Pemodelan Matematika pada Penularan PENYAKIT TUBERCULOSIS

Transkripsi

1

2 Buku Referens Pemodelan Matematka pada Penularan PENYAKIT TUBERCULOSIS Syafruddn Sde Wada Sanus

3 Pemodelan Matematka pada Penularan Penyakt Tuberculoss Hak 216 Ole Syafruddn & Wada Hak Cpta dlndung undang-undang Cetakan Pertama, 216 Dterbtkan ole Badan Penerbt Unverstas Neger Makassar, Hotel La Macca Lt 1 JI. A. P. Petta Ran Makassar 9222 Telepon/Fax. (411) Anggota IKAPI No. 11/SSL/21 Anggota APPTI No. 93/KTA/APPTI/X/215 Dlarang memperbanyak buku n dalam bentuk apa pun tanpa zn tertuls dar penerbt Pemodelan Matematka pada Penularan Penyakt Tuberculoss, Ole Syafruddn & Wada Cet. 1 Lay out /Format: Badan Penerbt UNM Makassar: Badan Penerbt Unverstas Neger Makassar Makassar, lm, 21 cm Bbllograf: 71 lm ISBN

4 KATA PENGANTAR Penuls mengucapkan puj Syukur kepada Alla Subanau Wata Ala, karena atas lmpaan ramat naya dan daya-nya, sengga penuls dapat merampungkan penulsan Buku Referens n. Salam dan salawat juga selalu tercura kepada Rasululla Muammad Sallallau Ala Wasallam, yang tela menjad teladan bag seluru ummat Islam d duna. Buku Referens n menjelaskan tentang pemodelan matematka SIR dan SEIR pada penularan penyakt Tuberculoss (TB), serta analss dan smulas Model SIR dan SEIR pada penularan penyakt TB dengan stud kasus d provns Sulawes Selatan. Buku referens n merupakan asl peneltan fundamental d bdang matematka dan keseatan. Pemodelan matematka adala sala satu bagan Matematka yang merupakan pengembangan Aljabar, Analss dan Persamaan Dfferensal, karena s dar pemodelan matematka, sebagan besar merupakan penerapan atau aplkas d bdang tersebut. Untuk mempermuda pertungan, paket MAPLE dgunakan. Pemodelan matematka SIR dan SEIR n dapat djadkan rujukan untuk peneltan d bdang terapan kususnya bdang keseatan. Buku referens n juga dapat djadkan rujukan untuk mata kula pemodelan matematka sengga darapkan dapat menjad baan bacaan bag penelt dan maasswa. Buku Referens n bers tuju bab, dmana antara bab yang satu dengan yang lan salng terkat dan menjad syarat untuk bab berkutnya, sengga pembaca arus memaam dengan telt setap babnya. Penuls menyadar bawa Buku Referens n mas jau dar kesempurnaan, karena tu krtk dan saran yang sfatnya membangun

5 sangat penuls arapkan. Akrnya penuls mengucapkan terma kas kepada semua pak yang tela memberkan masukan sampa selesanya Buku Referens n. Semoga Buku Referens n bermanfaat untuk kta semua. Amn Makassar, 216 Penuls

6 DAFTAR ISI Kata Pengantar Daftar Is Daftar Tabel Daftar Gambar Senar Smbol BAB I PENDAHULUAN 1.1 Model Matematka 1.2 Klasfkas Model 1.3 Taapan Pemodelan Matematka BAB II DEMAM BERDARAH DI SULAWESI SELATAN 2.1 Penularan Tuberculoss 2.2 Kasus Tuberculoss 2.3 Kasus Tuberculoss D Sulawes Selatan BAB III TINJAUAN PUSTAKA 3.1 Kajan Model Tuberculoss 3.2 Model SIR Pada Penularan Tuberculoss 3.3 Model SEIR Pada Penularan Tuberculoss 3.4 Fungs Lyapunov BAB IV MODEL SIR DAN SEIR 4.1 Pembentukan Model SIR Penularan TB 4.2 Pembentukan Model SEIR Penularan TB BAB V ANALISIS DAN SOLUSI NUMERIK MODEL SIR DAN SEIR 5.1 Analss Kestablan Model SIR dan SEIR 5.2 Analss Kestablan Global 5.3 Kestablan Global Kesembangan Epdemk v v x

7 BAB VI SIMULASI MODEL SIR DAN SEIR PENULARAN TUBERCULOSIS DI SULAWESI SELATAN 6.1 Smulas Model SIR Penularan TB d SulSel 6.2 Smulas Model SEIR Penularan TB d SulSel 6.3 Kadar Pembakan Semula Penularan TB d Sulawes Selatan BAB VII PENUTUP 7.1 Kesmpulan 7.2 Saran Daftar Pustaka v

8 DAFTAR TABEL No. Tabel 3.1 Kajan Matematka tentang Model SIR dan SEIR Penularan TB 6.1 Jumla Kasus Tuberculoss d Propns Sulawes Selatan 6.2 Jumla Kasus Tuberculoss Terbesar d Kab/Kota Taun Jumla Kasus Tuberculoss Terbesar d Kab/Kota Taun Jumla Kasus Tuberculoss Terbesar d Kab/Kota Taun Jumla Kasus Tuberculoss Terbesar d Kab/Kota Taun Syarat Awal dan Nla Paramter Model SIR Penularan TB 6.7 Tpe dan Kestablan Ttk Krts Berdasarkan Nla Egen 6.8 Syarat awal dan Nla Parameter Model SEIR Penularan TB Halaman v

9 DAFTAR GAMBAR No. Gambar 3.1 Dagram populas manusa model SIR Penularan TB 3.2 Dagram populas manusa model SEIR Penularan TB 4.1 Skema populas manusa untuk penularan TB model SIR. 4.2 Skema populas manusa untuk penularan TB model SEIR. 6.1 Jumla kasus TB d Sulawes Selatan Taun Hasl Runnng Software MatLab Untuk Model SIR 6.3 Penularan TB dengan syarat awal Propns Sulawes Selatan 6.4 Jumla kasus TB d Sulawes Selatan dan Kota Makassar Taun Penularan TB dengan syarat awal Kota Makassar 6.6 Jumla kasus TB d Sulawes Selatan dan Kab. Bone Taun Penularan TB dengan syarat awal Kab. Bone 6.8 Jumla kasus TB d Sulawes Selatan dan Kab. Gowa Taun Penularan TB dengan syarat awal Kab. Gowa Halaman v

10 6.1 Jumla kasus TB d Sulawes Selatan dan Kab. Takalar Taun Penularan TB dengan syarat awal Kab. Takalar 6.12 Jumla kasus TB d Sulawes Selatan dan Kab. Pnrang Taun Penularan TB dengan syarat awal Kab. Pnrang 6.14 Jumla kasus TB d Sulawes Selatan dan Kab. Wajo Taun Penularan TB dengan syarat awal Kab. Wajo 6.16 Hasl Runnng Software MatLab Untuk Model SIR 6.17 Penularan TB dengan syarat awal Propns Sulawes Selatan 6.18 Jumla kasus TB d Sulawes Selatan dan Kota Makassar Taun Penularan TB dengan syarat awal Kota Makassar 6.2 Jumla kasus TB d Sulawes Selatan dan Kab. Bone Taun Penularan TB dengan syarat awal Kab. Bone 6.22 Jumla kasus TB d Sulawes Selatan dan Kab. Gowa Taun Penularan TB dengan syarat awal Kab. Gowa 6.24 Jumla kasus TB d Sulawes Selatan dan Kab. Takalar Taun Penularan TB dengan syarat awal Kab. 57 v

11 Takalar 6.26 Jumla kasus TB d Sulawes Selatan dan Kab. Pnrang Taun Penularan TB dengan syarat awal Kab. Pnrang 6.28 Jumla kasus TB d Sulawes Selatan dan Kab. Wajo Taun Penularan TB dengan syarat awal Kab. Wajo v

12 SENARAI SIMBOL N S E I I R total populas manusa jumla manusa berpotens ternfeks vrus TB jumla manusa memperlatkan gejala ternfeks vrus TB jumla manusa ternfeks vrus TB jumla manusa ternfeks TB ole manusa yang ternfeks jumla manusa yang tela sembu µ laju kelaran/kematan dar populas manusa δ ϕ β σ φ F1 F2 L L(t) laju populas manusa ternfeks karena vrus menjad seat laju populas manusa ternfeks karena manusa yang ternfeks menjad sembu laju populas manusa suspek menjad nfeks karena vrus populas manusa suspek menjad eksposed laju populas manusa eksposed menjad ternfeks vrus ttk kesembangan pertama ttk kesembangan kedua matrks Jakob fungs Lyapunov W(t) L 1 (t) t fungs Lyapunov fungs untuk populas manusa waktu x

13 ruang rl postf berdmens lma ruang rl postf berdmens empat nla egen laju pembakan semula D daera penyelesaan x

14 BAB 1 PENDAHULUAN Bab n akan mengurakan tentang pengertan model matematka, jens-jens model dan taapan dalam pembentukan model matematka yang dambl dar Bab Pendauluan pada buku terbtan sebelumnya yatu Pemodelan Matematka dan Solus Numerk untuk Penularan Demam Berdara (Syafruddn Sde dan Yulta Mollq, 215) yang merupakan rangkuman dar buku dan paper yang dtuls ole Btman S dan Clara, 211; Edward A, 2; Frank R, 23; V. A. Bokl, 29, serta asl pemkran dar penuls pada. Bagan n darapkan dapat mengantar pembaca untuk memaam tentang pemodelan matematka sebelum leb lanjut membaca bagan selanjutnya dar buku n yang leb spesfk mengurakan pemodelan matematka tentang penularan penyakt tuberculoss dengan stud kasus d provns Sulawes Selatan yang merupakan asl peneltan fundamental. 1.1 Model Matematka Kata model dalam kedupan sear-ar, serng dgunakan, dan mengandung art. Sebaga conto, kata bangunan, gambar dan penyakt merupakan representas dar suatu masala. Msalnya: model bangunan, model ruma, dan model penyakt. Secara umum stla d atas menggambarkan adanya ubungan antara unsur-unsur dar bangunan atau ruma dengan modelnya. Conto dalam bdang matematka, perbandngan antara panjang dan lebar persegpanjang dengan modelnya. Dalam model ruma juga mest dketau panjang lebarnya, tetap tdakla berart bawa model ruma dan ruma tu sendr sama ukuranya dalam setap al. Secara sngkat dapat djelaskan bawa jka ada suatu benda A (dapat berupa masala, fenomena) dan modelnya B, maka akan terdapat sekumpulan unsur- Pendaduluan 1

