MODEL SPASIAL SURVIVAL WEIBULL 3P DENGAN PENDEKATAN BAYESSIAN DAN APLIKASINYA PADA WINBUGS

Transkripsi

1 Model Sasial Survival Weibull 3 dengan Pendekatan Bayessian dan Alikasinya ada Winbugs MODEL SPASIAL SURVIVAL WEIBULL 3P DENGAN PENDEKATAN BAYESSIAN DAN APLIKASINYA PADA WINBUGS Diaz Fitra Aksioma Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Pesantren Tinggi Darul Ulum (Unidu) Jombang Komleks Pones Darul Ulum Rejoso Peterongan Jombang Jatim 648 dheaze_shaya@yahoo.co.id Abstrak Model survival meruakan suatu endekatan statistika yang seringkali dialikasikan dalam berbagai bidang, misalnya bidang kesehatan, biologi dan bahkan dalam bidang olitik. Model tersebut tidak hanya digunakan untuk menentukan faktor-faktor aa saja yang dominan memengaruhi terjadinya suatu eristiwa/event akan tetai juga mamu mengidentifikasi factor resiko berdasarkan erubahannya terhada waktu. Seringkali, terjadinya suatu event juga diengaruhi oleh lokasi dimana event tersebut terjadi. Prior CAR selanjutnya digunakan untuk memunculkan autokorelasi sasial ada efek random/frailty ada model survival tersebut. Distribusi eksonensial dan weibull-2 seringkali muncul sebagai distribusi dari waktu survival ada beberaa enelitian. Penelitian ini membahas tentang bagaimana distribusi weibull-3 digunakan sebagai distribusi dari waktu survival dalam model sasial survival beserta code rogramnya dalam oensource WinBUGS. Kata kunci: model survival, event, rior CAR, frailty, weibull-3, sasial survival dan WinBUGS. Abstract Survival model is a statistical aroach that is often alied in many fields, such as health, biology and even in olitics. The model is not only used to determine what factors influence the redominant occurrence of an event but will also be able to identify the risk factors based on changes through time. Often, the occurrence of an event is also influenced by the location where the event occurred. Prior CAR then used to bring the effects of satial autocorrelation in random / frailty in the survival models. Exonential distribution and Weibull-2 often occur as the distribution of survival time in some studies. This study discusses how Weibull-3 distribution is used as the distribution of the survival time and their survival in the satial model code oensource rogram in WinBUGS. Keywords: models of survival, event, rior CAR, frailty, Weibull-3, satial survival and WinBUGS. Pendahuluan Model survival meruakan suatu model matematis yang seringkali dialikasikan dalam berbagai enelitian, terutama enelitian dibidang biologi, Gamatika Vol. II No.2 Mei

2 Model Sasial Survival Weibull 3 dengan Pendekatan Bayessian dan Alikasinya ada Winbugs kesehatan dan bahkan daat ula dialikasikan ada bidang olitik. Model tersebut digunakan untuk menentukan nilai hazard atau resiko dari suatu kejadian, misalnya kemamuan bertahan seseorang terhada suatu enyakit serta laju kesembuhan terhada enyakit tersebut. Selain itu, model survival juga daat digunakan untuk menentukan faktor-faktor yang memengaruhi hazard atau resiko seseorang terhada suatu enyakit tertentu. Dalam bidang olitik misalnya, hazard atau resiko tersebut daat dikaitkan dengan waktu sejak seorang olitikus duduk di kursi arlemen hingga mencaai kursi iminan tertinggi suatu negara atau sejak seseorang memulai karir olitik hingga mencaai kursi arlemen serta faktor-faktor yang memengaruhinya. Model