STK 500. Pengantar Teori Statistika. Eigenvalues and Eigenvectors
|
|
- Yulia Sudjarwadi
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 STK 5 Pengantar Teori Statistika Eigenvalues and Eigenvectors
2 Eigenvalues and Eigenvectors Example : if we have a matrix A: then A or A I which implies there are two roots or eigenvalues : =-6 and =4.
3 Eigenvalues and Eigenvectors For a square matrix A, let I be a conformable identity matrix. Then the scalars satisfying the polynomial equation A - I = are called the eigenvalues (or characteristic roots) of A. The equation A - I = is called the characteristic equation or the determinantal equation.
4 Eigenvalues and Eigenvectors For a matrix A with eigenvectors, a nonzero vector x such that Ax = x is called an eigenvector (or characteristic vector) of A associated with.
5 Example if we have a matrix A: 4 A 4-4 with eigenvalues = -6 and = 4, the eigenvector of A associated with = -6 is Ax and x 4x 6 x 4-4 x x x 4x 6x 8x 4x 4x 4x 6x 4x x Fixing x = yields a solution for x of.
6 Example Note that eigenvectors are usually normalized so they have unit length, i.e., e For our previous example we have: e x x'x x x'x Thus our arbitrary choice to fix x = has no impact on the eigenvector associated with = -6.
7 Example For matrix A and eigenvalue = 4, we have Ax and x 4x 4 x 4-4 x x x 4x 4x x 4x 4x 4x 4x 4x 8x We again arbitrarily fix x =, which now yields a solution for x of /.
8 Normalization of Eigenvectors Normalization to unit length yields e x 5 x'x Again our arbitrary choice to fix x = has no impact on the eigenvector associated with = 4.
9 Example Find the eigenvalues and corresponding eigenvectors for the matrix A. What is the dimension of the eigenspace of each eigenvalue? Characteristic equation: I A Eigen value : A 3 ( )
10 Example The eigenspace of λ = : x ( I A) x x x x x 3 s t x 3 s t, s, t s t s, t R: the eigenspace of A corresponding to Thus, the dimension of its eigenspace is.
11 Eigenvalues and Eigenvectors () If an eigenvalue occurs as a multiple root (k times) for the characteristic polynominal, then has multiplicity k. () The multiplicity of an eigenvalue is greater than or equal to the dimension of its eigen space.
12 Example 3 Find the eigenvalues and corresponding eigenspaces for 3 A 3 3 I A 3 ( ) ( 4) eigenvalues 4, The eigenspaces for these two eigenvalues are as follows. B B {(,, )} Basis for 4 {(,, ),(,, )} Basis for
13 Example 4 Find the eigenvalues of the matrix A and find a basis for each of the corresponding eigenspaces A Characteristic equation: I A 3 ( ) ( )( 3) Eigenvalues:,, 3 3 According to the note on the previous slide, the dimension of the eigenspace of λ = is at most to be For λ = and λ 3 = 3, the dimensions of their eigenspaces are at most to be
14 Example 4 () x 5 x ( I A) x x 3 x4 x t x s s t, s, t x 3 t x4 t, is a basis for the eigenspace corresponding to The dimension of the eigenspace of λ = is
15 Example 4 () x 5 x ( I A) x x 3 x4 x x 5t 5 t, t x 3 t x4 5 is a basis for the eigenspace corresponding to The dimension of the eigenspace of λ = is
16 Example 4 (3) 3 3 x 5 x ( 3I A) x x 3 x4 x x 5t 5 t, t x 3 x4 t 5 is a basis for the eigenspace corresponding to 3 3 The dimension of the eigenspace of λ 3 = 3 is
17 Eigenvalues and Eigenvectors Theorem. Eigenvalues for triangular matrices If A is an nn triangular matrix, then its eigenvalues are the entries on its main diagonal Finding eigenvalues for triangular and diagonal matrices (a) A (a) I A ( )( )( 3) 5 3 3,, 3 3
18 Eigenvalues and Eigenvectors Finding eigenvalues for triangular and diagonal matrices (b) A 4 3 (b),,, 4,
19 Diagonalization Definition : A square matrix A is called diagonalizable if there exists an invertible matrix P such that P AP is a diagonal matrix (i.e., P diagonalizes A) Definition : A square matrix A is called diagonalizable if A is similar to a diagonal matrix
20 Diagonalization Theorem : Similar matrices have the same eigenvalues If A and B are similar nn matrices, then they have the same eigenvalues A and B are similar B P AP For any diagonal matrix in the form of D = λi, P DP = D Considering the characteristic equation of B: I B I P AP P IP P AP P ( I A) P P I A P P P I A P P I A I A Since A and B have the same characteristic equation, they are with the same eigenvalues
21 Example 5 Eigenvalue problems and diagonalization programs Characteristic equation: 3 A 3 3 I A 3 ( 4)( ) The eigenvalues : 4,, 3 () 4 the eigenvector p
22 Example 5, 4 P [ p p p3], and P AP P [ p p p ] () the eigenvector p p3 If 3 P AP 4 The above example can prove Thm. numerically since the eigenvalues for both A and P AP are the same to be 4,, and The reason why the matrix P is constructed with eigenvectors of A is demonstrated in Thm. 3 on the next slide
23 Diagonalization Theorem 3: An nn matrix A is diagonalizable if and only if it has n linearly independent eigenvectors Note that if there are n linearly independent eigenvectors, it does not imply that there are n distinct eigenvalues. It is possible to have only one eigenvalue with multiplicity n, and there are n linearly independent eigenvectors for this eigenvalue However, if there are n distinct eigenvalues, then there are n linearly independent eigenvectors and thus A must be diagonalizable Since is diagonalizable, there exists an invertible s.t. A P D P AP is diagonal. Let P [ p p p ] and D diag(,,, ), then ( ) n PD [ p p pn] n [ p p p ] n n n
24 ( ) Diagonalization AP PD D P AP (since ) [ Ap Ap Ap ] [ p p p ] n n n Ap p, i,,, n i i i (The above equations imply the column vectors p of P are eigenvectors of A, and the diagonal entries in D are eigenvalues of A) Because Ais diagonalizable P is invertible Columns in P, i.e., p, p,, p, are linearly independent (see p. 4. in the lecture note or p. 46 in the text book) Thus, Ahas n linearly independent eigenvectors Since Ahas nlinearly independent eigenvectors p, p, i n i with corresponding eigenvalues,, n, then Ap p, i,,, n Let P [ p p p n ] i i i p n
25 Diagonalization AP A[ p p p ] [ Ap Ap Ap ] n [ p p p ] n n [ p p pn] PD n Since p, p,, p are linearly independent P is invertible (see p. 4. in the lecture note or p. 46 in the text book) AP PDP AP D n A is diagonalizable (according to the definition of the diagonalizable matrix on Slide 7.7) Note that p i n 's are linearly independent eigenvectors and the diagonal entries i in the resulting diagonalized D are eigenvalues of A
26 Example 6 A matrix that is not diagonalizable Show that the following matrix is not diagonalizable A Characteristic equation: I A ( ) The eigenvalue, and then solve ( I A) x for eigenvectors I A I A eigenvector p Since A does not have two linearly independent eigenvectors, A is not diagonalizable.