15 unsur dan B yang mempunya padanan dengan A. Demkan pula terdapat suatu ubungan yang berlaku antara unsur-unsur d B yang sesua dengan unsur-unsur sebaga padanannya d A. Hubungan antara komponen-komponen dalam suatu masala yang drumuskan dalam suatu persamaan matematk yang memuat komponen-komponen tu sebaga varabelnya, dnamakan model matematka. Proses untuk memperole model dar suatu masala dsebut pemodelan matematka. Kegunaan yang dapat dperole dar model matematka n antara lan: 1) Menamba kecepatan, kejelasan, dan kekuatan gagasan dalam jangka waktu yang relatf sngkat; 2) Deskrps masala menjad pusat peratan; 3) Mendapatkan pengertan atau kejelasan mekansme dalam masala; 4) Dapat dgunakan untuk mempredks kejadan yang akan muncul dar suatu fenomena; 5) Sebaga dasar perencanaan dan kontrol dalam pembuatan kebjakan, dan lan-lan. 1.2 Klasfkas Model Klasfkas pembentukan model suatu model serngkal dkelompokkan berdasarkan upaya memperolenya, keterkatan waktu atau, sfat keluarannya. Model yang dsamarkan atas upaya memperolenya msalnya adala model teortk, mekanstk, dan emprs. Model teortk dgunakan bag model yang dperole dar teor-teor yang berlaku. Model mekanstk dgunakan bla model tersebut dperole berdasarkan maknsme pembangkt fenomena. Model emprk dgunakan bag model yang dperole anya dar pengamatan tanpa ddasarkan pada teor atau pengetauan yang membangktkan fenomena tersebut. Model mekanstk dapat dgunakan untuk leb mengert tentang proses pembangkt fenomena, basanya leb sedkt parameternya, serta luas kawasan berlakunya. Bla mekansme fenomena tersebut sukar dpaam, maka model emprk akan sangat berguna. Model yang terkat pada waktu dsebut model dnamk, sedangkan model yang tdak terkat dengan waktu dsebut model statk. Jka perubaan model dnamk terjad secara kontnu dalam waktu, maka model n dsebut model dskrt. Jka output suatu model dapat dtentukan secara past dan berpadanan dengan asl dar fenomenanya, maka model dsebut model 2 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

16 determnstk. Jka tdak, berart ada kepastan dar keluarannya (varabel acak). Model sepert n dsebut model stokastk. Jad pada model stokastk outputnya tdak sepenunya dapat dspesfkaskan ole bentuk model dan parameternya, tetap mengandung varabel lan yang dapat dtentukan secara past. Umumnya tdak ada kepastan kesesuaan output suatu model, tetap jka ketdakpastan tu dapat dabakan, maka model determnstk cukup ampu dgunakan. Pada bagan buku n durakan model determnstk pada penularan penyakt demam berdara yang merupakan asl peneltan dar penuls. 1.3 Taapan Pemodelan Matematka Model matematka yang basa dtemukan dalam buku referens merupakan model akr yang kelatan rap dan teratur. Apaka model tu menyatakan peramalan sesuatu yang akan terjad atas dasar apa yang dmlk, atau apaka model tu merupakan ubungan ubungan kenormalan sekelompok data. Dalam kenyataan banyak upaya atau taapan yang arus dlalu sebelum sampa pada asl akr tersebut. Tap taap memerlukan pengertan yang mendalam, utu tentang konsep, teknk, ntus, pemkran krts, kreatftas, serta pembuatan keputusan. Bakan faktor keberuntunganpun dapat saja terjad. Berkut n dberkan suatu metodolog dasar dalam proses penentuan model matematka atau serng dsebut pemodelan matematka. Taapan tersebut adala: 1) Masala. Adanya masala nyata yang ngn dcar solusnya merupakan awal kegatan penyeldkan. Masala tersebut arus ddentfkas secara jelas, dperksa dengan telt menurut kepentngannya. Bla masalanya bersfat umum, maka dupayakan menjad masala kusus atau operasonal; 2) Identfkas masala. Masala yang dtelt perlu ddentfkas, yatu pengertan yang mendasar tentang masala yang dadap, asums-asums yang jelas dan sesua termasuk pemlan varabel yang relevan dalam pembuatan model serta keterkatanya; 3) Membangun Model. Membangun atau membentuk model merupakan penterjemaan dar masala ke dalam persamaan matematka yang mengaslkan model matematk. In basanya merupakan taap yang palng pentng dan Pendaduluan 3

17 sult. Semakn memaam masala yang dadap dan semakn kuat penguasaan matematk seseorang, maka akan sangat membantu memudakan dalam mencar modelnya. Dalam pemodelan selalu dusaakan untuk mencar model yang sesua tetap sederana. Makn sederana model yang dperole untuk tujuan yang ngn dcapa makn danggap bak model tu. Dalam al n model yang dgunakan ada-kalanya leb dar satu persamaan, bakan merupakan suatu sstem, atau suatu fungs dengan varabel-varabel dalam bentuk persamaan parameter. Hal n tergantung anggapan yang dgunakan. Tdak tertutup kemungknan pada taap n juga dlakukan "uj coba", karena model matematk n bukanla merupakan asl dar proses sekal jad. Deduks sfat-sfat yang dperole dar model yang dgunakan; 5) Analss Model. Pada taap n model yang umumnya merupakan abstraks masala yang suda dsederanakan, sengga aslnya mungkn berbeda dengan kenyataan yang dperole. Untuk tu model yang dperole n perlu danalss, sejau mana model tu dapat danggap memada dalam merepresentaskan masala yang dadap. Analss yang dgunakan terdr dar berbaga metode tergantung model yang dperole. Dalam model matematka, analss yang serng dgunakan adala pelnearan, fungs Lyapunov, dan fungs Green; 6) Uj Model. Model yang suda danalss kemudan duj dengan bantuan software matematka sepaert MatLab, Maple, Matematca, dan lan-lan. Apabla model yang dbuat danggap tdak memada, maka terdapat kemungknan bawa perumusan model yang dgunakan atau karaktersas masala mas banyak belum sesua, sengga perlu dadakan perubaan pada model. 4 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

18 BAB II TUBERCULOSIS DI SULAWESI SELATAN Bab n menjelaskan tentang penyakt Tuberculoss (TBC) yatu bagamana cara penularan penyakt, vrus pembawa penyakt dan cara penanggulangan TBC yang dlakukan selama n. Bagan n juga menjelaskan keadaan penyakt TBC d Indonesa secara umum dan d Sulawes Selatan secara kusus Penularan Tuberkuloss Tuberkuloss (TBC) merupakan penyakt menular langsung yang dsebabkan ole kuman mycobacterum tuberculoss. Sebagan besar kuman menyerang paru-paru melalu saluran pernafasan, tetap juga dapat mengena organ tubu lanya (KKRI, 27). Sumber penularan penyakt TBC adala ketka seorang penderta TBC batuk, bersn, atau berbcara, maka secara tak sengaja keluarla droplet nukle dan jatu ke tana, lanta, atau tempat lanya. Jka droplet terkena snar mataar atau suu udara yang panas, droplet nukle tad akan menguap. Menguapnya droplet bakter ke udara dbantu dengan pergerakan angn akan membuat bakter tuberkuloss yang terkandung dalam droplet nukle terbang ke udara. Jka bakter n terrup ole orang seat maka orang tu berpotens terkena nfeks bakter tuberkuloss (Arfand, 212). Infeks TBC dbedakan menjad dua macam yatu, ternfeks secara latent dan ternfeks secara aktf. Ternfeks secara latent adala konds dmana ddalam tubu penderta terdapat bakter TBC yang bersfat dormant (tdur), tdak menmbulkan penyakt TBC dalam tubu penderta, namun dalam kurun waktu tertentu bakter yang bersfat dormant tad dapat bangun dan menjad aktf. Orang yang Tuberculoss d Sulawes Selatan 5

19 ternfeks secara latent dsebut penderta latent TBC. Penderta latent TBC tdak menularkan bakter TBC kepada orang yang rentan teradap penyakt TBC. Ternfeks secara aktf adala konds dmana tubu penderta bakter TBC bersfat aktf berkembangbak dan menmbulkan gejala penyakt TBC. Orang yang ternfeks secara aktf dsebut penderta aktf TBC. Penderta aktf TBC dapat menularkan penyakt TBC kepada orang yang rentan teradap penyakt TBC (Lsa, 29). Penderta latent TBC dan penderta aktf TBC dapat sembu, namun mereka tdak bersfat mun atau kebal. Dalam jangka waktu tertentu penderta TBC yang suda sembu dapat ternfeks kembal dan menjad penderta TBC. Dar rangkaan kejadan ternfeksnya orang ole bakter TBC dapat dgambarkan bawa dalam suatu populas terbag-bag menjad suatu sub-sub populas. Yatu sub populas susceptble adala sub populas yang rentan teradap penyakt TBC, sub populas latent nfectous adala sub populas penderta latent TBC, sub populas actve nfectous adala sub populas penderta penyakt TBC dan recovered adala sub populas sembu dar latent TBC dan aktf TBC (Lsa, 29) Kasus Tuberkuloss Organsas Keseatan Seduna (WHO) (29) menyatakan baawa sepertga penduduk duna tela ternfeks, 9 juta pasen TBC baru dan 3 juta kematan akbat TBC d seluru duna, 95% kasus TB dan 98% kematan akbat TBC d duna terjad pada negara-negara berkembang (Arfand, 212). Tanpa penanganan dan pengendalan dalam jangka waktu 2 taun TBC akan membunu 35 juta orang (Lsa, 29). Melat konds tersebut, Badan Keseatan Duna (WHO) menyatakan bawa TBC sebaga kedaruratan global sejak taun Indonesa merupakan sala satu negara berkembang yang menjad epdemk TBC, jumla pasen TBC d Indonesa merupakan ke-3 terbanyak d duna setela Inda dan Cna dengan jumla pasen sektar 1% dar total jumla pasen d duna (KKRI, 28). Taun 21 Indonesa turun ke perngkat ke-5 dan masuk dalam mlestone atau pencapaan knerja 1 taun Kementeran Keseatan. Pada Global Report WHO 21, ddapat data TBC Indonesa, Total seluru kasus 6 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

