heidergott dkk., 2006) Mislk A R m dlh mtriks bujur sgkr. Jik dlh sebuh sklr d v R dlh sebuh vektor yg memut miiml stu eleme yg berhigg sehigg memeuhi A v v, mk disebut eigevlue dri mtriks A d v dlh eigevector dri mtriks A yg bersesui deg eigevlue. Dri defiisi di ts, sebuh eigevlue bis berili. Sedgk utuk sebuh eigevector bis memuyi eleme-eleme yg iliy sm deg slk msih memiliki eleme yg berhigg miiml stu. Lemm 3.2 (Heidergott dkk., 2006) Mislk A R m memuyi eigevlue yg berhigg. mk d sebuh circuit di G(A) sehigg. l Sebuh circuit di G(A) disebut criticl jik memuyi bobot rt-rt mksimum, yitu l. Criticl grh A diotsik deg G C (A) yitu grh yg terdiri dri semu ode d rc yg mejdi ggot criticl circuit di G(A). Semu ode yg mejdi ggot G C (A) disebut criticl ode. Sedgk subth dri criticl circuit disebut criticl th. Lemm 3.3 (Heidergott dkk., 2006) Mislk G(A) memut miiml stu circuit, mk sebrg circuit di G C (A) dlh criticl. Mislk eigevlue dlh bilg riil yg berhigg, diberik mtriks A deg ggoty dlh A. Mtriks A kdg-kdg megrh d mtriks ormlissi. Sehigg bobot rt-rt mksimum di G(A ) dlh ol sehigg mucul dy mtriks A. 6

7 Lemm 3.4 (Heidergott dkk., 2006) Jik grh G(A) dri mtriks A R m memuyi mksiml bobot rt-rt circuit yg berhigg, mk sklr dlh sebuh eigevlue dri mtriks A d kolom * A. j dlh sebuh eigevector dri mtriks A yg bersesui deg utuk sebrg ode j di G C (A). Teorem 3.5 (Heidergott dkk., 2006) Sebrg mtriks irreducible A R m memuyi stu d hy stu eigevlue. Eigevlue ii dlh bilg riil berhigg d iliy sm deg bobot rtrt mksimum dri circuit d G(A) yitu: A. mks C A l Utuk erhitug eigevlue d eigevector berikuty diguk Poer Algorithm oleh Subioo (2000). Progrm yg diguk dlh Scilb deg Mxlus Algebr Toolbox oleh Subioo (2007). 4. EIGENVALUE DAN EIGENVECTOR MATRIKS POLINOMIAL DALAM ALJABAR MAX-PLUS Seerti dlm Aljbr bis, Mtriks oliomil dlm Aljbr Mx-Plus didefiisik sebgi berikut: P(λ) = A λa λ A, dim A, A,, A R m. Mtriks oliomil P(λ) diktk sebgi mtriks oliomil deg derjt m 1. Peer teorem Perro Frobeius seerti hly d Aljbr bis, yitu eigevlue d eigevector didefiisik: 7

8 (i) Eigevlue κ 0 diktk sebgi eigevlue mx-lus k dri mtriks oliomil P(λ) yg bersesui deg eigevector mx-lus k υ 0 jik memeuhi ersm P(κ) ν = κ. υ. Mk (κ, ν) dlh sg eige mx-lus k dri mtriks oliomil P(λ). (ii) Eigevlue τ 0 diktk sebgi eigevlue mx-lus kiri dri mtriks oliomil P(λ) yg bersesui deg eigevector mx-lus kiri 0 jik memeuhi ersm P(τ) = τ.. Mk (τ, ) dlh sg eige mxlus kiri dri mtriks oliomil P(λ). Deg mtriks Comio sebgi berikut: C = R A A A A Hubug tr mtriks oliomil d mtriks Comio, lebih ljut delsk dlm roosisi berikut ii. Proosisi 4.1. Sutu mtriks oliomil P(λ) yg bersesui deg mtriks Comio. Mk (κ, ν) R R dlh sg eige mx-lus k dri mtriks oliomil P(λ) jik d hy jik (κ, ν ) R R dlh sg eige mx-lus k dri mtriks Comio, dim: ν = υ κυ κ υ Sedgk (τ, ) R R dlh sg eige mx-lus kiri dri mtriks oliomil P(λ) jik d hy jik (τ, ) R R dlh sg eige mx-lus kiri dri mtriks Comio, dim: 8