27 Diagonalization Steps for diagonalizing an nn square matrix: Step : Find n linearly independent eigenvectors p, p, pn Step : Let P [ p p p n ] Step 3: for A with corresponding eigenvalues P AP D n where Ap p, i,,, n i i i,,, n
28 Example 6 Diagonalizing a matrix A 3 3 Find a matrix P such that P AP is diagonal. Characteristic equation: I A 3 ( )( )( 3) 3 The eigenvalues :,, 3 3
29 Example G.-J. E. I A x t x eigenvector p x 3 t 3 4 G.-J. E. I A x 4 t x 4 t eigenvector p x 3 t 4
30 Example G.-J. E. 3I A x t x t eigenvector p 3 x 3 t P [ p p p3] and it follows that 4 P AP 3
31 Diagonalization Note: a quick way to calculate A k based on the diagonalization technique () () k k k D D k n n k k D P AP D P AP P AP P AP P A P repeat k times k k k k k A PD P, where D k n
32 Diagonalization Theorem 4: Sufficient conditions for diagonalization If an nn matrix A has n distinct eigenvalues, then the corresponding eigenvectors are linearly independent and thus A is diagonalizable. Proof : Let λ, λ,, λ n be distinct eigenvalues and corresponding eigenvectors be x, x,, x n. In addition, consider that the first m eigenvalues are linearly independent, but the first m+ eigenvalues are linearly dependent, i.e., x m c x c x c x m m, () where c i s are not all zero. Multiplying both sides of Eq. () by A yields Axm Ac x Acx Acmx m x c x c x c x m m m m m ()
33 Diagonalization On the other hand, multiplying both sides of Eq. () by λ m+ yields mxm c mx c mx cm m xm (3) Now, subtracting Eq. () from Eq. (3) produces c ( )x c ( )x c ( )x = m m m m m m Since the first m eigenvectors are linearly independent, we can infer that all coefficients of this equation should be zero, i.e., c ( ) c ( ) c ( ) = m m m m m Because all the eigenvalues are distinct, it follows all c i s equal to, which contradicts our assumption that x m+ can be expressed as a linear combination of the first m eigenvectors. So, the set of n eigenvectors is linearly independent given n distinct eigenvalues, and according to Thm. 3, we can conclude that A is diagonalizable.
34 Example 7 Determining whether a matrix is diagonalizable A 3 Because A is a triangular matrix, its eigenvalues are,, 3. 3 According to Thm. 4, because these three values are distinct, A is diagonalizable.
35 Symmetric Matrices and Orthogonal Diagonalization A square matrix A is symmetric if it is equal to its transpose: T A A Example symmetric matrices and nonsymetric matrices 5 3 A B C (symmetric) (symmetric) (nonsymmetric)
36 Symmetric Matrices and Orthogonal Diagonalization Thm 5: Eigenvalues of symmetric matrices If A is an nn symmetric matrix, then the following properties are true. a) A is diagonalizable (symmetric matrices are guaranteed to has n linearly independent eigenvectors and thus be diagonalizable). b) All eigenvalues of A are real numbers c) If is an eigenvalue of A with multiplicity k, then has k linearly independent eigenvectors. That is, the eigenspace of has dimension k. The above theorem is called the Real Spectral Theorem, and the set of eigenvalues of A is called the spectrum of A.
37 Prove that a symmetric matrix is diagonalizable. b c c a A Proof: Characteristic equation: ) ( c ab b a b c c a A I 4 ) ( ) 4( ) ( c b a c b ab a c ab b ab a c ab b a As a function in, this quadratic polynomial function has a nonnegative discriminant as follows Example 8
38 Example 8 () ( a b) 4c a b, c A a c a c b a itself is a diagonal matrix. () ( a b) 4c The characteristic polynomial of A has two distinct real roots, which implies that A has two distinct real eigenvalues. According to Thm. 5, A is diagonalizable.
39 Symmetric Matrices and Orthogonal Diagonalization Orthogonal matrix : A square matrix P is called orthogonal if it is invertible and T T T P P (or PP P P I) Thm. 6: Properties of orthogonal matrices An nn matrix P is orthogonal if and only if its column vectors form an orthonormal set. Proof: Suppose the column vectors of P form an orthonormal set, i.e., T P P P p p p, where p p for i j and p p. n i j i i p p p p p p p p p p p p T T T n n T T T p p p p p p p p p p p p T T T p n p pn p pn pn pn p pn p pn pn It implies that P = P T and thus P is orthogonal. I n
40 Example 9 Show that P is an orthogonal matrix. P T T If P is a orthogonal matrix, then P P PP I T 4 PP I
41 Symmetric Matrices and Orthogonal Diagonalization Moreover, let p, p 5, and p 5 3, we can produce p p p p. 3 3 p p p p p p and p p 3 3 So, { p, p, p } is an orthonormal set. (Thm. 7.8 can be 3 illustrated by this example.)
42 Symmetric Matrices and Orthogonal Diagonalization Thm. 7: Properties of symmetric matrices Let A be an nn symmetric matrix. If and are distinct eigenvalues of A, then their corresponding eigenvectors x and x are orthogonal. (Thm. 6 only states that eigenvectors corresponding to distinct eigenvalues are linearly independent Proof : because A is symmetric ( x x ) ( x ) x ( Ax ) x ( Ax ) x ( x A ) x T T T ( x A) x x ( Ax ) x ( x ) x ( x ) (x x ) T T T The above equation implies ( )( x x ), and because, it follows that x x. So, x and x are orthogonal. For distinct eigenvalues of a symmetric matrix, their corresponding eigenvectors are orthogonal and thus linearly independent to each other Note that there may be multiple x and x corresponding to and
43 Symmetric Matrices and Orthogonal Diagonalization A matrix A is orthogonally diagonalizable if there exists an orthogonal matrix P such that P AP = D is diagonal. Thm.8: Fundamental theorem of symmetric matrices Let A be an nn matrix. Then A is orthogonally diagonalizable and has real eigenvalues if and only if A is symmetric. Proof: ( ) A is orthogonally diagonalizable ( ) T D P AP is diagonal, and P is an orthogonal matrix s.t. P P T T T T T T T T T A PDP PDP A ( PDP ) ( P ) D P PDP A See the next two slides
44 Symmetric Matrices and Orthogonal Diagonalization Let A be an nn symmetric matrix. () Find all eigenvalues of A and determine the multiplicity of each. According to Thm. 7, eigenvectors corresponding to distinct eigenvalues are orthognoal () For each eigenvalue of multiplicity, choose a unit eigenvector. (3) For each eigenvalue of multiplicity k, find a set of k linearly independent eigenvectors. If this set {v, v,, v k } is not orthonormal, apply the Gram-Schmidt orthonormalization process.