20 TB taun 29 sebanyak kasus, dmana adala kasus TB baru BTA postf, adala kasus TB BTA negatf, adala kasus TB Extra Paru, 379 adala kasus TB Kambu, dan 1978 adala kasus pengobatan ulang dluar kasus kambu. Penderta TBC d Indonesa pada taun 29 sebanyak orang. Provns dengan perngkat 5 tertngg penderta TBC adala Jawa Barat, Jawa Tmur, Jawa Tenga, Sumatera Utara, dan Sulawes Selatan. Perkraan kasus TB paru BTA postf d Jawa Barat sebanyak 44.47, Jawa Tmur sebanyak , Jawa Tenga sebanyak , Sumatera Utara sebanyak , dan Sulawes Selatan sebanyak (Profl Keseatan Indonesa, 29) Kasus Tuberculoss d Sulawes Selatan Jumla Penderta TBC d bukota Sulsel n mengalam penngkatan dalam empat taun terakr, karena pada taun 23 baru tercatat 89 orang dengan angka kesembuan 96 persen, 24 nak menjad sebanyak 1.34 penderta dengan kesembuan 97 persen dan 25 nak lag menjad penderta dengan cure rate 122 persen. "Untuk menekan jumla kasus TBC, sejak 23 lalu penderta TBC dber pelayanan keseatan grats d seluru Puskesmas dan ruma sakt yang ada d Makassar," kata dr Syerly Natar, Wakl Supervsor TBC Paru Dskes Makassar. Sementara penderta TBC yang suda dobat d Sulsel pada perode 26 tercatat sebanyak orang sedang kasus baru yang dtemukan pada taun yang sama mencapa orang. Dar keseluruan kasus tersebut, sektar 58 persen pendertanya adala lak-lak dan 22 persen yang berumur 22 taun ke atas yang merupakan usa produktf. (Kompas, 28). Jumla penderta penyakt tuberculoss (TBC) d Sulawes Selatan mas tngg. Berdasarkan data Dnas Keseatan (Dnkes) Provns, pada 211, penderta penyakt menular n mencapa kasus. Angka n menngkat sgnfkan dbandng taun sebelumnya yang anya kasus. Kabupaten Takalar menduduk perngkat pertama dalam jumla kasus dengan pertumbuan penderta TBC d atas 19 %, menyusul kota Pare-Pare 79%, Pnrang 75 %, dsusul Makassar 7% dan terenda Kabupaten Luwu 33 % serta Jeneponto 36 Tuberculoss d Sulawes Selatan 7

21 %. Kepala Dnas Keseatan Racmat Latef mengatakan, tnggnya jumla penderta dsebabkan beragam faktor sepert lngkungan tempat tnggal yang berpotens menyebabkan penularan TBC. Selan tu, mnmnya pencaayaan d dalam ruma membuat penyakt tu muda menyebar. Menurutnya, satu penderta TB mampu menular ke 1 orang. Faktor lan kata da adala faktor perlaku. Penderta HIV/AIDS sangat bersko mengdap Tuberculoss. Kontrbus dar perlaku tdak seat mencapa 5-1% setap taun serta terjadnya mal nutrs (Hern amr, 212). Model matematka merupakan sala satu alat yang dapat dgunakan mempredks jumla penderta TBC. Beberapa penelt tela membuat model tentang penularan penyakt demam berdara (Van D D, 27; Tracy A, 28; Asley T, 21; I.K Dontw; Idanto, 213 dan K Queena, 212) tetap model-model tersebut belum mengaslkan predks yang palng sesua, ole karena tu peneltan n akan membuat model SIR dan SEIR pada penularan penyakt TBC dengan data Rl jumla kasus TBC d Sulawes Selatan. 8 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

22 BAB III TINJAUAN PUSTAKA Bab n mengurakan model-model SIR atau SEIR untuk penularan penyakt Tuberculoss (TBC) yang tela dlakukan ole penelt-penelt sebelumnya. Kajan-kajan tersebut dsajkan dalam tabel sengga memudakan pembaca dalam mengetau kajan-kajan pendukung peneltan n. Bagan n juga menjelaskan gambaran umum pembentukan model SIR dan SEIR menggunakan gambar, sengga muda dpaam sebelum ke pemodelan matematka sebenarnya Kajan Model Tuberculoss Kajan-kajan sebelumnya tentang model matematka untuk demam berdara dar berbaga negara dapat dlat dalam Tabel 3.1. Tabel 3.1 Kajan Matematka Tentang TBC, Model SIR dan l SEIR Penuls Pertama, Tn Populas Model Kesmpulan Carlos C; 23 Tdak ada Model Model penyakt Persamaan dengan Control Dfferensal dnamk Basa P.Van Den D; Tdak ada Model Model penyakt 27 determnstk dengan memperatkan laten dan kambu. Tracy A; 28 Tdak ada Model Model penyebaran determnstk dnamk TBC SIR dengan SIMULINK Tnjauan Pustaka 9

23 Juan P. A; 29 Tdak ada Model Stokastk Asley T; 21 Tdak ada Model Determnstk SIR K. Queena F; 212 Tdak ada Model Determnstk SIR Idanto; 213 Tdak ada Model Determnstk SEI I.K. Dontw; 214 Syafruddn S; 21 Syafruddn S; 211 Gana Malaysa Malaysa Model determnstk SEIR Model SEIR determnstk Model SEIR determnstk Model menggunakan data demograf dan epdemolog lologcal dan pola yang daslkan model dbandngkan dan dgunakan untuk menla kemungknan penyebab penurunan stors tuberkuloss. Model Penyebaran TBC dengan Populas tertutup untuk kasus mult-drug-resstent TBC Model Penyebaran TBC menggunakan metode Range Kutta orde 4 Analss kestablan lokal Model dnamk penularan TBC satu dengan Terap Model yang dsajkan berfungs untuk mempredks penularan TBC Predks jumla kasus demam berdara d Selangor dengan model SEIR Smulas kasus demam berdara 1 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

24 Syafruddn S; 213 Syafruddn S; 213 Tdak ada Model determnstk SIR dan SEIR Indonesa Model SIR determnstk dengan model SEIR Analss kestablan model SIR dan SEIR menggunakan Fungs Lyapunov Predks jumla kasus demam berdara d Sulawes Selatan dengan model SIR 3.2 Model SIR Pada Penularan Tuberculoss Pembentukan Model SIR penularan TBC dbentuk dengan membag populas manusa menjad tga sub-populas yatu Suspected, Infected, dan Recovered (SIR) atau rentan, ternfeks dan seat kembal. Perubaan yang terjad pada populas manusa dapat ddefnskan dalam bentuk dagram sepert Gambar 2.1. µ N Suspected µ γβ I β Infected 2 µ Infected 1 µ ϕ δ Recovered µ Gambar 3.1 Dagram populas manusa model SIR. Tnjauan Pustaka 11

25 Untuk membuat pemodelan penularan TBC ddasarkan pada asums bawa faktor yang mempengaru laju perubaan jumla manusa yang muda dtular teradap waktu adala jumla kelaran populas manusa yatu µ N, jumla manusa yang tela ternfeks yatu γβ I S dengan γβ I adala laju ubungan manusa yang ternfeks karena vrus yang berasal dar manusa yang ternfeks vrus TBC I. Juga kematan dar populas manusa yang bsa ternfeks yatu µ S pada waktu yang sama. Laju perubaan jumla manusa ternfeks teradap waktu bergantung kepada jumla populas manusa yang tela ternfeks, jumla kematan populas manusa yang ternfeks µ Idan jumla populas manusa yang sembu dar nfeks yatu δ I dalam waktu yang sama. Laju perubaan jumla manusa ternfeks karena vrus dar manusa ternfeks teradap waktu bergantung kepada laju perubaan jumla populas manusa yang tela ternfeks akbat vrus yang dtularkan manusa ternfeks, jumla kematan populas manusa yang ternfeks µ Idan jumla populas manusa yang sembu dar nfeks yatu ϕ I dalam waktu yang sama. Jumla populas manusa yang pul (Recovered), R akan mengalam perubaan sesua perubaan waktu. Laju perubaan jumla populas manusa yang pul teradap waktu adala sels dar jumla manusa yang tela sembu dar jangktan ϕ I dan jumla populas manusa yang sembu dar nfeks yatu δ I dengan jumla kematan pada manusa yang seat kembal, µ R pada waktu yang sama. Gambar 2.1 akan menjad acuan dalam membuat model SIR Model SEIR Pada Penularan Tuberculoss Polus semakn menngkat dan berkelanjutan pada saat n sengga menjad perngatan untuk semua negara d belaan duna, al n menyebabkan terjadnya pemanasan global ngga terjad perubaan klm. Negara-negara d Asa Tenggara, kususnya Indonesa juga 12 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

26 merasakan dampak dar pemanasan global. Musm pengujan ampr terjad sepanjang taun, akbatnya penyakt yang basanya muncul setela musm ujan tdak lag dapat dpredks sepert penyakt TBC. Penyakt TBC d propns Sulawes Selatan menjad ancaman serus bag leb dar delapan juta penduduk taun 214, dtamba lag kurangnya kesadaran masyarakat tentang pentngnya keseatan, sengga perlu mendapat peratan pak pemernta, kususnya kementeran keseatan. (Fajar, Maret 214). Ole karena tu, model penularan TBC memerlukan satu tambaan varabel untuk melengkap model SIR yatu varabel populas manusa yang memperlatkan gejala ternfeks. Perubaan yang berlaku pada setap populas manusa dapat ddefnskan dalam Gambar 2.2. µ N Suspected µ σ β Exposed γφ I µ φ µ Infected 2 Infected 1 µ ϕ δ Recovered µ Gambar 3.2 Dagram populas manusa model SEIR. Tnjauan Pustaka 13

