Ringkasan Materi Matematika

Transkripsi

1 Rigks Mteri Mtemtik 8

2 Peljr Betuk Pgkt, Akr, d Logritm Kels X Semester Stdr Kompetesi Memechk mslh yg erkit deg etuk pgkt, kr, d logritm. Kompetesi Dsr Megguk tur pgkt, kr, d logritm. Melkuk mipulsi ljr dlm perhitug yg melitk pgkt, kr, d logritm. 5) = 6) 0 = 7) = B. Betuk Akr Pd etuk kr erlku: ) m = m ) m = m A. Betuk Pgkt Betuk pgkt meliputi: pgkt ult positif, pgkt ult egtif, d pgkt ol. Secr umum perpgkt ult positif sutu ilg rel didefiisik: =... seyk fktor Sift-sift ilg erpgkt ilg ult utuk, R; m, B ; 0, 0 (R = himpu ilg rel d B = himpu ilg ult) erikut. ) m = m + m ) m = 3) ( m ) = m 4) () = m m 3) = m 4) = m 5) = m m m m C. Logritm Logritm merupk ivers (kelik) dri perpgkt, sehigg dpt didefiisik segi erikut. x = log x = utuk > 0, d x > 0. Keterg: x = ilg pokok tu sis logritm = umerus, ilg yg dicri logritmy, x > 0 = hsil logritm, iliy dpt positif, ol, tu egtif 9

3 Sift-sift logritm: ) log = ) log = 0 3) log x + log y = log (x. y) 4) log x log y = log x y 5) log x =. log x 6) log x = 7) log x = log x 8) = x c c log x log x log m m 9) log x =. log x 0) log = log x x ) log x = log x ) log x. x log y = log y 3) log = 4) log x = log x. log x 5) log - x = log x 30

4 Peljr Persm kudrt d Fugsi Kels X Semester Stdr Kompetesi Memechk mslh yg erkit deg fugsi, persm d fugsi kudrt sert pertidksm kudrt. A. Pegerti Relsi d Fugsi Kompetesi Dsr Memhmi kosep fugsi. Meggmr grfik fugsi ljr sederh d fugsi kudrt. Relsi dri himpu A ke himpu B dlh pemsg g got-ggot himpu A deg ggot-ggot himpu B. Sedgk sutu fugsi dri himpu A ke himpu B dlh sutu relsi yg memsgk setip ggot A deg tept stu ggot B. Fugsi f dri himpu A ke B ditulis: f : A B (dic: fugsi f memetk A ke B) Pd fugsi f : A B erlku: ) Himpu A diseut derh sl (domi) dri f, ditulis D f. ) Himpu B diseut derh kw (kodomi) dri f. 3) Himpu dri semu pet f di B diseut derh hsil (rge) dri fugsi terseut, ditulis R f. B. Persm Kudrt Betuk umum persm kudrt: x + x + c = 0 ;,, c R, 0 Akr-kr persm kudrt dpt ditetuk deg: memfktork; melegkpk etuk kudrt sempur; megguk rumus c: x, ± 4c = Jumlh d hsil kli kr-kr persm kudrt: ) jumlh kr-kr persm kudrt: x + x = ) hsil kli kr-kr persm kudrt: x. x = c C. Fugsi Kudrt Betuk umum fugsi kudrt: f(x) = x + x + c, 0,,, c R Cr-cr meetuk fugsi kudrt:. jik dikethui titik potog deg sumu x di (x, 0) d (x, 0)mk y = f(x) = (x x ) (x x );. jik dikethui koordit titik puck (titik lik) y P (p,q), mk y = f(x) = (x p) + q; c. jik mellui tig titik yg dikethui, diguk y = x + x + c. 3

5 Peljr 3 Sistem Persm Kels X Semester Stdr Kompetesi Memechk mslh yg erkit deg sistem persm lier d pertidksm stu vriel. A. Sistem Persm Lier Kompetesi Dsr Meyelesik sistem persm lier d sistem persm cmpur lier d kudrt dlm du vriel. Mercg model mtemtik dri mslh yg erkit deg sistem persm lier. Meyelesik model mtemtik dri mslh yg erkit deg sistem persm lier d pefsiry. Sistem persm lier terdiri ts du tu leih persm lier. Sistem persm lier tergi ts: ) Sistem persm lier deg du vriel. Betuk umumy: ) Sistem persm lier deg tig vriel. Betuk umumy: x + y + cz = d kx + ly + mz = ; px + qy + rz = s,, c, d, k, l, m,, p, q, r, s = ilg rel. Sistem persm lier deg persm kudrt. Betuk umumy: y = x + = y px + qx + r ;,, p, q, r = ilg rel. Sistem persm kudrt deg du vriel. Betuk umumy: y = x + x + c = y px + qx + r ;,, c, p, q, r = ilg rel. B. Himpu Peyelesi Sistem Persm Utuk mecri himpu peyelesi sistem persm lier deg du vriel d persm kudrt dpt dilkuk deg eerp cr, yitu: ) sustitusi, ) elimisi, d 3) gug sustitusi d elimisi. x + y = c px + qy = r ;,, c, p, q, r = ilg rel. 3