45 Symmetric Matrices and Orthogonal Diagonalization (4) The composite of steps () and (3) produces an orthonormal set of n eigenvectors. Use these orthonormal and thus linearly independent eigenvectors to form the columns of P. i. According to Thm. 7, the matrix P is orthogonal ii. Following the diagonalization process, D = P AP is diagonal iii. therefore, the matrix A is orthogonally diagonalizable
46 Determining whether a matrix is orthogonally diagonalizable A A 3 A 3 A 4 Orthogonally diagonalizable Symmetric matrix Example
47 Example Orthogonal diagonalization Find an orthogonal matrix Pthat diagonalizes A. A 4 4 Sol: () I A ( 3) ( 6) 6, 3 (has a multiplicity of ) v () 6, v (,, ) u ( 3, 3, 3) v (3) 3, v (,, ), v3 (,, ) Verify Thm. 7 that v v = v v 3 = Linearly independent but not orthogonal
48 Example Gram-Schmidt Process: v w w v (,, ), w v w (,, ) u ww w w (,, ), u (,, ) w w3 Verify Thm. 7 that after the Gram-Schmidt orthonormalization process, i) w and w 3 are eigenvectors of A corresponding to the eigenvalue of 3, and ii) v w = v w 3 = P u u u 3 6 P AP 3 3
49 Beberapa Teorema Akar Ciri dan Vektor Ciri Jika λ adalah akar ciri matriks A dengan vektor ciri padanannya x, maka untuk fungsi tertentu g(a) akan mempunyai akar ciri g(λ) dengan x vektor ciri padanannya. Kasus khusus :. Jika λ adalah akar ciri matriks A, maka גc adalah akar ciri matriks ca dengan c sebarang skalar Bukti : c A x = c λ x x vektor ciri padanan λ dari matriks A x vektor ciri padanan c λ dari matriks ca
50 Beberapa Teorema Akar Ciri dan Vektor Ciri. Jika ג adalah akar ciri matriks A, dengan x vektor ciri padanannya, maka cג+k adalah akar ciri matriks (ca+ki) dengan x vektor ciri padanannya. Bukti : c A x + k x = c λ x + k x (c A + k I)x = (c λ + k) x (tidak dapat diperluas untuk A + B, dengan A, B sebarang matriks n x n ) 3. λ adalah akar ciri dari matriks A (dapat diperluas untuk A k ) Bukti : A x = λ x A(A x) = A(λ x ) A x= λ Ax= λ(λ x )= λ x
51 Beberapa Teorema Akar Ciri dan Vektor Ciri 4. / λ adalah akar dari matriks A - Bukti : A x = λ x A - (A x) = A - (λ x ) x= λ A - x A - x = λ - x 5. Kasus () dan () dapat digunakan untuk mencari akar ciri dan vektor ciri dari polinomial A Contoh : (A A -3 A + 5 I ) x = A 3 x + 4 A x -3 Ax + 5 x = λ 3 x + 4 λ x -3 λ x + 5 x =(λ 3 + 4λ -3 λ + 5)x λ λ -3 λ + 5 adalah akar ciri dari A A -3 A + 5 I dan x vektor ciri padanannya
52 Beberapa Teorema Akar Ciri dan Vektor Ciri Sifat (5) dapat diperluas untuk deret tak hingga. Misal : akar ciri A adalah λ, maka (- λ) adalah akar ciri dari (I-A). Jika (I-A) nonsingular, maka (- λ) - adalah akar ciri dari (I-A) -. Jika -< λ <, maka (- λ) - =+ λ + λ +... Jika akar ciri A memenuhi -< λ <, maka (I-A) -.= I +A + A +A
53 Beberapa Teorema Akar Ciri dan Vektor Ciri 6. Jika matriks A berukuran (n x n) dengan akar ciri λ,..., λ n maka a. ǀAǀ= λ i b. tr(a)= λ i Bukti : a a a 3 a a a 3 a3 a3 a 33 (-λ) 3 + (-λ) tr (A) +(-λ) tr (A) + ǀAǀ= Dengan tr i (A)= jumlah minor utama, tr (A)= tr (A) tr (A )=ǀa a ǀ+ ǀa a 33 ǀ + ǀa a 33 ǀ tr 3 (A )=ǀa a a 33 ǀ
54 Beberapa Teorema Akar Ciri dan Vektor Ciri Bukti (lanjutan): Secara umum (-λ) n +(-λ) n- tr (A) +(-λ) n- tr (A) (-λ)tr n- (A) +ǀAǀ= Jika λ,..., λ n akar ciri dari persamaan tersebut maka (λ -λ) (λ -λ)... (λ n -λ)= (-λ) n +(-λ) n- λ i +(-λ) n- i j λ i λ j λ i = Sehingga λ i = tr(a) dan λ i =ǀAǀ
55 Beberapa Teorema Akar Ciri dan Vektor Ciri Jika A dan B berukuran (n x n) atau A berukuran (n x p) dan B berukuran (p x n), maka akar ciri (tak nol) AB sama dengan akar ciri BA. Jika x vektor ciri AB, maka Bx vektor ciri BA Jika A berukuran (n x n), maka. Jika P (n x n) nonsingular, maka A dan P - AP mempunyai akar ciri yang sama. Jika C (n x n) matriks ortogonal, A dan C AC mempunyai akar ciri yang sama
56 Teorema Matriks Simetrik. a. Akar ciri λ,..., λ n adalah real b. Vektor ciri x,..., x n bersifat ortogonal Bukti (a): Ambil λ bilangan kompleks dengan x vektor ciri padanannya Jika λ= a+ib dan λ*= a-ib, x={x i }= a+ib dan x*={x i *}= a-ib Maka A x = λ x x* A x =x* λx= λ x* x dan A x* = λ*x* x* Ax = (Ax *) x =(λ*x*) x=λ* x* x Sehingga λ* x* x = λ x* x,dan x* x adalah jumlah kuadrat λ* = λ atau a+ib= a-ib berarti b=
57 Teorema Matriks Simetrik Bukti (b): Misalkan λ λ dengan vektor ciri x x dan A=A, serta Ax k = λ x k λ x x = x λ x = x Ax = x A x = x Ax = x λ x = λ x x λ, λ, maka x x = (ortogonal). A dapat dinyatakan sebagai A=CDC (dekomposisi spektral) dengan D adalah matriks diagonal dengan unsur diagonalnya λ i dan C adalah matriks dengan unsur pada kolomnya x padanan akar ciri λ i
58 Teorema Matriks Simetrik 3. Matriks (semi) definit positif a. Jika A definit positif, maka λ i > untuk i=,...,n b. Jika A semi definit positif, maka λ i untuk i=,...,n. Banyaknya akar ciri λ i > sama dengan rank(a) Catatan : Jika A definit positif dapat ditentukan A ½. Karena λ i > maka pada dekomposisi spektral A= A ½ A ½ =(A ½ ) A = (A ½ ) = C D C=(C D ½ C) (C D ½ C)
59 Teorema Matriks Simetrik 4. Jika A singular, idempoten, dan simetrik, maka A semi definit positif Bukti : A= A dan A =A maka A =A =A A= A A (semi definit positif) 5. Jika A simetrik idempoten dengan rank (A)=r maka A mempunyai r akar ciri bernilai dan (n-r) akar ciri bernilai Bukti : Ax = λ x dan A x = λ x karena A =A A x = λ x Ax = λ x λx= λ x (λ- λ )x=. Karena x maka (λ- λ ) = λ bernilai atau.berdasarkan teorema (4), maka A semi definit positif dengan r menyatakan banyaknya λ>
60 Teorema Matriks Simetrik 6. Jika A idempoten dan simetrik dengan pangkat r, maka rank(a)=tr(a)=r Bukti : Berdasarkan teorema (5), maka λ i = tr(a)
61 Teorema Jika A (n x n) matriks idempoten, P matriks nonsingular (n xn) dan C matriks ortogonal (n xn) maka : a. I-A idempoten b. A(I-A)= dan (I-A) A= c. P - A P idempoten d. C A C idempoten (jika A simetrik maka C A C idempoten simetrik Jika A (n x p) dengan rank(a)=r, A - adalah kebalikan umum A dan (A A) - adalah kebalikan umum (A A), maka A - A, A A - dan A(A A) - A idempoten
62 Quadratic Forms A Quadratic From is a function Q(x) = x Ax in k variables x,,x k where x x x and A is a k x k symmetric matrix. x k
63 Note that a quadratic form has only squared terms and crossproducts, and so can be written then Quadratic Forms Suppose we have x Q x i j x and A 4 x Q( x) = x'ax = x + 4x x - x k k a x x ij i j
64 Spectral Decomposition and Quadratic Forms Any k x k symmetric matrix can be expressed in terms of its k eigenvalueeigenvector pairs ( i, e i ) as A k i e e ' i i i This is referred to as the spectral decomposition of A.