27 Sama alnya dengan model SIR, model n juga mempunya faktor utama penyebab manusa ternfeks TBC, yang berbeda dengan model SIR adala model SEIR membag populas manusa N kepada empat sub-populas yatu manusa berpotens ternfeks vrus TBC, S, manusa yang memperlatkan gejala dtular vrus TBC, E, manusa yang tela ternfeks vrus TBC, I, dan manusa yang tela sembu, R. Kajan n mengasumskan bawa terdapat manusa dalam populas n yang tela dtular vrus tetap belum dapat menularkan ke manusa lan, tetap mampu menyebabkan penularan vrus. Setap manusa dkategorkan dalam satu bagan saja dalam satu waktu. Setap manusa dalam grup S mempunya kemungkan untuk memperlatkan gejala ternfeks vrus TBC pada kadar σ S, langsung ternfeks β I dan mennggal µ S. Sedangkan laju manusa yang ternfeks ole penularan vrus demam berdara φ E, manusa yang ternfeks dsebabkan ole manusa yang tela ternfeks γφ I E. Selanjutnya, jka manusa tela dtular ole vrus TBC, mereka akan dberkan rawatan. Peneltan n mengandakan bawa setap manusa yang drawat akan menjad kebal sepanjang dupnya sengga tdak lag tertular penyakt TBC. In dsebabkan karena belum ada vaksn spesfk yang mampu melawan vrus TBC. Kadar manusa yang sembu dar penularan vrus dsebabkan rawatan atau jangka waktu jangktan dalam tubu ndvdu adala δ I dan kadar manusa yang sembu dar penularan vrus dar manusa yang ternfeks dalam tubu ndvdu adala ϕ I. Gambar 2.2 akan menjad acuan dalam membuat model SEIR. 14 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

28 3.4 Fungs Lyapunov Memperole penyelesaan dar model SIR dan SEIR bag epdemk penyakt TBC tersebut wajb dlakukan. Tetap model SIR dan SEIR yang merupakan bentuk sstem persamaan dferensal tdakla muda dperole menggunakan metode analss, kususnya sstem persamaan tak lner. Metode pelnearan sangat sult menganalss model dengan sstem yang berdmens empat dan berdmens lma sengga parameter yang dgunakan cukup banyak. Metode yang palng sesua untuk persamaan non-lnear multdmens adala metode fungs Lyapunov (A. Korobenkov, 24). Metode n menganalss ttk-ttk kesetmbangan model yatu penyelesaan postf, kestablan global bebas penyakt dan kestablan global epdemk dar kedua model. Metode fungs Lypunov n mengaslkan teorema mengena analss tersebut. Tnjauan Pustaka 15

29 16 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

30 BAB IV MODEL SIR DAN SEIR PADA PENULARAN TUBERCULOSIS Bab n mengurakan penurunan model matematka SIR dan SEIR pada penularan Tuberculoss (TBC) yang merupakan sstem persamaan dferensal basa berdmens empat dan berdmens lma. Kedua model kemudan dsederanakan berdasarkan asums sengga membentuk sstem persamaan dferensal basa berdmens tga dan berdmens empat. Bagan selanjutnya akan mengurakan langka-langka solus dalam menyelesakan model matematka SIR dan SEIR. 4.1 Pembentukan Model SIR Penularan TB Perubaan yang terjad pada setap populas manusa pada penularan penyakt TB untuk model SIR dapat dtafsrkan dalam bentuk gambar skema 4.1 µ N S µ γβ I µ I ϕ R β I δ µ Gambar 4.1 Skema populas manusa untuk penularan TB model SIR. Laju perubaan jumla manusa yang muda dtular teradap waktu ds dpengaru ole jumla kelaran populas manusa atu µ Model SIR dan SEIR pada Penularan Tuberculoss 17

31 µ N dkurang jumla manusa ternfeks ole vrus langsung dan jumla manusa ternfeks karena vrus dar manusa ternfeks yatu γβi S dan β S juga jumla manusa seat µ S yang mennggal dapat dtafsrkan sebaga berkut: ds = µ N β S γβ I S µ S (1) Laju perubaan jumla manusa ternfeks teradap waktu di dpengaru ole jumla populas manusa yang tela ternfeks karena vrus langsung dkurang jumla kematan populas manusa yang ternfeks µ Idan jumla populas manusa yang sembu dar jangktan yatu δ dapat dtafsrkan sebaga berkut: I di ( µ δ ) I = β S + (2) di Laju perubaan jumla manusa ternfeks teradap waktu dpengaru ole jumla populas manusa yang tela ternfeks karena karena vrus manusa ternfeks dkurang jumla kematan populas manusa yang ternfeks µ I dan jumla populas manusa yang sembu dar jangktan yatu ϕ I dapat dtafsrkan sebaga berkut: di ( µ ϕ ) I = γβ I S + (3) Laju perubaan jumla populas manusa yang pul teradap waktu dr adala sels darpada jumla manusa yang tela sembu dar 18 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

32 nfeks δ I dan µ I dengan jumla kematan manusa pul µ R dapat dtafsrkan sebaga berkut: dr = δ I + ϕ I µ R (4) Gambar 5.1 juga dapat dtafsrkan dalam bentuk model matematka yatu model persamaan dfferensal tdak lnear sebaga berkut : ds = µ N β S γβ I S µ S di = β S ( µ + δ ) I di = γβ I S ( µ + ϕ ) I dr = δ I + ϕ I µ R Dengan N ( t) = S ( t) + I ( t) + I ( t) R ( t) atau + R ( t) = N ( t) ( S ( t) + I ( t) I ( t)) + Sstem persamaan (5) adala persamaan dfferensal tdak lnear untuk model SIR dar penyakt TB. Model yang daslkan dapat dsederanakan dengan mengandakan pecaan-pecaan berkut: S I x ( t) =, y ( t) = and I z ( t) = N N N Sengga model populas manusa untuk penularan penyakt TB dapat dsederankan sepert pada persamaan (6) berkut: dx = µ βx γβxy µ x dy = β x αy dz = γβ xy ηz (6) Dengan α = µ + δ dan η = µ + ϕ. (5) Model SIR dan SEIR pada Penularan Tuberculoss 19

33 4.2 Pembentukan Model SEIR Penularan TB Perubaan yang terjad pada setap populas manusa pada penularan penyakt TB untuk model SIR dapat dtafsrkan dalam bentuk gambar skema 5.1. µ N γφi µ ϕ I S σ E φ δ µ µ I β µ R µ Gambar 4.2 Skema populas penularan TB model SEIR. Laju perubaan jumla manusa yang muda dtular teradap waktu ds dpengaru ole jumla kelaran populas manusa yatu µ N dkurang jumla manusa ternfeks ole vrus langsung β S, jumla manusa memperlatkan gejala ternfeks σ S dan jumla manusa seat yang mennggal µ S dapat dtafsrkan sebaga berkut: ds = µ N ( σ + β + µ ) S (7) Laju perubaan jumla manusa yang memperlatkan gejala ternfeks teradap waktu de dpengaru ole jumla manusa memperlatkan gejala ternfeks σ S dkurang jumla populas manusa yang tela ternfeks karena vrus langsung φ E, jumla 2 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

34 populas manusa yang tela ternfeks karena vrus dar manusa ternfeks γφ I E dan jumla kematan populas manusa µ E dapat dtafsrkan sebaga berkut: de = σ S γφi E φe µ E (8) Laju perubaan jumla manusa ternfeks langsung ole vrus teradap waktu di dpengaru ole jumla populas manusa yang tela ternfeks karena vrus langsung β S dan jumla manusa memperlatkan gejala ternfeks (Exposed) φ E dkurang jumla kematan populas manusa yang ternfeks µ Idan jumla populas manusa yang sembu dar jangktan yatu δ I dapat dtafsrkan sebaga berkut: di = β S + φ E ( µ + δ ) I (9) Laju perubaan jumla manusa ternfeks karena vrus dar manusa ternfeks teradap waktu di dpengaru ole jumla populas manusa yang tela ternfeks karena vrus manusa ternfeks dkurang jumla kematan populas manusa yang ternfeks µ I dan jumla populas manusa yang sembu dar jangktan yatu dapat dtafsrkan sebaga berkut: ϕ I di ( µ ϕ ) I = γφ I E + (1) Laju perubaan jumla populas manusa yang pul teradap waktu dr adala sels dar jumla manusa yang tela sembu dar nfeks δ I dan µ I dengan jumla kematan manusa pul µ R dapat dtafsrkan sebaga berkut: Model SIR dan SEIR pada Penularan Tuberculoss 21

35 dr = δ I + µ I µ R (11) Gambar 5.2 juga dapat dtafsrkan dalam bentuk model matematka yatu model persamaan dfferensal tdak lnear sebaga berkut : ds = µ N ( σ + β + µ ) S de = σ S γφi E φe µ E di = β S + φ E ( µ + δ ) I di = γφ I E ( µ + ϕ ) I dr = δ I + µ I µ R (12) Dengan N ( t) = S ( t) + E ( t) + I ( t) + I ( t) R ( t) atau + R ( t) = N ( t) ( S ( t) + E ( t) + I ( t) I ( t)) + Sstem persamaan (12) adala persamaan dfferensal tdak lnear untuk model SIR dar penyakt TB. Model yang daslkan dapat dsederanakan dengan mengandakan pecaan-pecaan berkut: S I x ( t) =, y ( t) =, I E z ( t) =, dan u ( t) = N N N N Sengga model populas manusa untuk penularan penyakt TB dapat dsederankan sepert pada persamaan (12) berkut: dx = µ β x σ x µ x du = σ x γφ yu φu µ u dy = β x + φu αy (13) dz = γφ yu ηz denganα = µ + δ dan η = µ + ϕ. 22 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

36 BAB V ANALISIS MODEL SIR DAN SEIR PADA PENULARAN TUBERCULOSIS Bab n menjelaskan analss model matematka SIR dan SEIR yang tela dbaas pada Bab IV. Analss yang dgunakan adala metode fungs Lyapunov yang mengurakan eksstens penyalt Tuberculoss (TBC) d suatu kawasan, kemudan mengdentfkas status suatu kawasan, apaka merupakan kawasan dengan status epdemk atau Kejadan Luar Basa (KLB) atau status yang tdak mengkawatrkan. Pada bab berkutnya kedua model akan dgunakan untuk kasus TBC d Sulawes Selatan Analss Kestablan Model SIR dan Model SEIR Eksstens model SIR Perubaan yang terjad dalam setap populas manusa dapat dtafsrkan sebaga model matematka yatu persamaan dfferensal tdak lnear sebaga berkut: ds = µ N β S γβ I S µ S di = β S ( µ + δ ) I di = γβ I S ( µ + ϕ ) I (14) dr = δ I + ϕ I µ R Dengan N ( t) = S ( t) + I ( t) + I ( t) + R ( t) atau R ( t) = N ( t) ( S ( t) + I ( t) I ( t)) + Analss Mosel SIR dan SEIR padan Penularan Tuberculoss 23