6 Peljr 4 Pertidksm Kels X Semester Stdr Kompetesi Memechk mslh yg erkit deg fugsi, persm d fugsi kudrt sert pertidksm kudrt. A. Pegerti Pertidksm Kompetesi Dsr Meyelesik pertidksm stu vriel yg melitk etuk pech ljr. Mercg model mtemtik dri mslh yg erkit deg pertidksm stu vriel. Meyelesik model mtemtik dri mslh yg erkit deg pertidksm stu vriel d pefsiry. Pertidksm dlh sutu klimt teruk yg memut stu vriel (peuh) tu leih d tdtd ketidksm (<, >,, tu ). B. Jeis-Jeis Pertidksm d Peyelesiy Berdsrk pgkt dri vriely (etuk pertidksm), pertidksm dpt digi ts: ) Pertidksm lier, yitu sutu pertidksm yg mempuyi vriel pgkt stu. Cotoh: x + 4 < x + 7 ) Pertidksm kudrt, yitu sutu pertidksm yg mempuyi vriel pgkt du. Cotoh: x x + 4 < 7 3) Pertidksm pech, yitu sutu pertidksm yg mempuyi etuk pech d megdug vriel x pd peyeuty. Cotoh: x + 3 > 0 x 4) Pertidksm ili mutlk (hrg mutlk), yitu sutu pertidksm yg mempuyi td mutlk. Pd pertidksm ili mutlk erlku: x > 0 sm rtiy < x <. x < 0 sm rtiy x < tu x >. 5) Pertidksm etuk kr, yitu pertidksm yg vriely terletk di wh td kr. Cr peyelesiy diwli deg megudrtk kedu rus. Cotoh: x < 0 33

7 Peljr 5 Logik Mtemtik Kels X Semester Stdr Kompetesi Megguk logik mtemtik dlm pemech mslh yg erkit deg peryt mjemuk d peryt erkutor. Kompetesi Dsr Memhmi peryt dlm mtemtik d igkr tu egsiy. Meetuk ili keer dri sutu peryt mjemuk d peryt erkutor. Merumusk peryt yg setr deg peryt mjemuk tu peryt erkutor yg dierik. Megguk prisip logik mtemtik yg erkit deg peryt mjemuk d peryt erkutor dlm perik kesimpul d pemech mslh A. Klimt Teruk, Peryt, d Negsiy Klimt teruk dlh sutu klimt yg memut vriel, ili keery elum dpt ditetuk, pkh erili er tu slh. Peryt dlh sutu klimt yg dpt ditetuk ili keery, yitu er tu slh, tetpi tidk dpt terjdi er d slh ersm. Igkr peryt (egsi peyt) dlh kelik dri peyt. Jik peryt er, igkry slh, d seliky. Igkr dri p diotsik deg ~p, dic: tidk p tu uk p tu tidk er hw p tu o-p. Cotoh: p = Bdug dlh iu kot Provisi Jw Brt. (er/b) Igkry: ~ p = Bdug uk iu kot Provisi Jw Brt. (slh/s) ~ p = Tidk er hw Bdug dlh iu kot Provisi Jw Brt. (slh/s) Peyt Mjemuk Peryt mjemuk dlh peyt yg terdiri dri du peryt tu leih dpt 34

8 dihuugk deg kt huug, yitu:... d...,... tu..., jik... mk..., d... jik d hy jik.... Cotoh: Hri ii medug tu lgit erwr iru. Jeis-Jeis Klimt Mjemuk Ad empt peryt mjemuk, yitu: ) Kojugsi, yitu gug tr du peryt deg memki kt huug d, diotsik: p q dic: p d q Tel keer kojugsi: p q p q B B B B S S S B S S S S ) Disjugsi, yitu gug tr du peryt deg memki kt huug tu, diotsik: p q dic: p tu q. Tel keer disjugsi: p q p q B B B B S B S B B S S S 3) Impliksi, yitu gug tr du peryt deg memki kt huug jik mk, diotsik: p q dic: jik p mk q, p hy jik q,p syrt cukup utuk q, q syrt perlu utuk p, tu q jik p Tel keer impliksi: p q p q B B B B S S S B B S S B 4) Biimpliksi, dietuk dri (p q) (q p), diotsik: p q dic: p jik d hy jik q, p syrt cukup d perlu utuk q, p ekuivle deg q Tel keer iimpliksi: p q p q q p p q B B B B B B S S B S S B B S S S S B B B B. Igkr Peryt Mjemuk Igkr peryt mjemuk tergi ts. ) Igkr dri kojugsi, erlku: ~(p q) ~p ~q ) Igkr dri disjugsi, erlku: ~(p q) ~p ~q 3) Igkr dri impliksi, erlku: ~(p q) p ~q 4) Igkr dri iimpliksi, erlku: ~(p q) (p ~q) (q ~p) C. Kovers, Ivers, d Kotrposisi Dri impliksi p q dpt dietuk impliksi ru, yitu: Kovers: q p Ivers: ~p ~q d Kotrposisi: ~q ~p 35

9 D. Peryt Berkutor d Igkry Peryt erkutor terdiri ts: ) Peryt erkutor uiversl, diotsik: p(x) (dic: Utuk semu x, erlku- lh p(x) ) Igkry: ~( p(x)) x ~p(x) (dic: igkr utuk semu x yg erlku p(x) dlh d x yg uk p(x) ). ) Peryt erkutor eksistesil, diotsik: (x) p(x) (dic: Ad x sehigg erlku p(x) ) Igkry: ~( x p(x)) x ~p(x) (dic: igkr eerp x erlku p(x) dlh semu x uk p(x) ). E. Perik Kesimpul Perik kesimpul tergi ts: ) Perik kesimpul dri peryt mjemuk, deg tur: ) Modus Poes, erlku: Jik p q er d p er mk peryt q erili er. p q p q ) Atur Tolles, erlku: Jik p q er d ~q er mk peryt ~p erili er. p q ~p ~q c) Silogisme, erlku: Jik p q d q r keduy er mk p r jug er. p q q r p r ) Perik kesimpul dri peryt erkutor Cotoh: p(x) : Jik sutu segitig merupk segitig sm kki mk mempuyi du sudut sm esr. Setip segitig sm kki mempuyi du sudut sm esr. 36