65 Spectral Decomposition and Quadratic Forms For our previous example on eigenvalues and eigenvectors we showed that A has eigenvalues = -6 and = -4, with corresponding (normalized) eigenvectors e 5, e 5, - 5 5
66 A Can we reconstruct A? k i Spectral Decomposition and e e ' i i i Quadratic Forms A
67 Spectral Decomposition and Quadratic Forms Spectral decomposition can be used to develop/illustrate many statistical results/ concepts. We start with a few basic concepts: - Nonnegative Definite Matrix when any k x k matrix A such that x Ax x =[x, x,, x k ] the matrix A and the quadratic form are said to be nonnegative definite.
68 Spectral Decomposition and Quadratic Forms - Positive Definite Matrix when any k x k matrix A such that < x Ax x =[x, x,, x k ] [,,, ] the matrix A and the quadratic form are said to be positive definite.
69 Spectral Decomposition and Quadratic Forms Example - Show that the following quadratic form is positive definite: 6x + 4x - 4 xx We first rewrite the quadratic form in matrix notation: Q( x) = x x 6 - x = x' Ax - 4 x
70 Spectral Decomposition and Quadratic Forms Now identify the eigenvalues of the resulting matrix A (they are = and = 8). A I or
71 Spectral Decomposition and Quadratic Forms Next, using spectral decomposition we can write: k ' ' ' ' ' i i i 8 i A e e e e e e e e e e where again, the vectors e i are the normalized and orthogonal eigenvectors associated with the eigenvalues = and = 8.
72 A k i Spectral Decomposition and e e ' i i i Quadratic Forms Sidebar - Note again that we can recreate the original matrix A from the spectral decomposition: A
73 Spectral Decomposition and Because and are scalars, premultiplication and postmultiplication by x and x, respectively, yield: ' ' ' ' ' x Ax x e e x 8x e e x y + 8y where Quadratic Forms ' ' ' ' y x e e x and y x e e x At this point it is obvious that x Ax is at least nonnegative definite!
74 Spectral Decomposition and Quadratic Forms We now show that x Ax is positive definite, i.e. x Ax y + 8y ' From our definitions of y and y we have ' y e x ' y e x or y Ex
75 Since E is an orthogonal matrix, E exists. Thus, Spectral Decomposition and Quadratic Forms x E ' y But x = E y implies y. At this point it is obvious that x Ax is positive definite!
76 Spectral Decomposition and Quadratic Forms This suggests rules for determining if a k x k symmetric matrix A (or equivalently, its quadratic form x Ax) is nonegative definite or positive definite: - A is a nonegative definite matrix iff i, i =,,rank(a) - A is a positive definite matrix iff i >, i =,,rank(a)
77 Square Root Matrices Because spectral decomposition allows us to express the inverse of a square matrix in terms of its eigenvalues and eigenvectors, it enables us to conveniently create a square root matrix. Let A be a p x p positive definite matrix with the spectral decomposition A k i e e ' i i i
78 Also let P be a matrix whose columns are the normalized eigenvectors e, e,, e p of A, i.e., Then Square Root Matrices P e e e p k ' ' i i i i A e e P P where P P = PP = I and p
79 Now since (P - P )PP =PP (P - P )=PP =I we have Next let Square Root Matrices A P P e e - ' k ' i i i i p
80 Square Root Matrices The matrix k ' ' P P ieiei A i is called the square root of A.
81 Square Root Matrices The square root of A has the following properties: ' A A A A A - - A A A A I A A A where A A -
82 Next let - denote the matrix matrix whose columns are the normalized eigenvectors e, e,, e p of A, i.e., Then Square Root Matrices P e e e p k ' ' i i i i A e e P P where P P = PP = I and p
ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS
ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam Shalawat serta salam
Lebih terperinciKS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector TIM KALIN
KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat menghitung eigen value dan eigen vector
Lebih terperinci7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal
7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal Nilai Eigen, Vektor Eigen Diketahui A matriks nxn dan x adalah suatu vektor pada R n, maka biasanya tdk ada
Lebih terperinciEuclidean n & Vector Spaces. Matrices & Vector Spaces
Lecture 9 Euclidean n & Vector Spaces Delivered by: Filson Maratur Sidjabat fmsidjabat@president.ac.id Matrices & Vector Spaces #4 th June 05 (90%*score / 0% extra points for HW-Q) Retake Quiz. Compute
Lebih terperinciChapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES
Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES Definisi : VECTOR SPACE Jika V adalah ruang vektor dimana u,v,w merupakan objek dalam V sebagai vektor, dan terdapat skalar k dan
Lebih terperinciLatihan 7 : Similaritas, Pendiagonalan Matriks, Polinom Matriks
Latihan 7 : Similaritas, Pendiagonalan Matriks, Polinom Matriks 6. Tentukan polinomial karakteristik dari matriks transformasi A=. Andaikan A adalah matriks persegi berdimensi x. Polinom karakteristik
Lebih terperinci1-x. dimana dan dihubungkan oleh teorema Pythagoras.
