Kata kunci: definisi, relasi rekursi linier berkoefisien konstan, solusi relasi rekurensi, dan solusi homogen & partikelir

Transkripsi

1 Relasi Rekursi *recurrence rekurens rekursi perulangan. Kata kunci: definisi, relasi rekursi linier berkoefisien konstan, solusi relasi rekurensi, dan solusi homogen & partikelir menuliskan definisi dari relasi rekursi memberikan sebuah contoh bentuk dari relasi rekursi menyebutkan jenis-jenis relasi rekursi menjelaskan barisan Fibonacci sebagai salah satu contoh relasi rekursi. Definisi 1 Suatu relasi rekursi untuk sebuah barisan *a n + merupakan sebuah rumus untuk menyatakan a n ke dalam satu atau lebih suku-suku sebelumnya dari barisan tersebut, untuk suatu bilangan bulat nonnegatif n. Suatu barisan disebut solusi dari sebuah relasi rekursi jika sukusuku pada barisan tersebut memenuhi relasi rekursinya. Contoh 1 Misal *a n + barisan yang memenuhi relasi rekursi a n = a n 1 a n 2 untuk n 2, lalu misalkan a 0 = 3 dan a 1 = 5. Tentukan nilai a 2 dan a 3. Karena a 2 = a 1 a 0, maka a 2 = 2. Karena a 3 = a 2 a 1, maka a 3 = 3. Contoh 2 Untuk bilangan bulat nonnegatif n, apakah barisan a n = 3n, a n = 2 n dan a n = 5 merupakan solusi bagi relasi rekursi a n = 2a n 1 a n 2? (i) Misal a n = 3n, untuk bilangan bulat nonnegatif n. Maka Relasi / 7

2 a n = 2a n 1 a n 2 a n = 2(3(n 1)) 3(n 2) a n = 3n. Maka a n = 3n merupakan solusi bagi relasi rekursi a n = 2a n 1 a n 2. (ii) Misal a n = 2 n, untuk bilangan bulat nonnegatif n. Maka a n = 2a n 1 a n 2 a n = 2(2 (n 1) ) 2 (n 2) a n = 2 n 2 n 2 a n = 2 n (1 1 4 ) = 2n 3 4 2n. Maka a n = 2 n bukan merupakan solusi bagi relasi rekursi a n = 2a n 1 a n 2. (iii) Misal a n = 5, untuk bilangan bulat nonnegatif n. Maka a n = 2a n 1 a n 2 a n = 2(5) 5 a n = 5 Maka a n = 5 merupakan solusi bagi relasi rekursi a n = 2a n 1 a n 2. Catatan: Kondisi awal (a 0 ) akan menentukan suku-suku pada barisan berikutnya. Contoh 3 Tentukan barisan yang merupakan solusi dari relasi rekursi a n = 3a n 1, jika diketahui a 0 = 2. a n = 3a n 1 a n = 3(3a n 2 ) = 3 2 a n 2 Relasi / 7

3 a n = 3(3(3a n 3 )) = 3 3 a n 3 a n = 3 n a n n = 3 n a 0 a n = 2 3 n Sehingga barisan a n = 2 3 n merupakan solusi dari relasi rekursi a n = 3a n 1 dengan nilai awal a 0 = 2. Definisi 2 Jenis-jenis Relasi Rekursi Suatu relasi rekursi linier homogen berderajat k dengan koefisien konstan memiliki bentuk umum: a n = c 1 a n 1 + c 2 a n c k a n k dengan c 1, c 2,, c k adalah bilangan real, dan c k 0. Perhatikan tabel berikut ini: Relasi Rekursi Linier Homogen Koef. Konst. Degree a n = 2a n 1 a n a n = a n 1 + a n 2 2 H n = 2H n b n = nb n 1 1 Relasi / 7

4 Menentukan Relasi Rekursi Linier Homogen dengan Koefisien Konstan Contoh 1 Tentukan solusi dari relasi rekursi a n = a n 1 + 2a n 2, dengan a 0 = 2, dan a 1 = 7. Bentuk persamaan karakteristik dari relasi rekursi a n = a n 1 + 2a n 2. Pindahkan semua suku ke ruas kiri. a n a n 1 2a n 2 = 0 Karena relasi di atas memiliki derajat 2, maka bentuk polinomial derajat 2 yang bersesuaian dengan masing-masing suku dari relasi tersebut, perhatikan setiap koefisien dan tanda tiap suku. a n a n 1 2a n 2 = 0 r 2 r 2r 0 = 0 r 2 r 2 = 0 Persamaan di atas disebut persamaan karakteristik, dan memiliki 2 akar berbeda yaitu r 1 = 2 dan r 2 = 1 yang disebut akar-akar karakteristik. Bentuk solusi umum dari relasi rekursi yang memiliki 2 akar berbeda adalah a n = c 1 r 1 n + c 2 r 2 n Sehingga solusi umum dari relasi rekursi di atas adalah Untuk suatu c 1, c 2 bilangan real. a n = c 1 2 n + c 2 ( 1) n Relasi / 7