10 Peljr 6 Trigoometri Kels X Semester Stdr Kompetesi Megguk perdig, fugsi, persm, d idetits trigoometri dlm pemech mslh. Kompetesi Dsr Melkuk mipulsi ljr dlm perhitug tekis yg erkit deg perdig, fugsi, persm d idetits trigoometri. Mercg model mtemtik dri mslh yg erkit deg perdig, fugsi, persm d idetits trigoometri. Meyelesik model mtemtik dri mslh yg erkit deg perdig, fugsi, persm d idetits trigoometri, d pefsiry. A. Perdig Trigoometri Rumus-rumus perdig trigoometri pjg sisi dep ) si α = = y pjg sisi mirig r cos α = t α = ) sec α = cot α = pjg sisi pit pjg sisi mirig = x r pjg sisi dep = y pjg sisi pit x cos α ; cosec α = si α ; cos α ; cosec α = t α si α ; Perdig trigoometri sudut α deg (90 o α) 3) si (90 α) = cos α cos (90 α) = si α t (90 α) = cot α cot (90 α) = t α cosec (90 α) = sec α sec (90 α) = cosec α Perdig trigoometri sudut α deg (80 o α) 4) si (80 α) = si α cos (80 α) = cos α t (80 α) = t α cot (80 α) = cot α cosec (80 α) = sec α sec (80 α) = -cot α y x r α 37

11 Perdig trigoometri sudut α deg (80 o + α) 5) si (80 + α) = si α cos (80 + α) = cos α t (80 + α) = t α cot (80 + α) = cot α cosec (80 + α) = -cosec α sec (80 + α) = -sec α 80 Kudr II sius positif Kudr III tg positif Kudr I semu positif Kudr IV kosius positif 0 C. Idetits Trigoometri Cotoh idetits trigoometri: ) si + cos = ) + t = sec D. Persm Trigoometri Utuk k B (B = himpu ilg ult), diperoleh persm segi erikut. ) Jik si x = si, mk: x = + k. 360 x = (80 ) + k. 360 ) Jik cos x = cos, mk: x = + k. 360 x = + k ) Jik t x = t, mk: x = + k. 80 4) Jik cot x = cot, mk: x = + k. 80 B. Fugsi Trigoometri Fugsi trigoometri dpt eretuk segi erikut. ) f(x) = si (kx + ) 360 p periode = = k k ili mksimum = ili miimum = ) f(x) = cos (kx + ) E. Atur Sius, Atur Kosius, d Rumus Segitig Atur sius: c = = si A si B si C Atur kosius: ) = + c c cos A ) = + c c cos B 3) c = + cos C A C c B 360 p periode = = k k ili mksimum = 3) f(x) = t (kx + ) ili miimum = Lus segitig: L ABC =. csi A L ABC = csi B L ABC =. si C periode = 80 = k p k Tidk d ili mksimum d miimum. 38

12 Peljr 7 Rug Dimesi Tig Kels X Semester Stdr Kompetesi Meetuk keduduk, jrk, d esr sudut yg melitk titik, gris, d idg dlm rug dimesi tig. Kompetesi Dsr Meetuk keduduk titik, gris, d idg dlm rug dimesi tig. Meetuk jrk dri titik ke gris d dri titik ke idg dlm rug dimesi tig. Meetuk esr sudut tr gris d idg d tr du idg dlm rug dimesi tig. Keduduk sutu gris terhdp gris li (du gris) diedk ts: ) Berimpit 3) erpotog ) Sejjr 4) ersilg Keduduk sutu idg terhdp idg li (du idg) diedk ts: ) Berimpit ) Sejjr 3) Berpotog A. Keduduk Titik, Gris, d Bidg pd Bgu Rug Keduduk titik diedk ts: ) Titik terletk pd gris ) Titik terletk di lur gris 3) Titik terletk pd idg 4) Titik terletk di lur idg B. Proyeksi Rug Proyeksi rug meliputi: ) Proyeksi titik pd gris. ) Proyeksi titik pd idg. 3) Proyeksi gris pd idg. 39