37 Semua varabel dan parameter model adala non-negatf dan dapat dlat dengan muda bawa dbawa alran yang dterangkan 4 ole (14), octant non-negatf R adala postf nvaran. Berkatan + dengan sstem (14) dperole asl sepert teorema berkut. Teorema 1. Msal ( S ( t) >, I ( t) >, I ( t) >, R ( t) > ) merupakan penyelesaan sstem (14) dengan keadaan awal (, I, I R ) dan set padat D 4 {( S ( t), I ( t), I ( t), R ( t) R, L N )} = + S (15) Untuk model sstem (14), D adala satu set postf nvaran yang 4 mencover semua penyelesaandalam R. + Bukt. Pertmbangkan calon Lyapunov fungs berkut: Turunan fungs teradap waktu memenu Tdak sult untuk membuktkan bawa (16) (17) Kemudan, dar persamaan datas, dketau bawa yang berart bawa D adala satu set yang postf nvaran. Sebalknya, dengan menyelesakan sstem (16) dperole bawa, dmana adala keadaan awal. Ole karena tu, jka dan n menympulkan bawa D adala satu set yang postf nvaran dan mengkover semua penyelesaan dalam. In membuktkan teorema. Teorema n menjamn adanya penyakt TB d suatu kawasan yang mulanya tdak dtemukan bakter pembawa vrus TB kemudan beruba setela dtemukannya populas suspect tetap belum ternfeks,, ternfeks TB,, tenfeks TB karena manusa yang 24 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

38 tela postf TB, dan populas manusa yang seat kembal, dar bakter TB. Teorema n juga member kesmpulan supaya dseldk leb lanjut taapan dar kasus TB n sengga kta dapat mengdentfkas taap penyebaran waba TB ngga ke taapan endemk menggunakan model SIR Penyelesaan Postf Model SEIR Perubaan yang terjad dalam setap populas manusa dapat dtafsrkan sebaga model matematka SEIR yatu persamaan dfferensal tdak lnear sebaga berkut: ds = µ N ( σ + β + µ ) S de = σ S γφ I E φ E µ E di = β S + φ E ( µ + δ ) I di = γφ I E ( µ + ϕ ) I (18) dr = δ I + µ I µ R Dengan N ( t) = S ( t) + E ( t) + I ( t) + I ( t) R ( t) atau + R ( t) = N ( t) ( S ( t) + E ( t) + I ( t) I ( t)) + Semua varabel dan parameter model adala non-negatf dan dapat dlat dengan muda bawa dbawa alran yang dterangkan 5 ole (18), octant non-negatf R adala postf nvaran. Berkatan + dengan sstem (18) dperole asl sepert teorema berkut. Teorema 2. Msal ( S ( t) >, E ( t) >, I ( t) >, I ( t) >, R ( t) > ) merupakan penyelesaan sstem (18) dengan keadaan awal, E I, I R dan set padat ( ) S = S ( t ), E ( t ), I ( t ), I ( t ), R ( t ) 5 R+ D {(, L N )} Analss Mosel SIR dan SEIR padan Penularan Tuberculoss 25 (19)

39 Untuk model sstem (18), D adala satu set postf nvaran yang 5 mencover semua penyelesaan dalam R. + Bukt. Pertmbangkan calon fungs Lyapunov berkut: Turunan fungs teradap waktu memenu Tdak sult untuk membuktkan bawa (2) (21) Kemudan, dar persamaan datas, dketau bawa yang berart bawa D adala satu set yang postf nvaran. Sebalknya, dengan menyelesakan sstem (2) dperole bawa, dmana adala keadaan awal. Ole karena tu, jka dan n menympulkan bawa D adala satu set yang postf nvaran dan mengkover semua penyelesaan dalam. In membuktkan teorema. Teorema n menjamn adanya penyakt TB d suatu kawasan yang mulanya tdak dtemukan bakter pembawa vrus TB kemudan beruba setela dtemukannya populas suspect tetap belum ternfeks,, eksposed TB ternfeks TB,, tenfeks TB karena manusa yang tela postf TB, dan populas manusa yang seat kembal, dar bakter TB. Teorema n juga member kesmpulan supaya dseldk leb lanjut taapan dar kasus TB n sengga kta dapat mengdentfkas taap penyebaran waba TB ngga ke taapan endemk menggunakan model SEIR. 5.2 Analss Kestablan Global Sstem (14) untuk model SIR mempunya kesembangan penyakt TB dengan ttk kesembangan Untuk mencar 26 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

40 nla egen λ, sederanakan sstem (14) menjad sstem persamaan (6) dan selesakan persamaan A λi = yatu Sengga dperole persamaan nla egen sebaga berkut: Dengan, dan. Dar persamaan nla egen datas, kadar pembakan semula sstem (14) untuk model SIR dapat dtentukan dengan menggunakan kaeda Dekmann dan Heesterbeek (199;2), yatu : (22) Sstem (18) untuk model SEIR mempunya kesembangan penyakt dengan ttk kesembangan Untuk mencar nla egen λ, sederanakan sstem (18) sepert pada sstem (13) dan selesakan persamaan A λi = yatu: µ - λ ξ λ ϕ α λ γ v η λ = Sengga dperole persamaan nla egen sebaga berkut: atau Dengan σ β =,, dan = Dar persamaan nla egen n, kadar pembakan semula untuk sstem (18) model SEIR dapat dtentukan dengan menggunakan kaeda Dekmann dan Heesterbeek (199;2), yatu : (23) Analss Mosel SIR dan SEIR padan Penularan Tuberculoss 27

41 dengan, dan Kestablan global kesembangan bebas penyakt model SIR Sstem (14) senantasa mempunya kesembangan dsease-free yang bemaksud penyakt akan lang. Bagan n akan mengkaj tngka laku global kesembangan dsease-free untuk sstem (14). Teorema 3. Jka, maka kesembangan bebas penyakt P * model SIR adala dtaap global yang berasmptot stabl pada D. Bukt. Msalkan calon fungs Lyapunov adala: (24) Dengan menurunkan fungs teradap waktu dperole persamaan bekut: (25) Menggunakan syarat-syarat dan, Persamaan (25) dapat dtuls kembal sebaga (26) Ole karena tu, dan dengan menggunakan lanjutan LaSalle pada kaeda Lyapunov, set terbatas yang dtetapkan setap penyelesaan adala yang terkandung dalam set nvaran terbesar 28 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

42 dengan adala sngleton {P * }. In berart bawa kesembangan dsease-free P* adala dtaap global yang berasmptot stabl pada D. In menympulkan bukt. Teorema kestablan global untuk model SIR n menjelaskan tentang satu taapan darpada keberadaan kasus TB sepert yang durakan pada teorema 1. Taapan n menjelaskan bawa jka seorang ndvdu ternfeks TB, tetap bemakna tdak akan menyebabkan ndvdu yang lan tenfeks. In berart bawa d kawasan n penyakt TB mas dapat dkontrol dan berada pada taap yang tdak mengkawatrkan Kestablan global kesembangan bebas penyakt untuk model SEIR Sstem (18) senantasa mempunya suatu kesembangan dseasefree yang bermaksud penyakt akan lang dengan sendrnya. Selanjutnya, akan dkaj tngka laku global kesembangan dsease-free untuk sstem (18). Teorema 4. Jka, maka kesembangan bebas penyakt P * model SEIR adala dtaap global yang berasmptot stabl pada D. Bukt. Msalkan calon fungs Lyapunov adala: (27) Dengan menurunkan fungs teradap waktu dperole persamaan berkut: * ( t) = µ N ( σ + β + µ ) S + µ N ( σ + β + µ ) S + σ S ( γφ I + φ + µ ) E (28) W S S * β S + φe ( δ + µ ) I + γφi E ( ϕ + µ ) I + δ I + µ I µ R Menggunakan syarat-syarat dan, Persamaan (28) dapat dtuls kembal sebaga persamaan (29) berkut: Analss Mosel SIR dan SEIR padan Penularan Tuberculoss 29

43 (29) Ole karena tu, dan dengan menggunakan lanjutan LaSalle pada kaeda Lyapunov, set terbatas yang dtetapkan setap penyelesaan adala yang terkandung dalam set nvaran terbesar dengan adala sngleton {P * }. In berart bawa kesembangan dsease-free P* adala dtaap global yang berasmptot stabl pada D. In menympulkan bukt. Teorema kestablan global untuk model SEIR n menjelaskan tentang satu taapan dar keberadaan kasus TB sepert yang durakan pada teorema 2. Taapan n menjelaskan bawa jka seorang ndvdu ternfeks TB, tetap berart tdak akan menyebabkan ndvdu yang lan tenfeks. In berart bawa d kawasan n, penyakt TB mas dapat dkontrol dan berada pada taap yang tdak mengkawatrkan. 5.3 Kestablan Global Kesmbangan Epdemk Kestablan global kesembangan epdemk model SIR Sederanakan model SIR pada sstem persamaan (14) sengga dperole persamaan bekut: ds = µ N β S γβ I S µ S di = β S ( µ + δ ) I (3) di = γβ I S ( µ + ϕ ) I Sstem (3) mempunya ttk kesembangan yang dsebut sebaga kesembangan endemk dan memenu dengan, 3 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

44 dan. Teorema berkut memberkan penjelasan tentang global kesembangan endemk sstem (3). Teorema 5 Jka, maka keadaan kesembangan postf endemk sstem (3) ada dan dtaap global yang berasmptot stabl pada D, dengan andaan bawa (31) Dengan ( adala kadar untuk setap populas yang berkurang dsebabkan kematan secara alam, dan ) adala rata-rata ggtan nyamuk yang berpotens djangkt dengan r adala kadar ubungan yang mencukup dar manusa kepada vektor. Bukt. Msalkan calon fungs Lyapunov adala: (32) Turunkan persamaan (32) sengga dperole persamaan (33) berkut: (33) Subttus andaan pada persamaan (31) ke persamaan (33) Analss Mosel SIR dan SEIR padan Penularan Tuberculoss 31

45 dperole: (34) Persamaan (34) memastkan bawa untuk semua, dan dpenu jka dan anya jka dan. Kemudan kesembangan anya set postf nvaran dar sstem persamaan (3) yang terkandung sepenunya dalam dan selanjutnya ole teorema kestablan asmptot (LaSalle, 1976), kesembangan postf endemk adala dtaap global yang berasmptot stabl pada D. In membuktkan teorema. Teorema kestablan global model SIR menjelaskan bawa jka seorang ndvdu ternfeks penyakt TB, maka ndvdu tersebut akan menularkan kepada ndvdu yang lan. In berart bawa penyakt TB pada taapan n adala endemk karena tdak dapat lag dkontrol dan berada pada taap yang mengkawatrkan, sengga menjad ancaman untuk populas manusa d suatu kawasan Kestablan global kesembangan epdemk model SEIR Sederanakan model SEIR pada sstem persamaan (18) sengga dperole persamaan bekut: ds = µ N ( σ + β + µ ) S de = σ S γφ I E φ E µ E di = β S + φ E ( µ + δ ) I (35) di = γφ I E ( µ + ϕ ) I Sstem (35) mempunya ttk kesembangan yang dsebut sebaga kesembangan endemk dan memenu dengan 32 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