survival menurut Dohoo (2008) tidak hanya digunakan untuk melihat aakah suatu kejadian tertentu terjadi atau tidak sebagaimana yang berlaku ada model regresi logistik, akan tetai juga daat digunakan untuk mengidentifikasi faktor resiko kejadian tersebut serta menangani situasi ketika faktor resiko berubah terhada waktu. Berdasarkan keterangan tersebut maka ketika seorang eneliti memiliki tujuan untuk menentukan faktor-faktor yang memengaruhi terjadinya suatu hal/eristiwa berdasarkan faktor resiko kejadian tersebut terhada waktu maka model survival meruakan suatu alat yang akan lebih memadai. Pada kenyataannya,suatu kejadian seringkali berhubungan dengan daerah (lokasi) dimana kejadian tersebut berlangsung. Artinya, suatu kejadian mungkin saja terjadi akibat engaruh dari lokasi/daerah temat kejadian tersebut terjadi. Pengaruh faktor lokasi/daerah tersebut seringkali disebut sebagai faktor sasial. Faktor sasial tersebut secara umum daat dibedakan menjadi dua yaitu faktor sasial melalui endekatan geostatistik dan endekatan lattice (Banerjee, dkk., 2003). Pendekatan geostatistik yaitu ketika faktor sasial didekati melalui lokasi geografisnya, yaitu melalui garis lintang dan bujur (latitude dan longitude) sedangkan endekatan lattice yaitu ketika engaruh sasial dari suatu kejadian didekati melalui letak/osisi daerah temat kejadian tersebut relatif terhada daerah yang lain dalam hal ini juga disebut sebagai neighboring. Terdaat beberaa metode yang bisa digunakan untuk memberikan engaruh sasial tersebut dalam model survival, antara lain melalui endekatan bayesian. Menurut Banerjee, dkk (2003) endekatan bayesian digunakan untuk memunculkan deendensi sasial ada efek random/error dari daerah-daerah yang saling berdekatan. Deendensi sasial ini kemudian dinyatakan melalui rior conditionally autoregressive (CAR) yang sebelumnya dikembangkan oleh Besag, York dan Mollie. Melalui rior CAR ini, autokorelasi yang semula tidak boleh ada ada efek random model survival menjadi suatu hal yang dierbolehkan. Autokorealasi sasial tersebut selanjutnya menyatakan adanya hubungan antara daerah-daerah yang saling berdekatan yang dinyatakan melalui sebuah matriks adjacent (matriks ketetanggan). Banerjee, dkk (2003) menyatakan bahwa efek random sasial ertama kali ditambahkan ada model survival oleh Berry dan Star ada tahun 990 dan 99 yang menyatakan embobot kebergantungan/engaruh sasial dalam jumlah atauun roorsi dari daerah yang saling berdekatan. Pada tahun 2003, Banerjee dkk mengembangkan model survival hierarki yang menyertakan efek random (frailty) ada studi kasus kematian bayi lahir di minnesota, Amerika Serikat. Pada erkembangan selanjutnya, endekatan bayesian kemudian digunakan ada model survival dengan frailty hirarkhi menggunakan metode Markov Chain Monte Carlo Gamatika Vol. II No.2 Mei

3 Model Sasial Survival Weibull 3 dengan Pendekatan Bayessian dan Alikasinya ada Winbugs (MCMC) dengan algoritma Metroolis-Hasting (Carlin dan Louis, 2000). Darmofal (2008) mengalikasikan model sasial survival dengan frailty tersebut dalam ilmu olitik, yaitu memodelkan waktu hingga dikeluarkannya engumuman tentang susunan keanggotaan arlemen dalam emerintahan Amerika Serikat oleh NAFTA. Keseluruhan enelitian tersebut menggunakan distribusi weibull-2 ada distribusi waktu survivalnya. Akan tetai, tidak menutu kemungkinan jika ada suatu saat terdaat kejadian ketika distribusi waktu survival suatu kejadian adalah weibull-3 sehingga ada akhirnya memunculkan keingintahuan eneliti untuk menentukan model survival dengan frailty sasial menggunakan dsitribusi weibull-3 sebagai distribusi waktu survivalnya untuk selanjutnya menentukan rogramnya dalam oensource winbugs. 