13 Peljr 8 Sttistik d Pelug Kels XI Semester Stdr Kompetesi Meetuk keduduk, jrk, d esr sudut yg melitk titik, gris, d idg dlm rug dimesi tig. Kompetesi Dsr Memc dt dlm etuk tel d digrm tg, gris, ligkr, d ogive. Meyjik dt dlm etuk tel d digrm tg, gris, ligkr, d ogive sert pefsiry. Meghitug ukur pemust, ukur letk, d ukur peyer dt, sert pefsiry. Megguk tur perkli, permutsi, d komisi dlm pemech mslh. Meetuk rug smpel sutu perco. Meetuk pelug sutu kejdi d pefsiry. A. Sttistik Pered Pegerti Sttistik deg Sttistik Sttistik merupk kumpul gk-gk dri sutu permslh, sehigg dpt memerik gmr megei mslh terseut. Sedgk sttistik dlh cr ilmih yg mem peljri pegumpul, pegtur, perhitug, peggmr, d peglisis dt, sert perik kesimpul yg vlid erdsrk peglisis yg dilkuk, d pemut kesimpul yg rsiol. Peyji Dt Tuggl Peyji dt dpt erup: ) Digrm tg, yitu peyji dt deg megguk tg-tg eretuk persegi pjg deg ler tg yg sm d dilegkpi deg skl tertetu utuk meytk yky tip jeis dt. ) Digrm ligkr, yitu peyji dt sttistik deg megguk gmr yg eretuk ligkr, yg digi ts jurig-jurig. 3) Digrm gris, yitu peyji dt pd idg Crtesius deg meghuugk titik-titik dt pd idg Crtesius (sumu x d sumu y), sehigg diperoleh sutu grfik erup gris. 4) Digrm Btg du, yitu peyji dt yg digi ts du gi, yitu gi tg d 40

14 du. Bgi tg memut gk puluh, sedgk gi du memut gk stu. 5) Digrm kotk gris, yitu peyji dt dlm etuk kotk gris. Peyji Dt Berkelompok Apil dt cukup yk mk dt dikelompokk dlm eerp kelompok, kemudi dt terseut disjik dlm etuk tel distriusi frekuesi. Lgkh-lgkh memut tel distriusi frekuesi dlh segi erikut. ) Urutk dt dri dt terkecil ke dt teresr. ) Tetuk yk kels pd tel distriusi frekuesi, deg megguk metode Sturges: k = + 3,3 log Keterg: k = yk kels = yk dt 3) Tetuk itervl kels deg rumus: I = R k Keterg: I = itervl kels k = yk kels R = rge = jgku = dt tertiggi dt teredh 4) Tetuk ts ts kels (B) d ts wh kels (B). Tel distriusi frekuesi dpt diedk ts: ) Tel distriusi frekuesi reltif: mempuyi frekuesi reltif dlm etuk persetse (%). Besry frekuesi reltif dpt ditetuk deg rumus: Fugsi reltif kels ke-k = frekuesi kels ke-k 00% yk dt ) Tel distriusi frekuesi kumultif, meru pk tel frekuesi yg erisik frekuesi kumultif (frekuesi hsil kumulsi). Fre kuesi kumultif dlh frekuesi yg dijumlhk, yitu frekuesi sutu kels di jumlhk deg frekuesi kels seelumy. Ukur Dt Sttistik. Ukur Pemust Dt (Ukur Tedesi Setrl) Ad tig mcm ukur tedesi setrl, yitu: ) Rt-rt tu me ( x ), yitu jumlh seluruh ili-ili dt digi deg yky dt. ) Rt-rt utuk dt tuggl (tidk erkelompok), rumusy: x x+ x + x x i= x = = ) Rt-rt utuk dt erkelompok, rumusy: i i i= f+ f + f f fi i= f x f x f x f x x = = i 3) Rt-rt sesugguhy, rumusy: x = x + 0 i i= f d f i i= i f x 4) Rt-rt sesugguhy deg memfktork itervl kelsy, rumusy: f u x x I i i i= = + 0 f i i= 4

15 Keterg: x (eksr) = rt-rt dt = jumlh semu oot dt x 0 = rt-rt semetr f i = oot utuk ili-ili x i x i = ili dt ke-i I = itervl kels d u = = fktor itervl I ) Medi (Md), yitu ili yg terletk di tegh deret dt setelh diurutk dri yg ter kecil. Rumus medi utuk dt erkelompok: = fk Md T + I f Keterg: Md = medi T = tepi wh kels fk = frekuesi kumultif c) Modus (Mo), yitu dt yg plig serig mucul tu yg mempuyi frekuesi teryk. Rumus modus dt kelompok dlh d Mo = T + I d+ d Keterg: Mo = modus d = selisih tr frekuesi kels modus deg frekuesi kels seelumy d = selisih tr frekuesi kels modus deg frekuesi kels sesudhy. Ukur Letk Ukur letk sutu dt dpt diytk dlm etuk frktil. Frktil dlh ili-ili yg memgi sepergkt dt yg telh erurut mejdi eerp gi yg sm, yitu: ) Kurtil, yitu ukur letk yg memgi sekumpul dt terseut mejdi 4 gi yg sm. Kurtil tergi ts: Kurtil wh (Q ), terletk pd dt urut ke-¼ ( + ) Kurtil tegh (Q ), terletk pd dt urut ke-½ ( + ) Kurtil ts (Q 3 ), terletk pd dt urut ke-¾ ( + ) Rumus kurtil utuk dt erkelompok: j fk Q j Q = 4 j TQ + I j fq j Keterg: Q j = kurtil ke-j (j =,, 3) T Qi = tepi wh kels yg memut Q j = jumlh seluruh frekuesi fk Qi = frekuesi kumultif kurg dri di wh kels yg memut Q j f Qi = frekuesi kels yg memut Q j I = ler tu pjg kels (itervl kels) ) Desil, yitu ukur letk yg memgi sekumpul dt mejdi 0 gi. Rumus desil utuk dt erkelompok: j fkd j D = 0 j TD + I j fd j Keterg: Dj = desil ke-j (j =,, 3,, 9) T Di = tepi wh kels yg memut Dj = jumlh seluruh frekuesi fk Di = frekuesi kumultif kurg dri di wh kels yg memut Dj f Di I = frekuesi kels yg memut Dj = ler tu pjg kels (itervl kels) c) Persetil, yitu ukur letk yg memgi sekumpul dt mejdi 00 gi. Rumus kurtil utuk dt erkelompok: 4