5 Untuk mendapatkan solusi khusus, gunakan nilai awal yang diketahui. a 0 = 2 = c c 2 ( 1) 0 2 = c 1 + c 2... (1) a 1 = 7 = c c 2 ( 1) 1 7 = 2c 1 c 2... (2) Persamaan (1) dan (2) dapat diselesaikan dengan metode substitusi/eliminasi untuk mendapatkan c 1 = 3 dan c 2 = 1. Sehingga solusi khusus dari relasi rekursi a n = a n 1 + 2a n 2 adalah a n = 3 2 n ( 1) n. Contoh 2 Tentukan solusi dari relasi rekursi a n = 6a n 1 9a n 2, dengan a 0 = 1, dan a 1 = 6. Bentuk persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut. a n = 6a n 1 9a n 2 a n 6a n 1 + 9a n 2 = 0 r 2 6r + 9 = 0 Persamaan karakteristik di atas memiliki akar-akar karakteristik kembar yaitu r 1 = r 2 = 3. Bentuk solusi umum dari relasi rekursi yang memiliki 2 akar kembar adalah a n = c 1 r 1 n + c 2 nr 1 n Relasi / 7

6 Sehingga solusi umum dari relasi rekursi di atas adalah Untuk suatu c 1, c 2 bilangan real. a n = c 1 3 n + c 2 n(3) n Untuk mendapatkan solusi khusus, gunakan nilai awal yang diketahui. a 0 = 1 = c c 2 0( 1) 0 1 = c 1... (1) a 1 = 6 = c c 2 1(3) 1 6 = 3c 1 + 3c 2... (2) Persamaan (1) dan (2) dapat diselesaikan dengan metode substitusi/eliminasi untuk mendapatkan c 1 = 1 dan c 2 = 1. Sehingga solusi khusus dari relasi rekursi a n = 6a n 1 9a n 2 adalah a n = 3 n + n 3 n. Contoh 3 Tentukan solusi dari relasi rekursi a n = 6a n 1 11a n 2 + 6a n 3, dengan a 0 = 2, a 1 = 5 dan a 2 = 15. Bentuk persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut. a n = 6a n 1 11a n 2 + 6a n 3 a n 6a n a n 2 6a n 3 = 0 r 3 6r r 6 = 0 Relasi / 7

7 Persamaan karakteristik di atas memiliki akar-akar karakteristik berbeda yaitu r 1 = 1, r 2 = 2 dan r 3 = 3. Bentuk solusi umum dari relasi rekursi yang memiliki 3 akar berbeda adalah a n = c 1 r 1 n + c 2 r 2 n + c 3 r 3 n Sehingga solusi umum dari relasi rekursi di atas adalah a n = c 1 1 n + c 2 2 n + c 3 3 n Untuk suatu c 1, c 2, c 3 bilangan real. Untuk mendapatkan solusi khusus, gunakan nilai awal yang diketahui. a 0 = 2 = c 1 + c 2 + c 3 a 1 = 5 = c 1 + 2c 2 + 3c 3 a 2 = 15 = c 1 + 4c 2 + 9c 3 3 persamaan di atas dapat diselesaikan dengan metode substitusi/eliminasi untuk mendapatkan c 1 = 1, c 2 = 1 dan c 3 = 2. Sehingga solusi khusus dari relasi rekursi a n = 6a n 1 11a n 2 + 6a n 3 adalah a n = 1 2 n n. Latihan Tentukan solusi khusus dari relasi-relasi rekursi berikut ini. 1. a n = 2a n 1, a 0 = 3 2. a n = 5a n 1 6a n 2, a 0 = 1, a 1 = 0 3. a n = 4a n 1 4a n 2, a 0 = 6, a 1 = 8 4. a n = 4a n 2, a 0 = 0, a 1 = 4 5. a n = 2a n 1 + a n 2 2a n 3, a 0 = 3, a 1 = 6 dan a 2 = 0 6. a n = 2a n 1 + 5a n 2 6a n 3, a 0 = 7, a 1 = 4 dan a 2 = 8 Relasi / 7