46 . Teorema berkut n akan memberkan penjelasan tentang global kesembangan endemk sstem (35). Teorema 6 Jka, maka keadaan kesembangan postf endemk sstem (35) ada dan dtaap global yang berasmptot stabl pada D, dengan andaan bawa dan (36) Dengan ( adala kadar manusa yang ternfeks 1 untuk pul dan kadar kelaran / kematan populas manusa secara alam, dan ) adala kadar manusa yang ternfeks 2 untuk pul dan kadar kelaran / kematan populas manusa. Bukt. Msalkan calon fungs Lyapunov adala: (37) Turunkan persamaan (37) sengga dperole persamaan (38) berkut: Analss Mosel SIR dan SEIR padan Penularan Tuberculoss 33

47 Subttus andaan pada persamaan (36) ke persamaan (38) dperole: (38) (39) Persamaan (39) memastkan bawa untuk semua, dan dpenu jka dan anya jka dan. Kemudan kesembangan anya set postf nvaran dar sstem persamaan (35) yang termuat sepenunya dalam dan selanjutnya ole teorema kestablan asmptot (LaSalle, 1976), kesembangan postf endemk adala dtaap global yang berasmptot stabl pada D. In membuktkan teorema. Teorema kestablan global untuk model SEIR pada taapan n menjelaskan bawa jka seorang ndvdu ternfeks penyakt TB, maka ndvdu tersebut akan menularkan kepada ndvdu yang lan. In berart bawa penyakt TB pada taapan n adala endemk sebab tdak lag dapat dkontrol dan berada pada taap yang mengkawatrkan, sengga menjad ancaman untuk populas manusa d suatu kawasan. 34 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

48 BAB VI SIMULASI MODEL SIR DAN SEIR PENULARAN TUBERCULOSIS DI SULAWESI SELATAN Bab n menjelaskan smulas untuk model SIR dan model SEIR menggunakan data rl yang dperole dar Kementeran Keseatan Republk Indonesa taun d ProVns Sulawes Selatan. Hasl yang dperole menggunakan analss fungs Lyapunov menunjukkan bawa Sulawes Selatan, kususnya beberapa kabupaten tela menjad daera epdemk atau Kejadan Luar Basa (KLB) kasus TBC, bak menggunakan model SIR maupun menggunakan model SEIR. 6.1 Smulas Model SIR Penularan TB d Sulawes Selatan Berdasarkan data dar Kementeran Keseatan Propns Sulawes Selatan, dperole data jumla kasus Tuberculoss d Propns Sulawes Selatan (Tabel 6.1) dan ddapat Kota/Kabupaten dengan jumla kasus Tuberculoss terbesar (Tabel 6.2 Tabel 6.5). Tabel 6.1. Jumla Kasus Tuberculoss d Propns Sulawes Selatan No Taun Jumla Jumla Jumla Jumla Penduduk Suspect Kasus Kematan Smulas Model SIR dan SEIR Penularan. 35

49 Tabel 6.2. Jumla Kasus Tuberculoss Terbesar d Kab/Kota Taun 21 No Kab/Kota Jumla Penduduk Jumla Kasus Jumla Kematan 1 Makassar Takalar Bantaeng Gowa Wajo Sdrap Pangkep Tabel 6.3. Jumla Kasus Tuberculoss Terbesar d Kab/Kota Taun 211 No Kab/Kota Jumla Penduduk Jumla Kasus Jumla Kematan 1 Makassar Bone Gowa Takalar Pnrang Wajo Sdrap Tabel 6.4. Jumla Kasus Tuberculoss Terbesar d Kab/Kota Taun 212 No Kab/Kota Jumla Penduduk Jumla Kasus Jumla Kematan 1 Makassar Gowa Bone Wajo Takalar Pnrang Bulukumba Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

50 Tabel 6.5. Jumla Kasus Tuberculoss Terbesar d Kab/Kota Taun 213 No Kab/Kota Jumla Penduduk Jumla Kasus Jumla Kematan 1 Makassar Gowa Wajo Bone Pnrang Takalar Bulukumba Berdasarkan nla parameter dan data yang ada, smulas model dlakukan menggunakan software MATLAB. Syarat awal yang akan dgunakan dalam smulas model n adala berdasarkan pada jumla kasus TB yang dlaporkan ole pak Kementeran Keseatan Republk Indonesa 215. Syarat awal yang akan dgunakan dalam model berdasarkan data sekunder yang dperol dar Kementeran Keseatan Republk I dan Indonesa Propns Sulawes Selatan adala; Nla S ( ), ( ) I ( ), serta nla parameter yang dgunakan pada model SIR dsajkan dalam Tabel 6.6 berkut: Tabel 6.6 Syarat awal dan Parameter Model SIR Penularan TB Varabel/Parameter Nla x () y () z () µ.35 Smulas Model SIR dan SEIR Penularan. 37

51 β γ δ.4123 ϕ Kemudan, model dselesakan melalu MATLAB menggunakan sstem ODESOLVE Ttk Kesembangan Model SIR Penularan TB Ttk kesembangan model SIR pentng kerana ttk-ttk kesembangan n yang menjad dasar nla-nla egen untuk menentukan jens kestablan dar pada model SIR. Model SIR untuk Sulawes Selatan menggunakan persamaan (6). Ttk kesembangan dtentukan menggunakan mpunan model SIR dengan parameter yang tela dtetapkan. Kemudan untuk menentukan ttk krts, persamaan (6) dsamakan dengan nol sebaga berkut n, =.35 ( y)x (4) = x. 43y (41) =.4215xy. 3869z (42) Dar persamaan (4)-(42) dperole nla-nla x yatu x 1 = -1,233 dan x 2 =,17. Sengga dperole ttk-ttk kesembangan model yatu: ( S, I, I ) = (-1.233, , ); dan S, I, I =,17,.868,.1 ( ) ( ) Ttk kesembangan ( S, I, I ) = ( , , ) merupakan ttk kesembangan yang tdak logk karena nla-nla jumla populas suspek dan yang ternfeks adala negatf. In merupakan al yang tdak mungkn. Sedangkan ttk kesembangan ( S, I, I ) = (,17,.868,.1) menjelaskan baawa jumla populas manusa yang berpotens terjangkt adala satu dar 38 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

52 sepulurbu jumla populas penduduk d propns Sulawes Selatan, jumla populas manusa yang terjangkt karena vrus adala delapan dar sepulurbu jumla populas penduduk d propns Sulawes Selatan dan jumla populas manusa yang terjangkt karena penularan dar manusanya adala satu dar seratusjuta jumla populas penduduk d propns Sulawes Selatan Kestablan Model SIR Penularan TB Kestablan model teradap ttk-ttk kesembangan yang dperole, dtentukan ole nla-nla egen λ sepert dalam tabel 6.7 (Syafruddn, 213). Tabel 6.7. Tpe dan Kestablan Ttk Krts Berdasar Nla Egen Nla Egen Tpe Ttk Krts Kestablan λ 1 > λ 2 > Improper Node Tdak Stabl λ 1 < λ 2 < Improper Node Stabl Asmptotk λ 1 < < λ 2 Saddle Pont Tdak Stabl λ 1 = λ 2 > Proper atau Improper Node Tdak Stabl λ 1 = λ 2 < Proper atau Improper Node Stabl Asmptotk λ 1, 2 λ = ± µ λ > λ < Spral Pont Tdak Stabl λ 1 = µ, λ 2 = µ Center Stabl Smulas Model SIR dan SEIR Penularan. 39

53 Dar persamaan (6) dan nla-nla parameter yang dtentukan, model SIR duba kepada bentuk matrks Jacoban untuk mencar nla egen, λ. Andakan dx =.35 ( y) x = X ( x, y, z) dy = x.43y = Y ( x, y, z) dz =.4215xy.3869z = Z( x, y, z) Untuk mencar nla egen λ, selesakan persamaan A λ I = sebaga berkut, y λ.4215x λ. = λ y Pada ttk kesembangan (,17,.868,.1) matrks Jacoban adala sebaga berkut λ λ = λ (.3869 λ) (.3869 λ) [( λ) (.43 λ) +.1] = λ =. 3869, λ =.43 dan λ = x λ =.43 λ Nla-nla λ yang dperole pada ttk kesembangan (,17,.868,.1) adala nyata dan bertanda negatf, merujuk pada Tabel 6.7 maka jens kestablan pada ttk kesembangan n adala ttk stabl yang asmptotk. 4 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

54 6.1.3 Hasl Smulas Model SIR Penularan TB d Sulawes Selatan Data Rl jumla kasus TB d Sulawes Selatan dsajkan dalam gambar 6.1 dengan nla sumbu-x adala waktu (Taun) dan nla sumbu-y adala pecaan varabel yang dgunakan. Gambar 6.1 Jumla kasus TB d Sulawes Selatan Smulas model djalankan menggunakan sstem ODESOLVE, MATLAB. dan asl dar MATLAB dsajkan pada Gambar 6.2 dan durakan pada Gambar 6.3 dengan nla sumbu-x adala waktu (taun) dan nla sumbu-y adala pecaan varabel yang dgunakan. Gambar 6.2. Hasl Runnng Software MatLab untuk Model SIR Smulas Model SIR dan SEIR Penularan. 41

55 6 5 x, y, and z 4 3 x y z t Gambar 6.3. Penularan TB dengan syarat awal S ( ) =, I ( ) =, dan I ( ) = dengan parameter µ =.35, β = , γ = , α =.43 dan η = Gambar yang daslkan dar MATLAB untuk model SIR dbandngkan dengan asl data rl dar Kementeran Keseatan Republk Indonesa (KKRI) dapat durakan sebaga berkut: Mengacu kepada data Rl d Sulawes Selatan (Gambar 6.1), jumla kasus TB (manusa yang djangkt vrus) d Sulawes Selatan akan terus mengalam penngkatan setap taunnya sejak taun 21. Sedangkan Gambar 6.3 asl model SIR menunjukkan bawa jumla kasus TB dsebabkan Vrus akan terus bertamba secara cepat, sedangkan jumla kasus TB dsebabkan ole manusa yang ternfeks tdak terlalu berpengaru dan ampr konstan dan akan menurun mengampr nla nol pada beberapa taun kedepan. Hasl n menunjukkan bawa model SIR untuk penyebaran Tuberculoss d propns Sulawes Selatan pada kususnya ampr sesua dengan data Rl dar KKRI. Hasl smulas model matematka SIR untuk Kabupaten/Kotamadya dengan jumla kasus TB palng banyak d Sulawes Selatan 42 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