9 irreducible. Teorem τ A 1 = τ A 1 τ A 1 τ A 1 τ A 1 τ A Dibh ii mejelsk megei eigevlue dri mtriks Comio yg Diberik sutu mtriks oliomil P(λ) yg bersesui deg mtriks Comio. Agg bh C dlh irreducible. Mk μc dlh bobot rt-rt mksimum secr geometri dri circuit mtriks Comio C. Nili μc meruk stustuy eigevlue mx-lus dri mtriks oliomil P(λ). Dlm betuk μ μc d vektor ositif v, > 0 di R sehigg P(μ) v = μ v d P(μ) = μ. Dri Teorem 4.2 di ts, didtk bh jik mtriks Comio dri sutu mtriks oliomil teryt dlh irreducible, mk mtriks oliomil k memuyi eigevlue yg tuggl. Sedgk Mtriks oliomil yg memuyi eigevector kiri d k yg tuggl, delsk dlm teorem sebgi berikut: Teorem 4.3 Diberik mtriks oliomil P(λ) yg bersesui deg mtriks Comio. Jik otsi C meytk criticl mtrix dri P(λ), mk mtriks oliomil P(λ) memuyi eigevector kiri d k yg tuggl dlm betuk sklr besert kelity, jik d hy jik grf dri C dlh strogly coected. Berdsrk Teorem 4.3 di ts, sutu mtriks oliomil k memuyi eigevector kiri d k yg tuggl deg syrt bh grf yg terbetuk dri 9

10 criticl mtrix Comio dlh strogly coected. Nili eigevector dri mtriks oliomil ii jug berlku utuk kelity. 5. Kesimul d Sr Adu kesimul d sr dri eeliti yg telh dilkuk dlh sebgi berikut: 5.1.Kesimul Peer Teorem Perro Frobeius d Aljbr Mx-Plus sebgim hly d Aljbr bis, didtk bh dlm mtriks oliomil dlm Aljbr Mx-Plus memuyi eigevlue k mx-lus yg bersesui deg eigevector k mx-lus. Begitu ul deg eigevlue kiri mx-lus yg bersesui deg eigevector kiri mx-lus. Mtriks oliomil dlm Aljbr Mx-lus k memuyi eigevlue yg tuggl jik mtriks Comioy dlh irreducible. Sedgk mtriks oliomil dlm Aljbr Mx-lus k memuyi eigevector kiri d k yg tuggl sert kelity jik grf yg dibetuk dri criticl mtriks Comioy dlh strogly coected Sr Peeliti megei eigevlue d eigevector dlm Aljbr Mx-lus dierluk kji yg lebih ljut. Bik itu utuk mtriks oliomil itu sediri deg megguk metode yg berbed tuu dri betuk-betuk mtriks yg liy. 6. Dftr Pustk Adhikri, B., Alm, R., Kresser, D. (2011), Structured eigevlue coditio umbers d lieriztios for mtrix olyomils, Jourl of Lier Algebr d its Alictio, vol.435, hl Bccelli, F., Cohe, G., Olsder, G.J. d Qudrt, J.P. (1992), Sychroiztio d Lierity, A Algebr for Discrete Evet Systems, Joh Wiley & Sos, Ne York. Byers, R., Mehrm, V., Xu, H. (2008), Trimmed lieriztios for structured mtrix olyomils, Jourl of Lier Algebr d its Alictio, vol.429, hl

11 Cechlrov, K. (2005), Eigevectors of Itervl Mtrices over Mx-Plus Algebr, Jourl of Discrete Alied Mthemtics, vol. 150, hl Gvlec, M., Plvk, J. (2006), Comutig eigevector of Moge mtrix i mx-lus lgebr, Jourl of Mthemtics Method Oertio Reserch, Vol. 63, hl Gursoy, B., Mso, O. (2011), Sectrl roerties of mtrix olyomils i the mx lgebr, Jourl of Lier Algebr d Its Alictio, vol. 435, hl Heidergott, B., Olsder, G.J. d Woude, J. v der (2006), Mx Plus t Work, Modelig d Alysis of Sychroized Systems: A Course o Mx-Plus Algebr d Its Alictios, Priceto Uiversity Press, Ne Jersey. Psrrkos,P., Tstsomeros, M. (2004), A rimer of Perro Frobeius theory for mtrix olyomils, Jourl of Lier Algebr d its Alictio, vol.393, hl Si, A, Aschee, W. (1996), Orthogol Mtrix Polyomil d Alictios, Jourl of Comuttiol d Alied Mthemtics, vol.66, hl Subioo, Woude, J. v der (2000), Poer Algorithm for (mx, +) d Birtite (mi, mx, +) Systems, Jourl of Discrete Evet Dymic Systems, vol. 10, hl Subioo (2007), Mx-lus Algebr Toolbox, ver. 1.0, Jurus Mtemtik Istitut Tekologi Seuluh Noember, Surby. 11