2. Model Survival Model survival meruakan suatu rosedur statistik yang digunakan untuk menganalisis data waktu survival yaitu data waktu hingga suatu kejadian/event tertentu terjadi dan seringkali disebut sebagai failure event (Kleinbaum, 2005). Tiga hal yang harus dierhatikan dalam menentukan waktu survival t, yaitu: ) time origin/starting oint atau titik awal, 2) failure time yaitu waktu berakhirnya failure event dan 3) measurement scale of time atau skala engukuran waktu. Dalam model survival dikenal data tersensor, yaitu ketika engamatan terhada waktu survival hanya sebagian atau engamatan tidak samai ada failure event. Tiga hal yang menyebabkan data tersensor, yaitu: ) lost of follow u yaitu jika obyek meninggal/indah, 2) dro out yaitu jika treatment harus dihentikan karena alasan tertentu dan 3) termination of study yaitu jika masa enelitian berakhir sebelum mencaai failure event. Model survival digunakan untuk menjelaskan bagaimana hazard (resiko) terjadinya suatu event/eristiwa tertentu ada suatu waktu tertentu diengaruhi oleh beberaa faktor (Darmofal, 2008). Pada kejadian tunggal, hazard rate dinyatakan sebagai resiko sesaat suatu obyek ada suatu waktu tertentu yang mamu bertahan, yaitu tidak mengalami failure event hingga waktu berakhir. Dalam model survival, yang enting untuk diingat adalah bagaimana baseline hazard di ukur. Baseline hazard dinyatakan sebagai resiko terjadinya suatu event tana memertimbangkan adanya efek faktor-faktor yang lain. Fungsi survival meruakan eluang seorang individu untuk bertahan lebih lama dari suatu waktu t sedangkan fungsi hazardnya meruakan reaksi sesaat ketika terjadi event ada waktu ke-t. Kleinbaum (2005) juga menyatakan bahwa fungsi hazard menaksir eluang obyek mengalami event ada waktu ke-t. Nilai rediktor (faktor-faktor yang berengaruh) ada model hazard roorsional dinyatakan oleh vektor x, dimana x x,x2,,x, fungsi baseline hazard dinyatakan sebagai h 0 ( t ) yang meruakan hazard tia individu ketika vektor x bernilai 0 sehingga model hazard roorsional diberikan dalam ersamaan () berikut ini. t h t ex β T x () h 0 3. Model Sasial Survival Time-to-event data atau data waktu hingga terjadinya suatu event menurut Banerjee, dkk (2003) seringkali dikelomokkan dalam strata /kelomok- Gamatika Vol. II No.2 Mei

4 Model Sasial Survival Weibull 3 dengan Pendekatan Bayessian dan Alikasinya ada Winbugs kelomok seerti wilayah geografis atau daerah bencana. Pada keadaan tersebut, endekatan hierarki melalui stratum-secific frailties seringkali cocok. Hal tersebut ertama kali dierkenalkan oleh Vauel dkk (979) dalam Banerjee dkk (2003) dimana terdaat mixed model dengan frailty mewakili status tia kelomok. Dalam model arametrik weibull-2, hazard rate diberikan melalui ersamaan (2) berikut, T h t ; x t ex β x (2) sedangkan ada model yang menyertakan frailty, ersamaan (2) dierluas menjadi ersamaan (3), T h t ; x t ex β x W (3) dimana j ( j, 2,,n ) meruakan waktu hingga event terjadi, i ( i, 2,, I ) i meruakan banyaknya strata/kelomok, t meruakan waktu kejadian/event, x menyatakan vektor