56 menggunakan MATLAB ODESOLVE dsajkan dalam Gambar 6.4 sampa dengan Gambar berkut: 1. Kota Makassar Gambar 6.4. Jumla kasus TB d Sulawes Selatan dan Kota Makassar Taun x, y, and z x y z t Gambar 6.5. Penularan TB dengan syarat awal S ( ) =, I ( ) =, dan 127 I ( ) = dengan parameter µ =.35, β = , γ = , α =.43 dan η = Smulas Model SIR dan SEIR Penularan. 43

57 2. Kabupaten Bone Gambar 6.6. Jumla kasus TB d Sulawes Selatan dan Kabupaten Bone Taun x, y, and z x y z t Gambar 6.7. Penularan TB dengan syarat awal S ( ) =, I ( ) =, dan 2 I ( ) = dengan parameter µ =.35, β = , γ = , α =.43 dan η = Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

58 3. Kabupaten Gowa Gambar 6.8. Jumla kasus TB d Sulawes Selatan dan Kab. Pangkep Taun x, y, and z x y z t Gambar 6.9. Penularan TB dengan syarat awal S ( ) =, I ( ) =, dan 56 I ( ) = dengan parameter µ =.35, β = , γ = , α =.43 dan η = Smulas Model SIR dan SEIR Penularan. 45

59 4. Kabupaten Takalar Gambar 6.1. Jumla kasus TB d Sul-Sel dan Kabupaten Takalar Taun x, y, and z x y z t Gambar Penularan TB dengan syarat awal S ( ) =, I ( ) =, dan 5 I ( ) = dengan parameter µ =.35, β = , γ = , α =.43 dan η = Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

60 5. Kabupaten Pnrang Gambar Jumla kasus TB d Sulawes Selatan dan Kab. Pnrang Taun x, y, and z x y z t Gambar Penularan TB dengan syarat awal S ( ) =, I ( ) =, dan 2 I ( ) = dengan parameter µ =.35, β = , γ = , α =.43 dan η = Smulas Model SIR dan SEIR Penularan. 47

61 6. Kabupaten Wajo Gambar Jumla kasus TB d Sulawes Selatan dan Kab. Wajo Taun x, y, and z x y z t Gambar Penularan TB dengan syarat awal S ( ) =, I ( ) =, dan 12 I ( ) = dengan parameter µ =.35, β = , γ = , α =.43 dan η = Smulas menggunakan model SIR untuk kasus TB d Sulawes Selatan memberkan asl yang ampr sesua. Tetap, jka dlat jumla kasus yang dlaporkan sepanjang taun 21 ngga 213, penyakt TB suda sampa ke taap yang amat serus, karena jumla 48 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

62 kasus TB yang dlaporkan bertamba besar setap taunnya n menjad ancaman bag 8,342, jumla populas penduduk d Sulawes Selatan. 6.2 Smulas Model Ser Penularan Tuberculoss d Sulawes Selatan Berdasarkan nla parameter dan data yang ada, smulas model dlakukan menggunakan software MATLAB. Syarat awal yang akan dgunakan dalam smulas model n adala berdasarkan kepada jumla kasus Tuberculoss yang tela dlaporkan ole pak Kementeran Keseatan Republk Indonesa 215. Syarat awal yang akan dgunakan dalam model berdasarkan data sekunder yang dperole dar Kementeran Keseatan Republk I Indonesa Propns Sulawes Selatan adala; Nla S ( ), E ( ) ( ) dan I ( ), serta nla parameter yang dgunakan pada model SEIR dsajkan dalam Tabel 6.8 berkut: Tabel 6.8 Syarat awal dan Parameter Model SEIR Penularan TB Varabel/Parameter Nla x () u ().925 y () z () µ.35 β σ.31 γ δ.4123 Smulas Model SIR dan SEIR Penularan. 49

63 ϕ φ.88 Kemudan, model dselesakan melalu MATLAB menggunakan sstem ODESOLVE Ttk Kesembangan Model SEIR d Sulawes Selatan Ttk kesembangan dtentukan menggunakan set model SEIR dengan parameter untuk propns Sulawes Selatan yang tela dtetapkan. Kemudan untuk menentukan ttk tetap, sstem persamaan (13) dsamakan dengan nol sepert persamaan (43) (46) berkut:.35 ( ) x = (43) (43) (.18y +.915) u.31x = (44) (44) x +.88u.43y = (45) (46).18yu.3869z = (46) (47) Sstem untuk model pada persamaan datas dselesakan menggunakan software MAPLE dan memberkan nla ttk-ttk kesembangan model adala: (x,u,y,,z) = (S, E, I, I ) = (1,,,) dan (.17, , , ). Ttk-ttk kesembangan n menjelaskan bawa jumla populas manusa yang berpotens djangkt adala.17, jumla populas manusa yang memperlatkan gejala djangkt adala , jumla populas manusa yang djangkt karena vrus adala dar jumla keseluruan populas manusa, dan jumla populas manusa yang djangkt karena vrus adala dar jumla keseluruan populas manusa d propns Sulawes Selatan. 5 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

64 6.2.2 Kestablan Model SEIR d Sulawes Selatan Dengan menggunakan persamaan (13) dan nla-nla parameter yang dtentukan, model SEIR duba kedalam bentuk matrks Jacoban untuk mencar nla egen, λ. dx du =.35 ( ) x = X ( x, u, y, z) (.18y +.915) u = U ( x, u, y, ) =.31x z dy = x +.88u.43y = Y ( x, u, y, z) dz =.18yu.3869z = Z( x, u, y, z) Untuk mencar nla egen λ, selesakan persamaan A λ I = sebaga berkut:.327 λ y.915 λ.88.18y.18u.43 λ.18u =.3869 λ Subttus ttk kesembangan (.17, , , ) sengga dperole.327 λ λ = λ λ Dengan menggunakan software MAPLE pada ttk kesembangan (.17, , , ) dperole nla-nla egen λ = , λ =.2814, λ = , dan λ = Nla-nla λ yang dperole pada ttk kesembangan (.17, , , ) adala nyata dan bertanda Smulas Model SIR dan SEIR Penularan. 51

65 negatf. Merujuk kepada Tabel 5.7, maka jens kestablan pada ttk kesembangan n adala stabl asmptotk Hasl Smulas Model SEIR Penularan Tuberculoss d Sulawes Selatan Data Rl jumla kasus TB d Sulawes Selatan dsajkan dalam Gambar 6.1 dengan nla sumbu-x adala waktu (Taun) dan nla sumbu-y adala pecaan varabel yang dgunakan. Smulas model djalankan menggunakan sstem ODESOLVE, MATLAB. dan asl dar MATLAB dsajkan pada Gambar 6.16 dan durakan pada Gambar 5.19 dengan nla sumbu-x adala waktu (taun) dan nla sumbu-y adala pecaan varabel yang dgunakan. Gambar Hasl Runnng Software MatLab untuk Model SEIR 52 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

66 x u y z x, u, y, and z t Gambar Penularan TB dengan syarat awal E ( ) =. 925, S ( ) = I ( ) =, dan I ( ) = dengan parameter σ =. 31 φ = µ =.35, β = , γ = , α =.43 dan η = Gambar yang daslkan dar MATLAB untuk model SEIR dbandngkan dengan asl data rl dar Kementeran Keseatan Republk Indonesa (KKRI) dapat durakan sebaga berkut: Mengacu kepada data Rl d Sulawes Selatan (Gambar 6.1), jumla kasus TB (manusa yang djangkt vrus) d Sulawes Selatan akan terus mengalam penngkatan setap taunnya sejak taun 21. Sedangkan Gambar 6.17 asl model SEIR menunjukkan bawa jumla kasus TB dsebabkan Vrus akan terus bertamba secara cepat, sedangkan jumla kasus TB dsebabkan ole manusa yang ternfeks tdak terlalu berpengaru dan ampr konstan dan akan menurun mengampr nla nol pada beberapa taun kedepan. Hasl n menunjukkan bawa model SEIR untuk penyebaran Tuberculoss d propns Sulawes Selatan pada kususnya sesua dengan data Rl yang ada. Hasl smulas model matematka SEIR untuk Kabupaten/Kotamadya dengan jumla kasus TB palng banyak d Sulawes Selatan menggunakan MATLAB ODESOLVE dsajkan pada Gambar 6.18 sampa dengan Gambar 6.29 berkut: Smulas Model SIR dan SEIR Penularan. 53

67 1. Kota Makassar Gambar Jumla kasus TB d SulSel dan Kota Makassar Taun x u y z.7 x, u, y, and z t Gambar Penularan TB dengan syarat awal S ( ) =, I ( ) =, I ( ) = E ( ) =. 925dengan parameter σ =.31 φ =. 88 µ =. 35, β = , γ = , α =.43 dan η = Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

68 2. Kabupaten Bone Gambar 6.2. Jumla kasus TB d SulSel dan Kab. Bone Taun x u y z.7 x, u, y, and z t Gambar Penularan TB dengan syarat awal S ( ) =, I ( ) =, E ( ) =.925, dan 2 I ( ) = dengan parameter σ =. 31 φ =. 88 µ =. 35, β = , γ = , α =.43 dan η = Smulas Model SIR dan SEIR Penularan. 55

69 3. Kabupaten Gowa Gambar Jumla kasus TB d SulSel dan Kab. Gowa Taun x u y z.7 x, u, y, and z t Gambar Penularan TB dengan syarat awal S ( ) =, I ( ) =, E ( ) =.925, dan 56 I ( ) = dengan parameter σ =. 31 φ =. 88 µ =. 35, β = , γ = , α =.43 dan η = Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

70 4. Kabupaten Takalar Gambar Jumla kasus TB d SulSel dan Kab. Takalar Taun x u y z.7 x, u, y, and z t Gambar Penularan TB dengan syarat awal S ( ) =, I ( ) =, E ( ) =.925, dan 5 I ( ) = dengan parameter σ =. 31 φ =. 88 µ =. 35, β = , γ = , α =.43 dan η = Smulas Model SIR dan SEIR Penularan. 57