16 j fk Pj P = 4 j TP + I j fp j Keterg: P j = kurtil ke-j (j =,, 3,, 99) T Pi = tepi wh kels yg memut P j = jumlh seluruh frekuesi fk Pi = frekuesi kumultif kurg dri di wh kels yg memut P j f Pi = frekuesi kels yg memut P j I = ler tu pjg kels (itervl kels) c. Ukur Peyer Dt (Dispersi) Ukur peyer dt tergi ts: ) jgku tu rge (R), erlku: R = X mks X mi ) simpg rt-rt tu devisi rt-rt (SR), rumusy: SR = i= x x i tu c) simpg ku/stdr devisi/devisi stdr (SD), rumusy: SD SD ( xi x) = i= > jik 30 ( xi x) = i= jik 30 d) simpg kurtil tu jgku semi iterkurtil (Q d ), rumusy: Keterg: Q Qd = ( Q3 Q) d = simpg kurtil Q 3 = simpg ts = simpg wh Q i i i = R = f x x B. Pelug Permutsi Permutsi dlh urut yg mugki dri sejumlh usur yg ered tp dy pegulg. Rumusy:!! P(, r) = tu P =!! Di m k r ( r) ( r) Permutsi tergi ts: ) Permutsi deg eerp ojek sm, erlku: ) Byky permutsi dri ojek deg r ojek sm (r < ) dlh P =! r r! ) Byky permutsi dri ojek, di m d eerp ojek sm, misly d m ojek yg sm, d m ojek yg sm sert m 3 ojek yg sm, d seterusy dlh P m, m, m3,... ) Permutsi siklis, erlku:! = m! m! m!... 3 Byky permutsi siklis dri ojek = ( )! Komisi Byky komisi r ojek dri ojek ditulis deg C r tu C r dlh! Cr = r! r! ( ) Pelug Sutu Kejdi Pelug (P) merupk ukur megei kemugki sutu kejdi tertetu k terjdi dlm sutu perco. Jik hsil sutu perco yg 43

17 mugki itu dihimpu dlm sutu himpu mk himpu itu diseut rug smpel yg dilmgk deg S. Pelug P utuk terjdiy sutu kejdi E dlh ( ) = ( E P E ) ( S) Keterg: P(E) = pelug kejdi yg dihrpk sukses (E) = yky ggot kejdi E (S) = yky ggot rug smpel (yky kejdi yg mugki terjdi) Pelug kompleme sutu kejdi erlku: P(E C ) = P(E) Keterg: P(E C ) = pelug kompleme sutu kejdi P(E) = pelug yg dihrpk sukses Kejdi Mjemuk Pd kejdi mjemuk erlku: Pelug kejdi slig sig tu kejdi slig leps: P(A B) = P(A) + P(B) Utuk pelug kejdi semrg A d B er lku: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Pd kejdi A d B slig es, kejdi A tidk memegruhi kejdi B tu kejdi B tidk memegruhi kejdi A, sehigg erlku: P(A B) = P(A) P(B) Du uh kejdi diseut kejdi tidk slig es erlku: Frekuesi Hrp Jik sutu perco dilkuk kli mk pelug kejdi yg dihrpk dlh P(E). Perkli tr erp kli perco dilkuk deg pelug kejdi itu dimk frekuesi hrp (f h ), ditulis deg: P(A B) = P(A) P(B A) Pelug ersyrt P(B A) rtiy pelug terjdiy B setelh A terjdi f h (E) = P(E) Keterg: f h (E) = frekuesi hrp P(E) = pelug kejdi E = yk kejdi 44

18 Peljr 9 Kompisisi Du Fugsi d Ivers Kels XI Semester Stdr Kompetesi Meetuk komposisi du fugsi d ivers sutu fugsi. A. Pegerti Relsi d Fugsi. Produk Crtesius Kompetesi Dsr Meetuk komposisi fugsi dri du fugsi. Meetuk ivers sutu fugsi. Jik terdpt himpu P d Q yg tidk kosog, produk crtesius dri himpu P d Q dlh himpu psg terurut (x, y) deg x P, y Q, ditulis segi erikut.. Relsi P Q = {(x, y) x P d y Q} Relsi tu huug R dri himpu P ke himpu Q dlh semrg himpu gi dri produk crtesius P Q deg x P, y Q, ditulis segi erikut: 3) Fugsi R = {(x, y) x P d y Q} Sutu fugsi f tu pemet f dri himpu P ke himpu Q dlh sutu relsi khusus yg memetk setip eleme dri P (domi) deg tept stu eleme dri Q (kodomi). Jik f memetk sutu eleme x P ke sutu eleme y Q, fugsi f dri A ke B dpt ditulis y = f(x) deg x segi peuh es d y segi peuh terikt. Derh sl (domi) fugsi y = f(x) dlh iliili x supy y = f(x) d iliy (terdefiisi). Syrt gr sutu fugsi terdefiisi : f( ) * y = log ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) x ( x) ( ) ( ) ( ) * y = f x syrt f x 0 f * y = g x 0 g syrt g x > 0 d f x > 0, f x Derh hsil (rge) fugsi y = f(x) dlh ili-ili y yg dipegruhi oleh domi fugsi (D f ). Meetuk rge (derh hsil) dri fugsi kudrt y = f(x) = x + x + c dlh segi erikut. Utuk D f = {x x R} - Jik > 0, derh hsily R f = {y y > y e, y R} - Jik < 0, derh hsily R f = {y y < y e, y R} deg y e 4c = 4 45