kovariat, meruakan arameter bentuk baseline hazard dan β memiliki interse (Wall, 2004). Parameter menyatakan bentuk hazard rate dalam model weibull. Hazard rate monoton naik dinyatakan dan sebaliknya menyatakan hazard rate monoton turun, sedangkan menyatakan hazard konstan/datar (Box dan Jones, 2004 dalam Darmofal, 2008). Pada endekatan sasial survival, model dibentuk melalui data survival yang tersusun berdasarkan daerah yang saling berdekatan yang berarti bahwa frailties Wi dari daerah yang saling berdekatan menggambarkan kemungkinan bahwa daerah-daerah tersebut memiliki karakteristik yang miri (Banerjee, dkk., 2003 dan Darmofal, 2008). 4. Analisis Bayesian Pendekatan/estimasi yang digunakan dalam statistika klasik menggunakan inferensia hanya berdasar ada data samel dari oulasi sedangkan estimasi ada endekatan bayesian selain memanfaatkan informasi dari data samel juga memerhitungkan enggunaan suatu distribusi awal yang disebut sebagai distribusi rior (Ntzoufras, 2009). Selain itu, arameter ada endekatan statistika klasik bernilai teta (fixed) sedangkan ada endekatan bayesian meruakan variabel random yang memiliki distribusi dan disebut sebagai distribusi rior. Estimator ada endekatan bayesian adalah mean atau modus dari distribusi osteriornya. Distribusi osterior data diberikan melalui ersamaan (4) berikut ini (Congdon, 2003), l x x (4) x dimana xmeruakan dsitribusi osterior data, meruakan dsitribusi rior arameter data dan lx meruakan likelihood data samel sedangkan x adalah konstanta ternormalisasi (normalized constant). Secara umum osterior dinyatakan dalam ersamaan (5) berikut, x l x (5) i Gamatika Vol. II No.2 Mei

5 Model Sasial Survival Weibull 3 dengan Pendekatan Bayessian dan Alikasinya ada Winbugs 5. Markov Chain Monte Carlo (MCMC) Markov chain monte carlo (MCMC) menurut Ntzoufras (2009) meruakan suatu endekatan numerik untuk mengatasi kesulitan enentuan marginal osterior arameter, dimana dierlukan suatu roses integrasi yang sangat rumit dan cuku lama. MCMC ertama kali dierkenalkan dalam ilmu fisika oleh Metroolis dan ublikasi yang mencaku generalisasi dari algoritma Metroolis oleh Hastings ada tahun 970 dan selanjutnya diberikan enambahan gibbs samling oleh Geman ada 984. MCMC digunakan kembali oleh statistisi seerti Tanner dan Wong ada tahun 987 serta Gelfand dan Smith ada tahun 990 yang kemudian menjadi alat komutasi utama ada inferensi statistika modern. Ntzoufras (2009) menyatakan bahwa teknik MCMC dilakukan berdasarkan ada enyusunan Markov Chain yang konvergen secara ceat (stasioner/ equilibrium) ada distribusi target/distribusi osterior x yang meruakan embeda utama MCMC dari metode simulasi lainnya. MCMC membangkitkan data samel arameter yang memiliki distribusi tertentu melalui gibbs samling. Langkah terakhir yaitu iterasi (iterative methods) dimana nilai setia langkah bergantung ada satu langkah sebelumnya. 