`2. Menyelesaikan persamaan dengan satu variabel Contoh: Berdasarkan Hukum Archimedes, suatu benda padat yang lebih ringan daripada air dimasukkan ke dalam air, maka benda tersebut akan mengapung. Berat
Lebih terperinciSATUAN PERKULIAHAN. 10 menit -apersepsi -motivasi Diberikan dalam bahasa Inggris 100% 2 Kegiatan inti:
I. IDENTITAS MATA KULIAH II. SATUAN PERKULIAHAN b. Materi pokok : Pengenalan Bentuk SPL dengan variabel d. Pertemuan ke : e. Waktu : menit STANDAR KOMPETENSI DAN INDIKATOR Mahasiswa memiliki keterampilan
Lebih terperinciPraktikum Metode Komputasi (Vector Spaces)
Praktikum Metode Komputasi (Vector Spaces) Vina Apriliani January 17, 016 Soal Latihan MATLAB Bab 3 Buku Leon Aljabar Linear Berikut 1 Soal Latihan MATLAB Bab 3 Buku Leon Aljabar Linear yang saya ambil
Lebih terperinciTujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse
Matriks Tujuan Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Pengertian Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam
Lebih terperinciAnalisis Multivariat Analisis multivariat adalah suatu studi tentang bb beberapa variabel random dependent d secara simultan. Analisis ini merupakan a
Multivariate Analysis Irlandia Ginanjar Jurusan Statistika Unpad Analisis Multivariat Analisis multivariat adalah suatu studi tentang bb beberapa variabel random dependent d secara simultan. Analisis ini
Lebih terperinciMODUL V EIGENVALUE DAN EIGENVEKTOR
MODUL V EIGENVALUE DAN EIGENVEKTOR 5.. Pendahuluan Biasanya jika suatu matriks A berukuran mm dan suatu vektor pada R m, tidak ada hubungan antara vektor dan vektor A. Tetapi seringkali kita menemukan
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT KESETARAAN PADA MATRIKS SECONDARY NORMAL ABSTRACT
SIFAT-SIFAT KESETARAAN PADA MATRIKS SECONDARY NORMAL Nursyahlina 1, S. Gemawati, A. Sirait 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciDiagonalisasi Matriks Segitiga Atas Ring komutatif Dengan Elemen Satuan
Diagonalisasi Matriks Segitiga Atas Ring komutatif Dengan Elemen Satuan Fitri Aryani 1, Rahmadani 2 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Suska Riau e-mail: khodijah_fitri@uin-suskaacid Abstrak
Lebih terperinciLatihan 5: Inner Product Space
Latihan 5: Inner Product Space Diketahui vektor u v w ϵ R di mana u = v = Hitunglah : a b c d e f Diketahui vektor u v ϵ R di mana u = dan v = Carilah
Lebih terperinci8.1 Transformasi Linier Umum. Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari
8.1 Transformasi Linier Umum Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari ruang vektor V vektor W. Definisi Jika T: V W adalah suatu fungsi dari suatu ruang vektor V ke ruang vektor
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS HILBERT
Jurnal UJMC, Volume 3, Nomor 2, Hal 7-24 pissn : 2460-3333 eissn : 2579-907X DIAGONALISASI MATRIKS HILBERT Randhi N Darmawan Universitas PGRI Banyuwangi, randhinumeric@gmailcom Abstract The Hilbert matrix
Lebih terperinciIsyarat. Oleh Risanuri Hidayat. Isyarat. Bernilai real, skalar Fungsi dari variabel waktu Nilai suatu isyarat pada waktu t harus real
Isyarat Oleh Risanuri Hidayat Isyarat adalah Isyarat Bernilai real, skalar Fungsi dari variabel waktu Nilai suatu isyarat pada waktu t harus real Contoh isyarat: Tegangan atau arus listrik dalam suatu
Lebih terperinciBAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON
BAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo June 24, 2012 Metoda Faktorisasi Fermat (1643) Biasanya pemfaktoran n melalui tester, yaitu faktor
Lebih terperinciCHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam
CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam Hasil Kali Dalam Sudut dan Ortogonal dalam Ruang Hasil Kali Dalam Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Squares Orthogonal
Lebih terperinciKeseimbangan Torsi Coulomb
Hukum Coulomb Keseimbangan Torsi Coulomb Perputaran ini untuk mencocokan dan mengukur torsi dalam serat dan sekaligus gaya yang menahan muatan Skala dipergunakan untuk membaca besarnya pemisahan muatan
Lebih terperinciVERSI BAHASA INDONESIA
Peraturan Ujian: Tutup buku Cheat Sheet (harap kumpulkan bersamaan berkas jawaban) diperbolehkan dengan syarat: satu halaman, tidak bolak balik, ukuran A4,tulisan tangan sendiri, bukan hasil fotokopi/hasil
Lebih terperinciMENENTUKAN INVERS MOORE PENROSE DARI SUATU MATRIKS DENGAN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR SKRIPSI. Disusun oleh : DINA MARIYA J2A
MENENTUKAN INVERS MOORE PENROSE DARI SUATU MATRIKS DENGAN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR SKRIPSI Disusun oleh : DINA MARIYA J2A 004 011 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciPenerapan Diagonalisasi Matriks untuk Menyelidiki Pewarisan Genotip pada Generasi ke-n dalam Genetika
Penerapan Diagonalisasi Matriks untuk Menyelidiki Pewarisan Genotip pada Generasi ke-n dalam Genetika Nurmia,a), Muhammad Abdy,b), Syafruddin Side 3,c),,3 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Lebih terperinciADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA. INVERS MATRlKS TERGENERALISIR SKRIPSI NURIN MUDLI
It i,' I :;) ",. I',' " INVERS MATRlKS TERGENERALISIR NURIN MUDLI JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMAnKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNlVERSrrAS AIRLANGGA SURABAYA 2003 J;" ') ;!,... INVERS MATRIKS TERGENERALISIR
Lebih terperinciSISTEM DINAMIK TUGAS 3. Oleh RIRIN SISPIYATI ( ) Program Studi Matematika
SISTEM DINAMIK TUGAS Oleh RIRIN SISPIYATI (16 Program Studi Matematika INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 9 EXERCISE 4 4. 1. In Eercise. of chapter we analysed the eistence of perios solutions in an invariant
Lebih terperinciMatriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3.