71 5. Kabupaten Pnrang Gambar Jumla kasus TB d SulSel dan Kab. Pnrang Taun x u y z.7 x, u, y, and z t Gambar Penularan TB dengan syarat awal S ( ) =, I ( ) =, E ( ) =.925, dan 2 I ( ) = dengan parameter σ =. 31 φ =. 88 µ =. 35, β = , γ = , α =.43 dan η = Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

72 6. Kabupaten Wajo Gambar Jumla kasus TB d SulSel dan Kab.Wajo Taun x u y z.7 x, u, y, and z t Gambar Penularan TB dengan syarat awal S ( ) =, I ( ) =, E ( ) =.925, dan 12 I ( ) = dengan parameter σ =. 31 φ =. 88 µ =. 35, β = , γ = , α =.43 dan η = Smulas menggunakan model SEIR untuk kasus TB d Sulawes Selatan memberkan asl yang palng sesua. Hal n dpengaru ole varabel Exposed. Tetap, jka dlat jumla kasus Smulas Model SIR dan SEIR Penularan. 59

73 yang dlaporkan sepanjang taun 21 ngga 213, penyakt TB suda sampa ke taap yang serus, karena jumla kasus TB yang dlaporkan tela terus mengalam penngkatan setap taunnya. In menjad ancaman bag 8,342, jumla populas penduduk d Sulawes Selatan. 6.3 Kadar Pembakan Semula Penularan Tb d Sulawes Selatan Nla untuk kadar pembakan semula R sangat pentng dalam pemodelan n karena nla tersebut akan menunjukkan berapa banyak kemungknan penularan yang akan terjad pada satu ndvdu dsebabkan satu jangktan. Jka satu jangktan menyebabkan jangktan lan dan nlanya leb dar satu, maka nla R 1 dan keadaan penyakt TB n dapat dkatakan endemk. Penentuan kadar pembakan semula n tela dperkenalkan secara matematka ole Waltman pada taun 1974 (Murray 21). Dasar untuk menentukan nla R adala dengan menggunakan kaeda Dekmann dan Heesterbeek, nla kadar pembakan semula untuk model SIR adala sebaga berkut: R = µ ηα dengan, dan Nla kadar pembakan semula untuk model SEIR adala sebaga berkut: dengan, dan > Nla kadar pembakan semula R dperole dengan menggunakan nla awal dan nla parameter d Sulawes Selatan Indonesa dan dperole asl sebaga berkut: R untuk Sulawes Selatan dengan model SIR adala: R = µ ηα =.35( )( ) sengga R =. 55 R untuk Sulawes Selatan dengan model SEIR adala: R = µ ηαξ 6 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

74 ( )( ) (.915) R = Sengga R = 4,99 * 1 Karena nla R < 1 untuk model SIR dan model SEIR, maka berdasarkan teorema 2 dan teorema 4 propns Sulawes Selatan bukan merupakan daera endemk dar kasus Tuberculoss. Tetap dengan penngkatan jumla kasus TB setap taun, penyakt TB n arus menjad peratan pemernta Sulawes Selatan agar dapat dkontrol dan dcega sedn mungkn penyebaran penyakt TB d propns Sulawes Selatan. Smulas Model SIR dan SEIR Penularan. 61

75 62 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

76 BAB VII PENUTUP 7.1 Kesmpulan Peneltan yang tela dlakukan mengaslkan model penyebaran Tuberculoss (TB) yatu model SIR dan SEIR yang sesua untuk penularan penyakt TB d Propns Sulawes Selatan. Peneltan n juga tela mengaslkan teorema mengena jamnan eksstens populas manusa yang Suspected, Infected dan Recovered dan Suspected, Exposed, Infected dan Recovered dar TB untuk model SIR dan SEIR (Teorema 1 dan Teorema 2), kemudan temuan teorema mengena taapan status yang menjelaskan bawa jka seorang ndvdu ternfeks TB tdak akan menyebabkan ndvdu yang lan ternfeks (Teorema 3 dan Teorema 4) untuk model SIR dan SEIR. Hal n berart bawa penyakt TB mas dapat dkontrol dan berada pada taap yang tdak mengkawatrkan. Selanjutnya teorema untuk model SIR dan model SEIR adala teorema mengena status endemk (Teorema 5 dan Teorema 6) yang berart bawa satu jangktan TB kepada satu ndvdu mengakbatkan jangktan bag ndvdu yang lan atau penyakt TB pada taapan n tdak lag dapat dkontrol dan berada pada status Kejadan Luar Basa (KLB), sengga menjad ancaman bag populas manusa d Propns Sulawes Selatan. Temuan teorema n sangat membantu menngkatkan kemampuan dalam strateg kawalan penyakt TB untuk Pemernta kususnya d Propns Sulawes Selatan. Hasl smulas untuk model SIR dan SEIR menggunakan data sekunder dar Kementeran Keseatan Republk Indonesa memberkan predks bawa jumla kasus nfeks TB dsebabkan vrus akan terus mengalam penngkatan setap taunnya. Kadar pembakan semula R menggunakan model SIR dan SEIR mendapat nla R < 1, n berart bawa status penyakt TB d Sulawes Selatan berada pada taap yang Penutup 63

77 tdak mengkawatrkan, tetap berdasarkan asl smulas, dpredks jumla kasus nfeks akan terus mengalam penngkatan sengga pemernta perlu mengambl langka pencegaan sengga dapat mengontrol dan mengurang jumla nfeks TB d Sulawes Selatan. 7.2 Saran Setela temuan peneltan n, darapkan adanya peneltan lanjutan yatu: a) Peneltan mengena penyebaran vrus TB dsebabkan manusa. b) peneltan selanjutnya juga dapat dlakukan dengan memperatkan faktor-faktor lan yang dapat mempengaru penyebaran vrus TB n sepert keadaan musm ujan, suu kota, mgras penduduk dan faktor-faktor lan secara leb mendalam dengan menamba atau mengkaj ulang peneltan model SIR dan SEIR. 64 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

78 DAFTAR PUSTAKA Arfand S Kemtraan Snergstas dalam pengendalan Tuberculoss. ttp://repostory.unas.ac.d/andle/ /785. [dakses 25 Maret 214] Asley T, Jacquelne S & Jon S. 21. Modelng te spread of Tuberculoss n a Closed Populaton. ttp://educ.jmu.edu/~strawbem/mat_21/fnal_repo_ rts/scott _Takaas_Spreadbury_Fnal.pdf. [dakses, 2 Aprl 214]. Bsa W. 2. Lpd lunc for persstent patogen. Nature Vol 46(6797): Dontw I. K, W. Obeng D, E.A Andam & L. Obr A A matematcal model to predct te prevalence and transmsson dynamcs of tuberculoss n amanse west dstrct, Gana. Brts Journal of Matematcs & Computer Scence. Vol 4(3): Fajar Penyakt TBC d Sulawes Selatan. Guua L & Zen J. 29. Global stablty of an SEI epdemc model. Caos, Soltons & Fractals 24;21: J.J. Tewa et al. / Caos, Soltons and Fractals 39: Guua L & Zen J. 25. Global stablty of an SEIR epdemc model wt nfectous force n latent, nfected and mmune perod. Caos, Soltons & Fractals 25: Herm A Angka kematan TBC d Sulsel tngg. ttp:// [dakses 9 Maret 214]. Idanto, Bayu & Nlamsar K Analss kestablan local model dnamka penularan tuberculoss satu stran dengan terap dan efektvtas Cemopropylaxs. Buletn Ilma Mat. Stat. dan Terapannya. Vol 2. No. 3, al Daftar Pustaka 65

79 Jean Jules Tewa, Jean Luc Dm & Samuel Bowong. 29. Lyapunov functons for a dengue dsease transmsson model. Caos, Soltons and Fractals, 39: KKRI. 27, 28. Fakta keseatan duna. K. Queena, Tjokorda B.O & I Made E.D Model SIR untuk penyebaran penyakt Tuberkuloss. e-jurnal Matematka. Vol 1, No 1: Korobenkov A. 24. Lyapunov functons and global propertes for SEIR and SEIS epdemc models. Mat Med Bol 21: Korobenkov A & Man PK. 24. A Lyapunov functon and global propertes for SIR and SEIR epdemc models. Mat Bosc Eng 1:57 6. LaSalle JP Te stablty of dynamcal systems. Pladelpa: SIAM. Lee, H. L Analyss of lmtng factors affectng breedng of Aedes vectors n urban towns of Pennsular Malaysa-natonwde resurvey. Trop. Bomed. 8: L G & Wanf W. 26. Global stablty of an SEIR epdemc model. Caos, Soltons & Fractals 3: Lsa P. 29. Analss kestablan model penyebaran penyakt tuberculoss. Skrps Undp Semarang. ttp://eprnts.undp.ac.d/521/1/lsa_p.pdf. [dakses 23 Maret 214]. Murray J. D. 21. Matematcal Bology. 1. An ntroducton. New York: Sprnger-Verlag Berln Hedelberg. P. Van Den D, Ln W & Xngfu Z. 27. Modelng dsease wt latency and relapse. Matematcal Boscences and Engneerng. Vol 4, No 2: Perko, Lawrence Dfferental Equatons and Dynamcal System. Sprnger-Verlag, New York. Profl Keseatan Indonesa Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

80 Syafruddn, S. & M.S.M. Nooran SEIR model for transmsson of dengue fever. Internatonal Journal on Advanced Scence Engneerng Informaton Tecnology 2(1): Syafruddn, S. & M.S.M. Nooran. 21. SEIR model for transmsson of dengue fever n Selangor Malaysa. Internatonal Journal of Modern Pyscs: World Scentfc Publsng Company 1(1):1-5. Syafruddn S. & M.S.M Nooran A SIR model for spread of dengue fever dsease (smulaton for Sout Sulawes Indonesa and Selangor Malaysa); World Journal of Modelng and Smulaton 9 (2): Syafruddn S. et. all Lyapunov functons of SIR and SEIR model for transmsson of dengue fever dsease. Internatonal Journal Smulaton and Process Modelng; Inderscence Publsers 8(2,3): Syafruddn S, 213. Sstem Dnamk. Badan Penerbt UNM. Syafruddn S & Yulta M, 215. Pemodelan Matematka dan Solus Numerk untuk Penularan Deman Berdara. Perdana Publsng. Medan. Tracy A. 28. Modelng transmsson dynamcs of tuberculoss nclundng varous latent perods. Sprng Term. Daftar Pustaka 67

81 68 Pemodelan Matematka pada penularan Penyakt Tuberculoss

82