6. Pembobot Sasial Ketika berbicara tentang matriks ketetanggaan (adjacent), embobot sasial dari daerah-daerah yang saling bersinggungan dinyatakan melalui indeks diskret (Banerjee, dkk., 2003). Terdaat beberaa metode yang mendefinisikan hubungan kebersinggungan (contiguity) antar daerah (Aksioma dan Iriawan, 200) antara lain: ) linear contiguity meruakan ersinggungan tei kiri dan kanan, yaitu w = jika daerah j berada di tei kiri mauun kanan daerah i dan w =0 untuk yang lainnya, 2) rook contiguity yaitu kebersinggungan sisi dimana w = jika daerah i dan j saling bersisian dan w =0 untuk yang lainnya, 3) bisho contiguity yaitu kebersinggungan sudut dimana w = jika sudut dari daerah i dan j saling bertemu dan w =0 untuk yang lainnya, 4) double linear contiguity yaitu kebersinggungan dua tei yaitu tei kiri, kanan, atas dan bawah dimana w = jika daerah j berada di tei kiri, kanan, atas dan bawah daerah i dan w =0 untuk yang lainnya, 5) double rook contiguity yaitu kebersinggungan dua sisi dimana w = jika daerah i dan j saling bersisian dan w =0 untuk yang lainnya dan 6) queen contiguity yaitu gabungan dari ersinggungan sisi dan sudut dimana w = jika daerah i dan j saling bersisian serta sudut dari daerah i dan j saling bertemu dan w =0 untuk yang lainnya. 7. Hasil dan Pembahasan Sebelum membentuk model sasial survival maka langkah yang harus dilakukan adalah menentukan distribusi data waktu survivalnya, yaitu distribusi dari data hingga suatu event terjadi. Seringkali waktu survival suatu kejadian adalah berdistribusi eksonensial atauun weibull-2. Pada enelitian ini, akan dibahas mengenai model survival dengan frailty sasial dimana distribusi waktu survivalnya adalah weibull-3. Distribusi weibull 3-arameter memunyai fungsi keadatan eluang sebagaimana ditunjukkan ada ersamaan (6) berikut ini. f t abt c a ex bt c a dan fungsi distribusi kumulatifnya adalah, (6) Gamatika Vol. II No.2 Mei

6 Model Sasial Survival Weibull 3 dengan Pendekatan Bayessian dan Alikasinya ada Winbugs F t a t PT t abt c ex bt c c t c ex b a t c dbt c t ex b c a t c a Gamatika Vol. II No.2 Mei a dt ex b t c ; dengan t c dan a,b 0. Parameter a meruakan arameter bentuk, b meruakan arameter skala dan c meruakan arameter lokasi, dimana jika c = 0 maka distribusinya berubah menjadi weibull-2. Selanjutnya, setelah didaatkan fungsi distribusi kumulatifnya maka fungsi survival dari distribusi weibull-3 diberikan ada ersamaan (7) berikut ini, S t Ft ex bt c a Kemudian fungsi hazardnya adalah, t t (7) a t c ex bt c a ex bt c f ab a h t abt c (8) S Sehingga model weibull-3 yang terbentuk berdasarkan ersamaan (2) dan ersamaan (8) diberikan dalam ersamaan (9) berikut ini, h a t h t x x x abt c Selanjutnya, a 0 ex (9) h 0 t meruakan suatu fungsi yang nilainya bergantung ada nilai t sedangkan x x ex bebas dari nilai t sehingga arameter b daat dinyatakan sebagai berikut, b ex x x x (0) dan baseline hazardnya 0 0 t x h dinyatakan dalam ersamaan () berikut ini. a t at c h () Fungsi hazardnya kemudian dabarkan sebagai berikut, h a t at c ex 0 x 2x2 x a at c ex 0 ex x 2x2 x a a t c ex ex x x x 0 2 Berdasarkan bentuk full conditional distribution (distribusi bersyarat enuh) dari masing-masing arameter a, c dan i maka sebelum dilakukan estimasi terhada arameter tersebut harus ditentukan terlebih dahulu distribusi riornya yaitu sebagai berikut. a ~ Gamma (r,s) c ~ Normal (r,s) ~ Normal (v,w) i 2