19 Utuk D f = {x p < x < q, x R} - Jik sis titik pucky x = e di dlm itervl domi, tetuk f(x e ), f(p), d f(q), sehigg: R f = {y f mi < y < f mks, y R} - Jik sis titik pucky (x e ) di lur B. Sift-sift Fugsi itervl domi, tetuk f(p), d f(q), sehigg: R f = {y f mi < y < f mks, y R}. Fugsi dri himpu P ke Q diseut stu-stu (oe-oe / ijektif) jik setip eleme dri P hy mempuyi stu pet di Q d tidk hrus semu eleme dri Q terpetk dri P. Fugsi dri himpu P ke himpu Q diseut pd (oto / surjektif) jik setip eleme dri himpu Q his terpetk (mempuyi miiml stu psg deg eleme himpu P). Fugsi dri himpu P ke himpu Q diseut korespodesi stu-stu (oe-oe oto / ijektif) jik fugsi itu ijektif d oto). C. Aljr Fugsi Jik f d g dlh du fugsi yg dikethui, mk fugsi yg merupk jumlh, selisih, hsil kli, d hsil gi kedu fugsi terseut msig-msig segi erikut. ( )( ) ( ) ( ) ( f + g) ( )( ) ( ) ( ) ( f g) ( )( ) ( ) ( ) ( f. g) f f f( x) ( ) f f g g g( x) * f + g x = f x + g x, deg D = D D * f g x = f x g x, deg D = D D * f. g x = f x. g x, deg D = D D g ( ) * x =, deg D = D D d g x 0 f f g g g D. Komposisi Fugsi Jik fugsi f: A B d fugsi g: B C, fugsi h: A C diseut fugsi komposisi yg ditetuk oleh rumus segi erikut. h = g o f = g o f(x) = g o {f(x)} = (g o f)(x) Syrt gr fugsi g d fugsi f dpt dikomposisik mejdi (g o f) dlh segi erikut. - Iris tr derh hsil fugsi deg derh sl fugsi g uk himpu kosog. (R f R g ) 0 - Derh sl fugsi komposisi (g o f) dlh himpu gi dri derh sl fugsi f. D( ) D gof f - Derh hsil fugsi komposisi (g o f) dlh himpu gi dri derh hsil fugsi g. R( ) R gof f Sift fugsi komposisi: tidk komuttif g o f(x) f o g(x). E. Fugsi Ivers Tidk semu fugsi ivers merupk fugsi ivers d ivers fugsi yg merupk fugsi diseut fugsi ivers. Sutu fugsi f : A B mempuyi fugsi ivers f - : B A jik semu eleme himpu A d eleme himpu B erkorespodesi stustu. Notsi fugsi ivers dlh jik f(x) = y, f - (y) = x tu y - = f - (x). Lgkh meetuk fugsi ivers dri y = f(x) dlh: - Meguh fugsi y = f(x) dlm etuk x segi fugsi y. - Meggti y pd f - (y) deg x utuk medptk f - (x). Sift komposisi fugsi ivers : f - o g- = (g o f) - 46

20 F. Huug komposisi d ivers Jik (g o f)(x) = h(x), mk diperoleh:. h - (x) = (g o f) - (x) = (f - o g- )(x) = f - (g - (x)). (f o g) - (x) = (g - o f- )(x) = g - (f - (x)) 3. g(x) = (h o f - )(x) 4. f(x) = (g - o h)(x) G. Rumus-rumus. (f ± g) (x) = f(x) ± g(x). (f g) (x) = f(x) g(x) 3. f f( x) ( x) x = g( x) deg g(x) 0 4. f ( x ) = { f ( x ) } x f ( x) = x + f ( x) = - x f ( x) = x + f ( x) = x+ - -dx+ f( x) = f ( x) = ; x cx + d cx c 47

21 Peljr 0 Limit Fugsi Kels XI Semester Stdr Kompetesi Megguk kosep limit fugsi d turu fugsi dlm pemech mslh. 48 Kompetesi Dsr Meghitug limit fugsi ljr sederh di sutu titik. Megguk sift limit fugsi utuk meghitug etuk tk tetu fugsi ljr. Megguk sift d tur turu dlm perhitug turu fugsi ljr. Megguk turu utuk meetuk krkteristik sutu fugsi ljr d memechk mslh. Mercg model mtemtik dri mslh yg erkit deg ekstrem fugsi ljr. Meyelesik model mtemtik dri mslh yg erkit deg ekstrem fugsi ljr d pefsiry. A. Pegerti Limit. Limit sutu fugsi f(x) utuk x medekti ili dlh hrg yg plig dekt dri f(x) pd st x medekti ili.. Jik lim f( x) = L, rtiy L dlh ili pedekt x utuk x di sekitr. B. Teorem Limit. Jik f(x) = x, mk lim f ( x ) = x. Jik c kostt, mk lim c. f( x) = c. lim f( x) 3. { } x x x x x lim f( x) ± g( x) = lim f( x) ± lim g( x) lim f( x). g( x) = lim f( x). lim g( x) 4. { } 5. x x x f( x) lim f( x) x lim =, utuk lim g ( x ) 0 x g ( x ) lim g ( x ) x x 6. lim f ( x) lim { f( x) } ( lim ( )) f x = =, x x x utuk ilg sli C. Limit Fugsi Aljr Lgkh umum peyelesi limit fugsi ljr lim f( x ) dlh segi erikut. x. Sustitusi ili x = ke f(x).. Jik hsily etuk tk tetu 0,,,, 0 f(x) hrus diurik. 3. Jik hsily etuk tertetu, itulh ili limity.