MATRIKS Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar
Lebih terperinci04-Ruang Vektor dan Subruang
04-Ruang Vektor dan Subruang Vektor (1) Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal 2011-2012 Anny2011 1 Agenda Bagian 1: Ruang Vektor Bagian 2: Nullspace of A: Solusi Ax = 0 Bagian 3: Rank dan Row-reduced-form
Lebih terperinciTeorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif
Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif Joko Harianto 1, Nana Fitria 2, Puguh Wahyu Prasetyo 3, Vika Yugi Kurniawan 4 Jurusan Matematika, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta Indonesia
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1: 9 5
Lebih terperinciBAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON
BAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo May 25, 2014 Metoda Faktorisasi Fermat (1643) Biasanya pemfaktoran n melalui tester, yaitu faktor
Lebih terperinciMENENTUKAN PERPANGKATAN MATRIKS TANPA MENGGUNAKAN EIGENVALUE
MENENTUKAN PERPANGKATAN MATRIKS TANPA MENGGUNAKAN EIGENVALUE Rini Pratiwi 1*, Rolan Pane 2, Asli Sirait 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Lebih terperinciMETODE MENENTUKAN PRIORITAS DALAM ANALYTIC HIERARCHY PROCESS MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR PROYEK
METODE MENENTUKAN PRIORITAS DALAM ANALYTIC HIERARCHY PROCESS MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR PROYEK Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari Institut Teknologi
Lebih terperinciEigen value & Eigen vektor
Eigen value & Eigen vektor Hubungan antara vektor x (bukan nol) dengan vektor Ax yang berada di R n pada proses transformasi dapat terjadi dua kemungkinan : 1) 2) Tidak mudah untuk dibayangkan hubungan
Lebih terperinciPENYEDERHANAAN PEMETAAN STRUKTUR KETERGANTUNGAN VARIABEL MENGGUNAKAN TEKNIK PRINSIPAL KOMPONEN
ABSTRAK PENYEDERHANAAN PEMETAAN STRUKTUR KETERGANTUNGAN VARIABEL MENGGUNAKAN TEKNIK PRINSIPAL KOMPONEN Mike Susmikanti *) PENYEDERHANAAN PEMETAAN STRUKTUR KETERGANTUNGAN VARIABEL MENGGUNAKAN TEKNIK PRINSIPAL
Lebih terperinciMANAJEMEN PROYEK LANJUT
MANAJEMEN PROYEK LANJUT Advance Project Management Dr. Ir. Budi Susetyo, MT Fakultas TEKNIK Program Magister SIPIL - MK www.mercubuana.ac.id 1 Bagian Isi 1. PM and Project financial management 2. Money
Lebih terperincibilqis 1
http://ariefhidayathlc.wordpress.com/ http://www.kompasiana.com/ariefhidayatpwt http://ariefhidayat88.forummi.com/ bilqis PERTEMUAN bilqis TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini
Lebih terperinciNILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN disebut vektor eigen dari matriks A =
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN >> DEFINISI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Jika A adalah sebuah matriks n n, maka sebuah vektor taknol x pada R n disebut vektor eigen (vektor karakteristik) dari A jika Ax adalah
Lebih terperinciDependent VS independent variable
Kuswanto-2012 !" #!! $!! %! & '% Dependent VS independent variable Indep. Var. (X) Dep. Var (Y) Regression Equation Fertilizer doses Yield y = b0 + b1x Evaporation Rain fall y = b0+b1x+b2x 2 Sum of Leave
Lebih terperinciKETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS PLUS
KETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS PLUS oleh TRI ANGGORO PUTRO M0112100 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS
Lebih terperinciNILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS TRIDIAGONAL NISA RACHMANI G
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS TRIDIAGONAL NISA RACHMANI G54103051 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 ABSTRACT NISA RACHMANI.
Lebih terperinciPENELITIAN OPERASIONAL I (TIN 4109)
PENELITIAN OPERASIONAL I (TIN 4109) Lecture 3 LINEAR PROGRAMMING Lecture 3 Outline: Simplex Method References: Frederick Hillier and Gerald J. Lieberman. Introduction to Operations Research. 7th ed. The
Lebih terperinciTeori Dasar Logika (Lanjutan)
Teori Dasar Logika (Lanjutan) Inferensi Logika Logika selalu berhubungan dengan pernyataan-pernyataan yang ditentukan nilai kebenarannya. Untuk menentukan benar tidaknya kesimpulan berdasarkan sejumlah
Lebih terperinciPENELITIAN OPERASIONAL I (TIN 4109)
PENELITIAN OPERASIONAL I (TIN 4109) Lecture 4 LINEAR PROGRAMMING Lecture 4 Outline: Simplex Method References: Frederick Hillier and Gerald J. Lieberman. Introduction to Operations Research. 7th ed. The
Lebih terperinciSOAL DAN SOLUSI OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2007 SURABAYA OLEH : RONALD WIDJOJO SMAK ST. Louis 1 Surabaya
SOAL DAN SOLUSI OLIMPIADE SAINS NASIONAL 007 SURABAYA OLEH : RONALD WIDJOJO SMAK ST. Louis 1 Surabaya Soal 1. Misalkan ABC segitiga dengan ABC = ACB = 70. Misalkan titik D pada sisi BC sehingga AD garis
Lebih terperinciT DAR INTEGRAL TAK MUTLAK
INTEGRAL TAK MUTLAK T 515.43 DAR INTEGRAL TAK MUTLAK A B S T R A K Setiap teori integral selalu memuat masalah sebagai berikut. Jika untuk setiap n berlaku fungsi f» terintegral dan barisan fungsi {f n
Lebih terperinciHUBUNGAN ANTAR PEUBAH
HUBUNGAN ANTAR PEUBAH DALAM ANALISIS INGIN DIKETAHUI ATAU DIEVALUASI HUBUNGAN ATAU KETERKAITAN ANTAR PEUBAH Hubungan Antar Peubah Besarnya gaji Lama bekerja 1 Hubungan Antar Peubah (lanjutan) Pendapatan
Lebih terperinciNama Soal Pembagian Ring Road Batas Waktu 1 detik Nama Berkas Ringroad[1..10].out Batas Memori 32 MB Tipe [output only] Sumber Brian Marshal
Nama Soal Pembagian Ring Road Batas Waktu 1 detik Nama Berkas Ringroad[1..10].out Batas Memori 32 MB Tipe [output only] Sumber Brian Marshal Deskripsi Soal Dalam rangka mensukseskan program Visit Indonesia,
Lebih terperinciMatriks Leslie dan Aplikasinya dalam Memprediksi Jumlah dan Laju pertumbuhan Penduduk di Kota Makassar
Matriks Leslie dan Aplikasinya dalam Memprediksi Jumlah dan Laju pertumbuhan Penduduk di Kota Makassar Wahidah Sanusi 1, Sukarna 1 dan Nur Ridiawati 1, a) 1 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan
Lebih terperinciSequences & Series. Naufal Elang Ciptadi
Sequences & Series Naufal Elang Ciptadi Topics that will be discussed Concepts of Sequence and Series Sequences Series Binomial Expansion Mathematical Induction Concepts of Sequences & Series A. Sequences
Lebih terperinciPenentuan Nilai Eigen Tak Dominan Matriks Hermit Menggunakan Metode Pangkat Invers Dengan Nilai Shift
Penentuan Nilai Eigen Tak Dominan Matriks Hermit Menggunakan Metode Pangkat Invers Dengan Nilai Shift Fitri Aryani 1, Rizka Dini Humairoh 2 1,2 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Suska
Lebih terperinciMATRIKS INVERS MOORE-PENROSE DALAM PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER
MATRIKS INVERS MOORE-PENROSE DALAM PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER SKRIPSI Disusun Oleh : IDA MISSHOBAH MUNIR RAHAYU J2A 004 019 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS
Lebih terperinciKEBEBASAN LINEAR GONDRAN-MINOUX DAN REGULARITAS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS
KEBEBASAN LINEAR GONDRAN-MINOUX DAN REGULARITAS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS oleh ANNISA RAHMAWATI M0112010 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
Lebih terperinciOptimisasi dengan batasan persamaan (Optimization with equality constraints) Mengapa batasan relevan dalam kajian ekonomi?