7 Model Sasial Survival Weibull 3 dengan Pendekatan Bayessian dan Alikasinya ada Winbugs dimana enentuan distribusi rior tersebut dilakukan berdasarkan gabungan antara rior conjugate dan rior informatif. Berdasarkan model lattice frailty CAR, dimana γ menyatakan status enderita (misalnya 0 jika meninggal dan jika hidu), t meruakan waktu hingga kematian terjadi dan x meruakan vektor dari kovariat, maka join distribusi osteriornya adalah sebagai berikut,,a,c,λ t, x, γ L, W,a,c; t, x, γw ac W (2) dimana bentuk ertama ada ruas kanan meruakan likelihood untuk hazard weibull-3, bentuk kedua meruakan join distribusi dari frailty acak sedangkan sisanya adalah distribusi rior tia-tia arameter. Fungsi likelihoodnya kemudian delaskan dalam ersamaan (3) berikut ini. L, W,a,c; t, x, γ f t S t i j Selanjutnya, ketika t ersamaan (3) kemudian daat dabarkan menjadi L f dinyatakan sebagai fungsi dari h t dikali dengan t, W,a,c; t, x, γ f t S t i j h t S t S t i j I n i i j I n i i j h h t S t S t t S t. Selanjutnya, berdasarkan ersamaan (7) maka akan dieroleh, L, W,a,c; t, x, γ h t S t i j a T a a t c ex x Wi ex bt c i j (3) S maka a T T a a t c ex x Wi ex ex x Wi t c i j a T a T a t c ex x Wi ex t c ex x Wi i j Distribusi osterior marginal untuk masing-masing arameter a, c dan β i serta λ dilakukan dengan cara mengintegralkan keluar arameter-arameter yang bersangkutan (a, c, β i dan λ) dan delaskan sebagai berikut. a c,, i lt c,,,, c dc d d c d Gamatika Vol. II No.2 Mei

8 Model Sasial Survival Weibull 3 dengan Pendekatan Bayessian dan Alikasinya ada Winbugs c a,, i lt a,,,, a da d d a a,c, i lt a,c,,, a c da dc d a c a,c,, i lt a,c,, 2,, ac a c 2 da dc d d 2 d a,c,, lt a,c,,,, ac i a c da dc d d d Udate arameter di dalam model dilakukan melalui Gibbs Samling berdasarkan data samel dari bentuk distribusi bersyarat enuhnya (full conditional distribution) yang didaatkan berdasarkan ersamaan (2). Distribusi osterior tersebut cuku rumit sehingga estimasi terhada arameter-arameternya dilakukan melalui Gibbs Samling yang meruakan bentuk iterative samling dari setia distribusi kondisionalnya. Secara sederhana, estimasi arameter-arameter model melalui Gibbs Samling daat delaskan sebagai berikut.. Menentukan nilai awal (initial value) untuk masing-masing arameter a,c,,,, 2. Selanjutnya didaatkan urutan acak a t,c,,,, a dari c dari c t,a,,,, dari t,a,c,,, dari t,a,c,,,, dari t,a,c,,, 2, 3. Mengulangi langkah ke dua aabila dibutuhkan. Bentuk iterative samling dalam Gibbs Samling tersebut kemudian dialikasikan dalam rogram oensource WinBUGS untuk memudahkan estimasi arameter-arameter dalam model sasial survival dengan distribusi waktu survival weibull-3. Berikut ini meruakan salah satu contoh alikasi rogramnya. model; { for( i in : N ) { obs.t[i] ~ dweib3(alha[kab[i]],beta[kab[i]],gamma[kab[i]])i(t.cen[kab[i]],) beta[i] <- ex(b0[kab[i]]+b[kab[i]]*x[i]+b2[kab[i]]*x2[i]+b3[kab[i]]*x3[i]+b4_[kab[i]]*x4_[i]+b4_2[kab[i]]*x4_2[i]+b4 _3[Kab[i]]*X4_3[i]+b4_4[Kab[i]]*X4_4[i]+b4_5[Kab[i]]*X4_5[i]+b5_[Kab[i]]*X5_[i]+b5_2[Kab[i]]*X5_2[i]+b6[Kab [i]]*x6[i]+b7[kab[i]]*x7[i]+b8_[kab[i]]*x8_[i]+b8_2[kab[i]]*x8_2[i]+w[kab[i]]) } for (i in :nsum) {weights[i] <- } W[:regions] ~ car.normal(adj[], weights[], num[], tau) d d Gamatika Vol. II No.2 Mei 202 0

9 Model Sasial Survival Weibull 3 dengan Pendekatan Bayessian dan Alikasinya ada Winbugs for( i in : s ) {alha[i] ~ dgamma(,)} gamma[] ~ dunif(0,729) gamma[2] ~ dunif(0,244) gamma[3] ~ dunif(0,207).... gamma[35] ~ dunif(0,242) gamma[36] ~ dunif(0,0) gamma[37] ~ dunif(0,0) gamma[38] ~ dunif(0,200) for( i in : s ) {b0[i] ~ dnorm(5.0670,0.2784)} for( i in : s ) {b[i] ~ dnorm(-0.087,0.0239)} for( i in : s ) {b2[i] ~ dnorm(-0.003,0.0006)} for( i in : s ) {b3[i] ~ dnorm(-0.233,0.0502)} for( i in : s ) {b4_[i] ~ dnorm(0.626,0.2704)} for( i in : s ) {b4_2[i] ~ dnorm(0.488,0.2693)} for( i