22 D. Jeis Limit utuk x c. Jik x c d c dlh kostt, fugsi f(x) diurik deg cr fktorissi.. Utuk fugsi f(x) yg megdug etuk kr, klik deg sekwy terleih dhulu, ru msukk ili limity. E. Jik x d hsily tu 0 0, fugsi f(x) diurik deg cr memgi pemilg d peyeut deg x pgkt tertiggi., utuk m > m m x + x +... lim =, = utuk m x x + x , utuk m < F. Jik x deg hsil, fugsi f(x) diuri k deg cr dikli sekw utuk fugsi yg megdug etuk kr, kemudi memgi pemilg d peyeut deg x pgkt tertiggi. Rumus jumlh d selisih kr ( ), utuk > c lim x + + cx + d = 0, utuk = c x, utuk < c ( ), utuk > c lim x + cx + d = 0, utuk = c x, utuk < c Rumus selisih kr kudrt ( ), utuk > q lim x + x + c px + qx + r =, utuk = p x, utuk < p p 49

23 Peljr Itegrl Kels XII Semester Stdr Kompetesi Megguk kosep itegrl dlm pemech mslh sederh. A. Itegrl Tk Tetu. dx = x + c. df( x) = f( x) + c Kompetesi Dsr Memhmi kosep itegrl tk tetu d itegrl tetu. Meghitug itegrl tk tetu d itegrl tetu dri fugsi ljr sederh. Megguk itegrl utuk meghitug lus derh di wh kurv. 3. dx = x + c + 4. x dx = x + c deg x dx = x + c deg + + ( x + ) 6. ( x + ) dx = + c deg 0 ( + ) C. Peerp Itegrl Tetu. S =. V = v dt dt D. Itegrl Tertetu ( ) = ( ) f x dx F x = F ( ) F ( ) F( x) = tituru f( x) = ts wh = ts ts E. Sift-Sift Itegrl Tertetu. k dx = k( ). f ( x) dx = 0 3. k f ( x) dx = k f ( x) dx 4. f ( x) dx = f ( x) dx 5. f ( x) dx + f ( x) dx = f ( x) dx c c B. Sift-Sift Itegrl. kf ( x) dx = k f ( x) dx. ( f ( x) ± g( x)) dx = f ( x) dx + g ( x) dx 50

24 F. Lus Bidg Dtr. Ditsi Oleh Kurv d Sumu X Lus D = f ( x) dx Lus D = f ( x) dx = f ( x) dx. Lus Atr Du Kurv H. Itegrl Fugsi Trigoometri. si x dx= - cos x + c. cos x dx = si x + c 3. sec x dx = t x + c 4. cosec x dx = - cot x + c 5. sec x t x dx = sec x + c 6. cosec x cot x dx = - cosec x + c I. Itegrl Sustitusi Trigoometri Fugsi Itegrl Sustitusi deg Hsil Sustitusi D Lus D = [ f ( x) g( x)] dx x x = si α cosα + x x = t α sec α G. Volume Bed Putr. Megeliligi Sumu X x x = sec α t α J. Pjg Busur x= Volume = [ f ( x)] dx. Megeliligi Sumu Y Volume = π [ f ( y)] dy S= dy + dx dx 5

25 Peljr Progrm Lier Kels XII Semester Stdr Kompetesi Meyelesik mslh progrm lier. Kompetesi Dsr Meyelesik sistem pertidksm lier du vriel. Mercg model mtemtik dri mslh progrm lier. Meyelesik model mtemtik dri mslh progrm lier d pefsiry. B. Himpu peyelesi dri pertidksm lier Derh peyelesi dri mslh progrm lier, yitu model mtemtik yg eretuk pertidksm lier x + y < tu x + y >. Derh peyelesi dpt ditetuk deg cr:. Jik x + y < mk derh peyelesi erd di seelh kiri gris, deg syrt koefisie x positif ( > 0).. Jik x + y > mk derh peyelesi erd di seelh k gris, deg syrt koefisie x positif ( > 0). A. Persm gris lurus. Persm gris yg ergrdie m d mellui titik (x, y ) dlh: y y = m(x x ). Persm gris yg mellui du titik (x, y ) d (x, y ) dlh: y y x x = y y x x 3. Persm gris yg mellui titik (0, ) d (, 0) dlh: x + y = Letk kiri d k derh peyelesi, deg syrt koefisie x positif ( > 0 ) kiri ( ) k ( ) kiri ( ) k ( ) kiri ( ) k ( ) k ( ) kiri ( ) C. Fugsi Tuju (Ojektif /Ssr), Nili Mksi mum, d Nili Miimum. Fugsi tuju dlh ili f utuk x d y tertetu dri sutu progrm lier, d diytk f(x, y). Nili fugsi ssr yg dikehedki dlh kodisi x d y yg meyek mksimum tu miimum 3. Pd gmr HP progrm lier, titik-titik sudut merupk titik-titik kritis, dim ili miimum tu mksimum erd. Apil 5