Optimisasi dengan batasan persamaan (Optimization with equality constraints) Mengapa batasan relevan dalam kajian ekonomi? Masalah ekonomi timbul karena kelangkaan (scarcity). Kelangkaan menyebabkan keputusan
Lebih terperinciTIF APPLIED MATH 1 (MATEMATIKA TERAPAN 1) Week 3 SET THEORY (Continued)
TIF 21101 APPLIED MATH 1 (MATEMATIKA TERAPAN 1) Week 3 SET THEORY (Continued) OBJECTIVES: 1. Subset and superset relation 2. Cardinality & Power of Set 3. Algebra Law of Sets 4. Inclusion 5. Cartesian
Lebih terperinciVektor. Vektor. 1. Pengertian Vektor
Universitas Muhammadiyah Sukabumi Artikel Aljabar Vektor dan Matriks Oleh : Zie_Zie Vektor Vektor 1. Pengertian Vektor a. Definisi Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai (besar) dan arah. Contohnya
Lebih terperinciComparative Statics Slutsky Equation
Comparative Statics Slutsky Equation 1 Perbandingan Statis Perbandingan 2 kondisi ekuilibrium yang terbentuk dari perbedaan nilai parameter dan variabel eksogen Contoh: Perbandingan 2 keputusan konsumen
Lebih terperinciMATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
Lebih terperinciMATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
Lebih terperinciPengolahan Dasar Matriks Bagus Sartono
Pengolahan Dasar Matriks Bagus Sartono bagusco@gmail.com Departemen Statistika FMIPA IPB Notasi Dasar Matriks A mxn, m A n, [a ij ] mxn : matriks berukuran m x n (m baris, n kolom) a ij adalah elemen matriks
Lebih terperinciKS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di Ruang N TIM KALIN
KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di Ruang N TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui definisi dan dapat menghitung perkalian
Lebih terperinciMA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Topik Khusus: M
MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Topik Khusus: Model AR dan INAR Cerdas dan Stokastik Setelah rantai Markov, distribusi eksponensial, lalu apa? Proses Bernoulli, Proses Poisson, Proses Stokastik lain?
Lebih terperinciSIFAT NILAI EIGEN MATRIKS ANTI ADJACENCY DARI GRAF SIMETRIK
Faktor Exacta 10 (2): 154-161, 2017 SIFAT NILAI EIGEN MATRIKS ANTI ADJACENCY DARI GRAF SIMETRIK NONI SELVIA noni.selvia@gmail.com Program Studi Teknik Informatika Fakultas Teknik,Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciPemrograman Lanjut. Interface
Pemrograman Lanjut Interface PTIIK - 2014 2 Objectives Interfaces Defining an Interface How a class implements an interface Public interfaces Implementing multiple interfaces Extending an interface 3 Introduction
Lebih terperinciStatistik Bisnis 2. Week 4 Fundamental of Hypothesis Testing Methodology
Statistik Bisnis 2 Week 4 Fundamental of Hypothesis Testing Methodology ONE-TAIL TESTS One-Tail Tests In many cases, the alternative hypothesis focuses on a particular direction H 0 : μ 3 H 1 : μ < 3 H
Lebih terperinciNon Linear Estimation and Maximum Likelihood Estimation
Non Linear Estimation and Maximum Likelihood Estimation Non Linear Estimation and Maximum Likelihood Estimation Non Linear Estimation We have studied linear models in the sense that the parameters are
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang dibicarakan yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Bentuk umum dari matriks bujur sangkar adalah sebagai berikut:
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini dibicarakan mengenai matriks yang berbentuk bujur sangkar dengan beberapa definisi, teorema, sifat-sifat dan contoh sesuai dengan matriks tertentu yang dibicarakan yang
Lebih terperinciLINEAR PROGRAMMING-1
/5/ LINEAR PROGRAMMING- DR.MOHAMMAD ABDUL MUKHYI, SE., MM METODE KUANTITATIF Perumusan PL Ada tiga unsur dasar dari PL, ialah:. Fungsi Tujuan. Fungsi Pembatas (set ketidak samaan/pembatas strukturis) 3.
Lebih terperinciPERBANDINGAN TEKNIK WATERMARKING CITRA DIGITAL MENGGUNAKAN DWT-SVD DAN RDWT-SVD. Abstract
PERBANDINGAN TEKNIK WATERMARKING CITRA DIGITAL MENGGUNAKAN DWT- DAN Qurrota Ayun Majid, T. Sutojo, S.Si, M.Kom Teknik Informatika - S1 Fakultas Ilmu Komputer Universitas Dian Nuswantoro Semarang 111201207118@mhs.dinus.ac.id
Lebih terperinciMatriks. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Matriks Dra. Sri Haryatmi Kartiko, M.Sc. I PENDAHULUAN lmu pengetahuan dewasa ini menjadi semakin kuantitatif. Data numerik dengan skala besar, hasil pengukuran berupa angka sering dijumpai oleh
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
5 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Matriks (matrix) adalah jajaran empat persegi panjang dan bilanganbilangan. Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks. Berikut ini beberapa
Lebih terperinciInferensia Statistik parametrik VALID?? darimana sampel diambil
Inferensia Statistik parametrik VALID?? Tergantung dari bentuk populasi Tergantung dari bentuk populasi darimana sampel diambil Uji kesesuaian (goodness of fit) ) untuk tabel frekuensi Goodness-of-fit
Lebih terperinciAPLIKASI ALJABAR MAKS-PLUS PADA SISTEM PENJADWALAN KERETA REL LISTRIK (KRL) JABODETABEK
APLIKASI ALJABAR MAKS-PLUS PADA SISTEM PENJADWALAN KERETA REL LISTRIK (KRL) JABODETABEK oleh AHMAD DIMYATHI M0111003 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana
Lebih terperinciVektor-Vektor. Ruang Berdimensi-2. Ruang Berdimensi-3
Vektor-Vektor dalam Ruang Berdimensi-2 dan Ruang Berdimensi-3 Disusun oleh: Achmad Fachrurozi Albert Martin Sulistio Iffatul Mardhiyah Rifki Kosasih Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciInformatics Class A UISI CALCULUS I WEEK 2 DAY 2
Informatics Class A UISI CALCULUS I WEEK 2 DAY 2 SLIDE AND ASSIGNMENT teachingnation.wordpress.com OUTLINE Recap Equalities Functions Domain and Range Graph Operations on Functions Inverse Trigonometry
Lebih terperinciAPLIKASI METODE PANGKAT DALAM MENGAPROKSIMASI NILAI EIGEN KOMPLEKS PADA MATRIKS
Jurnal UJMC, Volume, Nomor, Hal 36-40 pissn : 460-3333 eissn : 579-907X APLIKASI METODE PANGKAT DALAM MENGAPROKSIMASI NILAI EIGEN KOMPLEKS PADA MATRIKS Novita Eka Chandra dan Wiwin Kusniati Universitas
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciSpektrum Graf Hyperoctahedral Melalui Matriks Sirkulan Dengan Visual Basic 6.0
Jurnal Sainsmat, September 2013, Halaman 131-139 Vol. II. No. 2 ISSN 2086-6755 http://ojs.unm.ac.id/index.php/sainsmat Spektrum Graf Hyperoctahedral Melalui Matriks Sirkulan Dengan Visual Basic 6.0 Hyperoctahedral
Lebih terperinciMenentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Semi Definit dan Indefinit Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift
Menentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Semi Definit dan Indefinit Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift Arif Bijaksana 1, Irma Suryani 2 Jurusan Matematika Terapan, Fakultas Sains dan
Lebih terperinciData Structures. Class 5 Pointer. Copyright 2006 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Data Structures Class 5 Pointer McGraw-Hill Technology Education Copyright 2006 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. What is a variable? 1. Each variable must be defined before you can
Lebih terperinciSIFAT SPEKTRAL DARI MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL DENGAN POTENSIAL COULOMB
SIFAT SPEKTRAL DARI MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL DENGAN POTENSIAL COULOMB oleh NURUL KOMIYATUN M0110063 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains
Lebih terperinciPERBANDINGAN PENYELESAIAN SISTEM OREGONATOR DENGAN METODE ITERASI VARIASIONAL DAN METODE ITERASI VARIASIONAL TERMODIFIKASI
PERBANDINGAN PENYELESAIAN SISTEM OREGONATOR DENGAN METODE ITERASI VARIASIONAL DAN METODE ITERASI VARIASIONAL TERMODIFIKASI oleh AMELIA FEBRIYANTI RESKA M0109008 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi
Lebih terperinciMATRIKS. Matematika. FTP UB Mas ud Effendi. Matematika
MATRIKS FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar Invers suatu matriks bujursangkar Penyelesaian set persamaan linier Nilai-eigen dan
Lebih terperinciand if AB contains a point of, we say that A and B are on opposite
Incidence Geometry We are now ready to begin our study of geometries in earnest. We will study neutral geometry, based on the axioms of Hilbert. This means that we will study all that we can, almost, without
Lebih terperinciPENERAPAN MATRIKS HOUSEHOLDER PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN SKRIPSI
PENERAPAN MATRIKS HOUSEHOLDER PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN SKRIPSI Diajukan sebagai salah satu prasyarat untuk meraih gelar Sarjana (S1) Pendidikan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas
Lebih terperinciMATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINIER WAKTU DISKRIT. Soleha, Dian Winda Setyawati Jurusan Matematika, FMIPA Institut Teknologi Surabaya
MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINIER WAKTU DISKRIT Soleha, Dian Winda Setyawati Jurusan Matematika, FMIPA Institut Teknologi Surabaya Abstract. Matrix is diagonalizable (similar with matrix
Lebih terperinciSPECTRUM DETOUR GRAF n-partisi KOMPLIT
SPECTRUM DETOUR GRAF n-partisi KOMPLIT Desy Norma Puspita Dewi Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail:phyta_3@yahoo.co.id ABSTRAK Matriks detour dari graf G adalah matriks yang elemen
Lebih terperinciPembagi Bersama Terbesar Matriks Polinomial
Vol. 11, No. 1, 63-70, Juli 2014 Pembagi Bersama Terbesar Matriks Polinomial Indramayanti Syam 1,*, Nur Erawaty 2, Muhammad Zakir 3 ABSTRAK Teori bilangan adalah cabang ilmu Matematika yang mempelajari
Lebih terperinciKARAKTERISASI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR SUPERTROPICAL
TESIS SM 142501 KARAKTERISASI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR SUPERTROPICAL Dian Yuliati NRP. 1214 201 002 DOSEN PEMBIMBING Dr. Subiono, M.S. PROGRAM MAGISTER JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS
Lebih terperinciPENDEKATAN MULTIPLE REGRESI PADA ANALISIS RAGAM KLASIFIKASI DUA ARAH SKRIPSI MARISA INDA PUTRI
PENDEKATAN MULTIPLE REGRESI PADA ANALISIS RAGAM KLASIFIKASI DUA ARAH SKRIPSI MARISA INDA PUTRI 080823023 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN
Lebih terperinciPertemuan 2 & 3 DEKOMPOSISI SPEKTRAL DAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
Pertemuan 2 & 3 DEKOMPOSISI SPEKTRAL DAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Ingat : Vektor dan Matriks Ortogonal vektor dan a dan b saling ortogonal jika a dan b saling ortonormal jika a dan b di normalisasi (normalized)
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR ( BAGIAN II )
SISTEM PERSAMAAN LINEAR ( BAGIAN II ) D. FAKTORISASI MATRIKS D2 2. METODE ITERASI UNTUK MENYELESAIKAN SPL D3 3. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN D4 4. POWER METHOD Beserta contoh soal untuk setiap subbab 2
Lebih terperinciSTATISTIKA TEKNIK LNK2016 CORRELATION & REGRESSION
STATISTIKA TEKNIK LNK2016 CORRELATION & REGRESSION ! Correlation is a statistical method used to determine whether a relationship between variables exists.! Regression is a statistical method used to describe
Lebih terperinciMetoda Pembuktian: Induksi Matematika
Metoda Pembuktian: 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo January 14, 011 ILUSTRASI Figure: Ilustrasi Induksi Reaksi Berantai Pada ilustrasi di atas, kartu-kartu disusun
Lebih terperinciLine VS Bezier Curve. Kurva Bezier. Other Curves. Drawing the Curve (1) Pertemuan: 06. Dosen Pembina Danang Junaedi Sriyani Violina IF-UTAMA 2
Line VS Bezier Curve Kurva Bezier Pertemuan: 06 Dosen Pembina Danang Junaedi Sriyani Violina IF-UTAMA 1 IF-UTAMA 2 Other Curves Drawing the Curve (1) IF-UTAMA 3 IF-UTAMA 4 1 Drawing the Curve (2) Algoritma
Lebih terperinciMENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER MENGGUNAKAN ANALISIS SVD SKRIPSI. Oleh : Irdam Haidir Ahmad J2A
MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER MENGGUNAKAN ANALISIS SVD SKRIPSI Oleh : Irdam Haidir Ahmad J2A 005 023 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS
Lebih terperinciElectrostatics. Wenny Maulina
Electrostatics Wenny Maulina Electric charge Protons have positive charge Electrons have negative charge Opposite signs attract Similar signs repel Electric field used to calculate force between charges
Lebih terperinciBASIS RUANG VEKTOR EIGEN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS
BASIS RUANG VEKTOR EIGEN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS oleh PUNDRA ANDRIYANTO M0109057 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS
Lebih terperinciAplikasi Sistem Persamaan Linier dalam Persoalan Dunia Nyata (real world problem)
Aplikasi Sistem Persamaan Linier dalam Persoalan Dunia Nyata (real world problem) IF2123 Aljabar Geometri Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Informatika, STEI-ITB Rinaldi Munir - IF2123 Aljabar Geometri
Lebih terperinciEkspresi Reguler Definisi. Notasi Ekspresi Regular. Contoh Ekspresi Reguler [2]
Ekspresi Reguler Definisi Pertemuan : 3 Dosen Pembina : Danang Junaedi IF-UTAMA 1 Suatu cara untuk merepresentasikan bahasa regular [4] Pola (pattern) atau template untuk string dari suatu bahasa [3] Cara
Lebih terperinci