in : s ) {b4_3[i] ~ dnorm(0.606,0.2664)} for( i in : s ) {b4_4[i] ~ dnorm(0.693,0.2669)} for( i in : s ) {b4_5[i] ~ dnorm(-0.273,0.3349)} for( i in : s ) {b5_[i] ~ dnorm(0.38,0.0354)} for( i in : s ) {b5_2[i] ~ dnorm(0.287,0.023)} for( i in : s ) {b6[i] ~ dnorm(0.009,0.0008)} for( i in : s ) {b7[i] ~ dnorm(0.006,0.005)} for( i in : s ) {b8_[i] ~ dnorm(-0.063,0.037)} for( i in : s ) {b8_2[i] ~ dnorm(-0.056,0.0383)} for( i in : s ) {tau[i] ~ dgamma(,)} for( i in : s ) {sigma[i] <- sqrt(/tau[i])} } Initials tau[] alha[] b0[] b[] b2[] b3[] b4_[] b4_2[] b4_3[] b4_4[] b4_5[] b5_[] b5_2[] b6[] b7[] b8_[] b8_2[] END list(nsubj=507,regions=38, nsum=206, adj=c(3, 2, 28,, 0, 9, 4, 3,, 28, 0, 9, 4, 2,, 28, 27, 9, 8, 0, 9, 3, 2, 34, 33, 32, 2, 7, 37, 34, 32, 30, 36, 34, 33, 29, 26, 22, 2, 20, 5, 36, 33, 3, 29, 28, 26, 23, 5, 3, 9, 28, 8, 5, 3, 0, 8, 4, 3, 2, 28, 24, 3, 2,, 9, 4, 3, 2, 24, 2, 0, 2, 24, 3,, 0, 5, 4, 2, 0, 9, 8, 5, 3, 36, 3, 29, 25, 23, 4, 3, 9, 8, 35, 3, 25, 38, 35, 28, 27, 9, 4, 28, 27, 4, 33, 26, 7, 34, 7, 5, 36, 7, 36, 3, 29, 5, 8, 2,, 0, 36, 3, 6, 5, 33, 29, 28, 27, 20, 8, 7, 33, 28, 26, 9, 8, 4, 33, 29, 27, 26, 9, 8, 0, 9, 8, 4, 3, 2, 36, 33, 3, 28, 26, 23, 5, 8, 7, 37, 32, 6, Gamatika Vol. II No.2 Mei

10 Model Sasial Survival Weibull 3 dengan Pendekatan Bayessian dan Alikasinya ada Winbugs 36, 29, 25, 23, 6, 5, 8, 37, 34, 30, 6, 5, 34, 29, 28, 27, 26, 20, 8, 7, 5, 37, 33, 32, 2, 7, 6, 5, 7, 6, 3, 29, 25, 23, 22, 5, 8, 7, 34, 32, 30, 6, 7), num = c(2, 7, 6, 8, 5, 4, 9, 0, 9, 9, 4, 4, 6, 2, 9, 3, 2, 4, 3, 3, 3, 2, 5, 3, 4, 7, 6, 2, 9, 3, 7, 5, 9, 7, 2, 8, 4, ), obs.t = c(730,245,33,208,589,na, 58,NA, 374,347,99,24,396,730,NA, 549,536,449,40,383,348,325,493,220,402,730,374,NA, NA, 362,33,299,290,277,27,257,NA, 227,25,25,22,98,9,99,730,NA, 730,730,229,208,20,24), X = c(0,,,,,0,,0,0,,,,0,0,0,0,0,0,0,,0,0,,,0,,0,,0,0,0,,0,,,0,0,0,0,,0,0,0,,0,,0,0,,0,0,0,,,0,0,0,0,0,0,,0,,,0,0,0,,0,0), X2 = c(28.00,28.00,32.00,25.00,35.00,42.00,33.00,39.00,27.00,29.00,28.00,29.00,6.00, 30.00,28.00,38.00,27.00,37.00,35.00,29.00,3.00,46.00,34.00,29.00,26.00,25.00,38.00,22.00,44.00,34.00), X3 = c(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0), X4_ = c(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,,0,0,0,0,0,0,,0,0), X4_2 = c(0,,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,,0,0,,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,,0,0,0,0,0,0,,0,0,0,0,0,0,0,0), X4_3 = c(0,0,,,,0,,,,0,0,,,0,,,0,0,,0,,0,0,,0,,0,,0,0,,0,0,0,,0,,,,,0,,,,,,,,,,,,,,0,,,0,,0,0,0,0,,0,0,,0,,), X4_4 = c(,0,0,0,0,,0,0,0,,,0,0,,0,0,,,0,,0,0,,0,0,0,,0,,,0,,,0,0,,0,0,0,0,,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,,0,,0,0,,0,,,0,0,0,0), X4_5 = c(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0), X5_ = c(0,,,,0,0,0,0,,,,,0,0,0,0,0,0,,0,,,0,,,0,0,0,,0,0,0,0,,0,,0,0,0,,,0,0,,,0,0,,,,,,,,,0,,,0,,,,0,0,0,0,,,,), X5_2 = c(,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,,,,,,0,,0,0,,0,0,,0,,0,,,,,0,,0,0,0,,0,0,,,0,0,,,0,0,0,0,0,0,0,0,,0,0,0,0,0,0,,0,0,0,0,0,0,0), X6 = c(59,38,42,47,45,43, 7,55,50,40,52,4,,68,50,45,64,50,65,45,50,46,4,62,56,4,79,59,50,62,49,65,35,0,45,46,64,30,59,79,53,4,38,56,57,72,59,52,64,48,44,47,45,4,45,37,5), X7 = c(5.86,2.00, 3.87, 4.08, 49.60,3.60,.00, 3.00, 6.00,2.00, 3.70, 7.00,25.00,3.60, 2.00, 3.00,3.00, 9.00 Gamatika Vol. II No.2 Mei