26 sistem pertidksmy terdiri dri dri du pertidksm, mk titik-titik kritisy is ditetuk tp hrus digmr grfiky. Titik kritis d 3: (0, ), (x, y), d (, 0) Berdsrk kedu grfik di ts dpt disimpulk cr peetu titik kritis segi erikut.. Pilih titik potog kurv deg sumu Y tu sumu X yg terkecil (0, ) d (q, 0) jik tujuy mksimumk tu yg teresr (0, p), (, 0) jik tujuy miimumk.. Titik potog tr kedu kurv (x, y) Titik kritis d 3 : (0, m), (x, y), d (, 0) 53

27 Peljr 3 Mtriks Kels XII Semester Stdr Kompetesi Megguk mtriks dlm pemech mslh.. Pegerti mtriks Kompetesi Dsr Megguk siftsift d opersi mtriks utuk meujukk hw sutu mtrik persegi merupk ivers dri mtriks persegi li. Meetuk determi d ivers mtriks x. Megguk determi d ivers dlm peyelesi sistem persm lier du vriel. ) Mtriks merupk susu kumpul ilg dlm etuk persegi tu persegi pjg yg ditur meurut ris d kolom; ) Bris sutu mtriks dlh susu ilgilg yg medtr dlm mtriks; c) Kolom sutu mtriks dlh susu ilgilg yg tegk dlm mtriks.. Opersi hitug mtriks ) Pejumlh tu pegurg mtriks Mtriks A d B dpt dijumlhk tu dikurgk jik ordo A = ordo B c A = d e f d B = p q r s t u + p + q c+ r A + B = d+ s e+ t f + u ) Sift pejumlh mtriks Jik A, B, d C mtriks-mtriks erordo sm, erlku: () Sift Komuttif: A + B = B + A; ( Sift Asositif: (A + B) + C = A + (B + C); (c) Terdpt mtriks Idetits, yitu mtriks ol, sehigg: A + 0 = 0 + A = A; (d) Setip mtriks A mempuyi ivers pejumlh yitu mtriks A, sehigg: A + ( A ) = ( A ) + A = 0 ) Pd pegurg mtriks ersift: () Tidk Komuttif () Tidk Asositif (c) Tidk terdpt usur Idetits ) Perkli Mtriks Du mtriks A d B dpt diklik il yk kolom mtriks pertm (kiri) sm deg yk ris mtriks kedu (k) ) A m x. B x k = C m x k ) B x k. A m x tidk dpt diklik 54

28 3. Trspos Mtriks Trspos mtriks A ( A t ) dlh seuh mtriks yg disusu deg cr meulisk ris ke-i mtriks A mejdi kolom ke-i mtriks A t. d c t A = e d e f c f Beerp sift mtriks trspos: ) (A + B) t = A t + B t ) ( A t ) t = A c) (AB) t = B t A t d) (KA) t = KA t, k merupk kostt 4. Determi d ivers mtriks ) Jik A = c d, mk determi mtriks A = A = c d = d c ) Jik A = c d, mk ivers mtriks A = d A = A c Apil A = 0 A = 0, mk mtriks A tidk mempuyi ivers d diseut mtriks sigulr. Apil A 0 A 0, mk mtriks A mempuyi ivers d diseut mtriks o sigulr. 3) Sift-sift ivers mtriks () A A - = A - A = I = () (A B) - = B - A Peggu mtriks dlm sistem persm lier ) Cr Mtriks Jik persm AX = B, mk X = A - B Jik persm XA = B, mk X = B A - ) Cr determi x + y = p cx + dy = q Dx mk x = d y= Dy d D deg p p D =, Dx =, Dy = c d q d c q 55

29 Peljr 4 Bris d Deret Kels XII Semester Stdr Kompetesi Megguk kosep ris d deret dlm pemech mslh. Kompetesi Dsr Meetuk suku ke- ris d jumlh suku deret ritmetik d geometri. Mercg model mtemtik dri mslh yg erkit deg deret. Meyelesik model mtemtik dri mslh yg erkit deg deret d mefsirk solusiy. d. Jumlh suku pertm (S ) S = U + U + U 3 + U U + U S U = ( + ) tu = + ( ) S { } e. Huug suku pertm (), suku tegh (U t ), d suku ke- (U ) ( k ) Ut = + U, k letk suku tegh, yky suku k S =. U t f. Sisip ru = k +. Bris d Deret Geometri. Betuk umum ris:. Bris d Deret Aritmtik. Betuk umum ris: U, U, U 3, U 4,..., U, +, +, + 3,..., + ( ). Bed (selisih) = = U U = U 3 U = U 4 U 3 =... = U U c. Suku ke- (U ) U = + ( ) U = S S U, U, U 3, U 4,..., U r, r, r, r 3,..., r. Rsio (perdig) = r r U U U U... U U U U 3 4 = = = = = c. Suku ke- (U ) U = r U = S S 3 56

30 d. Jumlh suku pertm (S ) S = U + U + U 3 + U U + U S S ( r ) =, r > tu r ( r ) =, r < r e. Huug suku pertm (), suku tegh (U t ), d suku ke- (U ) U t = U. 3. Deret Geometri Tk Higg. Koverge (semki megecil), pil limit jumlh utuk dpt ditetuk. Jumlh smpi tk higg: = S, - < r <, r 0. r. Diverge (semki meyer/memesr), pil limit jumlh utuk tidk dpt ditetuk. Jumlh smpi tk higg: S = ±, r < - tu r >. f. Sisip rru = k+ r 57