11 Model Sasial Survival Weibull 3 dengan Pendekatan Bayessian dan Alikasinya ada Winbugs,7.00,.00, 3.00,2.00, 4.00, 2.00, 5.00, 3.00,.00,0.00,.00,.00), X8_ = c(0,0,0,,0,0,0,0,,,0,,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,,0,0,0), X8_2 = c(,,,0,,,0,,0,0,,0,,,,,,,,,,,0,,,,,0,,,,0,,,,,,,,,0,,,,,0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0,,,), Kab = c(, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9,0,,,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,8,9,9,20,20,20,20,20,20,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,22,22,22,22,22,22,23,23,23,23,24,25,25,25,25,25,25,25,25,25,25,25,25,25,25,25,25,25,25,25,25,25,25,25,25,25,26,26,26,26,26,26,27,27,28,29,29,29,29,30,30,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,32,32,33,33,33,33,33,33,34,34,34,34,34,34,34,34,34,34,35,35,35,35,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,37,37,37,37,38,38,38,38), t.cen = c(0, 0, 0, 0, 0,06, 0, 40, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 34, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.., 0, 57, 52, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,89, 0, 0, 0, 0, 0, 0)) Code tersebut meruakan contoh alikasi model sasial survival dengan dsitribusi waktu survivalnya adalah weibull-3 dalam rogram oensource WinBUGS dengan jumlah daerah sebanyak 38 (kabuaten, misalnya), total ketetanggaan sebanyak 206 adjacent serta terdaat 507 data. 8. Penutu Berdasarkan hasil enurunan rumus terhada model survival weibull-2 dengan menambahkan satial frailty, maka daat disimulkan beberaa hal, antara lain:. Distribusi waktu survival weibull-3 daat dialikasikan ada model sasial survival dengan menambahkan frailty sasial. 2. Model sasial survival dengan distribusi waktu survivalnya weibull-3 lebih mudah dilakukan melalui endekatan Bayesian menggunakan gibbs samling. Gamatika Vol. II No.2 Mei

12 Model Sasial Survival Weibull 3 dengan Pendekatan Bayessian dan Alikasinya ada Winbugs 3. Pendekatan Bayesian melalui gibbs samling untuk melakukan estimasi arameter model sasial survival dengan waktu survival berdistribusi weibull- 3 dilakukan melalui code rogram oensource WinBUGS. Daftar Pustaka Aksioma, D. F., dan Iriawan, N., (200). Satial Autocorrelation of The DHF Outbreaks in The City of Surabaya. Proceedings of The Third International Conference on Mathematics and Natural Sciences (ICMNS) 200, Bandung: Banerjee, S., Wall, M. M., & Carlin, B. P., (2003). Frailty Modeling for Satially Correlated survival data, with alication to infant mortality ini Minnesota. Biostatistics, Carlin, B. P., & Louis, T. A., (2000). Bayes and Emirical Bayes Methods for Data Analysis (2 ed.). Boca Raton: FL: Chaman and Hall/CRC Press. Congdon, P., (2003). Alied Bayesian Modelling. London: John Wiley & Sons, Ltd. Darmofal, D., (2008). Bayesian Satial Survival Models for Political Event Processes. Deartment of Political Science, University of South Carolina. 350 Gambrell Hall. Columbia. Dohoo, I. R., (2008). Quantitative eidemiology: Progress and Challenges. Preventive Veterinary Medicine, 86, Kleinbaum, D., (2005). Survival Analysis, a Self-Learning Text. USA: Sringer Science+Bussiness Media, Inc. Ntzoufras, I., (2009). Bayesian modeling Using WinBUGS. USA: John Wiley & Sons, Inc. Wall, M. M., (2004). A Close Look at the Satial Structure Imlied by the CAR and SAR Models. Journal of Statistical Planning and Inference, 2, Gamatika Vol. II No.2 Mei